Report - Simple Collocated Incompressible Flow

7/27/2019 Report - Simple Collocated Incompressible Flow

1/115

Helsinki University of Technology

Laboratory of Applied Thermodynamics

A Study of the Pressure Correction Approach in the Colocated Grid

Arrangement

Ari Miettinen1

Helsinki University of Technology, Espoo, Finland

Report No. 110

Approved by Timo Siikonen

1997

Otaniemi

ISBN 951223887XISSN 12378372

1Research Scientist, Laboratory of Applied Thermodynamics


2/115

A b s t r a c t

A p r e s s u r e c o r r e c t i o n a p p r o a c h i n a c o l o c a t e d g r i d a r r a n g e m e n t i s s t u d i e d . T h e

S I M P L E a l g o r i t h m h a s b e e n i m p l e m e n t e d i n t o a t w o - d i m e n s i o n a l N a v i e r - S t o k e s

s o l v e r f o r i n c o m p r e s s i b l e o w s . A m u l t i g r i d P o i s s o n s o l v e r f o r t h e p r e s s u r e c o r -

r e c t i o n e q u a t i o n i s u t i l i z e d . I t h a s b e e n t e s t e d a l o n e a n d a s a p a r t o f t h e N a v i e r -

S t o k e s s o l v e r . I n t h e f o r m e r c a s e , t h e i m p r o v e m e n t i n t h e c o n v e r g e n c e r a t e i s

r e m a r k a b l e . A s a p a r t o f a c a r e f u l l y p e r f o r m e d N a v i e r - S t o k e s c o m p u t a t i o n , t h e

m u l t i g r i d P o i s s o n s o l v e r i s a b l e t o d e c r e a s e t h e t o t a l C P U t i m e t o o n e t h i r d .

C e l l - f a c e v e l o c i t y f o r m u l a s f o r t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n a r e a l s o s t u d i e d . T h e s o l u -

t i o n m e t h o d i s t e s t e d u s i n g s e v e r a l o w c a s e s i n c l u d i n g a l i d - d r i v e n c a v i t y a n d

a b u o y a n c e - d r i v e n o w . T h e R h i e & C h o w i n t e r p o l a t i o n m e t h o d a n d i t s s i m -

p l i e d a n d l i m i t e d v e r s i o n s a r e c o m p a r e d w i t h e a c h o t h e r . T h e t r a d i t i o n a l R h i e

& C h o w i n t e r p o l a t i o n m e t h o d h a d p r o b l e m s i f t h e o w e l d c o n t a i n e d a h i g h

p r e s s u r e g r a d i e n t , w h i c h c a n b e o v e r c o m e b y u s i n g t h e t w o l a t t e r v e r s i o n s . F o r

b u o y a n c y - d r i v e n o w s , s o m e a u t h o r s h a v e p r o p o s e d a b o d y f o r c e t e r m i n t h e c e l l -

f a c e v e l o c i t y f o r m u l a , b u t t h e b u o y a n c y - d r i v e n t e s t c a s e R a ! 1 0

9

i n d i c a t e d

t h a t t h i s i s n o t n e c e s s a r y .

1


3/115


4/115

4 . 2 . 1 G r i d T r a n s f e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8

4 . 2 . 2 C o a r s e - G r i d P r o b l e m a n d R e s t r i c t i o n O p e r a t o r . . . . . . 4 9

4 . 2 . 3 P r o l o n g a t i o n O p e r a t o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0

4 . 2 . 4 A c c u r a c y o f t h e O p e r a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4

4 . 3 M u l t i g r i d T e c h n i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5

4 . 3 . 1 T h e S o l u t i o n S e q u e n c e o f t h e F A S M e t h o d . . . . . . . . . 5 5

4 . 3 . 2 T h e S o l u t i o n S e q u e n c e o f t h e M G M e t h o d . . . . . . . . . 5 7

5 T e s t C a l c u l a t i o n s 6 0

5 . 1 P o i s s o n E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0

5 . 2 L i d - d r i v e n C a v i t y F l o w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9

