1

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Vania Mara Pereira Eckermann¹ Orientador: Antonio Amilcar Levandoski / UTFPR RESUMO O objetivo desse artigo é propor e validar o trabalho com a resolução de problemas matemáticos nas séries iniciais, dando ênfase à interpretação dos enunciados e análise dos resultados por parte dos educandos. O trabalho descreve a aplicação de um Caderno Pedagógico elaborado por professor integrante do PDE (Programa de Desenvolvimento Educacional) do governo do Estado do Paraná com base nas leituras realizadas e com a colaboração do professor orientador e docentes da disciplina. O Caderno foi aplicado com alunos da 5ª série do ensino fundamental de um colégio público do Estado. Para validar a proposta foi utilizado o procedimento metodológico referente a dados quantitativos, através da comparação de duas avaliações escritas. Palavras-chave: resolução de problemas; participação do aluno; investigação; linguagem.

ABSTRACT The aim of this paper is to propose and validate the work of solving mathematical problems in the early grades, with emphasis on interpretation of statements and analysis of results by the students. This paper describes the implementation of an Educational Booklet prepared by Professor integral EDP (Educational Development Program) of the state government of Paraná on the basis of readings and performed in collaboration with the supervising teacher and teachers of the discipline. The Notebook was used with students in the 5th grade of elementary public school of the State. To validate the proposed procedure was used on the methodological quantitative data by comparing two written assessments. Keywords: problem solving, student participation, research, language.

1. Introdução

O baixo rendimento em matemática é facilmente observável, tanto nos

relatórios finais das escolas, como nas avaliações realizadas pelo Instituto

Nacional de Pesquisas Educacionais, por meio do Sistema Nacional de

Educação Básica (SAEB) e da Prova Brasil. Esse panorama talvez reflita mais

o problema no ensino da matemática do que um déficit de aprendizagem por

parte dos alunos. O ensino da disciplina está mais pautado nos conteúdos e na

resolução de exercícios repetitivos do que na compreensão e aplicação que os

alunos deveriam estabelecer. Nessa perspectiva, Zuchi (2004) coloca que as

pessoas que manipulam bem as fórmulas e compreendem a simbologia

_______________________________________________________________

¹ Licenciada em Matemática – UFPR – Especialista em Magistério de 1º e 2º Graus – IBPEX –

PR. Professora da Rede Pública Estadual – PR.

2

matemática são vistas como um gênio, dada a complexidade como vem sendo

apresentada.

Sabe-se que ainda nos tempos atuais a matemática é uma disciplina

pouco agradável aos alunos, principalmente a partir da quinta série do ensino

fundamental. A maioria dos professores concorda que a finalidade da educação

é desenvolver alunos críticos e capazes de solucionar problemas. Portanto, o

ensino da matemática não pode estar desvinculado dessa realidade e não deve

ser visto como algo difícil de decifrar, como se fosse um idioma desconhecido

ou a apresentação de uma partitura para um leigo em música.

Com base nesses problemas que a educação brasileira vem

enfrentando, o governo do estado do Paraná está investindo no setor, tanto na

aquisição de materiais de qualidade, bons livros para as bibliotecas,

laboratórios de informática, bem como na formação continuada dos

professores, principalmente no caso do PDE.

O PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional, da Secretaria de

Estado da Educação do Paraná, faz parte de uma política educacional que

prioriza a valorização do professor, onde o seu grande diferencial está na

integração dos docentes da rede com as diversas Instituições de Ensino

Superior do Estado. O programa visa a atualização e aprofundamento dos

conhecimentos teórico-práticos, além de proporcionar espaço para a

discussões.

As contribuições das pesquisas de Piaget e sua influência educacional

no século XX são difíceis de serem negadas. Segundo Piaget, o conhecimento

lógico-matemático depende de uma construção por parte do indivíduo. Então,

essa aprendizagem deve estar embasada na estruturação do conhecimento

pelo aluno, não permitindo seu reducionismo à aplicação de fórmulas ou

conceitos prontos.

Os estudos na área da educação vêm apresentando um avanço,

principalmente quando coloca o aluno como alguém ativo e não apenas reativo.

As diferentes abordagens da disciplina vêm confirmar essa preocupação com

um ensino mais dinâmico e com diferentes enfoques, podendo ser citado:

* História da Matemática;

* Modelagem Matemática;

* Etnomatemática e

3

*Resolução de Problemas.

Há muito tempo a Resolução de Problemas está presente nos currículos,

porém é necessário um processo de resignificação, ou seja, o problema precisa

ser o ponto de partida e orientação para a aprendizagem, não simplesmente o

fecho de um assunto. É necessário oportunizar aos alunos momentos de

experimentação, de troca de idéias, de refletir sobre as possíveis soluções ou

caminhos a serem seguidos para que tenham possibilidade de analisar o

resultado obtido. Essa abordagem não pode ser considerada apenas como

“mais um exercício”, mas sim como um instrumento para auxiliar no

desenvolvimento da capacidade de participação e crescimento do educando. O

professor não deve esperar respostas prontas, pois a capacidade do aluno em

resolver ou não o problema deve ser estimulada. Para isso faz-se necessário

criar uma situação-problema que seja desafiadora.

2. A Matemática no Contexto Histórico

A Matemática tem sido vista como conhecimento “pronto e

inquestionável”, não cabendo ao aluno a participação na construção do

conhecimento. Atualmente o aluno não vivencia momentos de reflexão e

descobertas, por isso seu distanciamento da realidade. O papel do educador

deve ser de mediador, onde auxilia o aluno a obter resultados e conclusões,

mas sem fornecer-lhe respostas prontas.

A Resolução de Problemas tem sido foco de pesquisas na área de

Educação Matemática, em diversos países. Desde a tradução, no Brasil, da

obra organizada por Krulik e Reys (1997), que esta linha de pesquisa ganhou

mais fôlego entre a maioria dos pesquisadores e as idéias desencadearam

maiores discussões sobre a questão.

