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GET / INT / R.Lamberti Communications numériques 1
01/10/07
Représentation Mathématiquedes
Signaux Numériques
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques 2
01/10/07
CC oo mmmm uu nn ii cc aa tt ii oo nn ss NN uu mm éé rr ii qq uu ee ss CC NN 22 11 1 Introductions.
2. Représentation des signaux Numériques. 1 Signal binaire. Modulation en BdB et sur fréquence porteuse, MAQ.
2 Représentation vectorielle, constellation.
3. Propriétés et Répartition spectrale. 1 Energie moyenne, distance. 2 Densité Spectrale de Puissance (DSP)
4. Récepteur Optimal canal BABG stationnaire. 1 Détection au minimum de la probabilité d’erreur. 2 Zones et seuils de décisions. 3 Réalisation du récepteur. Filtre adapté. 4 Interférence Entre Symboles(IES). Critère de Nyquist.
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques 3
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ReprReprReprRepréééésentation Mathsentation Mathsentation Mathsentation MathéééématiquematiquematiquematiqueDes DonnDes DonnDes DonnDes Donnéééées Numes Numes Numes Numéééériques et riques et riques et riques et
des Formes Analogiques Transmises.des Formes Analogiques Transmises.des Formes Analogiques Transmises.des Formes Analogiques Transmises.
Temps Discret
Information Numérique
Modulateur Démodulateur
Signal Analogique
Temps Continu
M∈CEchantillonnage Symbole
ReprésentationVectorielleConstellation des M points
Détection
valeursM
{ }kd
valeursM
formesM
( ) ( )k sk
s t g t kT= −∑
1 1 1 0 1 0 0 1 1
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ReprReprReprRepréééésentation des Signaux Numsentation des Signaux Numsentation des Signaux Numsentation des Signaux Numéééériques :riques :riques :riques :
Information NumInformation NumInformation NumInformation Numéééérique :rique :rique :rique : Quantifiée & Discrète⇒ Formes Analogiques & Emises Régulièrement
Quantifiée :
Alphabet AAAA de taille M fini borné, représentation mathématique : { }, , ,k Md a a a1 2∈ =A ⋯
Formes Analogiques si(t) :
Alphabet de Signaux d’Énergie Finie
{ }
{ }
, , ,
correspondance biunivoque
( ) ( ), ( ), , ( )
k M
k M
d a a a
Symbole
g t s t s t s t
1 2
1 2
∈
∈
⋯
վ
⋯
Émise Régulièrement : Période SymboleT
Symbole émis à l’instant skT : ( ) ( ) k k sg t g t kT→ −
Signal émis = superposition de symboles décalés dans le temps : ∑ −=k
sk kTtgts )()(
Débit Symbole : en Symbole/sss
DT
1= ou Rapidité de Modulation Bauden sDR =
(Émile Baudot 1875 Télégraphe)
1 1 1 0 1 0 0 1 1
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Formes simples (2-PAM ou MIA-2)
Une seule impulsion ( )g t deux états d’amplitude M = 2
Deux formes émises ( ) ( )s t g t1 = + et ( ) ( )s t g t2 = −
Impulsion NRZ
-5 0 5 10 15
1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1
Impulsion RZ 50%
1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1
-5 0 5 10 15
Impulsion en “cosinus surélevé” pour tansmission sur canal à bande limitée
-5 0 5 10 15
1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1
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Modulateur (BdB ou Fréquence Porteuse)Transforme les Données Numériques en Signaux Analogiques