5 . 2 . 1 R e = 4 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0

5 . 2 . 2 R e = 1 0 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9

5 . 3 T w o - d i m e n s i o n a l I n v i s c i d C h a n n e l F l o w . . . . . . . . . . . . . . 8 4

5 . 4 T w o - d i m e n s i o n a l I n v i s c i d F l o w i n D i v e r g i n g C h a n n e l . . . . . . . 9 6

5 . 5 B u o y a n c y - D r i v e n C a v i t y F l o w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2

6 C o n c l u s i o n s 1 0 7

3


5/115

N o m e n c l a t u r e

S y m b o l s

A c e l l s u r f a c e a r e a

A c o e c i e n t m a t r i x o f p r e s s u r e c o r r e c t i o n v e c t o r

a c o e c i e n t i n m o m e n t u m e q u a t i o n

b b o d y f o r c e t e r m

C c o e c i e n t o f d a m p i n g t e r m o f c e l l - f a c e v e l o c i t y

c

p

s p e c i c h e a t a t c o n s t a n t p r e s s u r e

C F L C o u r a n t n u m b e r

D A M P L I l o c a l l i m i t e r o f r e l a t i v e d a m p i n g t e r m

F u x

~g g r a v i t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n v e c t o r

~

i C a r t e s i a n u n i t v e c t o r i n x - d i r e c t i o n

~

j C a r t e s i a n u n i t v e c t o r i n y - d i r e c t i o n

k c o e c i e n t o f c o n v e c t i o n t e r m o f d a m p i n g o f c e l l - f a c e v e l o c i t y

L

x

c o n v e c t i o n o p e r a t o r i n i - d i r e c t i o n

L

x x

d i u s i o n o p e r a t o r i n i - d i r e c t i o n

L

y

c o n v e c t i o n o p e r a t o r i n j - d i r e c t i o n

L

y y

d i u s i o n o p e r a t o r i n j - d i r e c t i o n

M A X ; m a x i m u m o p e r a t o r

M I N ; m i n i m u m o p e r a t o r

m o r d e r o f p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n d i v i d e d b y t w o

_m m a s s u x

_m

o u t

m a s s u x o u t o f c e l l

m

P

a c c u r a c y o f p r o l o n g a t i o n o p e r a t o r

m

R

a c c u r a c y o f r e s t r i c t i o n o p e r a t o r

~n

0

e x t e r i o r u n i t n o r m a l v e c t o r

N u N u s s e l t n u m b e r

p p r e s s u r e

p

g u e s s e d p r e s s u r e o r p r e s s u r e f r o m p r e v i o u s i t e r a t i o n c y c l e

p

0

p r e s s u r e c o r r e c t i o n

P : p

0

! p

0

p r o l o n g a t i o n o p e r a t o r

~r l o c a t i o n v e c t o r

R : p

0

! p

0

r e s t r i c t i o n o p e r a t o r

R a R a y l e i g h n u m b e r

R e

L

R e y n o l d s n u m b e r , U

r e f

L =

S s o u r c e t e r m

T t e m p e r a t u r e

T

1

a m b i e n t t e m p e r a t u r e

t t i m e

~

t

0

u n i t t a n g e n t i a l v e c t o r

4


6/115

u v e l o c i t y c o m p o n e n t i n x - d i r e c t i o n

u

u - v e l o c i t y f r o m m o m e n t u m e q u a t i o n , w h e r e p

h a s b e e n u s e d

u

0

v e l o c i t y c o r r e c t i o n

U d i m e n s i o n l e s s u - v e l o c i t y

v v e l o c i t y c o m p o n e n t i n y - d i r e c t i o n

v

v - v e l o c i t y f r o m m o m e n t u m e q u a t i o n , w h e r e p

h a s b e e n u s e d

v

0

v e l o c i t y c o r r e c t i o n

~v v e l o c i t y v e c t o r , ~v = u

~

i + v

~

j

V v o l u m e o f c e l l o r d i m e n s i o n l e s s V - v e l o c i t y

v

n

n o r m a l v e l o c i t y

v

t

t a n g e n t i a l v e l o c i t y

x C a r t e s i a n c o o r d i n a t e a x i s

X d i m e n s i o n l e s s c o o r d i n a t e , = x = L

y C a r t e s i a n c o o r d i n a t e a x i s

Y d i m e n s i o n l e s s c o o r d i n a t e , = y = L

a g e n e r a l d i u s i o n c o e c i e n t o r t h e r m a l d i u s i v i t y

