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Resolucion de Problemas Tema 8

5. Cuando se calcula una integral doble es conveniente identificar primero el conjunto en el plano

XY sobre lo cual estamos integrando, es decir el conjunto de integracion.

a) El conjunto de integracion D se define como el conjunto de puntos que se encuentran

entre el eje Y y la parabola x = 4y2 + 3. Este conjunto se puede definir de dos manerasdistintas

D =

{(x, y) R2 : 0 x 4y2 + 3,

3

2 y

3

2

}o

D =

{(x, y) R2 : 0 x 3,

3 x2

y

3 x2

}.

0.5 0.5 y0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0x

1 2 3 4 x

0.5

0.5

y

Figura 1: Conjunto D definido de dos maneras distintas dependiendo del plano de referencia.

Luego, la integral doble se puede calcular de dos maneras que dependen del orden por la

cual integramos las variables.

i)

D

x3y dx dy =

32

32

4y2+30

x3y dx dy =

32

32

[x4y

4

]x=4y2+3x=0

dy =

=

32

32

(4y2 + 3)4y4

dy =

[(4y

2 + 3)5

160

]y=32

y=32

= 0.

ii)

D

x3y dy dx =

30

3x2

3x2

x3y dy dx =

30

[x3y2

2

]y=3x2

y=3x2

dx =

=

30

(x3(3 x)

8 x

3(3 x)8

)dx = 0.

1

Tema 8. Calculo Integral de varias Variables. 2

b) El conjunto D definido por

D =

{(x, y) R2 : 0 2

pix y senx

}representa el conjunto de puntos comprendidos entre la recta y = 2

pix y la curva y = senx.

0.5 1.0 1.5 x0.2

0.4

0.6

0.8

1.0y

Figura 2: Conjunto D limitado superiormente por la curva y = senx e inferiormente por la recta

y = 2pix.

Observamos que para cualquier punto (x, y) D se tiene 0 x pi2

y 2pix y senx.

Entonces,D

y dx dy =

pi2

0

senx2pix

y dy dx =

pi2

0

[y2

2

]y=senxy= 2

pix

dx =

pi2

0

(sen2 x

2 2pi2x2)dx

=pi

8 pi

12=

pi

24.

Recordar que la integral simple del seno al cuadrado se calcula usando integracion por

partes del siguiente modo: pi2

0

sen2 x dx = [ senx cosx]x=pi2

x=0 +

pi2

0

cos2 x dx

es decir pi2

0

sen2 x dx =

pi2

0

cos2 x dx.

Como cos2 x = 1 sen2 x, concluimos que pi2

0

sen2 x dx =

pi2

0

(1 sen2 x) dx pi

2

0

sen2 x dx =pi

4.

7. Para calcular una integral doble se puede cambiar el orden de integracion de las variables

siempre que no hay dependencia entre ellas. Cuando existe dependencia entre las variables

de integracion se puede cambiar el orden siempre y cuando se define correctamente el mismo

conjunto de integracion.

a) Dada la integral 31

2x+3x2

x dy dx,


2 1 0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

X

Y

Figura 3: Conjunto D.

el conjunto de integracion se define por

D ={

(x, y) R2 : 1 x 3, x2 y 2x+ 3} .Observamos que la variable y depende de la variable x. Para efectuar un cambio en el orden

de integracion de las variables hay que definir el conjunto D de modo que x dependa de

y. Es decir, se puede definir

D = {(x, y) : 0 y 1,y x y} {

(x, y) : 1 y 9, y 32 x y

}.

Luego, tenemos que 31

2x+3x2

x dy dx =

10

yy

x dx dy +

91

yy32

x dx dy =

=

10

[x2

2

]x=yx=y

dy +

91

[x2

2

]x=yx= y3

2

dy =32

3.

9. Vamos calcular la integral doble 11

4y2

4y2yx4 + 1 dx dy. (1)

Observamos que el conjunto de integracion D se define por

D ={

(x, y) R2 :

4 y2 x

4 y2, 1 y 1}.

