Zadatak 3 – Vežbe 3, Ciklus 2

Filtriranje diskretne serije (ulaznog signala) primenom

filtera za odstranjivanje bazne linije i filtera za

uklanjanje VF komponenti (šuma) iz signala

Mart 2013.

Fakultet tehničkih nauka, Novi Sad

Odsek za računarstvo i automatiku

Grupa Biomedicinski inženjering

Mentor:

dr Dubravka Bojanić

Student:

Danilo Ristovski

е12340

1

Sadržaj: 1. Rešenje zadatka .......................................................................................................................................................... 2

a) Filter nulte faze – teorija i praktična realizacija ...................................................................................................... 3

Filteri nulte fazne karakteristike (engl. zero-phase digital filter) ............................................................................... 3

Filteri linearne fazne karakteristike (engl. linear-phase digital filter) ........................................................................ 4

Filteri nelinearne fazne karakteristike (engl. nonlinear-phase digital filter) .............................................................. 5

Principski postupak realizacije filtera nulte fazne karakteristike ............................................................................... 5

O MATLAB funkciji filtfilt() .......................................................................................................................................... 7

b) Realizacija zadatka (rešenje) ................................................................................................................................... 8

Jedna epoha signala ‘6.txt’ ......................................................................................................................................... 8

Celokupan signal ‘6.txt’............................................................................................................................................. 16

Jedna epoha signala ‘7.txt’ ....................................................................................................................................... 24

Celokupan signal ‘7.txt’............................................................................................................................................. 31

3. Literatura .................................................................................................................................................................. 39

2

1. Rešenje zadatka

PITANJE: Unapredi svoj program Resenje_Primer3_IIciklus.m po izboru i sačuvaj kao

Resenje_Zadatak3_IIciklus.m. Uneti prikazivanje bazne linije. Šta će promeniti filtfilt funkcija

umesto filter?

ODGOVOR:

NAPOMENA:

MATLAB kôd napisan za realizaciju primera u okviru ovih vežbi (M-fajl Resenje_Primer3_IIciklus.m)

upotrebljen je za realizaciju koda neophodnog za ostvarenje ciljeva definisanih zadatkom ovih vežbi

(M-fajl Resenje_Zadatak3_IIciklus.m), pri čemu je programski kôd napisan za primer malo

modifikovan, u skladu sa ciljevima koji se traže u okviru zadatka. Usled činjenice da je programska

osnova gotovo identična, biće naveden i prikazan samo onaj deo programskog koda, koji se značajno

ili suštinski razlikuje od onog navedenog u izveštaju za primer.

Oba filtera (filter bazne linije i MA filter) su realizovana primenom zero-phase filtera (filter nulte

faze). MATLAB funkcija koja relaizuje ovu vrstu filtera je filtfilt .

Rezultati dobijeni primenom programskog koda nad signalom ‘6.txt’ će biti prikazani na dole

navedeni način uz detaljno objašnjene posledice primene filtera odabranih karakteristika, dok će

rezultati primene programskog koda nad drugim signalom, ‘7.txt’, biti samo grafički prikazani bez

dodatnog objašnjavanja, jer se zaključci koji su doneti kod signala ‘6.txt’ mogu doneti i kod ovog

signala. Signal ‘7.txt’ će posebno biti interesantan zbog mnogo većeg uticaja bazne linije u odnosu na

signal ‘6.txt’. Parametri prilikom obrade drugog signala su isti kao oni korišćeni prilikom izrade

primera.

Posmatraćemo u okviru zadatka po dva slučaja za oba signala (identični su korišćeni pri realizaciji primera):

Izdvojena jedna epoha signala ‘6.txt’ definisana u okviru primera (parametri: početni indeks je

3000, dužina segmenta je 600, frekvencija odabiranja je 1000 Hz (predefinisana vrednost), vrednost

pôla filtera bazne linije je 0.99, red MA filtera je 10 (koristi se 11 odbiraka za usrednjavanje signala))

(od Slika 5 do Slika 20)

Celokupan signal ‘6.txt’ (parametri: početni indeks je 1, dužina segmenta je 8567, frekvencija

odabiranja je 1000 Hz (predefinisana vrednost), vrednost pôla filtera bazne linije je 0.99, red MA

filtera je 10 (koristi se 11 odbiraka za usrednjavanje signala)) (od Slika 21 do Slika 35).

Izdvojena jedna epoha signala ‘7.txt’ definisana u okviru primera (parametri: početni indeks je 140,

dužina segmenta je 90, frekvencija odabiranja je 200 Hz (predefinisana vrednost), vrednost pôla

filtera bazne linije je 0.9, red MA filtera je 1 (koriste se 2 odbirka za usrednjavanje signala)) (od Slika

36 do Slika 51)

Celokupan signal ‘7.txt’ (parametri: početni indeks je 1, dužina segmenta je 3999, frekvencija

odabiranja je 200 Hz (predefinisana vrednost), vrednost pôla filtera bazne linije je 0.9, red MA

filtera je 1 (koriste se 2 odbirka za usrednjavanje signala)) (od Slika 52 do Slika 67).

3

a) Filter nulte faze – teorija i praktična realizacija

Svakom digitalnom filteru kojeg je neophodno realizovati u određenu svrhu, moguće je posmatrati osobine

kroz matematički opis istog – funkcije prenosa filtera, tj. frekvencijskog odziva filtera (frekvencijski domen)

ili impulsnog odziva filtera (vremenski domen).

Kod frekvencijskog odziva (odgovora) filtera, koji je kompleksna veličina, može se posmatrati amplitudski

frekvencijski odgovor filtera i fazni frekvencijski odgovor filtera. Onaj prvi saopštava na koji način će se

amplitudski spektar ulaznog signala modifikovati prolaskom kroz ovaj filter (da li će biti pojačan/oslabljen ili

neće biti promenjen prolaskom kroz filter). Fazna frekvencijska karakteristika govori o tome, na koji način će

se i da li će se pojedine frekvencijske komponente ulaznog signala translirati duž vremenske ose (biti

zakašnjene) nakon prolaska signala kroz filter. Ukoliko postoji kašnjenje u vremenu odgovarajuće

komponente izlaznog signala u odnosu na tu komponentu ulaznog signala, to bi značilo da filter (sistem

kojeg posmatramo) unosi kašnjenje u obrađivani signal.

