RESISTANCE DESMATERIAUX (1a)

Référence:Ferdinand P. BeerE. Russell Johnston, Jr.John T. DeWolf

Notes de cours:J. Walt OlerTexas Tech University

Introduction –Notion de contraintes

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Rappel de Statique

• Une structure est conçue poursupporter une charge de 30 kN

• Réaliser une analyse statique pour déterminer la force internedans chaque éléments de la structure ainsi que les forces de réaction aux supports.

• Cette structure est composée d’un bras et d’une barre joints par une articulation (moment de liaison nul) avec des supportsarticulés.

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Diagramme global des corps libres• La structure est séparée des supports et

les forces de chargement et de réactionsont représentées

• Ay et Cy ne peuvent pas être déterminés àpartir de ces équations

( ) ( )( )

kN30

0kN300

kN40

0

kN40

m8.0kN30m6.00

=+

=−+==

−=−=

+==

=

−==

∑

∑

∑

yy

yyy

xx

xxx

x

xC

CA

CAF

AC

CAF

A

AM

• Conditions l’équilibre statique:

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Diagrammes locaux des corps libres

• En complément à la structure complète, chaque composant doit satisfaire lesconditions de l’équilibre statique.

• Résultats :↑=←=→= kN30kN40kN40 yx CCA

Les forces de réaction sont dirigées le long du bras et de la barre

( )

0

m8.00

=

−==∑

y

yB

A

AM• Considérons le diagramme pour le bras :

kN30=yC

valeur remplacée dans l’équation d’équilibre de la structure

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• La contrainte normale à un point particulier n’est pas forcément égale à la contrainte moyenne mais la résultante de la distribution de contrainte doit satisfaire

moyA

P A dF dAσ σ= = =∫ ∫

Chargement axial : Contrainte Normale

• La résultante des forces internes pour un chargement axial est normal à la section droite de l’élément.

0lim moyA

F PA A

σ σ∆ →

∆= =

∆

• L’intensité de la force sur cette section estdéfinie comme étant la contrainte normale.

• La distribution détaillée de la contrainte est statiquement indéterminée, c-a-d, elle ne peut être obtenue à partir de la seule étude statique.

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• Si un élément est chargé de façon excentrée, alors la résultante de la distribution de contrainte dans une section mène à la création d’une force axiale et d’un moment.

Chargements Centrés & Excentrés

• La distribution de contraintes en chargement excentré ne peut pas être uniforme ou symétrique.

• Une distribution uniforme de la contrainte dans une section implique que la ligne d’action de la résultante des forces internes passe par le centre de la section.

• Une distribution uniforme de la contrainte est seulement possible si la concentration de chargement sur les extrémités d’un élément soumis à deux forces est appliquée sur le centre de la section. Il s’agit alors d’un chargement centré.

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Contrainte de cisaillement• Les forces P et P’ sont appliquées

transversalement sur l’élément AB.

moyPA

τ =

• La contrainte de cisaillement moyenne correspondante est,

• La résultante de la distribution des forces internes de cisaillement est définie comme étant le cisaillement de la section et est égale au chargement P.

• Les forces internes correspondantes agissent dans le plan de la section C et elles sont appelées les contraintes de cisaillement (ou tangentielles).

• La distribution de la contrainte de cisaillement varie de zéro à la surface de l’élément à une valeur maximum qui peut être supérieure à la valeur moyenne.

• La distribution de la contrainte de cisaillement ne peut pas être considérée comme uniforme.

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Exemples de contrainte de cisaillement

moyP FA A

τ = =

Cisaillement simple

moy 2P FA A

τ = =

Cisaillement double

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Contraintes dans un corps soumis à deux forces

• On montrera que des forces axiales ou cisaillantes peuvent produire des contraintes aussi bien normales que cisaillantes par rapport à un plan autre que celui perpendiculaire à la ligne moyenne.

• Les forces axiales dans un corps soumis à deux forces induisent des contraintes uniquement axiales dans un plan perpendiculaire à la ligne moyenne.

• Les forces transversales exercéessur les boulons et les écrous induisent uniquement des contraintes de cisaillement dans un plan perpendiculaire à l’axe du boulon et de l’écrou.

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• Soit une section à travers la poutre qui forme un angle θ par rapport au plan normal.

θθ

θ

θτ

θ

θ

θσ

θ

θ

cossin

cos

sin

cos

cos

cos

00

2

00

AP

AP

AV

AP

AP

AF

===

===

• Les contraintes moyennes normales et tangentielles sur le plan oblique sont

Contrainte dans un plan oblique

θθ sincos PVPF ==

• Décomposer P en composantes normales et tangentielles par rapport à la section oblique,

• A partir des conditions d’équilibre, la somme des forces présentes sur le plan doit être équivalente à la force P.

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• La contrainte normale maximum apparaît quand le plan de référence est perpendiculaire à l’axe de la poutre,

00

m =′= τσAP

• La contrainte cisaillante maximum apparaît pour un plan à + 45o par rapport à l’axe,

στ ′===00 2

45cos45sinAP

AP

m

Contraintes maximum

θθτθσ cossincos0

2

0 AP

AP

==

• Les contraintes normales et cisaillantes sur un plan oblique sont,

(a) Chargement axial

(b) Contrainte pour θ = 0

(c) Contrainte pour θ = 45°

(d) Contrainte pour θ = -45°

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Contrainte sous chargement général• Un corps soumis à une combinaison

générale de chargement est coupé en deux parties passant par Q

• Pour l’équilibre, une force interne et une distribution contrainte interne égales et opposées doivent s’exercer sur l’autre partie du corps.

AV

AV

AF

xz

Axz

xy

Axy

x

Ax

∆∆

=∆

∆=

∆∆

=

→∆→∆

→∆

limlim

lim

00

0

ττ

σ

• La distribution des composantes de la contrainte interne peut être définie telle que,

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• Les composantes de la contrainte sont définies pour les plans coupés parallèlement aux axes x, yet z. Pour l’équilibre, des contraintes égales et opposées sont exercées sur les plans cachés.

• Ainsi seulement 6 composantes de contrainte sont nécessaires pour définir complètement l’état complet de contrainte

• La combinaison de forces générées par les contraintes doit satisfaire les conditions d’équilibre :

0

0

===

===

∑∑∑

∑∑∑

zyx

zyx

MMM

FFF

( ) ( )yxxy

yxxyz aAaAM

ττ

ττ

=

∆−∆==∑ 0

zyyzzyyz t ττττ == esimilaire, çonfa de

• En considérant les moments par rapport à l’axe z :

État de contrainte