Reticulados densos nas dimensoes 2,3,4,5,7 e 8 com diversidademaxima

Grasiele C. Jorge1,∗ Agnaldo J. Ferrari2 Sueli I. R. Costa3,†

grajorge@gmail.com agnaldoferrari@ig.com.br sueli@ime.unicamp.br1, 3Departamento de Matematica Aplicada/Matematica 2Departamento de Ciencias Exatas

UNICAMP, 13083-859, Campinas, SP UFLA, 37200-000, Lavras, MG

Palavras-chave: Matematica discreta, reticulados algebricos, densidade de empacotamento, di-versidade, distancia produto mınima

1 Introducao

Utilizando o homomorfismo torcido para gerar reticulados no Rn, vamos reproduzir osreticulados mais densos A2, D3, D4, D5, E7 e E8 com diversidade maxima via subcorpos de cor-pos ciclotomicos. Um interesse pratico e que tais constelacoes podem ser usadas na transmissaode dados entre um receptor movel e uma base ou entre um receptor movel e um satelite atravesdo mesmo sistema de modulacao/demodulacao [4].

Um reticulado n-dimensional Λ ⊆ Rn e um conjunto discreto de pontos do Rn gerado porcombinacoes lineares inteiras de n vetores linearmente independentes v1, . . . ,vn ∈ Rn [8]. Adensidade de empacotamento de um reticulado Λ, ∆(Λ), e a proporcao do espaco Rn cobertopela uniao de esferas congruentes disjuntas de raio maximo, centradas nos pontos de Λ. Devidoa homogeneidade de distribuicao de pontos em um reticulado, a densidade de empacotamento edada por ∆(Λ) = ρnvol(B(1))

det(Λ)1/2, onde ρ e metade da distancia mınima do reticulado, vol(B(1)) e o

volume euclidiano da esfera unitaria n-dimensional e det(Λ) e o determinante do reticulado, queequivale ao determinante de qualquer matriz de Gram associada ao reticulado [3]. Um reticuladoΛ tem diversidade m ≤ n se m e o numero maximo tal que para todo y = (y1, · · · , yn) ∈ Λ,y 6= 0 existem no mınimo m coordenadas nao nulas em y. Dado um reticulado Λ ⊆ Rn comdiversidade maxima (m = n), a distancia produto mınima de Λ e definida como dmin(Λ) =min{

∏ni=1 |yi| para todo y = (y1, · · · , yn) ∈ Λ,y 6= 0} [6]. Para estabelecer uma comparacao

entre reticulados de normas mınimas diferentes, a distancia produto mınima relativa e obtidamultiplicando a distancia produto mınima do reticulado por 1

λn onde λ e o valor da distanciamınima do reticulado.

Constelacoes de sinais tendo estrutura de reticulado sao utilizadas para transmissao de sinaisem canais gaussiano e do tipo Rayleigh com desvanecimento. A eficiencia da transmissao estaassociada a propriedades especıficas dos reticulados. Para utilizacao em canais gaussianos, bonsreticulados sao aqueles que apresentam alta densidade de empacotamento [3] e para utilizacaono canal do tipo Rayleigh com desvanecimento sao aqueles com diversidade maxima e com altadistancia produto mınima [4].

Entre os empacotamentos reticulados, e provado que os reticulados A2, D3, D4, D5, E7 eE8 sao os mais densos em cada dimensao [3]. Desta forma, nosso objetivo e reproduzir taisreticulados com diversidade maxima e distancia produto mınima alta. Tanto a densidade deempacotamento quanto a distancia produto mınima sao difıceis de serem calculadas para umreticulado qualquer. Atraves de tecnicas algebricas e de algumas propriedades dos corpos de

∗bolsista Pos-Doc CAPES - Processo (2548/2010)†Bolsita de Produtividade CNPq - Processo 309561/2009-4, Projeto Tematico FAPESP 2007/56052-8

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numeros utilizados nas construcoes, somos capazes de calcular tais parametros dos reticuladosalgebricos. Assim, vamos utilizar corpos ciclotomicos para reproduzir versoes rotacionadas dosreticulados acima. Por fim, vamos comparar a densidade de empacotamento e a distancia pro-duto mınima relativa destes reticulados obtidos algebricamente com construcoes conhecidas dereticulados Zn-rotacionados [6, 1] construıdos para serem utilizados no canal do tipo Rayleighcom desvanecimento.