Si consideramos las desigualdades que definen la variable x, es decir 4 y2 x 4 y2,y las elevamos al cuadrado, concluimos que x2 4 y2 x2 + y2 4. Esto nos dice que elconjunto D es el conjunto de puntos que se encuentran sobre la circunferencia centrada en el

origen y de radio 2 y los puntos en su interior tales que 1 y 1.


2 1 0 1 22

1

0

1

2

Figura 4: Conjunto de integracion D.

Si intentamos calcular la integral en (1) tenemos que calcular primero la primitiva en x de la

funcion yx4 + 1, la cual no es trivial. Sin embargo, observamos que la primitiva en y de la

funcion yx4 + 1 s que es inmediata. Entonces, si queremos cambiar el orden de integracion

de las variables hay que redefinir el conjunto de integracion de modo que la variable y dependa

de la variable x, y esta ultima este libre.

Observamos que de la desigualdad x2 + y2 4 obtenemos 4 x2 y 4 x2. Luego, elconjunto D tambien se puede definir como

D = D1 D2 D3,

donde

D1 ={

(x, y) R2 : 2 x

3,

4 x2 y

4 x2}

D2 = [

3,

3] [1, 1]D3 =

{(x, y) R2 :

3 x 2,

4 x2 y

4 x2

}.

2 1 0 1 22

1

0

1

2

2 1 0 1 22

1

0

1

2

2 1 0 1 22

1

0

1

2

Figura 5: Subconjuntos D1, D2 y D3, respectivamente.


As, la integral en (1) es equivalente a la suma de las integrales dobles: 11

4y2

4y2yx4 + 1 dx dy = 3

2

4x24x2

yx4 + 1 dy dx+

33

11yx4 + 1 dy dx+

23

4x24x2

yx4 + 1 dy dx =

=

32

[y2

2

x4 + 1

]y=4x2y=4x2

dx+

33

[y2

2

x4 + 1

]y=1y=1

dx+

23

[y2

2

x4 + 1

]y=4x2y=4x2

dx = 0.

10. Vamos calcular la integral

D

1x2 + y2

dx dy, donde el conjunto de integracion D =

{(x, y) R2 : x2 + y2 2x}, a traves de un cambio de coordenadas cartesianas a coordenadaspolares.

El primer paso es identificar geometricamente el conjunto de integracion. Observamos que la

desigualdad x2+y2 2x es equivalente, despues de completar cuadrados, a tener (x1)2+y2 1. Luego, el conjunto D es el conjunto de puntos que se encuentran sobre y dentro de la

circunferencia de radio 1 y centrada en el punto (1, 0).

0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.01.0

0.5

0.0

0.5

1.0


Si efectuamos el cambio de coordenadas x = r cos y y = r sen en la desigualdad inicial

x2 + y2 2x, obtenemos que r2 2r cos lo que implica que r 2 cos para cualquier valorde [pi

2, pi2

]. As, en coordenadas polares el conjunto D se define por

D? ={

(r, ) : 0 r 2 cos , pi2 pi

2

}.

Efectuamos el cambio de coordenadas en la funcion que integramos de modo que1

x2 + y2=

1

r.

Luego, la integral doble en coordenadas cartesianas es equivalente a la integral doble en

coordenadas polares: pi2

pi2

2 cos 0

1

rr dr d =

pi2

pi2

2 cos d = 2 [sen ]=pi

2

=pi2

= 4.


Concluimos que D

1x2 + y2

dx dy = 4.

11. Para calcular integrales dobles usando coordenadas polares es necesario definir el dominio de

integracion en coordenadas polares.

a) Consideramos el conjunto D comprendido entre las rectas y = x, y = x y x = 1.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.01.0

0.5

0.0

0.5

1.0

X

Y


Si efectuamos un cambio de coordenadas cartesianas a polares: x = r cos , y = r sen , se

puede definir el conjunto D de la siguiente manera:

D? =

{(r, ) : pi

4 pi

4, 0 r 1

cos

}.