Codage Binaire M-aire(ou transcodage)
Mise en Forme Analogique= Modulation
b k { }
Source Binaire
Source
d k { }
M − aire Codage ou
Transcodage D b D
s
Source
Formes Analogiques
d k { }
M − aire Signal Emis
s ( t ) D s
D s
Modulation
1 1 1 0 1 0 0 1 1
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DonnéesDonnéesDonnéesDonnées Numériques : Numériques : Numériques : Numériques :
Codage Binaire M-aire : (ou transcodage) bits
éléments
Mots
Binaires
Mots -aires
b
M
s
N
P PM
N T
T
α α α α α α α α α α1 2 3 1 3 1 2 1 2
101 110 110 100 101
⋅
⋅
���� ������
���� ����
Synchronisation sans perte de données : b sN T P T⋅ ≥ ⋅
bits possibilités
éléments possibilités
-aire
N
P
N
PM
M
→ 2
→
Pas de perte
si P NM ≥ 2
soit ( ) s b b
b s
T D DP Log M N P P P
T D R2⋅ ≥ ≥ ⋅ = ⋅ = ⋅
d’où ( )bD R Log M2≤ ⋅
si = Pas de redondance ajoutée si > Redondance : Tous les états du code ne sont pas utilisés si < Perte de données
b k { }
Source Binaire
Source
d k { }
M − aire Codage ou
Transcodage D b D
s
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Signaux Numériques Signaux Numériques Signaux Numériques Signaux Numériques AnalogiquesAnalogiquesAnalogiquesAnalogiques: : : :
Mise sous Forme Analogique (mise en forme) = Modulation
AssociationEmis en directe ( ) ( )s
k k k s
k Td g t g t kT
⋅→ → −
{ }
{ }correspondance biunivoque
, , , ,
( ) ( ), , ( ), , ( )
k i M
k i M
d a a a
Symbole
g t s t s t s t
1
1
∈
∈
⋯ ⋯
վ
⋯ ⋯
{ }{ }
mêmes probabilités
Pr
Pr ( ) ( )
i k i
k i
p b
g t s t
α = = = =
Formes d’onde ( )is t = signaux déterministes d’énergie finie ( 2∈ L ) 2( ) di iE s t t⌠
⌡
+∞
−∞=
Distance entre formes : | ( ) ( ) | dij i jd s t s t t⌠⌡
2 2= −
Distance minimale : min min { }iji j
d d2 2≠
=
s1(t)
s2(t)
s3(t)
0 Ts
Source
Formes Analogiques
d k { }
M − aire Signal Emis
s ( t ) D s
D s
Modulation
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Représentation des Signaux Numériques :Représentation des Signaux Numériques :Représentation des Signaux Numériques :Représentation des Signaux Numériques :
Émission d’une suite de symboles
Suite M –aire d d d d dα α α α α0 2 1 1 2 3 3 3 4 2= = = = =
t
0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts
Formes ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s s s ss t s t T s t T s t T s t T2 1 3 3 1− − 2 − 3 − 4
Symboles ( )
( )
g t
s t
0
0= ,
( )
( )
g t
s t
1
1= ,
( )
( )
g t
s t
2
3= ,
( )
( )
g t
s t
3
3= ,
( )
( )
g t
s t
4
2=.
Signal émis = Signal Aléatoire de Puissance finie
( ) ( ) (( ) ( ) )k ss s
k
g t g t T g t Ts t g t kT 0 1 2= += − + −2 +−∑ ⋯ ⋯
Puissance moyenne finie : s s b bP E D E D= = ⇒ sb s
b
DE E
D=
Énergie moyenne par bit sur le signal émis = bE
Énergie moyenne par symbole sur le signal émis = { }2E ( ) d
M
s i i i
i
E s t t E p⌠⌡
=1= = ⋅∑
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Modulations Linéaires surFréquence porteuse
MAQ-M MDP-M M-QAM M-PSK
Équivalent en Bande de Base
ReprReprReprRepréééésentation des Signaux Numsentation des Signaux Numsentation des Signaux Numsentation des Signaux Numéééériques :riques :riques :riques :
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( )x
S fαf
f0f0− 0 /B 2