Essa temática deve ser vista como uma metodologia onde o foco está

posto na participação do aluno, como investigador e construtor do

conhecimento. Para que isso aconteça, cabe ao professor propor aos alunos

uma questão que leve-o a refletir e analisar as possíveis soluções.

Uma boa definição para a resolução de problemas é a apresentada por

Silveira (2001):

Um problema matemático é toda situação requerendo a descoberta de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que tente resolvê-lo,

4

e/ou a invenção de uma demonstração de um resultado matemático dado. O fundamental é que o resolvedor tenha de investigar estratégias e criar idéias... (grifo do autor).

Cabe aqui destacar a importância da participação crítica e do papel de

questionador do educando, pois a este não basta encontrar a solução, mas sim

fazer a interpretação dos resultados. Esse é um momento de verificação e

validação do caminho que ele escolheu, ou seja, se a solução é aceitável ou

descartável.

Não é atual a preocupação com o ensino da matemática, pois na década

de 60 ocorreu o movimento da matemática moderna, porém com os problemas

ocorridos na década de 70, optou-se pelo retorno ao básico, e na década de

80, muitos educadores elegeram a resolução de problemas como a

metodologia que iria salvaguardar o ensino da disciplina. É fato que depois da

matemática moderna, os professores não tiveram uma unanimidade na forma

de ensinar (Krulik, 1997). Inclusive nas Diretrizes Curriculares do Estado do

Paraná (Paraná, 2006, p.24) é citado que o ensino da matemática deve tornar

o estudante crítico e capaz de atuar com autonomia frente às relações sociais,

portanto não cabe mais um ensino tradicional onde o importante é decorar

fórmulas, pois pretende-se que o aluno seja participativo, não aceitando

respostas prontas.

De acordo com os estudos de Zuffi (2007), foi na década de 80 que se

deu maior ênfase na resolução de problemas como método de ensino, portanto

esta passa a ser a base do processo ensino-aprendizagem e não mais uma

atividade complementar. Porém, essa resolução deveria ter como meta

provocar uma mudança de longo prazo, onde o problema não poderia ser

tratado isoladamente, mas com intenção de alcançar a natureza interna da

matemática e interiorizar suas aplicações.

Historicamente, muitos estudiosos, matemáticos e filósofos, associaram

a matemática ao desenvolvimento do raciocínio (Machado, 1990), mas a

disciplina como está posta não parece contribuir muito para desenvolver a

capacidade de pensar. Pouco se valoriza a oralidade, que é um degrau natural

da aprendizagem. É quase inexistente a articulação entre a análise e síntese

na construção do conhecimento matemático, e a importância dos resultados

aproximados, está sendo deixada de lado.

5

De acordo com Floriani (2000) o estudo matemático dividia-se em:

* utilitário (profissionalizante ou artesanal)

* especulativo ( contemplativo ou artístico).

Essa divisão reflete a posição filosófica prevalecente na Europa e com a

Revolução Industrial, a visão especulativa foi perdendo a importância,

especialmente quando a sociedade norte-americana se impôs econômica e

politicamente. Desse momento vem o ensino matemático como conhecimento

formal, e da matemática como ciência neutra de conhecimentos prontos e

acabados.

É necessário que a educação contribua para o desenvolvimento do

educando, caso contrário não estará colaborando com a aprendizagem,

cabendo ao professor desenvolver nos alunos a competência para resolver

situações problemas, ensinando-os a fazerem estimativas e testar as respostas

encontradas. É evidente que participar da aula na construção do conhecimento

torna-se muito mais significativo do que resolver enfadonhas listas de

exercícios de repetição.

3. Sobre a Resolução de Problemas

Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre

uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema.

(Polya, 1991, p. v)

3.1. Formulação de Problemas

Para formular adequadamente os problemas é importante ter em mente

que de acordo com Krulik, os tipos de problema são:

* Exercícios de reconhecimento * Exercícios algorítmicos * Problemas de aplicação * Problemas de pesquisa aberta *Situações-problema (Krulik, 1997, p.33)

São chamados de exercícios de reconhecimento os enunciados que

solicitam a identificação de um tópico já estudado (por exemplo: Assinale as

equações do segundo grau...); os exercícios algorítmicos são os que permitem

6

uma resolução metódica (enunciados como: calcule, resolva...); problemas de

aplicação estão relacionados aos enunciados que permitem um cálculo com

intenção de um resultado prático, ou seja, os enunciados tradicionais; os

problemas de pesquisa aberta estão relacionados aos enunciados que não

sugerem uma forma para sua solução e adotam expressões como: “Prove

que..., Para quais...”, esses não cabem às séries iniciais devido a

complexidade de sua resolução e as situações problemas caracterizam-se pela

forma como são expostos, pois são apresentados como enunciados que

necessitam de uma leitura pautada, da análise de seus dados e verificação da

solução, que é o alvo principal dessa pesquisa.

Nesse último, cujo trabalho está centrado, é importante ensinar

diferentes estratégias aplicáveis aos problemas para que os alunos tenham

meios de resolvê-los, além de adequar o tempo, pois se este for insuficiente,

trará um sentimento de incapacidade e se for exagerado, poderá perder o foco

e é salutar que os “resolvedores” tenham expectativas frente às questões.

Sempre que necessário, o professor deverá auxiliar fazendo a decomposição

do enunciado e analisando-o por etapas, em conjunto com os alunos. Dar

pistas usando questionamento também é muito útil, pois faz com que os

educandos tirem proveito dessas orientações, aprendendo a encontrar

palavras-chave, sabendo que em alguns momentos elas podem auxiliar, mas

em outros, atrapalhar se não forem bem analisadas. Em algumas situações é

esclarecedor fazer uso de materiais manipuláveis, que podem ser gráficos,

figuras, material concreto e outros. É importante destacar que os jogos também

facilitam o entendimento.