Entonces, 10

xx

xx2 + y2

dy dx =

pi4

pi4

1cos

0

r cos

rr dr d =

=

pi4

pi4

[r2

2cos

]r= 1cos

r=0

d =1

2

pi4

pi4

1

cos d = arc tg

2.

13. a) La igualdad es falsa, porque los conjuntos de integracion en cada una de las integrales son

distintos. Lo que es cierta es la igualdad 21

60

x2 sen(x y) dx dy = 60

21x2 sen(x y) dy dx,

por el Teorema de Fubbini.


c) La desigualdad es verdadera. Para obtener una estimacion de la integral se puede estimar

el valor de la funcion a integrar sobre el conjunto de integracion, es decir como tenemos

que (x2 +y) sen(x2y2) 3 para cualquier (x, y) [0, 1] [1, 4], entonces 4

1

10

(x2 +y) sen(x2y2) dx dy

41

10

3 dx dy = 9.

14. La densidad de la lamina es dada por la funcion f(x, y) = xy + 6, luego la masa de la lamina

que ocupa la region L se puede calcular por integracion doble:

masa =

L

(xy + 6) dx dy. (2)

La integral doble en (2) se puede calcular de distintas maneras, dependiendo de como definimos

el conjunto de integracion. A continuacion comentaremos dos formas distintas de resolver el

problema.

1/ Observamos que la region L es exactamente el rectangulo [2, 2] [2, 4] menos las regionesque se encuentran dentro de la parabola y = x

2

2+2 y dentro de la circunferencia (x2)2+y2 = 1,

es decir

L = [2, 2] [2, 4] \ (D1 D2),donde

D1 =

{(x, y) R2 : x

2

2+ 2 y 4, 2 x 2

},

D2 ={

(x, y) R2 : 2

1 y2 x 2,1 y 1}.

Entonces,L

(xy + 6) dxdy =

22

42

(xy + 6) dydx 22

4x2

2+2

(xy + 6) dydx

11

22

1y2(xy + 6) dxdy =

=

22

[xy2

2+ 6y

]y=4y=2

dx 22

[xy2

2+ 6y

]y=4y=x

2

2+2

dx 11

[x2y

2+ 6x

]x=2x=2

1y2dy

=

22

(6x+ 36) dx 22

(x

5

8 x3 3x2 + 6x+ 12

)dx

11

(y3

2 y

2+ (2y + 6)

1 y2

)dy = 112 3pi.

2/ La region L esta limitada superiormente por la parabola y = x2

2+ 2, inferiormente por

la recta y = 2, y lateralmente por la recta x = 2 y la circunferencia (x 2)2 + y2 = 1.Observamos que la region L se puede descomponer en tres subconjuntos disjuntos: L1, L2 y L3.

Tenemos L = L1 L2 L3 donde

L1 =

{(x, y) R2 : 1 y x

2

2+ 2, 2 x 2

},

L2 ={

(x, y) R2 : 2 x 2

1 y2, 1 y 1},

L3 ={

(x, y) R2 : 2 x 2, 2 y 1} .


2 1 0 1 21.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

X

Y

2 1 0 1 21.0

0.5

0.0

0.5

1.0

X

Y

2 1 0 1 22.01.81.61.41.21.0

X

Y

Figura 8: Subconjuntos L1, L2 y L3 de la region L.

Calculamos la integral doble:L

(xy + 6) dx dy =

L1

(xy + 6) dx dy +

L2

(xy + 6) dx dy +

L3

(xy + 6) dx dy

=

22

x22+2

1

(xy + 6)dy dx+

11

21y22

(xy + 6)dx dy +

12

22

(xy + 6)dx dy

=

22

[xy2

2+ 6y

]y=x22+2

y=1

dx+

11

[x2y

2+ 6x

]x=21y2x=2

dy +

12

[x2y

2+ 6x

]x=2x=2

dy

=

22

(x5

8+ x3 + 3x2 +

3

2x+ 6

)dx+

+

11

(y

3

2 2y

1 y2 3

2y 6

1 y2 + 24

)dy + 24

=

[x6

48+x4

4+ x3 +

3

4x2 + 6x

]x=2x=2

+

[y

4

8+

2

3(1 y2)3/2 3

4y2 + 24y

]y=1y=1

6 11

1 y2dy + 24 =

= 40 + 48 3pi + 24 = 112 3pi.

