Restoring Solution of Electric Network Equations: An Approach Using the Augmented Lagrangean Algorithm

Abstract— This paper presents and discusses a new, robust

approach for restoring solvability of the electric network equations in power systems. The unsolvable power flow is modelled as a constrained optimization problem. The cost function is the squared sum of the real and reactive power mismatches at the electric system buses which are subject to suffer load shedding. The equality constraints are the real and reactive power mismatches at null injection buses and/or at buses whose power demands must be integrality supplied due to technical and/or economical criteria. The mathematical model is solved using an algorithm based on Augmented Lagrangean function method which takes into account the special structure of the proposed problem. The inner iterations of the proposed methodology are solved using the Levenberg-Marquardt (LM) algorithm. Numerical results for both IEEE test systems and a real equivalent electric system corresponding to Brazil South-Southeast region are presented in order to analyze and test the performance of the proposed methodology.

Keywords— Unsolvable power flow, Restoring solvability of the electric network equations, Augmented Lagrangean method, Levenberg-Marquardt algorithm.

I. INTRODUÇÃO

TUALMENTE, observa-se que os sistemas elétricos de potência operam cada vez mais próximos de seus limites.

Vários são os fatores que podem ser citados, entre eles: - aumento rápido e desordenado das demandas de

potências; - falta de investimento na ampliação dos sistemas de

transmissão; - problemas relacionados a impactos ambientais

resultantes da construção de novas unidades geradoras; - tempo necessário para que melhorias e conservação no

sistema elétrico sejam planejados e executados; - tendência e necessidade das indústrias elétricas de

obterem lucros cada vez maiores. Considerando os aspectos anteriormente citados, não é

incomum que os sistemas de potência operem em condições de carregamento que não possam ser supridas pela rede

L. V. Barboza, Instituto Federal Sul-rio-grandense, Pelotas, RS, Brasil,

[email protected] J. B. Francisco, Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC),

Florianópolis, SC, Brasil, [email protected] M. C. Zambaldi, Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC),

Florianópolis, SC, Brasil, [email protected]

elétrica existente. Nestes casos, os sistemas elétricos podem ficar sujeitos ao fenômeno conhecido como instabilidade de tensão [1]. Assim, é necessário atuar sobre os controles do sistema e/ou, em último caso, realizar pequenos ajustes nas demandas (corte de carga) de modo a restaurar a solução das equações do fluxo de potência.

De uma forma geral, as regiões de solução das equações estáticas do fluxo de carga podem ser classificadas em [2]:

- região sem solução: na qual as equações do fluxo de carga não apresentam solução real. Esta região pode ser atingida pelo sistema devido a altos níveis de demandas ou à perda de importantes circuitos no sistema de transmissão.

- região de emergência: na qual as equações estáticas do fluxo de carga apresentam, no mínimo, duas soluções reais, sendo que uma delas é utilizada como ponto operacional para a rede. Nesta região, é permitido que alguns limites operacionais possam ser violados. Assim, o sistema elétrico pode ser operado nesta região por breves períodos de tempo.

- região de operação normal: as equações do fluxo de carga apresentam solução real e nenhum limite operacional é violado. É desejável que os sistemas de potência operem nesta região.

Na literatura são propostas várias abordagens para restaurar

a solução das equações da rede elétrica. Em [3]−[5], simples extensões do fluxo de potência via Newton-Raphson são propostas. Uma estratégia de controle do comprimento do passo é agregada ao algoritmo de Newton de modo a evitar a divergência do processo iterativo. Quando as equações do fluxo de potência não possuem solução real, o comprimento do passo da iteração tende para zero.

Em [6] é proposta uma estratégia de restauração que combina o controle de passo no fluxo de potência em coordenadas retangulares sugerida em [4] com informações fornecidas pelo autovetor à esquerda associado ao autovalor nulo da matriz Jacobiana singular. Esta abordagem está baseada em [7]. O objetivo principal dessa proposta é obter um ponto de operação o mais próximo possível das demandas de potências inicialmente programadas.

Em [8] é proposta uma técnica de otimização baseada no algoritmo de pontos interiores. Nesta abordagem, embora o modelo matemático que descreve a rede elétrica seja mais complexo, uma solução mais realística é obtida para a

L. V. Barboza, J. B. Francisco and M. C. Zambaldi

Restoring Solvability of the Electric Network Equations: An Approach Based on the

Augmented Lagrangean Algorithm

A

670 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 8, NO. 6, DECEMBER 2010

operação do sistema. Por outro lado, em [9] é discutida uma técnica de

otimização baseada no algoritmo do método de Newton na qual somente as restrições de igualdade são modeladas. Esta abordagem utiliza a estratégia de controle do passo associada ao método de Gauss-Newton aplicado às iterações iniciais.

