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Teoria de Controle ModernosSlides
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Carlos Alexandre Mello [email protected] 1
Resposta no Tempo
Carlos Alexandre Mello
2Carlos Alexandre Mello [email protected]
Resposta no Tempo - Introduo Como j discutimos, aps a representao
matemtica de um subsistema, ele analisado em suas respostas de transiente e de estado-estacionrio para verificar se o subsistema possui as caractersticas desejadas no projeto
Aps essa anlise, o subsistema pode ser acoplado em um sistema de malha fechada
3Carlos Alexandre Mello [email protected]
Polos, Zeros e Resposta do Sistema Tambm como j vimos antes, a resposta de um
sistema a soma de duas respostas: a resposta forada e a resposta natural
Apesar da anlise de um sistema por equaes diferenciais ser eficiente, em geral, um processo bastante custoso
O uso de polos e zeros e sua relao com a resposta de um sistema uma tcnica rpida e eficiente
4Carlos Alexandre Mello [email protected]
Polos, Zeros e Resposta do Sistema Polos de uma funo de transferncia so:
Os valores da varivel s da transformada de Laplace que fazem a funo de transferncia tender para infinito
As razes do denominador da funo de transferncia que no so comuns a razes do numerador
Evitando cancelar um fator do numerador com um do denominador
Zeros de uma funo de transferncia so: Os valores da varivel s da transformada de Laplace
que fazem a funo de transferncia igual a zero As razes do numerador da funo de transferncia que
no so comuns a razes do denominador
5Carlos Alexandre Mello [email protected]
Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem
Considere a funo de transferncia abaixo:
Um polo existe em s = -5 e um zero em s = -2 Esses valores so plotados no plano s, usando um X
para indicar um polo e um O para indicar um zero
R(s)G(s)
C(s)
6Carlos Alexandre Mello [email protected]
Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem
7Carlos Alexandre Mello [email protected]
Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem
Para mostrar as propriedades dos polos e zero, vamos analisar a resposta do sistema a um degrau unitrio
Ou seja, R(s) = 1/s Assim, temos:
Ou:
8Carlos Alexandre Mello [email protected]
Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem
9Carlos Alexandre Mello [email protected]
Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem
Da Figura anterior podemos concluir:1. Um polo na funo de entrada gera a forma da
resposta forada (o polo na origem gerou a funo degrau na sada)
2. Um polo na funo de transferncia gera a forma da resposta natural (o polo em -5 gerou e-5t)
3. Um polo no eixo real gera uma resposta exponencial do tipo et, onde a localizao do polo no eixo real (o polo em -5 gerou e-5t)
4. Os zeros e polos afetam as amplitudes para ambas as respostas forada e natural (o clculo dos coeficientes da expanso em fraes parciais)
10Carlos Alexandre Mello [email protected]
Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem
11Carlos Alexandre Mello [email protected]
Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem
12Carlos Alexandre Mello [email protected]
Polos, Zeros e Resposta do Sistema Vamos ver outro exemplo para analisar como
podemos usar a tcnica de polos e zeros para obter a forma da resposta do sistema Resposta por inspeo
Como vimos, cada polo da funo de transferncia do sistema que est no eixo real gera uma resposta exponencial que componente da resposta natural
Os polos da entrada geram a resposta forada
13Carlos Alexandre Mello [email protected]
Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo 1: Considere o sistema abaixo e escreva
a sada c(t), em termos gerais.
Por inspeo, cada polo gera uma componente exponencial como parte da resposta natural
O polo da entrada gera a resposta forada Assim:
Respostaforada Resposta natural
14Carlos Alexandre Mello [email protected]
Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo 2: Um sistema tem funo de
transferncia
por inspeo, sua sada c(t), em termos gerais, para uma entrada como degrau unitrio :
15Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Primeira Ordem Sistemas de Primeira Ordem sem zeros:
16Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Primeira Ordem Se G(s) = a/(s + a) e a entrada um degrau
unitrio R(s) = 1/s, a transformada de Laplace da resposta ao degrau C(s), onde:
onde o polo na origem gera a resposta forada cf(t) = 1 e o polo do sistema em a gera a resposta natural cn(t) = -e-at
17Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Primeira Ordem O nico parmetro a varivel a que necessria
para descrever a resposta em transiente Quando t = 1/a:
ou:
18Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Primeira Ordem Considerando que:
Vamos definir trs especificaes de desempenho de resposta de transiente....