Si consideramos el cambio de variable y = sen t tal que dy = cos t dt, entonces tenemos que 11

1 y2 dy =

pi/2pi/2

1 sen2 t cos t dt =

pi/2pi/2

cos t cos t dt =

=

pi/2pi/2

1 + cos 2t

2dt =

[t

2+

1

4sen 2t

]pi/2pi/2

=pi

4+pi

4=pi

2.

Concluimos que la masa de la lamina es 112 3pi.

18. Bajo determinadas condiciones, una integral doble puede representar el volumen de un

determinado solido.

b) La integral 10

10

(2 x2 y2) dy dx

define el volumen del solido S comprendido entre el plano XY y la superficie z = 2x2y2para valores de (x, y) [0, 1] [0, 1].


0.0

0.5

1.0

x0.00.5

1.0y

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

z

Figura 9: Solido S.

19. El volumen de un solido acotado superiormente por la grafica de la funcion f , es decir la

superficie z = f(x, y) 0, se puede calcular a traves de integracion doble del siguiente modo:

volumen =

D

f(x, y) dA,

donde D es el conjunto en el plano XY que se obtiene de la proyeccion del solido sobre ese

plano.

En este caso, el conjunto de integracion D se define como el conjunto de puntos (x, y) R2que se encuentran entre las parabolas y = x2 y y = (x 2)2 y la recta y = 0.

0.5 1.0 1.5 2.0 x

1

2

3

4y

Figura 10: El conjunto de integracion D se encuentra por debajo de las dos parabolas y = x2 y

y = (x 2)2, y se puede definir como la union de D1 com D2.

Se puede definir analiticamente el conjunto como la union de los subconjuntos D1 y D2:

D ={

(x, y) R2 : 0 x 1, 0 y x2} {(x, y) R2 : 1 x 2, 0 y (x 2)2} .


0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x

1

2

3

4y

1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 x

1

2

3

4y

Figura 11: Conjuntos D1 y D2, respectivamente.

0.00.5

1.01.5

2.0

x

0.0

0.5

1.0

1.5

y

0.0

0.5

1.0

Figura 12: Solido acotado superiormente por la superficie z = xy que corresponde a la grafica de la

funcion f(x, y) = xy.

Entonces, el volumen del solido viene dado por la integral dobleD

xy dx dy =

D1

xy dx dy +

D2

xy dx dy =

=

10

x20

xy dy dx+

21

(x2)20

xy dy dx =

=

10

[xy2

2

]y=x2y=0

dx+

21

[xy2

2

]y=(x2)2y=0

dx =

=

10

x5

2dx+

21

x(x 2)4

2dx =

=

[x6

12

]x=1x=0

+[ x

10(x 2)5

]x=2x=1 1

10

21

(x 2)5dx = 15.

20. En determinadas situaciones se puede calcular el volumen de un solido a traves de integracion

doble.

a) Consideramos el solido que se encuentra acotado superiormente por la superficie z = sen y,

para valores de 0 y pi2

y 0 x pi2. Observamos que la superficie es la grafica de la

funcion f(x, y) = sen y. Ademas sen y 0 para cualquier y [0, pi2]. Entonces, el volumen


del solido se puede calcular a traves de integracion doble de la siguiente manera:

volumen =

pi2

0

pi2

0

sen y dy dx =

pi2

0

[ cos y]y=pi2

y=0 dx =pi

2.

0.0

0.5

1.0

1.5

x

0.0 0.5 1.0 1.5

y0.0

0.5

1.0

z

Figura 13: Solido acotado superiormente por la superficie z = sen y.

