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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONI O ABAD
DEL CUSCO
ESCUELA DE POSTGRADO
MAESTRÍA EN INGENIERÍA CIVIL
MENCIÓN GERENCIA DE LA CONSTRUCCIÓN
TEMA:
MATERIA: MATEMATICA AVANZA PARA INGENIEROS
ALUMNO : ING. GENRY MARIO RAMIREZ GARCIA
CUSCO- PERU
2015
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
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ÍNDICE DE CONTENIDOS
RESOLUCIÓN DEL EXAMEN ........................................................................ 03
PROBLEMAS DE ESTIMACIÓ DE MUESTRA ................................................ 11
ESTIMACÍÓN DE PARAMETROS POR INTERVALOS DE CONFIANZA .......... 13
PROBLEMAS DE PRUEBAS DE HIPÓTESIS .................................................. 16
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I. RESOLUCIÓN DEL EXAMEN PROBLEMA N° 01
Solución:
Sistematizando se tiene:
Calculo de media: Calculo de varianza
�� =∑ 𝑥𝑖.𝑓𝑖
𝑛 𝑠2 =
∑ 𝑥𝑖2.𝑓𝑖
𝑛− ��2
𝑋𝐴 =
6840
100= 68.40 𝑠𝐴
2 =484000
100− 68.402 = 161.44
𝑋𝐵 =
6860
100= 68.60 𝑠𝐵
2 =483400
100− 68.402 = 128.04
De donde: 𝑺𝑨 = 𝟏𝟐. 𝟕𝟏 y 𝑺𝑩 = 𝟏𝟏. 𝟑𝟐
Respuesta a la pregunta 1a:
En la constructora A hay mayor dispersión por tener mayor desviación estándar:
𝑆𝐴 = 12.71 > 𝑆𝐵 = 11.32
Respuesta a la pregunta 1b:
El obrero que ganara quincenalmente $ 70:
𝑍 =𝑥 − ��
𝑆
𝑍𝐴 =70−68.4
12.71 𝑍𝐵 =
70−68.60
11.32
𝑍𝐴 = 0.126 𝑍𝐵 = 0.126
Como 𝑍𝐴 > 𝑍𝐵, el obrero estará mejor remunerado en la constructora A
SUELDO xi fi xi*fi xi2*fi fi xi*fi xi2*fi
45-55 50 18 900 45000 12 600 30000
55-65 60 24 1440 86400 28 1680 100800
65-75 70 26 1820 127400 30 2100 147000
75-85 80 20 1600 128000 22 1760 140800
85-95 90 12 1080 97200 8 720 64800
100 6840 484000 100 6860 483400SUMA
CONSTRUCTORA A CONSTRUCTORA B
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Respuesta a la pregunta 1C:
Recurriendo al coeficiente de asimetría de Pearson:
𝐴𝑝 =�� − 𝑀𝑜
𝑆
Calculando la moda: Reemplazando:
𝑀𝑜𝐴 = 65 + 10 (26−24
26−20) 𝑀𝑜𝐵 = 65 + 10 (
26−24
26−20) 𝐴𝑝𝐴 =
68.4−67.5
12.71 y 𝐴𝑝𝐵 =
68.6−67
11.32
𝑀𝑜𝐴 = 67.5 𝑀𝑜𝐵 = 67
De donde: 𝐴𝑝𝐴 = 0.07 y 𝐴𝑝𝐵 = 1.58 vemos que 𝐴𝑝𝐴 < 𝐴𝑝𝐵
De los resultados se observa que 𝐴𝑝𝐴 se aproxima más al cero que 𝐴𝑝𝐵, por consiguientemente
la distribución de la constructora A es más simétrica que B
PROBLEMA N° 02
Solución:
En enero:
Promedio de sueldo de obreros: ��𝑜𝑏1 = $ 560
El sueldo de los empleados en enero será: 𝑆𝑒1 = $ 1270
En Setiembre:
El sueldo de los obreros es 15% más que en enero: 𝑆𝑜2 = 1.15 (𝑆𝑜1) + 50, siendo So1 sueldo
de enero.