(1)
(2)
(3)
19Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Primeira OrdemConstante de Tempo
Dizemos que 1/a uma constante de tempo da resposta, Tc
Dada a relao (2) anterior, a constante de tempo pode ser descrita como o tempo para e-at decair para 37% do seu valor inicial
Da mesma forma, a constante de tempo o tempo que leva para a resposta ao degrau subir para 63% do seu valor final (considerando a relao (3) anterior)
20Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Primeira OrdemConstante de Tempo
21Carlos Alexandre Mello [email protected]
O parmetro a chamado de frequncia exponencial
A constante de tempo pode ser considerada um parmetro de especificao de transiente para um sistema de primeira ordem j que ela est relacionada com a velocidade de resposta do sistema a um degrau de entrada
No grfico de polos, o polo est localizado na posio oposta constante de tempo Quanto mais longe o polo estiver do eixo imaginrio
(abscissa), mais rpida a resposta de transiente
Sistemas de Primeira OrdemConstante de Tempo
22Carlos Alexandre Mello [email protected]
O Tempo de Subida, Tr, definido como o tempo que o sinal vai de 0,1 a 0,9 do seu valor final
O tempo de subida encontrado resolvendo (1) para a diferena de tempo de c(t) = 0,9 e c(t) = 0,1
Assim: Tr = 2,31/a 0,11/a Tr = 2,2/a c(t) = 1 e-at 0,9 = 1 e-at 0,1 = e-at -at = ln(0,1) = -2,31 t = 2,31/a Para c(t) = 0,1, o mesmo clculo leva a 0,11/a
Sistemas de Primeira OrdemTempo de Subida Rise Time
23Carlos Alexandre Mello [email protected]
O Tempo de Acomodao, Ts, definido como o tempo que a resposta alcana e fica dentro de uma faixa de 2% do seu valor final
Fazendo c(t) = 0,98 em (1) e resolvendo para t, encontramos Ts = 4/a
Sistemas de Primeira OrdemTempo de Acomodao Settling Time
24Carlos Alexandre Mello [email protected]
Problema: Um sistema tem funo de transferncia:
Encontre a constante de tempo, Tc, o tempo de acomodao, Ts, e o tempo de subida, Tr
Soluo: Tc = 1/a = 1/50 = 0,02 seg Ts = 4/a = 4/50 = 0,08 seg Tr = 2,2/a = 2,2/50 = 0,044 seg
Sistemas de Primeira Ordem
25Carlos Alexandre Mello [email protected]
Diferente de sistemas de primeira ordem, sistemas de segunda ordem tm uma grande variedade de respostas que precisam ser analisadas
Enquanto apenas variar o parmetro de um sistema de primeira ordem muda sua velocidade de resposta, mudanas nos parmetros de sistemas de segunda ordem podem mudar a forma da resposta
Por exemplo, considere o sistema genrico:
Sistemas de Segunda Ordem
R(s)=1/sG(s)
C(s)
26Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Segunda Ordem
Polos:-7,854-1,146
Sistema Sobreamortecido(Overdamped)
Exemplo 1:
27Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Segunda Ordem
Polos:-1 + j8-1 - j8
Sistema Subamortecido(Underdamped)
Exemplo 2:
28Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Segunda Ordem
Polos:j3
-j3
Sistema No-Amortecido(Undamped)
Exemplo 3:
29Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Segunda Ordem
Polos:-3 (polo duplo)
Sistema CriticamenteAmortecido(Critically Damped)
Exemplo 4:
30Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Segunda Ordem
31Carlos Alexandre Mello [email protected]
Um sistema sobreamortecido se aproxima rapidamente do valor final
A resposta de um sistema subamortecido sempre mais lenta, qualquer que seja o sinal de entrada
O sistema criticamente amortecido o que apresenta resposta mais rpida
Vamos agora analisar cada tipo de resposta e mostrar como podemos usar os polos para determinar a natureza dessa resposta sem precisar usar expanso em fraes parciais e transformada inversa de Laplace....