EEEEEEEEqqqqqqqquuuuuuuuiiiiiiiivvvvvvvvaaaaaaaalllllllleeeeeeeennnnnnnntttttttt BBBBBBBBaaaaaaaannnnnnnnddddddddeeeeeeee ddddddddeeeeeeee BBBBBBBBaaaaaaaasssssssseeeeeeee ((((((((BBBBBBBBddddddddBBBBBBBB)))))))) ((((((((RRRRRRRRaaaaaaaappppppppppppppppeeeeeeeellllllllssssssss))))))))
( ) ( ) cos( ) ( ) sin( )s t p t t q t tω ω0 02⋅ ⋅ ⋅ ⋅2= −Signal Modulé =Signal Passe Bande
{ }( ) Re ( ) j tss t t e ωα 0⋅ 2= ⋅
( ) ( ) ( )s t p t jq tα = +
Enveloppe Complexe
( ) ( ) ; ( ) ( )p q pq qpS f S f S f S f= = −
ssP Pα=
Filtrage : ( ) ( ) ( )y t s t h t= ∗ ( ) ( ) ( )y s ht t tα α α12= ∗
BABG : BABG / BABG / 2 BABG /
indépendants
( ) ( ) cos( ) ( ) sin( )b b
N N N
b t p t t q t tω ω
0 0 0
0 02 ←→ 2
= ⋅ 2 ⋅ − ⋅ 2 ⋅ réels
b
BBG BBG / BBG /
( ) ( ) ( )b b
N N N
t p t j q tα
0 0 02 2
= + complexes
( )( ) ( ) ( )x xxS f S f f S f fα α0 0
1= ⋅ − + − −2
( )xS ff
f0minf maxff0− 0
B
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MMMMMMMMoooooooodddddddduuuuuuuullllllllaaaaaaaattttttttiiiiiiiioooooooonnnnnnnnssssssss NNNNNNNNuuuuuuuummmmmmmméééééééérrrrrrrriiiiiiiiqqqqqqqquuuuuuuueeeeeeeessssssss LLLLLLLLiiiiiiiinnnnnnnnééééééééaaaaaaaaiiiiiiiirrrrrrrreeeeeeeessssssss ((((((((MMMMMMMMIIIIIIIIAAAAAAAA MMMMMMMMDDDDDDDDPPPPPPPP MMMMMMMMAAAAAAAAQQQQQQQQ))))))))
MMoodduullaatteeuurr { }pkd
{ }kb
{ }qkd
( )s tCodage
Binaire/M-aire
( )g t
( )g t
cos( )tω02
sin( )tω0− 2
( )p t
( )q t
RReepprréésseennttaattiioonn
{ }( ) Re ( ) e j tss t t
ωα 0= ⋅ 2 ⋅ ( ) ( ) cos( ) ( ) sin( )s t p t t q t tω ω0 0= ⋅ 2 ⋅ − ⋅ 2 ⋅
( ) ( ) cos( ) ( ) sin( )pk s qk sk ks t d g t kT t d g t kT tω ω0 0= ⋅ − ⋅ 2 ⋅ − ⋅ − ⋅ 2 ⋅∑ ∑
ÉÉqquuiivvaalleenntt eenn BBaannddee ddee BBaasseeEnveloppe complexe : ( ) ( ) ( )s t p t jq tα = + ( ) ( )pk sk
p t d g t kT= ⋅ −∑ PAM
( ) ( )qk skq t d g t kT= ⋅ −∑ PAM
Composantes pas toujours indépendantes
( ) ( )s k skt d g t kTα = ⋅ −∑
k pk qkd d jd= +
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01/10/07
Densité Spectrale de Puissance
Évalue l’Étalement Spectral des Codes et Modulations et détermine la possibilité de les utiliser et de les multiplexer
sur un Canal à Bande Limitée.
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01/10/07
Canaux de Transmission.Canaux de Transmission.Canaux de Transmission.Canaux de Transmission.
Les Multiplex son émis sur des Canaux Physiques limités et encombrés :
� Canal Radio (Différentes Fréquences, Différents Environnements).
� Canal Acoustique (Air & Eau).
� Câbles.
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01/10/07
Canaux Canaux Canaux Canaux Supports de Transmission : Supports de Transmission : Supports de Transmission : Supports de Transmission :
Transmissions sur câbles :
Câbles métalliques (paires torsadées, câbles coaxiaux) Faibles débits 32kbit/s voie φ, 240kbit/s AppleTalk, 100Mbit/s Ethernet. Ou Faible portée ADSL ~ 1km. (Aff en dk f eα⋅ )
Câbles à fibres optiques. (λ=1,5µm, Aff en αd ~ 0,2 dB/km) Débits élevés ~ 10Gbit/s, grandes distances >100km.
Ex : Sea-Me-We 3 ; 40 000 km ; 33 pays en Europe, Afrique, Asie Australie ; 39 atterrissages ; 2 paires de fibres WDM de 8×2.5Gbit/s soit 40Gbit/s.
Transmissions Acoustiques : Sous-marins (~ 10kHz).