2 Reticulados algebricos

Seja K um corpo de numeros de grau n, isto e, [K : Q] = n. Existem exatamente nhomomorfismos distintos σj : K −→ C, j = 1, · · · , n, que fixam Q [9]. Um homomorfismo σj edito real se σj(K) ⊆ R e imaginario caso contrario. Sejam r1 o numero de homomorfismos reaise r2 o numero de pares de homomorfismos imaginarios. Podemos reordenar os homomorfismosσ1, . . . , σn de modo que σ1, . . . , σr1 sejam os homomorfismos reais e que σr1+1, . . . , σr1+2r2 sejamos homomorfismos imaginarios com σr1+r2+i = σ◦σr1+i, para i = 1, · · · , r2, onde σ e a conjugacaocomplexa.

Dado α ∈ K tal que αj = σj(α) ≥ 0 para todo j = 1, · · · , n, o homomorfismo injetivo

σα : K −→ Rn

x 7−→ (√α1σ1(x), . . . ,

√αr1σr1(x),

√2αr1+1<(σr1+1(x)),√

2αr1+1=(σr1+1(x)), . . . ,√

2αr1+r2<(σr1+r2(x)),√

2αr1+r2=(σr1+r2(x)))

onde < e = representam a parte real e imaginaria, respectivamente, de um numero complexo, echamado de homomorfismo torcido [5].

Mostra-se que se L ⊆ K e um Z-modulo livre de posto n com Z-base {w1, . . . , wn}, entao aimagem σα(L) em Rn e um reticulado com base {σα(w1), . . . ,σα(wn)} [6].

Atraves do homomorfismo torcido estuda-se propriedades do reticulado via caracterısticasdo Z-modulo utilizado na construcao, como por exemplo, o determinante, a densidade de em-pacotamento e a distancia produto mınima.

3 Determinante, densidade de centro e distancia produto mınima

Sejam OK o anel dos inteiros de K|Q, α ∈ OK e I ⊆ OK um Z-modulo livre de posto n.A norma de α e o inteiro N(α) =

∏ni=1 σi(α). A cardinalidade do grupo quociente |OK/I| e

chamada de norma de I e o determinante det(σi(wj))ni,j=1 e chamado de discriminante de K|Q

e e denotado por d(K|Q) [9]. O determinante do reticulado σα(I) e dado em [5] pela equacao

det(σα(I)) = N(I)2NK|Q(α)|d(K|Q)|. (1)

A densidade de empacotamento de um reticulado e dada pelo produto da densidade de centropelo volume da bola euclidiana n-dimensional com raio 1. A densidade de centro em reticuladosobtidos via o homomorfismo torcido e dada em [2] pela equacao

δ(Λ) =tn/2α

2n|d(K|Q)|1/2N(α)1/2N(I), (2)

onde tα = min{TrK|Q(αxx), 0 6= x ∈ I}.A diversidade em um reticulado Λ e maxima quando todas as entradas de qualquer vetor

de Λ sao nao nulas. Se o corpo K for totalmente real, e possıvel mostrar que o reticuladoΛ = σα(I) ⊆ Rn possui diversidade maxima igual a n [6].

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A distancia produto mınima mede o menor produto das entradas nao nulas dos vetores deΛ. Se I ⊆ K e um Z-modulo livre de posto n e o reticulado σα(I) tem diversidade n, a distanciaproduto mınima e dada em [7] pela equacao

dp,min(Λ) =√N(α)min06=y∈I |N(y)|. (3)

Nas mesmas condicoes, se I ⊆ OK e um ideal principal, em [6] tem-se a equacao

dp,min(Λ) =

√det(σα(I))

|d(K|Q)|. (4)

A distancia produto mınima relativa de Λ mede a distancia produto mınima de uma versaoescalonada de Λ com norma mınima 1 e e dada por dp,rel = 1

λndp,min(Λ) onde λ e o valor dadistancia mınima de Λ.

Sempre que possıvel trabalharemos com ideais principais em corpos com o menor discrimi-nante possıvel, pois considerando apenas ideais principais tem-se que a distancia produto mınimae maior quando o discriminante e menor.

