Resonancias y antiresonancias.En esta página, vamos a estudiar un sistema particular importante: el formado por N partículas de lamisma masam, unidas por muelles de la misma constante k, bajo la acción de una fuerza F0·cos(ωf·t)aplicada a la primera partícula, tal como se ve en la figura.

La solución particular del sistema de ecuaciones diferenciales indica que cada partícula describirá un MASde amplitud A y frecuencia angular ωf, en fase o en oposición de fase con la fuerza oscilante.Representaremos la amplitud A en función de la frecuencia de la fuerza oscilante ωf para identificar lasresonancias y antiresonancias.

Sistema de dos partículas, N=2

Consideremos un sistema formado por dos partículas unidas por muelles elásticos.

Las ecuaciones diferenciales del movimiento de cada una de las partículas es

Nos fijamos que con esta notación, la matriz M de las masas es la matriz unidad. Por lo que calculamoslos valores propios y los vectores propios de la matriz K, cuyos términos son proporcionales alcociente k/m . Los pasos para obtener la representación gráfica de las amplitudes de cada una de laspartículas en función de la frecuencia de la fuerza oscilante ω son los siguientes:

m = −k − k( − ) + cos(ωt)d2x1

dt2 x1 x1 x2 F 0

m = −k − k( − )d2x2

dt2 x2 x2 x1

( ) + ( ) ( ) = ( )m0

0m

d2x1

dt2

d2x2

dt2

2k−k

−k2k

x1

x2

F(t)0

( ) + ( ) ( ) = ( )10

01

d2x1

dt2

d2x2

dt2

2ω20

−ω20

−ω20

2ω20

x1

x2

cos (ωt)f 0

0

=   =ω20

km

f 0F 0

mM + Kx = Fx

1.-Valores propios de la matriz K. Frecuencias de los modos normales de vibración

>> syms w0;>> K=sym('[2*w0^2,-w0^2;-w0^2,2*w0^2]');>> [V,D]=eig(K) V = [ -1, 1][ 1, 1] D =[ 3*w0^2, 0][ 0, w0^2]

La matriz diagonal D contiene en su diagonal principal los cuadrados de las frecuencias de los modosnormales de vibración, ω1 y ω2.

Los vectores columna de la matriz V son los vectores propios correspondientes a cada uno de los valorespropios.

2.-Cálculo de la matriz V. Las ecuaciones diferenciales del movimiento sedesacoplan

Creamos una nueva matriz V, multiplicando los vectores propios por un factor de escala de modo que

>> M=[1,0;0,1];>> X1=V(:,1);>> X2=V(:,2);>> r=X1'*M*X1r =2>> X1=X1/sqrt(r);>> r=X2'*M*X2r =2>> X2=X2/sqrt(r);>> V=[X1,X2];>> Mg=V'*M*VMg = [ 1, 0][ 0, 1]>> Kg=V'*K*VKg =[ 3*w0^2, 0][ 0, w0^2]

La nueva matriz V es

Definimos un nuevo vector u(t) de modo que

= 3   =ω21 ω2

0 ω22 ω2

0

= ⋅M⋅V = ( )M g (V) T 10

01

= ⋅K⋅V = ( )K g (V) T ω21

00

ω22

V =−

2√22√

2

2√22√

2

x(t) = V⋅u(t)(t) = V⋅ (t)x u

La ecuación diferencial del movimiento en forma matricial se transforma en

3.-Solución de las ecuaciones diferenciales del movimiento desacopladas

El comportamiento del sistema se describe mediante un sistema de dos ecuaciones diferencialesdesacopladas

La solución de cada una de estas ecuaciones diferenciales es la suma de su homogénea que depende de lascondiciones iniciales y de la solución particular que depende de la expresión de cada una de lasfuerzas f1(t) yf2(t). Supondremos que se ha alcanzado el estado estacionario, por lo que solamente estamosinteresados en la solución particular.

>> syms t w f0;>> F=[f0*cos(w*t);0];>> f=V'*Ff = -(2^(1/2)*f0*cos(t*w))/2 (2^(1/2)*f0*cos(t*w))/2

Las soluciones particulares u1(t) y u2(t) de las ecuaciones diferenciales del movimiento desacopladas sepuede calcular fácilmente.Véase el oscilador forzado sin rozamiento γ=0

u1(t)=A1cos(ωt)

u2(t)=A2cos(ωt)

Calculamos A1y A2 introduciendo cada solución particular en su ecuación diferencial respectiva.

4.-Posición de cada una de las partículas en función del tiempo

Una vez que obtenemos el movimiento de cada partícula en términos de las coordendas u1(t) y u2(t) sevuelven a transformar en coordenadas físicas x1(t) y x2(t), mediante x=V·u.

