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Lucas – Revisão de Véspera – Professor Giacometto – 13.07.08 1
REVISÃO DE VÉSPERA – 2012 Disciplina: Matemática Professor(a): Eliomar
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Nomenclatura
C: capital inicial (dado em: real, dólar, euro,...) t: unidade de tempo (dado em: dia, mês, ano,...) i: taxa de juros por unidade de tempo (dado em: %, l,...) j: juro – pagamento por um empréstimo (dado em: real, dólar, euro,...) M: montante: M = C + j
Juro Simples
É aquele em que taxa incide apenas sobre o capital inicial.
js = C · i · t Juro Composto
É aquele em que a taxa incide sobre o capital acumulado (anterior) na unidade de tempo.
M = C(1 + i)t
01) José aplicou R$ 5.000,00 em um fundo de renda fixa, à
taxa de 2% ao mês. a) Se todo mês José retirar o juro produzido, deixando
aplicado apenas o capital, quanto terá retirado em três meses?
b) Se José não fizer retiradas, ou seja, ao final de cada mês o juro produzido se incorporar ao capital do mês anterior, formando assim um novo capital, qual será o juro produzido em três meses?
Nota: No item b, a taxa de juros não incide apenas sobre o capital inicial, mas sobre o capital acumulado a cada mês. Por isso o juro produzido ao final dos três meses é chamado de juro composto
Orientação a) J=C.i.t
J=5.000 . 0,02 . 3 => J=300,00
b) M=C (1+i)t
M=5000(1+0,02)3 => M=5.306,04
M=C+J J=M-C J=5.306,04-5.000 => J=306,04
MEDIDAS ESTATÍSTICAS
* Mediana A mediana para n números em rol será o termo central se n for impar e será a média aritmética entre os termos centrais se n por par. * Moda É o número que ocorre com maior freqüência possível.
* Desvio Padrão ( )
=
n2
i
i 1
(x - x)
n =
2 2 2
1 2 n(x - x) (x - x) ...... (x - x)
n
* Variância (V)
V = 2
02) Dada a amostra 8, 7, 6, 10 e 9. Determine:
a) a mediana (Md)
b) a média aritmética ( X ). c) a moda d) o desvio padrão ( )
e) a variância(V) Orientação a) Dada a amostra em rol:
6 7 8 9 e 10
Md=8(termo central)
b) 8 7 6 10 9
X 85
c) não apresenta moda, pois todos os seus elementos têm a
mesma frequência. d) Obs.: Quanto menor (mais próximo de zero) é o ,
mais regular, mais homogênea é a amostra.
e) V= 2 =2
2 2 2 2 2
1 2 3 4 5
2 2 2 2 2
(x x) (x X) (x X) (x X) (X X)
5
(6 8) (7 8) (8 8) (9 8) (10 8)2
5
2
Lucas – Revisão de Véspera – Professor Eliomar – 13.07.08 2
PORCENTAGEM
Custo “X” Aumento de 20% = 1X + 0,20X = 1,20X Desconto de 20% = 1X – 0,20X = 0,80X
GRANDEZAS (a e b)
Diretamente proporcionais
(a e b)a k.b K
(a e b)
Inversamente proporcionais
1 aa k. a.b k
1b
b
UNIDADES DE MEDIDA
m dm cm mm 1m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 litro equivale a 1 dm
3 (1L = 1 dm
3)
03) Uma fábrica trabalhando 8 horas por dia produz 400 automóveis em 20 dias. Se passar a trabalhar 10 horas por dia, em quantos dias produzirá 500 automóveis?
Orientação: 1º. ”Chamar” a pergunta (quantos dias) de x. 2º. Com os dados, determinar K. 20 dias 8h/dia 400 automóveis
3º. Achar x (com a mesma fórmula ).
x dias 10h/dia 500 automóveis
GEOMETRIA
TRIÂNGULO RETÂNGULO
a2 = b2 + c2
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Altura: h = 2
3
Raio: R = h 3
2
Apótema: a = h . 3
1 = r
Área = 4
32
i
= 60o e e
= 120
o
04) Os catetos de um triângulo retângulo medem 6 e 8.