p

r e l a x a t i o n f a c t o r o f p r e s s u r e

v

r e l a x a t i o n f a c t o r o f v e l o c i t y

v o l u m e t r i c t h e r m a l e x p a n s i o n c o e c i e n t

s u r f a c e

L

b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s

a n g l e b e t w e e n v e c t o r ~g a n d y - a x i s

c o n v e r g e n c e e r r o r

" c o n v e r g e n c e c r i t e r i a f o r m a s s b a l a n c e

r e s i d u a l

p a r a m e t e r i n M U S C L s c h e m e

t h e r m a l c o n d u c t i v i t y

d y n a m i c v i s c o s i t y

k i n e m a t i c v i s c o s i t y

n o r m a l i z e d s e c o n d d i e r e n c e

a g e n e r a l v a r i a b l e

1 ; 1

; : : : ;

i ; j

; : : : ;

i m a x ; j m a x

d e n s i t y

v o l u m e

S u p e r s c r i p t s

c c o n v e c t i o n

d d i u s i o n

e x p l : e x p l i c i t

i m p l : i m p l i c i t

n t i m e s t e p

n u m n u m e r i c a l

# a u x i l i a r q u a n t i t y

g u e s s e d o r p r e v i o u s v a l u e , o r v a l u e b a s e d o n p

0

c o r r e c t i o n

5


7/115

S u b s c r i p t s

0 i n i t i a l v a l u e

c c o l d

c h a r c h a r a c t e r i s t i c v a l u e

e e a s t e r n c e l l

f a c e d e n o t e s t o l o c a t i o n a t c e l l o r d o m a i n f a c e

h h o t

i ; j s p a t i a l i n d i c e s o f n e r g r i d

I ; J s p a t i a l i n d i c e s o f c o a r s e r g r i d

i n i n l e t

m a x m a x i m u m

m i n m i n i m u m

n n o r t h e r n c e l l

n e n o r t h - e a s t e r n c e l l

n w n o r t h - w e s t e r n c e l l

n b n e i g h b o u r i n g c e l l s

o u t o u t l e t

p p r e s e n t c e l l

r e f r e f e r e n c e

s s o u t h e r n c e l l

s e s o u t h - e a s t e r n c e l l

s w s o u t h - w e s t e r n c e l l

w w e s t e r n c e l l

W w a l l

A b b r e v i a t i o n s

A C M a r t i c i a l c o m p r e s s i b i l i t y a p p r o a c h

C D c o n v e c t i o n - d i u s i o n

C F D c o m p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s

C P U c e n t r a l p r o c e s s i n g u n i t

D C A d i s c r e t i z a t i o n c o a r s e - g r i d a p p r o x i m a t i o n

F A n i t e a n a l y t i c

F A S f u l l a p p r o x i m a t i o n s t o r a g e

F M G f u l l m u l t i g r i d

F O U r s t - o r d e r u p w i n d

G C A G a l e r k i n c o a r s e - g r i d a p p r o x i m a t i o n

G S G a u s s - S e i d e l

H Y B R I D S p a l d i n g ' s c o n v e c t i o n s c h e m e

L G S l i n e - G a u s s - S e i d e l

M G m u l t i g r i d

M U S C L m o n o t o n e u p s t r e a m - c e n t r e d s c h e m e s f o r c o n s e r v a t i o n l a w s

M W I M m o m e n t u m w e i g h t e d i n t e r p o l a t i o n m e t h o d

6


8/115

P C M p r e s s u r e c o r r e c t i o n m e t h o d

P I S O a p r e d i c t o r - c o r r e c t o r P C M

P P E M P o i s s o n p r e s s u r e e q u a t i o n m e t h o d

P W I M p r e s s u r e w e i g h t e d i n t e r p o l a t i o n m e t h o d

Q U I C K q u a d r a t i c - u p s t r e a m i n t e r p o l a t i o n f o r c o n v e c t i v e k i n e m a t i c s