A variedade de enunciados leva à riqueza de situações e com isso a

lapidação do processo de resolver problemas, pois estes precisam ser

aprendidos e aprimorados na seqüência das aulas. Outro fator importante é ser

flexível quanto às diferentes formas de resolver a mesma situação, inclusive

valorizando soluções orais, porque como já foi citada, a formalização é um

processo que vem com aprimoramento do processo. O professor deve ficar

atento à estrutura do problema, pois para Krulik (1997) alguns itens podem

tornar essa tarefa mais difícil, como por exemplo: muita informação

desnecessária, necessidade de vários cálculos, estrutura muito complexa,

7

valores muito elevados e enunciados fora de ordem ou que permitam dupla

interpretação.

A Resolução de Problemas deve ser tida como meta porque influencia o

currículo; como um processo, pois se aplicam conhecimentos adquiridos

isoladamente e também como habilidade básica, pelo fato das pessoas sempre

estarem colocadas frente à situações onde têm que fazer escolhas que

implicam em análises. O fato é que esse tema não é exclusividade da

matemática, nem do ambiente escolar, mas sim dos negócios, da política e das

pessoas em geral. E aí está o fio condutor de trabalhar nessa proposta, pelo

fato de ser útil para a vida social do aluno, seja momentânea ou com vistas ao

futuro. De acordo com Fernandes (2008), esse processo melhora o

desempenho dos alunos, principalmente porque conta com a participação

efetiva deles, além disso, a avaliação fica voltada a um processo e não

meramente à resposta final.

Do ponto de vista do ensino, em especial do ensino da matemática,

Sepúlveda (2007) destaca a importância da utilização das diferentes técnicas e

ambientes colaborativos para a aprendizagem, bem como a riqueza e

variedade de desafios que a disciplina pode oportunizar aos alunos. Cabe

ressaltar que o uso dos laboratórios de informática só tem a acrescentar nessa

perspectiva, pois este bem empregado, auxilia no desenvolvimento do

pensamento do aluno e segundo Valente (2008) o computador pode ajudar no

desenvolvimento do raciocínio, possibilitando a resolução de situações-

problema. É importante tomar o cuidado ao formalizar o aprendizado após a

resolução com o uso de material manipulável, pois esse processo é necessário

para que o estudante consiga efetivar a transferência do que aprendeu para

outras situações semelhantes, fazendo as devidas adequações. O ensino não

deve partir do rigor da disciplina nem do reducionismo de técnicas, mas após o

estudo e as intervenções, precisa finalizar com sua notação mais formal, para

que os alunos saibam empregá-lo em outros momentos.

Vários campos da matemática são desenvolvidos inicialmente com

atividades lúdicas, ressaltando que essa característica tem um peso pessoal,

pois o que para alguns é visto como uma diversão, para outro pode ser

enfadonho. Para a resolução de problemas, os jogos de estratégia e os quebra-

cabeças matemáticos são bons colaboradores. Os jogos de estratégia são

8

bons para desenvolver o raciocínio seguindo uma lógica, onde o objetivo para o

aluno é a vitória, mas para o professor é o desenvolvimento de diversas

hipóteses a serem testadas e aprovadas, ou rejeitadas. Já os quebra-cabeças

fazem com que os alunos utilizem de ferramentas, por vezes sofisticadas, mas

que os levem a concretização do seu objetivo que é encontrar uma solução.

Quando o aluno passa pelo processo de análise, faz uso de técnicas e de

conceitos matemáticos, porém muitas vezes de uma forma velada que nem

sempre é percebida por ele. Os estudantes têm mais facilidade em

compreender a matemática de forma recreativa, por isso é uma boa estratégia

utilizar os jogos, onde eles desenvolvem as habilidades que necessitam para a

resolução de problemas, pois voluntariamente encaram o jogo como um

desafio e são capazes de trabalhar com a questão por um período mais

prolongado.

3.2. Resolução de Problemas

Tanto Dante (2005) como Polya (1994) destacam que para resolver um

problema, é necessário serem seguidos alguns passos: familiarização,

compreensão, idéia central, planejamento e retrospecto. Para que haja um bom

entendimento, será especificada cada uma dessas etapas:

* A familiarização sugere a leitura pausada para compreender o

problema, entender qual é seu objetivo e verificar se já foi resolvida alguma

situação semelhante.

* Para a compreensão é necessário que se analise a questão em partes.

Primeiro fazendo uma interpretação dessas partes e depois da relação que

estabelecem entre si. Cabe aqui questões como: “O que se pede no

problema?”; “O que se procura?”; “É possível desenhar a situação?”...

* Para retirar a idéia central, deve-se passar pelo item anterior e verifica-

lo sob diversos ângulos para extrair sua essência. Deve-se abordar uma

questão de diferentes maneiras, procurando estabelecer relações com o que já

foi aprendido.

* Planejar uma estratégia de ação é fundamental para resolver qualquer

problema, inclusive os “não-matemáticos”. Deve-se realizar detalhadamente as

operações matemáticas, que podem ser algébricas ou geométricas e verificar

9

cada passo, usando a intuição e o raciocínio formal. As indagações aqui

seguem a seguinte estrutura: “É possível resolver por partes?”; “Lembra de

outro problema semelhante?”; “É possível traçar alguns caminhos em busca da

solução?”...

* A utilidade da retrospectiva é rever se a questão foi resolvida da melhor

maneira e de forma mais prática. Nesse momento é rica a troca de idéias e

informações, para que se faça a escolha da estratégia mais adequada à

situação.

Tão importante quanto os passos anteriores é a análise do resultado

obtido, momento em que será verificado se a resposta é viável, se está

adequada à questão e se “o número” obtido cabe na situação. A todo o

momento os alunos devem ser encorajados a fazerem questionamentos não só

ao professor, mas trocar opiniões entre eles. O crescimento só acontecerá se

existir a discussão, sendo, o propósito dessa metodologia.

Um bom problema deve ser desafiador para o aluno e aguçar sua

curiosidade para que ele queira resolvê-lo. Um problema interessante aos

adultos pode não ter nenhuma conexão com os mais jovens, e a motivação é

talvez, o fator mais importante para a participação do aluno. Adequar o nível de

dificuldade também é um facilitador da aprendizagem, pois ser desafiador não

quer dizer o mesmo que apresentar um grande número de obstáculos. Até a

linguagem usada, inicialmente é uma barreira que com o desenvolvimento da

leitura matemática será transposta. Os alunos apresentam certo

desconhecimento porque os termos empregados muitas vezes não são os

mesmos usados no cotidiano.

