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Resumen de Clases
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GEOMETRÍA PLANA
ÁNGULOS
Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.
Dos ángulos son suplementarios si suman
180°.
TEOREMAS LÍNEAS
Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales
<BOD = <COA
Ángulos correspondientes
Las parejas de ángulos: <1 y <5; <2 y <6; <4 y <8; <3 y <7 se llaman ángulos
correspondientes, y son congruentes.
Alternos externos
Las parejas de ángulos: <1 y <7; <2 y <8 se llaman ángulos alternos externos, y son
congruentes.
Alternos internos
Las parejas de ángulos: <4 y <6; <3 y <5 se llaman ángulos alternos internos, y son
congruentes.
DATOS IMPORTANTES - TRIÁNGULOS
En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual a
180°.
En el triángulo ABC se cumple: x + y + z =180°
En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos exteriores considerando
uno por vértice es igual a 360°.
En el triángulo ABC, se cumple: x + y +z = 360°
En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las
medidas de dos ángulos interiores no adyacentes a él.
En el triángulo ABC se cumple: c = a + b
La suma de dos lados es mayor que el tercero.
En todo triángulo la longitud de un lado es mayor que la diferencia de las
longitudes de los otros dos y menor que la suma de las mismas (propiedad
existencia).
En el triángulo ABC, sea: a ≥ b ≥ c
Se cumple: b-a<a<b+c
Al ángulo mayor se opone el lado mayor y al ángulo menor se opone el lado
menor.
En todo triángulo al lado de mayor longitud se le opone el ángulo de mayor
medida y viceversa (propiedad de correspondencia).
En el triángulo ABC, si: a>c
Entonces: x>z
En un triángulo isósceles los ángulos de la base son congruentes.
S i un t r iángulo t iene dos lados iguales ,
sus ángulos opuestos también son iguales .
En un triángulo equilátero todos los ángulos interiores son congruentes.
Teoremas Adicionales
En la figura se cumple: X = w + y + Z
En la figura del triángulo ABC y COD presentan un ángulo interior opuesto por el
vértice.
Se cumple: W + X = Y + Z
En la figura se cumple: X + Y = W + Z
En la figura, P es un punto interior al Triángulo ABC; se cumple:
p < PA + PB + PC < 2p
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma
de los cuadrados de los catetos.
Teorema de Tales
Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente
(realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez,
consecuencia del mismo):
Si dos rectas cualesquieras (r y s) se cortan por varias rectas
paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una
de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos
correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Dados los t r iángulos ABC y
A'B 'C' determinamos los
lados y ángulos homólogos.
Lados homólogos:
a y a ' , b y b ' , c y c '
Ángulos homólogos:
Dos t r iángulos son semejantes cuando t ienen sus ángulos homólogos
iguales y sus lados homólogos proporcionales .
CRITERIOS DE SEMEJANZA
Dos t r iángulos son semejantes s i t ienen dos ángulos iguales .
Dos t r iángulos son semejantes s i t ienen los lados proporcionales .
Dos t r iángulos son semejantes s i t ienen dos lados
proporcionales y el ángulo comprendido entre e l los igual .
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Dos t r iángulos rectángulos son semejantes s i t ienen un ángulo
agudo igual .
Dos t r iángulos rectángulos son semejantes s i t ienen los dos
catetos proporcionales .
Dos t r iángulos rectángulos son semejantes s i
t ienen proporcionales la hipotenusa y un cateto .
TEOREMA DE PROPORCIONALIDAD DEL TRIÁNGULO
Si una recta paralela a un lado de un triángulo intersecta los otros dos lados del
triángulo, entonces la recta divide esos dos lados proporcionalmente.
Si
FÓRMULAS SOBRE TEOREMAS DE POLÍGONOS.
✿ Teorema: La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 180° (n −
2), donde “n” es el lado, o mejor, el número de lados del polígono.
EJEMPLO:
• Calcular la suma de los ángulos interiores de un
pentágono regular.
Suma de ángulos interiores = 180(n-2)
Suma de ángulos interiores = 180(5-2)
Suma de ángulos interiores = 180(3)
Suma de ángulos interiores = 540°.
