UNIVERZITET U SARAJEVU

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET

TEORIJSKA KOMPJUTERSKA NAUKA

Seminarski rad iz predmeta Matematske metode u obradi digitalne slike

Tema: Restauracija slike

Studenti: Mentor:

Irma Bašić dr. Naser Prljača, red. prof.

Muhedin Hadžić

Sarajevo, 2013. godine

2 od 13

Sadržaj

UVOD .................................................................................................................................................3

DEGRADACIJE SLIKE ............................................................................................................................4

DEGRADACIJA UZROKOVANA LOŠIM FOKUSOM ..........................................................................5

DEGRADACIJA UZROKOVANA UNIFORMNIM KRETANJEM ...........................................................6

RESTAURACIJA SLIKE INVERZNIM FILTRIRANJEM .................................................................................7

RESTAURACIJA SLIKE U MATLAB-u POMOĆU INVERZNOG FILTERA ..............................................8

RESTAURACIJA SLIKE WIENER-ovim FILTEROM .......................................................................... 11

RESTAURACIJA SLIKE U MATLAB-u POMOĆU WIENER-ovog FILTERA .......................................... 12

3 od 13

UVOD

U procesu formiranja, slika često biva degradirana. Uzroci mogu biti različiti: mehanički problemi, zamućenje zbog lošeg fokusiranja, pokreti objekata i/ili pozadine, neodgovarajuća osvjetljenost, šum,...

Postupcima restauracije slike se vrši kompenzacija degradacija nastalih pri formiranju slike. Za mjeru uspješnosti restauracije često se uzima greška između originala i rezultata restauracije. Najčešće se koristi srednjekvadratna funkcija greške:

έ =

1

0

21

0|,,|1 M

m

N

nnmonmr

MN

gdje je 'r' rezultat restauracije, dok 'o' predstavlja originalnu sliku prije degradacije.

Tehnike restauracije su mnogobrojne jer zavise od problema koji se rješava. Tehnike restauracije mogu se podijeliti u tri grupe:

Direktne tehnike – koje proces restauracije svode na obradu signala slike

Iterativne tehnike – koje proces restauracije obavljaju u nekoliko koraka

Numeričke tehnike – koje prvo vrše procjenu impulsnog odziva

U 75% slučajeva restauracija slike se može izvršiti jednostavnim direktnim tehnikama, stoga ćemo njima posvetiti pažnju.

4 od 13

DEGRADACIJE SLIKE

Svaki sistem za formiranje digitalne slike se sastoji iz optičkog dijela, fotoelektričnog senzora i A/D konvertora. Degradacije slike nastaju zbog nesavršenosti svakog od ovih dijelova sistema. Sljedeća slika prikazuje model sistema za formiranje digitalne slike:

Slika 1. – model sistema za formiranje digitalne slike

gdje je:

p(x,y) – originalna slika

h(x,y;α,β) – impulsni odziv optičkog dijela sistema

b(x,y) – slika formirana na površini senzora

s i r – nelinearnosti senzora

n1(x,y) – aditivni šum neovisan od sadržaja slike

r[v(x,y)] n2(x,y) – aditivni šum zavisan od sadržaja slike

Q – funkcija kvantovanja

nq – aditivni šum kvantovanja

Ovaj model se može opisati sljedećim jednačinama:

ddpyxhyxb ),(),;,(),(

v(x,y) = s[b(x,y)]

n(x,y) = n1(x,y) + r[v(x,y)] n2(x,y)

f(x,y) = v(x,y) + n(x,y)

5 od 13

f(i,j) = Q[f(x,y)] + nq(i,j)

Da bi se otklonile degradacije iz slike potrebno je poznavati funkcionalne zavisnosti i vrijednosti parametara u ovim jednačinama. Neke od ovih veličina se mogu odrediti analizom fizičkih svojstava optičkog sistema, a neke se mogu odrediti analizom same degradirane slike.

DEGRADACIJA UZROKOVANA LOŠIM FOKUSOM

Princip po kojem se slika formira na površi senzora prikazan je na sljedećoj slici:

Slika 2. – formiranje slike na površi senzora

Kada zrak svjetlosti padne na sočivo, prelama se i siječe fokusnu ravan. Dvije različite zrake svjetlosti koje dolaze iz istog izvora na sočivu se prelamaju tako da fokusnu ravan sijeku u istoj tački, kao što vidimo na slici 2. (a).