S I M P 1 r s t s i m p l i c a t i o n o f d a m p i n g t e r m

S I M P 2 s e c o n d s i m p l i c a t i o n o f d a m p i n g t e r m

S I M P L E s e m i - i m p l i c i t m e t h o d f o r p r e s s u r e - l i n k e d e q u a t i o n s

S I M P L E C S I M P L E c o n s i s t e n t

S I M P L E R S I M P L E r e v i s e d

S L s i n g l e - l e v e l

S O R s u c c e s s i v e o v e r r e l a x a t i o n

7


9/115

1 I n t r o d u c t i o n

A w i d e r a n g e o f p h y s i c a l p h e n o m e n a d e p e n d s r e m a r k a b l y o n u i d o w . T h e r e f o r e ,

t h e r e h a s b e e n m u c h i n t e r e s t i n s o l v i n g o w e l d s . B u t t h e c o m p l e x i t y o f t h e

c o m p l e t e o w e q u a t i o n s , p r o p o s e d b y N a v i e r i n 1 8 2 2 a n d S t o k e s i n 1 8 4 5 1 ,

b e c a m e t h e p r o b l e m . C l o s e d o r s e r i a l - f o r m s o l u t i o n s , a l w a y s f o r t h e s i m p l i e d

e q u a t i o n s , h a d t o b e d e v i s e d c a s e b y c a s e . F i n a l l y , c o m p u t e r s o e r e d a g e n e r i c

a p p r o a c h t o s o l v i n g t h e o w e l d s , b u t e v e n c o m p u t e r s c o u l d n o t s o l v e a l l t h e

p r o b l e m s . T h e m y s t e r y o f t u r b u l e n c e s e e m s t o r e m a i n t o b e s o l v e d d u r i n g t h e

t h i r d m i l l e n n i u m .

S i n c e e a r l y d a y s , t h e c o m p r e s s i b l e o w p h e n o m e n e n a h a v e b e e n t h e m o s t p o t e n t i a l

a r e a o f t h e C F D C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s s i m u l a t i o n s . T h e a p p l i c a t i o n s ,

e s p e c i a l l y i n a e r o d y n a m i c s a n d t u r b i n e e n g i n e d e s i g n , h a v e c a u s e d a g r e a t d e a l o f

a t t e n t i o n t o b e f o c u s e d o n t h e d e v e l o p m e n t o f m e t h o d s f o r t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n

o f t h e c o m p r e s s i b l e o w e q u a t i o n s . A n d l i t t l e b y l i t t l e , t h e C F D a p p r o a c h h a s

s p r e a d t o o t h e r e l d s o f e n g i n e e r i n g .

T h e s o l u t i o n m e t h o d s d e v e l o p e d f o r c o m p r e s s i b l e o w s c a n n o t b e a d o p t e d f o r

i n c o m p r e s s i b l e o w s . F r o m t h e m a t h e m a t i c a l p o i n t o f v i e w , t h e i n c o m p r e s s i b l e

a n d c o m p r e s s i b l e o w e q u a t i o n s a r e n o t s i m i l a r 2 . T h e m a j o r d i e r e n c e b e t w e e n

t h e m i s t h e i r m a t h e m a t i c a l c h a r a c t e r . T h e c o m p r e s s i b l e o w e q u a t i o n s a r e h y -

b e r b o l i c , w h i c h m e a n s t h a t t h e y h a v e r e a l c h a r a c t e r i s t i c s o n w h i c h t h e s i g n a l s

t r a v e l a t n i t e p r o p a g a t i o n s p e e d s . B y c o n t r a s t , i n c o m p r e s s i b l e e q u a t i o n s h a v e

a m i x e d p a r a b o l i c - e l l i p t i c c h a r a c t e r . I f m e t h o d s f o r c o m p r e s s i b l e o w a r e t o b e

u s e d t o c o m p u t e i n c o m p r e s s i b l e o w , t h e c h a r a c t e r o f t h e e q u a t i o n s w i l l n e e d

t o b e m o d i e d . O r a l t e r n a t i v e l y , m e t h o d s s u i t a b l e f o r e q u a t i o n s h a v i n g a m i x e d

p a r a b o l i c - e l l i p t i c c h a r a c t e r n e e d t o u s e d .

