MODUL 4RESECTION1. Persamaan Kolinear

Space Resection atau reseksi ruang dengan kolinearitas merupakan metode numerik murni yang secara serentak menghasilkan enam unsur orientasi luar (EO). Biasanya nilai sudut XL, YL, ZL, ω, , κ diperoleh dengan penyelesaian itu. Space Resection dengan kolinearitas memungkinkan penggunaan ulang sejumlah titik kontrol medan. Oleh karena itu dapat digunakan cara perhitungan kuadrat terkecil untuk menentukan nilai yang paling mungkin bagi keenam unsur itu. Meskipun perhitungannya panjang dapat dilakukan secara rutin. Space Resection dengan kolinearitas merupakan metode yang lebih disukai untuk menentukan unsur orientasi luar (Wolf, 2000).

Space Resection dengan kolinearitas meliputi formulasi yang disebut dengan Persamaan Kolinearitas (Collinearity equation) untuk sejumlah titik kontrol yang koordinat medannya X, Y dan Z diketahui dan yang gambarnya tampak pada foto. Kemudian persamaan itu diselesaikan untuk enam unsur orientasi luar yang belum diketahui dan tampak pada foto. Kolinearitas di deskripsikan sebagai kondisi dimana stasiun pemotretan, beberapa titik objek, dan image foto berada pada satu garis lurus pada space 3D. Kondisi kolinearitas di ilustrasikan seperti gambar di bawah ini dimana A, o dan a terletak pada satu garis lurus :

Gambar 2.1 Kondisi Kolinearitas

Keterangan Gambar :xa, ya : Koordinat foto XA, YA, ZA : Koordinat titik object spaceX, Y, Z : Koordinat kameraf : Panjang fokus kameraxp, yp : Koordinat dari principal point

Persamaan dasar dari kondisi kolinearitas bersifat nonlinier dan dilinierkan dengan menggunakan teorema Taylor. Penggunaan teorema Taylor untuk menyelesaikan kolinearitas memerlukan pendekatan awal bagi semua unsur orientasi luar yang tidak diketahui. Dua persamaan menunjukkan kondisi kolinearitas untuk setiap titik pada foto, satu persamaan untuk koodinat foto x dan persamaan yang lain untuk koordinat foto y.

(2.1)

(2.2)

Dimana :xo, yo : Koordinat foto titik a xa, xy : Koordinat foto yang diukur

Photo-coordinate System

Object Coordinate System

Image Point(xa, ya)

Image Plane Perspective Centre

Object Point(XA, YA, ZA)

AP

Bo

o

x

y

ZY

X

f

pr

a(xp, yp)

XA, YA, ZA : Koordinat Object Space untuk titik AXL, YL, ZL : Koordinat stasiun pemotretanf : Panjang fokus kamera, m : 3 sudut matrik rotasi ortogonal (ω, , κ)

Dimana matrik rotasi menggunakan persamaan sebagai berikut :

Persamaan (2.1) dan (2.2) merupakan persamaan non linear dan sembilan unsur yang belum diketahui, 3 sudut perputaran ω, , κ yang berhubungan dengan r, 3 koordinat stasiun pemotretan XL, YL dan ZL, 3 koordinat titik objek XA, YA dan ZA. Persamaan non linear dapat dilinearisasikan dengan menggunakan teorema Taylor (Wolf, 2000).

2. Least Square AdjustmentLeast Square Adjustment adalah sebuah teknik statistik yang

digunakan untuk mengestimasi parameter unknown disatukan dengan sebuah solusi dimana teknik tersebut dapat juga meminimalisir nilai kesalahan dari solusi itu sendiri. Dalam teknik fotogrametri metode least square adjusment digunakan untuk proses antara lain :1. Mengestimasi atau meratakan nilai parameter exterior orientasi.2. Mengestimasi nilai object space point (X, Y, dan Z) beserta nilai

keakurasiannya.3. Mengestimasi dan meratakan nilai parameter interior orientasi

4. Meminimalisir dan mendistribusikan errors data melalui jaringan pengamatan.

Pendekatan least square dibutuhkan untuk proses iterasi sampai sebuah solusi didapat. Sebuah solusi diperoleh saat residual atau nilai kesalahan yang terdapat dalam sebuah data diminimalisir.

