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5/9/2018 Resist en CIA Dos Materiais Para Entender Gostar - Manoel H. C. B - Studio Nobel - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/resist-en-cia-dos-materiais-para-entender-gostar-manoel-h-c-b-studio-nobel 1/86
,Manoel Henrique Campos Botelho e engenheiro civil, formacto1.n1965pela Escola Politecnica da USP.Conhecido autor de livros ~Ieengenharia, possui mels. de qulnze titulos publicados, sendo leumaior SUC91lSO a obra "Concreto Armado EuIe Amo".
Manoe'l HenriqueCampos Botelho
------'""'---,
Esle livro f a . dirigido a estudantes e profis$ionals dEl engenharla~~lodes as especialldades, alunos dos cursos de arqultelura e teen : I o sem gerat. Alende os programas currlculares das escolas de jrelecnico e superior.
. I1 ,
'A disciplina Resislencia dos Materiais e consicJerada uma das m ~ J \importantp~ ~o estudo da tecnologia. Analisando 0te~a. de form,,! r
dlreto e Objeliva, esta obra trata desde as estruturasmars srmplet't1t.6as mais ~omplexas. .obra e 0 resul!ado do esforc;:oem tentor lazer do aprendizado
esta materia complexa alga compreensivel e prazeroso. \ '~.'
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:oorJcJlru;:50 editorial
:aTlaMiiano
Jo rodur : ,; i 1o ed i to r i a l
Wanhll Assls de Alme ida Kuhl
Assisterne editorial
Warcia Reg ina Ioschke Machado
Preparacao I copy
Claudia Jorge Cantarin DominguesRevisao
Regina Cilia Barraza
Ma rta L uc ia T as so
Compcs icaoMeT Produc oe s G rdf ic tJ .i - __ -_ _
;;~~-.~~~Dndos dl' C ru ar og ncn o n a P ub li cn cz o ( Clf ') 1 11 1.c :r mJ ci oJ 1: a!
( Ca llla ra B ru sije lm d o Llvm, SP B(.lsll)
Botelho, Manoel Hcnnque Campos, 1942- . .. ,Rcsis t enci a cos materials para entender c g o sta : : 11m r exto ell r r i cu lu r /
M ano el He nr iqu e C ampo s B orcm o. - Sao P ao to : Stu dio No be l, 1998.
Bibliogmfia.
rSBN 85·85445·7(J·X
I. Engenharia de estruturus 2.Rcsisrencta
des matcriais r. Tltulc
97-4764
f nd lC C p am c ma to go s fs rcmauco:
I. Rcsistd ncia d es m me riru s : Engunhnr lu 62D.112
CDD-620.112
Sumario
Oferendas.
Aprescntacao
Capitulo I
o que e a Resistencia des Materiais .
Capitulo 2
o equilfbria das estruturas c asestruturas que nilo devern esrar em equ i i f b r i o .
Capitulo 3
Os tipos de e s fo f¥oS nas esuuturas .
Capitulo 4
Te nso es, co ef icien te s d e se gu ra nca e lens6es
a dm issive is - d imen sio n amcn ro d a s estruturas "
Capitulo 5
To da s a s e sr ru tu ra s se d cfo rm arn _
lei de Hooke e modulo de Poisson
Capitulo 6
Quando as cstruturas sc apoiam _
entendcndo as varios tipos de apoio ,
Capuulo 7
Estruturas isostatica, .•hiperestriticn, e hipostaticas
Capitulo 8Estu da nd o o s va rie s tipo s d e fle xile :
simples, composta, normal, oblfqua
Capitulo 9
lnr rodUl; ;ao aos co nce ico s d e m em en to estatico,
momenta de inercia, modulo resistente e faro de girll~50 ..
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Capi"'lo 10Estudando a nexao no r r n a t nas vigas Isostaticns c-
diagramaS de morncntos fietores, rorcas cortantes e forcas u orr n ais .
Capitulo 11
E xem plo s d e cr i lcu lc d e- v i ga s co m
diagramas de memento fletor e forca cortunte .
Capitulo 12
Exp licando a viga Gerber, uma viga de viio cnlibravel
Capitulo 13
Ten sccs n o rma ls em vig a s - a flexao no rma l
Capitulo 14
A flexao o blfqu a n as viga s
Capitulo 15
Tensdes tangenciais (cisalhamentc) em vigas
Capitulo 16
Como as vigas se deformam- linhus elasricas.
C apitu lo 17Estndando as vigas hiperestaticus -
cquil~ao des tres mementos e metcdo de Cross .
Capitulo 18
Flambagern ou 0mal caracreristicc das pecas comprimidas
Capitulo 19
Estruturas e materials nao resisrcntes it tra~ao .
Capitulo 20
Estruturas de resposta linear e de resposta
nao-linear. Validade do processo de superposicao ..
Capitulo 21
Em cada ponto de urna estrutum hd varies esforcos.
Capitulo 22
Ligando duas pe((as ~ calculo de rebites e soldas ... .
6
70
86
- - @ J
1 0 7
127
IJ6
14 5
15 2
_ _ _ _ _ . 1 6 1
17 1
__ 182
190
J92
Capitulo 23
A to rqa o e as c ixos
Capitulo 24
Molas e outras estruturas resilientes .
-I
___
Capitulo 25
Cabos ,
Capitulo 26
Na sce rn a s tre lica s .
Capftulo27
Arcos e vigas curvas .
Capitulo 28
T or ne mo s h ip cr cst,1 tici ls a lg u ma s d e n o ssa s e su u tu ra s
Capitulo 29
Analise de varies e interessantes casas estluturais.
Capitulo 30
Comparando0metoda das
tensoes
adrnissfveis COm0 metodo da ruptum.
Capitulo 31
Cargas e esfor~os nas estruturas - aspectos da e st ru rr ra ca o ..
Capitulo 32
Estruturas heterogeneas quanto aos rnateriaix .
Capitulo 33
Viagern dos testes de laburatorio a s cstruturasd o d ia -a -d ia - a s n o rr n a s e a s te cn ica s pITl~ls:<;ion1lis
Capitulo 34
ESlamos cncerrando a materia .
CaJJitulo 35
BibJiografia_ 0 que h.1para ler nas hibfiotecas e livrarias brasileiras .
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Anexos
os conceiros de.momento de inerCi,a . mo~cn.LO~stati~o: .,
momenta po la r, r ai o de gira<. ;50 e ~aXOSpnncipuis de 1I1erCJa.
2 A procura do centro de gravidade .
3 Cornposi9ao e decomposi~ao de [orcas
4 Estados de tensflo ~ critetios de resistencia .
A e q u G C ( 5 Q dos t r eS mementos para vigas coutlnuas
6 Glossario de primeira ajuda.
7 Resumo historico do usc de materials e de estruturas
criadas pelo hornem, com destaque para obras hrasilciras
Aq u i , 0 le ito r d ri su a o pin ia o so bre e ste li vr o .
Oferendas
265
274
282
286
291
294
Aos varies Iivros sabre "Resistencia dos Materiais" que consultei.
Quando os li pela primcira vez, aos vinte e tantos auos, tinha dele
ideia,Ao rele-Ios, no longo dos alios e a exaustao nesses rllrimos doze me
tendo agora cjllqOenta e quarro anos, descobri bclczas que a primeira le
os rneus verdes anos niio permhirarn pcrccber,
A We la sa be a
297
301Aos colegas, mesrres e an
Edson Gimenez E
Geraldo Andrade Ribei
Hcnylsio Coelho Bo
Mario Massar
Nelson Newton. F
Paulo Franco RochPaulo W
A Mauricio Campos Botelho, meu filho, hoje esruda
engenharia civil ria Unicamp, que fez boa parte da intecprc
de minha letrn no passur 0 rexto pam 0 cornput
Ao colega Fernando de Paula Sa
que cuidou da editoracao eletronica do
A todos, 0 autor agra
MOutubro,
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Capltulo Io que e a Resistencia dos Materiais
IBIS !~)T~----. .~-.
[Para poder transforrnar a Natureza 0 hornem precisa de ferramentas
tecno1ogia. Para criar tecnclogia, precisa de teorias que correspond am ii sis
matiza< ;ao de ccn h ecirn en tos e a dcscoberta de le is n atu ra is qu e orieniam s
trabalho]Depois de crier uma serie de reorias, algumas das quais superam
substituem outras, 0 homem procura sistcmatiza-las dandc-lhc nomes, delim
lando suas validades e esrubelecendo urn grau de hierarqu:u entre elas,
Do estudo das estruturas (casas, pontes, vefculos, etc.) surge a Resistc
cia dos Materiais. Vamos a cia.Vamos supor que se pretenda assen t a r urna pcs;a de grande peso sab
uma estrutura de suporte (prancha) que, por sua vez, se assenta sobre do
apoios, A e B.
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1.1 Objetivo do estudo de Resistencia dos Materials 1.2 Correlacao entre as varias ciencias
A Resistencia dos Marenais, 1I0S ionues deste livro, procurara estudar:
J. Estruturas que possam set associadas a ban-as de elxo retilfneo;
2. Estruturas que obedecam a urna lei segundo a qual se Limaberra for subme-
tida a u.na carga q ela se deformarti de x e se a carga for 2q a deforrnacao
devera ser 2x. A importdnciu dessa lei - cbamada LeJ de Hooke - serf
rnostradn ao longo do livre:
3. Situacoes de pequenas deformacoes.
Estrururas que n a o obedecarn a qualquer LIma dessas l res. condicoes
(placas, por exernplo) deverao ser estudadas par outras teorias. estruturais,
como a da Resistencin dos Materials avancada e O J da Elasricidade, que c muito
t1tilem estruturas de mais de urua dimeusao.
A Resistencia dos Materials estudada neste livro fomeccra os fundn-
me.rtos para <I compreensfio e 0 esrudo das segulntes estruturas:
• do dia-a-dia:
• da natureza;
.. de pedra, de talpa e de alvenaria:
.. de madeira;
.. de nco. de alumfnio, etc.;
.. de concreto simples e armado;
• de equipa-ne.ttos;
• on rras.
Outrosassuntos da
Resisr encindcs Mnterieis
Nota sabre 0 sistema de unidadcs
Optou-se por usar neste Iivro a expressao kg[ como unidade de peso em
vez da un.dade Newlon. Deve-se isso iluma maier fanuharidade do autor com
a unidade classica, Cremos que a maioriu dos Ieirores tarnbem prefere essa
oP'iao.
V ale a tra nsfo rm aca o pr at ica :~---------------,!O N '" 1 kgf aproximadumcnte
10kgf/cm' = 1MP.
14
Lcis natumis
Bquilrbrio das cstnnums em facde ll\-oe~.rcacces e mementos
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Capftulo 2oequilibrio das estruturas e as estruturas que
nao devem estar em equilibrio
Uma estrurura ou esrd em equi lfbr io au em movimento. No s esu~~ilre-
moS prindpalrnente as estruturus em cquilibrio. ou seja. as que estao estatrcas,
melhor dizcndo em "equilibria estarico"Para que uma estrutura es reja ern equilfbrio es tai ico deve obedecer as
seguintes leis da ESlar ica :
FH - Fo r93 ho r izo nta l
F v - Forca vertical
11T - Memento de tor~ao
MI" - Memento de flexiio
2: Fy = 0 ..
2:MF=O
As quatro [amosas condiciies dos esforcos extenlOS
Sejam as seguint.es estnuuras e vejamos as suas condicoes d~equilfbric:Urna pessoa esta apoinda no chao. Se a chao pLlde~ rc?gl r com uma
reaeao igua! ao peso, a pcssoa cstara em equilibr io. S~ D chao for urn charco,
um lodncai, ele nao reagira ao peso e a pessoa afundnra.
Ternes uma pessoa puxando urn rio. Tudo
estara em cqui hbrio se a arnarracao do fio na pare-
de e 0 proprio fie puderem reugir com lima forca F
i gu a l c co n tr ar ia a a t ; : ao .
l6
Uma pessoa ernpurra para baixo urn u-arnpolim. Segumrnenre 0 tramp
Limse deformara. mas estara em equihbrio se 0 engaste rrnmpolim-estrutu
puder reagir a forca e ao memento F X L crindo
M+MR~O
M.=FxL
M"~- M~-FxL
R=F
Tern es a g o ra u rn parafuso preso numa ma -
deira e, com urna ferramenta apoiada nessa ma-
deira. tentamos torce-lo. Sc 0 memento de: tor~ao
que causarnos for suficicnte, 0 parafuso girara, Se
for fraco, entiio as resistencias de atrito serao sufi-
cientes para. reagir com lim memento torsor rcati-
va igual e de sentico ccntrario: desse modo, 0
parafuso fica ern equilibrio e nao giru.
Notus:
LAte agora virnos cstn.tums que procuraram 0 equilibrio Hri estruturas qprocuram, dentro de cnrerios. onfio-equilfbrio. Bicicleras, patins, pranch
de windsurf. csteirus transportadoras e rodas-gigantes sa o excrnplos disso
2. Note que se obtern as condicoes de equi libr ia com acoes e reacoes extern
ao corpo. Nada falamos dos esforcos que essas fOl"93S mementos extern
causarn nos corpos, Nao rnencionamos. por exereplo. que no caso da p
soa puxando Ulna corda isso tambem so sera possfvei se a corda nguent
A cxistencia de 31fOeSextemas, mesmo que equilibradas com r e a t ;o i ! S - l a
be rn externas, g e m e sf or co s internos que serao resistidos au nao pcla con
titui9ao do ccrpo,
Nfio confunda cquilibr io com deformacoes . VITI
coqueiro que se dobra ante 0 efei ro de urn ventoesta em eq.iilfbrio enquuuro niio sair do local.
Uma estrutura em cquilfbrio podc tel 'enormes de-
forma~6es, como 0 case da arvore au .de urn tram-
poJim que sc verge ao peso e ao impulso.dinarnico
de u rn. banh is r n. " " , = : S : , , , , , , , , ,
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2.1 Exemplos
Urna prancha de willdsulj'desloca-se horizontal-
mente ao sabor do vente par nao ter vfnculo que se opo-
nha a isso,
A prancha de windsurf" 1150 esta em equi.Ibrio hori-
zontal
Exemplo3
Trelica
Estruiuro [trampolim} em
equilibria com deformocbes.
2.1.1 Exemplos numcricos de condicoes de equilibrio
Exemplo l
1011
V ig a c om dois upoios e uma carga conccnrrada.
Exemplo4
{2-1D~-
+-----'.6---j
Exemp/o 2
C or po se nd o co mpr im id o
18
I f = 81i
t.a
R, + RB = 10 If
VA+VB--3=0
4VB+]YO.5--3x 1=0
3--7VB =-4-=--1 If
VA=4tf
Rs x 8,6 -- lOx 6,5 = 0
Ru = 7 ,6 If
RA = 10 -- R n =2.4 If
Seja Lima viga engastada em uma paredc:
MF = M om en ta fle to r
MT = Momen t a de ton;iio
M T, M F e R no apoio A sao as rcaczcs que equilibram a for," F distante d
do apoio e DI2 do eixo ci a vigu.
~=8ti
~=8[1
R+F=O
R=--F
My=FxQ2
MA=FxL
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Iruervalo diddtico 2.2 Reconhecendo as estruturas do dia-a-dia
a) Usarernos as quatro famosas equacoes nas esuuturas espaciais (nile
contidas em lim piano).
Tente 0 caro leiter abnr uma garrafa de rcfrigerante (com rosen int
com uma so mao em cima d e u rn piso Iiso ,
C-- c...,. M A Ativo
i l l ( 11 J
m" ' / MT
I \. _l_fLf C-.....eenvo
_ MT
b ) Usa re rn o s a s r-ea famo sa s equ aco es na s esrruturas qu e e ste ja m co nti-
das no plano
1 Vo ce n iio va i co nsegu ir pe r fa lta d e apo io e rea cao ; o s e fe iro s d o
e sfo rc o se ra o nulos A go ra , se gu re a b a se d a ga r rn fa C0l11 uma mo o e g
tampa com a outra. Eia girad e saira. Voce sentira en tdo que foram cr
d ois momcn to s d e . to rca o , L im negative e o u tro po sir tvo . A sua ma o so
tampa gerara urn momenta de torcao sobre a esrr.rrura que nao girara,
seria uma perda do equ.lfbrio. devido ao memento terser reativo criado
Dutra mao .
Vamos agora fazer alguns excrcicios para fixar os conccitos.
rI,FH=O LFv=O LMF=O
c) Uxarernos urna ou duas Farnosas equacoes em situacoes especificas.
20
2.3 Exercicios numericos
Exercicio 1R, =F, +F2xscna
Determine as r~al(6es nil viga:
R, = F, x cos a
I, Fv =0
Caru.(!dislr.~.2lf!rn
1 1 . U , J 1 U
~,.;2=J!lf I,
4,2!f!m
F-P=O
F=P
->F,_31f - ~
J - . , r.8
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Pr ime ira condicjio: Exercicio 2
I. FH =0F,-Hc=O
3-Hc=0
Determine as rcacoes da viga a seguir:
Hc= 3If
1,2 1.4 O,8m
I. Fv =0
4 tf + 4,2 x 3,6 - RB - Rc =0RB+Rc = 19,12 tf
'Icrceira condicao:
Valern as ires famosas condicccs:
I) I~
~,------------~.- 0
V.1n10S aplicar esta condicno para 0 ponto C. Substituiremos a carga
distribuida pela sua resultante de intensidade 4,2 x 3,6 e situada no ponte
media entre B e C.
Para 0 ponto C:
2)
8 3 0 k Q f l 1 .2CKlkgVm
ttl} J
3) IM =0 (memento Iletor)
'"'\
~~)
rA I R D"I<-~-L--+-.2 1,4 o . a m
- 0,4 (0,8+ 3,6) + RBX 3,6 - 4,2 X 3,6 X 32 6=0
Rs = 12,5 If
Rn+IZc= 19,12tf
Rc= 19,2- 12,5 = 6,62 tf
Rc= 6,62 tf
RD = ~3(j + 1,200 X 1, 4 RD = 2. 5 10 kg f
o ponte D estarti em cquilfbrio se 0 momento fleror causado
forcas externas fo r igual ao memento fletor reativo MD . Logo:
Estao definidas[IS
r e acoes na viga. Note que pusemos no apoio C asreacoes companveis com 0 apoio. que e uma mticulacxo; portanto, as reacoessa o forcas.
Mo = 830 (1,2 + 1,4+ 0,8) + 1.200 (1,4) ( _ _ ! . L )2+0,8
MD=2.822 + 2520 =5.342 kgfrn
Mo = 5.342 kgfm
As forcas extern as causaram 110 encaixe urn momenta fletor extern
5.342 kgfm, e 0 encaixe reage COm urn momenta fletor contrario.
22
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Exercicio 3
IFH=O
16 x cos 45° -HA =0
HA= 16xO,7= 1I,2tf
co, 45" = 0,7
No exercfcio 2, para que a peca niio gire (ela cstri irnpedida de ginn
encaixe-enga"tamento),o apoioengasrudo possibilitc essu tendencia
rar causada pelas forcas externas. Logo, ha memento fletor cxtemo em
Como veremos ao longo destc l ivre, mesilla nao havendo rnornenros
res cxtemos. hr i em cada se~ao da viga mementos tletores intcrnos it
c a esquerda de cada ponte. mementos fletores positives e negarivos
mesrn o mod ulo qu e equ ilib ru m a se .c,: ;_;_o .pesa r d e equ ilib ra rem a
esses mementos fletores causarn tensees na viga, as quais a viga le
suporur. Chegaremos la.
c) Quando projcramos e usumos estruturas que se movimenrarn - peixos de motores, esteiras rclanrcs, navies -, esse movimento ate
determinadns restr icoes, Por exemplo, uma porta dcve se movimerua
Tar) em torno de L11lleixo. Um automovel deve se deslocar em
direcocs c scntidos. As estruturas feitus pelo homem, portanro, deverr
ou em equilibrio eSI(: i r ico (como as consuucoes fixas da construcilo
ou ern equilfbrio dinami.c() (como as.construcoes mccanicas).
Um caso muito curiosa e a bicicleta. EL1 s o udquire equilibria dinfun
olio tombar quando csni ern movimenta ( 1 1 . 1 0 equilibrio no sentido ho
ral). Basta rerornar ao equihbrio no sentido horizontal (parar) que cia
em desequilrbrio e tomba.
Calcule as reacocs da viga: l -1~ 1 " , 4"0I o .sen . .)
I"-SU ::\
8 U 1ti_c.Jb4.'j~
" : J I c - A-----coc - l j
R,
As tres famosas condicoes sao I FH=0: I Fv= 0 e I Me= 0
Convencoes:
IFv=O
16 x co s 45 ' + 8, 0 + RA - Hil = 0
R A +R R = 19,2 tf
Seja 0 ponte n
R,.x (0,6 + 0,4 + 0,4) - 16 cos 45' (0,4 +0,4) - 8 x 0,4 = 0
Ril ~ 10,'i tf
Notas didtiticas:
a) Consider-amos a espessura da viga de pequeno valor, portanto desprczamos
o momenta fletor causado pelas forcas horizontais.
b) Nos cxercfcios 1 e 3, as torcas auvas nito causaram mementos fletores
externos nus vigas
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3.1 Esforcos internes solicitantesCapit ulo 3
Os tipos de esforcos nas estruturas a) Forces normais de t r a ; ; ao e ccmpressac a uma secao,
Devido aos esforcos ativos e reativos a estrutura esta ern equilibria, ou
seja, nao se movirnenta. Apesar de a estrutura estar em equilibria, ela podeni
ate se romper se os efeitos dos esforcos ativos e reat ivos levarem a sua dcsintc-gracao material.
A desimegracao da cstrutura ocorrera se algumas partes constiruinres da
estrutura sofrerem valores extremes em face de:
te n s ao d e c om p re s s ao
tensile de Irai.;aO
tensao de cisalhamcnto
tors:fio
b) FOn;' tangencial a urna ,e9"0.
t
c) Memento fletor: as forcas atuarn no plano que contem 0 eixo de uma
que vence LIm vao (viga):
Para chegarmos a s tensocs que levam, OU nfio, ao colapso das estruturas,
rem que haver urn efeito intermediario, causado pelos esforcos mivos e reati-
vcs. Esses esforcos internes solicitnntes gerarao. no Cinar. tcnsoes de tracao,
ccmpressbo e cisalharnento.
d) Momento torsor: 0 momenta esta contido num plano ortogonal ao eix
P09U.
26
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3.1.1 Exemplos de como as esforcos solicitantes c
resistentes atuarn em estruturas
Os esforcos internes solicirantes, gerados pclos csforcos exrernos ativos
e reativos. causarao no final a seguinte estrutura:
• tensac (pressao) de compressao:
• tensac (pressao) de tra~ao;
• tcnsno (pressao) de cisalharnento (dcslizamento).
o quadro a seguir mostm esses conceitos:
internessolicitantcs
Esforcos
i n t emus
resistentes
• Partenon: em cada coluna ha forcas ncrmais e tenxilo de comprcasac.
