67.12 - MECANISMOS B

RESORTES HELICOIDALES

(TERICO)

CDIGO: 67.12.22a

Ing. MAYER, Omar E.

AGOSTO 2.001

DEFINICIN: Elementos de mquinas que poseen la propiedad de experimentar grandes deformaciones (tal vez por excelencia), dentro del perodo elstico, por la accin de las cargas que los solicitan, construidos con materiales de alta elasticidad (tpicamente acero).

El resorte helicoidal de compresin, como parte de los automotores, sustenta las carrocera y carga de los mismos transmitiendo la carga total a los ejes (puntas de eje) y / o rboles (palieres) de ruedas. El resorte helicoidal de compresin es utilizado tambin en los motores alternativos de combustin interna y en los compresores alternativos de gases, como elemento asegurador del cierre de las vlvulas de admisin y escape.

RESORTES HELICOIDALES CILNDRICOS DE TRACCIN - COMPRESIN Construidos (ver FIGURA 01 adjunta) por un alambre arrollado en forma de hlice cilndrica o cnica, poseen sus extremos con una configuracin ad hoc, a efectos la aplicacin de la carga axial (traccin o compresin) se realice en correspondencia con el eje de simetra de los cilindros o conos que sustentan las hlices que conforman las distintas fibras del alambre.

Muy por el contrario de lo que se pueda sospechar y como ya se ver, el alambre, ante la accin de una carga axial para el resorte, es sometido fundamentalmente a torsin Las caractersticas definitorias de un resorte helicoidal cilndrico, el que se somete al presente estudio, son: a) d = Dimetro del alambre si el mismo es de seccin circular (puede

no ser as). r = Radio del alambre si el mismo es de seccin circular (puede no

ser as). b) D = Dimetro de la espira o vuelta del resorte (hlice central). R = Radio de la espira o vuelta del resorte (hlice central). c) ta = Paso axial de la espira o vuelta del resorte. d) Lr = Longitud del resorte. e) Material conque esta construido.

(constante de elasticidad y lmites de proporcionalidad y elstico).

Antes de tratar los resortes en s, se recordar que una lnea helicoidal cilndrica es una lnea desarrollable (volcable sobre un plano) y que una vez desarrollada, la lnea resulta en una recta.

El esquema izquierdo de la FIGURA 02 adjunta, representa un plano rectangular (practquese con una hoja de papel) de lados 2 * N * R (desarrollo o permetro de un cilindro de radio R) y ta y con un trazo diagonal.

Arrollado el plano (la hoja de papel) en forma de cilindro, como muestra el esquema derecho de la misma figura, resulta un cilindro de radio R y altura ta, con una lnea helicoidal o hlice (formada por la diagonal de la hoja) de

radio R y de paso axial ta. El ngulo , a llamar ngulo de inclinacin de la hlice, es tambin ngulo entre cualquier tangente a la hlice y cualquier plano transversal al cilindro que sustenta la hlice.

As las cosas, el paso ta de una hlice cilndrica resulta ser la distancia que existe entre dos puntos sucesivos de la misma, cuando dicha distancia es medida sobre la generatriz del cilindro que sustenta la hlice.

Pudiendo haberse trazado en el plano rectangular la diagonal vista espejo, resulta una hlice vista espejo y consecuentemente de comprender la existencia de hlices derechas y hlices izquierdas.

Dispuestos N planos (hojas) en forma de escalera, unidos uno a uno por los vrtices (uno de los vrtices superiores del plano inferior con el vrtice inferior opuesto del plano superior), todos ellos con un trazo diagonal consecuente y de la misma direccin; una vez arrollados los mismos de manera continua (uno tras otro), resultan N cilindros, uno arriba del otro, y una hlice continua de N vueltas o espiras, de paso axial constante y de valor ta.

En los resortes cilndricos helicoidales, el alambre resulta ser de dimensiones transversales bastante inferiores al dimetro del cilindro, por lo que en un principio y as se har, se confundir el alambre con una lnea como la referenciada anteriormente. Recordando que ambos extremos de los resortes se configuran de manera tal que la direccin de la carga (traccin o compresin) a la que se someten dichos resortes se corresponda con el eje de simetra del cilindro que sustenta la hlice, las FIGURAS 01 y 03 adjuntas representa un resorte de traccin. Construidos estos elementos de mquinas, fundamentalmente con acero y recordando el comportamiento similar que presenta este material a la traccin como a la compresin, el anlisis de un resorte de traccin resulta vlido para uno de compresin, con independencia de los signos.