21. b) pi0

pi0

pi0

sen(x+ y + z) dxdydz =

pi0

pi0

[ cos(x+ y + z)]x=pix=0 dydz =

=

pi0

pi0

( cos(pi + y + z) + cos(y + z)) dydx = pi0

[ sen(pi + y + z) + sen(y + z)]y=piy=0 dx =

=

pi0

( sen(2pi + z) + sen(pi + z) + sen(pi + z) sen(z)) dz =

=

pi0

( sen(2pi + z) + 2 sen(pi + z) sen(z)) dz == [cos(2pi + z) 2 cos(pi + z) + cos(z)]z=piz=0 == cos(3pi) 2 cos(2pi) + cos(pi) cos(2pi) + 2 cos(pi) cos(0) = 8.

22. e) 10

2x0

x2+y2x+y

dz dy dx =

10

2x0

(x2 + y2 x y) dy dx =

=

10

[x2y +

y3

3 xy y

2

2

]y=2xy=0

dx =

10

(14

3x3 4x2

)dx = 1

6.

La region de integracion es el solido E definido por

E ={

(x, y, z) R3 : 0 x 1, 0 y 2x, x+ y z x2 + y2} .


0.0

0.5

1.0

x0.00.5

1.01.5

2.0y

0

2

4

z

Figura 14: Region de integracion E.

23. d) El volumen del solido limitado superiormente por el paraboloide z = x2+y2 e inferiormente

por el plano XY , y se encuentra dentro del cilindro x2 + y2 = 2x (x 1)2 + y2 = 1, sepuede calcular a traves del integral triple: 2

0

1(x1)2

1(x1)2

x2+y20

dz dy dx =

20

1(x1)2

1(x1)2(x2 + y2) dy dx.

Efectuando un cambio de coordenadas cartesianas (x, y) a coordenadas polares (r, ) se

tiene que 20

1(x1)2

1(x1)2(x2 + y2) dy dx =

pi2

pi2

2 cos 0

r2r dr d =

=

pi2

pi2

4 cos4 d =1

2

pi2

pi2

(cos(4) + 4 cos(2) + 3) d =

=1

2

[1

4sen(4) + 2 sen(2) + 3

]=pi2

=pi2

=3

2pi,

despues de aplicar la identidad cos4 = 18(cos(4) + 4 cos(2) + 3).

27. a) Se pretende hacer un cambio de coordenadas cilndricas (r, , z) a coordenadas cartesianas

(x, y, z) en la integral triple: pi/20

10

r20

zr2 cos dz dr d,

sabiendo que las coordenadas cartesianas y cilndricas satisfacen las siguientes relaciones

x = r cos , y = r sen , z = z,

de modo que r2 = x2 + y2.

El dominio de integracion se define en coordenadas cilndricas por

S ={

(r, , z) : 0 z r2, 0 r 1, 0 pi2

}.


0.00.51.0

1.52.0

x

1.00.5

0.00.5

1.0y

0

1

2

3

4

z

Figura 15: Solido limitado por el paraboloide z = x2+y2, el plano XY , y el cilindro (x1)2+y2 = 1.

Entonces, empezamos por escribir cada desigualdad en coordenadas cartesianas de la

siguiente manera:

0 z r2 0 z x2 + y2,0 r 1 x2 + y2 1,

0 pi2 x 0, y 0.

Luego, concluimos que pi/20

10

r20

zr2 cos dz dr d =

10

1x20

x2+y20

xz dz dy dx.

29. Dada la integral 2pi0

pi6

0

31

2 sen d d d,

sabemos que el dominio de integracion es el conjunto

S ={

(, , ) : 1 3, 0 pi6, 0 2pi

}.

Teniendo en cuenta las relaciones entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas esfericas:

x = cos sen, y = sen sen, z = cos,

de modo que 2 = x2 + y2 + z2 y 2 sen2 = x2 + y2, se pueden escribir las desigualdades

anteriores en coordenadas cartesianas:

1 3 1 x2 + y2 + z2 9,0 pi

6 z =

3(x2 + y2),

0 2pi 3 x 3, 3 y 3.Observamos que el angulo se mueve en el intervalo

[0, pi

6

]. Esto implica que los puntos (x, y, z)

pertenecen al interior de la parte superior del cono circular centrado en el origen y eje de simetra

el eje Z cuya ecuacion es del tipo

z =(x2 + y2),


para una cierta constante > 0. Para determinar la constante se puede sustituir en la

ecuacion anterior las coordenadas cartesianas por las esfericas de modo que

z =(x2 + y2) cos =

2 sen2 =

cotg .