• Mulber no rrampclirn: h;1memento flctor no trampolim,
Perea normal de compressfio a serrfio
Porca normal de tra~jj(l il secso
Fo rcu tu ngenci .. 1 a s e ~ a o (cone) • Bexiga inflada: Miforcas normars a secao gerando tensoes de tracfio.
&~)-- '/
F "J\"0)
Mementos flerores
M em en to s d e tO f\! ilO
• Tuba enterrado, de esgoto, sern pressao internu lui forcas normals a
ponto do circulo gcrando tensoes de compressho.
Tensao de co m pres sa o
Tensao de tracbo
Tensao de cisalhamenro
Conhecidas as rcnsoes, podem-se usar os "critenos de resistencia" para
estirnar como a estrurura se comporrara (veja anexo 4. neste livro.)
28
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• Estrutura de madeira: a force F gcrarri forc;o normal e tangencial e haverri
rensoes de cornpressao e de cisalharncnto no trechc AB.
A L ,7 , 7 7 , l [ B I
•Viga de ponte rolunte: haverri momentos fletores intc-rnos na viga
c cr.• Eixo encravado on parede: a Iorca-peso gera memento de tafcruo no eixo,
alem de memento fletor. a s dais mementos fletores causam tensoes de
cisalhamento, tensoes de compressao e t r a ~ -a o na vigil.
.. 0 llquidificador: 0 eixo girando cria tor~ao nele proprio. A tor~ao scni
maior se houver mais material < .I ser misturado,
30
• Furador de papel: a baste vertical cisalha 0 pnpel
.. Viga L engastada: hri flexflo crescents de A para B e de B para C. H6 to
decrescente de A para B e constante de B para C.
,/1
[[~~>;-~?lr~"~~~:~'~'.~>~~]::~• Parafuso de madeira: 0 movirnentc de giro do paratuso de madeira e diftado pela coesao da madeira gerandc urn esforco de cisalharncnto no
fuse. Como 0 parafusc norrnalmente 6 metr i . ico , ~'n:aQd a para sen
cisalhamento", Se usassemos para-usc de plastico, visivelmcntede
sofo desguste do cisnlharnemo .
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• Mola helicoidal: a forca F e tangencial uo plano da segfio normal da rnola,Essa Iorca causa torcfio na mola devido ao brace de aluvanca 11.
• Garrata de refrigerante: a forca F e 0 esforco ativo, e 0 reativo e causado pm
algum supcrte da garrnfu. A forca F causa urn mornenro torsor que cria urna
tensao de cisalbamcruo na relacrio rnmpa-gargalo da garrafa
1~
I
I
1-
--~--)(j~\,:
' - t oF• Desliznmenro de: terrene a cunhn incicada no terrene S o ficarti esravel se acoesfio inrerna do terrene resistlr a tensile de cisalhumcnto. Terrenos argile-
sos (barrentos) tem razoavcl cocsfio interna, Terrenos alga arenosos tern
menos coesao interna. Suponha. como recurso didatico, que queiramos fa-
zer urna pilha de bolas de gude (bolas de vidro). A total falta de coesao
entre as bolinhas impede por complete a cxistcncru de uma pilha que ficasse
de pe. Hoia necessidadc de uma parede de ccntencflo.NI
~
32
vejamos as esforcos nestes desenhos de quadrlculas
Peca em comprassao
Pecaem cone
1~·;:51sojrl:lIldOIIElxA[)('Jiga8)
~3 soveroc tOfQao [elxo]
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Capitulo 4
'Iensoes, coeficientes de seguran<;a e tensoes
admissiveis - dimensionamento das estruturas
Imagine que temos de suspender urna peca industria: de 7,55 tf par lima
cordoalha de aco cuja resistencia media de ruptura C . de 1.490 kgricrn2, Vamos.
verificar a espessura necessaria da cordoalha
F' I I Fnnu a gem: a= S
F = 7.550 kgf 0: = J.490 kgflem'
S _!'- 7.550 _ 2_ 0: - 1.490 - 5,06 em
Vamos escolher 0 diftmetro da cordoalha que tenha essa ,lrea. Sc adotar-
mas 0 diarnetro de l ", cstarcmos atendendo ao projero, pais essa bitola de
cordoalha tern area de \06 em": todav ia:
.. COlT! 0 tempo a cordoalba pede perder resistencia, podendo desfiar;
.. em alguns casas a resistencia media da cordoalhu pode variar de lote pam
late c tulvcz tcnhamos 0 azar de ter em estoque lim mall lote;
• a cargu a suspender pode ser O l i g o maier que 7,550 kgf
Nasce iutuitivamente a no~Ii.ode cocficiente de seguranca: dotar 0 siste-
ma de lima capacidade udicional , que funcicna como reserva estratcgica e que
nao 6 para ser usuda. Essa seguranca se cspelha em om nrlmero gue rode ser
considerado um acrescirno a carga Lie7.550 kgfAdmitindo que escolhernos 0 coeficiente de segurancu k = 1,5, ternos.
Quando se aplica 0 coeficre»:c de seguranca a resistencia media tem
a resistencia (iensao) adrnisslvel.
Admitamos agora que vamos elaborar normas gerais de uso de ma
rials. Sabemos que existem rTlilteri~ismnis c()nl'iavei~, _ouseju, que apresema
grande uniformidace de rcsistencia, e outros matsrl~ls :;en~ lI,niformidade
resistencia, Tem-se como regra geral que produtos industr ializados sobre
quais se exerce controle de m~terlas-prin~a.s e de fabrici l~~~ - e o.casoa905e alumfnio ~ possuem rn.uor confiabilidade que matenars lIat~rius) co
pedras au madeiras. In:uitivalllente divide-so 0 conceito de cOctICI~Il~C de
guran~a em dois coeficientcs. urn para as cargas e Dutro para matenais, se
que esre ultimo varia de material para material, '
o dimenaionamento da pe~a ficaria aSSltTI;
~l _ _ _ _ U
Tendo dais coeficienres, podcmos dar valores diferentes a cada
conforme as caracteristicas do usn.
Va/ores de kj,' podem variar de acordo com a usc. Para esforcos bern conhe
des, como transpnrtar cxclusivamente peens prcutas nurna industria> 0 valor
kl pode ser mellor do que 0 valor utilizado para transporter congas geraisuma industria .
Valores de ka: sua variacao se da de acordo com 8 funcao do ripe de mater
aco, madeira, concreto fci to em obra all concreto feito em usmu
No mundo do concreto urmud 0 os coeficientes sric ~
forcas, k, = 1,4
materiais, k2= 1,4 para concreto e 1,15 para ace
s = 1,5 xF = 1,5 X 7.550 7,60 em"0: 1.490
crlimite FOadll1=-k-=kS
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4.1 Coeficientes de seguran<;ana tecnologia mecanica
Dados de urn cutalogo de urn fabricante de correntes
Corrente de ace
U (111m)cargn de t rnbalho cerga de teste cnrga de rupunu
kgf(1) kg! (2) kgf(3)
10 3.125 8.000 12.500
18 10000 25.000 40000
1 - Par experiencia do fabricante Cmcndcnco as normns, C j ixOOH;'1cnrga de t rabalho
2 - Todas as.pc~a5 sao verificadas em teste com es~acnrgn.
3- Pequena parte ciaproducao Cvcrificada em teste que leva al e a rupture.
Urna razi lo P O S S L v e i para a. utili7..a~f:io de grandes coeficientes de segu-
ranca - ~omo 4 - e 0 faro ~e. no teste, a prova ser eataticu e del no USO
diario, exisrirem fo r ca s dinftrnicas que. uumcntam momenmnenmente as ten-
soes.
Para lima visao inicial des valores uproximados das tensoes admisxfveis
dos varies materiais, vcjamos a tabela a seguir:
Tco so c s a dm l ss i ve i s
tra9.1o compressno cisal harnento
mate r i n i s kgf/cm2. kgf'lcm! kgf/cm2
O J, O J, '[
"£.0 1.500 1.500 800
ferro fundido 300 900 300
concreto S O 5
madeira f< l 80 10
gmnirn 20 20U
Refembrando:
r e ns ao a d n u ss tv e lresistenci3 media k
k .co rn x > 1,0
36
Noras d iddt icas '
Outras Areas de tecnologia fazern uso de formes numericas diversas para cxp
rnir 0 coeficien te de seguranca.
Em ctltas areas de e ng en ha ri a i nd u sL ri al_ usa-sc por vezes a exprcssao "fo
de 80%" em relacao a carga maxima prevrsta de trabalho.
Nola cr{llca:
Sao usuuis no rneio tecnico expresszcs como cargo util, carga acidental, ca
de service. ca rga nominal, carga de l l tWz,ac ;ao e carga limite. A proliferaca
desses termos, entre tanto, scm deflnicao explicita, pode Ievar a contusoes
que se iniciam no setor,
4.2 Primeiros dimensionamentos
Detc-minados os esfcrcos. conbccidos os mareriais e fixados os c
dentes de seguranca, e possivel dirnensionar csrruturas. A tenninologn
cmpregamos e :
• Dimensionamenta: dados os esforcos e as tensoes limites e os coeficie
de seguranca, deterrninarn-se as dimcnsoes das es truturas. Eo case tfpico
projeto de novas estru turas• V(~rificaf.ao:dada urna esmnura, conhecido seu material c fixados os c
dentes de seguranca, verrfica-sc D maximo esforco que a estrutura supo
1 .3 0 case, por exemplo, de identificar a carga que uma corrente pode su
tar,
4.2.1 Analise de urn caso real
o aviao Douglas DC-3, 0 aviao rnais fabricudo no mundo em todo
tempos, fai dimensionado para transportar lima certa carga a urea certa ve
dade C Om urn certo coeficiente de seguranca Durante a Segundn Guerra M
dial (1939-1945), em uma silLl l l , : (1l0 crftica, Fci necessaria verificnr 0 m axde carga que esse avico podia rransportar de urnu ilha a outra no oce
Pacifico com um coeficiente de seguranca algo menor. Os cdlculos f
refeitos e a Ireta de avioes disponiveis foi operadu nessa situacac crftica
avUio DC-3 saiu-se bern em condicocs extrernas. Foi urn case real de verif
> ; ; . 5 . 0 de esrrururas.
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4.3 Exercicios numericos
Exercicio 1
Uma peca que pesa 123.000 kgf apoia-se sobre quatro pecas de "90 de
baixa estaturu, como indicado no desenho ao lado. Identifique < . I S dirnensoes
que a peca devc tcr. Pccas de apoio a x Sa.
~ -c=_[a
= b _ _ - - - - = J : : : r
r
E u m pr ob le ma d e d im en sio na me nto a compressao .
Or ; ;= 1.000 kgf/cm2 = = > Tcnsno nd missfve l d o a ce Ui l in co rpo ra 0 co cf.cicn te d e
seguranca)
. - FFormula geral: (Jc =S
s = ~ = 123.000 = 123 em'<5 , 1.000
Sao quatro pc~as de apoio, portanro:
4 (5 x a'l = 123 em"
a-,fJ]3-0-- 20 =~~.Jcm
Logo, a peca de apo i a deve tel"as dimensoes mIIlIIllLlS de 2,5 x 12,5 em
o peso pr~prio da csrrurura dcvc scr ccnsioerado nCJ~cdlculos quando
seu valor for significativo, suuacao que nao occrre neste case,
38
E xe rc ic io 2
VIn peso de 8,7 tf dcvera ser sustentado por quatro pinos curtos red
dos, de ferro fundido, cruvados numa purede. Dimcns.one esses pinos.
E u m ca so d e d im en SlO nt1.rn e nto a o co rte> a u scja , ha ve ra cisalhame
em cada pi no
FrorrirlO=84 7 =2,175lf=2.l75kgl
;;= % = 300 kg!km' C ia incorpora 0 coeficientc de segurnnca)
S - .Q - 2. I75 ~ 7 ?5· 2- : r - 300 - .- em
Cabe agora detenninar 0 diamctro do pine.
n: x 02= 7 25 em!
4 '
O",]cm
E x er cic io 3
Dado urn cabo de aco de I" de diametro e 0\ =: 1.500 kgf, que
transportar cnrgas com 11 configm8.950 indicada, idenrifique o maier peso
essa estrutura de icamenro pede sus-er-ar.
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I"= 2,54em
r. 1tXD2 1[x2,542 _
S, =-4-=--4--=),[)6cm'
Observe 0 equilfbrio das curgas e dos cabos:
2 P, cos45"=P
F,=-_P_-_P __ . R . . .2 co, 45" - 2 x 0,7 - 1,4
Em cada cabo inclinado atua ulna forca t 4 e no cabo vertical atua a
force P . Logo. 0 cabo mais esforcado e 0 cabo' vertical. Vamos verificar 0
rr-aximo P :
- FIT = S F = " X S = 1.500 X 5,06 =7.590 kg!'
. . Note que, se 0 angulc a fosse maier que 600 (cos a> 0,5), a parte rnais
cxigida do cabo seria a sua parte inclinada: essa seria, porern, l ima r n a solucaoconstrutiva poi...os cabos n50 devem sustentar forcns com ffng.rlos muito incli-
nados, uma vez que a forca nesse cabo aumentn mui tu .
40
Atente para estes casas:
,
" t ? "Construiiio J Construci io 2
A Construcao 16 indesejavel. As forcas em CB e BD sao desneces
riamcnt:e grandes em face do grande valor do dngu!o 0:.
Quante a Construcso 2, e cor-eta. Como a distancia MN ~ gran
usou-se urna viga de a90 e suspendeu-se 0 peso usando a viga. com i
dirninui 0 Sngulo e as forcas e as tensces ern eB e BD.
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Capitulo 5Todas as estruturas se deformam -
lei de Hooke em6dulo de Poisson
N ora 1:Experiencir; num material que visualmente apresenta resultados
Pegue urn elastico de oorracha, desses elasticos comprados em papelaria, e.
Fe;a esta cxperiencia. Cortc-o com urn comprimento de 10 em e fuca varias
experiencias de tracfio, mas sern esforca-lo rnui:o, Depois disso meca-o ourra
vez. A nova rnedida devers ser muuo proxima dos 10 ern iniciais. lsso indica
que estivernos fazendo experiencias dentro do campo eltistico; terminrmdo 0
esforco, termina a defo-mnclto nu peca e ela volta a set 0 que ern. COlli
cuidado para nao rornpc-!o. procure. esforcl-lo mais, ate sentir que csta quase
rompcndo Meca 0 novo cornpr imen t o , Voce notara que, rnesmo nne estanco
disrendido, 0 elastico tern agora quase 1'1ern. Ocorreu urna deformaciio per-
manenre (plasticu) 11 0 va lo r de I em.
Nota 2:
Por que esrudar as deformacoes nas estruturns?
Eis i lS rJZOe8:
• Ter crirerios pam limitnr as deforrnacoes nas estrururus em trabalho. (Daria
para accirar LIma truve de gol que t ivesse flechn (barriga), no seu ponro
medio, de 20 em?)
• Desenvolver teorias que permitam resolver cstrutums: SCm esse rccurso,
seus esforcos f icnr iam desconnecidos
Ima g i n e rn o s , por e xe mp lo , lim a p ra ncha de 20 kgf colocada sabre cinco
aporos.
Como se distribuem as rea~ucs r-esses apoios?
Essa e uma estrutura hiperestatica e descobrirernos essex valores usan-
do a rcoria das defor rnacoes.
42
No/a 3:
Cada material deforma.-se de uma mnneira. ao sofrer esforcos. E sense c~om
que 6 mais facil dcformar um flo de borra~ha que urn de algo_dao. E r
confortavel dormir sobre um estrado de mad e i r a que sobrc limit laje de conc
to, pels a madeira defonna-se mais q~le0 concreto. .
~
Cada material deforma-se nuns ou menos que outre material. Podcm
assegurar 'Ill": a ?cfQrma,ao que cadu material apresenta ql1a~ldo sofre lra
au compressao e quanlltatwamente igual. Essa prem1ssn sera usada em
( cste [ivro.
Nota 4:
Quando fa.amos de corpos sofrendo compressacestarnos
nos referindo apos de pequena altura. Case ccntraric, $C fosscrn de grande altura, surgiria
"rufdo" no trabalho, uma interferencra de alta monta denominada "flam
gem", que falseia os resultados. Vaja:
P ec a c or e f la r nb a gem
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5.1 A lei de Hooke
5.1.1. Primeira considera,ao
. Pegue dois eldsticos, urn COm 2 em de: cornprirnento e ourro com 10 em.
e tracrone-os com a mesma forca, Para isso, basta prende-Ios nas suas e-Xtrcmi~
dudes e cclocar pcs_os iguais pendurados . v o c e pcdera medir as dcforrnacoe-, e
notar que 0 de maror compnmento terti urn alongarnento cinco vezes maierque 0 mcncr, Observe:
Se L2 ~ n x L,. en ta o L1L2= n x Ll4.Ccnclulmos que a dcfo rmacao XI nao
e caracrerfsticu do material. Para os dais ~~~"'~""'M&"
~hlS.ticOS' ~iYida agoJ(~ cada det:o!ma\ao pelo ae u compr :m en to o ng r n a l e ve r if iqu e qu e u rn LI
mesmo numero sera alcancado. Portanro, L2
pa ra l1n ~a ~ ad a fo rca F, a re la ~ff~ xjlL e u r n a 8·Lr
curacter: ~tlca do material "elastico" Chama- 6Ll
rernos xI/L de e e daremos a ele 0 nome de ts:d.ej"ormapio uniltiria.
5.1.2 Segunda considera~ao
Pegue agora do~selasticos de rnesmo ccmprirnento e mesrno material ,
mas corn espessuras diferentes: urn mais grosse (se950 S I) C outro mais fino
(se~ ao S2) e a pliqu c u ma me sma to rca F ao s d Ot!) r na te ri a is.
1l:]~/ \
44
o rnesmo material elastico sofre deformacoes difercnres LlLIe
elo faro de as espessuras serem diferentes. Assim como criumos 0 mdice
~a lcu l emO' F/ S ( te nsao o u pressao ). A ccm pu racao d a re la ca o L 1L,/L , e L1L
com FilS I C F2/S2 110S fad. vel" que tudo e proporcional .
5.1.2.1 Conclusao
Para caracrerizar urn material sof-endo deformacoes na tracao (ou
compr es s ao ) , as variaveis a cO llsi de ra r p ar a identif,car a material elastico s
I T e cr~~ E = ~ ~ ~ IE =modulo de clasticidade ou modulo de deformabilidade longitudioal
{modulo de Young) .
Elasticos de mesrna origem quimica sofrerao idenuco nUL se es
rem esforcados pela tensao cr ~ F/S.
o enunciadc da lei de Hooke na sua expressao mais singela seria
rnesmo corpo sofrendo tracao (ccmpressao) terti uma deformncao ilL e,
f o rc a d o br ar , a . d efo rm nca o d ob n a r a" .
Uma cxpressao mais elabcmda dessa rnesrna lei seria "corpos deme srno material tem uma rela~ao linear entre e Co " .
G ra fi ca me nt e, t er em os:
0= F rs
<:=~UL
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5.1.3 Terceiraconsideracso
Vamos ver na prance como as coisas acontecem.
Volte a fa~er a exper ienc ia com lima peca - 0 elastica - que renha
10 em de compnrnento, Fuca com que ::J forca F cresca e va rnedindo os ~L.
E~q~anl.o 0 es[or~~. c _ b~ixo, cexsada a force. a pC~3 volta ater 0 comprimento
o rig in al d e to em. Tal s nuacgo e d e n om i n a d a situacao elastica.
Aumenre agora signifrcarivameots a forca de t ra '9 no . V o ce notara que
alga co~c~a a acontecer com a pep. Elu "csgarcou", ou seja, cessada a forca,
o ccmpnmento da peca rem alga como 12em. Essa diferenca de 2 em e umadeformacao permanente. Chamarernos a essa dcformacao de deJormar;iio pltis-
tica (situacao plastica).
Veja isso para urn material num grafico. Para a esmagadora rna io r i a des
materiais, 0 grafico e i gue , l nu cornpressao e ua tracbo.
Cif - tensao limite de proporcicnaiidade
0'2 - t en sao d e escoarncnto
G3 - tensfio de rup tura
Trechos :
OB - elastica linear
Be - eldstico nao linear
CD - escoamemo (deformacao plastics)
46
EnquOlnto as tensoes variam de 0 a 0'1, a lei de deformacoes e linearsituat;ao e . elastica (trecho OR). A partir d~ C" ] a te CJ2,a curva Be nao elinear, ernbora seja ainda elastica. A partn- de 0'2, note, nil expcriencia
mantida a forca F, a deformacao cresce s egu id a r n en te . E a chamado "es
rncntc do material", no creche CD (deforrnacao plas t ic-a) . Se continuarmo
fa ze r cre sce r a fo rca F, a um en ta nd o a te nsao , crcsccra o a s d cfo rm aco es (r re
DF) e ai chegandc ao ponte F a pet;a rompe-se.
Claro que cada material da natureza tern suas proprias leis de defor
'i'ao. 0 ace segue bcm essu lei, au seja, apresenta grandcs dcformacoes per
nentes antes de romper-se {da aviso prcvic antes de se romper), pur is
chamado de material ducul. Concreto, vidro e madeira rompem-se sern a
sentar ° patamar de escoarnento. Sao chamados de materials ji'ageis,
cn tr am " em cr i sc' ' scm q ue e spe re rn os.
As vezes temos interesse so nas defcrmacoes elasticas, como no
do usa das balancns de molns. Cessada a medida (esfOI'90), cessa a defor
~ao. Se resrassem deforrnacoes residuals (plasticns), a ba.anca ticaria des
b r n d a .
Outras vezes desejamos deformacoes plasticas (permancrues). Sao
formacoes permanentes que geralTI pecas d e aco, m ad ei ra , d e m ate ria l pla s
do nosso dia-n-diu. 0 hornem desde 0 inicio da civilizacao deforma mater
para gerar utenstlios"
* 0 mais ducril de. todcs us mnteriais G 0 O"J'O. Corn urn grnma de ouro pode-se, cstirando
Inzer fios de ceruenas de metros de comprimemc scm romper 0 material. Uma cnracteristi
d e d eforma ca o p r( ix im :l da ductilidade e a maleabilidade. 0 ouro C, ourm vcz, 0 rnat
mais maleavcl. Com urn simples mar telur (ao; ~{ ) dinaml ca de comprimir) (: posstvcl
scm r omper , chnpns d e ]/lO OO mill, C) que explica, econcmicnmcnte, COmO ~ possfvel
desde 11 epoca do Brasil colonin - revesnr imagens de suntos com DUro. OllU'O LllH
c xt re ma r ne nr c d u ct it e IJ alumfnio. Sc voce analisar 0 p a pe l a l um i ni za d o qLle p r ot eg e v
c.mbatngens de niimentos, saibn que esse papel tern reduzidtssima espessura. Vcja tarnbe
tevcstimenro interne das caixus de Ieite tipo tonga vidn. S o C cconomicamenrc vidvcl
nlumlnio como barreira de protccilo contra 0 urn ldade se muiro pouco dcssc materia
empregado, 0que e ccnseguido em larninndoras que produzem fil rnes rncui liccs propici nd
pela ductilidade do alumfnio. A espessurn desses vcrdadei ros filmes de alumfnio e de
de 30 micron s
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5,1.4 Quarta considera~ao
. :,am~s admitir uma lei absolutarnente generica e valida para rodos os
matenars existentes no mundo, urna lei mais prat icu do que real,
o graficc a scgulr mostra a hipotese adrrutida:
A r : ; o
IT t sen»
/ /AlumniO
I Madeira
I _~__..---~---__'"OUf:J
~_.,::;:-"~'::::::-'::-------~-------£laSliCO
G""l ~L
5,1,5 Quinta con~idera,ao
Diante do expos10, cada material nas suns deforrnacoes par rracno OU
compress~~tem lim fndice que rnostra sua dcformabilidade. E 0 modulo dedcformabilidade longirudiuat (modulo de elasricidade).