Sistemas de Segunda Ordem
32Carlos Alexandre Mello [email protected]
No exemplo 1 anterior, temos:
A funo tem um polo na origem que vem do degrau de entrada e dois polos reais que vm da funo de transferncia do sistema
Assim, a sada pode ser escrita como:
Gerando o grfico do exemplo 1 que chamado de sobreamortecido
Sistemas de Segunda OrdemResposta Sobreamortecida
33Carlos Alexandre Mello [email protected]
No exemplo 2 anterior, temos:
A funo tem um polo na origem que vem do degrau de entrada e dois polos complexos que vm da funo de transferncia do sistema Polos em s = -1 j8
Encontramos c(t):
Sistemas de Segunda OrdemResposta Subamortecida
Parte real = expoente da exponencial: controla o decaimento da amplitude da senide
Parte complexa = frequncia de oscilao da senide
tg-1(Re/Img)
34Carlos Alexandre Mello [email protected]
A resposta em transiente consiste de uma amplitude decaindo exponencialmente gerada pela parte real do polo do sistema vezes uma onda senoidal gerada pela parte imaginria do polo do sistema
O valor da parte imaginria a frequncia real da senide (chamada frequncia de oscilao amortecida - d)
A resposta do estado estacionrio (degrau unitrio) foi gerada pelo polo da entrada localizado na origem (chamada resposta subamortecida)
Sistemas de Segunda OrdemResposta Subamortecida
35Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Segunda OrdemResposta Subamortecida
36Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Segunda OrdemResposta Subamortecida
e-t
cos(8*t)e-t*cos(8*t)
37Carlos Alexandre Mello [email protected]
Exemplo: Por inspeo, escreva a forma da resposta ao degrau do sistema abaixo:
Soluo: A forma da resposta forada um degrau Os polos do sistema so s = -5 j13,23
A parte real, -5, a frequncia da exponencial A parte imaginria, 13,23, a frequncia em radianos para as
oscilaes da senide
Sistemas de Segunda OrdemResposta Subamortecida
R(s)=1/sG(s)
C(s)
38Carlos Alexandre Mello [email protected]
Exemplo (cont.): Soluo:
Assim, c(t) uma constante mais um senide exponencialmente amortecida
Sistemas de Segunda OrdemResposta Subamortecida
39Carlos Alexandre Mello [email protected]
No exemplo 3 anterior, temos:
A funo tem um polo na origem que vem do degrau de entrada e dois polos imaginrios que vm da funo de transferncia do sistema Polos: s = j3
Trata-se de uma classe do caso anterior onde a parte real tem valor igual a zero
Assim, a exponencial ser e-0t = 1 A resposta dita no amortecida
Sistemas de Segunda OrdemResposta No Amortecida
40Carlos Alexandre Mello [email protected]
No exemplo 4 anterior, temos:
A funo tem um polo na origem que vem do degrau de entrada e dois mltiplos polos reais que vm da funo de transferncia do sistema Polos: s = -3
Esses dois polos geram uma exponencial e uma exponencial multiplicada pelo tempo
Assim, a sada pode ser estimada como:
Sistemas de Segunda OrdemResposta Criticamente Amortecida
41Carlos Alexandre Mello [email protected]
Em resumo: Respostas Sobreamortecidas
Polos: dois polos reais em a e b Resposta natural: duas exponenciais com constantes de tempo
iguais localizao dos polos: c(t) = K1e-at + K2e-bt Respostas Subamortecidas
Polos: dois polos complexos em a j Resposta natural: Senide amortecida com um envelope
exponencial cuja constante de tempo igual parte real do polo. A frequncia em radianos da senide igual parte imaginria dos polos: c(t) = Ke-atcos(t - )
Sistemas de Segunda Ordem
42Carlos Alexandre Mello [email protected]
Em resumo: Respostas No Amortecidas
Polos: dois polos imaginrios em j Resposta natural: Senide no amortecida com frequncia em
radianos igual parte imaginria dos polos: c(t) = Kcos(t - ) Mesmo caso anterior com a = 0
Respostas Criticamente Amortecidas Polos: dois polos reais em a Resposta natural: Um termo uma exponencial com constante
de tempo igual ao polo e o outro termo uma mesma exponencial multiplicada pelo tempo: c(t) = K1e-at + K2te-at
Sistemas de Segunda Ordem
43Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Segunda Ordem
44Carlos Alexandre Mello [email protected]
Definio: Medidas necessrias para descrever as caractersticas da resposta de transiente de sistemas de segunda ordem Como a constante de tempo define para sistemas de
primeira ordem 1) Frequncia Natural 2) Coeficiente de Amortecimento
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
45Carlos Alexandre Mello [email protected]
1) Frequncia Natural, n A frequncia natural de um sistema de segunda ordem
a frequncia de oscilao do sistema sem amortecimento
2) Coeficiente de Amortecimento, (zeta) O coeficiente de amortecimento pode ser entendido
como uma comparao entre a frequncia de decaimento exponencial e a frequncia natural
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
= Frequncia de decaimento exponencialFrequncia natural (rad/segundos)
46Carlos Alexandre Mello [email protected]
Vamos usar esses conceitos na definio de sistemas de segunda ordem