Na osnovu svega ovoga, filteri se na osnovu karaktera faznog frekvencijskog odziva mogu podeliti na 3

kategorije:

Filteri nulte fazne karakteristike (engl. zero-phase digital filter)

Filteri linearne fazne karakteristike (engl. linear-phase digital filter)

Filteri nelinearne fazne karakteristike (engl. nonlinear-phase digital filter)

Filteri nulte fazne karakteristike (engl. zero-phase digital filter)

Slika 1 - Prikaz izgleda impulsnog odziva filtera nulte faze (levo)

i njegove fazne frekvencijske karakteristike (desno)

Filter nulte fazne karakteristike, koji je ujedno i predmet našeg interesovanja u okviru ovog zadatka, ima

impulsni odziv centriran u nuli (vremenskom trenutku 0 s), simetričan u odnosu na ordinatu (sadržaj sa

negativnog dela vremenske ose preslikava na pozitivnu vremensu osu), pri čemu je reč o parnoj funkciji

(Slika 1). Ukoliko je reč o impulsnom odzivu koji ima konačan broj elemenata različit od 0, radi se o

impulsnom odzivu FIR (engl. Finite impulse response) filtera, dok je u suprotnom, u pitanju IIR (engl. Infinite

impulse response) filter. Osobina filtera koji ima ovakav impulsni odziv (kao na Slika 1), jeste da mu je fazna

frekvencijska karakteristika za sve frekvencijske komponente jednaka 0 rad. Ovo istovremeno znači da

nijedna od frekvencijskih komponenti signala na ulazu ovakvog filtera neće biti translirana u vremenskom

domenu (neće biti zakašnjena), odnosno da će signal sa ulaza filtera biti bez kašnjenja prosleđen na izlaz,

nakon obrade unutar samog filtera.

4

Ovo sve zvuči vrlo primamljivo, naročito ako je ideja da se signal na ulazu filtera obrađuje u realnom

vremenu, pošto smo već rekli da bez kašnjenja signal sa ulaza filtera biva nakon obrade prosleđen na izlaz

filtera. No, postoji jedan krupan problem kod ovakve vrste filtera – filter nulte fazne karakteristike je

nekauzalan. Do ovog zaključka se lako dolazi kad se pogleda forma impulsnog odziva filtera. Jasno se vidi da

se impulsni odziv filtera prostire i na vremenski segment signala koji se nalazi u trenucima pre no je na sam

filter i primenjen delta impuls, što je samo po sebi, praktično nemoguće realizovati. Ne može se sa izlaza

filtera očitavati nikakav signal kada na njegovom ulazu u tim trenucima nije bilo nikakve pobude (pobuda je

nastupila tek u vremenskom trenutku 0 s). Pošto svaki sistem koji je nekauzalan po svojoj prirodi nije

moguće realizovati, tako je i filter nulte fazne karakteristike, usled činjenice da mu impulsni odziv postoji i

pre trenutka 0 s, neostvariv. No, usled primene digitalnih računara, koji u svom sklopu kao neizostavan

element poseduju memoriju, moguće je vršiti tzv. naknadnu (odloženu, engl. offline) obradu signala na ulazu

filtera nulte fazne karakteristike. Nećemo nikako moći da obrađujemo signal u realnom vremenu, ali ćemo

moći ukoliko se to zahteva i ako je od posebnog značaja, obraditi signal sa ulaza tako da se on ne translira u

vremenskom domenu prolaskom kroz ovakav filter na izlaz (da ne kasni).

Samo ćemo pomenuti ostala dva navedena tipa faznih karakteristika filtera.

Filteri linearne fazne karakteristike (engl. linear-phase digital filter)

Filter linearne fazne karakteristike je specijalan slučaj filtera nulte fazne kakrakteristike, što postaje sasvim

jasno čim se pogleda oblik i pozicioniranost impulsnog odziva ovakvog filtera (Slika 2 – levo). Za razliku od

filtera nulte fazne karakteristike, ovaj tip filtera ima impulsni odziv koji je u vremenskom domenu transliran

u desno (u smeru pozitivne orijentacije vremena (rednog broja odbirka signala)) za određeni broj odbiraka.

Fazna frekvencijska karakteristika filtera sa ovakvim impulsnim odzivom ima linearni karakter (Slika 2 –

desno). Linearni karakter fazne frekvencijske karakteristike je odlika filtera linearne fazne karakteristike i u

praksi ga karakteriše to što sve frekvencijske komponente ulaznog (sirovog) signala kasni (vremenski

translira) nakon odgovarajuće obrade, te su sve frekvencijske komponente izlaznog signala zakašnjene za isti

vremenski iznos. Dakle, postoji grupno kašnjenje ovakvog fitlera. Ovakav filter je kauzalan, samim tim i

ostvariv (moguće ga je realizovati), pošto se impulsni odziv istog može translirati u vremenu u pozitivnom

smeru vremenske ose, dovoljno daleko da mu ova funkcija ima vredost 0 pre vremenskog trenutka 0 s. Za

ovakav tip filtera nije neophodno da se vrši naknadna (offline) obrada, već se može direktno primenjivati u

obradi. Osobina jednakog kašnjenja frekvencijskih komponenti izlaznog signala u odnosu na identične

komponente ulaznog signala u većini slučajeva nije remeteći faktor (nekada je i poželjna).

Slika 2 - Prikaz izgleda impulsnog odziva filtera linearne faze (levo)

i njegove fazne frekvencijske karakteristike (desno)

5

Filteri nelinearne fazne karakteristike (engl. nonlinear-phase digital filter)

Filter nelinearne fazne karakteristike ima osobinu da mu impulsni odziv nije simetričan u odnosu na

centralnu tačku ove funkcije. Ovo je najčešća odlika IIR filtera. Oni imaju pomenutu osobinu da im impulsni

odziv nije simetričan u odnosu na centralnu tačku, a odlikuje ih i beskonačan impulsni odziv (engl. Infinite

impulse response), pa je nemoguće dovoljno daleko translirati impulsni odziv kako bi isti, pre trenutka 0 s

imao vrednost 0. Usled pomenute nesimetrije, filteri nelinearne fazne karakteristike, kako i samo ime kaže,

imaju nelinearnu faznu frekvencijsku karakteristiku, koja u praksi dosta problema stvara i zadaje glavobolju.

Ono što jeste najveći problem kod ovakve vrste filtera jeste to što se frekvencijske komponente ulaznog

signala ne kasne podjednako na izlazu filtera, već je zavisnost kašnjenja pojedinačnih komponenti ulaznog

signala nelinearnog tipa. Ovo posledično dovodi i do frekvencijske distorzije izlaznog signala (distorzije

frekvencijskih komponenti izlaznog signala). Tada, ukoliko se ne primeni metod odvijanja frekvencija

izlaznog signala, ovaj signal postaje praktično neupotrebljiv. Odlika sistema da krivi frekvencijski sadržaj

signala postaje veliki problem u primenama različitih uređaja koje manje-više svakodnevno koristimo:

televizor, osciloskopi, ekrani na raznim elektronskim uređajima, obradi audio signala (zvuka) isl.