Estando descargado un resorte de traccin, no hay motivo alguno para que el mismo y ante dicho estado de carga, no posea sus espiras pegadas. Teniendo presente las escasas dimensiones de la seccin transversal del alambre frente al dimetro del resorte, puede considerarse un ngulo de inclinacin de la hlice pequeo, principalmente si el resorte est descargado; idntica situacin se considera para el resorte cargado y para el estudio que se expone, a efectos simplificar el mismo.

Para el resorte de compresin, por el contrario, el ngulo de inclinacin de la hlice resulta del menor valor posible, cuando el resorte es cargado hasta su admisibilidad, sin por ello llegar a pegar sus espiras. Para analizar el estado de tensiones de las secciones transversales del alambre (en todas las secciones, el mismo estado de tensiones), fuera de los extremos del resorte (los extremos merecen un anlisis propio a no considerar), seccinese el alambre por una de sus secciones transversales y equilbrese la misma con esfuerzos normales y tangenciales y momentos (de flexin y de torsin) equivalentes a la accin del trozo (cargado) de resorte extrado.

Formando cualquier seccin transversal del alambre con el eje de simetra del cilindro (direccin de la carga del resorte) el ngulo de inclinacin de la hlice (ver FIGURA 03 adjunta), la carga F y descompuesta en F * cos() (de la direccin de los planos que contienen a las secciones) y en F * sen() (de direccin normal a los planos que contienen a las secciones) trasladada a la seccin en estudio, origina sobre la misma los siguientes esfuerzos:

Por el traslado de F * cos():

Un Momento Torsor de valor Mt = F * cos () * R

Un Esfuerzo de Corte Cizallante de valor Q = F * cos ()

Por el traslado de F * sen ():

Un Momento Flector de valor Mf = F * sen () * R

Un Esfuerzo Normal de valor N = F * sen ()

Supuesto pequeo como se expuso, se supondr:

cos () = 1 ;;;;;; sen () = 0

Atendiendo a dicha simplificacin, el estado de esfuerzos a que se encuentran sometidos las secciones transversales del alambre queda reducido a:

Mt = F * R ;;;;;;;; Q = F

COMO OPORTUNAMENTE SE EXPUSO, EN UN RESORTE DE TRACCIN COMPRESIN, EL ALAMBRE SE ENCUENTRA SOMETIDO A TORSIN.

Considerando distribucin parablica de tensiones tangenciales cizallantes (esfuerzo Q), distribucin lineal de tensiones tangenciales de torsin (esfuerzo Mt) y alambre de seccin circular y siendo d el dimetro de la seccin, Wp su mdulo resistente polar, la tensin tangencial mxima que se produce en el mismo resulta de:

Tensin tangencial Mt Siendo tmx = mxima debida = ----

a la torsin Wp

Tensin tangencial 4 * F

cmx = mxima debida al = -------------------- ;;;;;; resulta esfuerzo cizallante Q 3 * N * r^2

Mt 4 * F

mx = tmx + cmx = ---- + -------------------- Wp 3 * N * r^2

2 * Mt 4 * F

mx = -------------- + -------------------- N * r^3 3 * N * r^2

2 * F * R 4 * F

mx = ------------- + -------------------- N * r^3 3 * N * r^2

2 * F * R 2 r

mx = --------------- * ( 1 + -- * --- ) N * r^3 3 R

La expresin utilizada tmx = Mt / Wp se fundamenta en el mismo ngulo de distorsin para todas las generatrices de la espira y resultando que dicha igualdad se presenta cuando los cuerpos que se estudian (a la torsin) resultan de generatrices cilndricas, dicha situacin no se da en el resorte, el cual resulta en un cuerpo helicoidalmente toroidal (alambre de seccin circular). Ante la hiptesis de que durante la torsin del alambre, las secciones transversales del mismo se mantienen planas y los radios rectilneos, el ngulo de torsin resulta el mismo para todos los puntos de la seccin, NO AS los ngulos de distorsin, en funcin de que la generatriz interior del toroide se distorsiona mas que la exterior (ver FIGURA 04 adjunta) por ser de menor longitud la interior que la exterior. De aqu entonces, resulta una tensin tangencial de torsin mayor en el interior de la espira que en el exterior de la misma (ver FIGURA 05 adjunta), correspondiendo aplicar un coeficiente concentrador de tensiones, mas teniendo en cuenta que los resortes trabajan las mas de las veces bajo cargas (solicitaciones) variables.