Considere o sistema geral:
Sem amortecimento, os polos estariam no eixo imaginrio e a resposta seria uma senide no amortecida
Para os polos serem puramente imaginrios, teramos a = 0:
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
47Carlos Alexandre Mello [email protected]
n frequncia de oscilaes do sistema Como os polos esto em jb: n = b b = n2 Assim, o coeficiente b est associado frequncia
natural; e o coeficiente a? Considerando um sistema subamortecido, os polos
complexos tm uma parte real, , igual a a/2 A magnitude desse valor o decaimento
exponencial:
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
= Frequncia de decaimento exponencial = || = a/2Frequncia natural (rad/segundos) n n
a = 2n
48Carlos Alexandre Mello [email protected]
Assim, a equao geral de um sistema de segunda ordem :
Exemplo: Se
Quem so e n? n
2= 36 n = 6
2 n = 4,2 = 0,35
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
49Carlos Alexandre Mello [email protected]
Resolvendo a equao geral para sistemas de segunda ordem em busca de seus polos temos:
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
50Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
51Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
52Carlos Alexandre Mello [email protected]
Exemplos:
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
a = 2n e n = b = a/(2b) n = 12 = 3,46 = 8/(212) = 1,15 > 1 Sobreamortecido
53Carlos Alexandre Mello [email protected]
Exemplos:
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
a = 2n e n = b = a/(2b) n = 16 = 4 = 8/(216) = 1 Criticamente amortecido
54Carlos Alexandre Mello [email protected]
Exemplos:
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
a = 2n e n = b = a/(2b) n = 20 = 4,47 = 8/(220) = 0,89 < 1 Subamortecido
55Carlos Alexandre Mello [email protected]
Vamos analisar a resposta ao degrau de um sistema subamortecido:
Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos
< 1 (sistema subamortecido):
56Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos
57Carlos Alexandre Mello [email protected]
Outros parmetros associados com a resposta subamortecida: Tempo de subida (Rise Time Tr): O tempo necessrio
para a forma de onda ir de 0,1 a 0,9 do seu valor final Tempo de pico (Peak Time Tp): O tempo necessrio
para atingir o primeiro pico Porcentagem sobressinal (Percent Overshoot - %OS): O
mximo valor de pico da curva de resposta, expresso como uma porcentagem do estado estacionrio
Tempo de Acomodao (Settling Time - Ts): O tempo necessrio para que a curva de resposta alcance (e permanea dentro) cerca de 2% do valor estacionrio
Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos
58Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos
59Carlos Alexandre Mello [email protected]
Clculos:
Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos
Tr calculado fazendo c(t) = 0,9 e c(t) = 0,1 e subtraindo os valores de tempo encontrados.
60Carlos Alexandre Mello [email protected]
A tabela abaixo usada para clculo aproximado de Tr dependendo do valor de :
Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos
Exemplo: = 0,75 Tr 2,3 seg
Tr = (1,7683 - 0,4172 + 1,039 + 1)/n
61Carlos Alexandre Mello [email protected]
Vamos relacionar essas variveis localizao dos polos que geram as caractersticas do sistema
Vemos abaixo um grfico de polos para um sistema de segunda ordem geral subamortecido:
Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos
cos =
d = parte imaginria do polod = magnitude da parte real do polo
62Carlos Alexandre Mello [email protected]
Das equaes anteriores de TP e TS, podemos concluir que: TP inversamente proporcional parte imaginria do
polo Como linhas horizontais no plano-s so linhas de valor
imaginrio constante, elas tambm so linhas de tempo de picoconstante
TS inversamente proporcional parte real do polo Como linhas verticais no plano-s so linhas de valor real
constante, elas tambm so linhas de tempo de acomodao constante
Como = cos, linhas radiais so linhas com constante (ou seja, %OS constante, j que s depende de )
Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos
63Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos
64Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos
Se os polos se movem na vertical, a frequncia aumenta, mas o envelope permanece o mesmo j que a parte real dos polos no muda.
65Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos
Se os polos se movem na horizontal, a frequncia permanece constante. Um movimento para a esquerda aumenta a velocidade do amortecimento. O tempo de pico constante porque a parte imaginria tambm constante.
66Carlos Alexandre Mello [email protected]
Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos
Movendo os polos em uma linha radial constante a porcentagem de sobressinal permanece constante. Quanto mais distante da origem estiverem os polos, mais rpida a resposta.