Transmissions Optiques : Infrarouge (Télécommandes) ; Visible, Laser (civil/militaire).
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Transmissions Radioélectriques : (Aff en dα)
(~ 3kHz - 3MHz) (LF, MF) Diffusion, Communications.(~ 3MHz - 30MHz) (HF) Diffusion, Balises, Militaire.(~ 30MHz - 3GHz) (VHF, UHF) Diffusion, Coms, Militaire, Signalisation, Navigation.(~ 3GHz - 30GHz) (SHF) Radars, Coms FH Satellites.(> 30GHz) (EHF) Communications µ-cellulaires & Militaire.
Multiples de 103
normalisés.
yocto (y), zepto (z),
atto (a), femto (f),
pico(p), nano(n),
micro(µ), mili (m),
unité,
kilo (k), méga (M),
giga (G), tera (T),
penta (P), exa (E),
zetta (Z) et yotta (Y).
100 pm
1 nm
10-8 m
10-7 m
1 µm
10-5 m
10-4 m
1 mm
1 cm
10 cm
1 m
10 m
100 m
1 km
10 km
100 km
1 EHz
1017 Hz
1016 Hz
1 PHz
1014 Hz
1013 Hz
1 THz
1011 Hz
1010 Hz
1 GHz
100 MHz
10 MHz
1 MHz
100 kHz
10 kHz
1 kHz
THF
EHF
SHF
UHF
VHF
HF
MF
LF
VLF
Rayons X
UV
Visible 0.4-0.8µ
Infrarouge
milimétrique
Micro Ondes
Ondes Courtes
Ondes Longues
Liaisons optiquesFibres optiques
Satellites
Expérimental
FaisceauxHertziens
FMCâblesCoax
Radio-coms
TV
Câblesà
pairesAM
MaritimeNavigation
Navigation
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01/10/07
Densité Spectrale de PuissanceCalcul Nécessaire pour évaluer l’Étalement Spectral
des Codes et Modulations.
DSP = TF(FAC)Fonction d’Auto-Corrélation
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01/10/07
Suite discrète Binaire : { }kb
{ },kb ∈ 0 1 Variable Aléatoire { }Pr k kb p= 1 = { }Pr k kb p= 0 = 1−
Suite { }kb Stationnaire kp p k⇒ = ∀
Suite { }kb à éléments Indépendants { } { } { }k l k lE b b E b E b⇒ ⋅ = ⋅
{ } { }k l kE b b E b2⇒ ⋅ = si Stationnaire
Moyenne stationnaire : { } ( )kE b p p p= 1⋅ + 0 ⋅ 1− =
Corrélation stationnaire : { }( )b k k nR n E b b∗−⋅≜ , { } { }
si centré( )b k kR E b E bσ σ22 2 20 = = − =
Corrélation (FAC) des Signaux Numériques :
Synoptique Émission :
b k { }
Source Binaire
Source
Formes Analogiques
d k { }
M − aire Codage ou
Transcodage
Signal Emis
s ( t ) D b D
s D s
Modulation
{ }( ), ( ), , ( ), , ( )
( )
i M
k
s t s t s t s t
g t
1 2
↓
⋯ ⋯
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques 19
01/10/07
CorrélationCorrélationCorrélationCorrélation des Signaux Numériques : des Signaux Numériques : des Signaux Numériques : des Signaux Numériques :
Suite M-aire : { }kd suite discrète
{ }Mkd ααα ,,, 21 ⋯∈ Variable Aléatoire { } kiik pd ,Pr == α
Suite { }kd Stationnaire ⇒ kpp iki ∀=,
Suite { }kd à éléments Indépendants { } { } { } { }klklk dEdEdEddE 2=⋅=⋅ si Stationnaire
Moyenne stationnaire : { } ∑=
⋅=M
i
iik pdE
1
α
Corrélation stationnaire : { } ,( )M M
d k k n i j ij ni j
R n E d d pα α∗ ∗−
=1 =1⋅ = ⋅∑∑≜ .