Međutim, ako ne koristimo pravilan fokus, tada se površ senzora ne nalazi u fokusnoj ravni, pa se zraci iz istog izvora ne reflektuju na istu tačku senzorske površi, kao što je prikazano na slici 2. (b). Rezultat toga je zamućena slika.

Primjetimo da impulsni odziv defokusiranog optičkog sistema nije prostorno nepromjenjljiv, tj. da impulsni odziv ovakvog sistema ovisi od udaljenosti izvora od sočiva. Stoga se u praksi impulsni odziv defokusiranog optičkog sistema najčešće modeluje prostorno nepromjenjljivom dvodimenzionalnom Gausovom funkcijom:

2

22

2

21),(

yx

eyxh

gdje parametar σ određuje iznos zamrljanosti slike usljed defokusiranja.

6 od 13

DEGRADACIJA UZROKOVANA UNIFORMNIM KRETANJEM

Zamućenje na slici može se pojaviti i zbog kretanja objekta, a i zbog kretanja kamere. Zamućena slika se može aproksimativno opisati jednačinom:

b = h*p + n

gdje je:

b – zamućena slika

p – originalna slika

h – operator distorzije, funkcija raspršavanja tačke (PSF – point spread funtion)

ova funkcija konvolucijom sa stvarnom slikom kreira degradiranu sliku

n – aditivni šum

Funkcija h se može odrediti kao:

axx

axay

yxh,0,0

0,)(),(

što je prikazano na slici 3. (a):

Slika 3. – model impulsnog odziva zamućenja uzrokovanog kretanjem

Model impulsnog odziva zamućenja ne uzima u obzir različito vrijeme osvjetljenja senzorske površine uslijed kretanja objekta. Najduže vrijeme ekspozicije ima početni položaj objekta, a najkraće položaj objekta u trenutku kada se ekspozicija završava. Mnogo realniji impulsni odziv ima trougaoni oblik (slika 3. b), ili oblik sličan Gausovoj funkciji (slika 3. c).

7 od 13

RESTAURACIJA SLIKE INVERZNIM FILTRIRANJEM

Posmatrajmo uprošćeni sistem degradacije, u kojem izobličenja unosi jedino optički sistem, bez ikakvog šuma. Ako je optički sistem linearan i prostorno invarijantan, onda imamo:

f(x,y) = b(x,y) = h(x,y) * p(x,y)

odnosno, u frekvencijskom domenu:

),(),(),( yxyxyx PHF

Očito je da u frekvencijskom domenu restauraciju slike p(x,y) možemo izvršiti na sljedeći način:

),(),(),( yxyxIyx FHP

gdje je restauraciona funkcija prenosa data izrazom:

),(1),(

yxyxI H

H

Restauraciona funkcija prenosa naziva se inverzni filter.

Iz prethodnog izraza vidimo da se inverzni filter ne može ralizovati ako funkcija prenosa koja izaziva degradaciju ima nule. Osim toga, slika obično sadrži i šum, koji ima visok spektar, pa pri filtriranju dolazi do pojačavanja šuma. Zbog toga restaurirana slika vrlo često bude praktično neupotrebljiva.

Da bi se inverzno filtriranje moglo realizovati u slučajevima kada funkcija prenosa ima nule, a i da bi se smanjio efekat pojačavanja šuma, često se koristi modifikacija inverznog filtera, poznata pod nazivom pseudoinverzni filter.

Pseudoinverzni filter je definisan relacijom:

|),(|,),(|),(|

|),(|,),(

1

),(

yxyx

yx

yxyx

yxPI

HHH

HH

H

8 od 13

RESTAURACIJA SLIKE U MATLAB-u POMOĆU INVERZNOG FILTERA

Za ilustraciju inverznog filtriranja uzet ćemo čistu sliku i degradirati je poznatim degradacijama. U Matlabu se filter dobija pomoću komande fspecial(). Da bismo pokazali efekat kretanja kamere koristimo parametar 'motion'.

Slika 4.(a) – originalna čista slika

Slika 4.(b) – slika zamućena kretanjem kamere

Slika 4.(c) – slika dobijena inverznim filterom

9 od 13

Primjetimo da inverzni filter daje dobre rezultate u idealnom slučaju, kada nema šuma na slici. Međutim, u praksi uvijek postoji određeni šum. U Matlabu šum dodajemo funkcijom imnoise().