Slika 3 - Prikaz izgleda impulsnog odziva filtera nelinearne faze (levo)

i njegove fazne frekvencijske karakteristike (desno)

Principski postupak realizacije filtera nulte fazne karakteristike

Upravo tako kritični elementi, poput filtera nelinearne faze imaju odgovarajuće rešenje. Ono se zasniva na

realizaciji filtera nulte faze. Bilo kakav filter nenulte fazne karakteristike (linearne karakteristike ili još bolje,

nelinearne karakteristike), može se svesti na filter nulte faze, čime se efikasno “beži” od problema koji uvodi

specifična fazna karakteristika takvog filtera. Ovo je posebno značajno kod IIR filtera, jer imaju tu, naročito

nepoželjnu nelinearnu karakteristiku. Svođenje filtera ma kakve fazne karakteristike (linearne ili nelinearne)

na nultu faznu karakteristiku se odvija u nekoliko koraka (Slika 4).

Na Slika 4 je prikazana realizacija IIR filtera nulte fazne karakteristike, premda je ovo moguće učiniti i za FIR

filter. Dakle, svejedno je kakav se tip filtera koristi (koji hoćemo da načinimo takvim da ima nultu faznu

karakteristiku), pa ćemo generalno razmatrati sâmo rešenje.

Slika 4 - Šema principske realizacije filtera nulte fazne karakteristike korišćenjem

filtera nenulte fazne karakteristike (na slici: IIR filter)

6

Najpre, ulazni (sirovi) signal kojeg je neophodno na određen način obraditi (filtrirati) (na Slika 4 označen sa

x(n)), dovodi se na ulaz odgovarajućeg filtera (na slici je prikazan IIR filter, mada može biti i FIR filter). Usled

specifičnosti problema koji IIR filter pravi svojom primenom (distorzija frekvencijskog sadržaja signala),

posmatraćemo slučaj kada se od IIR filtera kreira odgovarajući IIR filter nulte faze (eliminisana nelinearnost).

Pošto, kao što smo rekli, IIR filter uvodi nelinearnu faznu karakteristiku i na nelinearan način kasni

frekvencijske komponente izlaznog (obrađenog) signala u odnosu na identične komponente ulaznog signala,

posmatraćemo kako se nekoj proizvoljnoj frekvencijskoj komponenti ulaznog signala x(n) menja faza. Neka

ta frekvencijska komponenta ulaznog signala x(n) ima vrednost faze npr. . Pošto smo rekli da filter kojeg

posmatramo unosi fazni pomeraj (kašnjenje naše frekvencijske komponente u vremenskom domenu),

frekvencijska komponenta signala koju posmatramo će biti zakašnjena, odnsosno fazno pomerena za –

(kašnjenje koje filter uvodi za posmatranu komponentu), što daje ukupnu fazu naše komponente .

Dakle, u tački A sa Slika 4 imamo situaciju da je posmatrana frekvencijska komponenta ulaznog signala faze

(fazno pomerena (zakašnjena) za ). Blok koji ima ulogu da tako nastali signal (u tački A) obrne oko

centralne tačke signala (kao u ogledalu) (na Slika 4 blok je označen kao Time reversal), negira vrednost faze

naše frekvencijske komponente (kao i svih ostalih komponenti signala) i unosi neko svoje dodatno kašnjenje

. Time ćemo za posmatranu komponentu signala dobiti da je njena faza u tački B sistema sa slike, sada

. Nakon izvrtanja signala iz tačke A, novodobijeni signal u tački B se ponovo

propušta kroz identični, kod nas IIR filter. Time će se tako obrnutom i dodatno zakašnjenom signalu (blokom

za obrtanje signala), uneti ponovo identično kašnjenje IIR filtera kao na početku, . Stoga će u tački C,

ponovo filtrirani signal iz tačke B imati posmatranu frekvencijsku komponentu, faze

. Na kraju, neophodno je ovako dobijeni, dvostruko filtrirani signal (filtriran potpuno istim filterom –

istih karakteristika) ponovo obrnuti (izokrenuti), odnosno vratiti u vremenski tok u kojem je na samom

početku, originalni (sirovi) signal x(n) imao. Ovo će biti ponovo učinjeno blokom za obrtanje signala (Time

reversal). Tako će se faza signala ponovo negirati (obrtanje faze signala) i opet, dodatno zakasniti

konstantom kašnjenja koju sâm ovaj blok unosi, pa ćemo imati fazu posmatrane komponente signala

. Prethodnim tekstom i objašnjenjem načina na koji će se signal tretirati

prilikom ovakvog filtriranja i prikaza matematičke pozadine ove priče, postalo je jasno da će ulazni (sirovi)

signal x(n) biti adekvatno obrađen (filtriran) i to u dva identična koraka obrade (dvostruko filtriran filterom

identičnih karakteristika), te da će frekvencijska komponenta ulaznog signala koju smo mi ovde posmatrali

(a odnosi se i na sve ostale komponente signala) i koja je bila faze , zadržati istu tu fazu i nakon obrade

(filtriranja), odnosno da konačni signal neće biti zakašnjen.

Primenom ovakvog načina implementacije bilo kog tipa filtera (IIR ili FIR) nulte fazne karakteristike, dobija se

izlazni signal čiji je amplitudski spektar ( ) dobijen množenjem amplitudskog spektra originalnog

signala (kojeg je i bilo neophodno obraditi) ( ) kvadratom amplitudske frekvencijske karakteristike

korišćenog (kod nas, IIR) filtera ( ). Time je postignuto dvostruko filtriranje signala (umesto,

klasičnog jednostrukog filtriranja) i činjenica da je korišćeni filter dvostruko većeg reda no što je to

specificirano kroz koeficijente funkcije prenosa polaznog (IIR) filtera. Još jedna posledica korišćenja ovakvog

tipa filtera je i da je njegova fazna frekvencijska karakteristika za sve frekvencijske komponente signala

vredosti 0 rad, što znači da se sve one bez ikakvog kašnjenja prenose na izlaz filtera (nakon obrade).

Na principu koji je opisan u prethodnom delu teksta, zasniva se i praktična realizacija programskog koda koji

je implementiran u okviru MATLAB funkcije filtfilt, koja ima ulogu da filtrira signal na ulazu, na malopre

predstavljeni način. Tom prilikom, na mestu gde je postavljen IIR filter na Slika 4, biće korišćen i postavljen

filter koji korisnik, koji primeni ovu MATLAB funkciju (filtfilt), specificira kroz definisanje koeficijenata u

okviru brojioca i imenioca funkcije prenosa (frekvencijskog odziva) potrebnog filtera. Na taj način će na

mesto korišćenih, IIR filtera na Slika 4, biti postavljen i upotrebljen filter željenih karakteristika i osobina (bilo

da je FIR ili IIR).

7

O MATLAB funkciji filtfilt()

MATLAB funkcija filtfilt implementira digitalni filter nulte fazne karakteristike (engl. zero-phase digital

filtering) na čiji ulaz je doveden neobrađeni (sirovi) signal. Forma kojom se poziva MATLAB funkcija izgleda:

y = filtfilt(b,a,x)

Iz oblika u kojem se poziva funkcija filtfilt, vidi se da ona prihvata 3 ulazna parametra: koeficijente u

brojiocu funkcije prenosa filtera koji se implementira funkcijom (b), koeficijente u imeniocu funkcije prenosa

filtera koji se implementira funkcijom (a) i sâm signal kog je neophodno obraditi (filtrirati) ovim filterom (x).