O êxito na resolução de problemas é uma questão de persistência, pois

não é fácil de ser ensinado, nem de ser aprendido. O professor não pode

desanimar se os primeiros momentos forem frustrantes, pois é a prática que o

levará ao êxito. Não se deve encarar a falta de êxito momentâneo como uma

bandeira de fracasso, pois tanto o professor como o aluno precisa de um tempo

para incorporar essa metodologia e isso não ocorrerá num primeiro contato.

Inclusive pode ocorrer que excelentes alunos, para resolverem algoritmos, não

sejam exímios solucionadores de problemas e o educador deverá trabalhar

para que essa questão seja encarada como um desafio e não um

desestimulante.

10

Outra dificuldade é a falta de “receita” a ser empregada no processo de

resolução, pois problemas parecidos nem sempre apresentam a mesma

solução. O que por outro lado é agregador de conhecimentos porque faz com

que o aluno aprenda por situação e não por repetição. Porém não é fácil mudar

a concepção que o professor tem, segundo D’Ambrosio (1989), de que o

objetivo do processo educacional é o repasse de conteúdos, onde nem sempre

é oportunizada a investigação, exploração e descobrimento. Essas práticas é

que levam o aluno a um conhecimento aplicável, porque o aprender fazendo é

muito melhor armazenado na memória do que a repetição de exercícios sem

uma finalidade clara.

Esse processo é lento e a formalização acontece da necessidade que o

aluno apresenta para expressar-se, mas o aluno envolve-se criando hipóteses

e investigando, ora acertando e ora errando, porém sempre apresentando

crescimento. Para que se concretize essa formalização é importante que os

alunos façam os registros – tarefa nada fácil para o professor, pois convencê-

los dessa atividade requer muito tato. Em parte, os estudantes não gostam de

escrever devido à linguagem matemática que não lhes é familiar, não se

sentem à vontade com os símbolos e expressões numéricas, segundo Krulik

(1997). Num primeiro momento, sugere-se que os registros sejam feitos

através de desenhos para dar mais confiança e na seqüência, introduzir uma

linguagem mais simbólica; vale lembrar que a geometria é um bom suporte

para questões de aritmética.

Seguir os passos que Polya adota é um bom caminho: inicialmente ele

ensina através de um exemplo, sendo um companheiro dos alunos,

apresentando sempre problemas a serem resolvidos e fazendo vários

questionamentos. Com o desenrolar da resolução, faz sugestões heurísticas

(entenda-se aqui por heurística a indicação de uma sugestão ou estratégia

geral), porém sem apresentar vários problemas semelhantes, e por fim, passa

a ser um comentarista da resolução, ou resoluções, assim como da resposta

encontrada. Ele traz os alunos a uma resolução reflexiva, faz pensar na

solução e se o caminho encontrado é o menor e melhor a ser seguido, fazendo

a generalização das estratégias e do resultado. Gosta de partir de uma

historinha, não como regra obrigatória, mas como um complemento

interessante para fazer a reflexão e tornar o assunto mais real, incentivando os

11

alunos a participarem com suposições. O alvo de Polya é a independência do

aluno frente à resolução de problemas, e para atingir esse objetivo, torna-se

um companheiro incansável, auxiliando quando os alunos adentram num beco

sem saída e incentivando quando escolhem um bom caminho. E para que se

obtenha êxito nesse processo, o conselho principal é praticar.

Talvez nesse momento pareça que os problemas dos livros didáticos

não irão contribuir para esse trabalho, mas eles são úteis sim. Alguns podem

ser trabalhados como foram apresentados, e outros, necessitarão de uma

complementação, mas o que precisa ser alterado é o enfoque dado à sua

resolução, pois nessa abordagem é mais interessante solucionar com eficiência

alguns, do que fazer todos sem acrescentar conhecimento aos educandos.

Além disso, pode-se partir de um problema pronto, para que o aluno elabore

um enunciado, que certamente será de seu interesse e com esse procedimento

estará sendo incentivada a sua criatividade.

O processo de resolução de problemas é uma tarefa árdua, tanto do

ponto de vista do professor como do aluno, mas vale destacar um comentário

de Barnett, citado por Krulik:

Ensinar as crianças a se tornarem melhores na resolução de problemas não é

um trabalho fácil. Todavia, a tarefa fica menos difícil se lhes damos

oportunidade de trabalhar com problemas de seu interesse.

Provavelmente não é possível avaliar a importância relativa da habilidade de

leitura no processo de resolução de problemas. É claro, contudo, que muitas

crianças com pouco domínio da linguagem nunca alcançarão o estágio de

entender bem o problema. Proporcionando-lhes sistematicamente experiências

que as ajudem a desenvolver habilidades de processamento de linguagem na

área matemática, o professor pode contribuir para que as crianças se

aprimorem em resolução de problemas, uma área capital de importância.

(Krulik, 1997, p. 146)

Portanto, cabe ao professor a árdua tarefa de tornar a resolução de

problemas possível e proveitosa para os alunos. A experiência de conseguir

ler, interpretar e solucionar uma questão são de um prazer ímpar, onde o

principal sentimento que se experimenta é o de vitória.

4. Caderno Pedagógico - Elaboração

12

O Caderno Pedagógico foi elaborado com base na resolução de

problemas, proposta por Dante e Krulik, onde o princípio básico é levar o aluno

a pensar produtivamente. O caderno está dividido em duas partes: uma com a

introdução teórica e outra com as questões de aplicação.

Na primeira parte consta uma breve introdução sobre o desenvolvimento

da matemática e o baixo rendimento que os alunos vêm apresentando nos

últimos anos.

É apresentado também, um breve histórico da disciplina de matemática,

onde é mostrado que mesmo com as várias reformas por qual passou, ainda

muitos professores têm seu trabalho pautado apenas nos modelos clássicos de

problemas, onde o aluno é levado apenas a reproduzir cálculos, não sendo

incentivado a pensar produtivamente.