67Carlos Alexandre Mello [email protected]
Exemplo 1: Ache , n, TS, TP, Tr e %OS para o sistema com funo de transferncia:
Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos
omegan = 19zeta = 0.4211Ts = 0.5000Tp = 0.1823pos = 23.2620Tr = 0.0787
68Carlos Alexandre Mello [email protected]
Os parmetros anteriores podem ser usados para clculos apenas em sistemas com um ou dois polos, mas no para sistemas com mais polos ou com zeros
Sob certas condies, um sistema com mais polos ou com zeros pode ser aproximado para um sistema de segunda ordem que tem apenas dois polos complexos dominantes
Vamos analisar o efeito de um polo adicional em um sistema de segunda ordem
Resposta de Sistema com Polos Adicionais
69Carlos Alexandre Mello [email protected]
Vamos analisar as condies que devem existir para aproximar o comportamento de um sistema de trs polos para um de dois polos
Considere um sistema de trs polos com polos complexos e um polo real
Considere os polos complexos em: - n jn1 - 2
e o real em -r A sada ento:
ou:
Resposta de Sistema com Polos Adicionais
70Carlos Alexandre Mello [email protected]
A exponencial com expoente r o termo novo derivado do fato do sistema ter trs polos, portanto, o elemento a ser analisado
Consideraremos trs casos: Caso I: r = r1 e no muito maior que n Caso II: r = r2 >> n Caso III: r
Resposta de Sistema com Polos Adicionais
Termo 1 Termo 2 Termo 3
71Carlos Alexandre Mello [email protected]
Caso II: r = r2 >> n O termo 3 tende a decair bem mais rpido que o termo 2 que
traz a resposta ao degrau subamostrada Assim, o sistema tende a um sistema de segunda ordem puro
Caso III: r Igual a antes, o termo 3 decai rapidamente e tendemos a ter um
sistema de segunda ordem puro Caso I:
O sistema no pode ser aproximado para um de segunda ordem
Resposta de Sistema com Polos Adicionais
Termo 1 Termo 2 Termo 3
72Carlos Alexandre Mello [email protected]
Resposta de Sistema com Polos Adicionais
73Carlos Alexandre Mello [email protected]
Vamos adicionar um zero a um sistema de segunda ordem
Como vimos antes, os zeros afetam a amplitude da resposta
Considere por exemplo o sistema:
e analisar seu comportamento para a = 3, 5 e 10 Polos: -1 j2,828
Resposta de Sistema com Zeros
74Carlos Alexandre Mello [email protected]
Resposta de Sistema com Zeros
deng = [1 2 9];Ta = tf([1 3]*9/3, deng);Tb = tf([1 5]*9/5, deng) ;Tc = tf([1 10]*9/10, deng);T= tf(9,deng);step (T, Ta, Tb, Tc)text (0.5, 0.6, 'no zero')text (0.4, 0.7, 'zero at -10')text (0.35, 0.8, 'zero at -5')text (0.3, 0.9, 'zero at -3')
75Carlos Alexandre Mello [email protected]
medida que o zero se afasta dos polos dominantes (aumenta seu valor absoluto), a resposta se aproxima de um sistema de segunda ordem
Quanto mais perto ele estiver, mais afeta a resposta transitria
Considere um sistema com resposta C(s) sem zeros
Adicionar um zero ao sistema o mesmo que termos: (s + a)C(s) = sC(s) + aC(s) Ou seja, a derivada da resposta original e uma verso
em escala da resposta original
Resposta de Sistema com Zeros
76Carlos Alexandre Mello [email protected]
Se a, o negativo do zero, muito grande, a transformada de Laplace ser aproximadamente aC(s), ou seja, apenas a verso em escala da resposta original
Se a no for to grande, a resposta tem um componente adicional que a derivada da resposta original
medida que a diminui, o termo derivativo contribui mais e mais com a resposta e aumenta seu efeito como pode ser visto na figura anterior
Resposta de Sistema com Zeros
77Carlos Alexandre Mello [email protected]
Se a for negativo, o zero passa a estar no semi-plano direito, o resultado para um sistema de segunda ordem pode ser visto a seguir, onde a resposta comea negativa at alcanar um valor de estado estacionrio positivo
Tal sistema chamado de sistema de fase no-mnima
Se um carro um sistema de fase no-mnima, ele vai primeiro virar um pouco para a esquerda quando receber o comando para virar direita
Resposta de Sistema com Zeros
78Carlos Alexandre Mello [email protected]
Resposta de Sistema com Zeros
79Carlos Alexandre Mello [email protected]
Exerccios Sugeridos (Nise) Cap. 4, Problemas:
2, 8, 10, 17, 18, 20, 28, 29, 33, 35, 36, 37, 45 (mas usando os conceitos da seo 4.10 e no 4.11)
No MatLab: 3, 9, 11, 21, 46 (idem ao comentrio da questo 45)
80Carlos Alexandre Mello [email protected]
A Seguir.... Reduo de Mltiplos Subsistemas