Neste trabalho é proposto modelar o problema do mínimo corte de carga como em [9]. A diferença principal é que a estrutura especial do problema é explorada na sua solução. A abordagem baseia-se no método do Lagrangeano Aumentado e no algoritmo de Levenberg-Marquardt para a solução das iterações internas resultantes. Além da vantagem de resolver um problema com restrições através de uma sequência de problemas irrestritos (ou, pelo menos, problemas mais simples do que o original), o método do Lagrangeano Aumentado apresenta boas características de convergência. Uma outra vantagem é que o processo de solução se reduz ao método de Levenberg-Marquardt para sistemas lineares nos casos em que as equações do fluxo de potência apresentem solução real.

O artigo é organizado da seguinte forma. A seção II discute o equacionamento matemático utilizado para modelar o problema do mínimo corte de carga. O método do Lagrangeano Aumentado e o algoritmo de Levenberg-Marquardt são apresentados e discutidos na seção III. Os resultados numéricos obtidos com a aplicação da metodologia proposta a sistemas elétricos (hipotéticos e reais) são mostrados e analisados na seção IV. As conclusões e observações finais são comentadas na seção V.

II. O PROBLEMA DO MÍNIMO CORTE DE CARGA

O problema de restauração da solução das equações da rede elétrica pode ser modelado como um problema de mínimo corte de carga formulado da seguinte forma

12

( ) ( )

. . ( ) 0

TMin

s a =

f x f xg x

(1)

onde f corresponde ao vetor com os balanços de potências ativa e reativa nas barras disponibilizadas ao corte de carga; g é o vetor com os balanços de potências ativa e reativa nas barras de injeção nula e naquelas onde as demandas de potências devem ser integralmente atendidas; e x é o vetor com as variáveis de otimização. Neste estudo, o vetor x corresponde a

[ ]T=x V δ (2)

onde o vetor V corresponde às magnitudes de tensão nas barras PQ e δ é o vetor com os ângulos de fase das tensões complexas em todas as barras do sistema elétrico, com exceção da barra de folga.

Observe que o modelo matemático de otimização enunciado em (1) é um típico problema de mínimos quadrados não-linear com restrições. Este fato induz à necessidade de técnicas matemáticas que levem em consideração esta característica especial do problema.

Considerando e G GP Q as potências ativa e reativa

geradas, respectivamente, e e d dP Q as potências ativa e

reativa das demandas, respectivamente, os balanços de potências contidos no vetor f e g são expressos por

( )( )

, 0

, 0

i i

i i

calci G d

calci G d

P P P

Q Q Q

− + =

− + =

V

V

δ

δ (3)

onde e calc calcP Q são as injeções de potências ativa e reativa,

respectivamente, calculadas em função das variáveis de otimização; e o índice i corresponde às barras da rede elétrica.

Todos os balanços de potências ativa e reativa nas barras de injeção nula devem ser modelados no vetor g por critérios técnicos. Durante o processo iterativo, os balanços de potências contidos neste vetor serão obrigatoriamente respeitados e, portanto, ao final do processo, estes balanços serão satisfeitos. Usando desta característica da metodologia proposta, pode-se adicionar ao vetor g outros balanços de potências que se deseje sejam satisfeitos na solução. Por exemplo, poder-se-ia citar o caso em que haja contratos restritivos de energia entre dois agentes do sistema elétrico. Nesse caso, os balanços de potências ativa e reativa na barra corresponde ao agente consumidor devem ser adicionados a esse vetor.

III. O ALGORITMO DO LAGRANGEANO AUMENTADO

O problema de otimização (1) pode ser modificado para

21

2( )

. . ( ) 0

Min

s a =

f xg x

(4)

onde o símbolo corresponde à norma euclidiana.

Observe que, se as equações não-lineares da rede elétrica possuem solução real, o problema (4) fica reduzido à

determinação do vetor ∗x tal que

( )

0( )

∗

∗

=

f x

g x (5)

O procedimento utilizado para a solução de (4) está

baseado em avanços obtidos na teoria do Lagrangeano Aumentado [10]−[13], incluindo a utilização do método de Levenberg-Marquardt [14][15] para a solução das equações não-lineares das iterações internas.

A função Lagrangeana aumentada associada à (4) é

( ) 2 212

£ , , ( ) ( ) ( )2

T ρρ = + +x f x g x g xλ λ (6)

onde λ é o vetor com os multiplicadores de Lagrange e 0ρ >

é o fator de penalidade associado.

