Respuesta Sistemas Mecanicos (Informe Ieee)

ITFIP. Miguel Suárez Sierra. ANALISIS RESPUESTA DE SISTEMAS MECANICOS.

Abstract — Mechanical behavior is analyzed translation systems such as mass-spring and first-class lever using a step function, ramp and impulse and an arbitrary sine in order to determine the values obtained from the parameters of the transient response.

Key words— translational mechanical systems, mass-spring, first-class lever, arbitrary Waveform

INTRODUCCION

stablecer las características de respuesta de dos sistemas mecánicos de traslación como son el de masa-

resorte y el de una palanca para familiarizarnos con las repuestas a señales de entrada como el escalón, la rampa y el impulso y una señal arbitraria seno en su semiciclo positivo.

E

II. ANALISIS SISTEMA MASA-RESORTE

Se realizará el análisis del comportamiento de un sistema físico consistente en una masa M unida a un muelle de constante elástica K con un rozamiento viscoso B, obteniendo la respuesta del sistema a una función escalón, una función rampa y a una función impulso, con lo cual, se observará cómo afecta la fuerza f(t) al movimiento de la masa descrito por x(t).

Fig. 1 Sistema masa - resorte

La ecuación diferencial que rige el comportamiento de este sistema es:

Tomando los siguientes valores para las constantes M=1, B=0.5 y K=20.

La ecuación diferencial se trasforma al dominio de Laplace obteniendo entonces:

Factorizando X(s) y despejando se halla la función de transferencia del sistema propuesto:

Reemplazando en la función de transferencia los valores dados a las constantes se tiene:

X (s)F (s )

= 1s2+0.5 s+20

a) Respuesta a escalón

Creamos un bloque con la función de transferencia en SIMULINK, como se ve en la figura 2, forzando el sistema con un escalón de amplitud 10 unidades durante los primeros 20 segundos de funcionamiento.

Fig.2 Esquema SIMULINK empleado

A continuación guardamos los datos obtenidos de SIMULINK en una variable de MATLAB creada con el nombre de “escalon” en formato de array.

Para realizar el análisis de la respuesta al escalón de 10 unidades se ejecuta el programa “analiza1.m” en MATLAB, elaborado en el informe anterior, que nos permite encontrar las raíces, el valor final de la señal, el valor máximo y el instante en que se produce y el instante en el que se estabiliza la salida entre el +-5% del valor final.

Control Análogo

ANALISIS RESPUESTA DE SISTEMAS MECANICOS

Suárez Sierra, Miguel. [email protected] ITFIP


Al ejecutarlo nos proporciona el siguiente resultado matemático y gráfico:

>>analiza1

raices = -0.2500 + 4.4651i -0.2500 - 4.4651i

Es un Sistema estable porque los valores se encuentran en el plano izquierdo de s.

num/den =

1 ---------------- s^2 + 0.5 s + 20

valor_final = 0.0500tiempo_pico = 0.7025sobreelongacion_max = 0.9193sobreelongacion = 83.8696%tiempo_asentamiento = 11.9422

Fig. 3 Gráfico MATLAB respuesta al escalón

b) Respuesta a rampa

Al bloque con la función de transferencia en SIMULINK, como se ve en la figura 3, lo forzamos ahora con una función rampa con una pendiente de 1 los primeros 20 segundos de funcionamiento.

Fig. 4 Esquema SIMULINK empleado

Guardamos los datos obtenidos de SIMULINK en una variable de MATLAB creada con el nombre de “RAMPA”

en formato de array y en la ventana de comandos la representamos mediante:

>> plot(RAMPA(:,1),RAMPA(:,2))

Obteniendo la siguiente gráfica

Fig. 5 Gráfico MATLAB respuesta a rampa

En los primeros instantes de aplicar la entrada rampa se presentan unas oscilaciones de pequeña magnitud, de los 8 segundos en adelante la señal se estabiliza.

c) Respuesta a impulso

Para obtener la respuesta introducimos la función de transferencia en la ventana de comandos y forzamos con la función impulso como sigue:

>> num=[1];>> den=[1 0.5 20];>> impulse(num,den)

Generando la siguiente gráfica:

Fig. 6 Gráfico MATLAB respuesta a impulso

Donde podemos encontrar que la sobreelongación máxima es de 0.205 unidades a los 0.351 segundos, obteniéndose

Control Análogo


que el asentamiento del ± 5% se alcanza a los 12.3 segundos.