,ij np Loi Jointe des VA { }kd et { }nkd −
, , ,ij n i n j k np p p −= ⋅ si les VA { }kd et { }nkd − sont Indépendantes
Suite i.i.d = Suite à éléments indépendants et identiquement distribué (c.a.d stationnaire)
, , , ,i k i lp p k l i= ∀A valeurs équiprobables ( , , , , ,i k j l M
p p k l i j1= = ∀ ) ou à valeurs Non Equiprobales i jp p≠
b k { }
Source Binaire
Source
d k { }
M − aire Codage ou
Transcodage D b D
s
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques 20
01/10/07
Calcul de l’espérance
1) Si ( n ≠ 0 ) Il y a 3 VA : ,k k ng g − discrètes et φ indépendante continue 2) Si ( n = 0 ) Il y a 2 VA : kg discrète et φ indépendante continue
Densité Spectrale de Puissance. (D.S.P)
{ }( ) TF ( )s sS f R τ= avec Fonction d’auto-corrélation (FAC) { }( ) E ( ) ( )sR s t s tτ τ∗= ⋅ −
( ) ( )k s
k
s t g t kT φ= − +∑ { }( ) ( ), , ( ), , ( )k i Mg t s t s t s t1∈ ⋯ ⋯
Suite { }( )kg t discrète stationnaire 2nd ordre
{ }Pr ( ) ( )i k ip g t s t= = { }( ) Pr ( ) ( ) et ( ) ( )ij k i k n jp n g t s t g t s t−= = = loi jointe
( )s t est Processus Aléatoire Cyclostationnaire période sT si φ V.A. équirépartie sur [ , [sT0 ( )s t⇒ est P.A. Stationnaire du 2nd ordre
Fonction d’auto-corrélation (FAC) { }( ) E ( ) ( )sR s t s tτ τ∗= ⋅ −
2 VA = 2 échantillons du même PA
( ) E ( ) ( )k ls
k l
R t kT t lTg gτ φ φ τ∗ = − + ⋅ − + −
∑∑ �������������� { }( ) E ( ) ( )s k k n
k n
R g u g u nTτ τ∗−= ⋅ + −∑∑
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques 21
01/10/07
Densité Spectrale de Puissance. (DSP)
{ }Pr ( ) ( )i k ip g t s t= =
{ }( ) Pr ( ) ( ) et ( ) ( )ij k i k n jp n g t s t g t s t−= = = loi jointe
Fonction d’auto-corrélation (FAC) { }( ) E ( ) ( )sR s t s tτ τ∗= ⋅ −
( ) ( ) ( ) ( )i i js s i s s s ij
s i n i j
R R p R nT p nT
τ τ τ≠0
1 = ⋅ + − ⋅
∑ ∑ ∑∑
DSP TF( ) ( ) ( ) ( ) ei j
j fnTs s i jR nT S f S f πτ δ τ ∗ − 2∗ − → ⋅ ⋅
• Modulation d’impulsion en amplitude (MIA) ou (PAM) ( ) ( )k kg t d g t= ⋅
( ) ( )k s
k
s t d g t kT φ= ⋅ − +∑ { }( ) ( ) , , ,i i k Ms t g t dα α α α1 2= ⋅ ∈ …
DSP du PAM. = Formule de Bennett (1960)
( ) ||| ( )( ) | |
( ) ( ) e s
s
f
nj fnT d
s d dTs sn
G f mS f R n m
T T
π2 2=+∞
2 − 21
=−∞
= ⋅ − ⋅ + ⋅ ∑
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques 22
01/10/07
Exemple de Codes et
leurs DSP
(Calculs en TDs)
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques 23
01/10/07
Codes élémentaires en BdB : Formes simples pour MIA (PAM)
NRZ
Impulsion NRZ : [ , ]
( )ailleurs
A t Tg t
∈ 0= 0
sTsT
2
V+
V−
RZ50%
Impulsion RZ 50% : [ , ]
( )ailleurs
TA t
g t
∈ 0= 2 0 sTsT
2
V+
V−
BiphaseouManchester Impulsion Horloge :
[ , ]( )
[ , ]
Tt
g tT
t T
+1 ∈ 0 2= −1 ∈ 2
sTsT
2
V+
V−
( ) ( )sT
G f f1≡ Π
pour canal passe bande
(Approximation)
Impulsion sinus cardinal
( ) sinc s
s
Tg t t
T
π 2 = − 2 sTsT
2
V+
V−
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques 24
01/10/07
DSP Codes Binaire (2-PAM) : Formes simples.