BARBOZA et al.: RESTORING SOLUTION OF ELECTRIC 671

A. Lagrangeano Aumentado – Iteração Externa

O método depende basicamente de um conjunto de parâmetros que são necessários para assegurar a convergência do problema para pontos estacionários (ver [11] e [13] para maiores detalhes). Um conjunto usual de parâmetros para este tipo de problema é fornecido na seção IV. Desse modo, as iterações externas do Lagrangeano aumentado podem ser colocadas na forma do algoritmo apresentado a seguir. Considere ( ) ( ) e k kε υ sequências de números reais não-

negativos que convirjam para zero, onde k é o índice da iteração.

Passo 0: faça ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )0, 0, 0, 0, , ,k k k k kk ε υ ρ += > > > x λ

1 21 e (0,1).ζ ζ γ< ≤ < ∞ ∈

Passo 1: faça ( 1) ( ) ( ) ( )min{ , ( ) }.k k k kτ ε υ+ = g x

Passo 2: determine ( 1)k +x tal que

( )( 1) ( 1) ( 1) ( 1)£ , ,k k k kρ τ+ + + +∇ ≤x x λ (7)

Passo 3: se ( )( 1) 0k + =g x e

( )( 1) ( 1) ( 1)£ , , 0:k k kρ+ + +∇ =x x λ

- encerre o algoritmo e considere ( 1)k +x como um ponto

estacionário de (4) com os multiplicadores de Lagrange

( 1)k +λ associados a ( 1) .k +x

- caso contrário, vá para o Passo 4. Passo 4: atualize o vetor com os multiplicadores de

Lagrange, fazendo ( )( 1) ( ) ( ) ( 1) .k k k kρ+ += + g xλ λ

Passo 5: se ( ) ( )( 1) ( ) :¥ ¥k kγ+ ≤g x g x

- ( 1) ( )k kρ ρ+ ←

- caso contrário, ( 1) 1 ( ) 2 ( ),k k kρ ζ ρ ζ ρ+ ∈

Passo 6: faça 1k k= + e retorne ao Passo 1. Uma das principais características do método do

Lagrangeano aumentado é possuir boas propriedades de convergência. Considere que ( )kx seja a sequência de solução

gerada pelo algoritmo apresentado e ∗x um de seus pontos de acumulação, então os seguintes resultados podem ser verificados [10][11]:

(i) ∗x é um ponto estacionário de

2( )

. . n

Min

s a x ∈

g x

R

(ii) se ∗x é factível, isto é, ( ) 0∗ =g x e a matriz Jacobiana

( )∗G x possui posto completo, então ∗x satisfaz as

condições de Karush-Kuhn-Tucker de (4), ou seja, ∗x é um ponto estacionário do problema original.

B. Algoritmo de Levenberg-Marquardt – Iteração Interna

Para cada iteração do método do Lagrangeano aumentado, aqui denotada por iteração externa, é necessário determinar um vetor x que satisfaz (7), aqui denominada iteração interna. Esta tarefa pode ser realizada minimizando a função Lagrangeana (6). A abordagem proposta neste trabalho prevê a utilização da estrutura especial do problema em questão, gerando um algoritmo próprio de solução para as iterações internas. Observe que

( ) 2 212

22 21 1

2 2

2

212

£ , , ( ) ( ) ( )2

1( ) ( )

2

0( ) 1

( ) 2

T ρρ

ρρρ

ρ ρρ

= + + =

= + + − =

= + −

x f x g x g x

f x g x

f xg x

λ λ

λ λ

λλ

(8)

Assim, recordando que os valores do vetor λ e do

parâmetro ρ são fixos durante a iteração interna, obtem-se que

( )£ , ,Min ρx λ (9)

é o mesmo que

2

12

0( )

( )Min

ρρ

+

f xg x

λ (10)

que corresponde a um problema não-linear de mínimos quadrados.

Neste estudo, é proposta a utilização do método de Levenberg-Marquardt [14]−[16] para resolver (10) devido ao fato de que não são necessárias informações de segunda ordem para a sua solução.

Considere a função ( )h x definida por

0( )

( )( )ρ

ρ

= +

f xh x

g xλ (11)

e seja a matriz Jacobiana de h avaliada em x denotada por

( ).H x Como na iteração externa, é necessário avaliar (7), é

conveniente expressar este gradiente em termos da matiz H, isto é,

( )£ , , [ ( )] ( )Tρ∇ = Hx x x h xλ (12)

Para descrever o procedimento de solução, considere o

vetor ( )ky como uma aproximação para a solução da iteração


interna. O método de Levenberg-Marquardt (LM) utiliza uma direção de busca que é a intersecção das direções geradas pelos métodos de Gauss-Newton e do Gradiente descendente.