4 Reticulados mais densos nas dimensoes 2-5, 7 e 8

Em [3] sao listados os reticulados mais densos nas dimensoes 2 a 8. Vamos trabalhar emcorpos ciclotomicos de graus 2,3,4,5,7 e 8 e reproduzir tais reticulados de forma rotacionada viatecnicas algebricas, o que permitira determinar as distancias produto mınima.

Seja ζn uma raiz n-esima primitiva da unidade. O corpo L = Q(ζn) e chamado de n-esimocorpo ciclotomico e e o menor corpo contendo Q e ζn. O corpo K = Q(ζn + ζ−1

n ) e um subcorpodo corpo ciclotomico Q(ζn) e e chamado de subcorpo maximal totalmente real [10]. Fizemosnossa construcao utilizando Z-modulos de posto n contidos em K. Tais corpos sao bastanteutilizados em construcoes algebricas devido as suas propriedades.

Para a construcao dos reticuladosA2 e E8, partimos de condicoes necessarias para a existenciade tais reticulados, utilizando a Equacao (1) para o determinante, a Equacao (2) para a densidadede centro e o software “Mathematica” como ferramenta de busca, encontramos o elemento αe o ideal I satisfazendo nossas equacoes. Atraves da relacao entre as matrizes de Gram dereticulados equivalentes na metrica euclidiana [8], provamos que o reticulado σα(I), construıdoalgebricamente, de fato e uma versao escalonada e rotacionada do reticulado estudado. Taisreticulados foram reproduzidos via ideais principais e, utilizando a Equacao (4), foi possıvelcalcular a distancia produto mınima.

Para a construcao dos reticulados D3 e D5 atraves da Equacao (1) provamos que nao epossıvel reproduzir tais reticulados via ideais em tais corpos. A partir do fato que tais reticuladossao sub-reticulados do reticulado Zn e atraves de construcoes conhecidas para o reticulado Zn-rotacionado com diversidade maxima nestas dimensoes, foi possıvel reproduzir tais reticulados.Para os reticulados D3 e D5, utilizando a Equacao (3) foi possıvel calcular sua distancia produtomınima.

Os reticulados D4 e E7 foram obtidos como sub-reticulados de reticulados Zn-rotacionados.A seguir, listamos cada reticulado estudado e explicitamos uma matriz geradora aproximada,

visto que tais matrizes foram obtidas computacionalmente e que as matrizes geradoras originaispossuem numeros irracionais em suas entradas.

Reticulado A2

O reticulado hexagonal, A2, em sua versao classica possui como base {(1, 0), (1/2,√

3/2)}.Sua densidade de centro e δ = 1√

12.

Para K = Q(ζ12 + ζ−112 ), tem-se que [K : Q] = 2. Utilizando a Equacao (2) e o software

“Mathematica” encontramos α = 1 e I = (e1 +3e2)OK onde e1 = ζ12 + ζ−112 e e2 = ζ2

12 + ζ−212 = 1.

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Atraves da matriz de Gram do reticulado obtido foi possıvel mostrar que o reticulado rotacionado1√24σ(I) e um reticulado hexagonal rotacionado.

O reticulado 1√24σ(I) tem diversidade maxima 2. Como o reticulado hexagonal tem distancia

mınima 1, sua distancia produto mınima relativa e d(p, rel)(

1√24σ(I)

)= 1√

242

√43212 = 6

24 = 0.25,

pois det(σK(I)) = |d(K|Q)|N(I)|2 = (12)(36) = 432. Portanto,

√d(p, rel)

(1√24σ(I)

)= 0.5.

Uma matriz geradora para 1√24σ(I) e dada por:

A =1√24

(3 +√

3 3−√

3

3 + 3√

3 3− 3√

3

).

Reticulado D3

O reticulado D3 pertence a famılia de reticulados Dn, n ≥ 3, que e definida por

Dn = {(x1, · · · , xn) ∈ Zn tal quen∑i=1

xi e par}.