Tracés en linéaire Tracés en décibel
sR D R= 2 sR D R= 2
Forme NRZ
Forme RZ 50%
Forme en “cosinus surélevé” pour tansmission sur canal à bande limitée
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques 25
01/10/07
Codes élémentaires en BdB
Code Manchester (Fibres optiques)
,
( )
,
TA t
s tT
A t T
0
1
1
∈ 0 2 = ∈ 2
,
( )
,
TA t
s tT
A t T
1
2
0
∈ 0 2 = ∈ 2
sT
A1+
A0+
sT2 sT3 sT5 sT8
1 0 1 1 0 0 1 0 1 1
Code Biphase
Ethernet 10Base5, 10Base2, 10BaseT,10BaseFL.
sT sT2 sT3 sT5 sT8
1 0 1 1 0 0 1 0 1 1V+
V−
Code 2B1Q
RNIS/ISDN et HDSL.
V−
1 0 1 1 0 0 1 0 0 1
V−3
V+3
V+
sT8sT5sT3sT2sT
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques 26
01/10/07
Codes élémentaires en BdB
Codes à inversion des “1” (AMI alternate mark inversion) MAMI modified AMI, inversion des “0”
Bipolaire d’ordre 1 (HDB3 Câbles 2, 8 Mbit/s)
à l'inverse du 1 précédent
0 → 0 +1 → 1 −
CMI (coded mark inversion) ou 1B/2B (Fibres optiques)
inverse
du 1 précédent
0 →
1 →
– +
+ +
– –
Code de Miller (delay modulation) (MDP2 ou BPSK. Enregistrements magnétiques)
10 → 2
31 → 4
+ +
– –
–+
– +
⋯
⋯
⋯
⋯
avec Continuité de niveau0 →1
1 → 0
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01/10/07
Codes élémentaires en BdB :
Le codage modifie la DSP
Tracés en linéaire Tracés en décibel
sR D R= 2 sR D R= 2
Binaire NRZ
Bipolaire d’ordre 1 NRZ
Bipolaire d’ordre 1 RZ 50% (HDB3 Câbles 2, 8 Mbit/s)
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques 28
01/10/07
MMMMMMMMoooooooodddddddduuuuuuuullllllllaaaaaaaattttttttiiiiiiiioooooooonnnnnnnnssssssss NNNNNNNNuuuuuuuummmmmmmméééééééérrrrrrrriiiiiiiiqqqqqqqquuuuuuuueeeeeeeessssssss LLLLLLLLiiiiiiiinnnnnnnnééééééééaaaaaaaaiiiiiiiirrrrrrrreeeeeeeessssssss PPPPPPPPAAAAAAAAMMMMMMMM &&&&&&&& QQQQQQQQAAAAAAAAMMMMMMMM
( ) S fα PPAAMM NNRRZZ
0
R
R/2
{ }( ) ( ) ( ) sS f S f f S f fα α0 01= − + − −2
RR
f0-f0 0
EEffffiiccaacciittéé ssppeeccttrraallee (Modulation Filtrée. W largeur de bande de la modulation )
/b bD
WL M
Dog
Rη 2< = 22≜ bb D
Log MR
D
Wη 2< =≜
FFiillttrraaggee NNyyqquuiisstt ( )R RW R α= 1+ < 2<
MMoodduullaattiioonn NNoonn FFiillttrrééee ⇒ Gabarit en Fréquence (Largeur de Bande / Affaiblissement)
RR
f0-f0 0
x dBx dB
BB
Gabarit
DSPDSPDSPDSPDSPDSPDSPDSP
(η En bit/s/Hz)
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques 29
01/10/07
ReprReprReprRepréééésentation Vectoriellesentation Vectoriellesentation Vectoriellesentation Vectorielledesdesdesdes
Symboles Symboles Symboles Symboles éééémis.mis.mis.mis.