✿ Teorema: Si se quiere calcular el ángulo interior de algún polígono, éste debe ser
regular, el valor de cada uno de sus ángulos es el mismo y es igual a la división de la
suma de los ángulos interiores entre “n”.
Ángulo interior = 180° (n−2)
𝑛
✿ Teorema: La suma de los ángulos exteriores de un polígono es de 360°.
Ángulo exterior = 360
𝑛
✿ Teorema: El número de diagonales que pueden trazarse desde los vértices de un
polígono es igual al producto de n(n − 3) y todo ello dividido entre 2.
# de / = n(n−3)
2
Dos polígonos son semejantes cuando tienen los ángulos homólogos
iguales y los lados homólogos proporcionales .
CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es una l ínea curva
cerrada cuyos puntos están todos a la misma
distancia de un punto f i jo l lamado centro .
LONGITUD DE CIRCUNFERENCIA
La longitud de una ci rcunferencia es igual a pi por el
d iámetro .
La longitud de una ci rcunferencia es igual a 2 pi por el
radio .
Ángulos en la circunferencia
Ángulo central
E l ángulo central t iene su vért ice en e l centro de
la circunferencia y sus lados son dos radios .
La medida de un arco es la de su ángulo
central cor respondiente.
Ángulo inscrito
El ángulo inscr i to t iene su vért ice está en
la circunferencia y sus lados son secantes a el la.
Mide la mitad del arco que abarca.
Ángulo semi inscrito
E l vért ice de ángulo semi inscr i to está en
la circunferencia , un lado secante y el
otro tangente a e l la.
Mide la mitad del arco que abarca.
Ángulo interior
Su vért ice es inter ior a la ci rcunferencia y sus lados
secantes a e l la.
Mide la mitad de la suma de las medidas de
los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones
de sus lados.
Ángulo exterior
Su vért ice es un punto exter ior a la ci rcunferencia y los lados de sus
ángulos son: o secantes a e l la, o uno tangente y otro secante ,
o tangentes a el la:
Mide la mitad de la diferencia entre las medidas
de los arcos que abarcan sus lados sobre la ci rcunferencia.
Posiciones relativas de un punto respecto a una circunferencia
CENTROS DE UN TRIÁNGULO
Incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo que la
distancia a cada uno de sus lados es la misma (el radio de dicha circunferencia).
Más concretamente, es el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de
los ángulos del triángulo (siendo una bisectriz la recta que divide a un ángulo en
dos ángulos iguales), por lo que para representarlo gráficamente debemos dibujar
las tres bisectrices y localizar el punto de intersección de las mismas. En la imagen
siguiente podéis verlo:
Baricentro
El baricentro (también llamado centroide) de un triángulo es el punto de
intersección de las medianas de dicho triángulo (siendo una mediana el segmento
que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Por ello, para representar
gráficamente el baricentro debemos dibujar las tres medianas y localizar el punto
en el que se cortan. Esta figura muestra el baricentro de un triángulo:
Circuncentro
El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al
triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma (el radio
de dicha circunferencia). En concreto, es el punto de intersección de las
mediatrices del triángulo (siendo una mediatriz la recta perpendicular a un lado
que pasa por el punto medio del mismo). Por tanto, para representar gráficamente
el circuncentro dibujamos las tres mediatrices y localizamos el punto de
intersección de las mismas. Puede verse el circuncentro de un triángulo en la
siguiente imagen:
Ortocentro
El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del
triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un vértice y es perpendicular
al lado opuesto a dicho vértice). Entonces para representar gráficamente el
ortocentro de un triángulo dibujamos las tres alturas y nos quedamos con el punto
en el que se intersecan. En esta figura puede verse el ortocentro de un triángulo:
En la entrada de presenta
]
Spiegel, M. & Ab
TEOREMA DEL COSENO
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente
opuestos a estos ángulos entonces:
TEOREMA DEL SENO
En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el
seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y C
ÁREA DE UN TRIÁNGULO
Conociendo la base y la altura
Conociendo dos lados y el ángulo que forman.
e
l
l
a
n
a
s