Lus, Taunde Dauce

Anlise Matemtica

Resoluo de testes e exames:

Teste , teste e exame de 2014

A verdadeira maneira de se enganar julgar-se mais sbio que os

outros (LA ROCHEFOUCAUDA)

Maputo, Junho, 2015

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UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE FACULDADE DE CINCIAS Departamento de Matemtica e Informtica

Anlise Matemtica para cursos de engenharias

Regime: Ps Laboral

1.Ano 1. Semestre Teste

Data de realizao: 03/04/2014 Durao: 100 minutos

Guio de correco

1. (3.0v) Considere a sucesso , onde

a) Mostre que decrescente.

b) Mostre que

Resoluo:

a)

Temos que provar que:

, sendo assim teremos:

para

b)

, seja

e

ento os termos de e so:

;

;

;

;

;

;

Como os termos de so iguais a termos de , ento , isto ,

.

2. (3.0v) Usando o teorema de sucesses enquadradas, estude quanto a convergncia

o seguinte termo

Resoluo:

2

, Converge para .

3. (2.0v) Usando o resultado, se

, ento

estude a convergncia do termo

Resoluo:

4. (2.0v + 2.0v) Calcule os seguintes sucesses

a)

b)

Resoluo:

a)

[ ]

(

)

b)

*

+

*

+

5. (3.0v) Recorrendo s relaes entre infinitsimos, calcule:

Resoluo:

[

]

6. (3.0v) Mostre que a funo

tem descontinuidade em .

Classifique o tipo de descontinuidade.

Resoluo:

A funo dada contnua , excepto o ponto no qual ela no definida.

Visto que: { }

3

{ }

{

{

{

Assim, . Logo, a funo dada no ponto tem uma

descontinuidade removvel.

7. (2.0v) calcule de

Resoluo:

(

)

Resolvido por:

Estudante Taunde Dauce Luis

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UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE FACULDADE DE CINCIAS Departamento de Matemtica e Informtica

Analise Matemtica I para cursos de engenharias

Regime: Ps Laboral

1.Ano 1. Semestre Teste

Durao: 100 minutos 28/05/2014 Hora: 13:35-15:20

Guio de correco

1. Verifique o teorema de Rolle para a funo sobre o

segmento *

+.

Seja

A funo contnua e derivvel . Em particular continua em

*

+ e derivvel em +

*.

(

) (

)

Pelo teorema de Rolle +

* :

Como , o ponto c onde :

+

*

2. Calcular os integrais

a)

b)

c)

5

Resoluo:

a)

{

b)

c)

,

(

)

(

)

] | |]

3. e construir o grfico da funo

{ }

{ }

Assmptotas:

A.V. {

{

logo A.V. da

funo.

Seja

6

A.H. {

{

{

Logo

A.V. da funo.

N.B. acha-se A.O. quando a funo no tem A.H. consequentemente a funo no

tem A.O.

Monotonia e extremos da funo:

no se anula, pelo que tambm no existem extremos da funo.

] [ -2 ] [ 8 ] [

Concavidade, convexidade, pontos de inflexo:

( ) *( )

+

=

( )

( )

=0

, a equao no se anula, isto , no tm zeros, pelo que

tambm no tm pontos de inflexo.

] [ -2 ] [ 8 ] [

7

Grfico:

0

Contradomnio da funo:

8

4. Achar a rea limitada pelas curvas e

:

Seja e

As interseces entre as parbolas da funo so:

, logo os pontos de interseco

so:

Fazendo o esboo das parbolas teremos:

-2

9

[ ]

|

|

(

)

Resolvido por:

Estudante Taunde Dauce Luis

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UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE FACULDADE DE CINCIAS Departamento de Matemtica e Informtica

Analise Matemtica I para cursos de engenharias

Regime: Ps Laboral

1.Ano 1. Semestre Exame normal

Durao: 120 minutos 11/06/2014 Hora: 17:00-19:00

Guio de correco

1. (2.0) Calcule o limite da sucesso

Resoluo:

=

=

=

=

=

2. (2.5) Calcule a derivada primeira da funo

Resoluo:

=*

+

=[

]

=

[ ]

=

[ ]

=

[ ]

=

[ ]

3. (2.5) Desenvolva a funo em potncia do binmio funo ate ao

termo que contenha . Resoluo:

Usando a frmula de Taylor

+

+

+ .+

+

, onde e , teremos:

11

Substituindo as expresses encontradas na frmula de Taylor, teremos:

+

-

, Onde

4. (5.0) Dada a funo

, construa o grfico determinando: o campo de

existncia, os pontos de descontinuidade, a monotonia, os extremos, os pontos de inflexo,

a concavidade e convexidade.

Resoluo:

Campo de existncia da funo:

={ } { }, Isto , a funo existe e tm valores finitos desde que .

A funo descontnua no ponto . A recta A.V. do grfico, visto que:

Monotonia e os extremos da funo:

] [ ] [ ] [ ] [

Mx. Mn.

Mx:

,

Mn:

,

12

Os pontos de inflexo, concavidade e convexidade da funo:

impossvel.

no tem zeros, isto , no se anula, pelo que tambm no existem pontos de inflexo

da funo.

] [ ] [

Para ] [ a convexidade da curva est orientada para cima (a curva convexa)

Para ] [ a convexidade da curva est orientada para baixo ( a curva cncava).

N.B. a funo

no tm A.H e A.O

Grfico da funo:

4

-1 0 1

13

Contradomnio da funo:

] ] [ [

5. (8.0) Calcule os seguintes integrais:

a) (3.0)

b)

c)

Resoluo:

a)

,

,

,

,

,

| | | |

b)

{

[ ]

;

Sabendo que

[ ]

Teremos:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

14

c)

; { }

{ }

=

=

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

Resolvido por:

Estudante Taunde Dauce Luis