Vejamos para varies rnateriais OSvalcres d e E.
2100,UOO
f~ITO I . O O O , Q O O
alumfniu 7 0 0 . ( ) O O
cordcalha de ace I , ( ) O O . O O O
madeira de 80.000 a 140 .000
madeira compensada 40,000
couro 2,000
borrucha 1 0
E.sses dado_s m~strarn que, dadas duas peens de 090 e de alurnfnioge~me.trl(';~1Il1Cl1te_lgmHS, se ,a~bas forem esforcadas com u rnesma forca F.
cntao a dcforrnacllo do alurnmio sera [res vezes maie r que J do uco.
Por razoes didaticas, 0 modulo de deformabilidade devcria chamar-sc
modulo de .nao-deformabilidadc, pais 0material de maier modulo tern mellor
delormabilidade.
48
5.2 In£orma<;6esadicionais sobre deformabilidade
I. As deforma~5es oriundas de pe~as sofrendo tra9ao au compressao
sernpre diminutas, corn excceno da borracha (elastica). S6 para esse m
rial elas s50 visfveis. Para outros materials ternos que usar instrumcntos
medida para poder rnedir as deformacoes.
Em face disso, para i lustrar deforrnacoes temos que usar urn outre esfor
que e a flexao que gem deforrnacoes visfveis. Todcs ja dcvcm ter v
d e fo n na nd o-se pa r fle xao peca s d e ma d e ira s e a te cha pa s d e a co .
2. As cintas abdominais exemplificarn a possibi lidade de uso diferente de: E mais c6modo usar cintos de elastico que de COllCO.
3. Com mareriais de alto E pcdem-se obter estrururas de menor E. Urn exe
pia disso saO os cabos ou cordoalhas de aco. Usam-sc cntao fios de uco
reduzido diarnetro, rorcidos em volta de Lim nucleo de 390, Oll de
materia! de baixo E. 0 Bde um cabo de ace pode chegar a tee metade d
d o p r6 pr io ' yO,
4. As vezes temos que estirar fios de aco - c uma tarcfa diffci l. 0 Ieigo dque e diffcil estirar <1 0 : ; 0 dada sua resistencia. Essa e uma explicacao erra
E diffcil estirar fios de <1'90 par causa de seu grande E. Se vamos faze
estirumento de fios de ace da es.rutura rnetal ica do suporte de lima ant
de radio usamos urn tipo especial de dispositivo (alavcnca) chnmndo "e
rador", a venda em lojas de ferragens, E uma pe~a com dois parafusos
s e n p ro x im a r n OU se a fa stam d e accrd o com a ro ra ca o d a pe en . A o gin
peca , o s ca bo s d e a co sa o o br i ga do s a se e sr iru r ate alcancar u r n a tensfio
que a fio fica esticado.
Veja:
/- A
I ] ~P ' 3 0 "
EstnacoEslirac'(){
Torr ,
Corle~ / y ~ , \ wCl~urnb<ldtlr,;:=fl~~fw,--y
naterra
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. Os estirado.rcs sao usados para fios de <1';:0 de diametro reduzido. Se
nvermos que _r r ac rona r fios de n~o de maier diametro, deve-se uti l izar urn
cquipamcnto mdustrial chamado TIFOR (guincho de alavanca).
5,3 0 modulo de Poisson
.Quan~o compril ll ir~os ou tracionamos longitudinal mente urn corpo,
suas .~lr~ensoe~ rr.nJ~si'e~·s"us~ofrcm mudancus. Na t r a cao , cada uma das di-
rnensoes transversnjs diminu] e, na cornpressao, as Olltras duns dirnenscestransversals aumentam A rclacno entre. a deformacgo longitudinal e cada di-
mensae transversal e caracter tst ica de cuda material e charna-se modulo deP o is so n ( 11 ).
o modulo de Poisson varia do Da 0,5. Para ° " , 0 , e de cerca de a 3'para 0 concreto, de cerca de 0,] 5. ' ,
o ~enomeno da diminuicao das dimcnsoes transversals de urn corpo, ao
softer esnrumenm, chuma-se "estriccao". 0 care leiter pode visualizar corn
extrema clareza esse fen6meno lazcndo uma exp~riencia com umelastico,
Veja :
• III. 1 ~ l n q l ) n n ~ l n ' r l l l " I " ' ' ' ' I " , " l " ' ' l l ' ' ' ' ' 1
Com,:lr'lffllmio
Ini ClaI; r cm
Espessur a linal: 1 mm
Comprimento
n r er za cm
50
Para passar de 7 em para 28 ern de comprimeuto, 0 elastico teve a
espessura reduzida de 2 mm para I mm.
Nota:
Por hipotese, admitimos que. cessada a [Lyao de urna forca, cessa a tensao,
verdad~. em dcterrninadas siruacocs, mesmo cessada a a9ao de urnn Io
permanece~ tens6es~ a: c~amadas te~s6es J~c.sjd~ais.U.1llexemplo visfvel
conseqilencn1s da cxrstencra das tensoes residuais censure no dobramcnto
a90 da const ruo; :ao clvil. Se pet;as dobradas de nco forem expostas ~o tem
suas partes dobradas comecarn a se oxidar antes das partes nao-deformad
como fruto das tensfes residuals.
5.3.1 Reconheca as estruturas do dia-a-dia
• Como fazer embrulhos
Por que e mais f; leil nrnanar pecas usando elasticos em vez de barb
tes de algodao?
E que, no ato de atar, procurarnos tensionar 0 elemento l igante
depois solui-lo ligando as pecas, Como a E do elastico e bem menor que
do algodao. consegunnos facilmente distender 0 elastica e, depots de solra
el e ala 0 embrulho. Com 0 barbantc e muiro mais diffc.l executar isso s6a s ma o s, d evid o a o E d o algodao,
Observe:
• Aroupade homens e de mulheres
Homens e mulhercs usum roupas de materiais como algodao, scouro e fibras sinteticas Quante rnenor 0 E do material, mais a Pe£-Umolda
ao corpo do usuario. Roupas de algoduo e lingerie moldum bem a corpo.
Roupas de couro - como os giboes nordesrinos - escondcrn as
mas do corpc. Por extreme, Ul113 arrnadura med ieval pode ficnr de pc sern
haja alguem dentro dela,
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No romance Grandes Sersties: veredas, de Guimarues Rosa, 0 persona-
gem Diadorim oculta por um certo tempo 0 faro de SCI' do sexo feminine. lsso
s6 foi posstvcl par usar roupa de couro. 0 leiter concordant que, se usasse
roupa com material de rnais baixo E, seria quase irnpossfve! esconder tal faro
• S in ra a d u ctilid a d e d o a 90
Le-nbre: ductilidade e a capacidade de produzir deformacoes penna-
nentes sern se romper. Pam provar isso usemos urn grarnpeador de escritorio.
Grampcic varias folhas de papei, Note que 0 grampo ameriormente de fo rmaU se d efo rm a . ve ja :
c remoo dO :: lI st Jo
o grampo. urna esnurura de aco, deformou-se permanentemente numaoutra pratica estrutum que prendc os pnpeis.
• Urn carte espau fou -s e em alta velocidade Contra urn paste de concretoarmado
Do terrfvel desastre c . possivel reconhecer 0 colapso dos varies t ipos dematerials:
a) 0 concreto, q ue c f ra gi], desintegrn-se.
b) 0 01'90 das barras do concreto armado deforrna-xc enorrnemente sern desin-tegrar-se.
o uco da chapa do carro, sendo ductil , deforma-se; cbega II rasgar mas niiose desintegr»,
c) 0 ossadomotoris-a, sendomaterial fragil, quebra-se (desinregra-se),
Capitulo 6 , .
Quando as estruturas se apOlam -
entendendo os varies tipos de apoio
Para compreeoder 0 func ion amen to das estruturas e _ muito imp?rta
conhecer 0 tipo de apoio que possuem. A estrutura de aporo nada mars
que um corpo ngido que recebe e transfere esforcos das estruturas ern ~studArvores estao apoiadas na terra; caixas d'agua podern csta~ apoiadas
1ajes; vigas estao apoiadas em colunas: navies, na agua; trampolms, em es
t u ra s d e grande rigidez, etc.
Seja urna vigu de madeira simplesmente lancada sabre dais apoios
la re te s d e madeira) A e B:
o sensa cornum indica que a viga trabalhara de uma maneira se
simplesmente apoiada e de outra rnaneira se as suas extremidades forum fdas per pregos nos pilnretes e~ainda, de urna terceira maneira se uma extre
d ad e fo r pregada e a o u tra n ao ,
6.1 Classificacao dos tipos de apoio
• Engastamento (encaixe) - esse apcio niio perrnite q~e a extremidu.de
vigu que etc suporta se afaste na horizontal c nu vertical, ou que gire
J ig ar ; ao co m pre go s cira da a ci rn a e u rn e ng a stamen to . ~
Uma peca de avo numa reentrftnciu tie uma outra pcca e tambemexcmplo.
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• Articulacno ( p.no) - nao permitc que os apoios se afasrern ua horizontal
tampouco na vertical. mas permite urn giro do apoio. A f1q<l dobradica de
umn porta au urmriric e om exccler.te exemplo. A rclacao biela=-maniveta
se d a a n -a ve s d e u rn pino.
Esses spo os quatro tipos principals. Hri cases misturadcs:
• Engastamento movel - perrr.ite rranslncao mas 115.0 rotacuo au ascens
ou ainda que a pcca se desfoque pam baixo,
•Nota:
Nus construcoes mecdnicas temos :A comprceusjio da imponanc.a dessas pecas levou urn famoso arquite to pau-
lista - Villanova Artigas - a criar umn frasc-sfmbolo da Rcsistencia dos
Materials, Ei-Ia: < I E necessario r a z e r cantar os apcios".• Mancal de apoio - gira e pcrmite translacflo.
• Rcrula - essencialmente 6 uma esfera que permite roracoes em quaiquer
pinna. Espelhos de autorrovcis sfiorotulados as esrruturas do carro. Ha um
prcdio industrial em Sao Paulo em que s.eutiliza 0 andar terreo para testes'
de equipamentos de vibracao. Os pilares que nascem do terreo sao dotados,
cada um, com uma esfcra nn extremidade inferior. Desse modo. por causa
dos vinculos rotulas, nan se iransportum para 0 predio as vibracoes do andur
r e r r eo .
E
• Mancal de escora - s6 permite girur.
• Carrinho (roletcs) - n50 pcrmitc que a peca suba ou desca, mas permire
translacao. Uma viga de madeira colocada scbre duas pet;as de madeira
pcrr-iite translacao e rota~ao, porem, nao perrnite lim atundamento. Patins e
bicicletas sao dotados de roletes.
/ 1
~
54
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Capitulo 7
Estruturas isostaticas, hiperestaticas ehipostaticas
7.1 Definicao
,Q u a n d o u rn~ ~ stru tu ra r em um numero d e vfn cu lo s ta l qu e po ssa rn scr
:esol~l~os pela Estatica - as famosas quatro condicoes _ ela Curna esuuturauostaura.
Se 0 mimcro de vfnculos de urna esrnuura cresce, entao nao bastam as
quarro equ~y5es da Estf irica. Para determinar seus esforcos, temos que usar
outras teonas (pOI e,x:emplo 0 esrudo das deforrnacoes) a fim de descobrir os
va lo re s d as r ea co es n os a po io s. Sao a s estruturas biperestaticas.
Quando 0 mimero de vinculos e insuficiente para dar estabilidade temos
a s e str utu rn s qu e se m ovim en ta m, dcnominadas hipostdsicas,
Observe:
!
1
Estruturas isosuuicas
Estruturas hiperestdticas
r
Estruturas hipos{alicaj"
56
lhi estruturas que sa o isosnincas para uns esforcos e hipostaticas par
ou t ros .Nas consuucbes pobres du periferia da cidade, par deficiencia de fixa
yao, 6 comum ver a cclocacao de pedras sabre 0 telhado. Nesse case, poderno
afurnar que telhados rnalconstrufdos sa o estruturas isostaticas para cfcito d
se n p eso e h ip ost at ic as para ventos fortes.
Para todas as esrnuuras isostaticas e hiperestaticas valem as "quatr
f am o sa s c o n d ic o es '' :
7.1.1 Outros exemplos
• Ponte rolante
Uma taiha rnove l apoiada sobre uma ponte rolante e uma estrutur
hipostatica apoiada em outra esrrutura hipostatica.
• Urn corpo na agua - e Isostritico se nao sopra-
rem ventos; hipostarico em relncilo a urn deslo [iamento honzontal se soprarem ventos; e pen- \ igosamente hipostatico se cornccar a afundar )
Urn barco - flutcn (estrutura isostatica) quando _ I IISe ll pe so e ca rg a C igual a o e rn pu xo hidrostatico ~~>_ ~ NA
E, que e reatrvo Quando 0 peso total e rnaror ~~ :::.~__ _ _ . r : - -
que E, 0 barco afunda (estrurura hipostatica) 0 ./ ......1 ' 1E'lIID: e 0 peso da agua COil espondcntc no volume ! E ' m P L J W
r rn erso d o b ar co . hldrostalic
5
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7.2 Casos de estruturas hiperestaticas
• Urn banco de igreja de cinco pes.
• Urna ponte rolante apoiada sabre dois apoios e uma estrutura hipostatica
apciada ern lima estrutura isostauca.
I I• Uma viga de tees apoios sendo rmnsponada em um caminhao e urna estru-tura uiperestatica sabre uma estrutura hipostatica.
As estruturus a segui r sao tambern hiperestaticas, au seja, nao podem
ser resolvidas utilizando-se somente as equacoes de cqui lfbrio da Estatica,
a) Dais corpos, A e B. de materials diferentes e com diferentes E. Quanta de
carga F vai para A e B?
58
Como a carga
1
mrll!
BIBLIOT
. . . . ' .. . ~- -,.,.-
c) Area nrticuJado com carga centrada. Quais as reacoes H A e Hr.?
Ao longo deste livre essns estruturas serao estudadas e _descobrire
as reacoes que atuam sabre elas, podendo entao calcular tensoes e defor
~Oes.
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Capitulo 8
~studando os varios tipos de flexao;
simples, composta, normal, obliqua
djrec;ao xx e paralclamente a dlrecao YY. Esses eixos xx e YY sao os eix
de sirnetria da s.e~au,Esse tipo de flexao e aflext10 normal, tambem conheci
como flex.ao rew.
Imagine agora urn outro npo de viga, a que recebc as cargas verticals
peso de tethas. No casu, as cnrgas (peso) s.\'Joverticais e gerarac mement
tletorcs num plano vertical que encornrara a se~ao da viga em eixos inclinad
e rn r ela ya o aos e ixo s d e sim ctr in da s eC ;ao . E a charnada flexiio obitqua
jlextio desvlada8.1 Defini<;:iio
tJJlJltHltI
A i 1 0
,f----.,---.,f
Imagine uma viga hiarticulada de te d -porta carga disl'ribufda Vi'," pOl e e e secao retangular que su-submetida. ' ejamos como atu a 0 rnornenro fletor a que ela estri
A divisao entre flcxao normal au tlexao oblfqua e cstabelecida levan
em conta a posi~5.odo plano do memento em rela~ao uos eixos de simetria
peca,
Se usassernos como vigas pecas de secao circular nao haver ia dixt
voes entre os dois tipos de flexao, uma vez que secoes circulates nao tern eix
de simetria au, se quiserrnos, iodos os eixos passando pelo centro do crrcu
sao eixos de simetria.
Ha casos de estruturas que us-ambarras e vigas cuja sccao nfio tern ei
de simetria. Para essas secoes utiliza-se urn conceito que e uma evolucaoconceito de cixos de simetria. Esses novos eixos denominarn-se eixos princ
pais de inercia; .sao dois eixos ortogonais entre si, passandc pelo centro
gravidade da figura; para um e maximo 0 rnomento de mercia da se~aa e pa
o outro, cbrigatoriamente, 0 momenta de inercia e mfnirno". Para s~oes coeixos de simerria, esses eixos coincidern com os eixos principals de inercia.
Ha casas de vigas que, alem da flexflo. sofrem a 1 . 1 1 ; 5 . 0 de torcas norma
d e tr a,;-a o e co rn pre ssjlo . Te mo s e nta o aflexiio composta.
Como e...orces ruivos e reasi I • t f .B ~ .IIos so ernos orcas, pors as articulaco Ae nao suportam momeruo, flctores. l:r es
9Oc:sd;~imo esfOf.90S intemos soficirames ocorrerao fO~iJS tangencIais a . ' \ : se-
atuu: ga e rnomeutos fletores. 0 memento fletor em cada secao Z assim
Nesse caso em que as ca - d ,viga, os moment~s flet .. r~ns estao ~slnbllfdas ao Iongo do eixo da
ores atuarao perpendlcularmente (ortogonalmente) a * 0 conccito de IMIIII'l!to d{! lnercia sera apresentado no proximo capjtulo.
60
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Sq'oes sem eixo de slmetria
o quadro seguinie resume os tipos de flexuo:
Flexiio se tiver f ica
f le x f io n o rm a l flexile normal composta
flexfio oblfqua ccmpostalexao cblfqua
8.1.1 Exemplo de flexaonormal
Urna viga de madeira sen/indo de suporte a urn tablado. em 111l1U estrn-
tura sobre tim rio.
A viga sofre flexiio normal cornposta. Se esse estruturn suportu 0 empu-
xo lateral do terrene, a Vigil sofre compressso.
Te rne s a i u rn ca se d e fle xao normal co r npos ta .
62
8.1.2 Exemplo de [lexao obliqua
• A tercu de urn telhado suportando sell peso proprio eo peso de telhas
Esse ium c a su d e f l ex .a o obiiqua
8.1.2.1 Exemplo de flexao oblique composta
• Mesa de quatro pe s _ nas mesas de quatro pe s chegam duas traves (vig
e a esses pe s etas sao pregadas. Cadu trava transportu ao p e da mesamomento fletor, A soma do.' ;dais mementos gera urn mornento fletor o
quo. Veja:
C]l
b : f J _ J
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• Pilares de predios - quando no pilar chegam duas vigils que estao nele
eugasradas, temos Hill exemplo de flexflo obliqua ccmposta, pois 0plano do
momento fletor resu ltante dos mementos de cada vigu nao coincide com O~
eixos de simetria da secao do pilar e a forca normal de corupressac atua no
pilar. .,1'1
l~o ra :
Deformabilidade na flexzo
As pecas sofrendo ffexflo podern aprescntar grandes deformacoes. A forma
deformada da viga chama-sa Iinba elastica deformada e ela sera culculada a
partir do estudo de E do material deterrninado nurn ensaio de trar;ao/compres-
sao .
Veja :
a estudo do Iinhu elastica defcrmada lcvara em conta:
• 0 tipo de flexiio;
• 0 ti po e 0 va lo r d a ca rg a:
• 0 vao :
• a forma da viga (retangular em perfil T) (Jor exernplc) e suas dimensoes
(altura, largura da secao);
• a caracterfsuca do material da vigil, au seja, 0 seu modulo de clasticidade
(E);
• os upos de apcio
Seja a vjgn a seguir:
A flecha maxima f sera dada por:
~f~ 384 E J
on d e :
_ fu n9ao d e fo rma d a ses :f io t ransversal d a vig a
p - ca rga d ist r ib u fd a
E -tipodc material
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C apitulo 9
Introducao aos conceitos de momenta estatico,
momento de mercia, m6dulo resistente e raio de
giracao
Digamos que tivessemos de usar lima car-olina para receber pequenos
estcrco s d e co rn pressa o e pa ra fu ncio na r como um min i pila r, To do s pe rce be rn
qu e a ca rro lin a , pe la su n fo rma lame la r e com uma espessu ra r ed u z id a , n ao
f u n c i o n a :
Se enrolassernos a cartolina em forma de cilindro. podcria entao funcic-
nar como urn pilar OLI COmO lima viga vcnccndo UITI v fie. Se dobnissemcs a
ca rtclin a , g e r a n d o u a secao tr a n sve rsa l uma fo rma d e d e n tes, a ca r to lin a tr a n s-
fo rm ad a co meca ria u tta ba lha r co mo d ese ja do .
Vc-sc que, quando afastumos areas dos eixos de - simetria, tcmos urn
ganho extruordinario de eficieucia estrutural. Observe;
P od em os co nclu ir qu e a re as lo nge d os e ixo s cen tr a ls luncionarn melbe r .D evemo s ago ra in trcd u z ir co e ficien te s nume rtco s qu e mecam essa s
a re as no q.re diz respei io a su a d ista ncia a os e ixo s d e sim err ia . V am os in tro du -
z ir cs co nce ito s d e rnomen ro e sr a t ico , memen to d e in e rciu , m6d u lo re sisten te e
raio de giracao.
Este capitulo iruroduz tais conceitos, de mnneira a perrnitir trabalhur
Com eles. Estao rna is detulhadamcnte explicndos nos anexos deste livre.
9.1 Definicoes
9.1.1 Momenta estatico
Momcnto estatico e 0 produro de urn elernento de area (ds) por
d ist lln ci a a u rn e ix o cc nsid er ad c.
Y L ~ S,
'~ /, .
• X
IMsx =J y . d s
I
9.1.1.1 Caracteristicas do momento estatico
• Sua unidnde e dirnensilo ac cubo.
• Ms =0, se x passa pe!c centro de gravidude da figura.
9.1.2 Momenta de inercia
o produto de urn elemento de area pelo quadrado de sua distancia a
eixo considerado C0 que chamamos de momento de inercia.
'tftX
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9.1.2.1 Caracterfsticas do momento de tnercia:
• Sua unidade e dimensflo a quarta
• E s em pr e p os it iv e.
9.1.3 Raio de gira~ao
Trata-se do r e su l ta d o do cri lculo i = " ' f e te rn como caracrertstica uma
d r me n sf ic l in e ar .
9.1.4 M6dulo resistentc
Ao l ongo do texto mostraremos 0 LIsa de modulo resistente.