De aquí, el promedio del sueldo de los obreros será:
��𝑜𝑏2 = 1.15 ��𝑜𝑏1 + 50 , por propiedad.
Entonces: ��𝑜𝑏2 = 1.15 ∗ 560 + 50 = 694
Mientras que el sueldo de los empleados será: 𝑆𝑒2 = 1270 + 120 = 1390
En diciembre:
El sueldo promedio de los obreros aumento en 10%, entonces el sueldo promedio será:
��𝑜𝑏3 = 1.10 ∗ 694 = 763.4
Y el sueldo promedio de todos los trabajadores es: �� 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙3 = 980.26
Además:
Sea “n” número de empleado, entonces el número de obreros será: 3n
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Respuesta a la pregunta 1a:
Buscamos el promedio del sueldo del empleado en diciembre: ��𝑒3 =?
��𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 3 =∑ 𝑆𝑜𝑏3 + ∑ 𝑆𝑒3
3𝑛 + 𝑛= 980.26
Donde Sob3 y Se3 representan los sueldos de los obreros y empleados respectivamente en
mes de diciembre. Ordenando adecuadamente se tiene:
(3 ∗∑ 𝑆𝑜𝑏3
3𝑛) +
∑ 𝑆𝑒3
𝑛= 980.26 ∗ 4
Reemplazando:
(3 ∗ 763.4) +∑ 𝑆𝑒3
𝑛= 3921.04
De donde se tiene que el promedio del sueldo de los empleados en diciembre es:
∑ 𝑆𝑒3
𝑛= ��𝑒3 = 1630.84
��𝒆𝟑 = $ 𝟏𝟔𝟑𝟎. 𝟖𝟒
El promedio del sueldo de los empleados en mes de setiembre es: ��𝑒2 =1390𝑛
𝑛= 1390
Entonces el porcentaje de aumento será:
% =1630.84
1390= 𝟏𝟕. 𝟑𝟑%
De aquí se deduce que el promedio de los sueldos de los empleados en diciembre aumentó en
17.33% respecto al promedio dado en setiembre:
Respuesta a la pregunta 1b:
Los promedios de los sueldos de obreros y empleados en setiembre está dado por:
��𝑜𝑏2 =∑ 𝑆𝑜𝑏2
3𝑛 ��𝑒2 =
∑ 𝑆𝑒2
𝑛
Despejando se tiene:
∑ 𝑆𝑜𝑏2 = 3𝑛��𝑜𝑏2 ∑ 𝑆𝑒2 = 3𝑛��𝑒2
Ahora el promedio de los trabajadores en setiembre será:
��𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 2 =∑ 𝑆𝑜𝑏2 + ∑ 𝑆𝑒2
3𝑛 + 𝑛=
3𝑛(694) + 1390𝑛
4𝑛= 868
Respuesta: el sueldo promedio de los trabajadores en mes de setiembre será de $ 860
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PROBLEMA N° 03
Solución:
Sean:
A: provisión del país con la inflación por debajo de 2%
B: provisión del país con la inflación entre 2% y 3%
C: provisión del país con la inflación de más de 3%
X: que se cree más de 700 mil empleos con la inflación baja menos de 2%
Y: que se cree más de 700 mil empleos con la inflación entre 2 y 3%
Z: que se cree más de 700 mil empleos con la inflación mayor a 3%
Respuesta a la pregunta 3a:
La probabilidad de crear más de 700 mil empleos será:
PE = 𝐴𝑋 + 𝐵𝑌 + 𝐶𝑍 = 0.65 ∗ 0.7 + 0.25 ∗ 0.4 + 0.4 ∗ 0.0
PE= 0.56,
Dónde: E: que se creen más de 700 mil empleos.
Respuesta: la probabilidad de que se creen más de 700 mil empleos es de 0.56.