Slika 4.(d) – zamućena slika uz dodatak šuma

Slika 4.(e) – rezultat inverznog filtriranja

Primjetimo da inverzni filter daje jako loše rezultate kada je na slici prisutan šum.

Slične rezultate dobijamo i kada je slika degradirana usljed lošeg fokusa. Da bismo pokazali efekat pogrešnog fokusiranja koristit ćemo funkciju fspecial(), kojoj ćemo proslijediti parametar 'gaussian'.

10 od 13

Slika 5.(a) – slika zamućena defokusiranjem

Slika 5.(b) – rezultat inverznog filtriranja

Slika 5.(c) – defokusirana slika sa šumom

Slika 5.(d) – rezultat inverznog filtriranja slike sa šumom

11 od 13

RESTAURACIJA SLIKE WIENER-ovim FILTEROM

Primjetili smo da inverzni i pseudoinverzni filter mogu jako dobro otkloniti degradaciju slike, ukoliko na slici nema šuma. Ipak, u praksi, šum je uvijek prisutan. Međutim, uspješna restauracija slike može se izvršiti ako se poznaju neke karakteristike šuma. U tu svrhu se koristi Wiener-ov filter.

Wiener-ov filter pripada klasi linearnih filtera. Pretpostavimo da imamo sistem koji ne unosi degradacije, uz dodatak aditivnog šuma. Model slike sa šumom se može dati u obliku:

c(x,y) = a(x,y) + n(x,y)

Cilj nam je da iz digitalne slike c dobijemo originalnu sliku a. Ako su slika i šum stacionarni slučajni 2D signali sa srednjim vrijednostima oba signala jednakim nuli, i ako su slika i šum međusobno linearno nezavisni, procjena slike je jednaka konvoluciji:

â(x,y) = hW(x,y) * c(x,y)

gdje je hW(x,y) impulsni odziv koji se određuje minimizacijom srednjekvadratne greške:

E{|e(x,y)|2} = E{|a(x,y)-â(x,y)|2}

Po principu ortogonalnosti imamo:

E{e(x,y) c*(x',y')}=0

Odnosno:

Rac(x,y)=hw(x,y)*Rc(x,y)

Nakon primjene Furijeove transformacije, frekvencijska karakteristika Wiener-ovog filtera data je sa:

),(),(

),(vuPvuPvuH

c

acw

Član Pac(u,v) nije poznat, niti se može lako procjeniti. Ako slučajni signali (slika i šum) nisu korelisani i imaju srednje vrijednosti jednake nuli, frekvencijska karakteristika Wiener-ovog filtera za aditivni šum koji je nezavisan od signala ima oblik:

),(),(),(

),(vuPvuP

vuPvuHna

aw

gdje je Pa(u,v) spektralna gustina snage ansambla slučajnih slika, a Pn(u,v) je spektralna gustina snage slučajnog šuma. Budući da mnogo slika ima sličnu spektralnu gustinu snage,

12 od 13

ona se može modelirati preko eksponencijalne opadajuće prostorne funkcije 22

),( yxb yxR , 0<ρ<1.

Frekvencijska karakteristika Wiener-ovog filtera je realna i nenegativna, te utiče samo na aplitudni spektar. Na niskim frekvencijama je snaga slike mnogo veća od snage šuma, a na visokim frekvencijama dominira šum. Wiener-ov filter za redukciju šuma je niskofrekventni filter.

RESTAURACIJA SLIKE U MATLAB-u POMOĆU WIENER-ovog FILTERA

Sada ćemo pokazati kakve rezultate daje Wiener-ov filter u Matlabu. Koristit ćemo iste slike, sa itim degradacijama. U Matlabu se za restauraciju koristi funkcija deconvwnr() koja prima tri parametra: prvi parametar je degradirana slika, drugi parametar je filter, a treći parametar je omjer aditivnog šuma na slici.

Ako želimo inverzni filter, za treći parametar proslijedimo nulu. Za Wiener-ov filter kao treći parametar koristimo procjenu šuma pomoću komande:

>> estimated_nsr = noise_var / var(slika(:));

Uporedimo slike dobijene Wiener-ovim i inverznim filtriranjem:

Restauracija slike degradirane kernelom kretanja uz šum

(lijevo Wiener, desno inverzni filter)

Restauracija slike degradirane Gausovim kernelom uz šum

13 od 13

(lijevo Wiener, desno inverzni filter)

Očito je da Wiener-ov filter daje mnogo bolje rezultate nego inverzni filter kada je na slici prisutan šum.