Para n = 7, 9, 14, 18 e K = Q(ζn + ζ−1n ) tem-se [K : Q] = 3. Sabendo que det(Dn) = 4 e

d(K|Q) e ımpar para n = 7, 9, 14, 18, temos que uma condicao necessaria para a existencia deum reticulado D3-rotacionado dada pela Equacao (1) e ou 2 dividir N(α) ou 2 dividir N(I).Estudando a fatoracao do ideal 2OK em tais corpos, provamos que nao existem tais elementose, com isso, segue o seguinte resultado:

Proposicao 4.1 [7] Para os corpos K = Q(ζn + ζ−1n ), onde n = 7, 9, 14, 18, nao e possıvel

construir um reticulado D3-rotacionado via o homomorfismo torcido aplicado a ideais de OK.

Desta forma, devemos procurar reproduzir tal reticulado via Z-modulos de posto 3 que naosejam ideais. Afim de obter uma distancia produto mınima maior, vamos trabalhar no corpoK = Q(ζ7 + ζ−1

7 ) que apresenta menor discriminante.Considere o reticulado Z3-rotacionado obtido em [6] via K. Temos que existe uma matriz

geradora M para tal reticulado cuja matriz de Gram e a matriz identidade e podemos utilizar talmatriz como uma matriz de rotacao. Como D3 e um sub-reticulado de Z3, podemos multiplicaruma matriz geradora de D3 pela matriz M e obter o reticulado D3-rotacionado contido noreticulado Z3-rotacionado. Utilizando a matriz geradora para D3 de [3] e ei = ζi7+ζ−i7 , i = 1, 2, 3,temos que o reticulado D3-rotacionado e obtido via Z-modulo I com Z-base {e1, e2,−e1− 2e2−2e3} e α = (1 + ζ7)(1− ζ−1

7 ). Utilizando a Equacao (3), temos que a distancia produto mınima

relativa de tal reticulado e 0.05051. Portanto, 3

√d(p, rel)

(1√7σ(I)

)= 0.369651.

Uma matriz geradora para o reticulado D3-rotacionado e dada por:

A =

1.06496 0.918994 0.1459670.40899 −0.263024 −1.32799−0.145967 −1.06496 0.918994

.Reticulado D4

Para n = 15, 16, 20, 24, 30 e K = Q(ζn + ζ−1n ) tem-se que [K : Q] = 4. Para n = 15, 30

tem-se o menor discriminante d(K|Q) = 3253. Para n = 15, 30 usando o fato que det(D4) = 4,pela condicao necessaria dada pela Equacao (1) devemos encontrar α e I tais que ou 2 divideN(α) ou 2 divide N(I). Atraves da fatoracao do ideal 2OK em OK e possıvel provar que:

Proposicao 4.2 [7] Para os corpos K = Q(ζn+ ζ−1n ), onde n = 15, 30, nao e possıvel construir

um reticulado D4-rotacionado via o homomorfismo torcido aplicado a ideais de OK.

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Desta forma, vamos considerar K = Q(ζ16 + ζ−116 ). Utilizando o fato de D4 ser um sub-

reticulado de Z4, utilizamos o reticulado Z4-rotacionado construıdo em [1] para obter umaversao rotacionada de D4. Sejam K = Q(ζ16 + ζ−1

16 ), e0 = 1 e ei = ζi16 + ζ−i16 , i = 1, 2, 3.Com um procedimento similar ao que fizemos para o reticulado D3, temos que o reticuladoD4-rotacionado e gerado pelo Z-modulo I com Z-base {−e1,−e2,−e3, 2e0 + 2e1 + 2e2 + e3} eα = 2 − (ζ + ζ−1). Mostra-se que I = e1OK e um ideal principal [7]. Portanto, o reticulado

1√8σα(I) e um D4-rotacionado com diversidade maxima e distancia produto mınima relativa

0.011048. Logo, 4

√d(p, rel)

(1√8σ(I)

)= 0.3242059.

Uma matriz geradora para o reticulado D4-rotacionado e dada por:

A =

1.28146 −0.449988 −0.300672 0.254898−0.105582 0.725887 −1.08637 0.530797−0.19509 0.55557 0.83147 −0.980785−0.254898 −0.300672 0.449988 1.28146

Reticulado D5

Para n = 11, 22 e K = Q(ζn + ζ−1n ) tem-se [K : Q] = 5. Sabendo que det(Dn) = 4 e d(K|Q)

e ımpar para n = 11, 22, temos que uma condicao necessaria para a existencia de um reticuladoD5-rotacionado dada pela Equacao (1) e ou 2 dividir N(α) ou 2 dividir N(I). Estudando afatoracao do ideal 2OK em tais corpos provamos que nao existem tais elementos e, com isso,segue o seguinte resultado:

Proposicao 4.3 [7] Para os corpos K = Q(ζn + ζ−1n ) onde n = 11, 22 nao e possıvel construir

um reticulado D5-rotacionado via o homomorfismo torcido aplicado a ideais de OK.