Na segunda parte, o fator primordial foi quanto à linguagem empregada

nos enunciados e o conteúdo relacionado ao contexto social no qual esses

alunos estariam inseridos. Por isso, foi tomado por base o estudo de Carraher,

onde ele destaca três tópicos muito importantes:

* A linguagem em que o problema é apresentado,

* O nível de representação em que os dados são fornecidos,

* A lógica do problema, isto é, o conjunto de relações estabelecidas e a

estabelecer entre os dados. ( Carraher ,1986, p. 70)

Diante desse fato, destacou-se a importância da escolha do enunciado,

pois ele foi a fonte de todo o trabalho. É a partir dos questionamentos a serem

levantados que se fundamentam as definições e se consolidam as interações e

construções do conhecimento por parte dos alunos. É importante que o aluno

conheça bem a expressão verbal utilizada, para que em seguida seja capaz de

fazer uma transferência para o mundo em que vive e por último, entender as

relações lógicas constantes no problema.

As questões foram elaboradas para que levassem o aluno a tomar

decisões, estabelecer relações, saber comunicar e analisar os resultados, mas

antes de tudo, que ele seja capaz de compreender seu resultado.

13

As questões de aplicação foram divididas em seis itens, assim

denominados:

1. adicionando;

2.subtraindo;

3.multiplicando;

4.dividindo;

5.as quatro operações;

6. lógica.

Do item 1 ao 4 foram elaborados 3 problemas para cada tema, porém a

operação que derivou o tema não era a única empregada na resolução da

questão. Em todas as questões foram abordadas mais de uma operação com

mais de uma forma de resolução. Ao final de cada unidade havia um desafio

para finalizar ou mesmo para motivar o tema trabalhado.

Cada questão foi elaborada para ser aplicada ao longo de uma aula,

pois os enunciados permitem uma extensa discussão.

No tópico 5, foram apresentados cinco problemas mais elaborados que

os primeiros, no que diz respeito a interpretação dos dados e análise dos

resultados. Essas questões poderiam ser trabalhadas na sequência em que

foram apresentadas ou não, pois as interpretações / resoluções eram

independentes.

O item 6 é uma compilação de dez exercícios de lógica que poderiam

ser aplicados a qualquer momento, tanto como introdução de uma aula ou

como fechamento da mesma.

Foi apresentado, ao final desse caderno, indicações de leituras e vídeos

para enriquecer as aulas.

Cada questão proposta foi elaborada tendo por base a realidade local: o

próprio colégio, comércios da redondeza, assuntos de conhecimento dos

alunos, a própria fatura de energia elétrica...

Antes de aplicar qualquer questão, o primeiro passo a ser dado pelo

professor foi verificar o nível de aprendizagem em que se encontram seus

alunos, pois as questões além de serem dosadas, deveriam estar adequadas

ao momento de aprendizagem em que se encontravam. Cabe aqui destacar os

quatro níveis de desenvolvimento dos alunos, segundo Carraher:

14

Primeiro nível: os alunos têm pouca ou nenhuma compreensão do que é resolver um problema, do significado de estratégia ou da estrutura matemática. Segundo nível: os alunos sabem o que significa resolver um problema e o que são estratégias e percebem a estrutura matemática de um problema. Terceiro nível: os alunos começam a se sentir à vontade em relação aos problemas. Sugerem estratégias diferentes a partir daquelas já vistas. Quarto nível: os alunos são capazes de selecionar estratégias apropriadas para a maioria dos problemas e são bem sucedidos em encontrar soluções. (Carraher, 1986, p. 275)

Independente do nível da turma, é importante esclarecer melhor cada

um deles:

* Primeiro nível: ao professor cabe o papel de “modelo”, pois nesse nível

muitos alunos não têm idéia de por onde começar. É necessário que seja feito

uma leitura pausada e crítica do enunciado com a finalidade de retirar dados

importantes e aprender a manuseá-los, pois além de elencar estratégias para

resolver a questão, também se deve orientar para a análise do resultado

obtido.

* Segundo nível: o papel do professor é o de auxiliador, ou melhor,

mediador. Os alunos conseguem compreender diferentes soluções e contribuir

com os colegas. É um ótimo momento para trabalhar em grupo, pois a troca de

idéias não só é possível, como também enriquecedora, daí a importância de

problemas que permitam aos alunos tirarem proveito da diversidade de

estratégias.

* Terceiro nível: o papel do professor é proporcionar os problemas, e dos

alunos é encontrar as diversas soluções. As questões podem (e devem) ser

mais elaboradas, pois muitos alunos já trabalham sem necessitar o auxílio do

professor e conseguem trocar informações entre eles.

* Quarto nível: o papel do professor é muito mais de coadjuvante e

espectador. Os alunos são praticamente independentes e se interessam por

soluções mais elaboradas e eficientes.

No primeiro momento os problemas tratavam muito mais das

interpretações dos enunciados e dos resultados, do que propriamente da

operação realizada, pois o importante era que os alunos fizessem as leituras e

conseguissem resolver, para que depois fosse verificada a operação mais

simples ou direta de ser aplicada.

15

Foram colhidas sugestões de alterações e/ou inclusões do professor

orientador bem como de outros docentes de Matemática, alguns com muitos

anos de prática e outros nem tanto, pois era necessário que não contivesse

apenas o olhar do professor elaborador desse caderno. Também foi fator de

preocupação dosar a quantidade de problemas, bem como o número de

questões dentro de um único enunciado.

As questões foram elaboradas de maneira abrangente, ou seja, não

tratavam exclusivamente de assuntos matemáticos, mas questões e situações

do cotidiano dos alunos, bem como questões envolvendo hábitos de saúde.

O papel do professor nesse caderno deve ser o de mediador. Na visão

de Meier, 2009 (p.25): “Diferente de ensinar, mediar é uma espécie de

interação especializada em que a “aprendizagem” encontra a “autonomia para

aprender” e, juntas, possibilitam a construção de pessoas capazes de andar

por si só na construção do conhecimento”, ou seja, o mediador da

aprendizagem deve levar o aluno a ter subsídios suficientes para interpretar as

questões e resolve-las da maneira que achar mais viável naquele momento.