Determine as projeções ortogonais dos catetos n e m e a altura h.
Orientação: b = 8 e c = 6
2
2
b a.m
8 10.m
64m 6,4
10
2
2
c a.n
6 10.m
36m 3,6
10
2
2
h n.m
64 36h .
10 10
48h 4,8
10
2
2
2
b a.m
c a.n
h m.n
a.h b.c
ℓ
ℓ ℓ
R
r = a
A
B C
x k.
DIR.
INV.
DIR.
INV.
Lucas – Revisão de Véspera – Professor Eliomar – 13.07.08 3
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
R
a
R O
A B
HEXÁGONO REGULAR
O OAB é eqüilátero logo:
Raio: R = ℓ
Apótema: a = 2
3 = r
Área = 6 . 4
32
i
= 120o e e
= 60
o
QUADRADO
Diagonal: 2d
Raio: 2
2R
Apótema: 2
a
Área = 2
CÍRCULO
APLICAÇÕES
1. RETA TANGENTE
RAIO PERPENDICULAR
SEGMENTOS PA = PB
2. ALTURA DA PILHA DE CANOS (h).
05) Os catetos de um triângulo retângulo medem 6cm e
8cm. Determine a área: a) de um círculo inscrito no triângulo. b) da região externa ao círculo inscrito e interna ao
triângulo dado. c) comprimento da circunferência em questão Orientação:
6-r + 8-r = 10 r = 2
a) Ac = r2 = 4 cm
2
b) Aprocurada = AT – Ac
Aprocurada = 24 – 4
Aprocurada = 4(6 – )cm2
c) C = 2 r
C = 2 .2 = 4 cm
SEMELHANÇA
kh
H
z
c
y
b
x
a
)áreas(k
A
A 2
2
1
06) O lado BC de um triângulo ABC mede 6dm e a altura a ele relativa mede 4dm. Um retângulo de base o dobro da altura está inscrito nesse triângulo, sendo que uma base maior do retângulo está contida em BC. Determinar:
a) o lado menor do retângulo. b) a área do triângulo ADE. Orientação:
07) Assinale a soma das alternativas verdadeiras.
01) Se duas retas coplanares têm um único ponto em comum, então elas são concorrentes.
02) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a infinitas retas desse plano.
04) Se uma reta não está contida num plano e é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao plano.
08) Se um plano contém duas retas concorrentes, ambas paralelas a um outro plano, então esses planos são paralelos.
16) Se uma reta formar ângulos retos (90°) com duas retas concorrentes de um plano, então a reta é perpendicular ao plano.
Comprimento da circunferência C = 2 R
Área do círculo
A = R2
R
O a) ABC ADE
6 4 12 x
2x 4 x 7
2
2ABC
ADE ADE
2
ADE
b) A razão de semelhança k é:
6 7 k
2x 4
Portanto a razão entre as áreas é:
A 12 7 k
A A 4
192 A dm
49
a
b c H
y z
x
t1 t
2 t
3
01 02 04
08 16
Lucas – Revisão de Véspera – Professor Eliomar – 13.07.08 4
r D R
a
a
a
a
R
A
E
H G
F
C
B
D
A
D C
F E
B
H G
POLIEDROS
V + F + A + 2 (Euler)
n F = +A 2
p V = +A 2
onde
n nº de arestas em cada face
p nº de arestas que saem de cada vértice
08) Um poliedro convexo possui 6 faces quadrangulares e
2 faces hexagonais. Determine o número de vértices desse poliedro.