A cada iteração do algoritmo LM, a direção de busca LMd é determinada pela minimização do quadrado do modelo de Gauss-Newton adicionado por um termo de regularização, ou seja,

( ) ( ) 2 2( ) ( ) ( ) ( )LMk k k kMin μ = + +

Hd y d h y d (13)

onde ( ) 0,kμ > conhecido como parâmetro de Levenberg-

Marquardt, é um escalar adequadamente escolhido. Assim, o

método continua realizando a busca linear da direção ( )LMkd

iniciando a partir de ( ) .ky

Utilizando as condições de otimalidade de primeira ordem

para (13), a direção ( )LMkd é a solução do seguinte sistema

linear

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

T T

k k k k k kμ + = − H H U Hy y d y h y (14)

onde U é a matriz Identidade.

Observe que a solução de (14) exige o cálculo da matriz

.TH H A literatura mostra que o número de condicionamento desse produto matricial corresponde ao quadrado do número de condicionamento da matriz H [17] e que, conforme o sistema elétrico vai ficando com um nível de carregamento mais elevado, esse número de condicionamento aumento significativamente. Dessa forma, o sistema linear (14) é muito mal condicionado e técnicas convencionais de fatoração de matrizes podem normalmente apresentar resultados inesperados devido a instabilidades numéricas. Uma abordagem eficiente para tratar desse problema é considerar (13) como um problema linear de mínimos quadrados, isto é,

( ) ( )

2

( ) ( )

( ) 0

k k

k

Minμ

H

U

y h yd + (15)

Com a formulação proposta em (15), é possível a utilização

de técnicas adequadas que façam uso dessa estrutura especial da matriz

( )( )

( )

k

kμ

H

U

y

e, uma abordagem conveniente, por exemplo, é o uso da fatoração QR. 1) A Escolha do Parâmetro μ

O parâmetro μ é de fundamental importância no processo

de convergência do método LM. Quando a sequência de

iterações internas converge para um ponto ∗y que é a solução

do sistema não-linear (12), uma escolha adequada para μ, na

iteração k, é ( )( ) ( ) ,k kμ μ= h y para algum 0.μ > Nesse

caso, a sequência de iterações apresenta uma convergência local quadrática [15].

Por outro lado, nesse estudo, é suposto que o sistema não-linear (12) possa não apresentar solução real. Assim, será utilizada a estratégia de Barzilai-Borwein [18][19] para a escolha do parâmetro μ. Para um escalar fixo 2 0,μ > na

iteração k, o parâmetro LM é escolhido como

( )( ) 2 ( )min ,k k auxμ μ μ = h y (16)

onde o fator auxμ é determinado baseado em [13]. Para um

escalar fixo 0 ,min maxσ σ< <

( )max , min ,aux min max kμ σ σ σ = (17)

na qual ( )kσ é a solução de

( ) ( )2

( ) ( ) ( ) ( )

T

k k k kMinσ

σ∈

+ − H H Uy y s z

R (18)

com

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1)

T T

k k k k k− −= −H Hz y h y y h y (19)

( ) ( ) ( 1)k k k −= −s y y (20)

onde ( 1) ( )e k k−y y são duas soluções sucessivas para a

iteração interna. De (18), obtem-se uma expressão fechada para o parâmetro

( ) ,kσ que é

( ) 2

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

Tk k k k

k Tk k

σ−

=Hz s y s

s s (21)

2) O Algoritmo LM

O algoritmo Levenberg-Marquardt pode ser resumido nos passos a seguir. Considere o processo iterativo externo na iteração j e, portanto, ( ) ( ) ( ) ( ), , e j j j jτ ρx λ são valores

conhecidos.

Passo 0: faça 1 20, 0, 0,0 ,min maxk μ μ σ σ← ≥ > < < < ∞

1 2 ( ) ( ), , (0,1) e .k jη η β ∈ ←y x

Passo 1: monte o vetor h de acordo com (11) e calcule


( ) ( )( ) ( ) e .k kHh y y Se ( ) ( )( ) ( ) ( ) :T

k k jτ≤H y h y

- encerre o laço iterativo interno e faça ( ) .k←x y Isso

satisfaz (7). - caso contrário, vá para o Passo 2.

Passo 2: se 0 :k = - faça ( ) 1.kσ =

- caso contrário, calcule ( ) ( ) e k kz s de acordo com (19)

e (20), respectivamente, e avalie ( )kσ como em (21).

Passo 3: escolha do parâmetro μ. Se 0 :k =

- faça ( )( ) 1 ( ) .k kμ μ= h y

- caso contrário, calcule auxμ usando (17) e ( )kμ

usando (16).