Para = pi6

se tiene =

3. Luego, se obtiene la ecuacion de la parte superior del cono

z =

3(x2 + y2).

Concluimos as que el solido es el conjunto de puntos que se encuentran entre dos esferas

centradas en el origen, una de radio 1 y otra de radio 3, 1 x2 + y2 + z2 9, y que seencuentran dentro del cono z =

3(x2 + y2).

Nota que la funcion a integrar 2 sen es el jacobiano del cambio de coordenadas cartesianas

a coordenadas esfericas. Entonces, la integral representa el volumen del solido descrito

anteriormente.

-2

0

2

x

-2

0

2y

0

1

2

3

z

Figura 16: Solido S.

Procedemos ahora a calcular la integral. 2pi0

pi6

0

31

2 sen d d d =

2pi0

pi6

0

[3

3sen

]=3=1

d d =

=26

3

2pi0

pi6

0

sen d d =26

3

2pi0

[ cos]=pi6

=0 d =

=26

3

(2

3)pi.

31. El solido S se encuentra dentro de la superficie de la esfera

x2 + y2 + z2 = 4z x2 + y2 + (z 2)2 = 4,

y fuera de la superficie del paraboloide

z = 2 + x2 + y2,

con vertice en (0, 0, 2) cuyo eje de simetra es el eje Z.


2

1

0

1

2

x2

10

12y

0

1

2

3

4

z

Figura 17: Solido S.

Observamos que el volumen del solido S corresponde al volumen de la esfera E menos el

volumen del solido D que se encuentra dentro del paraboloide y limitado superiormente por la

esfera, es decir

volumen(S) =

E

dx dy dz

D

dx dy dz.

2

1

0

1

2

x2

10

12y

0

1

2

3

4

z

Figura 18: Solido D.

1/ Vamos calcular el volumen de la esfera E cuya superficie viene dada por la ecuacion:

x2 + y2 + (z 2)2 = 4 z = 2

4 x2 y2.

Si proyectamos la esfera sobre el plano XY obtenemos la region x2 + y2 4, de manera que4 x2 y 4 x2, y 2 x 2. As, la esfera se define en coordenadas cartesianaspor

E ={

(x, y, z) : 2

4 x2 y2 z 2 +

4 x2 y2,

4 x2 y

4 x2,2 x 2}.


Si consideramos las coordenadas esfericas (, , ) tales que

x = sen cos , y = sen sen , z = cos,

entonces la desigualdad

x2 + y2 + (z 2)2 4 ( 4 cos) 0.

Como 0, concluimos que 0 4 cos. Las variables y pertenecen a los intervalos

0 2pi, 0 pi2.

Luego, en coordenadas esfericas

E ={

(, , ) : 0 4 cos, 0 2pi, 0 pi2

}.

Entonces,

volumen(E) =

pi2

0

2pi0

4 cos0

2 sen d d d =

pi2

0

2pi0

[3

3sen

]=4 cos=0

d d =

=

pi2

0

2pi0

64

3cos3 sen d d =

pi2

0

128

3pi cos3 sen d =

=

[32

3pi cos4

]=pi2

=0

=32

3pi.

2/ Vamos calcular el volumen del solido D que esta limitado superiormente por la esfera e

inferiormente por el paraboloide de manera que

2 + x2 + y2 z 2 +

4 x2 y2.

La esfera intercepta el paraboloide cuando z toma el siguiente valor:

z = 2 + 4 (z 2)2 z2 3z 2 = 0 z = 3

17

2 z = 3 +

17

2 3, 56.

