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Unidade 02 – Flexão CompostaResistência dos Materiais II
Elson ToledoFlávia Bastos
Leonardo Goliatt
Departamento de Mecânica Aplicada e ComputacionalUniversidade Federal de Juiz de Fora
versão 13.05
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 1 / 26
Flexão Composta
Programa
1 Flexão CompostaIntrodução e casos de ocorrênciaDistribuição de tensões normais na flexão compostaDeterminação da linha neutraParalelismo das LN’s na flexão oblíqua e compostaNúcleo central de inérciaPropriedade Fundamental da AntipolaridadeExemplos
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 2 / 26
Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência
Programa
1 Flexão CompostaIntrodução e casos de ocorrênciaDistribuição de tensões normais na flexão compostaDeterminação da linha neutraParalelismo das LN’s na flexão oblíqua e compostaNúcleo central de inérciaPropriedade Fundamental da AntipolaridadeExemplos
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 2 / 26
Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência
Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Encontramos diversas situações em Engenharia onde as peças estão solicitadassimultamente pela ação de momentos fletores e esforços normaisA esse tipo de solicitação denominamos flexão compostaOcorrências usuais:
Pilares de cantoGanchosSapatas com cargas excêntricasVigas protendidas
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 2 / 26
Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência
Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 3 / 26
Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência
Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Fundações submetidas a cargas excêntricas
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 4 / 26
Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência
Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Vigas protendidas
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 5 / 26
Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência
Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Vigas protendidas
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 5 / 26
Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência
Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Projeto de componentes mecânicos1
1Springer handbook of mechanical engineering, edited by K.-H. Grote and E.K. Antonsson,Springer-Verlag, 2009; pg 349-351
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 6 / 26
Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência
Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Projeto de componentes mecânicos1
1Springer handbook of mechanical engineering, edited by K.-H. Grote and E.K. Antonsson,Springer-Verlag, 2009; pg 349-351
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 6 / 26
Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência
Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 7 / 26
Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta
Programa
1 Flexão CompostaIntrodução e casos de ocorrênciaDistribuição de tensões normais na flexão compostaDeterminação da linha neutraParalelismo das LN’s na flexão oblíqua e compostaNúcleo central de inérciaPropriedade Fundamental da AntipolaridadeExemplos
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 8 / 26
Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta
Flexão Composta
Distribuição de tensões normais na flexão composta
Carga normal aplicada no ponto (zc, yc) denominado centro de solicitaçãoCarga aplicada fora do centroideProvoca momentos fletores decorrentes de sua excentricidade
α
y
z
P
α
y
z
zc
yc
Mz = Pyc
My = Pzc
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 8 / 26
Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta
Flexão Composta
Distribuição de tensões normais na flexão composta
Carga normal aplicada no ponto (zc, yc) denominado centro de solicitaçãoCarga aplicada fora do centroideProvoca momentos fletores decorrentes de sua excentricidade
P
y
z
C(zc, yc) zc
yc
y
z
zc
yc
α
ESs
s
M