Passo 4: determine ( )LMkd usando (13).

Passo 5: se ( ) ( )( ) ( ) 1 ( ) :LMk k kh y d h yη+ ≤

- faça ( ) 1.kt =

- caso contrário, escolha ( ) max{ | 1, 2,...}ikt iβ= =

satisfazendo

( ) ( ) ( ) ( )2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )2 Tk k k k k k k kh y t d h y t d y h yη+ ≤ + H

(busca linear para a determinação do comprimento do passo ( )kt de modo a satisfazer a condição de

Armijo).

Passo 6: faça ( 1) ( ) ( ) ( ) .LMk k k kt+ = +y y d

Passo 7: faça 1k k← + e retorne ao Passo 1. De modo a se garantir a convergência para um ponto

estacionário de (10), uma busca linear é realizada ao longo da

direção ( )LMkd no Passo 5 [14][15]. Desse modo, fica

assegurado que (7) será satisfeita após um número finito de iterações internas.

IV. RESULTADOS NUMÉRICOS

Esta seção analisa o desempenho da metodologia proposta aplicada a dois sistemas elétricos: um do IEEE e outro correspondendo à região Sul-Sudeste do Brasil (SSB). Os testes foram realizados em um computador PC com processador AMD Athlon™ 3000+, com clock de 398 MHz, ambiente Windows, sistema operacional XP e com memória RAM de 512 MB. Em todos os experimentos realizados, o método iterativo foi considerado convergido quando a norma infinita das condições de Karush-Kuhn-Tucker apresentou

valor inferior a 410 .− A Tabela I apresenta as principais características

topológicas das redes testadas. Nesta, as colunas nb, nc, ng e nbc são, respectivamente, o número de barras, o número de circuitos (incluindo linhas de transmissão e transformadores),

o número de barras de geração e o número de barras com demanda de potências ativa e reativa da rede elétrica.

TABELA I

CARACTERÍSTICAS PRINCIPAIS DOS SISTEMAS TESTE

Sistema nb nc ng nbc

IEEE 118 179 34 74

SSB 340 684 53 184

Três testes foram realizados para a análise de cada sistema

elétrico, a saber: - Teste A: considerado como caso base. Para esse nível de

carregamento, as equações da rede elétrica possuem solução real e, portanto, não há necessidade de se realizar corte de carga no sistema. Neste caso, então, um fluxo de potência convencional baseado em Newton-Raphson, por exemplo, fornece o ponto de operação do sistema elétrico.

- Teste B: o nível de carregamento da rede é aumentado de modo que um fluxo de potência convencional não mais converge, portanto, não mais fornecendo solução para as equações da rede elétrica. Entretanto, neste caso, se um adequado redespacho de geração for realizado, é possível restaurar a solução real para as equações da rede.

- Teste C: o nível de carregamento da rede é aumentado ainda mais de modo que, mesmo com redespacho de geração, as demandas totais de potências ativa e reativa não mais conseguem ser atendidas pela configuração topológica atual da rede elétrica. Neste caso, como último recurso de operação, é necessário fazer-se um corte de carga parcial nas demandas.

Para verificar a qualidade da solução fornecida pela

metodologia proposta, esta foi comparada com os resultados fornecidos pela técnica proposta em [9], cuja a abordagem está baseada no bem conhecido método de Newton de otimização [12] aplicado às condições de KKT do problema (4), também conhecido como método de Newton-Lagrange. Utilizou-se “Algoritmo A” para a metodologia proposta neste trabalho e “Algoritmo B” para a abordagem apresentada em [9].

No caso da necessidade de realizar corte de carga na rede elétrica, utilizou-se um índice para medir “o grau de falta de solução” (icc) formulado como

( )

100%tot tot

tot

prog suprd d

progd

P Picc

P

−= ⋅ (22)

onde e tot tot

prog suprd dP P correspondem às demandas totais de

potência ativa programadas e efetivamente supridas pela rede elétrica, respectivamente.

Os parâmetros que são necessários para a realização das


iterações interna e externa estão especificados na Tabela II. Apesar da ampla faixa de escolha, neste estudo foram utilizados os parâmetros sugeridos em [14][15].

TABELA II

PARÂMETROS UTILIZADOS NA ABORDAGEM PROPOSTA (A LETRA DENTRO DOS

PARÊNTESES CORRESPONDE AO NÚMERO DA ITERAÇÃO)

Iteração externa Iteração interna

(1)

1

2

1

( )

1

( )

10

10

10

0,25

10

210

2

k k

k k

ρζζγ

ε

υ

−

−

===

=

=

=

1

25

3

12

2

0

10

5.10

2.10

0,99995

10

0,7

min

max

μ

μσσηηβ

−

−

=

===

==

=

A. Sistema Teste do IEEE

Para esse sistema elétrico, os testes foram realizados nos seguintes níveis de carregamento:

- Teste A: 6.187,5 MW e 2.159,1 MVAr (caso base – valores totais de demanda).