68
9.2 Tabela dos valores de cada conceito
para as figuras mais comuns
MS,(I) ), (2) W,(3) i,(4)
bd bd d
12 r;-ill
t" Jl bd d
3 3 ;f3
ltD' nD 3 Q64 32 4
TI (D'-d') "(D'-d4) ,i(D'+d'--64- .-
32D--4--
o
b d '
2
o
o
Pel /is indUSl l iais
HI JC
n
Consu l t i l l " catrilogos dos fabricantes.
(1) M eme nt o e st ar ico :
(2) Memento de inercia;
(3) M6dulo resisreme:
(4) R aio d e g ira ca o.
Notes:I. Bxistc 0 conceitc de produto de inercta, importan tc
cutros estudos da Reslstencia de Mmerinis.
2. Em certns publicncoes e normes, 0 stmbolo de mome
de lilt/dOl e I, e n a o 1.
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Capitulo 10
Estudando a flexao normal nas vigas isostaticas
- diagramas de momentos fletores, forcas
cortantes e forcas normais
Vamos resolver varias vigas isostaticas e tracar seus diagramas de mo-mentes fletores (?v1F) , forcas tangenciais (Q) e forcas normais (N ) . detcrmi-
nando assim os csforcos internes sclicitantes ponte a ponto. Em capitulo pos-
t er io r s er ao calculados o s e sf or co s i nte rn o s r es is re nt es. 0 tr aca do d e d ia gra ma s
como mostrado aqui pode ser f eit o r am b em para cstr utu ra s hipe re sta tica s a pe s
d e te r r n in a ca o d a s rca cz cs n o s a po io s. 0 a companhamcn to d o s e x:emplo s n u -
rn e r ico s a ju da ra a entender o s c o n cc it o s,
Exercicio 1
D ete rm in e rca co cs c d ia g r a rn a s d a v ig a a seg u ir .
1 3 8 0 kgf
1--A~ ~11
" '--,---,-------- 't~-'l < 6,50 . 'k
8.'10
L . . FII =.0 n a o aplicavel, pais n ao hti forcas horizontais.
Nota: N ile a eo n-e m m om en ro s f le to re s e xte rn os.
I,Fv= 0
R,. +Rg - 380=0
RA +RH =380 kgf
70
I,M'3=0
R.• x 8,40- 380 x 2,10=0
_ 380x2,10 =95 kzfR,. - 8,40 . 0
RB= 380 - 95 =285 kgf
COl lvew; : ,ao d
mOmenl().~flet
Portanto:
RB= 285 kgf
Me =R .• x 6,30 = 95 x 6,30 = 598,50 kgfm
(memento tletor interne)
Nora :
o rnomento em C pode ser calculado vindo pela direlta. 0 valor sera 0 m
porem de sinal contrario.
Me = - RH X 2,10= -285 x 2,10 = -598,50 kgfm
Diagram!" de Q e MF (esforcos infernos)
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Netas:
I. A maior to-ea cortuntc na viga e de 285 kgf e nao 380 kgf, que 6 a cnrgaexterna
2. No ponto C h a duas forcas corranres, fl csquerda (95 kgf) e a direita
(285 kgf). Se~llsarrr:os a forca cortante no dimcnsionarnentn de forcas ern
C,o va lo r se r a 0 ma io r (285 - va lo r em modulo).
3. No ponto C a forca ccrtame passa de valores positives para negatives.
Nesse ponte ocorre u maior memento f1etor.
Vamos volrar a discutir 0 exerclcio 1.
Tratc-se de lima viga (vence urn
vao) de cixo rete, de sec;ao consrante, A
carga Festa aplicada normal ao BIXO IOr1-
gitudinal. As reacoes FA e Fn, para dar
equilfbrio, es!5.o no mesmo plano de .F ;
portanto, toda a estrutura pode set repre-
scn ra d a n um plan o qu e contem 0 e ixo xy
d u vi ga ,
1 ' < \ " > ' 'I ' 11113
. Notemos que, se a forca F cstivcsse aplicadn fora do ej~o de simerna du
vrga. terfamos t o rcao e a extrutura nao seria cont ida num plano, como se vBasegtnr:
72
A viga com a f o rca F na o centmda em relacao no eixo x toma-se
esl.n1tura espaciul e havera rorcrio na viga causada palo momento t
MT~Fxe .
voliemos ~ viga original, ondc a forca F esui contidu num plan
simetria xy
Como toda a estrurura esta contida num plano, vamos resolve-In a
do esquema:
o
rI f
~1C!8
F - f or ce a ti va er n C
ItA e RB - forcas reauvas
em A e B
Seja uma secno em D como indicadu. Essa secao estd em equilf
P a ra a sc~ a o e sta r em equilibria, a t re cho A D d eve e sta r em equilfbrio.
P ara e ssa s( ; !~ 50 e m D e sta r e m e qu ilfb rio c necessaria:
• Haver uma forca intemu RD, oposta em sentido a RA e com modulo
in ten s id a de i g u a l a H .A
RD e rangencial a sec;ftoem D (forca cortante).
Logo, a esquerca de 0 ternos RA e ~ldirei:a, RD.
• Para que nao haja giro em D ternos que veneer 0 momenta
RA x 2,40 = 95 X 2,40 ~ 228 kgfm
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Condieao de equilfbrio:
Ve-se que, iesquerda e a direita de D, ternos:
Rcsolva a viga a seguir.
R, + RD = 0
M,,+Mo=D
RD= -95 kgf
Mo= -228 kgf
Exerc{cio 2
g,611.1m
~ t l t ! ! J J ! l ! L ! ! ! L ! ! l
C IA I ? i j ~ 8
4 - 6.40 t
8,6 t 1 i m
tRA
{- ---,,-0.""1.0;----- ''1<-
MA . RD e MI) sa o esforcos i nt er im s q u e equilibrum 0 ponte D. Ape s a r
de 0 ponto D estnr em equilfbrio, ocorrern nc lc csses esforcos.
A na liscm os a go ra u ma s c - < ;; fi o e m E
RA + RB ~ 8,6 x 6, 4 = 55 If
I,MA=O
Para 0 equrlfbrio do trecho AEl
A resultante d. carga distribufda vale (8,6 x 6,40 = 55 tf) e csrrino
d o vao (C)
t5H
, 1 5 . c - " ' : c or I'
" "0
"~ 6.~,O
'k -
IME=O
9S x (6,30 + 0,40) - 3,80 X 0,40 - ME =0
ME=484,5 kgfm
I,MA=O
+55 X 3,20 - 6,4 X Rn = 0
RI)= 27,50 Ifogo , pa r a 0 t recho A E e s t a r em e qui li br ia e necessaria h aver a s rea -
90es intemns R E e M E. Os diagramas de Q e 1 1 representam os e.SfOf90S aesquerda da se,ao E.
74
Po r simetria:
RA = 27,50 If
Dtagramas
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Onde Q ; ;; ;; ;0 memento fletor e maximo ou mfnirr;o.
6.-40
Netas:
1. No ponte C, Q (Iorca cortanrc) e nula e, nesse pouto, MF (memento ftc-or)
c m ax ir n o .
2. Em qualquer ponto Z disran:e .c de A, 0MF vale:
Mz ~ RA X X - X x 8,G x ~
Exercicio 3
Resolva esta viga.
12 tf/m
U l l J l H 1 l 1 1 1 1 t J ' I t t,-
I
Lc
~o --i-c>o-'k.JO
76
LFv~O
LMs~O
R _ 105,5A - 4,3
Ru ~ 61,5 - 24,5
RA+RB~ 12 x 4,30 + 9 x 1,1 ~ 61,5 tf
RAx 4,3 - 12x 4,3 (2,15) + 9 x 1,10 (0,55) ~ 0
RA~ 24,5 [f
Vamos calcula- MB (mementos fletorcs intcrnos] a esquerca de B.
M8 ~ 24,5 x 4,30 - 12 x 4,30 (2, 15) ~ -5,59 tfrn
A direita de;B aconrece 0 memento tletor (interne), valendo +5,59
Para calculat T, onde Q = 0
Diagmma
Qr~ 24,5 -12, = 0
x = 24,S =2,05 m12
MF
RA= 36 If
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QA = 24,5 If
Qr=O
QBesquerd. = 24,5 - 12 x 4,30 = -27,1 If
QBdireita =-27, I + 37 = -9,9 If
Para calcular 0 maximo memento Iletor positive,
r-:./"! 205MFT=24,5t:,-12X2,05X2+25,Ollfm
MB= 24,5 x 4,30 -12 x 4,30 x 4 ' i O =-5,59 tfm
Notas:
1, No ponto T, onde Q = 0, 0 diagrama de M apresenta um ponto de maximopositivo.
2, A maior forca cortante da vign vale 27,1, que e o valor 11csquerda de B.
Exercicio 4
Resolve a vigu ;1 seguir
t i l381f fm
[ D2 tUm
1ilITI1I
i ~ b ± - t I e l~·~ t~01-
3 . C O -+
Trata-se de uma viga de dois tramos e dais apoios (A e D).
RA
+RB= 22x l,lO+43 + 38 x 0,40
RA + R R = 82,4 tf
LMD=O
RAx (1,10+ 0,70 + 1,20) - 22 x 1,1x (0,55 +0,70+ 1,20)-
04- 43 x 1,2 + 38 x 0,4 x : 2 = 0
78
RR= 82,4 -36
RB =46,4If
Para calculnr as forcas cortantes,
QB =36- 22 x LJ =+11,8lf
Qcesquerda = +11,8 - 43 = -31,2 If
QDdireita = -31,2+ 46,4 = +15,2 If
Diagrama
No ponte em que Q = = 0, 0 MF passa por urn maximo em mo
(pontes C e D).
Para calcular os mementos flercres.
MA=O
ME=O
MB = 36 x (1,1 +0,7) - 22 x 1,1 (0,55 + 0,70) =+34,55 tfm
Mu =36 x 3,0 - 22 x 1,1 x (0,55 + 1,90) - 43 x 1,2 = -2,89 tf m
Verifique que MI), vindo da direita, dave resultnr em +2,89 t 1 ' l 1 1 Para calcular 0 ponte Z, ondc Q - = 0,
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Ml)= 38X0,4 X0,2= +3,04 20,73-)1,8}( x =0
x=1,75rnA diferenca esui no anedondarnemo de valcres. T udo ok !
Para calculnr 0 momenta fletor,
Exercicio 5
_D,_
( 7 0 , r -
M,,=O MD=O
10,3 X 0,9 X 0,9 -4 1- fMB~ 2 ' It m
Me = -10,3 x 0,9 (0,45 + 3,4) + 30X 3,4 - 11,8 x 3,4 x 3
24= -1,89 tfm
Mz= -10,3 x(J,9 (0,45 + 1,75) + 30x 1,75 - 11,8 x 1,75 X 1,~5 = -14 tim
3,40 Diagrama
Re = 55,27 - 30
Rc =25,27 tf
MF
Viga biapoiada com tre~ tramos,
RI3+Rc = 10,3 X 0,9 + 11,8 x 3,4 + 8,4 x 0,7
Ril +Rc = 55,27 tf
o
LMc~O
(
0,90 ) 34 07-10,3xO,9 2+3,4 +Rnx3,4-1I,8X3,4X2+8,4XO,7x'"2=0
RB= 30 If
Para calculnr us forcas cortantes,
QA=O
Qn esquerda = -10,3 xO,9 =~9,27lf
QB direlta = -9,27 + 30=20,3 If
Qc esquerda = 20,73 - 11,8 x 3,4 = -19,39 If
Qc direira = -19,39 +25,27 = 5,88 If
to:go'1<-__j-,-----
I I
80
o ponte Z e 0 ponto de maior memento fie-tor positive. Em varia» Nota:
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s i tua<,roes , 0 r oomen to n os a po io s (neg a t ive ) e ma ier em modu l o qu e 0 momen -
to posirivo. Lembre-se: 0 que interessa e sempre 0 malo- memento em modulo
(valor scm sinal) e e esse rnaior modulo de momenta fletor que usnremos no
dimensionamento da viga.
Note que, nos pontes onde 0 diagrarna de Q se anula (B, Z e C), 0
memento fle ror passu per tIlll valor maximo em modulo.
o r es uh ad o MRA = 0 n iio im p lic a q u e n e ss e t ip o d e e st rn ru ra f 1UOs eja n ec e
rio haver engastarnento em A. Lernbramos que nas estruturas rea is algu
cargas - as cargas i n l" e rm i te ll t~ s - podem o~orrer O ll n a~ . No caso de
ocorrer uma das cargas, hovena momenta unvo no POnto A~ se as ca
variassem c tivessemos feiro A como articulacac, a cstrutura cairia, Oll
ficaria hipostatica. ..
Exercicio 6
Ne'''te exercfcio, alern do calculo de momenta f1etor e forces cortantes,
temos forcas normais.
Diagramas
Diagrama de NB
r ' ' " '.1611'"
A for," norm. I (0,3 tf) e constante em CB causada pela forcu de 0
De B para A a forca normal 6 causada pela forca distr ibuida
(0,4 x 1,4 = 0,56 1I)e pel. force de 0,6 tf .Obrigaronamente, A deve ser urn engastamento para garantir a estabili-
dade da estrutura.
L,FH=O
L,Fv=O
L,MA=O
=;V" - 0,4 x 1,40 - 0,60 = 0
(Considcrando 0 memento reativo e os mementos ativos.)
Diagrama de Q
" ' f i t 'e ,
O,Jti ~ _ ~ [ i ~ r-M"A + 0,4 X 1,40 X I~O + 0,6 x 1,40- 0,30 x3,70 = 0
MeA= 0,122 t f rn
82
A forca cortante de C para B e crescerue, causada pela carga distrib
da forca de 0,6 If.
A partir de 13,a forca cortante e causada pela forca de 0,3 tf.
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Diagrama de M
Para calculnr MF em varies pontos.
MC=O
MPB =+0,4 x J,40x 1,~0 +0,6 x 1,4- 0,3 x 3,70= +0,122 tfm
MFA =0,4 x 1,4 x 124+ 0,6 x 1,4 - 0,3 x 3,70 =+0, 122 rfm
NOla:
Como vimos, os diagramas de Q, MF e N mostrarn cs esforcos internes. Silo
calculados a partir de tim ponro extreme (C, por exemplo) e vindo para a
csquerda. Se cornecarmos pclo POIILOA, subindo e indo para a direita, encon-
trarernos em cada ponto 0 mcsmo esforco, mas com sinal contrario (equilibria
de , e<;50).
E xercicio 7
Resoiva a viga.
Esse tipo de distribuiciic de carga e muito comum no calculo de caixas
d'rigua e piscinas e rcprescnta 01 distribuicfio de pressao de agua ria parede
vertical.
84
r t - I ·
R e . med ida pela area do triangulc e
situada a I ; . , . L do upoio onde ocor
carga p.
E!oRA+ R"= 2
pLxLRAXL=2x3""
R-l'hA - 6
R _l'h l'h_E!on-2-6-3
o momento Flctor (interno) no ponte Z vale:
Resoiu9ao da viga
Equ a cao d o 3(l gparabola cubic a
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Capitulo 11
Exemplos de calculo de vigas com diagramas de
momento fletor e forca cortante
Exerctcio l
A ~ 1 J J 1 [ } O O "
l= J,ElO
RA= _cl. = 4,06 x 3,80 = 2 57 If6 6 '
RB=Y 4,06; 3,80 5,14 tf
Pode-se provar matematicarnerue que 0 m:iximo memento flctor ocorre
n o p on te Z = 0,577 L e vale:
_K_,0 6 X 3, 82 _ . '
Mmo> - 15,59 - 15,59 - 3,76ttm
x = 0,577 x L = 0,577 x 3,80= 2,2 m
o gratico de force cortanre e lima parabol a, code memento fletor euma parabola cubica (de terceiro grau),
Pan3oolnclo:l°greu
M '
Exercicio 2
Re so l va a v ig a em fo rm a te d e L if segi.ir.
1</l1
< 0~~::j': -'" ~--,,, --....I·----__-/ __»«:
l . . . . . - - - n ~ . >----l><~ r n'¥~" Pk
Trara-se de uma estrutura espacial engastada em C (nao plana)
formato de L, sofrerdo a930 de carga vertical P.
MTA=O
lvhB=Pxrn
Mrc >P X rn
Mo=Pxm
M e = MB+P xn
J\1c=Pm+ Px n
o problema agora e diferente. A carga P n ao csta com posicao deDiagramas
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Diagrama de A -!
~ l J n l @ r r I r J ~
~\_
entre A e B, 0 que significa que C uma carga desloctivel. Scndo assim,
que determinar 0 major memento que ele pode cuusar e a maier fcrca cor
e isso ncontccc em pontos dil'eremes ".
vejamos 0 tratumento matenuitico da questao.
Diagrama de Q
SOOk[Jf
~ u
~/L-, , r
y ' . 0 01 1
I II
p~ no kgf11l~ 2,.10
11 = 0;70 mMTc~ P x m ~ 720 x 2, I 0 ~ 1.512 kgfm
M " A = O
MF8 =Pxm~720x2,j()= 1.512kg[m
MFC = P x m + PX n ~ 720 x 2, I 0 + 720 x 0,70 ~ 2.016 kgfm
R T I I , I 1 I I I I [ t t n m i n ,
f '.60 'I'I I
'~'1 I
, v - x l , y1 I
Aphqucmos tudo isso num exemplo numcrico:
IExercicio 3 o rnaior valor da torcn cortantc ou eRA. au RBe vale 800 kgf
Quais as maximos estorcos que a carga P causa na vigu a seguir?
Ir = aOOkgl
';Ie 8
7\\-
IMB~O
RAx L- 800(L- x)~O
R - S O O (L - x l 0,\- L
'" Seria 0 CiI::'Ode pmjeturmcs cstrutural mente uma ponte com c:ng2 1 em nulhiplas posicoc
88
R'-\ e maximo quando x = 0 (carga sabre A). Analogamcnte, se a cargn P Exercida 4
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estiver sobre B terernos RB ; ;; ;; ;. Logo, a maier forca cnrtante ocorre quando a
carga esta sobre qualquer u rn dos apoios,
Ana.isemos 0 memento fletor em que seja C Urn ponto qualquer.
R"+RB=P
RAL=P (L-m)
P(L-m)RA=--L--
M P(L-m)11 1
L
Der iva r - do C i gua l amlo a z er o
0= p_ 2mPL
e dividindo-se POl' P , temos:
()= 1- 2mPL
2m LL = 1 ~ 1 1 1 = " 2
P L PLMIll~~=2x2=4
Vamos aplicar aos dados numericos:
p = S O O kgf
Om" = 800 kgfN=O
X=L
PL 800 X 4,S()M"""="'4 = --4--= 960kgfm
LX = " 2 --'> X= 2,40 m
90
Calcule C J viga a seguir, que tern urn dispositivo que causa mem
[letor sem transmitir forcu externa.F l
2,30
A viga AB tern duas hastes cujas extremidadcs sofrem as acoes de
for, as F, (binririo).
P, = 270 kgf
Me = 270 x 0,4 x 2,0 = 216 kgfmRA +Ru = 80 kgf
RA x3,JO +216- 80 x 1,10= 0
RA = - 4 1 , 3 k gf (cornu 0 valor e negative, a v ig a traciona 0 apoio
RB = 80 + 41,3 = 121,3 kgf
r ,MA=ORA= - 41,3 kgf
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-RB x 5,4 + 300 x (0,8) + 900 x (1,4 + 0,8) + 2.300 x (2,95 + 1,4+ 0,8) =
Rs = 2.604 kgf
RA = 3.500 - 2604 = 896 kgf
MA=OMe = 896 x 0,8 =716,8 kgfm
MD= 896 x (0,8 + 1,4) - 300 x (1,4) = 1.551 kgfm
ME= 896 x (0,8 + 1,4+ 2,79) - 300 x (1,4 + 2,70) -900 x (2,70) = 730 k
I
Diagmma I
8'J6kg1 1
RB=80+41,3= I21,3kgf
M, ,=O
Me (esqu"d'l = - 4[,3 x 0,8 =- 33 kgfm
T v r c (direun] =- 33 + 2 "j 6 ;;;;1 83 k gfm
MD=-4,13 x (0,2+ 1,2) +216 =+133,4
MH=O
Exercicio 5
Calculc as rcacoes e mementos da viga.
gOak~f
300
14,f..tf/'1l
[llJ
t!.7 0
5.10
L,FV=O
RA+ Hu = 300 + 900 + 0,5 x (4.600) + 3.500 kgf
Para c alc u la r RA C RI ,3.vamos considerar ( como t em6s feito me agora) a
re su lta nre d o, [or, a :s d o t recho EB
RF = 4.600 x D ,S = 2.300 kgf
900 kg ! 2,9~~: :! _ .J O O k g t
Q
MF
Venfiquc seMs = 0, como devc ser:
MB= 896 x (5,4) - 300 x (1,4 + 2,70 + 0,5) -900 x (2,70 +0,5)
- 0,5 +4.600 x (0,25) =0. I I B
f~-----5-'-O------4
92
Nota didasica: o esquema dus torcas que dao 0 eqnilfbrio no sistema sera:
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Em Esuitica procura-se .sernpre a rcsultante das forcas, E na Resistencia dos
Materials? Como vcrcmos, com as dados deste exeicicio, 3 resultante das
3yo es rem qu e esta r n a mesma ve r tica l d a re su ltn n te d a s T~a'r6c~e ser d e
mesmo valor, para que a viga esteja em equilibria. Veja:
V a mo s v er i f ica r 0 q u e a co n te ce .
Calcule a resultante
A resultante das cargus ativas (externas) do sistema tem a valor de:
R = 30 0 + 90 0 + 2.300 = 3 .5 00 k gf
Resta agora detcrminar a ponto de ap.icacao. 0 ponto de aplicacao da
resuliantc c tal que da equilibria a l~9a considcrenado-se ela e as rcacoes nos
apo i os ,
Como ja visto, as reacoes suo:
RA = 896kgfRn = 2.604 kgf
94
1R '" 3500k(r
Para determinar a posicliu do ponto T onde ntua a resultante das f
extcrnas, considereruos, por excmplo, 0 ponte B, or.de a soma t o r . a das I
deve dar morncnto nulo (case ccntraric. a pe~a giraria).Logo:
:LMu=O
Enrao ~96 X 5,4 - 3.500 a= 0
_ 4838,4 = 138a= 3.500 ' m
o calculo da distancia a poderia tambern ser fcito da seguinrc mane
L o g o :
-2.604 x 5,4 + 3.500 (5,4 - a J = 0
-14.061,6 + 18.900- 3.500 a =0
a= 1,38 m
So por enfase e clarcza, j; j que este e urn livre didritico, mostremexausrao que em uma estrumra em equilfbric a condieao L .Mr= 0 vale
qualquer ponte. Seja a condlcao calculada para 0 ponto T.