Orientação: nF = +A2
+ 6 faces quadrangulares: 4.6 = +A’2 A’ = 12
+ 2 faces hexagonais: 6.2 = +A’’2 A’’ = 6
F= 8 A = 18
V + F = A + 2 V + 8 = 18 + 2
V = 12
PARALELEPÍPEDO RETO-RETÂNGULO (ORTOEDRO)
09) Calcular o volume V de um paralelepípedo reto-
retângulo de área total 198cm2
e de dimensões diretamente proporcionais a 1, 2 e 3
Orientação
Sejam a, b e c as medidas, em centímetros, das dimensões do paralelepípedo a seguir.
Orientação:
10) Uma caixa d’água tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo com as dimensões de acordo com a figura a seguir. Quanto baixa o nível da água ao retirarmos 2 litros de água da caixa?
Orientação: 20(dm) · 10(dm) · h(dm) = 2(dm3)
200 · h = 2 h = 0,01 dm = 1mm h = 1mm
CUBO (HEXAEDRO REGULAR)
D = 3a r = 2
a
R = 2
3a Aℓ = 4a
2
V = a
3 At = 6a
2
11) Considerando o cubo representado na figura abaixo, de vértice A, B, C, D, E, F, G e H, e designando como α o plano que contém os pontos C, D, E e F, mostre que:
a) O plano α divide o cubo em dois prismas. b) O plano α é perpendicular à face EADH.
c) O plano α é paralelo à aresta AB . d) A pirâmide cujos vértices são A, B, C e F tem
volume igual a um sexto do volume do cubo. e) O volume do cilindro circunscrito ao cubo é maior do
que uma vez e meia o volume do cubo. f) A esfera inscrita no cubo tem raio igual à metade da
aresta do cubo. Orientação:
a) d)
b)
c)
e) f)
b
c D
d
c
Dimensões a b c x-r x x+r......P.A.
q
x x xq ......P.G.
2
a=
3
b=
5
c=x......dir. proporc.
1 1 12 3 5
a b cx inv. proporc.
c . b . aV
)bcacab(2A
cbaD
t
222
a
Temos :
a ka b c
k b 2k1 2 3
c 3k
E ainda AT = 2(ab+ac+bc) e AT = 198cm
2
Assim, podemos escrever: 2(k . 2k + k . 3 k + 2k . 3k) =198
k2 = 9 k 3 k = 3
Logo, as dimensões são a = 3 cm, b= 6cm e c = 9cm. Portanto: V = a.b.c = 162
2m = 20dm 1m = 10dm
h
2m 1m
A B
C
F
1L = 1dm3
Observação
Dicas
Dimensões P.A./P.G./Dir. proporc./Inv. proporc.
Lucas – Revisão de Véspera – Professor Eliomar – 13.07.08 5
ℓ ℓ
ℓ
ℓ ℓ
ℓ
aℓ
= h
R
g =
h
R
V
g
R
h
ℓ
ℓ ℓ
ℓ ℓ
ℓ ℓ
ℓ
aℓ
= h
ap
h
ℓ ℓ
ℓ
V
a ℓ
(2)
(1)
h1
h2
Ab1 Ab2
V2 = Ab2 · h2
V2 = 0,90Ab1 · 1,20h1
V2 = 1,08 Ab1 · h1 V2 = 1,08 · V1
PRISMAS REGULARES E CILÍNDROS RETOS
Exemplos
2p = 3ℓ 2p = 4ℓ 2p = 2 R
Ab = 4
32 Ab = ℓ
2 Ab = R
2
Aℓ = 2p . h At = Aℓ + 2 . Ab V = Ab . h
Onde: 2p perímetro da base
12) A área da base de um prisma diminui de 10% e a altura aumenta de 20%. O seu volume aumenta ou diminui e de quantos por cento (%)?
01) Diminui de 8%. 02) Aumenta 18%. 04) Não aumenta e nem diminui. 08) Diminui 18%. 16) Aumenta de 8%.
Orientação: V1 = Ab1 · h1
Portanto, o volume aumenta de 8%.