El coeficiente C, llamado de Wahl, teniendo en cuenta dicha concentracin de tensiones tangenciales de torsin y la relacin [ 1 + (2 / 3) * (r / R) ], es graficado (ver FIGURA 06 adjunta) en funcin de la relacin ( R / r ) y proporciona el clculo de mx a travs de:

2 * F * R

mx = --------------- * C N * r^3

La relacin (R / r) se denomina ndice del resorte y vara normalmente entre 3 y 10, variacin dentro de la cual se verificara el coeficiente de Wahl. Los valores de C se encuentran tablados en los manuales de resortes y decrecen con el aumento del valor del ndice.

ALARGAMIENTO DE UN RESORTE HELICOIDAL DE TRACCIN

Soportando una cierta carga F, un resorte de traccin sufrir un cierto alargamiento en su direccin axial llamado tambin flecha, deducible de manera simplificada considerando lo siguiente:

Siendo que el alambre se encuentra sometido a torsin, dos secciones transversales del mismo alejadas entre s una magnitud diferencial de longitud dL experimentan una rotacin diferencial relativa d, dada por:

Mt

d = ---------- * dL G * Jp

donde Jp = Momento areolar polar de segundo orden de la seccin del

alambre. G = Mdulo de elasticidad transversal del material con que est

construido dicho alambre.

Vista la seccin transversal del alambre en estudio, como as tambin una opuesta diametralmente, a travs de una seccin longitudinal del resorte como muestra la FIGURA 07 adjunta, ambas secciones y debido a la torsin, desplazan el extremo libre B del resorte hacindolo la seccin izquierda a la posicin Bi y la derecha a la posicin Bd Pudiendo ser descompuesto cada desplazamiento en un desplazamiento transversal al eje de simetra del resorte y en uno longitudinal, los desplazamientos transversales se anulan mutuamente (la rotacin de cada seccin del alambre produce un desplazamiento transversal que es anulado por la misma rotacin de la seccin diametralmente opuesta (mejor aun, de la seccin infinitesimalmente vecina por detrs)) no distorsionando el resorte.

------- Siendo entonces B B = diferencial de alargamiento (diferencial de flecha) producida por la rotacin d entre las secciones de un elemento diferencial de longitud dL del alambre, el alargamiento (flecha) total del resorte resulta

------- de integrar B B = df a toda la longitud del alambre que constituye l resorte.

------- ------- Siendo df = B B = B Bi * cos()

------- ------- R B Bi = A B * d ;;;;;; cos() = ------

------- A B

------- R

resulta df = A B * ------ * d = R * d ------- A B

Mt Mt * R

siendo d = --------- * dL df = ---------- * dL G * Jp G * Jp

F * R^2

siendo Mt = F * R df = ------------ * dL G * Jp

F * R^2 F * R^2 L

siendo df = ------------- * dL f = ----------- dL G * Jp G * Jp 0

F * R^2 f = ------------- * L G * Jp

con N = Nmero de vueltas o espiras ;;;;; resulta

L = 2 * N * R * N luego

2 * N * R^3 * N G * Jp f = ----------------------- * F F = ----------------------- * f G * Jp 2 * N * R^3 * N

Si con k se identifica la constante elstica del resorte, la misma resulta en:

de F = k * f G * Jp G * Jp k = -----------------------

y de F = ----------------------- * f 2 * N * R^3 * N 2 * N * R^3 * N

G * Jp

de k = ----------------------- 2 * N * R^3 * N G * N * r^4 k = ----------------------- N * r^4 8 * N * R^3 * N

y de Jp = ----------------------- 4

G * r k = ----------------------- 8 * (R / r)^3 * N

Del anlisis de las distintas expresiones para la constante elstica k, o de f = f(F), surge que: a) A mayor G, resortes ms rgidos, esto es, menos deformables ante una

misma carga b) A mayor r (d), resortes ms rgidos, esto es, menos deformables ante

una misma carga c) A mayor R (D), resortes menos rgidos, esto es, ms deformables ante

una misma carga

RESORTES DE TORSIN

Estando arrollado el alambre en forma de espiral plana, el mismo en estos tipos de resorte trabaja sometido a solicitaciones normales y los resortes son utilizados por ejemplo, en relojes mecnicos y en numerosos juguetes a cuerda, constituyendo justamente dicho elemento.

)

)