Não eram questões abertas, mas permitiam diferentes caminhos para um

mesmo desfecho.

5. MODELO PROPOSTO 5.1 Metodologia

No presente trabalho foi utilizado o procedimento metodológico referente

à pesquisa quantitativa. A pesquisa quantitativa foi realizada por meio de

comparação entre as avaliações aplicadas durante o decorrer do processo, em

especial a nota da primeira e da última avaliação. Também foi verificado o

desenvolvimento individual e coletivo quanto à leitura e interpretação dos

enunciados.

5.2 Sujeito da pesquisa

O objetivo da pesquisa foi propor, aplicar, analisar e validar o ensino da

Matemática baseado na Resolução de Problemas, durante as aulas

ministradas no primeiro semestre de 2009, em duas turmas de 5ª série do

16

ensino fundamental de um colégio estadual, localizado em São José dos

Pinhais, região metropolitana de Curitiba / PR, num universo de 56 alunos.

As turmas apresentavam alunos heterogêneos quanto à idade, sexo e

classe social. Bem como alunos oriundos da 4ª série de diferentes escolas da

região ou repetentes da 5ª série.

5.3. Aplicação do Caderno Pedagógico

Na semana pedagógica, o caderno foi apresentado à direção, à equipe

pedagógica e aos demais professores, sendo da disciplina de matemática ou

não, com o intuito que todos tivessem conhecimento do trabalho diferenciado

que seria abordado em duas turmas de 5ª série. Também foi deixada uma

cópia do material no colégio para acesso de todos os profissionais que

demonstrassem interesse em conhecê-lo.

A idéia inicial era aplicar uma avaliação de sondagem com questões

semelhantes às apresentadas no Caderno Pedagógico para que ao final do

semestre, após ter trabalhado com os alunos, fosse feita uma nova avaliação

de verificação. Seriam comparados os resultados obtidos nas duas avaliações

para verificar se realmente houve crescimento dos alunos, no sentido de uma

melhor interpretação dos enunciados.

Após conhecer as turmas onde o projeto seria implementado – duas 5ª

séries, foi necessário fazer a alteração nessa primeira avaliação, pois foi

constatado que o nível de interpretação dos alunos estava “abaixo do

esperado”, ou seja, foi verificado que os alunos apresentavam muita dificuldade

em realizar a leitura e a interpretação dos enunciados sem o auxílio da

professora.

Tendo em vista os problemas encontrados, a melhor opção foi uma

avaliação “tradicional”, servindo de sondagem e também de embasamento para

dar início ao trabalho baseado na resolução de problemas.

Ao todo, 49 alunos realizaram a avaliação de sondagem num primeiro

momento, pois nem todos estavam presentes, além disso, outros alunos

entraram na turma após essa avaliação. A avaliação foi ofertada aos novos

alunos, assim que estavam estabelecidos na turma.

17

O quadro a seguir mostra o número de acertos por questão, ficando

explícito que questões (3 e 4) onde o aluno precisava de um nível um pouco

melhor de interpretação, o resultado ficou abaixo do esperado. Também deixa

claro que houve muita dificuldade mesmo na resolução de simples operações,

por exemplo, nas questões 5.d e 5. e.

Número da questão Número de acertos Porcentagem de acertos 1 29 59 % 2 28 57 % 3 16 33 % 4 17 35 %

5. a 36 73 % 5. b 35 71 % 5. c 24 49 % 5 .d 12 24 % 5 .e 10 20 %

Após a realização da avaliação e o levantamento das dificuldades,

iniciou-se o trabalho propriamente dito.

Após duas semanas de aula, teve início a aplicação do caderno

pedagógico. O primeiro problema trabalhado foi a questão 2 da Unidade da

Adição.

As questões eram apresentadas aos alunos para que houvesse uma

discussão num primeiro momento, para posteriormente serem resolvidas.

Algumas vezes, o trabalho era individual, mas em grande parte do tempo era

feito em duplas ou pequenos grupos. Percebeu-se que é muito importante a

troca de experiências, principalmente para poder “equipar o aluno com

estratégias para resolver problemas”, como cita Dante, 1994 (p. 14) e o fato de

poderem discutir primeiro com um colega da classe, gerou uma confiança

maior.

Os alunos apresentaram muita dificuldade inicialmente em interpretar os

enunciados, além de acharem os mesmos muito “recheados” de

questionamentos. Queriam ir “direto aos cálculos”, transparecendo uma

ansiedade em calcular, mas sem realmente fazer uma leitura clara e

estabelecer metas.

Uma das maiores dificuldades apresentadas pelos alunos foi o fato de

não estarem motivados a utilizarem como estratégia de resolução de

18

problemas a tentativa-erro, pois eles achavam que o primordial era acertar a

operação matemática, mesmo que não soubessem “o porquê” do resultado

encontrado. Como afirma Musser (em Krulyk, 1997, p.189) essa estratégia é

uma das mais diretas para tentar solucionar uma questão, porém parece não

fluir tão naturalmente como se esperava. Os alunos estavam muito

acostumados com questões padrão, enunciados apresentados com palavras

chave que identificavam qual operação matemática era a mais adequada.

Como já foi citado, a dificuldade em ler e interpretar era muito grande,

mas com o auxílio da professora o problema foi sendo amenizado, porém até

que aparecessem as primeiras respostas adequadas ao conteúdo trabalhado

levou um tempo maior do que o esperado. Como as questões não eram “tão

diretas” como eles estavam acostumados, os desvios do assunto tratado eram

frequentes, havendo necessidade de intervenção da professora, mas sem

tolher a participação desses alunos.

Cabe aqui, colocar alguns questionamentos dos alunos, assim que o

enunciado foi proposto;

“ - Do que é esse problema? “

“- Cadê a conta?”

“- Isso mais parece um interrogatório do que um problema de

matemática...”