PIRÂMIDES REGULARES E CONES RETOS
Exemplos
p = 2ℓ p = R
Ab = ℓ2 Ab = R
2
Onde: p semi-perímetro da base
13) Um trapézio retângulo cujas bases medem 7cm e 4 cm e cuja a altura é de 4 cm, sofre uma rotação de 360° em volta da base maior, gerando assim um sólido. O volume desse sólido é:
Orientação:
VCilindro= R2.H
VCilindro= 42 . 4
VCilindro= 64 cm3
VSólido = VCilindro + VCone
VSólido = 80 cm3 SECÇÃO TRANSVERSAL
Onde: VT = Vpirâmide ou Vcone
14) Na figura tem-se um recipiente com a forma de um
cone circular reto, com um liquido que atinge a metade de sua altura. Se 80 litros é a capacidade do cone, então o volume do liquido é:
Aℓ = p . ap
At = Aℓ + Ab
V = 3
h . Ab
Aℓ(cone)= Rg
2
S
b
A d
A h
3
S
T
V d
V h
2
Cone
2
Cone
3
Cone
R .hV
3
4 .3V
3
V 16 cm
3
L
cone
V d
V h
3
L
3
L
V d
80 2d
V 1
80 2
Orientação
3
LV 10dm 10 litros
Lucas – Revisão de Véspera – Professor Eliomar – 13.07.08 6
g at
an = a1.qn–1
a4 = 1,2x(1,2)
3
a4 = 1,24 . x
a4 = 2,07.x
ESFERAS
15) Um plano secciona uma esfera a 4 cm do cento O, determinando uma secção plana de raio 3cm. Calcular o volume dessa esfera e a área de sua superfície.
Orientação
Seja R o raio da esfera:
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
R2
= 42
+ 32
R = 5cm
Logo, o volume V da esfera e a área A de sua superfície são:
A = 4 . 52
cm2
A = 100 cm2
TRONCOS REGULARES
Sendo:
B = AB área da base maior
b = Ab área da base menor
V = 3
h · (B + b + bB )
15) Um condomínio tem uma caixa-d’água no formato de um tronco de cone circular reto, conforme a figura. Se a caixa-d’água está completamente cheia, e o condomínio gasta 10 mil litros de água por dia, por quantos dias completos ela abastece o condomínio, considerando que não chegue mais água à caixa?
Orientação:
B = AB = R2 = 9
b = Ab = r2 =
V = )bBbB(3
h
V = )99(3
3
V = 13 m3 = 13000 dm
3
V 40840 dm3 (litros)
PROGRESSÕES
Seja a seqüência: a1, a2, a3, a4 ...... an, ......
P.A. P.G.
RAZÃO (r)
r = a2 – a1 = a3 – a2 = ...
Fórmula : Termo Geral
an = a1 + (n – 1) . r
Soma dos Termos
Sn = n . 2
aa n1
3 Termos
a1 , a2 , a3
x – r x x + r
4 termos a1 a2 a3 a4 x–3r x–r x+r x+3r
RAZÃO (q)
q = ...a
a
a
a
2
3
1
2
Fórmula : Termo Geral
an = a1 . q
n-1
Soma dos Termos
Finita
Sn = 1q
aq . a 1n (q 1)
Infinita
1n
n
aLimS
1 q (-1 < q < 1)
3 Termos
a1 , a2 , a3
q
x x x.q
4 termos a1 a2 a3 a4
3q
x
q
x x.q xq
3
16) A soma dos números inteiros positivos menores que 101 e não divisíveis por 4 é:
Orientação:
a) soma de todos *
< 101.
PA(1, 2, 3, 4 ,5, 6, ..., 100)
1 nT
a aS n 5050
2
b) Soma dos *
divisíveis por 4 < 101.