Mz
MyM
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 8 / 26
Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta
Flexão Composta
Distribuição de tensões normais na flexão composta
Considere y e z eixos principais de inérciaRedução da força P em C(zc, yc) ao centroideda seção resulta em uma força e um momento
N = PMy = −Nzc
Mz = Nyc
P é aplicada na direção do eixo da peçaP é positivo se provoca tração na seção
As tensões atuantes são determinadas por su-perposição de efeitos
σx = σNx + σ
Myx + σ
Mzx
y
z
zc
yc
α
s
s
Mz
MyM
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 9 / 26
Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta
Flexão Composta
Distribuição de tensões normais na flexão composta
As tensões atuantes são determinadas por su-perposição de efeitos
σx = σNx + σ
Myx + σ
Mzx
ondeσN
x = NA
σMyx = −
My
Iyz
σMzx =
MzIz
y
o que resulta em
σx =NA−
My
Iyz +
Mz
Izy
y
z
zc
yc
α
s
s
Mz
MyM
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 9 / 26
Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta
Flexão Composta
Distribuição de tensões normais na flexão composta
Considerando que
N = PMy = −Nzc
Mz = Nyc
e substituindo em
σx =NA−
My
Iyz +
Mz
Izy
temos que
σx =NA+
Nzc
Iyz +
Nyc
Izy
y
z
zc
yc
α
s
s
Mz
MyM
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 9 / 26
Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta
Flexão Composta
Distribuição de tensões normais na flexão composta
Com os eixos principais de inércia
σx = NA +
(MzIz
)y −
(My
Iy
)z
= NA +
(NycIz
)y +
(−Nzc
Iy
)z
Definindo o raio de giração tal que Ii = ρ2i A, podemos reescrever
σx =NA
1 + yc
ρ2z
y +zc
ρ2y
z
Essa é a equação de um plano que não passa pela origem (centroide da seção)
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 10 / 26
Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta
Flexão Composta
Distribuição de tensões normais na flexão composta
zy
C
x
yc
zcMy = PzcMz = Pyc
P σx =NA
1 + yc
ρ2z
y +zc
ρ2y
z
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 11 / 26
Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta
Flexão Composta
Distribuição de tensões normais na flexão composta
Com o eixo na linha neutra, onde LNC é a posição da LN na flexão composta
σx =NA+
(Mn
In
)u
s
s
M
ES
LNO
f
f
PLNC
σNx = N
AσMnx =
(Mn
In
)u σx = N
A +(
Mn
In
)u
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 12 / 26
Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta
Flexão Composta
Distribuição de tensões normais na flexão composta
E se os sistema de eixos não coincidir com os eixos principais de inércia,
σx =NA+
MzIy + MyIyz
IzIy + I2yz
y − MyIz − MzIyz
IzIy − I2yz
z
ou
σx =NA+
(MzIy + MyIyz)y − (MyIz + MzIyz)zIzIy − I2
yz
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 13 / 26
Flexão Composta Determinação da linha neutra
Programa
1 Flexão CompostaIntrodução e casos de ocorrênciaDistribuição de tensões normais na flexão compostaDeterminação da linha neutraParalelismo das LN’s na flexão oblíqua e compostaNúcleo central de inérciaPropriedade Fundamental da AntipolaridadeExemplos
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 14 / 26
Flexão Composta Determinação da linha neutra
Flexão Composta
Determinação da linha neutra
Por definição, a linha neutra (LN) é olugar geométrico onde σx = 0Usando os eixos principais de inércia,e fazendo
σx =NA
1 + yc
ρ2z
y +zc
ρ2y
z = 0
temos
1 +yc
ρ2z
y +zc
ρ2y
z = 0
Esta é uma equação de uma reta quenão passa pela origem
zy
C
x
yc
zcMy = PzcMz = Pyc
P
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 14 / 26
Flexão Composta Determinação da linha neutra
Flexão Composta
Determinação da linha neutra
Para determinar as ordenadas y0 e z0,podemos usar a equação
1 +yc
ρ2z
y +zc
ρ2y
z = 0
e escrever a forma segmentária
yy0+
zz0= 1
Após algum algebrismo,
z = 0 ⇒ y = y0 ⇒ y0 = −ρ2
zyc
y = 0 ⇒ z = z0 ⇒ z0 = −ρ2
y
zc
y
z
n0
n0s
s
ES
n
n
LN
y0
z0
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 14 / 26
Flexão Composta Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Programa