Bagi sekelompok data pengamatan berbobot sama, persyaratan utama yang harus dikenakan bagi penyesuaian least square ialah bahwa jumlah kuadrat residual di minimalisir. Selanjutnya di dalam bentuk persamaan maka persyaratan utama least square adjustment dinyatakan sebagai :

minimum

Dalam metode persamaan pengamatan bagi penyesuaian least square, ditulis persamaan pengamatan yang berkaitan dengan nilai terukur terhadap kesalahan residual dan parameter unkown. Untuk pemecahan yang unik maka jumlah persamaan harus sama besar dengan jumlah unknown. Bila dilakukan pengamatan berulang, maka dapat ditulis persamaan pengamatan yang lebih banyak dari yang diperlukan untuk pemecahan yang unik. Dan nilai yang paling mungkin dapat ditentukan dengan dengan metode least square.

Bentuk sederhana dari persamaan least square yang dilakukan dengan pendekatan aljabar dalam bentuk matrik dapat dituliskan sebagai berikut :

Atau

Dimana setiap notasi diatas diwakili oleh susunan matriks sebagai berikut :

Dengan mempelajari penyajian matriks, akan terlihat bahwa persamaan normal dapat diperoleh sebagai berikut :

Pada persamaan di atas, adalah matriks koefisien persamaan

normal dari bilangan unknown. Dengan mengalikan persamaan diatas

dengan dan kurangkan, hasilnya adalah :

Bagi suatu sistem pengamatan terbobot, persamaan matriks berikut menyajikan matriks X bagi nilai paling mungkin untuk nilai yang tidak dikenal.

Dimana :X = Matriks parameter unknownA = Matriks koefisien atau matriks JacobianL = Matriks Pengamatan / ObservasiP = Matriks bobot

Di dalam persamaan matriks identik terhadap persamaan bobot, kecuali bahwa matriks P merupakan matriks diagonal bobot.

3. Space Resection dengan Teknik Least SquareSpace Resection merupakan suatu proses untuk menentukan

elemen Exterior Orientation dan posisi sensor dari titik kontrol tanah dan koordinat image. Metode perhitungan yang paling biasa digunakan adalah persamaan kolineariti, dimana prinsip dari persamaan tersebut

adalah titik kontrol, titik pada image, dan proyeksi pusat terletak pada satu garis lurus. Untuk setiap titik kontrol, dapat diperoleh dua persamaan. Karena terdapat 6 parameter EO, sedikitnya tiga titik kontrol dibutuhkan untuk memecahkan masalah resection. Metode perhitungan dengan menggunakan teknik Least Square akan diterapkan pada penelitian ini untuk menentukan nilai yang paling mungkin pada enam parameter EO (Yao Jianchao and Chia Tien Chern, 2001).

Ukuran koordinat foto xa dan ya (menyuling dan mengoreksi untuk distorsi lensa jika sesuai) image sasaran memberi kenaikan ke dua persamaan kolineariti. Jika tiga elemen Interior Orientation (c, xo, and yo) diberikan oleh kalibrasi kamera dan koordinat (XA, YA, ZA) dititik A pada sistem koordinat object space maka dikenal dua persamaan dengan 6 nilai yang belum diketahui yaitu rotasi ω, Φ, k dan koordinat (Xo, Yo, Zo) pada perspective center. Sedikitnya 3 target non-collinear seperti titik kontrol diperlukan untuk resection dari kamera. Metode ini digunakan untuk mengevaluasi elemen EO yang bergantung pada tujuan fotogrametri (Cooper, 1987).