Ono što je kod ovog tipa filtera (filter nulte fazne karakteristike) posebno, jeste to da filter dvostruko filtrira

signal koji mu je doveden na ulaz. Oba puta se unutar samog koda implementiranog u okviru ove MATLAB

funkcije, koristi MATLAB funkcija filter (koju smo već imali prilike da vidimo i implementiramo u okviru

primera), koja svojim programskim kodom realizuje tzv. “klasičan” filter. Prvi put, filter koji je definisan

koeficijentima u brojicu i imeniocu njegove funkcije prenosa (b i a) deluje na signal doveden na njegov ulaz.

Ovako implementiran filter je reda N, definisanog na osnovu stepena polinoma u brojiocu funkcije prenosa

samog filtera. Usled činjenice da klasičan filter (filter) unosi kašnjenje izlaznog signala u odnosu na ulazni

signal (grupno kašnjenje filtera), neophodno je drugim prolazom otkloniti to kašnjenje. To će biti realizovano

na taj način što će signal koji je filtriran prvim prolazom sirovog signala kroz klasičan filter, biti obrnut

(izokrenut, kao u ogledalu) i opet filtriran identičnim filterom. Time će se prethodno zakašnjeni, jedanput

filtrirani signal, zakasniti ponovo i ponovo identično filtrirati upotrebom klasičnog filtera (funkcija filter se

sad primenjuje drugi put), ali sada u suprotnom smeru, jer je sâm signal obrnut. Drugim rečima, prvobitno

zakašnjeni signal će sada faktički “poraniti” za isti iznos vremenskog kašnjenja, čime se signal vraća na

prvobitni vremenski trenutak (faza konačnog signala je 0 rad). Time se postiže da krajnji, dvostruko filtrirani

signal ne bude vremenski smaknut (zadržava faznu karakteristiku). Zbog sada opisanog postupka i činjenice

da funkcija filtfilt ne unosi vremenski otklon (fazna karakteristika filtera je za sve frekvencijske

komponente tretiranog signala vrednosti 0 rad), za filter opisan ovom i ovakvom MATLAB funkcijom se kaže

da je filter nulte fazne karakteristike (engl. zero-phase filter). Logično, usled činjenice da je klasičan filter

upotrebljen unutar koda realizovanog unutar funkcije filtfilt reda N i da je ista ta funkcija dva puta

implementirana unutar iste, sveukupan filter filtfilt implementiran MATLAB kodom je dvostruko većeg

reda (2N). Time se postiže dvostruki efekat filtriranja signala klasičnim filterom (upotrebom funkcije

filter). Konačni dobijeni signal (tako obrnuti signal je drugi put filtriran) se na kraju ponovo obrće (kao u

ogledalu) kako bi se vratio u smer u kojem je i bio (misli se na smer u kojem je i originalni (sirovi) signal).

Dakle, cilj filtera nulte fazne karakteristike (filtfilt) je da očuva osobine signala u vremenskom domenu,

dobijenog nakon filtriranja, onakvim kakve su bile i u kojim trenucima su se dogodile u nefiltriranom signalu

(sirovom signalu, signalu pre filtriranja), odnosno da se zadrži faza signala koja je postojala pre filtriranja.

Da rezimiramo – filter nulte fazne karakteristike (filtfilt) ima sledeće osobine:

Bez fazne distorzije (distorzija nulte faze) – ne uvodi fazni pomeraj

Funkcija prenosa ovog filtera je udvostručena funkcija prenosa klasičnog filtera ( )

Red filtera je dvostruko veći od reda klasičnog filtera definisanog koeficijentima b i a.

8

b) Realizacija zadatka (rešenje)

Jedna epoha signala ‘6.txt’

Slika 5 - Grafički prikaz izgleda jedne epohe signala '6.txt' (gore) i njegovog spektra (dole).

Prikaz je krajnji rezultat poziva opcije "Slika signala" (početak=3000, dužina=600)

Prilikom odabira jedne epohe signala ‘6.txt’, korišćeni su parametri definisani u okviru primera ove vežbe

(početni odbirak epohe u okviru celokupnog signala je 3000, željeni broj odbiraka posmatranog segmenta

signala ‘6.txt’ je 600, frekvencija odabiranja ovog signala je 1000 Hz) (Slika 5). Pol filtera bazne linije (prvog

filtera) je vrednosti 0.99 (Slika 6).

Slika 6 - Prikaz amplitudske karakteristike frekvencijskog odziva

filtera bazne linije za vrednost pola njegove funkcije prenosa 0.99

9

Slika 7 - Prikaz izgleda originalnog (sirovog) signala i signala dobijenog filtriranjem primenom

filtera bazne linije (gore) i spektra filtriranog signala (dole). Odabrana vrednost pola filtera je 0.99

Primenom filtera nulte fazne karakteristike (engl. zero-phase filter), postižemo nekoliko činjenica. Jedna je

ta, da kvadriranjem vrednosti amplitudske karakteristike filtera bazne linije ( ) postižemo dodatno

slabljenje komponenti koje su prethodno korišćenim klasičnim filterom bile slabljene (komponente signala

koje se množe vrednošću amplitudske frekvencijske karakteristike klasičnog filtera manjom od 1). Dakle,

komponente kojih želimo da se rešimo u sirovom signalu (implicitno definisane koeficijentima u brojiocu i

imeniocu funkcije prenosa filtera) će biti dodatno oslabljene, zbog činjenice da se vrednosti amplitudskog

spektra sirovog signala ( ) na tim frekvencijama množe kvadriranim vrednostima amplitudske

frekvencijske karakteristike prvog filtera, koje su kao što smo pomenuli, sada uveliko manje od broja 1.

Usled navedenih činjenica, frekvencije oko 0 Hz koje uvode štetnu i beskorisnu baznu liniju i otklon (offset)

sirovog signala biće eliminisane, dok će one korisne, usled pooštrene selektivnosti amplitudske

karakteristike filtera nulte faze, ostati izuzetno dobro očuvane (Slika 7). Bolja eliminacija štetnih NF

komponenti amplitudskog otklona i promenljive bazne linije signala je dosta jasno prikazana na uporednim

graficima (Slika 8) na kojima su prikazani signali pre i posle filtriranja (respektivno, plava i crvena linija) u

vremenskom (gore) i frekvencijskom domenu (dole), gde su filtrirani signali dobijeni primenom klasičnog

filtera (levo) i filtera nulte fazne karakteristike (desno), oba sa identičnim parametrima.

Pored navedenih osobina signala dobijenog filtriranjem filtera bazne linije nulte fazne karakteristike, može

se uočiti još jedna činjenica koja pravi jasnu razliku između signala filtriranog klasičnim filterom i signala

filtriranog filterom nulte fazne karaktetiristike.