T h e d i e r e n c e i n c h a r a c t e r s c a n b e t r a c e d b y t h e l a c k o f a t i m e d e r i v a t i v e t e r m i n

t h e i n c o m p r e s s i b l e c o n t i n u i t y e q u a t i o n . I n t h e a r t i c i a l c o m p r e s s i b i l i t y a p p r o a c h

A C M , r s t p r o p o s e d b y C h o r i n 3 i n 1 9 6 7 , a t i m e d e r i v a t i v e o f p r e s s u r e i s a d d e d

i n t o t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n . A t c o n v e r g e n c e , t h e t i m e d e r i v a t i v e i s z e r o a n d t h e

s o l u t i o n s a t i s e s t h e i n c o m p r e s s i b l e c o n t i n u i t y e q u a t i o n . T h e m e t h o d i s s u i t a b l e

f o r s t e a d y - s t a t e o w s . A n u m b e r o f m o d i e d v e r s i o n s h a s b e e n p r e s e n t e d . A l s o ,

m o d i c a t i o n s s u i t a b l e f o r t i m e - d e p e n d e n t c a l c u l a t i o n s h a v e b e e n p r o p o s e d .

I n a n o t h e r a p p r o a c h , a s o l u t i o n m e t h o d s u i t a b l e f o r e q u a t i o n s o f a m i x e d p a r a b o l i c -

e l l i p t i c c h a r a c t e r h a s b e e n c o n s t r u c t e d . A t l e a s t s t r e a m f u n c t i o n - v o r t i c i t y , f r a c -

t i o n a l s t e p , P o i s s o n p r e s s u r e e q u a t i o n P P E M a n d p r e s s u r e c o r r e c t i o n m e t h o d s

P C M c a n b e r e f e r r e d . T h e m a i n d i e r e n c e b e t w e e n t h e m e t h o d s i s t h e t r e a t -

m e n t o f p r e s s u r e .

T h e s t r e a m f u n c t i o n - v o r t i c i t y m e t h o d h a s b e e n u s e d m a i n l y t o s o l v e t w o - d i m e n -

s i o n a l i n c o m p r e s s i b l e o w s , e . g . 4 a n d 5 . T h e p r i n c i p a l i d e a o f t h e m e t h o d i s

8


10/115

t o t a k e t h e c u r l , r , o f t h e m o m e n t u m e q u a t i o n o f t h e v e c t o r f o r m , w h e n t h e

p r e s s u r e d i s a p p e a r s , b e c a u s e r r p 0 . T h e o r i g i n a l e q u a t i o n s f o r u n k n o w n

v a r i a b l e s u , v a n d p a r e r e p l a c e d b y e q u a t i o n s f o r a n d ! f r o m w h i c h t h e n e w

u n k n o w n s a r e e a s i l y s o l v e d . T h e s t r e a m f u n c t i o n i s u s e d t o c a l c u l a t e t h e v e l o c i t i e s

u a n d v . T h e p r e s s u r e c a n b e c a l c u l a t e d a f t e r w a r d s b y t h e a i d o f s t r e a m f u n c t i o n .

T h e m e t h o d i s e e c t i v e i n t w o - d i m e n s i o n a l c a s e s , b u t i t s b e n e t s a r e l o s t i n t h r e e -

d i m e n s i o n a l s p a c e . I t s e x t e n s i o n t o t h r e e - d i m e n s i o n a l o w s i s d i c u l t , a n d t h e

n u m b e r o f u n k n o w n v a r i a b l e s i s n o w i n c r e a s e d f r o m f o u r u , v , w a n d p t o s i x

x

,

y

,

z

, !

x

, !

y

a n d !

z

, i . e . t h e v o r t i c i t y a n d t h e s t r e a m f u n c t i o n b e c o m e

t h r e e - c o m p o n e n t v e c t o r s i n t h r e e d i m e n s i o n s 2 . R e g a r d l e s s o f t h e d i m e n s i o n s o f

t h e o w , t h e s t r e a m f u n c t i o n - v o r t i c i t y m e t h o d h a s a l s o p r o b l e m s w i t h b o u n d a r y

c o n d i t i o n s , v a r i a b l e u i d p r o p e r t i e s a n d c o m p r e s s i b i l i t y 2 . I n r e c e n t y e a r s , t h e

m e t h o d h a s b e c o m e l e s s p o p u l a r .