Temps Discret
Information Numérique
Modulateur Démodulateur
Signal Analogique
Temps Continu
M∈CEchantillonnage Symbole
ReprésentationVectorielleConstellation des M points
Détection
valeursM
{ }kd
valeursM
formesM
( ) ( )k sk
s t g t kT= −∑
1 1 1 0 1 0 0 1 1
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Représentation Vectorielle :Des formes émises { }( ) ( ), , ( ), , ( )k i Mg t s t s t s t1∈ ⋯ ⋯
Base orthonormée (arbitraire) : { }( ), , ( ), , ( )i Nt t tϕ ϕ ϕ1 ⋯ ⋯ N M≥
Produit scalaire : dans L 2
( )
( ) ( )
( ), ( ) ( ) ( )
( ), ( ) et ( ), ( )
i j i j
i i i j
t t t t dt
t t t t
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
+∞∗
−∞
= ⋅
= 1 = 0
∫
Espace vectoriel associé :
(Base de NC )
( )
{ }( ) , , ,
et 2Re =
T
H Hi i i i j
tϕ1 12
⋅ ⋅
→ 1 0 … 0 =
= = 1 0
ϕϕϕϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕFormes émises :
( )
( )
( )
( ),
, , ,
( ) ( ) ( )Hj j j
T
j
Ns t
s s t t s t
s
t
s
t d
s
ϕ ϕ
11 12 1 11+∞
∗1 1 1 1
−∞
→
⋅ = = = ⋅
=
…
∫
s
sϕϕϕϕ ( ) ( )
N
n n
n
s t s tϕ1 1=1
= ∑
Reconstruction possible si l’espaceengendré par la base des fonctions contient l’espace des formes.
NRZ, RZ, Modulations ….
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ReprReprReprRepréééésentation Vectorielle. sentation Vectorielle. sentation Vectorielle. sentation Vectorielle. Exemple : Code Exemple : Code Exemple : Code Exemple : Code àààà 3 formes3 formes3 formes3 formes
Formes { }( ), , ( ), , ( )i Ms t s t s t1 ⋯ ⋯
Bas e or th on orm ée :
{ }( ), , ( ), , ( )i Nt t tϕ ϕ ϕ1 ⋯ ⋯ N M≥
Formes émises :
( )
( )
( )
( ),
, , ,
( ) ( ) ( )Hj j j
T
j
Ns t
s s t t s t
s
t
s
t d
s
ϕ ϕ
11 12 1 11+∞
∗1 1 1 1
−∞
→
⋅ = = = ⋅
=
…
∫
s
sϕϕϕϕ
( ) ( )N
n n
n
s t s tϕ1 1=1
= ∑ Reconstruction possible si l’espaceengendré par la base des fonctions contient l’espace des formes.
3( )tϕ
2 ( )tϕ
1( )tϕ
0 1 2 3 4
1/2
3ϕϕϕϕ
2ϕϕϕϕ
1ϕϕϕϕ12s
1s
3sconstellation
0 1 2 3 43( )s t
1( )s t
2 ( )s t
1
11/2
M = 3
N = 3
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EEEEEEEExxxxxxxxeeeeeeeemmmmmmmmpppppppplllllllleeeeeeee :::::::: MMMMMMMMoooooooodddddddduuuuuuuullllllllaaaaaaaattttttttiiiiiiiioooooooonnnnnnnn dddddddd’’’’’’’’AAAAAAAAmmmmmmmmpppppppplllllllliiiiiiiittttttttuuuuuuuuddddddddeeeeeeee MMMMMMMMAAAAAAAAQQQQQQQQ--------MM ddddddddeeeeeeee DDDDDDDDeeeeeeeeuuuuuuuuxxxxxxxx PPPPPPPPoooooooorrrrrrrrtttttttteeeeeeeeuuuuuuuusssssssseeeeeeeessssssss eeeeeeeennnnnnnn QQQQQQQQuuuuuuuuaaaaaaaaddddddddrrrrrrrraaaaaaaattttttttuuuuuuuurrrrrrrreeeeeeee MM--------QQQQQQQQAAAAAAAAMMMMMMMM
{ }pkd
{ }kb
{ }qkd
( )s tCodage
Binaire/M-aire
( )g t
( )g t
cos( )tω02
sin( )tω0− 2
( )p t
( )q t
NM = 2
N Pair ⇒ MAQ-4, 16, 64, 256, ...
Voie en Phase { , , , ( )}pkd M∈ ±1 ±3 … ± −1
Voie en Quadrature { , , , ( )}qkd M∈ ±1 ±3 … ± −1
N Impair ⇒ MAQ-8, 32, 128, 512, ...