IMr=O
896 (5,4 - a) - 2.604 X " =0
4.838,4 - 896 a - 2.604 a = 0
a = 4.838,4 = 1,38 rn896+ 2.604
Conhecido 0 valor e a posicflo da resu ltanre das forcas extern as, a Vamos decompor a force F em duas componentes. urna ortogonal
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resultanre das forcas reativas (as forcas do s apoios) e do rnesmo valor ern
modulo (valor sem sinal algebrico), de sentido contraric e atuarue no mesmo
ponto da resulrante das torcas externas. Com isso, as duas resultantes se anu-
lam e dllo0 equilfbrio esratico a estruu.m.
Lembrete resUlnO
N este e xe rcfcio , m ostra mo s q ue :
• 0 c~lcul_odus reacocs de apoio pode ser feito usando-se a condicao de
sornatoria de mementos tletores nulos aplicado a qualquer ponte da estrutu-
ra ;
• a resultante das cargas ativas (externas) esta localizada no rnesrno ponte
onde esta aplicada a resultante das cargas reativas, dando equilibria estatico
a e st r u tu r a .
o x =32"
/1 =58'
Uma viga de peso propr io desprezfvel tern a construcao tal que, em A, e
urn pino e, em B, apoia-se numa superffcie algo esferica. A viga sofre a a~ao
da forca F. Defina as reacoes e Q e ME
Esta e a representacao da viga:
I-I ')V' n
W / ; ; : ; ; r , 1I e / - I f " ; > !(=32"
/'.X f J = 3 ~ : ~ \ ' J . J
A -- \,
/////7# '~o/v
pendicular) ao eixc da viga e Dutra paralela ao eixc.
Fu =F sen a= 680 sen 32" =680 X 0,53 =360 kgf
FT~ F cos a~680 cos 32' ~ 680 x 0,53 = 580 kgf
Logo,
F ,
B
/
A
A viga AB, pelos sells apoios A e B, reagira:
• Em B que, por ser rolete. reage perpendicularrnente a CB e RB;
• Em A a reacao esta decomposta em FJ no eixc da viga, e em F2perpendjcu
Condicoes de equilfbrio
• P e lo e ixo u :
FI =580 kgf ~ F, (PI co m scntido oposto a F,)
• Pelo eixo L:
RA + RB = Fu ~ 360 kgf
Apl i c ando L MB =0,
R" X 4,60 = Ftj X 2,70
_ 360 X 2,70 _ ~ II k fRA - 4,6 -_ g
RB = 360 - 211 ~ 149 kgf
HA= 4tf
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Fu - Ortogonal ao eixo longitudinal
F t - F o rc a n o rm a l a s s et ;: Oe S ra n sv er sa ls d u v ig a
Diagrama
I I
I I
I I
" . " ' ' ' '' '' '' ' '' '' ' '' '' ' '' 5 8 ' '' 0 - - :
I I I
bA~ :I ~RIJ
I I I
I I I
II~P":
: I'CO :
~1'~
Mc=FlXI,90
Mc=2Ilxl,90
Me =480,9 kgfm
Exercicio 7
Trace: a diagrama de forcas e mementos na viga.
1ltt
411
'I,Om
98
VA=VB=8,5tf
MFz= PL = 17x4 = 341fm2 2
Diagrama
I' Ie I' ."I
& 1 : :
I I I
VA ~I., Ie Iz 1 0 , 5 1 1
C I I "8 , 5 1 ' 1 I' '0
I I I II I
'iF
Para entender que so ha esforco normal de A a te C, facamos
analogia com urna mola que e comprimida em parte do scu comprimento.
Note que somente a parte AC sc compri.me. A parte CB fica scm defer- Capitulo 12
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macso.
Intervalo diddtico
Ale este ponte do 1ivro nos determinamos nas vigas a vanacao serrao
por secao do seu momenta fletor, a forca cortante, 0 momenta torsor e a forca
normal. Nos capitulos seguinrcs determinaremos as consequencias desses es-
fo rces, o u so ja , a s ten so es d e co mpressa o, d e tr aca o e d e cisa lha men to .
1 0 0
Explicando a viga Gerber,uma viga de vao calibravel
12.1 Definicao
Suponha que tivessemos de veneer 0 vao AB com urn perfil metalic
queremos. como e rotina economica, usar 0 menor perfil metalico Va
estudar so as mementos fletores, A S011ly80que resultar com 0 menor mom
t o f1etor sera) par hipotese, a rnais econ6mica. .
Ternos, porem, urn complicudor, Om dos apoios da viga (B) ecoluna que pede recalcar, introduzindo a charnado "recalque diferencial",
e 0 caso de um ponto recalcar e outro nao. As estruturas hiperestaticas sao,
princ tpio, nao reccmendaveis para esses casos, pois recalques dlferenciais
vocam nessas estruturas significativos aumentos de teusoes.
Este e 0 v fio a v en ee r e su a s ca ra cte rf stica s.
Ad r nita mo s qu e podcmos, se quisermos, engastar 0 perfil no apoio APara ter outras opcocs de solucao, vamos introduzir como mais u
altemariva 0 usa da solucao Gerber (vlga Gerber, dente Gerber), que nada m
e do que criar urna articulacao em uma viga hiperestarica de urn trarno. tern
d o -a iso sta tica , V eja mo s como tazer isso.
Allerna/iva 3 - viga hiapoiada (ver pdgina 106)
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Na prerica, a criacao da articulacao em D faz com que tenhamos funcio-
nalmente duas vigas. a viga BD upoiaca em B e, no outro extreme, apciada na
viga AD, No apoio D niio se rransmite morrenro. s6 fcrca. 0 exernplo numeri-
co a seguir torna a expllcacao extrernamente clara,
Pronto! As condicoes do problema esrflo expostas e vamos cstudar as
solucoes, tendo agora como alternau va adicional a solu~ao Gerber. Tarnbern
para facili tar a resolucao, vamos apresentar na pagina 105 uma Tabela de vigas
hiperestdticas de lim s6 trumO,Analiscmos as quatro alternativas resol vidas e vejamos suas vantagens
e desvantagens.
Alternativa 1(ver ptiglna 106)
E tuna estrutnra hipercstatica, portanto rnuito sensfvel a recalques dife-
reuciais, 0 que constitui urna desvantagem.
A vantagern dessa solucao e a transferencia de pouca carga para 0 apoio
B (8.302 kgf), pols a maior parte da carga vai para 0 apoio A. Vcja a ptigina
scguinte.
Alternativa 2 - engastamento em A, sent apoio em B (ver pdgina 106)
E uma cstrurura isostatica. E a rnais radical das nlrernarivas. Nao usn 0
apoio B. por isso 0 memento fletor em A flcou enorme, acarretendo a necessi-
dade de usar lim perfil metalico muis caro. Alern disso, na extremidade cposta
a A (0 amigo apoio B) aconrecera uma enorrne flecha,
102
Construtivamente seria:
E urna estrutura isostatica , portanto rnais adaptavel (nfio sensivel)
recalques difercnciais Tern coma desvantugerr; 0 fato de transferir metade
carga para 0 pilar B.
AltemalivQ4-vigacomapoioGerber(verpdg;I1.a 106)
E uma cstrutura isostatica. Escolhernos arbitrariamente urn ponte
para criar 0 dente Gerber, que e uma articulacao. Logo, 0 trechc DB tnlnsfer
a viga AD, no ponto D, somente carga, 0 memento maximo ocorre no ap
A. e rnaior que os mornentos da alternativa 2 e alternativa 3, mas leva men
carga pam 0 apoio B. Conforme vanamos a posicao do ponto D, dim~mlil~~
memento fletor em A e a carga no apoio B. Sendo uma esuurura isostatic
suas tensoes nao se alteram para pequeoos recalques diferenciais, puis a est
tura se adapta ao recalque,
A alternariva 4 e intermediarin entre as nlternativas 1. 2 e 3 e pode
adotada como solucao final.
Nota:
E possfvel colocar 0 dentc Gerber onde quisermos Quanto mais para a dire
o pcsermcs rnenor sera a carga em B, em compcnsacao serri maier 0 momen
em A, e vice-versa. Podernos pois afumar que a usa da soiw;ao Gerber po
calibrar (alterar) 0 vac de uma viga conforrneo nosso interesse.
Veja: 12.1,1 Tabela de vigas hiperestancas de um s6 tramo
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hc/----k--
x "
Nola:
Em pontes e cornurn usar-sc urna viga Gerber no caso de alguns pilares pode-
r em s of re r recalques, diferentemente do restante da estrutura.
I. 1 B
1 1 - - ' /2~l - , . ( - - - ' , - +
% . " -- - 7
q = 2.700 kgf/m
x e n ab scissa d e m eme nto ma ximo .
PLMA=MB=-g
-3MMax=MA=16PL
5MM" (+) =32 PL x =0,447
PLMMax(C)=g
PRA=RB="2
Esta tabela e util para 0 estudo de UITh1. viga Geber.
:E o C apitu lo 1 3
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~ 0
iii" " Tens6es normais em vigas - a flexao normal;R s 1" ! D
~ I NM
c,
x ;; :20 ~l c" '
'0
+ x ~
l0 5 S II
: < !,2 -e - 0 ~ ~ IC 'I 0 Uma estrutura sofrendo flexao se deformara e nus suas secoes tra
" " " " x ~O f
~ <O f
sais e cru cada ponto das secoes sofrera:
" :< ;1 z
s ·ensoes (pressoes) normals de compressao:
S :: i ·ensoes (pressoes) ncrmais de tracao:= " ·tensoes (pressoes) tangenciais de cisalhamento (deslizamento).. . ,
~ l" o conceito corrente de pressao - forca dividida por area ~ refe~ ~ I 000
na Iinguugem COITIUIll, a siruacoes de compressno. Vamos aqui amplia-loe
~N
:c
~ , bern para situacoes de tracao e cisalbamento.
<co
" V eja rno s esta s d ua s vi g as:" S ' : c l J ~, ,~ i J N : : : o '"
- - - - - ~ ~'~
" " " " ": -ci
< - 2'"
:; :\ '
v I
v : : : I,r- §i A E
'"s
"" ~ I ' " [J~
" ' ; ; +: g xx 0
~ ~:c As tensoes de tracao, de cornpressao e de cisalhamento variam de
'" para secao e, em uma se\-,ao, de ponto a ponto.: ; ; : ci "" < ' ~ I M Para facilitar 0 entendimento 0 estudo sera dividido em tensoes no. . ; . 0 cr
" " "e tangenciais. Neste capitulo abordarernos as tensoes normais. No pro
-e -e
capitulo, as tensoes t angenc i a i s (de cisulhamento)."; ; ; ; :: 1
~~
I iiec :J
" "co
N OJ " 13.1 Tens6es normais.de compressao e tracao0';:
~ l ~1x
~ s ~- Partindo de urn coso simples de uma viga de secao ret-angular, vE
N' "x generalizar para outras secoes,! ' " ' ~ "'Ill(]
~ " " "~ -' ~~-0
~Ioo ~I~
" " " ".' t
-c i«
:: 1
13.1.1 Exercicios numericos Como tensoes de compressao e tracjio sfio rensaes opostns, elas dev
passar par urn ponto onde sc anulam. Tal ponto, local izado no cixo horizon
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Exercicio 1
Scja uma prancha de a~o de 10 x 30 em
apoiada sobre duas colunas e sujeita a uma
carga concentrada de 9,2 tf situada no melo
do vao. Por ser pequeno. 0 peso proprio da
viga sera desprezado,
RA = RB = 4, 6 If
F X L 9,2 X 4,8Mm"=-4-=--4--= 1I,04tfm
A na lisa n d o a d e f 'o r rn a ca o d a vig u
n u ma seca o , ve -se qu e a s pa r te s su pcr io re s d a
vig a so fre m IIm pro cesso d e en cu rtamen to
(compressac) e as partes inferiores, estira-
mento (trucionamenro).
Seja agora urna seciio transversal ao
eixo no ponto C. Nos pontos da borda supe-
rior da s~ao C acontecem as rnaximas ten-
sdes de compressao. que irao decair confor-
me nos aproximamos do eixo. Nesse eixo, as
tensdes de cornpressao deixarn de cxisr i r e
nos primeiros pontos abaixo do eixc COme-
cam a ocorrer tens6es de trat;:ao, que serao
maximas na borda inferior da secao.
108
G,
de srmctria, denomina-se linha neutra (LN).
Com base na hipotese de 0 material atender a lei de Hooke. a variade tensiio e l inear du linha ncutra para as bordas. No caso da secno retanguteremos:
__ momento de inercia
W - modulo resistente
Vamos calcular as tensoes 0" na secao em C da viga, que e 0 pc
medic o nd e o co rre rnaior m em en to f te to r:
Me = 11,04fm = 1.104.000gfcm
b X h3 10X 303J ="'l2=-1-2- = 22.500 em"
T en so es m ax im a s:
a ~ distancia ate a linha ncutru
Logo,
A s te nsd e s em qu a lqu e r po n to n a s re ta s pa ssan d o po r M , N , K , P eN sao : Vamos. agora refazer os crilculos e admitir que a vign antes de pe
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aM ~ 49 x a ~ 49 x 15 ~ 735 kgf/cm'
( compres s ao )
aK ~ 49 x a ~ 49 x 1.2~ 58 8 kgf/cm'
( compres s ao )
o z ~ 0 ( ne m t ra ~ 1i o n em c om pr es sn o )
ap ~ 49 x a ~ 49 x 10~ 490 kgf/cm? (1r"9'0)
aN ~ 49 x a ~ 49 x 15 = 735 kgf/cm2 (rracao)
Como sao as tcnsocs numa secao no ponto D distante 1,8 m de A?
oo = 735 kgf/c rn
1 1'5
Coror essao
15
Tr.a~1io
a~ = 735 kgf/cm
Mo =828.UUQ kg~cm
M f f iN 2
3,5
,
\
\
lE ix o d o m em en to n et or
Basta calcular inicialrnente MD.
MD =RAx 1,80 = 4,6 x 1,80 = 8,28 tfm = 828.000 kgfcm
A s ten s5 es m axim as sa o:
< J = a = M x!o ~ 828.000 x ~ ~ 552 kgf/cm2. c , .1 2 10X 30] 2
12
Para determiner as tens6es em varies pontes do eixo de tensao,
M 828.000< J, = cr , = T x a = 225,500 X" = 36,8 a
. Ponto 1 (compressao)
cr c (1) = 36,8 x 2 = 73,6 kgflcm2
c r , ( 2 ) = 36,8 x 3,5 ~ 128,8 kgf/cm?
110
dimensao na vertical) esteju agora deitada. Em situacces normals os p
preveern que as vigas fiquern de pc, mas podem acontecer situacoes em
utilizem vigas d ei ta da s. C alcu le rn os a s te nso es pa ra uma s evao em C.
M h M h 1.104,000 10cr" ," , = oc= cr t =TX '2= hh' x 2~ 30 X 101 xT =2,208 kgf/cm
Percebe-se que com a viga de p e as tensocs sfic menores do queestivesse deitada. Nessa siruacac, pode ate acontecer de ela romper.
Exercicio 2
Ca lcu lc a s te n so e s no rma is n o s po n te s Z e K d e um a pra ncha d e
ra tipo percba e verifique se esse material pode ser uceito.
'0
---'~--'I
I r: ;·)- ?;~_~:U. :. T
RA= RG= 420; 6,3 = 1323 kgf J = bh3= 20 x 40' = 106 666
12 12 '
Para calcular MK e Mz,
12MK= 1.323 x 1,2-1,2X420X2'= 1.285kgfm
pxL2 420x6,32Mz= -8- (pontemedic)~ -. -8--= 2.083kgfm
M h 208.300 40x x
P a ra c alc u la r 0 m em en to f le to r,
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cr ,=o '=T 2= I06666
0, = 0, =39 kgf/cm2
M~~20
oLN 2
N ~ - 3,5
1 1
·Q ccmoresesc
Se~8oemK
20 T r R o ; a o
-q
Exerdcio 3
Analise a tensac maxima em um poste de concreto simples encravado
na base e sofrendo no seu topo uma forca de 1.300 kgf.
O"Limitc = 15 kgf/cm", na tra\ao e co rn p r es sao
112
1 ,3 0 0 k g t o maior memento fletor sera em
vale MA = F x L = 1.300 x 4
611.000 kgfcm.
o calculo da tensao maxima sera no ponto A.
{'ic=('it=MxYJ z
J= 1t (D' - d4) = 3,14 x (41)4 - 3(f)
64 64
611.000 40 142 0
0, = C f, = 85.859 XT = kgf/cm-
I M,
(L"\
A ( y ) A 2+--->
T3';!lo I Com,PfIlS;;~Q
s e c a o
85,859 e rn"
AfenreJv : Essa esrrutnra e inaceitavel, pois Oli nti re "" 15 < 142 kgf/cm
s o lu l la o e aurnentar 0 D ,
Exercicio 4 Do ponto T ao ponte K. 0 memento flctor e negative, 0 que sign
que as flbras superiores da viga sao tracionudas e as fibrus inferiores
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Uma viga de se"93ocircular d = 40 em sera usada como estrutura de
uma viga. Analise as ccnsequencias em varies pontes da viga.
9.100 kgf/m
!!W!It!!U)j)Uj~_100 kgltm
I jW !j jjjjjjjjjj jj
I @ j A
J 0,8,r
I f f i B
k 0,6 J ; 0,5 1 6,60 ; 0,6'~ t ' , ' O / J ' J O l f
6,60
RA + Ro = 8, I IX) X (6,60 + 1,60) = 6 6 .4 20 k g !'
RA = RB (simetria) = 33,210 kgf
DiagramaMF
MT=O
08MA = 8.100x 0,8 x - - z = 2.592 kgfmI'
I I
I I. (3,30+ 0,80): : I Me = - 8,100(3,30+0,80)x 2 +
i 1 ' ' - - ; ; -O ; ; - 8 + - - - ; : ' ' ' ; ; ; ' ' : - - ' i ' ' ' ' i 33,210x 3,30
I I I Mc=41Sl3kgfm
omaior momento fletor na viga e ]v[c= 41.513 kgfrn.
Mo = MA, Mz= MT
Calculemos as tensoes ponro a ponto. Como a ses :ao e circular
(d = 40 em), a linha elastica deformada e
114
eoroprimidas. 0 mesn-e acontece com. 0 rrecho YZ. No trecho KY, as
superiores sao cornprimidas e as inferiores, tracionadas.
As tensoes sao:
w = "D3 = 3,14x 4()3 = 6,28032 32
M 2S9.200kgfcm 41? k f /cm2OA =\\1 6,280 ,- g
=_M_ = 4.151300 kgfcm = 661 k"f /em2OA 6.280 6280 b
Vamos deterrninar a coordenada do ponte K (0 ponte Y e sirnetronde M=O,
r !tHllt1JtLt
r ! i @ A f~'" Og05m
X
MK = 0 =-K 100 X x X 2 " + 33.210 x-a,S) = 0
- 4,050x2 + 33,21Ox -26.568 ~ 0
Dividindo-se por - 4,050,
x2 - 8,2x +6~6 = 0
- b ± . . J b 2 = " 4 a C 8,2 ± Y 8,22 - 4 X 6,6
2a 2+ 8,2 - 6.39 0,905m
2
Logo, o e.G . da flgura cornplexa (somadas as duos figures parciais) e
10em do topo.
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E x er cic io 5
Ternes que veneer uma flexiio causada pur trcs cargas P , cada uma
valendo 4 ,2 tf, igualmente espacadas a I,7 m. 0 m ate ria l da v i ga resiste rnelhor
a t ras :aa que a comprossiio. Para ccnstruir a viga temos duas pecas de s~ao
retangular d es se m ate ria l, qu e deverao se c Iigadas f ormando uma pcca unica.
Identifique qual a melhor disposicao das duas pecas e qual a tcnsao resultante.
~j:§S=16o-cm2
+--,;-+
s = ~B O cm2'
RT=Rz= 3 X24,2=6,3 If
Par simetria Mm.,(C) = 6,3 x 3,4 - 4,2 x 1,7 = 14,28 kgfcm
Como dispor as duns pecas?
Sabemos que 0material resiste melhor a tracao, Segura mente, 0 centro
de gravidade da f igura ficani na linha de simetria, entre (JA e ca. ,e mais
proximo de <JA que 06 devido a maior area de OA.
Com essa ideia, vamos construir a peca d a segui nt e f orma :
S,. , 480
s= 160
116
Para calcular 0 J da se95 .o ,
" 0 t -40
1 Q ' -r -
e t ~L - ~ - r ~ _ 1 _ X l _C,G.-
3 '0 j
Go
I 0
,,
+ a + -OJ da figura complex a pode assim scr calculado:
J = JA + SA x a2A + Js + SB x a2B
J = bill = 40 x 123= 5 760 ern"
A" 12 12 .
bh 3 8 x201 4IB" = 12 = -1-2 - = 5.333 em
J, = 5.760 + 40x 12 X 42+ 5,33 + 20x 8 X 122
J, =41.813 em"
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Mo=Txy
Oz =¥ x z = I :~ .~ ~ x 10 =3 4 1 k g f i' cl 112 (c ompressao )
02 = Iv !X r t= 1.428.000 x 22= 75) kof/em" (tracao)J 41.813 c .
A ccrnposicao feita com as figuras A e B fez com que O 'l > 0 ' ; : ; : , e isso
atende ao p robl ema .
Exercicio 6
Uma viga [ de 3" padrao americano esta sustentada sircplesmente em
tim vao de 9,3 m e sujcita a uma carga de 19.000 kgfhn. Verifique as tensoes
em quatro pontes.
R _£l,. 19.00Dx9,30 88.350A- 2 - 2
RB = 88350 kg f
1I8
MR = 88.350 x 1,3 - 1,3 x 19.0()0 X I:} = 98.800 kgfm
Mc= r l Z 19.0( lOx 9,32
. 8 8 205410 kgfm (max)
Ms = 88.350 x 8,7 - 8,7 x J 9.000 x 82 7 = 49590 kgfm
Consultando 0catalogo d o fo me ce do r d e m ater ia l,
A .s ten so es n uixim as n os po nte s sao:
OA= OB = 0
<J = Iv !w
<J , = <J , = 9~.~~ = 395 kgf/emZ
= 205.410 = 821 k fl 2cr , 250 g em
<J s = 49.500 = 195 k"'fcm225 0 !;'
13.2 Vigas compostas sofrendo flexao - casos a considcrar
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Sejam duas pranchas que va o sofrer flexile nos varies casas possivcis.
.e :== ::!: := ==llt ~ Coso 2
f T
I ! i I i I 1 - , , > , .I l i ! i J +M Caso 3
Temos dois casas a considerar, admitindo que arnbas as pranchas sejam
do rnesrno material e possuam a rnesrna altura h.
Caso I - As duas vigas sao simplesrnente jusrupostas.
Caso 2 - As duas vigas estrio solidarizadas por cola , pregos ou rebites.