PA(4, 8, 12, 16, ..., 100) an = a1 + (n – 1)r ⟹ n = 25
1 nD(4)
a aS n 1300
2
Snão[D(4)] = ST – SD(4) = 3750 17) Alguns fenômenos da natureza crescem segundo uma
seqüência geométrica. Suponha que o desenvolvimento de um certo fungo ocorra à razão de 20% ao dia. Após quatro dias, o seu crescimento, em relação ao estágio inicial, será, aproximadamente:
Orientação: Estágio inicial: 1x Após o 1º dia: 1,20x...........a1 Após o 2º dia: 1,44x...........a2 : : : : : :
A = 4 R2
V = 3R
3
4
R
O
r
R
h h
g
(R-r)
r
33 34 .5 500
V cm V cm3 3
Se, 10000ℓ 1 dia
40840ℓ x dias
X = 4 dias
O
Lucas – Revisão de Véspera – Professor Eliomar – 13.07.08 7
18) Observe a seqüência a seguir:
S = 1 – 3
1+
2
1 +
9
1 +
4
1 –
27
1 +
8
1 +
81
1 +
16
1 –
243
1...
O valor de S é:
Orientação:
S1 = 1 + 2
1 +
4
1 +
8
1 + .......= 2 (P.G. Infinita)
1n
n
a1 1 1 1 1limS
3 9 27 81 4 1 q2S (F.G. →Infinita)
S = S1 + S2 S = 7/4
GEOMETRIA ANALÍTICA
01) A distância entre 2 pontos
dAB = 2
122
12 )yy()xx(
02) Ponto médio M (xm, ym)
Xm = 2
xx 21 ym=2
yy 21
03) Intersecção: I (x, y) Resolver o sistema, pois x e y são comuns
04) Área de um polígono (triângulo)
|Det|2
1A
05) Equação de reta:
5.2 Passa por dois pontos, A(x1, y1) e B(x2, y2)
Equação reduzida
y = mx + b
Coef. linear
Coef. angular ou declividade
5.3 Passa por um ponto (feixe)
=
. 08) Equação da circunferência
(x – a)2 + (y – b)
2 = r
2
x2 + y
2 – 2ax – 2by + = 0
r = 22 ba
M
B(x2, y2)
A(x1, y1)
x
y
I
x
y
B(x2, y2)
A(x1, y1)
dAB
y x
m1 = m2 m1 . m2 = –1
x
y
d r P(x0, y0)
x
C r
b
y
a
C(a, b)
(sentido anti-horário)
P(x0, y0)
x
y
P(x, y)
DETERMINANTE = 0
1 2
1 2
x x x x0
y y y y
y
x
B(x2, y2)
A(x1, y1)
1n
n
alimS
1 q
onde: m=tg
(+)
O x
b
Lucas – Revisão de Véspera – Professor Eliomar – 13.07.08 8
19) Prove que:
a) x2 + y
2 – 2x + 6y + 1 = 0 é a equação da
circunferência de raio r = 3 que é concêntrica com a circunferência (x – 1)
2 + (y + 3)
2 = 4.
b) O coeficiente angular da reta que passa pelos
pontos A(3, 2) e B(–3, –1) é 2
1.
c) O ponto P(–2, –1) é um ponto da circunferência de equação:
x2 + y
2 – x + 4y – 3 = 0.
d) As retas r: 2x – 3y + 5 = 0 e s: –6x – 4y + 1 = 0 são perpendiculares.
Orientação:
a) Determine o centro C(a, b) das equações.
x2 + y
2 –2 x +6 y + 1 = 0 (x –1 )
2 + (y +3 )
2 = 4
x2 + y
2 –2a x –2b y + γ = 0 (x –a )
2 + (y –b )
2 = r
2
b) Uma maneira é achar a equação da reta (determinante = zero) e colocá-la na forma reduzida.
c) Substituir as coordenadas do ponto P, na equação e verificar se satisfaz a equação, isto é, se o 1º membro é igual a zero.
d) Achar os coeficientes angulares (forma reduzida) e verifique que mr · ms = –1.
=
= =
= =