1 Flexão CompostaIntrodução e casos de ocorrênciaDistribuição de tensões normais na flexão compostaDeterminação da linha neutraParalelismo das LN’s na flexão oblíqua e compostaNúcleo central de inérciaPropriedade Fundamental da AntipolaridadeExemplos
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 15 / 26
Flexão Composta Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Flexão Composta
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Podemos determinar o paralelismo daLN na flexão composta com a LN daflexão oblíquaSeja β1 a inclinação com relação aoeixo z da LN na flexão puraSeja β a inclinação da LN na flexãocompostaVamos mostrar que β = β1
Na flexão oblíqua temos que
tanα tan β1 = −Iz
Iyy
z
n0
n0s
s
ES
n
n
LN
C
Mz
My
α β1β
zc
yc
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 15 / 26
Flexão Composta Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Flexão Composta
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Na flexão composta observamos que
tanα =yc
zc
e que a equação da LN é
1 +zczρ2
y+
ycyρ2
z= 0
o que permite escever
y =−ρ2
z
yc
1 + zczρ2
y
= a + bz
onde b é a inclinação da LN comrelação ao eixo z
y
z
n0
n0s
s
ES
n
n
LN
C
Mz
My
α β1β
zc
yc
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 15 / 26
Flexão Composta Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Flexão Composta
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
O valor de b pode ser calculado como
b = tan β =dydx=−ρ2
z zc
ρ2yyc
Substituindo ρ2z A = Iz, ρ2
y A = Iy etanα = yc
zc
tan β = −Iz
Iy
yc
zc= −
Iz
Iy
1tanα
Resultando em
tanα tan β = −Iz
Iy
y
z
n0
n0s
s
ES
n
n
LN
C
Mz
My
α β1β
zc
yc
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 15 / 26
Flexão Composta Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Flexão Composta
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Comparando os dois resultados
tanα tan β1 = −Iz
Iy, tanα tan β = −
Iz
Iy
Tem-se imediatamente que
tan β1 = tan β ⇒ β = β1
Conclusão:Estando a secão sujeita aos mes-mos momentos fletores, as LN’s naflexão oblíqua e composta têm amesma inclinação
y
z
n0
n0s
s
ES
n
n
LN
C
Mz
My
α β1β
zc
yc
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 15 / 26
Flexão Composta Núcleo central de inércia
Programa
1 Flexão CompostaIntrodução e casos de ocorrênciaDistribuição de tensões normais na flexão compostaDeterminação da linha neutraParalelismo das LN’s na flexão oblíqua e compostaNúcleo central de inérciaPropriedade Fundamental da AntipolaridadeExemplos
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 16 / 26
Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Quando se varia o centro de aplicação da carga, a posição da linha neutra variaO diagrama de tensões pode ser:
Bi-triangular: tensões de tração e compressão no campo da seçãoTrapezoidal: tensão de um único sinal em toda a tensão (a LN não corta a seção);Triangular: a tensão nula se reduz a um único ponto
2
2Vitor Dias da Silva, Mechanics and Strength of Materials, Springer-Verlag Berlin Heidel-berg 2006, XVI, 529 p.
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 16 / 26
Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Definição: O núcleo central de inércia é o lu-gar geométrico da seção transver-sal, tal que, se nele for aplicadauma carga de compressão P, toda aseção está comprimida. Alternativa-mente,
região da seção transversalonde aplicada uma força nor-mal, sua linha neutra não cortaa seção
LN 1
LN 2
LN 3
y
z
1
2
3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 17 / 26
Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Conseqüência: a seção só terá tensões de ummesmo sinal (compressão ou tra-ção) de acordo com o sinal da força
Importância: materiais com baixa resistência atração. Exemplos: murros de ar-rimo, chaminés e pilares
LN 1
LN 2
LN 3
y
z
1
2
3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 17 / 26
Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Processo espontâneo de determinação do N.C.apartir de um número finito de tangentes à seçãoda peça: Considerando-as cada uma como umalinha neutra, podemos determinar os centros desolicitação das cargas correspondentes, que seria ocontorno deste núcleo.