Veja como trabalham esras estruturas:
{ n
~~=t="J----L---i
CaSOt-o
(d i i J ; = :
~ : : : :: : : : : : : : : : : = = . ! l ~ ~ll--~L---
ceo t - »
No Caso loa. as duas vigas trabalharn independentemente lima da ourru
e deslizam urna sabre n outra. Podemos calcular seus esforcos e de fo rmacoes
confo rme 0 d i a g r ama :
No Caso l-b, dcvido a solidariedade entre ambas, as duas pranchas n a odeslizam uma sobre a Dutra, funcionando como se fossern uma vign de altura
2h. As tens5es e deforrnacoes da viga no Coso l-b scruo menores do que-as
qu e o co rre rn n o Caso l-a.
Vamos a exemplos nurnericos para fixar conceitos,
120
F L FLMFn""'~2·2~4
F~6()()kgf
L~3,2 m
b~ 20em
h~40cm
13.3 Exemplos numericos
Coso l-a: pranchas soltus
Defonnacao:
A t IJ
C------'.I"E{ \F
G '- -~,- - -- - -
i "r
Devido a flexao,
AB<CD
AB~EF
EF<GH
Tudo se passa como rncstrado a seguir.
2f= 600 = 125kgf2 4
Caso 2-a: pranchas de mcsmo material e alturas diferentes
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rp , G
C~O
MMA= 600 x 3,2 =240 kgfm =24.000 kgfcm4x2
W= bxh2 = 20 x 402= 5.333 CIll'
" 6 6
i/1 o=M. = 24.000 = 45 kgf/cm?W 5.333 '
Caso lob: pranchas pregadas
Deformaoio:
AB<CD
CD=EF
EF<GH
Neste caso,
M",,, =300 x 3:} =480 kgfm = 48.000 kgfcm
w= b X (2h2) = 20 x (SO)' =21.333 em'
6 6
cr=M. = 48.000 =2 25 kaf/em;W 21.333 . b
122
Sejam duas prnnchas de meamo material (peroba-rosa) e altura
re nte s, m as na o solidarizadas, Quante vai de cargu para cada prartcha?
r N
__ j ._
l = + = ~l 'F/2
Utilizu-se como enteric a d iv i sno peJa deforrnabilidade de cada
cha, e isso seria pelo sell J . Logo , a divisao d e F sera :
P,+P;=P
h = bn'- 12
PIP = P, + P2 = 1.780 = Pj + 0,42
P, = 502
P; = p - P, = usa - 502 = 1.152 kgf
Caso 2-b: pranchas de materia is diferentes e alturas diferentes
(sem ligaciio entre eles)
Seja a meSTlJO problema, agora generalizado para duas prancha
a lt ur as d iferentes e modules de elasticidade diferentes .
fA ~ r 13.4 Resumindo
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£ = : ~i=~==i $ :l ' Fj' l 'FJ , B J
b
LIZ l/2
1.Material com modulo de eiasticidade E J
2. Maurinl com modulo de elasticidade E2
A drvisilo de forgo P para cada prancha deve ser feita pelo criteria de
deformabilidade. 0 fndice para medir essa deformabilidade charna-se m6dulo
de deformabilidade, calculado pelo produto E X J. Assim, neste caso, ternos
dois modules: E, X I, e E2Xh
f l ._hXEIP2 - J2 X E2
Essa formula tarnbem pede ser usada no case a seguir.
124
F le xi io n o rm a l
Numa s e - r a o qua lque r OA 7;. OB·
Se a seca o fo r retangular,
·A
8 - - - - - \0 "
M M
~""" '=w= bh 2
6
Para se~ao r e t angu la r .
Para s e . c ; a o circular,M
Omax = red)
32
13.5 Reconheca as estruturas do dia-a-dia )Capitu1614
A flexao obliqua nas vigas
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o habito de projetar estrururas convencionais pode levar 0iniciante no
cstudo das estruturas a considerur lei procurar sempre obter nas estruturas as
I~Cni~lastens~es e as minimas deformacoes. Ha cases, entrctanto, em que isso
nao e 0 desejado. Ao estruturar vigas de se~ao retangu lar, norrnnlmente as
coloca~?s ~e pe, ou scj~. com a maior dimensao da se~fio na vertical e, por
consequencm. a menor d i r nensao na horizontal, Isso gerara as menores tensoes
e as menores dcforrnacoes, levando a lima maximjza~aodo usa do materia].
Se, 110 entanto, formos prcjetar 11m trampolim flexfvej, desejamos urna estrutu,
ra de maxima flexibilidade para poder, sem maiores esforcos, acumular ener-gia. Neste caso, a viga sera colocada deitada. Igualrnente isso ocorre se formes
usar vigas nos esrrados das camas, on de se deseja tambem 0 maximo da
Ilexibilidade, au seja, a rnaior deforrnabilidace.
Seja estc tipo de cadeirn:
~ P . , . , pare ,,,.,~ ce encosic
'~
Note que a viga AB e colocada na posicao de maior deformabilidadepara gerar maier conforto.
. . A viga CD t apolo do assento) e colocada na posiciio de menor dcforma-bilidade e de maier resisrencia .
126
14.1 Viga com eixos de simetria
Seja a forca F que esta aplicuda no ponte Z da peca horizontal eng
da numa parede. A forca F cnusara uma flexao em urn plano que nno courn dos eixos de sirnetria da viga, Esse tipo de flexfio e charnado de fl
obliqua
f~/m
'D I T t _ _ }c "
Pelo principia da superposicao. a flexao obliqun pede se decompor
duas llexoes normals. Veja:
+--+eo
-1--1-2D
-1--120
-1-20
-J-.+" - ' " 0
Isso signifies que podernos calcular os esforcos na viga sornando:
• Efeito de urn memento fletor Pm, contido no plano que passe per y;
• Efeito de urn rnomento fletor Fn, contido no plano que passa por x:
• Efeito de uma forca F considerada ceutrada.
14.1.1 Exemplo de calculo de flexao obliqua Situa,ao I
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Seja a coluna de seczo rctangular (pode-se desprezar a flambagem) corn
u rna carga F que deslocarernos nonuulmente a ses;ao transversal da peca,
Para ficar bern claro 0 estudo de flexao oblfqua em secao COm eixo de
simetna, admitimos que a fcrca F esteja atuando:
• Caso a - Fora do centro mas em tim eixo de simctria
• Caso b - Fora des dois eixos de simetria
f~-'C D
-l- ----l-40
Pcsicces do forca F:
a) Compressi ia l!f lcxi lo normal
ResoluFl0 a)
IF
M <Rx n
Vamos detcrminar O 'A , ou. oc. o».
Somente para comparacao, considere-
mos duas situacoes:
• Suuacdo J : forca centrada
• Situapio 2' forca excentrica
128
r=540 u
b) Cnmpress iia ef texao obttoua
Diegrarna de tensoes
<J = I " ' = ~ = 0 45 r!icmS 30x40 '
<JA = <JB = <JC = < JD = 450 kgf/cm2
Suuaaio 2
F M<Jo=<Jo= "S+W
F M<JA=(JC="S-W
bh" 30x 402
WG=--6- = 8.000 ern'
M = F x n = 540.000 X 10- 5.400.000 kgcm = 5.400 tfcm
(JH=(JD_~+5.400= IIItI'/cm130x 40 8.000 '
540 5.400 2 (I 0 -
<J . = < JD = 30x 40 - 8.000 = -0, tr em-(trac;ao!!f'!!)
Note que ocorreu L ra~ao_Isso se ceve ao fato de ser grande a exccn
dade n. Se fosse 0 caso (mas nao c) de nao se desejar tracao. pcderi
calcular a maxima excentricidada n pela formula:
l<Jc=f-~=ol
~_540xJ1=O
30 x40 8.000
n = 8.000 -67 er n30 X 40 '
Resoluciio h)
Assim como em a), somamos tensoes provcnientes de compressao
tcnsoes de tracao, dividirernos 0 memento fletor obliquo em dais mem
normals projetados nos eixos x e y.
Scja a ponto Z onde esta aplicada a forca F.
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{~'sf D
+----l-'0
M~ M, +Ivly
r, _ l r B r J ; 1 "3·W+,"&
CDC u
+----l-
• •11 ~ 10, m ~ 3
-f--------+40
F ~ 5 4011"
Assirn, a tensao no ponte A s e r a :
frrz=S+ IJl\1x + aMy
o calculo de O"mx e 0 " 1 1 : > scguira a metodologia utilizada no caso a)
(flexao normal) > com dais mementos fletores.
14.1.2 ExempJo numerico de viga com eixos de simetria
M, ~ F x n ~ 54 0 x 10 = 5.400 tfem
My ~ F x m = 540 x 3 = 1.620 tfem
Ca lcu le rn os V Vn a s d ir ec oe s x e y.
w, ~ 30 ~ 41)2= 8.000 cm3
w~ bh2
6
W y = JO x ~ O" Up2 . 6 .00 0 em '
Analisar-do cada lim dos pontos A, B, C e D. ternos:
F Mv M, 540 1.620 5.400
OA=S+Wy -W, =30x40+6.000-S.000
o =E+~+ M., =~+ [,620 _ 5.400B S W) Wx 30 x 40 6.()()() 8.000
oc=I_~_ M, =~+ 1.620 _ 5.400
S Wy W, 30 x 40 6.000 8.000
130
O" A = 0 ,045 tf/cm-
Oc = 0,495 tf/cm'
o problema e s t a resolvido
O" B = 1,395tJkln'
00= 0,855 tf/crn?
14.2 Flexao obliqua em vigas sem eixos de simetria
Em 14.1 estudamos a flexao oblfqua no C3S0 de a secao transvers
viga possuir dois eixos de simetria Neste casa, estndarernos a flexao o
em vigas sem eixos de simctria.
Sejam as ~e~ae.sde vigas como a seguir.
ta n u rn B ix u d e s ime tr ii -J
S so ;a o L d e aces des igva fs
nao tem e ixo de s imeu ia
Podemos definir; para qualquer secao, 0 conceito de eixos principa
inercia (BPI). Sao cixos ortogonais entre si, que passarn pelo centro de
dade de lima area. Para esses eixos sao rr axirnos e minimos as mement
mercia da secao, Para se.~5esque tcnham eixos de sirnetria, 0eixo de sir
e u rn d o s e ixo s prin cipa is d e in e rcia , No ca so d e pe rf is me ta lico s. a s fa br
te s ja fomecem pam o s u su a no s a po sica o d es e ixo s principa ls d e m
Seja, par exe rnp lo . 0 perfil cantoneira (perfil L) de abas dcsiguais.
Ca mon e ira s d e a ba s d esig u a is - padriio amer ica
)
Elementos para projet.o
Obscrvarao: Cudu perfi l e indicndo pelus dimcesocs no
14.2,1Exemplo de f l exao oblique em vigas sern eixo de simetri
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'"uz
F o nt e: S ch ie l. /nrrodu-;6o.a r""i,~'II~lIcwdos maten(l1.'i.
Tomemos como exernplo urn perfil L (cantoneira), de 6"x4"x3/8",
Os eixcs x e y sao eixos passando pelo centro de gravidadc c parnlelos
as arestas da se~ao. Os eixcs 1-1 e 2-2 sao eixos principais de iccrcia. Note
que:
J, + Jy = 562 +204 = I, +J z = 649 + 117=766 em'
J, > Jy
h<Jy
Note que em qualqucr perfil :
r :1 e -, + - ,= - I ,= - J = -, + - - :J :- 2 1
J 1 - eixo do malor ] da figura passando pelo centro de gravidade
Ja - eixo do menor J da figura passando pelo centro de gravidade
tg C( - a inclinacfio do eixo 2 COm 0 CLXO x, no caso tg a "" 0,446
Uulizando-se a conceito dos eixos principals de inerciu podemos resol-
ver cases de flexilo obliqua para as secoes sem cixo de sirnetria ou pam secoes
com eixos de sirnetria cujo plano do momento n50 passe por eles. Assirn, 0
rnetodo apresentado a scguir e a mais geral deles.
132
Seja urn memento fleror cujo valor e de 190 kgfm (19.000 kgtc
iltuanda sobre urn perfil de 090 de abas desiguais de 4x3x5/16". Sabe-se q
, lane do memento fletor coincide com a dire¥ao Y paralela as nbas e passap .pelo centro de gravidade.
Vamos deterrninar as tensdes de ( r a e r n O e cornpressao maximas
ocorrem na pe~a.Vejam-se a se-rao transversal e a perspectiva da pe~a em trabalho.
\ Z l,
,' .g a=0,554
0.=29°
), = 176 c ru"
Ja = 37 e rn "
)10131 = 213 em"
Notes:
1. A par t i r do catalogo do fornecedor - que usa medidas americanas
identificar scu produto - podcrnos saber que 0 perfil de " ' ;0 4x3x5
tern seo:;ao transversal com area de '13,5 cm-, 0 peso por metro e de H
kgf/m, fcrnecendo ainda as medidas x e y da posicao do centro de grav
de e 0 valor tg a =0,554.0 Sngulo entre 0 eixo 2 eo eixo Y e , pois, deOs eixos x e y sao eixos o r t ogona i s as direcccs dns a b a s e passam
centro de gravidade da se~ao transversal.
2. 0 catalogo tambern inforrna os valores dos mementos de iner~ia er~l
~ao aos eixos x eye des eixos I e 2, que siio os eixos principals de lO
da set;uo ( ur n m ax im o e Du t r o minimo).
3. Com as dados do forneccdor fazernos 0 desenho a seguir, que sen! a
do nossa rrabalho de calculo da flexao obliqua.
4 Como 0 memento fletor esta colncidenre COm0 eixo y e tern urna inclirra,cao de 2~Y>em Tcl:J~lio.80eixo 2, podernos culcular .0 ungula formado pcla
Iinha neutru e a di re~ao 1.
NOfOSadicionais:1. Pam mais infonuacoes sabre 0 assuuro, consultar a "Curso de Resis
dos Materials". do Prof. Evaristc Valladares Costa e sell volume de e
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Jl 176 176tgp =1;" tgO:=T7 rg 29° =T7x 0,554= 2,6 => p= 69°
5. Conhecido 0 fingulo ~ e como a LN scmpre passa pelo centro de gravidade,
podemos tracar a LN . Para definir 0 tracado da LN, a colocacao do angu lo
segue a rcgra: "Como o memento flercr esta no seruido anri-horario em
relacao ao eixo 2, 0 mesmo acontece com a LN em rclacac ao eixo I".
V c _ j a :
Note que na flexao oblfqua (que e a casu mais gcral cia flexao normal) a
LN nao e obrigatoriamente perpendicular a d.recbo do rnomento flctor.6. Para conhecer os pontes onde deverao acontecer as mriximas tensoes de
traciin e compressao, vamos, por paralelismo grafico. determinar os pontesmais afustados da LN, S50 eles:
Ponto A, distflncia a = 3,5 em Ponto B, distancin b =4,0 em
7. Calculernos agora 0 memento de inercia da secao em reJal(ao a LN e que
vale:
hN = J rco,2 ~ +h sen' ~ ~ 176 co,, 69" + 37 sen- 69° =~ 176(0,358)2 + 37(0, 119)' ~ 54,S
leN = 54,5 em"
A s t en so es e.111 A c B va le ra o:
(J, = -Mco s (~ - 0: ) x a
. hN-19.000 cos (72" - 29°) x 3,5
54,5- 892 kgflcm'
+M c os (~ - 0:) X b +19.000 Co", (43°) x 4,0
hN 54,S1.019 kgflcl11'
134
cios.
2. Note que as tensoes resultantes do exercfcio estao ubaixo da tensjio a
stvcl do ac;o,que e de L400 kgf/cm-.3. Note que, nos cauilogos dos fubricantes de perfis, as rnedidas lineare
pe rfis sa o dadas COm p rc ci sa o de decimo OU centesimo de milfmet
a rea s com precisa o d e cen r ime rro s e 0 peso Linear S[tO expresses par
As razoes do usa de diferentes uuidades esta ligada a necessidadc d
construcces mecflnicas, as medidas lineares serem aprescnradas com
sao, 0 que nao ocorre com os dados de area e 0 peso linear,
4. As medidas de de fmi t ; ao do perfi l estao em unidade americana porq
fribricas brasileiras de perfis forarn construfdas sob ariel1t~1~noda tec
g i a am e ri ca n a .
5. Como 0 plano do memento fletor esta passando pelo centro de gravid
essa se950 n i io rem eixo d e sime tr ia , have ra to rca o e isso d evcra ser l
em conta no dimensicnnmcnto (vejn Capitulo IS).
C D
"
~I
yl
\7,9+
m P 0 1 i 1 . e uaclcnece d o p e rf il
~ P arte compnnsoa dG,l::elril
Capitulo 15
Tens6es tangenciais (cisalhamento) em vigas
A f6rrnula que cotrelaciona 0valor du forca cortante em uma sc<;a
ten8ao em urn ponte dessa se~50 e:
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. 1;1vimo s qu e OCQ ITem nas seco es de estrucuras que sofrern flexao ten-
SDeS de compressao e de trncao, variando de ponto a ponto de cada secao
Essas tens6es sa o maximas nus bordas c nulas na metade cia SC9ao.
Nessa estrurura que sofre flcxao ocorrern teusoes de cisalhamento, se-
C;50por 8e~50,* e os seus valores dependern da se~ao e de cada ponte ncssn
se~ao. Ta is tensoes var ia rn inversamente as de compressao e tn:u;ao. Quanto ;lS
tensbes de cisalhamento (tangenciais) sao maxirnas no centro da secfio e nulas
nas bordas da s~i.io.
r-- -,[.- _.--'\
r - - - f / r' l ~B
S8~aoQualquer
D ia gr cu na d e. t e. ns oe s
de cisalhamema
.. . As tcnsces de cisalhamcnto em vig as si lo chrunndas de rcnszes de cisalhamemc na Ilexao
para serer» difercnciadas das tensoes de cisalhamentc puro, como as tcnsocs de cisnlhamcnto
nos rcbites.
136
b ~O- -0 _o~
(YOM",
i 5~o
-s«.£oD
Q - forca cortante na se~ao
Ms - memento estatico da area
acirna de XI
b - la r g u ra d a ,o l'a o em x r
J - memento de mercia da se~a
Para a secao retangular,
~~
~p=Q(!t_ y ' JJ 4
Ms - memento estatico da parte hachumds
t - tensao de cisalhamento
Q - forca cortanrc na secfio
h - altura da se<;ao
b - Iargura d o se ,a o
Para as vigas de tipo I, a calcuio das t ,ensoe-s de cisalbamento pode tirarpartido da simplificacao.
d
l:Fv~() RA +R" ~420
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r I : D ' - -y ~ 0 = > tA ~ tB ~ 0
},_ll ,t _Q-_Q_-2" mnx-S-d·h
Ou seja, na prarica, 0 calculo e felto usando-se a area da parte hachura-
da da viga (alma), desprezaudo-se a contribuiciic das abas.
Nota:
S6 hi tensoes de cisalhamcnto nas s~6l:os orde ocorre forca cortante. Na v iga
a seg u ir n a o ha fo rca co rta n te 110 creche 1 vIN , p o rt a n t. o nne h. 1 tensces d e:
cisalhameuto
15,1 Exercicios numericos
Exercicio 1
F
U _ c _ _ u11
!illr0=0
Diagrama de Q
Ca lcu le a ren sa o d e cisa lhamen ro na vig a d e se cao rcrangular a seguir
na :sel ;ao Z e no ponto K
' 2 0 t f J----_!_ - : : : - - r r fl 1 . 1 ,
'-1'-
' ~ r-1''---------+-
138
~f
I f f i = rI
l:M~O l: Me ~ R" x 5 _ 420 x 2 ~ 0
R" ~ 168 kgf
RB ~252kgr
o valor de forca cortanre na se,ao Z e de 252 kgf,Conhec.da a forca ccrtanre na seclto, calcule a tensao de cisalha
I 'mpon te K dessa sc'tao.
A formula geral
e t = £Msi (P"'" a secno rerangular).
T K ~ % ( ~ _ y 2 )Q ~ 252 kg!' b ~ 30 em h ~ 50 em y ~ 15 em
J ~ ~~ ~ 3 ° 7 2 50 1 ~312.500cm4
252 (502
_ 1 5 2 J ~ 0 16k~f/cm22x312.500 4 ' ~
Exercicio 2
Estamos usando 0 perfil pma verificar a flexao, Calcule a m
tensao de cisalhamento e compare-a com a tenSao adrmssfvel
1,Ci li/ril
,II
lUUIUWWA t- C 1 , QI- V'O) LN
L='l,HO
10"_ 37,8 kgflm
d = 12,5 mm h = 254 mm
o m aie r m em en to flcto r 6 n o me io d o va o e seu va lo r 6:
Me= 1!£.= 1,9x4,82
= 14tfm
Nota:A subsnturcjio do funcionamenro de toda 11 :-;e~aodo pe-rfil pelo funcionar
exclu sive cia a lm a se c ia em vir tu de d e qu e n o e stu do d o cisa lham en to in te
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8 8 -,
£! 1,9x4,8 6Q= 2 =--2-=4,5 tf+4.560kgf(nosapoios)
1;=* ' onde de a espessura d. alma do perfil.
Ao usar essa f o rmu l a , estamos admitindo que 56 a alma do perfil res-
ponders como st:~ao resistente DO c i sa lhamen t o .
Intcrpreremos:
'tA "" 0 - a ten sa o d e cisa lham en to e n ula n as b ord as.
'tR = = 0 - a tensao de cisalhamcnto V'.1i crescendo de A para B e as tens5es
no trecho Sa o baixas, pois ha bastantc area (area de aba) para resistir,
"1:z - Ha urn aurncnto de tcnsao, pois diminui a area a resistir e, '
a partir d a r . a a r e a da alma e que resiste.- No eixo de simerria occrre a maior ten sa o de cisalharnenro.
Se estiverrnos usance perfil I = L a" - 37,8, a alma se-a:
S=h d=25,4·1,25=]1,7cm'
Lo g o , a tcn sa o d e cisa lham en to m a xim a se ra d e :
~ = Q = 4.560 = 143 6 kgf/crn?S 31,7 '
Como a tensao ndr- t issivel de cisalhamento do ace e 900 k g C I < . ;m 2, COIl-
clui-se que a pe'9a e adequada.
140
saber somenre 0 valor maximo du tensao, isto e, urua relacfio de forcn e
Como as tensoes maiores acontecern proximas da LN, as areas dela dis
pouco in flu cn cia m; po rta nto , a s areas q u e ; i n t cr c ss am sao a s p ro xi rn a s d
Com esse raciocfnio, podcmos considerar area resistenre urucarnente a a
alma.
Intervalo didatico
Neste ca pitu lo e sru dam os a s ten so es ta ng e ncia is e n o ca pitu lo a n
a s te ns oe s nor rnais d e t rw; :ao e co rn pre ssa o. Q ua nd o varnos d im en sio na
ve r i f ica r e st ru tu r a s pa ra qu e r e sisr am a o s e sfo rco s d evemo s no s ce r t i f ic
qu e e la s i r a o:
• r esise ir i ls te nsce s de cc .up r e ssao ;
• resistir as tensoes de t r ac ao :
• resistir a s tensoes de cisalhamento.
o exernplo a seguir consolida as t - e s criterios.