III. ANALISIS DE UN SISTEMA MECANICO CON PALANCA

Se realizará el análisis del comportamiento de un sistema mecánico consistente en una palanca de primer orden unida en el extremo de mayor longitud a un muelle de constante elástica K con un rozamiento viscoso B, obteniendo la respuesta del sistema a una función seno en su semiciclo positivo, con lo cual, se observará cómo afecta la fuerza f(t) al movimiento descrito por x(t).

Fig. 7 Sistema mecánico de palanca

La ecuación que representa el comportamiento del sistema es la siguiente:

Tomando los siguientes valores para las constantes b=0.5, k=20, l1=1 y l2=3.

Reescribimos la ecuación en el dominio de Laplace:

bsX ( s)+kX (s )= l1l2

F (s)

Factorizando X(s) y despejando se halla la función de transferencia del sistema propuesto:

X (s)F (s )

= l 1l 2 bs+l 2 k

Reemplazando en la función de transferencia los valores dados a las constantes se tiene:

X (s)F (s )

= 11.5 s+60

El valor de los polos es igual a: s=−601.5

=−40

Es un sistema estable por valor negativo en el semiplano izquierdo de s.

La señal de prueba a utilizar es la de grafica siguiente:

Fig. 8 Señal de prueba semiciclo seno

Para obtener la señal es necesario identificar la frecuencia que tiene, en este caso el periodo es de 20 segundos por lo

tanto: f = 1T

= 120

=0.05

Partiendo de que: w=2 πf=2 π∗0.05=0.31459265

y que la amplitud deseada es de 4 unidades se tiene que

y=sen ( wt )∗4=sen (0.31459265∗t )∗4 donde t esta

entre 0 y 10 segundos.

En la ventana de comandos de MATLAB se introduce lo siguiente:

>> t=0:0.1:10;>> y=sin(0.314159265.*t).*4;>> plot(x,t)

Y se comprueba que la señal obtenida es de iguales condiciones que la pedida.

En SIMULINK haciendo uso del bloque From Workspace creamos una variable en MATLAB con el nombre “seno” como se observa en la figura 9.

Fig.9 Esquema SIMULINK empleado

Control Análogo


Para ello utilizamos las siguientes sentencias en MATLAB:

>>tmp=[0:0.1:10]’>>dat=[y]’

>>seno(:,1)=tmp>>seno(:,2)=dat

Realizamos la simulación en SIMULINK obteniendo la gráfica de la figura 10.

Fig.10 Respuesta obtenida en SIMULINK

Asimismo es posible comparar la señal de entrada con la de salida en MATLAB usando la función “lsim” como se muestra a continuación:

>> t=0:0.1:10;>> u=sin(0.314159265.*t).*4;>> n=1; d=[1.5 60];sys=tf(n,d);>> lsim(sys,'r',u,t);

De ahí se obtiene la siguiente gráfica:

Fig.11 Comparando señal de entrada con salida en MATLAB

En ella podemos observar que el valor pico de la salida en el momento que se produce el valor pico de la entrada de 4 unidades es igual a 0.0667 unidades.

Para analizar lo que sucede se debe partir del objetivo que se busca con el uso de una palanca, que es el de multiplicar una fuerza, en el caso de las palancas de primer género, como la estudiada en este caso, para ello basta que el brazo l1 sea más pequeño que el brazo l2 y que la fuerza aplicada sea ejercida en l2.

La ley de las palancas se puede expresar así:

f 1 l1=f 2 l2

f 1f 2

= x 2x1

=l 2l1

Partiendo de esto, se observa que en el ejercicio la fuerza es aplicada en el brazo más corto l2, por lo tanto, la fuerza en la salida es inferior a la de la entrada, ya que no se amplifica sino que se reduce.

CONCLUSIONES

Establecemos que el sistema mecánico de masa-resorte es estable ya que presenta los polos en el plano izquierdo de S y tiene un mejor comportamiento frente a la señal rampa ya que el cambio en la entrada se produce gradualmente en el tiempo y no de manera instantánea como en el escalón y el impulso, asimismo, el tiempo de estabilización es mayor en la función impulso que en la del escalón.

Identificamos que en el sistema mecánico de la palanca de primer grado es estable ya que tiene un polo en el lado negativo del plano s, de igual forma, la respuesta del sistema consigue un desplazamiento pequeño en x ya que su disposición es de reducción de la fuerza aplicada.

LITOGRAFIA

[1] OGATA, Katsuhiko. Ingeniería de Control Moderna 5 Edición. Pearson. 2010. 63-72 p[2]DORF, Richard. BISHOP, Robert. Sistemas de Control Moderno 10 Edición. Pearson. 2005. 37-100p[3] MATLAB, User manual.

Control Análogo


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