M⋅V⋅ (t) + KV⋅u(t) = Fu⋅M⋅V⋅ (t) + ⋅KV⋅u(t) = ⋅F(V) T u (V) T (V) T

⋅ (t) + ⋅u(t) = f (t)M g u K g

= ( )  = ( )M g10

01

K gω2

1

00

ω22

+ = (t)d2u1

dt2 ω21u1 f 1

+ = (t)d2u2

dt2 ω22u2 f 2

− cos(ωt) + cos(ωt) = − cos(ωt)  = −ω2A1 ω21A1

2√2 f 0 A1

2√2 f 0

1−ω2

1 ω2

− cos(ωt) + cos(ωt) = cos(ωt)  =ω2A2 ω22A2

2√2

f 0 A22√

2f 0

1−ω2

2 ω2

>> u=f./(diag(D)-w^2);>> x=V*uu = (2^(1/2)*f0*cos(t*w))/(2*(w^2 - 3*w0^2)) -(2^(1/2)*f0*cos(t*w))/(2*(w^2 - w0^2))x = - (f0*cos(t*w))/(2*(w^2 - w0^2)) - (f0*cos(t*w))/(2*(w^2 - 3*w0^2)) (f0*cos(t*w))/(2*(w^2 - 3*w0^2)) - (f0*cos(t*w))/(2*(w^2 - w0^2))

5.-Representación gráfica de las amplitudes de cada MAS en función de lafrecuencia ω

Los coeficientes B1 y B2 que multiplican a cos(ωt) en las expresiones de x1(t) y x2(t) son las amplitudesque vamos a representar en función de la frecuencia ω/ω0 de la fuerza oscilante.

x1(t)=B1cos(ωt)

x2(t)=B2cos(ωt)

>> B=x/(f0*cos(w*t))>> B= simplify(B)B = - 1/(2*(w^2 - w0^2)) - 1/(2*(w^2 - 3*w0^2)) 1/(2*(w^2 - 3*w0^2)) - 1/(2*(w^2 - w0^2))>> B=subs(B,w0,sym('1')) B = - 1/(2*(w^2 - 1)) - 1/(2*(w^2 - 3)) 1/(2*(w^2 - 3)) - 1/(2*(w^2 - 1))>> hold on>> ezplot(B(1),[0,3])>> hg=ezplot(B(2),[0,3]);>> set(hg,'color','r')>> hold off>> grid on>> xlabel('\omega/\omega_0')>> ylabel('Amplitud')>>title('Dos osciladores acoplados, forzados')

(t) = − cos(ωt)u12√

2 f 01−ω2

1 ω2

(t) = cos(ωt)u22√

2f 0

1−ω2

2 ω2

( ) = ( )(t)x1

(t)x2

−2√

22√

2

2√22√

2

(t)u1

(t)u2

(t) = ( + )cos(ωt)x1f 02

1−ω2

1 ω21−ω2

2 ω2

(t) = (− + ) cos(ωt)x2f 02

1−ω2

1 ω21−ω2

2 ω2

= 3   =ω21 ω2

0 ω22 ω2

0

La amplitud B1se hace cero cuando

A esta frecuencia se le denomina antiresonancia ωa.

B2 presenta un máximo para esta misma frecuencia, como puede probarse calculando la derivada respectode ω e igualando a cero.

En un MAS las amplitudes se consideran cantidades positivas por lo que la ecuación del movimiento decada partícula se escribe

x1(t)=|B1|cos(ωt+δ1)

x2(t)=|B2|cos(ωt+δ2)

1. Una amplitud negativa equivale a una amplitud positiva con una fase inicial δ=π. El desplazamiento x dela partícula está en oposición de fase con la fuerza oscilante.

2. Una amplitud positiva equivale a una amplitud positiva con una fase inicial δ=0. El desplazamiento x dela partícula está en fase a la fuerza oscilante.

En la figura vemos que

De ω=0 a ω=ω1: las amplitudes B1 y B2 son positivas y las fases δ1=0 y δ2=0.

= +  B 11−ω2

1 ω21−ω2

2 ω2

= 0 ω =B 1 2√ ω0

= − +B 21−ω2

1 ω21−ω2

2 ω2

= 0 ω =dB 2

dω2√ ω0

De ω=ω1a ω=ωa: las amplitudes B1 y B2 son negativas y las fases δ1=π y δ2=π.

De ω=ωaa ω=ω2: la amplitudes B1 es positiva y B2 es negativa y las fases δ1=0 y δ2=π.