Respuesta a la pregunta 3b:
Dado que ocurrió E, entonces por la expresión de la probabilidad total:
𝑃(𝐴/𝐸) =𝑃(𝐴)𝑃(𝑋)
𝑃(𝐴)𝑃(𝑋) + 𝑃(𝐵)𝑃(𝑌) + 𝑃(𝐶)𝑃(𝑍)
𝑃(𝐴/𝐸) =0.65 ∗ 0.7
0.65 ∗ 0.7 + 0.25 ∗ 0.4 + 0.4 ∗ 0= 0.81
𝑷(𝑨/𝑬) = 𝟎. 𝟖𝟏
La probabilidad de presión obtenida con la inflación de menos de 2% es de 0.81
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PROBLEMA NO 04
Solución:
En número esperado por los empresarios dela categoría A esta dado por: 𝑃(𝑍1 ≤ 𝑍 ≤ 𝑍2)
Para: (15 ≤ 𝑥 ≤ 20)
Y los datos son: �� = 12.8 𝑆2 = 2.56
Entonces la desviación típica será: 𝑆 = √2.56 = 1.6
Por otro lado, se sabe que: 𝑍 =𝑥−��
𝑆
De donde: 𝑍1 =15−12.8
1.6= 1.375 y 𝑍2 =
20−12.8
1.6= 4.50
Entonces: P(1.375 ≤ 𝑍 ≤ 4.50)
𝑃(1.375 ≤ 𝑍 ≤ 4.50) = 𝑝(𝑍 ≥ 1.375) − 𝑃(𝑍 ≥ 4.50)
Respuesta: el número esperado por los empresarios de categoría A es 0.084
PROBLEMA N° 05
𝑃(1.375 ≤ 𝑍 ≤ 4.50) = 0.084
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Los resultados del procesamiento de los datos en SPS se muestran en los siguientes cuadros:
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i) la ecuación de la regresión seria:
Sean:
X1: ingreso del comprador,
X2: número de recamaras
X3: número de baños
X4: área
X5: ubicación
Y: precio en miles de dólares
A: la constante que de acuerdo al cuadro n° 03 es 672.277
X6: Ubicación.
La ecuación de la regresión seria: 𝑌 = 𝑎 + 𝑏1𝑋1 + 𝑏2𝑋2 + 𝑏3𝑋3 + 𝑏4𝑋4 + 𝑏5𝑋5
Los constantes bi, se obtienen del cuadro n° 03 para cada variable. Entonces la ecuación seria:
ii) pruebe si el modelo de regresión es significativa en forma general
De acuerdo al cuadro no 02, el grado de significancia del modelo en general es: 0.003
Este valor: 0.003 < 0.05, entonces no es significativo en forma global
iii) pruebe que si los coeficientes de regresión son significativos separadamente e interprete
cada valor:
De acuerdo a la tabla n° 03 se tienen:
MODELO SIGNIFICANCIA INTERPRETACIÓN
Ingreso 0.258 es mayor que 0.05 por lo tanto es significativo
n° de recamaras
0.003 es menor que 0.05 por lo tanto no es significativo
n° de baños 0.178 es mayor que 0.05 por lo tanto es significativo
área 0.22 es mayor que 0.05 por lo tanto es significativo
ubicación 0.299 es mayor que 0.05 por lo tanto es significativo
iv) escriba la ecuación de regresión de acuerdo al apartado iii con apoyo del cuadro n° 04
Si bien la variable número de recamaras no es significativo independientemente en el cuadro
no 03, pero en el cuadro n° 04 se observa que esta remarcado con dos asteriscos, por lo que se
considera importante la consideración en la ecuación:
Por tanto la ecuación quedaría:
Siendo las variables Xi representan a las variables independientes, identificadas anteriormente.
𝑌 = 672.277 − 0.007𝑋1 + 40.056𝑋2 + 6.464 𝑋3 + 0.379𝑋4 − 2.094𝑋5
𝑌 = 672.277 − 0.007𝑋1 + 40.056𝑋2 + 6.464 𝑋3 + 0.379𝑋4 − 2.094𝑋5
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v) interprete el valor de R y R2
El valor de R de acuerdo a la tabla n° 01 es de 0.999.
Este valor es muy próximo a 1, por lo que se concluye que existe una correlación muy buena
entre las variables.