Metode untuk evaluasi secara langsung pada enam elemen orientasi bagian luar (Eksterior Orientation) diperoleh dari diukurnya koordinat foto pada image dengan tiga titik kontrol non kolinear yang tidak memerlukan beberapa nilai pendekatan (Zeng and Wang, 1992 dalam Cooper et al, 1987). Prosedur ini memberikan koordinat secara langsung dari perspective center. Bentuk secara aljabar akan digunakan pada matriks rotasinya. Jika diperlukan, nilai untuk rotasi ω, Φ dan k dapat di cari dari 9 elemen matrik rotasi (Cooper, 1987).

Jika perhitungan resection secara statistik lebih teliti diperlukan, maka persamaan kolineariti dapat dilinearisasikan dan proses least square dapat digunakan untuk mengevaluasi 6 elemen Eksterior Orientation. Untuk mendapat nilai resection yang teliti perlu mendapat nilai pendekatan untuk unsur orientasi yang cukup dekat dengan nilai akhir untuk proses iterative agar lebih teliti. Biasanya nilai yang tepat untuk koordinat (Xo, Yo, Zo) dapat langsung diperoleh, tetapi tidak untuk nilai sudut rotasinya. Resection hanya

tingkat menengah pada prosedur fotogrametri, seringkali diikuti oleh intersection atau bundle adjustment dengan multistation yang teliti dimana menggunakan nilai unsur EO sebagai nilai awal pendekatan (Cooper, 1987).3.1 Proses Linearisasi Persamaan Kolinear

Persamaan (2.1) dan (2.2) merupakan persamaan non linear, Dalam melinearkan persamaan kolinear, persamaan (2.1) dan (2.2) dituliskan lagi sebagai berikut : F = 0 = sxa + tf.........................................................(2.6) G = 0 = sya + uf........................................................(2.7)Dimana :

Menurut teori Taylor, Persamaan (2.6) dan (2.7) dapat dinyatakan dalam bentuk yang dilinearisasikan oleh turunan parsial sebagai berikut :

Pada persamaan (2.8) dan (2.9), F0 dan G0 merupakan fungsi F dan G. untuk persamaan (2.6) dan (2.7) dihitung pendekatan awal dari sembilan unsur yang tidak diketahui. Istilah (∂F/∂xa)0, (∂F/∂ω)0, (∂F/∂Φ)0,

dan seterusnya merupakan turunan parsial dari fungsi F dan G dengan mempertimbangkan unsur yang belum diketahui pada pendekatan

awal. Unit ∂ω, ∂Φ, ∂κ adalah radian. Karena dxa dan dya merupakan koreksi untuk koordinat untuk koordinat foto terukur xa dan ya, maka dapat diinterpretasi sebagai kesalahan residual didalam pengukuran. Oleh karena itu dua istilah ini dapat diganti dengan Vxa dan Vya yang merupakan simbol yang lazim digunakan untuk kesalahan residual. Perhatikan dari persamaan (2.6) dan (2.7) yang jabaran parsialnya ∂F/∂xa, dan ∂G/∂ya, keduanya sama dengan q. Dengan subtitusi q untuk istilah pada persamaan (2.8) dan (2.9) dengan memindahkan qdxa dan qdya kesisi persamaan, membagi tiap persamaan, dengan q, dan mengganti dxa dan dya masing-masing dengan vxa dan vya. Sehingga apabila persamaan ini digunakan dalam penyelesaian secara Least Square maka diperoleh persamaan kolinearitas terlinearisasi dalam bentuk yang disederhanakan termasuk untuk nilai residualnya sebagai berikut (Wolf, 2000) :

b11dω + b12dΦ + b13dκ – b14dXL - b15dYL - b16dZL = J + vxa

(2.10)b21dω + b22dΦ + b23dκ – b24dXL – b25dYL – b26dZL = K + vya

(2.11)

Dimana :