Luego, la proyeccion del solido D sobre el plano XY corresponde a los puntos (x, y) tales que

x2 + y2 +

(3 +

17

2 2)2 4 x2 + y2 4 (

17 1)2

4=

17 1

2 1, 56.

Entonces, el solido D se puede definir en coordenadas cartesianas como

D =

(x, y, z) : 2 + x2 + y2 z 2 +4 x2 y2,

17 12

x2 y

17 12

x2,

17 12

x

17 12

}.

Si consideramos las coordenadas cilndricas (r, , z) de manera que

x = r cos , y = r sen , z = z,


2 1 0 1 22

1

0

1

2

XY

Figura 19: Proyeccion del solido D sobre el plano XY .

luego el solido D se define de manera sencilla como

D =

{(r, , z) : 2 + r2 z 2 +

4 r2, 0 r

17 1

2, 0 2pi

}.

El volumen del solido D viene dado en coordenadas cilndricas por

volumen(D) =

2pi0

1712

0

2+4r22+r2

r dz dr d =

2pi0

1712

0

r(

2 +

4 r2 2 r2)dr d

=

2pi0

[1

3(4 r2)3/2 r

4

4

]r=1712

r=0

d = 2pi

13

(17 1

2

)3/2 (

17 1)464

+8

3

.3/ Concluimos que el volumen del solido S es:

volumen(S) =32

3pi 2pi

13

(17 1

2

)3/2 (

17 1)464

+8

3

30, 18.

La integral de lnea de una funcion escalar f : Rn R a lo largo de una curvaparametrizada por la funcion : [a, b] Rn, con n = 2 o n = 3, se define por

C

f d =

ba

f((t)) (t) dt,

donde (t) es la norma de la primera derivada de (t).

33. a) La integral de lnea de la funcion escalar f(x, y) = 9 + 8y a lo largo de la curva

parametrizada por (t) = (2tt, t2), para t [0, 1], viene dada por 1

0

f(2tt, t2)(3t, 2t) dt =

10

(9 + 8t)

9t+ 4t2 dt =

=

[2

3

(9t+ 4t2

) 32

]t=1t=0

=26

3

13.


0.5 1.0 1.5 2.0 x0.2

0.4

0.6

0.8

1.0y

Figura 20: Curva parametrizada por (t) = (2tt, t2) con t [0, 1].

d) Vamos calcular la integral de lnea de la funcion f(x, y, z) =(1 + 9

4z2/3

)1/4a lo largo de

la curva C parametrizada por la funcion (t) = (cos t, sen t, t3/2) con t [0, 20/3]:C

f d =

20/30

f((t))(t) dt.

Tenemos

f((t)) = f(cos t, sen t, t3/2) =

(1 +

9

4(t3/2)

2/3)1/4

=

(1 +

9

4t

)1/4(t) =

( sen t, cos t, 3

2

t

)(t) =

sen2 t+ cos2 t+

9

4t =

1 +

9

4t.

Luego, 20/30

f((t))(t) dt = 20/30

(1 +

9

4t

)1/41 +

9

4t dt =

=

20/30

(1 +

9

4t

)3/4dt =

[16

63

(1 +

9

4t

)7/4]t=20/3t=0

=2032

63.

La integral de lnea de un campo vectorial F : Rn Rn a lo largo de una curvaparametrizada por la funcion : [a, b] Rn, con n = 2 o n = 3, se define por

C

F d = ba

F ((t)) (t) dt,

donde representa el producto interno entre vectores en Rn.


1.00.50.00.51.0 x

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0y

0

5

10

15

z

Figura 21: Curva (t) = (cos t, sen t, t3/2) con t [0, 20/3].

34. b) La integral de lnea del campo F (x, y, z) =

(1

z2 + 1,

x

1 + y2, ey)

a lo largo de la curva

parametrizada por (t) = ((1 + t2)2, 1, t), para t [0, 1], viene dada por 10

F ((1 + t2)2, 1, t) (4t(1 + t2), 0, 1) dt =

=

10

(1

t2 + 1,(1 + t2)2

1 + 1, e

) (4t(1 + t2), 0, 1) dt =

=

10

(4t+ e) dt = 2 + e.