A na lise se a pr a n cha d e u m ma te r ia l com a s r e siste u cia s a se g u i r
. a s t re s e xi ge nci as.
O J '!,,!
a c = a t : : : 1]0 kgf/cm2S = 35 x 12= 420 em' L = 2,10 m
'I= 10 kgf/cm'
M - , . PL 4.600 x 2,1 ?415kgf 2415kom en ro t lct or m ax u uo =4=--4-- "".... em = , g
FQ.m~= " 2 = 2.300 kgf
( , . ) M 241.550 98 - k 1 " 1 'ere = c. maximo = w = = 2.450 = ,~'g ern-
1:= 3Q= 3 x 2.300 8,2 kgf/cm'
2S 2x 12x35
Quadro comparative
rcnsses que ocorrerno teusdes admissiveis
15.3 Reconhecendo as estruturas do dia-a-dia
Coloque dois livros afastados uns vintc centfmerros e rente usar
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(k,r/om') (kgf/cm2)
liD
0', = 98,5 110
10
Conclusiio: E adequada para lISO.
15.2 Picha-resume do cisalharnento na flexao
15.2.1 Formulas para cada secao
rho
' E L I ~ . . 1 , - ~ t % 1
(Jy( r - 1 " [ 1 1 5rIp ~ [E~
Formula ;~?~es J e c a n a l
J ~ ~ J i I r I Formula Gem/
14 2
soltas de papc! funcionanrlo como vigas (lajes),
Vo ce n a o ccn scg u ir a . A D tentar, essas fo lhas escorregam uma s em
'tao as outras (cisalham-se) e a estrutura desmorcna
Agora grumpeie as folhas COm varies grcmpos. Voce veni que a
estrutura (com Lima coesao intema criada pelos grampos ligando as f
conscguc. de alguma forma, trabalhnr como viga (laje).
Nas vigas de concreto armado os estribos funcionam como os gra
o grampearncnto subsrituiu ulna coesao interna dcsse material. Quando
mas u rn a pra n cha d e a co pa ra vig a o u la jc e a co e sa o in te rn a d o a co q
solidariedade a s iamelas que constituem as estruturas.
Fclhas sottas Folhas g rampeadiOS
Noia:
Quando 0 plano do memento fletor atua segundo um eixo de sirnetriu da
de urnu vigil, s6 acontece f l e x . . a o na viga. Enrreranto, se esse plano nao co
u rn e ixo d e si rn etr ia hu vcrr i to rtj:D o alen t d e flexa o. A (m ica m au ei ra d e irn
isso e Iazcr passar 0 plano do memento per um ponte charnado centr
lon;iio. Vejamos disposicoes de vigas eo ponte 0 (centro de t o r c ao ) .
C ap itulo 1 6
Como as vigas se deformam - linhas elasticas
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13ax
- ~ ~ - - - G - . , /l h
j
Se nfio for possfvel passar 0 rnomemo Hetor pelo centro de torcao, entao no
,dimensl0namento d a viga devem-sc levar em contaa flexile e a torciio, Haven-
do as dais esforcos, a distribuicao linear de t ate agora adrnitida ao longo da
se~5.oniin sera mar s verdadeirn.
Se ,qll iscrmos usa~-o"ye,rfi l U e para na o termos to r ca o - que diminui signifi-
~ahvamente a resrstenc.a da peca -, e necessaria fazer lima construcao auxi-li a r d e a ba x.
Ve ja :
JCom cssa cons t rw ; : a o 0 P1OlIiO do momento fletor passani pclo centro de tor9ao .
Desse modo, havera somcme flexjlo sern tor~5.o. Para determinar a posicao do
ponto 0 , centro de tOf'9a o ~ rambem charnado de centro de cisalhamento _
usarernos a cquaciio que nos dti OJ distfincia m que define 01 quesiao.
b2h2an1=--
4J
144
Os esforcos solicitantes - forces normals de comprcssao, forcns
rnais de tracilc, forcas tangenciais, momentos fletores e mementos torsor
causam deforrnacoes nas estruturas.
Devemos estudar as deformacoes por dais motives. 0 primeiro co
em aprender a limitar (ou nao) as deformacoes nas estruturas. 0 segmot ive c qu e 0 e stu co d as d efo rrn aco es pe rm ite re so lver e st ru tu ra s hipere
cas e a determi na~fio de sum reacoes, Particular interesse proporcionar
deformacoes pO T t1exUo e torcao, em geral maiores que as deformacocs
compressac e. lr:Jlffio, Vamos cstudar neste memento as de fo rmacoes
e la stica - LE) d e b ar r a :s so fre nd o ff ex fio
Sejam as vigas
C JF
~~n .
L
Figura j F ig u ra 2
Figura 4
Na Figura J , a extrernidade A e tctalmenre livre para se deformar.~ tangente ao eixo nau dcforrnado da viga. Nil Figura 2. nao ha engastarn
na extrcrnidade C, 0 apoio 6 simples (articulaczo) e a maier flecha ir a ocno meio do vilo, devido a sirnetria da carga, Na Figura 3, no ponte C, a
tern que se esforcar para que as deforrnacoes sejarr. companveis a csquerdd.reitn. Na Figura 4, a linha elastica tern que satisfazer a ., caracrertsticasSCr ar t iculacao e F, urn engastamcnto.
As finhas elasticns dependem, alem das caracrerfsticas des aporos, dovile. do formate, do material du viga e dos carregamentos. 0 formulano a
seguir d .5 a cqua~5.odas linhas elasncas admitindo que as vigas scjarn prisman.
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cas (secao constante ao longo do 'lao)
Conhecid a a equa~ao da LE, podemos detennina r as flcchas de lima
vrg a pcn to a ponce.
Nota: x e a ordenada horizontal, y a ordenadn vertical e f a mal or flecha.
, I PY~ _ f l l ! < _ (L' - bL x2) x .: : ; ; a
r----~¥~l6LEJ
~~(L2_b2_ 2) P(x-a)]x:;::;}
Y 6LEJ x + GE],b t 5PL'
L f~--384E1
r - · = = = 1 ; _ = r pO [, 4n ']~ T 6 E J r.:-3 L
pO+ f~ 48E1o
L
1 - - I
Y=lT(L;" - f JI-~1' PL3. ~-- f~ 3EJ
c,
p
F££±tl~J~ -Ef ( ' J ( x J ]-24EJL-2 t + L
_ 5pL'
L f- 384EJ
146
F f f u [ f - 3 ( f J + 2 ( f J ]~f ~ EJ X 0,00542 x ~ IJ ,S78L
PO [ ( X ) ' 4 ( X ) ~y~ 16EJ L -3 LJ
. PL't ~ 192EJ
Nota:
Observe nessas forrnu las que a ordenada da deformzcao y c fuucao linecarga (P ou p), Ccnclui-se que, para essas estruturas. vale 0 prindpia
superposicao, ou seja, s.etivermos LImaviga car-egada por dois tipos difcrde carregamento, a flecha resultunte podc ser calcu lada a partir da soma
a ponto das flechas da mesma viga carregada, em u rna situacao, com
ca rg n e , em ou tra situ a cao , com o ut ra ca rg a ,
No caso da procura da flecha maxima de uma viga carregadn por dais car
mentes, nao podemos sornar as flechas maximas de cada carregamento,
vcz qu e e la s na o sc lo ca liz am no mesmo po n to d a viga ,
Atenrdo:
Ca lc-r le a Hnha d efo rmad a d a viga n seg u ir :
A " r - a t l . _ u m,f"--~--o,~~9 I
A, i" 8,
f T fr----;;-t--,-, -,
A linha de forrnada da v iga e a soma das Iinhas e.lasticas deformadas dus
v ig as A2B2 e A~B3·
Portanro,
P icao de ne 20x503run a posrcao e pe, tem-se: ] =--1-2- ~208.333em"
. 1 7.200X(480)'
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= P L ' [ ~ _ ± ( " J ~ __rlL ( 7 2 - lO x ' 3 (, , ) 5 )y IGEl e 3 L Ir360EJ L L + L
Nao podernos calcular a flecha maxima somando as flechas maxhnas
de cada canegamento isolado, pois os pontes de flee has rnaximas sao diferen-
res. A solucao e cncontruda pelo metoda do maximo e mfnimo - achar urn
ponto X tal que y seja maximo.
o mesmo raciocfnio vale para a local iza~ao do ponto de maximo mo-
menta fletor T I, que exigira 0 tratamento maternatico da equacao que carrel a-
clone M' com a orden ada x.
16.1 Exemplos numeric os
Exemplo J
Vejamos a variacao da flecha maxima ao Inverter n posicao de umu viga
retangular.nOQ k.gl
r- t , ---1~~t
L,.,1S0 ':111
c=J 7 0 P Q s iy a n o en s ca
50
Lisa P osi< ;a Qe m p e
2Q
E ~12 U)110 kg f /c r n ?
J ~ bhl~ 50 X 20' = 3 3 . 3 3 3 e m "
12 12
Para a posi ,ao deirada, rem-se f ~ d s P~3f~_I_x 7.200x(480)l ~4,1 om
48 121000 X 208.333
148
t = 48 X 121.000 x 208.333 0,65 em
. ~omo ja era esperado, a viga de pe tern flecha menor (0,65 em)vigu deitada (4,1 em). A reiayao entre as duas flechas e de 4,110,65 = G
e na verdade a relacao dos J, ou seja, 208.333/33.333 ~ 6,25. Sf fizer
mesmo est"do para o perfil I, 20" 148,9 kgflm, tercrnos lx/Iy = 69.220/2.32, Isso significa que 0 perfil I, de pe , produz flechas 32 vezes rn eno res
perfil I deitado. Essa eficiencia enorme do I deve-se ao fato de ser const
para ter 0 maier ] em umu direcao e uma otimizacao de J c \ v . Veja cunilog
fabricarues de perfil de aco.
Exemplo 2
Para a pratica do futebol cxige-se que a truve renha LIma rlecha m
de, digamos, 2 em. Vamos cstudar a tipo de madetru e a se~ao necessaria
atcndcr a CSSil exigencia.
Peeo propr io =66 kgf im
i
Material: madeira, E """160,000 kgf/cm?
Y= 1.100 kgf/m?
Vcja:
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_ bh' _ 20x30' _ 4
J-12- 12 -45.000cl11
Peso linear = I m x 0,2 x 0,3 x 1.100 = 66 kgflm = 0,66 kgflcm
f 5PL4
5 x 66 X(732)4 f, =0 ,34 em" 0,2rnux = 384EJ 3114x 160.000 x 45.000
Portanto, esta tude ok,
Alguns go.eiros tern 0 mau h.lbito de se pendamr no meio da rrave.
Vamos agora calculur 0 acrescimo de Ilecha que issc propicia. Admitamos que
o goleiro pese 75 kgf.
PL1 75 x (732)3
f,m =48EJ = 48 x 160.000 x 45.000 f2 = 0,08 em
Conclusdo: f + f1 = 0,34 + 0,08 = 0,42 < 2 em. Logo, est. ok!
Nota:
Na realidada, a trave horizontal nfio esui simplesmente ape.ada nas traves
verticals. Se assim fosse, a rrave horizontal seria hrpostarica para a efeito das
boladas. Ocone: tim certo engastarnento propiciado pelos pregos (esta.nos ad-
mitindo que a trave horizontal e pregada nas travcs vcrticais). que apresen-a
como consequencias:
• urn cerro memento fletor transmltido a cada trave vertical;
• a flecha no meio do V a G e menor que a calculada com a bipotcsc de apoios
simples;
• os mementos transruiudos as (raves verticais provocarn uma deformayao
nelas.
15 0
Nota:
Os que se iniciarn na Resistencia dos Mareriais estudarn primeirame
vigas de um so vao, com dois apoios simples e com carregameruo un
Nesse caso, 0 diagrarna de mementos fletores e parabolico a com valor
mo no meio do vfio e a maxima flecha ncontece rambern no meio do 'l
fato pode levar 0 esrudante a ter a noga,o de que isso seria urna s
constante
Vejamos ourros tipos de viga onde nno h~ coincidencia:
'illOllLL~UO LC-l~ ~JJU/H~~U L(l
~ Ln I iJ~ l I----------c--- I
Para vigas em balance. note que 0 maximo memento fie-tor ac
onde a flecha e nula e onde a flecha e maxima e a rnomento fletor, nulo.
1 1 \ I s1------
L
M ' ~ P I ~ l~ _ : _ _ ' _ "". , ,~,",;m,
C ap itu lo 1 7Estudando as vigas hiperestaticas - equacao
17.1 Exemplos de vigas continuas
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dos tres momentos e metoda de Cross
Sejam as t res estruturas scgu i n r e s :
N.A
~~T"lI--''_ r·
~ F2-E-- F 3<
Figura l F ig ur a 2 F ig ur a 3
Na Figura / ternos uma prensa ccmpr.mindo com forca F duns pecas de
marcriais com E diferentes. Quanta vai pam cada peca? Qual a tensao em cada
peca?
A Figura 2 representa uma parede de concreto engastaca na base e
apoiada em i res outros apoios. Quanta da forca se divide por cada apoio?Na Figura J ternos urn peso suspenso por tres cabos de ace. Qual a
forca em cuda cabo?
E ss as r rd s e st ru t ur a s sao hipe re sra t ica s e pa r a e ta s va lem a s tre~ fa r nosas
condicoes - I,FH = 0, I,FV = 0 e I,MF ~ 0 -, mas a aplicacao dessas con;
di~6es nao e suficiente para levan tar os dados das reacoes nos apoios. E
necessario usaf a teoria das def 'ormacoes, que se baseia nu lei de Hooke.
Neste ca pitu lo va rn o s e stu da r a s vig a s co nt fn u as, qu e 0550[is vig a s com
r re s o u rn ais a po io s.
152
A
A
P ara re so lve r vig a s co uu nu as existcm mu ito s pro cesse s. d o s qu a is
s ao os r -m is irnportantes:
• a equaqao dos tres rnornentos (importante pelo set, aspecto ccnceitual):
• m etcd o d e C ro ss (impo rta n re po lo seu a specto pra tico ),
Ambos os precesses leva-n aos mesmos resultados. Hoje em din, c
crilculo em cornputadores, 0 usa direto desses processos perdeu importa
pa r e sse mo tive , d are r n o s u rn exe rnplo d o me to do d e C ro ss.
A equacao dos tres mementos c usada na prepa r ac ao de prograrna
computador par pcrrnitir Facil tratamento matcmatico.
17.1.2 Resolucao de uma viga continua peJa
equacao dos tres momentos
Nurmi viga continua, podc-sc provar que os valores des mementos
to re s d e t re s a po io s su cessivo s e sr a o re la cio n a d o s pa r uma equ a ca o qu e
em co n ta ta n to o s a specto s: g eomctr ico s d a vig n como 0 t ipo d a cn rg a .
equacgo tern 0 nome de t'qua~ilo dos IreS mementos au eq~ta9iiode Clapey
17.1.3 Resolucao de uma viga continua pelo metoda de Cross
o metodo de Cross, que e urn metodo de aprOXi1l1390eSsucess
iniciu-sc com a divisao de uma viga continua em n tramos {ndependen
COm 0 cdlculo de seus mementos fletores nos apoios internes. Por essn r
aprcscntaruos nestn pdgira umn tabc.a de mementos Iletores nos apoios, emvigas de urn so tramo
A fim de fac.litar a compreensao. estnmos unexundo a tabela de Grinrer,
17.3 Metodo de Cross
Estudaremos a resc.ucao das vigas contrnuas pelo ruetodo de Cro
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que sed usada no me rodo de Cross.
A tabela de Grinter Fornece mementos de cngastamento ja com sinal de
Grinter para vigas de urn s6 vao.
17.2 Tabela de barras prismaticas (secao constant e)Convencao de Grin ter para os sinais
Tipo de carrcgamento
t~. L/3 "/3 2PLI C==r-i M, =-MB = -9-
M'A=-M'n= Wab2L
p P 11
I L/' L/' l/1 l/< t M --M _ 5PLL r ! I,- "-16 M'A=-M'B= 15PL
32
M,,'=-M'"=~
154
viga-exemplo e m ostr ad a a se gu ir :
c
se!(6es
uareversee
rlfl\ l iOfl
20 ;2 0
irechc C n
Consrrutivarnente, a viga seria:
Esxa viga tern trcs viios c quatro apoios, A, S, C e 0< Sao dad
valores dos vaos, as se~5es da vigu nos seus tres viios e as cargas exte
Cabe ago ra d e te rm ine r a s re a co es no s apo io s e o s mornen to s t l e t o r es
apo io s, Isso se r a o b tid o a pa rt ir d a d e re .m ina ca o d o s momcn Lo s fI c to r cs
n o s nos apo io s C, pa ra . sso , u sa re mo s 0 r ne to do d e C ro ss.
Inicialment:e sera calculcdo. para caca v50, 0 seu Iodice de rigidez
quocienre entre 0 momenta de inercia e 0 ramanho do vao. Ter-se-no
mementos de inercia e tres Indices de rigidez.
bx h3 40' ..JI = ----u:-=20 x12 = 106.666crn4
dades. de cada umn dessas Ires vi gas, sera err-pregada a notacao de Grin
Admitlndo-se esse duplo engastamento. occrrzriio nos apoios iruemos Bee
momentos, que reremos de balancear: urn pcla dircita C outre pela esquc-d
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WI =.:!..L= 106.666 =280L, 380
b xli' 453h =-1-2-=20 x12= 151875crn4
W =~= 151.875=3612 h 420 .
bxl,' 303J) = ----u:- =20 x 12 = 45.000c",·
W =b_= 45.000 = 17"'L3 260 .,
Para balancear os mementos nos apoios intern OS, usarcmos os coefi-
dentes que resultam d a s Formulas:
~O~31 0,563
1~~'4"-"-+-"~N'~• . . i . .A W I " "'280 8 11'12=361
0,736
~BA = 4WI = 4 x 280 = 1.120 ~ 1.120 0437I l B e + i 3SA 1.120 + 1.444 '
DBC _
Be e +DOA = 1 - 0,437 = 0,)63
~ 1.444 0736
j3CB+ j 3 C D 1.444+519 '
PCD
BCB+PCD = 1 - 0,736 = 0,264
P EC=4W, = 4 x 36 1 = I A 44
PCB =4W2 =4 x 361 = 1444
PCD= 3W3 =4 x 173 =519
N o m eto da de Cross adora-se a p r e ss up o s ic a o de que ca d a va o seja d u -
p!amente engastad~ com excccjio do vao 3. que, _ j t i sabemos. tern urn apoio
simples f J ? extrem I dade. Calcularemos os mementos fletores de tres vigas
como se uvessem urn vao rinico. Para 0 sinal do momenta f1etor das extrerni-
156
esse halanceamemc de apoio por apcio e feito utilizando-se 0 metodo de Cross
Pam calcul ar os mementos fletores de angastamento perfeito co
co nve n9a o d e G nn te r,
p = 3 20 k .g Um
1=:1-.-50
M~=+E=320x3,82 =+38512 12
E 382MA=- 12 =-320Xi2=-385
JOOkgr
30 0 x 3,6 x O,{j.2
4,22
M e = P ab xl..:! :. .! :2 1 2
M no 4 1 2 2,6 + 1 ,2 340c = x I, x , 2 X 2,62 =
o metoda de Cross introduz no apoio rnais desequilibrado (no n
caso a apoio B) uma parcela de rcajus:c cuja SOma resultar.a num valor
(757 - 3g5 = 372) que da parcelas de reajustes iguais a 163 e 209, os q
par sua vet, resultam da rnultiplicacao de 372 pelos coe.icientes 0,437 e 0,
Balanceado 0 n o (apoin B) propagam-se para os apoios de cada lado as pa
l", 385 0, 757 rrulripllcadas pelo fatcr 0,5. Feito isso, 0 equilibria do nintrcduz perturbacoes nos no s A e C. Vamos agora equil ibrar 0 no interne
valor de equilibria para 0 n o C c ria ordem de 63'l kgfm. Esse valor e distrib
do a direi:a e II esquerda usundo-se os furores de distribuicao 0,736 e 0,
Fica agora equilibrado 0 n6 C e propagam-se os valores que equ.libratam esse
no pam os apoios da direita e da esquerda, Para a direita, a propagaclto e nula,
r---Os mementos nos apoios resultant em:
A= + 248 kgfm
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pois Delima articulacao. Pam a esquerda, a propagacao e de 50%, 0 que
acarreta nova perturbacao e perda de equilibria em B. Faz-se 0 equilfbrio em
B~ e a ss ir n s uc cs si vnm en te . Ap6s varias operacoes, todos os no s intemos (B c
C) estiio equilibrados, e conhecemos os mementos fletores em todos os apoios
J O{ l k g l
ueeemce semescse
1
72 0
",
'.0<)
2,60
VaDJ
0 30
20
secees
0 4 D 0 "ransveescts
d3vig.a
20 20
+ 385 - 385
II~
-867 + 340 0 I
IO:illl 0.563 ~ 1 1 0 , 2 6 4 1
] " n ju st e + 385 - 3R5 +757 - 867 +340 0
-81 < -- -163 -209 -- > -104 0
5 0 % SO%
2° ajuste + 232 +464 + 167 r+ 0
50%
3" ejuste - SI f-- -102 - 130 A -65
50% 50%
-24 . . . . . +48 + 17 A 0
50%
4 < > a jus r e -5 -10 - 14 -- > 7
50% +2 . . . . . +5 +2 - -> 0-I -I
+ 248 - 661 + 661 -526 + 526 -- > 0
Mementos balanccados
158
B = -661 kgfm
C = -526 kgfm
D=O
Note que agora abandonamos a convencao de Grinter para as meme
e v cl tu m o s a convencao original usada nes t e ]i\-TO.
Conhecidos os valores dos morncntos Flcrores nOS apoios, a viga n
mais hiperestarica, Caiculurernos as r e acoes nos apoios.
r; . '~B G~I:;) r; ~61 ~ 2j J. - ) r ; : . e a e
II I nCEGI21~:- ~1J -'l (-~5(OOI-§2I1 r;~2~
A I ' . " 1 5 B r . ~,2(1 I e C~D
F r f r / b Q ; l l - ~ ~Efe i to 6 D S 608 1.050 1050 332 38c"!R" 43 25 7
Efeito do
memento -lOS + 108 +32 -32 +202 -20f le to r
5 00 71 G 1.125 1175 534 18500IW 1 .8 41 k r 1 .8 09 k gf I S6
Conhecidos as mementos fletores nos apoios e as reacoes em c
apoio, podemos tracar as diagramas de mementos fletores e as d i a g r ama s
[ore;acortante ao longo da vigil.