Naime na Slika 8, uočljivo je da signal filtriran klasičnom filterom (levo, crvena linija) počinje u identičnoj

vrednosti u kojoj kreće i originalni signal (obratiti pažnju da kreći iz identične tačke na ordinati). Razlog zbog

kog se ovako nešto dešava kod signala filtriranog klasičnim filterom je čisto matematičke prirode. Naime,

diferencna jednačina kojom se opisuje posmatrani klasični filter prvog reda (koji je uzgred kauzalan po svojoj

prirodi), saopštava da trenutna vrednost izlaza filtera (funkcija prikazana crvenom linijom na Slika 8 – levo,

gore) zavisi od trenutne vrednosti ulaznog signala u filter ( ), kao i nekoliko prethodnih vrednosti ulaznog

signala ( ) i nekoliko prethodnih vredonsti izlaznog signala ( ):

10

Usled toga, vrednost filtriranog signala u prvom odbirku ( ) će zavisiti samo od vrednosti ulaznog signala

u tom trenutku skaliranog koeficijentom ( ), pošto je sistem (klasični filter bazne linije) kauzalan

( ). Stoga, filtrirani signal će počinjati u gotovo istoj tački na ordinati u kojoj počinje i

originalni signal (kod klasičnog filtera). Rekosmo, “gotovo istoj”, jer nije sasvim ista pošto je skalirana

koeficijentom , koji kod nas, za odabranu vrednost pola ovog filtera iznosi

, što i nije

mnogo daleko od vrednosti 1.

Kod filtera nulte fazne karakteristike, identičnih parametara, ne dolazi do ovog fenomena, jer se signal

filtrira u oba smera, čime će za jedan smer problematična tačka biti nulta (kao kod klasičnog filtera), dok će

za drugi smer biti poslednja (omogućeno preuzimanje neophodnih prethodnih vrednosti – tada nema

problema kauzalnosti filtera) (Slika 8 – desno).

Slika 8 - Razlika u signalima i njihovim spektrima, dobijenim filtriranjem bazne linije sirovog signala klasičnim filterom (levo)

i zero-phase filterom (desno). Pol oba tipa filtera bazne linije je 0.99

Slika 9 - Prikaz amplitudske karakteristike frekvencijskog odziva MA filtera reda 10 (11 tačaka za usrednjavanje ul. signala).

Frekvencije na kojima se nalaze nule MA filtera se jasno video kao "ponornice" karakteristike

Može uočiti na vremenskom prikazu originalnog i filtriranog signala (Slika 8 – desno, gore) da za razliku od

izlaznog signala klasičnog filtera, izlazni signal filtera nulte fazne karakteristike uopšte nema DC komponentu

(ona je vrednosti 0 – nema amplitudskog otklona filtriranog signala), kao i da je bazna linija sasvim

eliminisana i ne utiče na filtrirani signal uopšte.

11

Drugi filter (MA filter) je identičan onom korišćenom u primeru – red MA filtera je 10 (11 odbiraka ulaznog

signala koristi se za usrednjavanje). Amplitudska karakteristika takvog filtera je prikazana na Slika 9.

Slika 10 - Prikaz izgleda originalnog (sirovog) signala i signala dobijenog filtriranjem bazne linije i primenom MA filtera (gore)

i spektra signala bez bazne linije i MA filtriranog signala (dole). Odabrana vrednost reda MA filtera je 10

Slika 11 - Razlika u signalima i njihovim spektrima, dobijenim filtriranjem bazne linije i VF smetnji sirovog signala klasičnim filterom

(levo) i zero-phase filterom (desno). Pol oba tipa filtera bazne linije je 0.99, red oba tipa filtera je 10

Već se na Slika 10 vidi da je konačni filtrirani signal (dobijen filtriranjem sirovog signala filterom bazne linije

čiji je pol 0.99 i MA filterom reda 10) u zavidnoj meri sličan sirovom signalu (bez šuma i bazne linije). Ovo se

uočava, kako u vremenskom domenu, tako i u frekvencijskom domenu. Frekvencijski domen (Slika 10 – dole)

otkriva gotovo potpuno poništavanje DC komponente signala (koponenta na 0 Hz), očuvanje korisnih

komponenti relativno niskih frekvencija (manjih od 50 Hz) i dosta dobrog potiskivanja VF komponenti signala

(možemo smatrati – potpunog poništavanja). Poredeći rezultate dobijene primenom klasičnog filtera i filtera

nulte fazne karakteristike (Slika 11), ovo se još jasnije može uočiti. Naročito su interesantne DC komponenta

(gotovo potpuno potisnuta) i VF komponente signala (više od 100 Hz, naročito dominantna komponenta na

oko 180 Hz), koje su gotovo sasvim uklonjene (smetnje).

12

Poslednje pomenute činjenice se mogu uočiti i na Slika 12 – Slika 17.

Slika 12 - Prikaz spektra signala bez bazne linije (0,200 Hz), ampl. frek. karakteristike MA filtera (0,200 Hz)

i spektara sig. bez bazne linije i konačnog signala (0,200 Hz). Red MA filtera je 10

Slika 13 - Razlika u spektrima signala dobijenih filtriranjem bazne linije (sig. 'p') i dodatnom upotrebom MA filtera (sig. 'y') nad

sirovim signalom. Izlazi klasičnih filtera (levo) i izlazi zero-phase filtera (desno). Pol oba tipa filtera je 0.99, red im je 10

13

Slika 14 - Prikaz odabranog signala '6.txt' kroz sve 3 faze (odozgo na dole: sirovi signal, signal nakon filtera bazne linije,

krajnji signal posle MA filtera). Pol prvog filtera je 0.99, a red MA filtera je 10

Slika 15 - Razlika u signalima u sve 3 faze, dobijenih filtriranjem bazne linije i dodatnom upotrebom MA filtera nad sirovim signalom,

klasičnim filterom (levo) i zero-phase filterom (desno). Pol oba tipa filtera bazne linije je 0.99, red MA filtera je 10

14

Slika 16 - Prikaz amplitudske frekv. karakteristike prvog i drugog filtera i spektara sirovog signala '6.txt'

i krajnjeg signala (pol prvog filtera je 0.99; red MA filtera je 10)

Slika 17 - Razlika u spektrima sirovog signala i krajnjeg signala, dobijenog primenom klasičnog filtera (odnosi se na oba stepena

filtera - levo), odnosno zero-phase filtera (za oba stepena filtera - desno)

Pošto je tekstom zadatka definisano da je neophodno prikazati baznu liniju signala kojeg je korisnik odabrao,

to ćemo i učiniti – jednostavnim oduzimanjem originalnog (sirovog) EKG signala i signala nakon prvog filtera

(dobijenog filtriranjem pomoću filtera bazne linije).

Prikazaćemo samo deo realizovanog programskog koda za ovaj deo zadatka (da se stekne predstava o tome

šta je cilj i kako se do njega stiglo):

razlika = x-p; subplot(311), plot(time,x) ... subplot(312), plot(time,p,'r') ... subplot(313), plot(time,razlika) ...