De ω=ω2a ω=∞ la amplitud B1 es negativa y B2 es positiva y las fases δ1=π y δ2=0.

>> hold on>> ezplot(abs(B(1)),[0,3])>> hg=ezplot(abs(B(2)),[0,3]);>> set(hg,'color','r')>> hold off>> grid on

Unimos las distintas porciones de código para crear un script que pueda ser modificado para estudiar otrossistemas, por ejemplo cinco partículas de masa m unidas a muelles elásticos iguales de constante k.

syms w0 t w f0;K=sym('[2*w0^2,-w0^2;-w0^2,2*w0^2]');M=sym('[1,0;0,1]');F=[f0*cos(w*t);0];

[V,D]=eig(K);for k=1:length(F) X=V(:,k); r=X'*M*X; X=X/sqrt(r); V(:,k)=X;endf=V'*F;

u=f./(diag(D)-w^2);x=V*u;

B=x/(f0*cos(w*t));

B=simplify(B);B=subs(B,w0,sym('1'))color=['b','r','g','k','c'];hold onfor k=1:length(F) hg=ezplot(abs(B(k)),[0,3]); set(hg,'color',color(k),'displayName',num2str(k))endhold offgrid onlegend('-DynamicLegend','location','NorthEast')xlabel('\omega/\omega_0')ylabel('Amplitud')title('Osciladores acoplados forzados')

Sistema de cinco partículas, N=5

Escribimos las ecuaciones del movimiento de cada una de las partículas y su representación matricial

Utilizamos el mismo script que para dos partículas, solamente tenemos que cambiar la matriz K, lamatriz M y el vector F, el resto del código no cambia

syms w0 t w f0;K=sym('[2*w0^2,-w0^2,0,0,0;-w0^2,2*w0^2,-w0^2,0,0;0,-w0^2,2*w0^2,...-w0^2,0;0,0,-w0^2,2*w0^2,-w0^2;0,0,0,-w0^2,2*w0^2]');M=sym('[1,0,0,0,0;0,1,0,0,0;0,0,1,0,0;0,0,0,1,0;0,0,0,0,1]');F=[f0*cos(w*t);0;0;0;0];......

m = −k − k( − ) + cos(ωt)d2x1

dt2 x1 x1 x2 F 0

m = −k( − ) − k( − )d2x2

dt2 x2 x1 x2 x3

m = −k( − ) − k( − )d2x3

dt2 x3 x2 x3 x4

m = −k( − ) − k( − )d2x4

dt2 x4 x3 x4 x5

m = −k( − ) − kd2x5

dt2 x5 x4 x5

M + Kx = Fx

M =  

10000

01000

00100

00010

00001

K =  F =

2ω20

−ω20

000

−ω20

2ω20

−ω20

00

0−ω2

0

2ω20

−ω20

0

00

−ω20

2ω20

−ω20

000

−ω20

2ω20

cos (ωt)f 0

0000

=   =ω20

km f 0

F 0m

En esta gráfica podemos observar que las amplitudes se hacen muy grandes, tienden a infinito, cuando lafrecuencia ω de la fuerza oscilante se hace igual a la frecuencia de cada uno de los modos normales devibraciónωi, i=1,2,3,4,5. Los cuadrados de estas frecuencias están en la diagonal de la matriz D de losvalores propios de la matriz K.

>> w2=diag(D);w2 = 2*w0^2 w0^2 3*w0^2 3^(1/2)*w0^2 + 2*w0^2 2*w0^2 - 3^(1/2)*w0^2>> w2=subs(w2,w0,sym('1'))w2 = 2 1 3 3^(1/2) + 2 2 - 3^(1/2)>> double(sqrt(w2))ans = 1.0000 1.4142 1.7321 1.9319 0.5176

Las amplitudes se hacen nulas para ciertas frecuencias denominadas antiresonancias. Utilizando el iconoData Cursor de la ventana gráfica podemos ver los valores aproximados de las frecuencias.Alternativamente, la función solve de Math Symbolic nos calcula las raíces. Buscamos los ceros de laprimera amplitud B1 (solamente son válidos los valores positivos)

>> wa=solve(B(1))

wa = 5^(1/2)/2 + 1/2 1/2 - 5^(1/2)/2 5^(1/2)/2 - 1/2 - 5^(1/2)/2 - 1/2 (5^(1/2)/2 + 5/2)^(1/2) (5/2 - 5^(1/2)/2)^(1/2) -(5^(1/2)/2 + 5/2)^(1/2) -(5/2 - 5^(1/2)/2)^(1/2)>> double(wa)ans = 1.6180 -0.6180 0.6180 -1.6180 1.9021 1.1756 -1.9021 -1.1756