LN 1
LN 2
LN 3
y
z
1
2
3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 18 / 26
Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Vamos considerar a seção ao lado,submetida a flexão composta dada oruma carga de compressão aplicadaem C, que provoca um momento M
e é a excentricidade da cargan0n0 é e LN na flexão purann é e LN na flexão puraθ é o ângulo entre a LN na flexãopura e o momento M
y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
y0
z0
C
M
u
θ
θ
yc
zc
e
s0
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 19 / 26
Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
A tensão normal se escreve
σx =NA+
Mn
Inu
com
Mn = M sin θ, M = Ne
de onde vem
M = Ne sin θ
A equação da LN (σx = 0) fica
σx =NA+
Ne sin θIn
u = 0y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
y0
z0
C
M
u
θ
θ
yc
zc
e
s0
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 19 / 26
Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Considerando que u = s0 sin θ vem
NA+
Ne sin2 θs0
ρ2nA
= 0
o que resulta em
1 +e sin2 θs0
ρ2n
= 0
Chegamos finalmente em
es0 =−ρ2
n
sin2θ⇒ es0 = −r2
n
y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
y0
z0
C
M
u
θ
θ
yc
zc
e
s0
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 19 / 26
Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
A equação
es0 = −r2n
relaciona a distância (ao centroide)do ponto de aplicação da carga coma distância (ao centroide) do pontoonde a LN corta o ES
A constante rn =
√−ρ2
nsin2θ
dependea inércia da seção e da posição docentro de solicitação
y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
y0
z0
C
M
u
θ
θ
yc
zc
e
s0
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 19 / 26
Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Ao lado vemos a variação da LN coma posição do centro de solicitaçãoO sinal negativo em es0 = −r2
n deveser interpretado entendo-se que ocentro de solicitação e o ponto depassagem da LN estão sempre emlados opostos do ES dividido pelobaricentro (antipolaridade)Temos que
e1s1 = −r2n
e2s2 = −r2n
...ek sk = −r2
n
y
z
n1
n1
s
s
ES
s1
s2
s3
e3
e2
e1
n2
n2
n3
n3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 20 / 26
Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Para obterms o NCI de uma seçãoqualquer, considere
1 +yc
ρ2z
y +zc
ρ2y
z = 0
Dado C(yc, zc)m podemos obter a LNa partir dos pontos onde esta corta oseixos coordenados
z = 0 ⇒ y = y0 ⇒ y0 = −ρ2
zyc
y = 0 ⇒ z = z0 ⇒ z0 = −ρ2
y
zc
y
z
n1
n1
s
s
ES
s1
s2
s3
e3
e2
e1
n2
n2
n3
n3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 21 / 26
Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
O processo pode ser realizado deforma “inversa”:
1 Arbitra-se uma LN tangente à seção2 Determina-se y0 e z03 Obtêm-se as coordenada de yc e zc
yc = −ρ2
zy0
zc = −ρ2
yz0
4 Repetem-se as operações anterioresaté que se obtenha um conjuntosatisfatórios de pontos para o NCI
y
z
n1
n1
s
s
ES
s1
s2
s3
e3
e2
e1
n2
n2
n3
n3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 21 / 26
Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Análise de uma seção retangular (flexão reta)Vamos determinar a posição do centro de soli-citação (zc, yc) ao longo do eixo y⇒ zc = 0O centro de solicitação tem coordenadas(0, yc)Para satisfazer a cndição do NCI, a LN devepassar por uma das arestas do retângulo (d =± h
2 )
σx(d) ≤ 0⇒ σx(±h2
) ≤ 0
Dai temos (para o caso ao lado)
σx =NA
(1 +
yc
ρ2z
h2
)≤ 0⇒ 1 +
yc
ρ2z
h2≤ 0
y
z
(0, yc < 0)
LN
h
b
d
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 22 / 26
Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Da condição do NCI,
σx =NA
(1 +
yc
ρ2z
h2
)≤ 0⇒ 1 +
yc
ρ2z
h2≤ 0
o que resulta em
yc ≤ −2ρ2
z
h=
2Iz
Ah= 2
bh3
121
bh1h
E então temos
yc ≥−h6⇒ yc ≤
h6
De modo análogo, temos zc ≤b6
y
z
(0, yc < 0)
LN
h
b
d
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 22 / 26
Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Outros exemplos de NCI
3
3Vitor Dias da Silva, Mechanics and Strength of Materials, Springer-Verlag Berlin Heidel-berg 2006, XVI, 529 p.