Autres Constellations Croix, Carrés Bords Arrondis
0000
0001
0010
0011
0100
0101 0111
0110
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
MAQ-16
000
011
010
111
101
100
A B
110
001
MAQ-8
( ) ( ) cos( )s t g t tω1 0= ⋅ 2 ⋅( ) ( ) sin( )s t g t tω2 0= ⋅ 2 ⋅
( )s t2
( )s t1
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CC oo mmmm uu nn ii cc aa tt ii oo nn ss NN uu mm éé rr ii qq uu ee ss CC NN 22 11 1 Introductions.
2. Représentation des signaux Numériques. 1 Signal binaire. Modulation en BdB et sur fréquence porteuse, MAQ.
2 Représentation vectorielle, constellation.
3. Propriétés et Répartition spectrale. 1 Energie moyenne, distance. 2 Densité Spectrale de Puissance (DSP)
4. Récepteur Optimal canal BABG stationnaire. 1 Détection au minimum de la probabilité d’erreur. 2 Zones et seuils de décisions. 3 Réalisation du récepteur. Filtre adapté. 4 Interférence Entre Symboles(IES). Critère de Nyquist.
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CC oo mmmm uu nn ii cc aa tt ii oo nn ss NN uu mm éé rr ii qq uu ee ss CC NN 22 11
5. Calcul de performance. 1 Taux d’Erreur cas de signaux binaire antipodaux, orthogonaux. 2 Cas M-aire. Borne de l’Union. 3 Canal Mobile et Performances en Diversité.
6. Modulations Numériques sur Fréquence Porteuse.
1 Modulations Linéaires. Modulations de Fréquence. 2 Comparaison des modulations. Efficacité / performance. 3 OFDM. Etalement de spectre. Multiplexage
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Codes élémentaires en BdB :
Codes Différentiels Relations récursives 1k k ka a b−= ⊕
NRZI (No Return to Zero Inverted). (SDDI et bus USB)
conserve l'état courant
à l'inverse du 1 précédent
0 → +1 → 1 −
Biphase différentiel
(Apple Talk)
sT sT2 sT3 sT5 sT8
1 0 1 1 0 0 1 0 1 1V+
V−
MLT3 (Multi Level Transmission)(CDDI, Fast Ethernet (100BaseTX, 100BaseT4), ATM)
conserve l'état courant
séquence , , , , , , etc.V V V V
0 →1 → + 0 − + 0 −
Spectre très compact car peu de transitions
Codes à Réponse Partielle Relation Markovienne > 1 ⇒ IES connues
Permet de déformer le Spectre par Filtrage RIF de la suite { }kb : N
k n k n
n
d c b −=0
= ∑ )
et/ou correction d’erreurs au décodage (ex code duobinaire k k kd b b −1= + )
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Codes élémentaires en BdB :
Codes à Somme BornéeSomme courante Bornée ⇒⇒⇒⇒ DSP nulle en BF
Codes HDB3 B8ZS
HDBn (Haute Densité Binaire d'ordre n).BnZS (Bipolar with n Zero Substitution).
Hiérarchie E1, E2 pour le HDB3Hiérarchie T1 pour le B8ZS et hiérarchie T2 pour le B3ZS.
Codes binaire/binaire
Bits supplémentaires pour détection et correction d’erreurs.
5B/6B et 12B/1P/1C Manchester en transmission optique4B/5B sur Fast Ethernet et le 8B/10B sur Gigabit Ethernet sous forme NRZI ou MLT3.
Codes à Alphabet 4B/3T, 12B/1P/1C.Table de conversion
Code 4B/3T Quatre binaires pour trois ternairescâbles à 34, 140 Mbit/s de la hiérarchie E3, E4.
C’est aussi un code à somme bornée
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Code HDB3 (Haute Densité Binaire d'ordre 3). (Câbles 2, 8 Mbit/s).
Bipolaire d’ordre 1 avec supression des zéros (Viols & Bourrages)
sT sT2 sT3 sT5 sT8
1111 1111 0000 0000 0000 0000 1111 0000 0000 0000V+
V−
0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 0000
4444 4444 4444
V
V
VB
Moyenne nulle ⇒ pas de BF.
DSP compliquée. Mémoire ⇒ Chaîne Markov à beaucoup d’états.
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