“- O texto não fala qual a distância entre duas cidades...”

Foram vários os questionamentos, ficando claro que para a maioria dos

alunos, a matemática está relacionada apenas aos cálculos, como se fosse

uma ciência dissociada do contexto. Mas essa questão já havia sido tratada por

Dante,1997 (p. 59) :”Devemos focalizar, enfatizar e valorizar mais a análise do

problema, os procedimentos que podem levar à sua solução e a revisão da

solução obtida, do que simplesmente a resposta correta.” Mesmo depois de

várias modificações nos currículos escolares, percebe-se que as mudanças no

ensino da referida disciplina ainda são pontuais.

Entre um problema e outro, foram resolvidos outros exercícios, inclusive

do livro didático, mas esses foram apresentados após uma atividade do

Caderno Pedagógico. Também foram apresentados exercícios de “Lógica”,

tanto do Caderno quanto de outros materiais de apoio.

19

O segundo problema trabalhado foi o terceiro do item adição. Cabe aqui

relatar que a maior dificuldade foram os alunos concentrarem-se no problema e

“pararem de brincar” com os dados, isso mesmo depois de deixá-los manusear

o material apresentado. Percebeu-se que qualquer material diferente do

cotidiano da sala de aula gerava certa agitação. Também se notou que eles

ainda sentiam falta de uma operação matemática já posta num primeiro

momento. É como se sentissem falta dos enunciados iniciarem solicitando uma

“conta”.

Outro ponto curioso, foi o fato da maioria dos alunos não estarem

acostumados a escrever em matemática, ou seja, ler os enunciados, responder

às questões de forma clara e objetiva e transcrever um cálculo mental.

Nesse momento já era perceptível um crescimento na participação, que

estava mais centrada no assunto, bem como um grande interesse em resolver

as questões de lógica. Outro fato curioso é que as questões de lógica, nem

sempre foram resolvidas pelos alunos considerados, “muito bons em cálculos”,

em alguns momentos eles resolveram, mas apresentaram dificuldade em

explicar como fizeram.

A primeira questão de adição que consta no caderno Pedagógico,

tratava da elaboração, pelos alunos, de um problema, com dados de uma

tabela construída com o auxílio deles. É importante destacar que tiveram

questões:

• Simples, mas claras;

• “Exageradas” no que uma única pessoa comeu;

• Confusas;

• Complexas, porém claras;

• Com enunciados mais elaborados.

Destaca-se aqui apenas um enunciado elaborado por uma dupla de

alunos:

“Numa lanchonete, quatro amigos estavam discutindo o que iriam

comprar para comer. Chamaram o garçom e pediram: um cheese

burguer, um cheese salada, um cachorro–quente e um salgado assado.

Para beber pediram: um refrigerante de copo e três refrigerantes de lata.

Quando foram pagar, quanto deu?”

20

Este problema foi escolhido pelo fato do seu texto ser claro e objetivo,

além disso, ter uma “certa historinha” para se chegar ao cálculo. Também

porque os autores desse enunciado são alunos que apresentaram um grande

crescimento ao longo das aulas.

Quanto às questões de subtração, não houve dificuldade em trabalhar a

questão 1, porém na questão 2, um dos primeiros problemas encontrados foi a

resistência dos pais em enviarem a fatura elétrica, pelos mais variados motivos:

o filho perder, o “por quê” da escola querer esse comprovante, esquecimento,...

Mas o resultado final foi satisfatório. Nesse segundo problemas a dificuldade

esteve também na variedade de resultados apresentados e pela quantidade de

informações que os alunos receberam.

De forma geral, a aplicação do Caderno Pedagógico foi viável e a efetiva

participação dos alunos melhorou a cada questão.

Ficou visível que os alunos de 5ª série têm uma boa aceitação para

receber um trabalho diferente do tradicional, mas também se deve ter o

objetivo muito claro por parte do professor, pois é muito fácil para esses alunos

“desviarem” do assunto central da aula sem perceberem tal fato. Outro

problema encontrado é o trabalho em conjunto que a princípio gera mais

conversa, porém é mais produtivo. Também foi fácil perceber que dependendo

o enunciado (quando é mais elaborado!), fica inviável trabalhar se as aulas não

forem geminadas, pois caso haja uma “quebra” das aulas, perde-se muito da

essência do trabalho. Constatou-se nesse ponto a afirmação de Dante (1997,

p. 59) onde ele coloca a importância da valorização da análise, da participação

ativa do aluno como agente do processo e não apenas visando a resposta

correta dos problemas apresentados.

Ao longo do semestre foram feitas avaliações, tanto através de

observações, quanto escritas e percebeu-se o crescimento desses alunos. Na

aplicação da avaliação de verificação pode ser constatado o crescimento dos

alunos, pois no início do ano letivo a média geral foi de 4,9 e após o trabalho

realizado com a resolução de problemas essa média foi alterada para 6,4.

Outro ponto importante a ser destacado é que o nível de dificuldade da

avaliação de verificação dos resultados foi mais elevado do que o nível da

avaliação diagnóstica. Cabe aqui destacar a colocação de Polya (1994, p.143)

21

quando destaca os sinais de progresso dos alunos, tanto de caráter heurístico,

quanto os sinais claramente expressíveis.

Para explicitar tal crescimento individual e coletivo dos alunos, seguem

as tabelas e gráficos por turma, para uma melhor visualização:

TURMA “A” AVALIAÇÃO 1 AVALIAÇÃO 2 Nota obtida na avaliação Número de

alunos % Número de

alunos %

De 0,0 até 3,0 11 33,3 5 15,1 De 3,1 até 5,9 11 33,3 9 27,3 De 6,0 até 7,9 8 24,2 9 27,3 De 8,0 até 10,0 3 9,2 10 30,3 Total de alunos 33 100 33 100 Média da turma 4,4 6,2

TURMA “B” AVALIAÇÃO 1 AVALIAÇÃO 2 Nota obtida na avaliação Número de

alunos % Número de

alunos %

De 0,0 até 3,0 9 39,1 2 8,7 De 3,1 até 5,9 3 13,1 5 21,7 De 6,0 até 7,9 2 8,7 7 30,5 De 8,0 até 10,0 9 39,1 9 39,1 Total de alunos 23 100 23 100 Média da turma 5,6 6,8

Tanto na turma “A”, quanto na turma “B”, pode-se notar que houve um

crescimento significativo nas notas da segunda avaliação, sendo na forma

individual ou na média da turma. São bem pontuais os casos onde não houve

crescimento, ou onde houve uma queda na nota. Aqui não está sendo levado

em consideração o crescimento em termos de participação, mas sim na

mensuração escrita do resultado.