𝑹𝟐: Es el coeficiente de determinación, mide la proporción de variabilidad total de la variable
dependiente respecto a su media. Su valor se aproxima a 1 (valor perfecto). En el cuadro n°
01 se observa que se aproxima a 1, por lo que se concluye que la proporción de la variable
dependiente respecto a su media es muy buena.
vi) que variables independientes tiene correlación significativa
De aquí observamos que las variables número de baños tiene correlación significativa con
número de recamaras y área de construcción. Y el número de recamaras tiene una regular
correlación significativa con área de construcción.
vii) ¿existe la correlación entre las variables independiente?
De acuerdo a la tabla anterior, se observa que si existe la correlación entre algunas variables
independientes. Como es el caso que existe un buen relacionante entre la variable de número
de baños y numero de recamaras así como área de la construcción y el ingreso del comprador
numero de baños numero de recamarasárea de construcción ingreso del comprador ubicación
numero de baños 0.869** muy buena 0.651 regular 0.452 mala 0.226 pésima
numero de recamaras 0.695 regular 0.523 mala 0.133 pésima
área de construcción 0.923** muy buena 0.263 pésima
ingreso del comprador 0.253 pésima
ubicación
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II. PROBLEMAS DE ESTIMACIÓ DE MUESTRA
Solución: 𝑛 =𝑍2
𝛼/2 ∗𝜎2
𝜀2 𝜎 = 50, 𝛼 = 5% 𝜀 = 20
En la tabla para distribución normal se obtiene Z: 𝑍0.025 = 1.96
Por consiguiente la muestra será: 𝑛 =1.962∗502
202 = 24.01 ≡ 25
El tamaño de la muestra debe ser de 25 para un nivel de confianza de 95% y con un error de 20
Solución: 𝑛 =𝑍2
𝛼/2 ∗𝑝(1−𝑝)
𝜀2 𝛼 = 10% 𝜀 = 0.04 𝑦 𝑍0.05 = 1.65
Tomamos para p=0.5
𝑛 =1.652 ∗ 0.5(1 − 0.5)
0.042= 425.4 ≡ 426
El tamaño de la muestra será de 426 personas consumidores.
Solución: 𝑛 =𝑍2
𝛼/2 ∗𝜎2
𝜀2 𝜎 = 1.2, 𝛼 = 5% 𝜀 = 0.5 𝑍0.025 = 1.96
Por consiguiente la muestra será: 𝑛 =1.962∗1.22
0.52 = 15.68 ≡ 16
El número de bolsa que deben ser probadas para las condiciones del problema es de 16 bolsas
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Solución: 𝑛 =𝑍2
𝛼/2 ∗𝑝(1−𝑝)
𝜀2 𝛼 = 2% 𝜀 = 0.05 , 𝑝 = 85% 𝑦 𝑍0.01 = 2.33
𝑛 =2.332 ∗ 0.85(1 − 0.85)
0.052= 276.87 ≡ 277
Elena deberá probar en 277 acciones para estar segura al 98% que sus acciones subirán de
precio.
Solución: 𝑛 =𝑍2
𝛼/2 ∗𝑝(1−𝑝)
𝜀2 𝛼 = 10% 𝜀 = 0.05 , 𝑝 = 0.5 𝑦 𝑍0.05 = 1.65
𝑛 =1.652 ∗ 0.5(1 − 0.5)
0.052= 272.25 ≡ 273
Para satisfacer todas las condiciones del problema, el gerente del banco deberá contar con 273
ahorradores.