Buscamos los ceros de la segunda amplitud B2

>> wa=solve(B(2))wa = (2^(1/2) + 2)^(1/2) -(2^(1/2) + 2)^(1/2) (2 - 2^(1/2))^(1/2) -(2 - 2^(1/2))^(1/2)>> double(wa)ans = 1.8478 -1.8478 0.7654 -0.7654

La tercera amplitud B3 y la cuarta B4 no tienen ceros

En la gráfica anterior vemos también los intervalos en los que cada una de las cinco amplitudes cambia designo, lo que nos permite determinar la fase (en fase o en oposición de fase a la fuerza oscilante). Losvalores absolutos de las amplitudes se representan en la siguiente gráfica

Cuando hay rozamiento

Vamos a mostrar con un ejemplo que cuando hay rozamiento proporcional a la velocidad la antiresonanciano está presente.

Para un sistema de dos partículas las ecuaciones del movimiento son ahora.

Si combinamos las dos ecuaciones diferenciales primero sumando y luego restando, obtenemos dosecuaciones diferenciales del movimiento desacopladas en términos de dos nuevasvariables X1=x1+x2 y X2=x1-x2.

Las soluciones particulares de estas dos ecuaciones diferenciales se obtienen introduciendo en cada una deellasX=Acos(ωt)+Bsin(ωt). Calculamos los coeficientes A1,B1, A2 B2.

m = −λ − k − k( − ) + cos(ωt)d2x1

dt2dx1

dtx1 x1 x2 F 0

m = −λ − k − k( − )d2x2

dt2dx2

dtx2 x2 x1

m = −λ − k + cos(ωt)d2X 1

dt2dX 1

dt X 1 F 0

m = −λ − 3k + cos(ωt)d2X 2

dt2dX 2

dtX 2 F 0

+ 2γ + = cos(ωt)d2X 1

dt2dX 1

dtω2

0X 1 f 0

+ 2γ + 3 = cos(ωt)d2X 2

dt2dX 2

dtω2

0X 2 f 0

Las soluciones de las dos ecuaciones diferenciales desacopladas son

Los desplazamientos x1 y x2 de las partículas en función del tiempo son:

Representamos C1 y C2 en función del cociente de la frecuencia de la fuerza oscilante ω/ω0

w=linspace(0,2.5,200);w0=1;f0=1;g=0.1;A1=(w0^2-w.^2)./((w0^2-w.^2).^2+4*g^2*w.^2);B1=2*g*w./((w0^2-w.^2).^2+4*g^2*w.^2);A2=(3*w0^2-w.^2)./((3*w0^2-w.^2).^2+4*g^2*w.^2);B2=2*g*w./((3*w0^2-w.^2).^2+4*g^2*w.^2);C1=sqrt((A1+A2).^2+(B1+B2).^2)/2;C2=sqrt((A1-A2).^2+(B1-B2).^2)/2;hold onplot(w,C1,'b')plot(w,C2,'r')hold offgrid onlegend('1','2');xlabel('\omega/\omega_0')ylabel('Amplitud')title('Osciladores acoplados, forzados con rozamiento')

=   =A1( − )ω2

0 ω2

+ 4( − )ω20 ω2 2 γ 2ω2

f 0 B 12γω

+ 4( − )ω20 ω2 2 γ 2ω2

f 0

=   =A2(3 − )ω2

0 ω2

+ 4(3 − )ω20 ω2 2 γ 2ω2

f 0 B 22γω

+ 4(3 − )ω20 ω2 2 γ 2ω2

f 0

{= cos(ωt) + sin(ωt)X 1 A1 B 1

= cos(ωt) + sin(ωt)X 2 A2 B 2

{= ( + ) /2 = (( + )/2) cos(ωt) + (( + )/2) sin(ωt) = sin(ωt + )x1 X 1 X 2 A1 A2 B 1 B 2 C1 φ1

= ( − ) /2 = (( − )/2) cos(ωt) + (( − )/2) sin(ωt) = sin(ωt + )x2 X 1 X 2 A1 A2 B 1 B 2 C2 φ2

  =sin =C1 φ1

+A1 A2

2

cos =C1 φ1+B 1 B 2

2

C112

+( + )A1 A22 ( + )B 1 B 2

2− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

  =sin =C2 φ2

−A1 A2

2

cos =C2 φ2−B 1 B 2

2

C212 +( − )A1 A2

2 ( − )B 1 B 22− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−

√

Como vemos en la figura, C1 y C2 ya no se hacen cero. No hay antiresonancias.