- Teste B: o carregamento do caso base foi incrementado em 10% (6.802,2 MW e 2.375,0 MVAr).

- Teste C: o carregamento do caso base foi incrementado em 15% (7.115,6 MW e 2.483,0 MVAr).

Em todos os testes, para fins comparativos, a geração total

de potência ativa no sistema foi programada em 6.882,4 MW. Primeiramente, são mostrados os resultados em termos de

suprimento das demandas programadas. As tabelas III, IV e V apresentam os resultados para os testes A, B e C,

respectivamente. Nessas tabelas, e tot tot

supr suprd dP Q são as

demandas totais de potências ativa e reativa efetivamente

supridas pelo sistema elétrico e tot

redGP corresponde à geração

total de potência ativa.

TABELA III QUALIDADE DE RESULTADOS – IEEE – TESTE A

Índice Algoritmo A Algoritmo B

sup

tot

rdP (MW) 6.187,5 6.187,5

sup

tot

rdQ (MVAr) 2.159,1 2.159,1

tot

redGP (MW) 6.883,2 6.882,4

icc (%) 0 0

TABELA IV QUALIDADE DE RESULTADOS – IEEE – TESTE B


suptot

rdP (MW) 6.803,7 6.806,2

suptot

rdQ (MVAr) 2.374,7 2.375,0

tot

redGP (MW) 8.155,8 8.176,2

icc (%) 0 0

TABELA V

QUALIDADE DE RESULTADOS – IEEE – TESTE C


suptot

rdP (MW) 6.986,6 6.986,6

suptot

rdQ (MVAr) 2.465,3 2.465,2

tot

redGP (MW) 8.543,6 8.543,6

icc (%) 1,81 1,81

Os resultados apresentados nas tabelas III, IV e V

comprovam a exatidão da metodologia proposta. Observe que nos testes B e C não há necessidade de se realizar corte de carga. No teste B, basta realizar um redespacho de geração de potência ativa (de 8.155,8 MW para 8.176,2 MW) para que as equações da rede elétrica sejam restauradas. Entretanto, no teste C, é necessário um corte de carga de aproximadamente 1,81% sobre as demandas totais. Nesse caso, as demandas de potências inicialmente programadas não podem ser atendidas pela rede elétrica mesmo que um redespacho de geração seja efetivado.

As tabelas VI, VII e VIII mostram os resultados obtidos em termos de esforço computacional. Nessas tabelas, NI é o número de iterações e TC é o tempo computacional exigido para a convergência do método. Na metodologia proposta (Algoritmo A), o número fora dos parênteses corresponde ao número de iterações externas e os números entre parênteses são os números de iterações internas em cada iteração externa.

TABELA VI

ESFORÇO COMPUTACIONAL – IEEE – TESTE A


NI 2 (4, 4) 8

TC (seg) 0,243 0,296

TABELA VII

ESFORÇO COMPUTACIONAL – IEEE – TESTE B


NI 2 (14, 4) 15

TC (seg) 0,449 0,562


TABELA VIII ESFORÇO COMPUTACIONAL – IEEE – TESTE C


NI 2 (11, 8) 13

TC (seg) 0,496 0,871

Das tabelas VI, VII e VIII, observa-se que o

comportamento da metodologia proposta é aceitável. Em todos os testes, esta apresentou um ganho de tempo (speedup) se comparada ao Algoritmo B. O speedup no teste A foi de 21,8%, de 25,2% no teste B e de 75,6% no teste C.

B. Sistema Teste SSB Este sistema é um equivalente das regiões Sul-Sudeste do

Brasil. As condições de carregamento em cada teste são: - Teste A: carregamento total de 42.407,5 MW e

657,3 MVAr (caso base). - Teste B: o carregamento do caso base foi incrementado

em 1,4% (43.001,1 MW e 666,5 MVAr). - Teste C: o carregamento do caso base foi incrementado

em 3% (43.679,7 MW e 677,0 MVAr). Para esse sistema elétrico, é importante salientar que o

algoritmo proposto em [9] não apresenta convergência aplicando apenas iterações de Newton. Para obtê-la, foi necessário realizar uma iteração inicial com o método de Gauss-Newton. Para que se pudesse analisar a qualidade dos resultados, as comparações mostradas nas tabelas IX, X e XI são entre os algoritmos propostos no presente estudo e o apresentado em [9] com iterações de Gauss-Newton no início do processo iterativo.