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III. ESTIMACÍÓN DE PARAMETROS POR INTERVALOS DE CONFIANZA
a) 𝛼 = 5% 𝑛 = 35 , 𝑍0.025 = 1.96
𝒏 =𝒁𝟐
𝜶/𝟐 ∗ 𝝈𝟐
𝜺𝟐
De donde: 𝜀 = √𝑍2
𝛼/2 ∗𝜎2
𝑛 𝜀 = √
1.962∗202
35= 6.63
El error de la muestra para las condiciones dadas será igual a 6.63
b) 𝛼 = 5% 𝑛 = 35 , 𝑍0.025 = 1.96 , 𝜀 = 3.31 𝜎 = 20
𝑛 =1.962 ∗ 202
3.312= 140
Se requerirá 140 muestras para cumplir las condiciones del problema
Solución:
�� = 1800 𝑆 = 150
Respuesta a la pregunta 6a:
𝜎𝑥 =𝜎
√𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜎 = 𝜎𝑥√𝑛
Entonces:
𝜎 = 150√36 = 900
La desviación estándar de la población sería igual a 900
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Respuesta a la pregunta 6b:
Tomemos 95% de nivel de confianza, entonces: 𝛼 = 5% 𝑍0.025 = 1.96
𝑛 =𝑍2
𝛼/2 𝑆2𝑁
𝑍2𝛼/2 𝑆
2+(𝑁−1)𝜀2 𝜀 = √
𝑍2𝛼2
𝑆2(𝑁−𝑛)
𝑛(𝑁−1)
𝜀 = √1.962 ∗ 1502(1500 − 36)
36(1500 − 1)= 48.42
Respuesta a la pregunta 6c:
𝛼 = 2% 𝑛 = 36, 𝑆 = 150 �� = 1800 𝑍0.0125 = 2.24
�� − 𝑍𝛼2
∗𝑆
√𝑛≤ 𝜇 ≤ �� + 𝑍𝛼
2∗
𝑆
√𝑛
1800 − 2.24 ∗150
√36≤ 𝜇 ≤ 1800 + 2.24 ∗
150
√36
1744 ≤ 𝜇 ≤ 1856
Los taladros tendrán una vida útil entre los siguientes rangos: 1744 ≤ 𝜇 ≤ 1856
Solución:
xi (xi-X)^2
660 10404
460 9604
540 324
580 484
550 64
2790 20880
�� =2790
5= 558 𝑆2 =
20880
5−1= 5220 𝑆 = 72.25
𝛼 = 5% 𝑛 = 5, 𝑍0.025 = 1.96
�� − 𝑍𝛼2
∗𝑆
√𝑛≤ 𝜇 ≤ �� + 𝑍𝛼
2∗
𝑆
√𝑛
558 − 1.96 ∗72.25
√5≤ 𝜇 ≤ 558 + 1.96 ∗
72.25
√5
494.67 ≤ 𝜇 ≤ 621.33
Se puede afirmar con un 95 % de confianza de que la resistencia media de la rotura de cuerda
estará dentro de los límites:
494.67 ≤ 𝜇 ≤ 621.33
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Proceso A: 𝑋𝐴 = 50 Proceso B: 𝑋𝐵
= 55
𝑠𝐴 = 10 𝑠𝐵 = 10
𝑛𝐴 = 10 𝑛𝐵 = 10
(𝑋𝐵 − 𝑋𝐴
) − 𝑍𝛼
2 √
𝑆𝐵2
𝑛𝐵+
𝑆𝐴2
𝑛𝐴 ≤ 𝑈𝐵 − 𝑈𝐴 ≤ (𝑋𝐵
− 𝑋𝐴 ) + 𝑍𝛼
2
√𝑆𝐵
2
𝑛𝐵+
𝑆𝐴2
𝑛𝐴
(55 − 50) − 1.96√122
8+
102
10 ≤ 𝑈𝐵 − 𝑈𝐴 ≤ (55 − 50) + 1.96√
122
8+
102
10
−5.37 ≤ 𝑈𝐵 − 𝑈𝐴 ≤ 15.37
Fábrica A: 𝑋𝐴 = 1230 Fábrica B: 𝑋𝐵
= 1150
𝑠𝐴 = 120 𝑠𝐵 = 90
𝑛𝐴 = 80 𝑛𝐵 = 100
Aplicando la misma expresión que en el problema N° 8 Y α = 5%
(1230 − 1150) − 1.96√1202
80 +
902
100≤ 𝑈𝐵 − 𝑈𝐴 ≤ (1230 − 1150) + 1.96√
1202
80 +
902
100
48.34 ≤ 𝑈𝐵 − 𝑈𝐴 ≤ 111.66