Desta forma, devemos procurar reproduzir tal reticulado via Z-modulos de posto 5 que naosejam ideais. Sejam K = Q(ζ11 + ζ−1

11 ) e ei = ζi11 + ζ−i11 para i = 1, · · · , 5. Com um procedimentosimilar ao que foi feito anteriormente, utilizando o reticulado Z5-rotacionado de [6] obtemos oreticuladoD5-rotacionado a partir do Z-modulo I com Z-base {e1, e2, e3, e4,−e1−2e2−2e3−2e4−2e5} e α = (1 − ζ11)(1 − ζ−1

11 ). O reticulado 1√11σα(I) e um D5-rotacionado com diversidade

maxima e distancia produto mınima relativa 0.0014609. Portanto, 5

√d(p, rel)

(1√11σ(I)

)=

0.2709718.Uma matriz geradora para D5-rotacionado e dada por:

A =

0.625625 0.922903 0.781753 0.378638 0.04835610.285843 0.270866 −0.129715 −0.71842 −1.145410.141151 −0.426994 −0.874547 −0.156128 1.00426−0.0483561 −0.625625 0.378638 0.922903 −0.781753−0.22251 −0.0927946 0.766776 −1.05262 0.49591

Reticulado E7

O reticulado E7 pode ser visto como um sub-reticulado do reticulado E8 [3], ou gerado pelosvetores (2, 0, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 2, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 2, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 2, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 0, 1, 0, 0),(0, 1, 1, 1, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 1, 1, 0, 1).

Temos que nao existe corpo K = Q(ζn + ζ−1n ) tal que [K : Q] = 7. Em [6] e apresentado

uma construcao para o reticulado Z7-rotacionado via um subcorpo K ⊆ Q(ζ29 + ζ−129 ) tal que

[K : Q] = 7, atraves da chamada construcao cıclica. Utilizando o fato de E7 ser um sub-reticulado de Z7 e possıvel encontrar um versao rotacionada de E7 contida em Z7.

Como este reticulado E7-rotacionado e um sub-reticulado do reticulado Z7-rotacionado,temos que sua distancia produto mınima e limitada inferiormente pela distancia produto mınima

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do reticulado Z7-rotacionado, que e dada por 7

√dp,min(Z7) = 0.23618. Como a norma mınima

de E7 e√

2 temos que tirar o fator de correcao e com isso temos que 7

√dp,rel(E7) ≥ 0.16700479.

Uma matriz geradora para o reticulado E7-rotacionado e dada por

A =

−1.36187 0.326205 −0.897706 0.154763 0.164643 0.55111 −0.9371420.326205 −0.897706 0.154763 0.164643 0.55111 −0.937142 −1.36187−0.897706 0.154763 0.164643 0.55111 −0.937142 −1.36187 0.3262050.154763 0.164643 0.55111 −0.937142 −1.36187 0.326205 −0.897706−0.884365 0.067186 −0.757721 −0.245679 0.0524079 −1.32281 −0.9090240.067186 −0.757721 −0.245679 0.0524079 −1.32281 −0.909024 −0.884365−0.757721 −0.245679 0.0524079 −1.32281 −0.909024 −0.884365 0.067186

.

Reticulado E8

O reticulado E8 e definido por

E8 = {(x1, · · · , x8);xi ∈ Z, ∀i = 1, · · · , 8 ou xi ∈ Z + 1/2, ∀i = 1, · · · , 8 e8∑i=1

xi e par}.