TABELA IX

QUALIDADE DE RESULTADOS – SSB – TESTE A


suptot

rdP (MW) 42.407,4 42.407,5

suptot

rdQ (MVAr) 657,3 657,3

tot

redGP (MW) 44.210,8 44.210,9

icc (%) 0 0

TABELA X

QUALIDADE DE RESULTADOS – SSB – TESTE B


suptot

rdP (MW) 43.000,4 43001,0

suptot

rdQ (MVAr) 666,2 666,3

tot

redGP (MW) 44.837,6 44.840,8

icc (%) 0 0

TABELA XI QUALIDADE DE RESULTADOS – SSB – TESTE C


suptot

rdP (MW) 43.602,4 43.604,2

suptot

rdQ (MVAr) 634,7 634,7

tot

redGP (MW) 45.456,8 45.458,6

icc (%) 0,18 0,17

Para esse sistema elétrico real, os resultados fornecidos

pela abordagem proposta e mostrados nas tabelas IX, X e XI novamente apresentam boa exatidão numérica.

Os esforços computacionais realizados para obtenção de convergência no sistema SSB estão apresentados nas tabelas XII, XIII e XIV. Nas tabelas XIII e XIV, a metodologia sugerida em [9] somente obteve convergência com a realização de uma iteração do método de Gauss-Newton, conforme mencionado entre parênteses.

TABELA XII

ESFORÇO COMPUTACIONAL – SSB – TESTE A


NI 2 (12, 1) 13 (1)

TC (seg) 0,709 1,080

TABELA XIII

ESFORÇO COMPUTACIONAL – SSB – TESTE B


NI 2 (14, 9) 22 (1)

TC (seg) 1,174 1,831

TABELA XIV

ESFORÇO COMPUTACIONAL – SSB – TESTE C


NI 2 (24, 42) 13 (1)

TC (seg) 3,178 1,077

Para as simulações nesse sistema teste, os testes novamente

apresentaram um speedup, com exceção do teste C. O teste A atingiu um speedup de 52,3% e o teste B, de 55,9%. Entretanto, a metodologia proposta mostrou um comportamento menos eficiente do que o apresentado pelo Algoritmo B no teste C. O incremento de tempo computacional ficou em torno de 194,9%. Apesar do considerável aumento de tempo computacional obtido no teste C para o algoritmo proposto, é importante salientar que para obter a convergência para um ponto estacionário, no algoritmo B houve a necessidade de realização de uma iteração de


Gauss-Newton antes das iterações de Newton. Portanto, isso não produz uma comparação em igual de condições em termos de robustez numérica e confiabilidade dos dois algoritmos.

V. CONCLUSÕES

Este artigo apresentou um algoritmo para restaurar a solução das equações estáticas da rede elétrica quando essas não possuem solução real. Essas situações podem ser ocasionadas devido a altos níveis de carregamento e/ou perda de equipamentos importantes no sistema elétrico. A metodologia proposta é um método baseado no Lagrangeano aumentado. Essa técnica conduz a dois laços iterativos para a obtenção do ponto de operação da rede elétrica. Para resolver as iterações internas foi proposto o algoritmo de Levenberg-Marquardt.

Os resultados numéricos comprovam a eficácia da metodologia proposta. Nos casos em que as equações estáticas do fluxo de potência possuem solução real, a metodologia proposta não interfere no processo iterativo e, consequentemente, na determinação do ponto de operação da rede elétrica.

Em termos de desempenho computacional, o algoritmo mostrou-se eficiente. Os tempos computacionais obtidos encorajam os pesquisadores a continuar as suas pesquisas com essa abordagem. É importante frisar que a metodologia aqui implementada é básica. Outras características podem ser adicionadas ao algoritmo de modo a torná-lo mais robusto e eficiente.

REFERÊNCIAS [1] C. W. Taylor, Power System Voltage Stability, New York, McGraw-

Hill, 1994. [2] T. J. Overbye, “A Power Flow Measure for Unsolvable Cases”, IEEE

Transactions on Power Systems, vol. 9, no. 3, pp. 1359−1365, Aug. 1994.

[3] A. M. Sasson, C. Treviño e F. Aboytes, “Improved Newton’s Load Flow Through a Minimization Technique”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS-90, no. 10, pp. 1974−1981, Sep. 1971.

[4] S. Iwamoto e Y. Tamura, “A Load Flow Calculation Method for Ill-Conditioned Power Systems”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS-100, no. 4, pp. 1736−1743, Apr. 1981.

[5] M. Dehnel e H. W. Dommel, “A Method for Identifying Weak Nodes in Nonconvergent Load Flows”, IEEE Transactions on Power Systems, vol. 4, no. 2, pp. 801−807, May 1989.