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 23 / 26
Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Programa
1 Flexão CompostaIntrodução e casos de ocorrênciaDistribuição de tensões normais na flexão compostaDeterminação da linha neutraParalelismo das LN’s na flexão oblíqua e compostaNúcleo central de inérciaPropriedade Fundamental da AntipolaridadeExemplos
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 24 / 26
Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Flexão Composta
Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Sejam C(yc, zc) centro de solicitação de umcarregamento enn a LN originada pela aplicação de umacarga em C
Sejam também C′(y′c, z′c) um ponto qualquer
de nn en′n′ uma reta passante por C
Temos então a LN associada a C
nn⇒ 1 +yc
ρ2z
y +zc
ρ2y
z = 0
y
z
n
n
LN
yc
zc
C ′(y′c, z′c)
n′
n′
LN’
C(yc, zc)
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 24 / 26
Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Flexão Composta
Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Podemos mostrar que se
C′ ∈ nn⇒ C ∈ n′n′
onde n′n′ é a LN associada a uma carga cmcentro de solicitação C′
Temos então
C′ ∈ nn⇒ 1 +ycy′cρ2
z+
zcz′cρ2
y= 0
Por outro lado, a equação de n′n′ é
1 +y′cyc
ρ2z+
z′czc
ρ2y= 0 y
z
n
n
LN
yc
zc
C ′(y′c, z′c)
n′
n′
LN’
C(yc, zc)
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 24 / 26
Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Flexão Composta
Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Então, a partir de
1 +y′cyc
ρ2z+
z′czc
ρ2y= 0
concluímos queSe C ∈ n′n′ então
z = zc, y = yc
o que prova a propriedade
y
z
n
n
LN
yc
zc
C ′(y′c, z′c)
n′
n′
LN’
C(yc, zc)
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 24 / 26
Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Flexão Composta
Propriedade Fundamental da Antipolaridade
A partir de
1 +y′cyc
ρ2z+
z′czc
ρ2y= 0
podemos constatar quequando o C′ → C′′ as LN associadas a estescentros de solicitação giram em torno de C
y
z
n
n
LN
yc
zc
C ′(y′c, z′c)
n′
n′
LN’
C(yc, zc)
C ′′(y′′c , z′′c )
n′′
n′′
LN”
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 25 / 26
Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Flexão Composta
Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Essa propriedade pode ser usada de formainversa:
Dadas duas LN (LN1, LN2) tangentes a umaseção, que passam por um mesmo ponto,podemos determinar todos os centros de soli-citação que passam por uma reta que contemos centros de solicitação associados (C1, C2)
y
z
n
n
LN
yc
zc
C ′(y′c, z′c)
n′
n′
LN’
C(yc, zc)
C ′′(y′′c , z′′c )
n′′
n′′
LN”
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 25 / 26
Flexão Composta Exemplos
Programa
1 Flexão CompostaIntrodução e casos de ocorrênciaDistribuição de tensões normais na flexão compostaDeterminação da linha neutraParalelismo das LN’s na flexão oblíqua e compostaNúcleo central de inérciaPropriedade Fundamental da AntipolaridadeExemplos
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 26 / 26
Flexão Composta Exemplos
Flexão Composta
Exemplos
Determinar o maior valor que a força de tração T ,aplicada no ponto C da seção ao lado, pode atingir.Determine também o diagrama de tensões final paraa carga calculada.Dados:|σ̄c| = |σ̄t | = 150 N/cm2.zc = 0.8 cm;yc = 2.0 cm;
C
20
60
y
z
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 26 / 26