15

Slika 18 - Prikaz originalnog (sirovog) signala (gore), signala dobijenog filtriranjem bazne linije (sredina)

i bazne linije dobijene oduzimanjem ova dva signala (dole)

Slika 19 - Izgled spektara originalnog (sirovog) signala i krajnjeg signala dobijenog filtriranjem zero-phase filterom (filtfilt)

Prikaz bazne linije je omogućen (neprikazanim) programskim kodom koji ima cilj da grafički prikaže istu (Slika

18). Oduzimanjem prikazana dva signala (razlika signala gore i signala u sredini), dobijena je bazna linija

segmenta EKG signala ‘6.txt’ kojeg je korisnik odabrao.

Vidi se sa Slika 19 da su komponente signala koje reprezentuju promenljivu baznu liniju i DC komponentu

signala (amplitudski otklon, 0 Hz) značajno oslabljene (gotovo eliminisane). Ostale komponente (na potezu

do 50 Hz) su dovoljno dobro sačuvane, čime je izbegnuta mogućnost potpunog gubljenja korisnog dela EKG

signala (npr. QRS kompleksa).

16

Slika 20 - Prikaz originalnog (sirovog) signala i razliku u krajnjem rezlutatu (filtriranom signalu) dobijenim korišćenjem klasičnog

filtera, odnosno zero-phase filtera

Na poslednjem grafiku (Slika 20) je prikazan krajnji rezultat primene klasičnog filtera (signal obeležen na

donjem podgrafiku plavom bojom), odnosno filtera nulte fazne karakteristike (signal obeležen na donjem

podgrafiku crvenom bojom). Jasno se vidi da je, kao što smo i do sada videli i zaključili, bolje potisnuta bazna

linija i DC komponenta signala, da je signal glatkiji, jer je red filtera nulte fazne karakteristike dvostruko veći

od reda klasičnog filtera, te da se jasno može uočiti kašnjenje koje klasičan filter unosi pomeranjem krajnjeg

izlaznog signala u desno na vremenskoj osi u odnosu na izlazni signal filtera nulte fazne karakteristike, kojeg

ne odlikuje kašnjenje (nulta faza).

Celokupan signal ‘6.txt’

Slika 21 - Grafički prikaz izgleda signala '6.txt' (gore) i njegovog spektra (dole). Prikaz je krajnji rezultat poziva opcije "Slika signala" (početak=1, dužina=8567)

17

Slika 22 - Prikaz amplitudske karakteristike frekvencijskog odziva filtera

bazne linije za vrednost pola njegove funkcije prenosa 0.99

Posmatraćemo celokupni EKG signal '6.txt' (Slika 21). Pol filtera bazne linije je 0.99 (Slika 22), dok je red MA filtera 10 (u 11 tačaka (odbiraka) se vrši usrednjavanje signala na ulazu drugog filtera). Ponovo, u skladu sa tekstom zadatka, za oba stepena filtera (filter bazne linije i MA filter) korišćen je tip filtera nulte fazne karakteristike (engl. zero-phase filter). U okviru programskog koda, ovaj filter je realizovan primenom MATLAB funkcije filtfilt.

Slika 23 - Prikaz izgleda originalnog (sirovog) signala i signala dobijenog filtriranjem primenom filtera bazne linije (gore) i spektra

filtriranog signala (dole). Odabrana vrednost pola filtera je 0.99

18

Slika 24 - Razlika u signalima i njihovim spektrima, dobijenim filtriranjem bazne linije sirovog signala klasičnim filterom (levo) i zero-

phase filterom (desno). Pol oba tipa filtera bazne linije je 0.99

Sa Slika 23 i Slika 24 se jasno vidi da je filter nulte fazne karakteristike (Slika 24 – desno) gotovo potpuno

eliminisao uticaj DC komponente sirovog signala (amplitudski otklon signala), kao i da promenljiva bazna

linije vaše nema uticaj na signal, odnosno da je uspešno otklonjena. Za razliku od ovog filtera, klasični filter

(Slika 24 – levo) ne uspeva tako uspešno da izvrši postavljeni zadatak (uklanjanje pomenute dve komponente

signala). Ovo se naročito jasno vidi u prvim odbircima signala, gde on počinje iz iste amplitude iz koje kreće

sirovi signal, što znači da otklon signala nije sasvim uspešno realizovan u tim vremenskim trenucima (prvi

odbirci na Slika 24 – levo, gore). Osim toga, može se uočiti i blago veći uticaj bazne linije na signal filtriran

klasičnim filterom u odnosu na signal dobijen filtriranjem filterom nulte fazne karakteristike (posebno na

Slika 33).

Sve pomenute osobine u vremenskom domenu se dosta bolje mogu sagledati u frekvencijskom domenu,

odnosno preko spektara odgovarajućih signala (Slika 24 – levo i desno, dole). Očigledno je mnogo bolje

postiskivanje DC komponente signala (0 Hz) kod filtera nulte fazne karakteristike, kao i NF komponenti

signala u neposrednoj blizini ove komponente (DC) koje su krivac za postojanje promenljive bazne linije.

Slika 25 - Prikaz amplitudske karakteristike frekvencijskog odziva MA filtera reda 10 (11 tačaka za usrednjavanje ul. signala).

Frekvencije na kojima se nalaze nule MA filtera se jasno video kao "ponornice" karakteristike

19

Slika 26 - Prikaz izgleda originalnog (sirovog) signala i signala dobijenog filtriranjem bazne linije i primenom MA filtera (gore) i

spektra signala bez bazne linije i MA filtriranog signala (dole). Odabrana vrednost reda MA filtera je 10

Usled činjenice da filter nulte fazne karakteristike ima dvostruko veći red, postojaće dvostruko filtriranje

signala, kao što je već rečeno. To je jasno i iz prethodne analize uticaja filtera bazne linije realizovanog

primenom filtera nulte fazne karakterisitke, naspram primene klasičnog filtera u istom cilju. Isto tako i kod

MA filtera, primenom ovakvog filtera dobijamo dvostruko veći red, što se manifestuje dodatnim slabljenjem

komponenti koje su već slabljene samim klasičnim filterom (čije su amplitude na amplitudskoj karakteristici

klasičnog filtera već bile manje od 1). Dakle, u poređenju su klasičnim MA filterom i efektima koje on donosi

filtriranjem signala (Slika 26 i Slika 27), komponente signala koje se slabe klasičnim MA filterom (koje se

množe vrednošću amplitudske karakteristike MA filtera manjom od 1) (Slika 27 – levo), primenom filtera

nulte fazne karakteristike se dodatno slabe (vrednost manja od 1 se kvadrira, čime dobijena vrednost

postaje još udaljenija od 1), što doprinosi boljem učinku ovog tipa filtera u odnosu na klasični filter (naravno,

kada je to neophodno sa ove tačke gledišta).