[6] T. J. Overbye, “A Power Flow Measure for Unsolvable Cases”, IEEE Transactions on Power Systems, vol. 9, no. 3, pp. 1359−1365, Aug. 1994.

[7] I. Dobson e L. Lu, “Computing an Optimum Direction in Control Space to Avoid Saddle Node Bifurcation and Voltage Collapse in Electric Power Systems”, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 37, no. 10, pp. 1616−1620, Oct. 1992.

[8] S. Granville, J. C. O. Mello e A. C. G. Melo, “Application of Interior Point Methods to Power Flow Unsolvability”, IEEE Transactions on Power Systems, vol. 11, no. 2, pp. 1096−1103, May 1996.

[9] L. V. Barboza e R. Salgado, “Corrective Solutions of Steady-State Power System via Newton Optimization Method”, Brazilian Journal on Control & Automation, vol. 11, no. 3, pp. 182−186, Dec. 2000.

[10] J. M. Martínez, R. Andreani, E. G. Birgin e M. L. Schuverdt, “On Augmented Lagrangian Methods with General Lower-Level

Constraints”, SIAM Journal on Optimization, vol. 18, no. 4, pp. 1286−1309, 2007.

[11] A. R. Conn, N. I. M. Gould and P. L. Toint, “A Globally Convergent Augmented Lagrangian Algorithm for Optimization with General Constraints and Simple Bounds”, SIAM Journal on Numerical Analysis, vol. 28, pp. 545−572, Apr. 1991.

[12] J. Nocedal and S. J. Wright, Numerical Optimization, New York, Springer Verlag, 1999.

[13] E. G. Birgin and J. M. Martínez, “Structural Minimal-Memory Inexact Quasi-Newton Method and Secant Preconditioners for Augmented Lagrangian Optimization”, Computational Optimization and Applications, vol. 39, no. 1, pp. 1−16, Jan. 2008.

[14] C. Kanzow, N. Yamashita and M. Fukushima, “Levenberg-Marquardt Methods with Strong Local Convergence Properties for Solving Nonlinear Equations with Convex Constraints”, Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 173, no. 2, pp. 321−343, Jan. 2005.

[15] J. Fan and Y. Yuan, “On the Quadratic Convergence of the Levenberg-Marquardt Method without Nonsingularity Assumption”, Computing, vol. 74, no. 1, pp. 23−39, Feb. 2005.

[16] N. Yamashita and M. Fukushima, “On the Rate of Convergence of the Levenberg-Marquardt Method”, Computing (Supplementum), vol. 15, pp. 239−249, 2001.

[17] G. A. Golub and C. F. Van Loan, Matrix Computations, London, John Hopkins University Press, 1996.

[18] J. Barzilai and J. M. Borwein, “Two Point Step Size Gradient Methods”, IMA Journal of Numerical Analysis, vol. 8, no. 1, pp. 141−148, Jan. 1988.

[19] M. Raydan, “The Barzilai and Borwein Gradient Method for Large Scale Unconstrained Minimization Problem”, SIAM Journal on Optimization, vol. 7, no. 1, pp. 26−33, Jan. 1997.

Luciano Barboza nasceu em Pelotas, estado do Rio Grande do Sul, Brasil, em 24 de novembro de 1959. Ele recebeu o título de Engenheiro Eletricista na Universidade Católica de Pelotas, Brasil, em 1982, e os título de M.Eng. e Dr.Eng. em Engenharia Elétrica/Sistemas de Energia na Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, Brasil, em 1997 e 2001, respectivamente. Ele atualmente é professor no Instituto Federal de Educação, Ciência e

Tecnologia Sul-rio-grandense, Pelotas, Brasil. Suas áreas de interesse compreendem controle, operação e otimização de sistemas elétricos de potência, tratamento de dados incertos em sistemas elétricos, lógica fuzzy e matemática intervalar.

Juliano B. Francisco é Doutor em Matemática Aplicada pela Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Brasil. Atualmente, ele é professor Adjunto na Universidade Federal de Santa Catarina onde vem desenvolvendo pesquisas em análise numérica, otimização, cálculo de estruturas eletrônicas e sistemas elétricos de potência.

Mario Cesar Zambaldi é Doutor em Matemática Aplicada pela UNICAMP, Campinas, SP em 1993. Ele atualmente é professor Associado do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Santa Catarina desde 1992. Suas áreas de interresse compreendem Otimização Numérica, Álgebra Linear Aplicada e Métodos Numéricos em Engenharia.


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Restoring Solution of Electric Network Equations: An Approach Using the Augmented Lagrangean Algorithm