Nos gráficos fica visível o resultado individual de cada aluno, podendo

perceber os poucos casos onde não ocorreu a melhora do resultado. Está

sendo chamada de “NOTA 1” o resultado obtido na avaliação diagnóstica e de

“NOTA 2” o resultado da avaliação de verificação.

22

Comparação entre as notas das duas avaliações realizadas na turma "A"

0

2

4

6

8

10

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

Alunos

No

tas NOTA 1

NOTA 2

Comparação entre as notas das duas avaliações realizadas na turma "B"

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Alunos

No

tas

NOTA 1 NOTA 2

Com a comparação dos resultados, constata-se que nesse período

houve uma melhora de 41 % no rendimento coletivo da turma “A” e de 22% na

turma “B”.

6. Conclusão

23

Este trabalho se propôs a validar o ensino da matemática baseado na

resolução de problemas nas séries iniciais ( 5ª série), destacando a importância

do professor como mediador e do aluno como construtor do conhecimento.

A sociedade atual em que vivemos necessita de seres humanos

capazes de tomar decisões, de realizar coisas que vão além de “apertar um

botão”, por isso é necessário que os alunos aprendam a aprender, ou seja, que

o professor seja o elo entre o ser que aprende e o conteúdo exposto. E o

ensino da matemática através da resolução de problemas vem apenas reforçar

esse princípio.

O diferencial desse trabalho é tornar o aluno capaz de ter autonomia na

elaboração do pensamento e, portanto, na elaboração do conhecimento. O

envolvimento do educador vai além da escolha de boas questões e de

coordenar as discussões. Feuerstein, citado por Meier (2009, p.73) afirma que

“O professor não deve jamais agir apenas como mediador, mas também como

fonte de informações, tarefas e ferramentas”.

Tendo por base as observações feitas ao longo do processo, o

crescimento na oralidade e participação dos alunos, bem como a melhora

significativa no grau de aproveitamento nas avaliações, conclui-se que o ensino

da referida disciplina, na 5ª série, deve ser fundamentado na construção do

conhecimento por parte dos alunos, ou seja, apresentar o conteúdo de forma

pronta, visando apenas o acerto ou erro do resultado final é insuficiente para a

aprendizagem real e consistente. E como já conferido por Dante (1997, p. 11),

o melhor caminho para que a disciplina de matemática cumpra seu principal

objetivo, que é fazer o aluno pensar, sem dúvida alguma, a resolução de

situações – problemas é o caminho mais acertado.

“Um professor deverá fazer perguntas que acentuem o processo de

aprendizagem e não o produto.” (Feuerstein)

7. REFERÊNCIAS

ANDRINI, Álvaro; Zampirolo,Maria José C.de V. Novo Praticando Matemática. 1ª ed.São Paulo: Editora do Brasil, 2002. BONJORNO, J. R.; Bonjorno, R. A.; Olivares, A. Matemática – fazendo a diferença / 5ª série. 1.ed. São Paulo. Editora FTD, 2006.

24

BIGODE, A. J. L. Matemática hoje é feita assim / 5ª série. São Paulo. Editora FTD, 2000. D’AMBROSIO, B. Como ensinar matemática hoje? Temas e debates. SBEM. Ano 11, n° 2, Brasília, 1989. Disponível em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/MATEMATICA/Artigo_Beatriz.pdf, acesso em 30.05.2008. DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de matemática. 12 ed. São Paulo: Ática, 1997 e 2005. GIOVANNI, J. R.; Giovanni Jr, J. R. Matemática: Pensar e Descobrir-Desafios / 5ª série. São Paulo. Editora FTD. HAYDU, V. B.; COSTA, L. P. da ; PULLIM, E. M. M. Resolução de problemas aritméticos: efeito de relações de equivalência entre três diferentes formas de apresentação dos problemas. Disponível em: http://www.scielo.br/pdf/prc/v19n1/31291.pdf, acesso em 02.07.2008. KRULIK, S.; REYS R. E. (orgs) A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo. Atual, 1997. MEIER, Marcos; Garcia, Sandra. Mediação da aprendizagem: contribuições de feuerstein e de vygotsky. Curitiba. Edição do autor, 2009. MIGUEL, A.; MIORIM, M. A. O ensino de matemática no primeiro grau. São Paulo: Atual, 1986. MODERNA, Editora. (org.). Projeto Araribá – Matemática – 5ª série. 1. ed. São Paulo. Editora Moderna, 2006. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes curriculares de matemática para a educação básica. Curitiba, 2006. PIAGET, J.. Seis Estudos de Psicologia. Tradução por Maria Alice M. D’Amorime Paulo S.L. Silva. 24ª ed. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 2007 POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo enfoque do método matemático. 2 ed. Rio de Janeiro: Interciência, 1994. ROSSETTO,J. J. Rivais do Videogame. Curitiba. Educarte, 2000. SEPÚLVEDA, J. C.; ORMACHEA, C del P. Resolución de problemas y contextos matemáticos. Revista iberoamericana de educacion matemática. Nº 12, dezembro, 2007. Disponível em: http://www.fisem.org/paginas/union/info.php?id=253, acesso em 30.05.2008.

25

SOARES, Maria Tereza Carneiro. O que ensinar de Matemática hoje? Apostila da secretaria de educação do Paraná, 1992. http://educar.sc.usp.br /experimentoteca / matematica/matematica_fundamental/4f_representacao_das_fracoes_p.pdf acesso em 06/11/08.