Slika 27 - Razlika u signalima i njihovim spektrima, dobijenim filtriranjem bazne linije

i VF smetnji sirovog signala klasičnim filterom (levo) i zero-phase filterom (desno). Pol oba tipa filtera bazne linije je 0.99, red oba tipa filtera je 10

20

Slika 28 - Prikaz spektra signala bez bazne linije (0,200 Hz), ampl. frek. karakteristike

MA filtera (0,200 Hz) i spektara sig. bez bazne linije i konačnog signala (0,200 Hz). Red MA filtera je 10

Na Slika 28 se može dosta dobro videti kako MA filter nulte fazne karakteristike utiče na ulazni signal (izlaz

filtera bazne linije nulte fazne karakteristike), odnosno njegov spektar. Koristan deo signala (frekvencije

(komponente) signala koje učestvuju u formiranju QRS kompleksa) je dosta dobro očuvan (frekvencije niže

od 50 Hz), dok su DC komponenta (amplitudski otklon signala, engl. offset) i VF komponente signala

(smetnje) kvalitetno oslabljeni, odnosno odstranjeni. Naročito se jasno vidi da je uticaj izuzetno dominantne

komponente nefiltriranog signala na 180 Hz, sada gotovo potpuno sveden na nulu (ne postoji).

Time smo konačni (isfiltrirani) signal lišili uticaja promenljive bazne linije i VF komponente signala (šum) koje

su maskirale koristan deo signala.

Slika 29 - Prikaz odabranog signala '6.txt' kroz sve 3 faze (odozgo na dole: sirovi signal, signal nakon filtera bazne linije, krajnji signal

posle MA filtera). Pol prvog filtera je 0.99, a red MA filtera je 10

21

Slika 30 - Razlika u signalima u sve 3 faze, dobijenih filtriranjem bazne linije i dodatnom upotrebom MA filtera nad sirovim signalom,

klasičnim filterom (levo) i zero-phase filterom (desno). Pol oba tipa filtera bazne linije je 0.99, red MA filtera je 10

Sa Slika 29 i Slika 30 se dosta dobro može videti kako je bazna linija kod filtera nulte fazne karakteristike

sasvim otklonjena, DC komponenta signala ne postoji (isfiltrirani signal se kreće oko bazne vrednosti signala

0), ali kako je i VF komponenta signala dosta bolje potisnuta no kod klasičnog filtera.

Dvostruko filtriranje, kao i dvostruki efekat koji donosi filter nulte fazne karakteristike, očigledno donosi i

pozitivne rezultate po pitanju krajnjih idejnih efekata na ulazni signal odgovarajućeg filtera (filtera bazne

linije ili MA filtera).

Slika 31 - Prikaz amplitudske frekv. karakteristike prvog i drugog filtera i spektara sirovog signala '6.txt'

i krajnjeg signala (pol prvog filtera je 0.99; red MA filtera je 10)

22

Slika 32 - Prikaz originalnog (sirovog) signala (gore), signala dobijenog filtriranjem bazne linije (sredina) i bazne linije dobijene

oduzimanjem ova dva signala (dole)

Jasno se vidi sa Slika 31 da su DC komponenta i bazna linija kod filtriranog signala, ako ne potpuno potisnute,

onda drastično smanjene o odnosu na njihov uticaj na sirovi sginal, kao i da su korisne komponente signala

(one koje učestvuju u formianju QRS kompleksa) dovoljno dobro očuvane.

Sa iste slike se može shvatiti zašto i kako nastaje spektar konačnog signala (isfiltriranog signala, y),

– spektar originalnog signala (prikazan plavom bojom na poslednjem pografu na Slika 31, ) se množi

dvema amplitudskim karakteristikama obe vrste filtera nulte fazne karakteristike (filter bazne linije,

i MA filter,

), prikazanim na prva dva podgrafa na Slika 31, čime se dobija spektar

konačnog (isfiltriranog) signala , čiji potez od 0 do 50 Hz možemo videti na poslednjem podgrafu

iste slike.

Slika 33 – Izgled spektara originalnog (sirovog) signala i krajnjeg signala dobijenog filtriranjem zero-phase filterom (filtfilt)

23

Slika 34 – Prikaz originalnog (sirovog) signala i razliku u krajnjem rezlutatu (filtriranom signalu) dobijenim korišćenjem klasičnog

filtera, odnosno zero-phase filtera (opseg od 0 do 0.8 s)

Bazna linija koja utiče na variranje originalnog (sirovog) signala je ekstrakovana na već opsiani način

(oduzimanjem originalnog signala i krajnjeg (isfiltriranog) signala) i prikazana na Slika 32.

Na slikama Slika 33 i Slika 34 se može sagledati razlika u rezultatima dobijenim primenom dva tipa filtera:

klasičan filter i filter nulte fazne karakteristike.

Signal koji se dobija na izlazu filtera nulte fazne karakteristike (obeležen crvenom bojom) ne unosi

vremensko kašnjenje (fazni pomak) i ima dosta zaobljenijju krivu, te bolje potisnute beskorisne (štetne) VF

komponente signala.

Slika 35 - Prikaz originalnog (sirovog) signala i razliku u krajnjem rezlutatu (filtriranom signalu) dobijenim korišćenjem klasičnog

filtera, odnosno zero-phase filtera

24

Sada će biti prikazani samo grafički prikazi dobijenih rezultata prilikom primene istog programskog koda

(realizovanog unutar M-fajla Resenje_Zadatak3_IIciklus.m) korišćenog nad signalom ‘6.txt’, sada nad

signalom ‘7.txt’.

Jedna epoha signala ‘7.txt’

Slika 36 - Grafički prikaz izgleda jedne epohe signala '7.txt' (gore) i njegovog spektra (dole).

Prikaz je krajnji rezultat poziva opcije "Slika signala" (početak=140, dužina=90)

Slika 37 - Prikaz amplitudske karakteristike frekvencijskog odziva filtera bazne linije za vrednost pola njegove funkcije prenosa 0.9

25

Slika 38 - Prikaz izgleda originalnog (sirovog) signala i signala dobijenog filtriranjem primenom

filtera bazne linije (gore) i spektra filtriranog signala (dole). Odabrana vrednost pola filtera je 0.9

Slika 39 - Razlika u signalima i njihovim spektrima, dobijenim filtriranjem bazne linije sirovog signala

klasičnim filterom (levo) i zero-phase filterom (desno). Pol oba tipa filtera bazne linije je 0.9

26

Slika 40 - Prikaz amplitudske karakteristike frekvencijskog odziva MA filtera reda 1

(2 tačke za usrednjavanje ul. signala). Frekvencije na kojima se nalaze nule MA filtera se jasno video kao "ponornice" karakteristike

Slika 41 - Prikaz izgleda originalnog (sirovog) signala i signala dobijenog filtriranjem bazne linije

i primenom MA filtera (gore) i spektra signala bez bazne linije i MA filtriranog signala (dole). Odabrana vrednost reda MA filtera je 1