P ara ca lcu la r o s m em en to s fletores po sinvo s n o me io d o va o :
(320 x 1,56")ZJ = 248 - 2 + 500 x 1,56 = 638 kgfm
Z2 =248 + 500 (3,80 +2,25) - 320 x 380 x (1,00 + 2,25) +
2 25 500 2,25 x 2,25 608 kgfrn+ L841 x, - 2
Capitulo 18
Flarnbagern ou 0mal caracteristico das pecas
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Z, = 186 xl ,4 0 = 260 kgfm
300 kgl
500
XI = 500/J,2
=1,5tJ.
Fmgar . : :or lante
-
534
Hl09 166
1\ _
\ \-\116 675
975l~ A 3 = 1,40
; :< ;; := '1 ,1 . 25 1 5 0 0 \ 1 2 75 1
=225 I
t---1BB
160
Mo rn e ra o f et or
;{:2 = 2,25< X:J, = -1,40
comprimidas
18.1 Experiencias para entender a flambagem
Experiencia 1
Pegue uma regua escolar de plasrico e pressione-a entre dois p
bern proximos, um a cinco centfrnetros do ourro
Voce esta si r nulando uma estrurura em compressjlo simples, A
pressionc dais pontes distanres quinze ccntimetros lim do Dutro. Algo cc
a aparecerE visivelmeme rnals facil cria- condicoes para a barra ccmecar
encurvar, A barra est-a ccmcca nco a sofrer 0fenOineno dajlambagem.
Ita;a agora a ccmprcsxlio nos dois pontes extrernos da regua, dista
urn do au tro cerca de tri nta centimerros. Com a forca rcduzida, a regua
perdcndo estabilidade. Force a regua e chegue ate a ru ptura. A regua se qu
Se tizermos a cxpcriencir; com rcguas de rnesmo material mas
espessuras diferentes. as reguas rnais espessas exigern mais esforccs
fla mb ar qu e a ~ m ais f in as.
Expenincia 2
Pise em cima de urna lara de refrigerante. v o c e no rma que a lata, se
quebrar, amassa, NJo quebrou porquc, ao corurario do plasrico que
material Jrtigil , 0 alurmnio e urn material ductil e se deform a bastante ante
pe-der sua unidade. A estrutura da lata, entretanto, entrou em colapso,
Experisncia 3
Seja uma plnca de madeira cornpensada de grande altum e pcqu
espessuru. DOIS carrcgadores a rransportam. Se e.les carregarern a placa s
rando-a ern dois pontos ba ixos , a placa se deforma, Se os pontes forem HI
parte alta da placz E outro na parte baixa, a place niio se deforrna. ntto flamb
18.2 Conclusoes
• Pecas ccmprimidas de grande altura podem flambur, fa r o que 6 scnsivcl-
Para fazer urn dlaguostico da tendenciu de lim pilar a Jlambar, OU
l1samos 0 scguinte concerto:
A . - fndicc de esbelrez
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mente reduzido sc a altura for pequena.
• Quanta mais vinculos river a extrutura em cornprcssao. menos tendencin cia
tern para f larnbnr
• Quaruo maier for a espessura, menor a tendencia n flambar.
• Quanta mais Ilexivel for 0 material (menor E), mais facil e a ocorrencia da
fJamhngem.
Deve-se a Euler a prirneira formulacno de urna quaruifrcacao do limite
de carga que se podc colocar numa pcva comprimida para que ela nao flambe.p
~,
9Formula de Euler
Essa formula leva em coma os tipos de extremidades do pilar atraves do
coeficiente k. Para cada condicao de extremidude, podemos estabelecer cacti-
cieutes que simulam as.condicocs das cxtremidades.
k = [2 k= 1 k= I 'k =0,7
D
k . . O ,f i
~ C ~ "~
LII = 2L LfI= L it: ~ L Lfl= O.7L l'l 1/2l
Ca.<;oA Caso B Caso C caso o c a s o t:
l62
ITQ
L
J - memento de inercia
Nota:
0.1 a considcrar co rnenor J da s e < ; : a ( ' 1 transversal (valido para a eixo que
menor J).
o Indicc 'A nao so faz 0 diagnostico das condicoes de flambagcrn.
iambem fomece criterios prances= para varias estruturus multiplicarern a
atuante por urn valor (J) que e funcao de A .. Logo, para nao 110S preocupu
com a flambagern, varnos rm.ltiplicnr a forca F pclo coeficiente ro,
Vamos a exercfcios numertcos que elucidarn 0 assuruo.
18.3 Exerdcios numericos
Exercicio 1
Identifique a situacno de urn pilar de concreto armado com os dad
seguir :
• apoios simples nas extremidadcs:
• se,50 de 30 x 50 em;
• comprirnen to de 4,3 rn,
Leve em conta que, no rnundo do concreto armado vulcrn as sezuil1stru~5es: ' t;.
• ()< ~ <40 - mnuma tendencia a flambar:
• 40 < A < 80 - tcndencia a flumbar:
• A . > 80 - procurar sair daqui aumcntando as dimensoes co pilar,
1c= kL=_ l < 1 _ L 3,46L3,46430J 1r -~ -h-=--3-0-=49.6
. S"I2"t,
'" A tcnuuiva de fugi r da Ilambagcm pela "majoracao" da carga atuantc esta em desuso
[~orias rnais mcdemas. que pcrntircm dimensionar a csrrutum cvitnndo II rlambagem
Conclusiio:
H;i risco de flambage1n- Deve-se au aumentar a menor dime~sao ~30~Cn;.),
E =2.100 tf/em2 (.,0)
1'2, 2.100x 3.5733.287 If
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au melhorar as condicccs de extremidade (engaslar~, N~te que a maror dirnensao
da ~ao transversal (50 em) niiointerfere nadetermllla~ao de A ..
Exercicio 2
. di coes de flumbazern do pilar de concreto armndoCaraClenze as CO_1lIy _0 _ ' .k _ 1
com L = 5,70 m, se(fao circular d ;::;25 ern e extrelmdades articuladas - .
1_5,10m g _- 1 o e z s c m
RecomendapJo: sair dessa regifio numentando 0
diarnetro do pilar.
Exerdcio 3Dada urna coluna de " ' ' 9 0 com l = 3m e condic;oes ,de extremidade
k = 112,se~iio 35 x 35 em, E = 2, tOOt[fern2, determine a maxima forcn F para
ru ptu ra e P"d ,, , X Gprop = 2100 kgf/cm2
F_ f_F~?D35
~ __ L= 300cm -{ a s
Cakulemos Pefit(flambagem),
n2EJ ,,28 1'2EJ
Pcn l = (In)2 = (kL)2 = ( i L Jbh' 35 x35J 4
J = 12= --12- = 3,573 ern
164
Pail = (150)2
Gli n = F ; ' s =2,683 kgf/cm2
Ternes um problema. A reoria de flarnbagerr, usou r. . hipotese de
rarmos no limite de proporcionalidade de a~ ao , e is 0 s6 e valido
G = 2.100 kgf/cm2. Portanto, esse crilculo passer, do limite
Verificando a maxima t o r ca admissfvel dentro do limite de proporc
nalidade, temos:
F~ G~opX S =2,1 x35 x 35 = 2,572 tf= P'dm
Vamos trabalhar com esse limite a fim de usar a formula de Eu
TemQ5que trabalbar com seguranca, ista e , scm ultrapassar Guam.
Normas de (Jutras parses exigerr- cnlculos da estrutura e que nos nca
Iernos contra a f la rnbagern multiplicando a carga por urn fator Ol m aier qu
e esse fator e tanto rnaior quanta mais crftica a pcssibilidade de flambagem.
Vamos a urn exemplo.
G,· =E:= 3,287 = 2,683 kgf/em2 > 2, 100 k ..../cm2rm S 35 X 35 y,
Condicoes para colunas de afG
700 90 11 00
1,54 2,39 4,29.07 1,22
Fonte: Cursa de Resissincia dos Motenais, Prof. Evaristo da Costa. p. 30 L
- ~ ..=S c r = 1.400 kgf/crn- = 1,4 [f/c m-
S = 35 x 35 = 1.225cm2
Caiculando:
_ 0 i f l "i=,fJ = - ' V 1 I ~_h_=___:ll__= 10 1em
S bh 3,46 3,46 '
Observe:o elasrico. ao envolver uma regua de plastlco, exerce uma co
pressao c a flecha resulrante no meio da regua e de 4 ern.7
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L og o, pe Ia tn be la , (j)= 1,07
ruxF0=--
S1.400 = I,07F
35 x35F= 1602tf
Analise dos dados
1. A conclusao I mostru que a formula de Euler naa era adequada para fixnr a
carga limite, pois a carga de 3.287 tf ultrapassu OJ ten sao de proporcionali-dade do aco, que e 2,'100 kgf/cm2, A formula de Euler .s o vale a l e cssa
condicao de proporcionalidade,
2. Atendendo as normas que incluem a flambagern e 0 coeficiente de seguran-
9 3., a ca rg u lim ite e d e 1 ..6 02 tf, q u e n fi o u lt ra pa ss a 0 lim ite d e proporciona
lid a dc c qu e nan su pe ra a le n s ao a dm issf ve l,
Noms:
1. Dudas duas colunas de dois tipos de aco, UnJ com maier G c e Dutro com
menor Oc, mas ambos com rresmo E, elas cntrarao em flambagern com (J
rnesma carga crttica, po is esta nao dcpende da ten sao adrnissfvel dos mate-riais, e sim des sens m6dulos de elasticidade,
2. P ara rn ate r ia is frfigeis C Om o 0 p la stico , a f la mb ag e-n leva f l oco rrencia ci a
ruptura do material. Perceba isso rompendo urna regua escolar de plastico
por meio de uma compressao. Para materials ductcis, antes de haver ruptu-
ra do material aconrece uma defonnccno pcrrnanente, al l seja. 0 material
amassa. Isso e percepnvel nurnu lata de refrigeran-e au I1Unl prego. Nesscs
ma te na is n ao o co rr c r up tu ra , e s im u rn ama ss umento .
3. Para visualizar a flarnbagcm e 0 modo pelo qual 0 aumemo da serrao
transversal (aurncnto do .I) diminui a possibilidade du f l ambagem, pegue
uma rcgua de pliistico escolar e a . envoi va com el~SI!CO. rill seguida, pcgucduas reguas de plasuco juntas e tambcrn as envoI va com ehlsrico
166
eltistico semelhantc cnvolvendo duns rcguas de plastico cria u
flccha de I CI11.
4. Pecas em flexao flarnbarn?
Sirn, pecas em flexao flambarr. se a parte ccmprirnida n50 esti
reforcada contra esse mal. Isso e . mu (to cornu m em estruturus
aco OU de. olumfnio. Em dccorrcncra da grande resistencia dcs
mewis, as - estruturas resulram csbeltas e podem rlambar na Su a parte comp
rnida, levando, depois, ao co.apso toda a estrutura. Esse tipo de fla-nbagem
cha.mada de flambagem local OL l perda de estabi I ldade IDeal.
4. Placa de madeira pede flambar se sells carrcgadores forern inexper ienres.
o Prof. A. Molitemo, na pagina L14 de seu livre Projetos de telhodo
estruturas de madeira, mostra que uma placa de madeira ccmpensada
posicao em pe) de alta resistencia e baixa espessura, transportada pot
operadores, pod er a flambar se [or segurn sornente em baixo. Se cadn ope
rio a segurar em dois pontes, um alto e urn baixo, ela nllo f ' l ambon i . Ecaso upicc de reducao das ccodicfes de flambagem pela mcdanru de
culacao
5. Na luta contra a flambagem, pequenas (ou aparentementc pcquenas) alre
90es na seyao transversal da peca podcm trazer significative contribuicaesse objenvo, Quando se trabalhu com perils leves de as;o e havendo
possibil.dade de ocorrencia de thmbagem local (lateral), tirnmos part
de pequenas alteracoes da ser.;flo transversal que a enrijcccrn de mane
bern interessante.
rrerfil !lao creijecido Perfil enrijecido Perfil mui to enrijecido
Ncrvuras em chapas de i1-t0 de carro tf,1ll essa funcao.
6. Em uma velha agancia bencdria de urna pequena cidade, havia urn andar
intermedi:irio (rnczuniuo. jirau), sustentadc pO T vigas apoiadas em pilares.
Quando a agencia foi reforrnada, decidlu-se pela supressfto desse andar C a
~ao elo com elo, 0 construtor de tal biznrra estrutura atacou 0 mal pela rai
seja. eliminou 0ponto fraco: soldou os elos e essa solda garantiu a resisten
A co rre nte , e nta o, pode sofrer co mpre ssa o, q ue r esist ir a. V eja :
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laje e as vigas de apoio foram reriradas, Do ponto de vista estrutural,
acreditava-se que a supressho das cargas do mezanino traria rnais segurau.
ca aos pilares existentes, So que , com a retirada do mezanino e de suaa
vig a s, a altura de f1ambagem do pilar aumentou e estava sem maiores
folgas. Com isso, 0 pilar flambou e rornpeu-se.
7. Pegue uma lata de aluminio - de r ef ri ge ra nte , pO Texemplo - o u u rn co pe
de plasuco. Note que nas bordas e introduzida urn acrescirno de espessurn
all e feito 11m tipo de emortamcnto, para dar maior rigidez a estrutura, NasIfuninas de aero usadas nos carros na coberiura ou em posicoes frontais e
Ia te ra is. sno cr ia da s n ervu ra s qu e dao r i g i d ez a la ta ria , Fa ca u rn a m spe cflo
n a la ta r ia d o seu ca rro e ve ri f iqu e essa s sa lie ncies e nri jece do ra s,
18.4 Reconhecendo as estruturas do dia-a-dia
• Umu corrente sofrendo compressao
Vi num jardim um pequeno vasa sustentado por urna corrente funcio-
nando como coluna e sofrendo comprcssao!l Par principia, lima corrente n50
pode sofrer cornpressao, pois a li£,::11;50lo com do niio e est.ivel para esse tipode esforco, au para qualquer tipo de corda ou recido, Como conscguir gLIB umn
correme sofra cornpressao, <lindaque pequenn? Observe: com cuidado a liga-
168
• Por vezes usamos a flumbagem par razoes estet icas. A bengal a de Car
n a o f la m ba d a, se ri a meno s be la .
18.5 Resumindo
J calculado para a se~ilo de menor J:
I ~ =~ = ~ n l
o quadro a seguir, de objet iva didanco, mosua, para var ias cstruturas e
materials, como 0 A . pede ser valioso instrumento para predirnensionar au
avalinr estruturas cornprimidas,
Capitulo 19
Estruturas e materiais nao resistentes a tracao
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J. . (fudice de esbeltez)
0-40 1 4 0 - 8 0A f'lambagem nao e 'Iemos de prcocupnr-nos
importante. com a flambagcm. I: > 80Esh~muitoesbelto.
P ee ns d e
concreto
armudo
Prego 8-11
30 < ),< 12 0
0 " = 1.125 - 4,91 (kgf/cm2)*
)." 83
O J ~ 3 O RO - 2 ,4 6).*Alumfnio
( ' + < ) De ncordo com as fdrmulns, n tcnsso admissrvcl dimirrct conlcrme numentn a esbeltcz da
estruturn. Os dados citados devcm ser encarndos corno infonrmcoes didaticas. pols <I S normns
b rasi le i ru s t r ntnm Q essun rode fo rma d i fc r cn re
Fon t e : CIII'SOde RCJiJ/{!m:ilJ dos Materiais. P ro f. E va rt st o V all ad a re s C o st a. p. 295-6.
Notas:
1. Sc a -lambagem e 0 ma l caracrerfstico de pega.:; comprimidas, as peens
tracionadas t e r n scu mal caracteristico? r e m . E a vibrncao, que e0
grandeobjetivo das cordas musicals, Oll na fabricacao de sinos, e aliamente Inde-
sejavel em certas cstruturas metrilicas muito delgadas,
Em estruturas rnetalicas procura-se limirar a esbeltez de pecas tracionadus;
n~o deve ultrapassar " A : ; ; ; 240 e A . S; 300 para pecas sccundar.ias (veju Ele-
mer/los das cstrutnras de a(o. Gilson Queiroz. p.150).
2. Urn prcgu dcvc ser bern esbelto e ter alto Iv para poder penetrnr na madeira.
Deve ser robusro, cntretanto, para na o entortar. Para atender a s duas cxi-
gencias:
8:;; AS)]
s er o e sc en c
r-->
L~1 \ <__ll
eemrooustc
170~\
19_1Exemplos de estruturas quenao resistern 1 1 cornpressao
Ha estruturas, como cordas, correntes tecidos, etc, que n50 resistcompressao ,
Cordas e tecidos, devido a pequena espessui a que possuern, so
flambagcm quando cornprimidos. Note que nile e a caracrcrfsrica do mat
que gem essa "nao-resistencia", e sim a sua caracteristica construtiva.
fardo de algodao, por exemplo, pode resisrir a compressao, mas 0 me
algodao ria forma (estrutura) de tccido nao reslstira a compressao.Correntes de qualqucr material nfio resistem a cornpressao pcla ins
lid a de d a r ela ca o do co m e lo ,
Assim como hi estruturas que niio resistem a ccmpressao, exisrem
que nilo resistern ,), rracao - uma pi lha de placas de, aco, par exernplo. A
de Iigat;ao entre as peens faz corn que a pilha resista a cornpressao, masresista a t racdo. A ru zi lo esra n o tipo de estrutura, c ruio no seu material.
19.2 Exemplos de estruturas que nao resistem it tracao
Alern das estrururas, exisrem materials que resistent bem it cornpress
e mal a tracao, como ° concreto e a argila. Podern-se Inzer. e com suce
piJare1) de concreto ou de tijolos de argiln, mas ninguem usana tais csm.tu
como tiruntes, ern que .0 estorco e de tracfioUrn caso de interesse pratico c o de pccas ern que, em determina
si tuar;oes, so ocorrem esforcos de compressao, mas que, em situacocs ex
mas, podem ter parte da estrutura sofrendo compressao e parte sofrendo
't a o. S e 0 e sfcrco d e l rac ;ao em cer ta s e sr ru tu ra s pa ssa r d e a lgum Iimite, oc
a colapso au a rupture. Paredes cum trincas srioboris exemplos.
Estudemos de forma mais global e numerica esscs casas de estruturas e
materials que niio resistern IiI.ra'iao.
Sejarn uma pe~a de madeira colada em um pisc de madeira e uma torca
Se pensarmos na area em que a forca atua, deve existir em urn
transversal ao eixo vertical uma superffcie que limite as posicoes de F ta
os extremos da zona cornprimida aJcancem toda a base da peca.
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F. Admiramos como desprezivel 0 peso proprio da peca de madeira e que a
rorca Fpossn deslocar-se na superffcie dessa pe~a.
Se a forca F estiver no centro de gruvidadc da pet;a, entao a tensiio, ern
qualquer ponto dcla, vale (J;;;;; 1 ~ 1 s . , em que Sea rirea transversal dessa peca
(si,"ariin I).
Agora a forca F corneca a se Mas-tardo eixo indo de kern direcao a B.
Alcm do efcito da forca F, teruos a efeito do sell deslocamento a, qu e
gera U rn memento Detar M. Esse memento, por sua vez, aumenta a tensao do
lado BK e diminui a rensao do lado AK (si tuQP'io 2).
Se aumentarmos 0 valor de at podemos chegar a 'Urnlimite de acabar a
compressao em A. Se aumentarmos ainda rnais 0 afastamento at cntao podere-
mos ter lima tracao no clemente colante, entre a pe9f1de madeira e 0 apoio.
Admitamos que a cob rzsista e aumentemos 0 deslocamento 3. Desse modo.
aumentara a tracnc no lade esquerdo c ainda mais a cornpressao no Indo
dire-I to.
Como c udmissfvcl que ,1 cola seja fraca, chegn um momenro em que acola se rompe. ' Ieremos, entilo, a situaciio 4, que e . tfpica de uma estrutura quen50 resiste a traciio.
Fica a pergunta: qual a posicuo Limitede F para que n50 QCOfTa tra9no
na peca, isto e . para que nao haja descolamento da estrutura da sua base, Oil
ninda que 0 trinngulo de compressrto cornece na vertical pelo ponte A?
172
Se F se afasrar dessa superflcie, entdo:
• ocorred. tracao na Iigacao das pccas;
• se nao houver liga'rao ou se 11 ligagao for fraca (n caso de a cola scr fr
haveni urn cerro descclamcnto do bloco em r e l r . H ; : n o ao apolo e terern
s itua(: ilo 4.
A area (superffcie) que garante que temos no limite a situacao de te
nu la em A e d e n omi n a d a nuctea central de inercta au area central de inercVoce pode simulur 0 fenorneno explicado usando urn encosro de
que tenha alguma rigidcz, de espumu de nailon. pOl' exernplo. Se a apertar
uma forca P , adequadarnen:e excentrica, voce percebera que a extrernidad
d o e nc os to c he ga rr i a s e a fa sr ar d o ap oio .
Veja :
Usarnos esse enccsto, pois ele e feito de espuma, material de bai(modulo de elasticidade); assim. as deformacoes ficam rnais visfveis.
Para as secoes geometricas mars corriqueiras, vejarnos a localizacao
nucleo central de inercia, que vem a ser a area da secno onde, passand
resuttaore em urn dos sells pontes internos, s o haveui compressao em to
corpo,
NUc!SDcenlral
r~
~/
Dadcs do nucleo central de mercia Se a fon; a F aurasse no elxo y do bloeo l, a rensno na base de asobre 0 bloco 2 seria:
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C~lNo case aprcsentudo. fizemos variar a posicao du forca externa F, anali-
s amos as co n se qu en cia s e d csp rcz am o s 0 peso proprio. Em u ma abo rd ag em
mais geral, 0 que inreressn e considerar a posicao rcsultantc do peso propr i o e
da s fo r cas ex te r nas
19.3 Exerclcios numericos
Exercicio I
E dado Limbloco (I) de 1 m de fargura soldado a outro bloco (2). Sabre
o b lo co (I) a tu a a fo r ," F = 8.300 kgf, De t e rmine as t e ns co s n a so ld a.
e s6 haveria tensoes uniformes de cornprcssao nil solda, Acontece que 11 f
F e stf l excen tn ca a ] S em d o e ixo y e isso g e ra rd u rn m emen to f
Fx 15 em, que sobrecarregara (comprimird) {1 trecho NT e descarrega
trecho TD_Calculemos as tensoes resu.tantes
+~ ~ F x a = 8.300 x 15 ~ 4 67 kgf/cm?W bh' 100x 402 '
(; 6
Logo .
F MGN=S+W=2.07+4,67=6.74 kgflcI1l2
F : t v !GD= S + W = 2.07 - 4.67 = -2,6 kgf/cm'
Este e 0 d iag r ama d e t en so cs :
)J. t.,--.-,,-.--.--?-_j_L__-t C O , , , " , . ~ a u
f'6.7'1
o problema esta resolvido. Nos pcdcrfamos rer descoberto se hav
au nfio lr;u;ao, venficando se a forca Festa fora o u d en tro d o m icleo centra
inercia Vamos a ele,