Para n = 17, 32, 34, 40, 48, 60, K = Q(ζn+ζ−1n ) tem-se [K : Q] = 8. Para n = 17, 32, 34, 40, 48

utilizamos o software “Mathematica” para procurar por α e I satisfazendo as Equacoes (1) e(2). Atraves de tal busca nao conseguimos reproduzir o reticulado E8-rotacionado em tais corposvia ideais. Como nossa busca so percorreu uma parte dos ideais de OK nao podemos garantirque nao e possıvel reproduzir tal reticulado nestes corpos. Para o corpo K = Q(ζ60 + ζ−1

60 ) foipossıvel obter tal reticulado. Sejam e0 = 1 e ei = ζi60 + ζ−i60 para i = 1, · · · , 7. Utilizando o idealprincipal I = (−2− e1 − e2 − e4 + e5 + 2e6 + e7)OK e o elemento α = 2− 2e2 − e4 + 3e6, temosque o reticulado 1√

60σα(I) e um E8-rotacionado com diversidade maxima e distancia produto

mınima relativa 0.00000347222. Portanto, 8

√d(p, rel)

(1√60σ(I)

)= 0.2077666.

Para o corpo K = Q(ζ17 + ζ−117 ) podemos reproduzir o reticulado E8-rotacionado como um

sub-reticulado do reticulado Z8-rotacionado construıdo em [1] atraves do Z-modulo I1 com Z-

base{−2,−e1,−e2,−e3,−e4,−e5,−e6,

82e8 + 7

2e7 + · · ·+ 22e2 + 1

2e1

}e do elemento α = 2− e1.

Temos que o reticulado 1√17σα(I1) e um reticulado E8-rotacionado com distancia produto mınima

relativa satisfazendo 8

√dp,rel

(1√17σα(I)

)= 0.102360784. Embora o discriminante de Q(ζ17+ζ−1

17 )

seja menor do que o discriminante de Q(ζ60+ζ−160 ) temos que a distancia produto mınima relativa

obtida via Q(ζ60 + ζ−160 ) e maior do que a obtida via Q(ζ17 + ζ−1

17 ).Uma matriz geradora para o reticulado σα(I) e dada por:

A =

2.8312 0.1379 22.7389 0.9099 3.0212 19.6008 6.3796 0.23585.6315 0.2050 18.4975 0.3783 1.2563 15.9447 9.4819 0.46905.5387 0.0288 30.4306 1.6625 5.5201 26.2311 1.3337 0.46135.3853 0.1621 43.2520 1.0697 3.5517 37.2831 7.4997 0.44855.1729 0.2698 4.7537 1.2177 4.0432 4.0977 12.4804 0.43084.9038 0.2389 39.3849 1.5760 5.2329 33.9497 11.0498 0.40844.5810 0.0852 36.7923 0.5623 1.8672 31.7149 3.9428 0.38154.2080 0.1122 9.4553 1.8099 6.0094 8.1505 5.1896 0.350

5 Conclusoes

Neste trabalho apresentamos a construcao dos reticulados mais densos nas dimensoes 2,3,4,5,7e 8 com diversidade maxima. Esses reticulados podem ser utilizados em transmissoes de sinais

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que utilizam canais gaussianos e do tipo Rayleigh com desvanecimento. Existem algumas con-strucoes conhecidas de reticulados Zn-rotacionados nas dimensoes estudadas com distancia pro-duto mınima maior que as obtidas aqui, porem a densidade de empacotamento do reticulado Zne menor que a densidade de empacotamento dos reticulados analisados neste trabalho. A tabelaabaixo relaciona a distancia produto mınima relativa de construcoes conhecidas do reticuladoZn-rotacionado com as construcoes aqui apresentadas, bem como a densidade de centro. Noteque quando a dimensao vai aumentando a densidade de centro do reticulado Zn vai ficando ex-pressivamente menor que a densidade de centro dos reticulados construıdos e a distancia produtomınima dos reticulados algebricos construıdos diminui em proporcoes menores.

n n

√dp,rel(Zn) n

√dp,rel(Λ) δ(Zn) δ(Λ)

2 0, 66870 0, 5 0, 25 0,288675

3 0, 522757 0, 36965 0, 125 0, 17677

4 0, 385553 0, 3242059 0, 062500 0, 125000

5 0, 383215 0, 2709718 0, 03125 0, 08838

7 0, 23618 ≥ 0, 1670048 0, 0078125 0, 0625

8 0, 289520 0, 2077666 0, 003906 0, 0625

Tabela 1: Distancia produto relativa versus densidade de centro

Referencias

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ISSN 1984-8218