12

34 x

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

y

0.0

0.5

1.0

z

Figura 22: Curva parametrizada por (t) = ((1 + t2)2, 1, t) con t [0, 1].


El trabajo realizado por una fuerza F aplicada a un objeto que se mueve a lo largo de la

trayectoria se define a traves de la integral de lnea del campo vectorial F a lo largo de la

curva C, es decir

T =

C

F d.

37. El trabajo realizado por la fuerza F (x, y, z) = (x2, xy, z2) aplicada a un objeto que se mueve a

lo largo de la helice circular () = (cos(), sen(), ), con [0, 2pi], viene dado por 2pi0

F (()) () d = 2pi0

(cos2(), cos() sen(), 2) ( sen(), cos(), 1) d

=

2pi0

( cos2() sen() + cos2() sen() + 2) d = 33

=2pi=0

=8

3pi3.

La longitud de arco de una curva parametrizada por la funcion () = (x(), y()) de

= a a = b viene dada por la integral de lnea ba

() d = ba

x() + y() d.

40. La longitud del alambre parametrizado por la funcion () = (a cos(), a sen(), b) con

[0, 2pi] viene dada por la integral de lnea 2pi0

a2 sen2() + a2 cos2() + b2 d =

a2 + b2

2pi0

d = 2pia2 + b2.

La integral de superficie de una funcion escalar f : R3 R sobre la superficie Sparametrizada por la funcion : D R2 R3 se define como la integral doble:

S

f dS =

D

f((u, v))

u v du dv,

donde

u v es la norma del vector normal a la superficie S que se obtiene calculando

el producto vectorial de las derivadas parciales de .

42. a) La porcion del plano 3x+ 2y + z = 6 que se encuentra en el primer octante, es decir con

x 0, y 0 y z 0, se puede parametrizar por la funcion

(x, y) = (x, y, 6 3x 2y)


con 0 x 2 y 0 y 3. (Nota que el plano intersecta los ejes en los puntos (0, 0, 6),(0, 3, 0) y (2, 0, 0).) El vector normal a la porcion de plano se calcula como el producto

vectorial de las derivadas parciales

x= (1, 0,3) y

y= (0, 1,2) del siguiente modo

x y

=

i j k

1 0 30 1 2

= (3, 2, 1).Entonces, la integral de superficie viene dada porS

y dS =

20

30

y

32 + 22 + 12 dy dx =

20

14y2

2

y=3y=0

dx =

20

9

2

14 dx = 9

14.

La integral de superficie de un campo vectorial F : R3 R3 sobre la superficie Sparametrizada por la funcion : D R2 R3 se define como la integral doble:

S

F dS =

D

F ((u, v)) (

u v

)du dv,

donde

u v

es el vector normal a la superficie S que se obtiene calculando el producto

vectorial de las derivadas parciales de , y simboliza el producto interno entre vectores.

47. a) El flujo del campo F (x, y, z) = (x,y, z2) a traves de la porcion superior de conoz =

x2 + y2 entre z = 1 y z = 2 se calcula usando la integral de superficie

S

F dS.

El primer paso es parametrizar la porcion de cono. Si consideramos coordenadas polares

(r, ) de modo que x = r cos , y = r sen y z =x2 + y2 = r, con 1 r 2, entonces

una posible parametrizacion es la funcion

(r, ) = (r cos , r sen , r)

con 1 r 2 y 0 2pi. Calculamos el vector normal

r

=

i j k

cos sen 1

r sen r cos 0

= (r cos ,r sen , r).Este vector normal tiene orientacion hacia el interior del cono, de modo que el vector

orientado hacia fuera es (r cos , r sen ,r). As, tenemos queS

F dS = 2pi0

21

F ((r, )) (r cos , r sen ,r) drd =

=

2pi0

21

(r cos ,r sen , r2) (r cos , r sen ,r) drd =

=

2pi0

21

(r2 cos2 r2 sen2 r2) drd = 2pi0

21

(r2 r3) drd = 736pi.

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