Como UB > UA por lo consiguiente si hay una diferencia real
�� = 24.3 𝑆 = 3.2 𝑛 = 45 Ɣ = 45
�� − 𝑍𝛼
2
𝑆
√𝑛≤ 𝑈𝐴 ≤ �� + 𝑍𝛼
2
𝑆
√𝑛
24.3 − 1.963.2
√45≤ 𝑈𝐴 ≤ 24.3 + 1.96
3.2
√45
𝟐𝟑. 𝟑𝟕 ≤ 𝑼𝑨 ≤ 𝟐𝟓. 𝟐𝟑
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IV. PROBLEMAS DE PRUEBA DE HIPÓTESIS
Solución:
Acción 1 Acción 2
Acción 1 Acción 2 (xi-X)^2 (xi-X)^2
5.6 7.5 1.0609 0.0841
7.2 7.3 0.3249 0.0081
6.3 6.2 0.1089 1.0201
6.3 8.3 0.1089 1.1881
7.1 8.2 0.2209 0.9801
8.2 8 2.4649 0.6241
7.9 8.1 1.6129 0.7921
5.3 7.3 1.7689 0.0081
6.2 5.9 0.1849 1.7161
6.2 5.3 0.1849 3.6481
SUMA 66.3 72.1 8.041 10.069
PROMEDIO 6.63 7.21
DESVIACIÓN ESTÁNDAR MUESTRAL 0.95 1.06
Respuesta a la pregunta 2a: 𝐶𝑉 =𝑺
𝑿
𝑪𝒗𝟏 =𝟎.𝟗𝟓
𝟔.𝟔𝟑= 𝟎. 𝟏𝟒𝟑 𝑪𝒗𝟐 =
𝟏.𝟎𝟔
𝟕.𝟐𝟏= 𝟎. 𝟏𝟒𝟕
De los resultados se observa que el coeficiente de variación de acción 1 es prácticamente igual
al de la acción 2:
Por lo tanto se recomienda invertir en cualquiera de las acciones las cuales tendrán menos
riesgo.
Respuesta a la pregunta 2a:
Para determinar la mayor utilidad, tomaremos un valor al azar: sea x= 8
𝑍 =𝑥−��
𝑆 𝑍1 =
8−6.63
0.95 𝑍2 =
8−7.21
1.06 𝑍1 = 1.44 𝑍2 = 0.74
De aquí observamos que 𝑍1 > 𝑍2 por consiguiente se debe recomendar invertir en el tipo de
acción 1.
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Solución:
Tabulando adecuadamente los datos:
Lo L1 xi fi xi*fi (xi-X)^2*fi
6.60 6.64 6.62 1 6.62 0.0144 6.64 6.68 6.66 6 39.96 0.0384 6.68 6.72 6.70 5 33.5 0.008 6.72 6.76 6.74 8 53.92 0 6.76 6.8 6.78 10 67.8 0.016
6.80 6.84 6.82 3 20.46 0.0192
SUMA 33 222.26 0.096
Promedio X 6.74
desv. Estándar S 0.05
𝑆 = 0.05 �� = 6.74
i) Formulación de la hipótesis 𝐻0 > 6.70 𝐻𝑎 < 6.70
ii) Elegir el nivel de significancia 𝛼 = 5% 𝑍𝛼 = 𝑍0.05 = 1.645
iii) Determinar el estadístico de prueba 𝑍𝐶= ��−𝑈0
𝑆
√𝑛
iv) determinación de región de aceptación o de rechazo de Ho
𝑅𝐴
𝐻0 𝑍 < 1.645
𝑅𝐴
𝐻0 𝑍 < 1.645
v) cálculo de valor crítico 𝑍 6.74−6.70
0.05
√33
= 4.60
vi) Contraste: 4.60 ∈ 𝑅𝑅/ 𝐻0 por consiguiente aceptamos la hipótesis alterna.
vii) Conclusión: La resistencia de la elasticidad media de las vigas no es superior a 6.7 MM/M.