27

Slika 42 - Razlika u signalima i njihovim spektrima, dobijenim filtriranjem bazne linije i

VF smetnji sirovog signala klasičnim filterom (levo) i zero-phase filterom (desno). Pol oba tipa filtera bazne linije je 0.9, red oba tipa filtera je 1

Slika 43 - Prikaz spektra signala bez bazne linije (0,100 Hz), ampl. frek. karakteristike

MA filtera (0,100 Hz) i spektara sig. bez bazne linije i konačnog signala (0,100 Hz). Red MA filtera je 1

Slika 44 - Razlika u spektrima dobijenih krajnjih signala filtriranjem klasičnim filterom (levo) i filterom nulte fazne karakteristike (desno). Opseg

frekvencija je (0,100 Hz). Pol filtera bazne linije je 0.9, red MA filtera je 1

28

Slika 45 - Prikaz odabranog signala '7.txt' kroz sve 3 faze (odozgo na dole: sirovi signal,

signal nakon filtera bazne linije, krajnji signal posle MA filtera). Pol prvog filtera je 0.9, a red MA filtera je 1

Slika 46 - Razlika u signalima u sve 3 faze, dobijenih filtriranjem bazne linije i dodatnom upotrebom

MA filtera nad sirovim signalom, klasičnim filterom (levo) i zero-phase filterom (desno). Pol oba tipa filtera bazne linije je 0.9, red MA filtera je 1

29

Slika 47 - Prikaz amplitudske frekv. karakteristike prvog i drugog filtera i spektara sirovog signala

'7.txt' i krajnjeg signala (pol prvog filtera je 0.9; red MA filtera je 1)

Slika 48 - Razlika u spektrima dobijenih krajnjih signala filtriranjem klasičnim filterom (levo)

i filterom nulte fazne karakteristike (desno). Opseg frekvencija je (0,100 Hz). Pol filtera bazne linije je 0.9, red MA filtera je 1

30

Slika 49 - Prikaz originalnog (sirovog) signala (gore), signala dobijenog filtriranjem bazne linije (sredina) i bazne linije dobijene oduzimanjem ova dva signala (dole)

Slika 50 - Prikaz originalnog (sirovog) signala i razliku u krajnjem rezlutatu

(filtriranom signalu) dobijenim korišćenjem klasičnog filtera, odnosno zero-phase filtera

31

Slika 51 - Izgled spektara originalnog (sirovog) signala i krajnjeg signala

dobijenog filtriranjem zero-phase filterom (filtfilt)

Celokupan signal ‘7.txt’

Slika 52 - Grafički prikaz izgleda signala '7.txt' (gore) i njegovog spektra (dole). Prikaz je krajnji rezultat poziva opcije "Slika signala" (početak=1, dužina=8567)

32

Slika 53 - Prikaz amplitudske karakteristike frekvencijskog odziva filtera

bazne linije za vrednost pola njegove funkcije prenosa 0.9

Slika 54 - Prikaz izgleda originalnog (sirovog) signala i signala dobijenog filtriranjem

primenom filtera bazne linije (gore) i spektra filtriranog signala (dole). Odabrana vrednost pola filtera je 0.9

33

Slika 55 - Razlika u signalima i njihovim spektrima, dobijenim filtriranjem bazne linije sirovog signala

klasičnim filterom (levo) i zero-phase filterom (desno). Pol oba tipa filtera bazne linije je 0.9

Slika 56 - Prikaz amplitudske karakteristike frekvencijskog odziva MA filtera reda 1

(2 tačaka za usrednjavanje ul. signala). Frekvencije na kojima se nalaze nule MA filtera se jasno video kao "ponornice" karakteristike

34

Slika 57 - Prikaz izgleda originalnog (sirovog) signala i signala dobijenog filtriranjem bazne linije

i primenom MA filtera (gore) i spektra signala bez bazne linije i MA filtriranog signala (dole). Odabrana vrednost reda MA filtera je 1

Slika 58 - Razlika u signalima i njihovim spektrima, dobijenim filtriranjem bazne linije

i VF smetnji sirovog signala klasičnim filterom (levo) i zero-phase filterom (desno). Pol oba tipa filtera bazne linije je 0.9, red oba tipa filtera je 1

35

Slika 59 - Prikaz spektra signala bez bazne linije (0,100 Hz), ampl. frek. karakteristike

MA filtera (0,100 Hz) i spektara sig. bez bazne linije i konačnog signala (0,100 Hz). Red MA filtera je 1

Slika 60 - Razlika u spektrima dobijenih krajnjih signala filtriranjem klasičnim filterom (levo)

i filterom nulte fazne karakteristike (desno).Pol filtera bazne linije je 0.9, red MA filtera je 1. Opseg frekvencija je (0,50 Hz)

36

Slika 61 - Prikaz odabranog signala ‘7.txt’ kroz sve 3 faze (odozgo na dole: sirovi signal,

signal nakon filtera bazne linije, krajnji signal posle MA filtera). Pol prvog filtera je 0.9, a red MA filtera je 1

Slika 62 - Razlika u signalima u sve 3 faze, dobijenih filtriranjem bazne linije i dodatnom upotrebom

MA filtera nad sirovim signalom, klasičnim filterom (levo) i zero-phase filterom (desno). Pol oba tipa filtera bazne linije je 0.9, red MA filtera je 1

37

Slika 63 - Prikaz amplitudske frekv. karakteristike prvog i drugog filtera

i spektara sirovog signala '7.txt' i krajnjeg signala (pol prvog filtera je 0.9; red MA filtera je 1)

Slika 64 - Razlika u spektrima dobijenih krajnjih signala filtriranjem klasičnim filterom (levo)

i filterom nulte fazne karakteristike (desno).Pol filtera bazne linije je 0.9, red MA filtera je 1

38

Slika 65 - Prikaz originalnog (sirovog) signala (gore), signala dobijenog filtriranjem bazne linije (sredina) i bazne linije dobijene oduzimanjem ova dva signala (dole)

Slika 66 - Prikaz originalnog (sirovog) signala i razliku u krajnjem rezlutatu

(filtriranom signalu) dobijenim korišćenjem klasičnog filtera, odnosno zero-phase filtera

39

Slika 67 - Izgled spektara originalnog (sirovog) signala i krajnjeg signala

dobijenog filtriranjem zero-phase filterom (filtfilt)

3. Literatura

Korišćena literatura:

1. http://www.mathworks.com/help/signal/ref/filtfilt.html?searchHighlight=filtfilt#bqih_cb-1

2. http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/12886-teqcspec/content/Teqcspec/filtfilt.m

3. https://ccrma.stanford.edu/~jos/filters/Forward_Backward_Filtering.html

4. http://www.embedded.com/design/configurable-systems/4008847/DSP-Tricks-Doing-Zero-phase-

filtering

5. http://www.dspguide.com/ch19/4.htm