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A: 𝑛 =? E < 0.04 E = 0.03 α = 5% P = 90%
𝑛 =𝑍𝛼
2
2
𝐸2 𝑃(1 − 𝑃) Entonces 𝑛 =1.962
0.032 0.9(1 − 0.90) de aquí 𝑛 = 3.85
La muestra deberá ser de 385 inversionistas para que de las condiciones del problema
B: �� − 𝑍𝛼
2
√��(1−��)
𝑛 ≤ �� ≤ �� + 𝑍𝛼
2
√��(1−��)
𝑛 �� =
300
3.85= 0.78
0.78 − 𝑍3
2
√0.78(1−0.78)
𝑛 ≤ �� ≤ +0.78 − 𝑍3
2
√0.78(1−0.78)
𝑛 𝑍0.015=2.17
0.78 − 2.17√0.78(1−0.78)
3.85 ≤ �� ≤ �� + 0.78 + 2.17√
0.78(1−0.78)
3.85
0.73 ≤ �� ≤ 0.83
𝑛 = 361 𝑥 = 105 α = 10% 𝑃0 = 25% = 0.25 𝑃0 =105
361= 0.29
i) Formulación de hipótesis: 𝐻0 > 𝑃0 𝐻𝑎 < 𝑃0
ii) nivel de significancia α = 10% 𝑍0.10 = 1.28
iii) Determinar el estadístico de prueba 𝑍𝐶= ��−𝑃0
√��(1−𝑃)
𝑛
iv) determinación de región de aceptación o de rechazo de Ho
RA/Ho 𝑍𝐶 < 1.28 RR/Ho 𝑍𝐶 > 1.28
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v) Calculo de valor crítico: Z =0.29−0.25
√0.29(1−0.29)
361
= 1.67
vi) Contraste: 1.67 ∈ 𝑅𝑅/𝐻0 Por lo que aceptamos 𝐻0
vii) Conclusión: no hubo aumento en el porcentaje de quiebras
𝑃�� =412
875= 0.47 𝑃𝑚 =
412
875= 0.47
i) Formulación de hipótesis: 𝐻0: 𝑃𝑛 = 𝑃𝑚 : 𝐻𝑎: 𝑃𝑛 ≠ 𝑃𝑚
ii) nivel de significancia α = 5% 𝑍0.10 = 1.96
iii) Determinar el estadístico de prueba
𝑍𝐶 < 𝑃�� − 𝑃𝑚
√ 𝑃��
𝑛 +
𝑃𝑚 𝑚
iv) determinación de región de aceptación o de rechazo de Ho
𝑅𝐴/𝐻𝑜: 1.96 ≤ Z ≤ 1.96 𝑅𝑅/𝐻𝑜: Z < 1.96 U Z > 1.96
v) Cálculo de valor crítico: 𝑍𝐶 < 0.47− 0.34
√ 0.47
875 +
0.34
910
=4.30
vi) Contraste: 4.30 € 𝐼𝑅𝑅/𝐻0 por lo que se acepta la 𝐻0
vii) Conclusión: Existe diferencias en proporción de hombre y mujeres que responden
favorablemente a un determinado anuncio.
Lima (X) Cusco (Y)
n = 230 m= 302
�� = 1512 �� = 1317
𝑆𝑥 = 517 𝑆𝑦 = 485
i) Formulación de hipótesis: 𝜇𝑋 = 𝜇𝑌 𝜇𝑋 ≠ 𝜇𝑌
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ii) nivel de significancia α = 5% 𝑇∝/2(𝑚+𝑛−2) = 𝑇0.025(530) = 1.96
iii) Determinar el estadístico de prueba 𝒁 < ��− ��−𝑼𝑿−𝑼𝒀
√ 𝑺𝒙𝟐
𝒏 +
𝑺𝒚𝟐
𝒎
iv) determinación de región de aceptación o de rechazo de Ho
𝑅𝐴/𝐻𝑜: − 1.96 ≤ Z ≤ 1.96 RR/Ho : 𝑋 ≤ −1.96 U Z ≤ 1.96
v) Cálculo de valor crítico:
𝑍 < 1512− 1317
√ 5172
230 +
4852
302
= 4.43
vi) Contraste: 4.43 ∈ 𝑅𝑅/𝐻0 por lo tanto se acepta 𝐻0
vii) Conclusión: Si existe diferencias medias de ahorros.