T h e r s t m u l t i d i m e n s i o n a l p r e s s u r e c o r r e c t i o n m e t h o d w a s d e v e l o p e d b y H a r l o w

a n d W e l c h 6 i n 1 9 6 5 . T h e y w e r e i n t e r e s t e d i n t i m e - d e p e n d e n t o w a n d u s e d

e x p l i c i t t i m e i n t e g r a t i o n . S o o n t h e e x p l i c i t t i m e i n t e g r a t i o n p r o v e d i t s e l f t o b e

a n i n e e c t i v e w a y s o l v i n g t h e s t e a d y - s t a t e o w s . A n i m p l i c i t p r e s s u r e c o r r e c t i o n

m e t h o d w a s p r o p o s e d b y P a t a n k a r a n d S p a l d i n g 7 i n 1 9 7 2 . T h e c o r r e c t i o n

o f t h e p r e s s u r e e l d u s i n g t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n w a s t h e p r i n c i p a l i d e a i n b o t h

p r o p o s a l s . T h e m e t h o d p r o p o s e d b y P a t a n k a r a n d S p a l d i n g b e c a m e v e r y p o p u l a r

a n d i s b e t t e r k n o w n a s t h e S I M P L E a l g o r i t h m 8 S e m i - I m p l i c i t M e t h o d f o r

P r e s s u r e - L i n k e d E q u a t i o n s . M a n y i m p r o v e m e n t s t o i n c r e a s e t h e c o n v e r g e n c e

r a t e h a v e b e e n p r e s e n t e d , a n d t h e v e r s i o n p r o p o s e d b y D o o r m a a l a n d R a i t h b y

9 i s n o w a d a y s p o p u l a r l i k e S I M P L E . D o o r m a a l a n d R a i t h b y ' s v e r s i o n i s b e t t e r

k n o w n a s t h e S I M P L E C a l g o r i t h m w h e r e C r e f e r s t o t h e w o r d c o n s i s t e n t .

T h e p r e s s u r e c o r r e c t i o n a p p r o a c h i s t h e m o s t p o p u l a r w a y o f s o l v i n g i n c o m p r e s s -

i b l e o w s . T h e S I M P L E a l g o r i t h m h a s b e e n u s e d b y M e l a a e n 1 0 , 1 1 , K o b a y a s h i

a n d P e r e i r a 1 2 , P e r i c a n d K e s s l e r 1 3 , P e r i c 1 4 , L a p w o r t h 1 5 , J e s s e e a n d F i v e -

l a n d 1 6 , C h o i e t a l . 1 7 , J e n g a n d L i o u 1 8 , R h i e a n d C h o w 1 9 , a n d M a t h u r

a n d M u r t h y 2 0 . S I M P L E C a l g o r i t h m h a s b e e n a d o p t e d b y T h i a r t 2 1 , 2 2 ,

T a m a m i d i s e t a l . 2 3 , 2 4 , R o d i e t a l . 2 5 , J o h a n s s o n a n d D a v i d s o n 2 6 , a n d

M i l l e r a n d S c h m i d t 2 7 . M o s t o f t h e m h a v e u s e d b o t h u n d e r - r e l a x e d v e l o c i t i e s

a n d p r e s s u r e , w h i c h s h o u l d h a v e b e e n a v o i d e d w h e n u s i n g S I M P L E C . F u r t h e r -

m o r e , S I M P L E - l i k e a l g o r i t h m s c a n b e f o u n d i n a r t i c l e s b y D a t e 2 8 , 2 9 , a n d

L i e n a n d L e s c h z i n e r 3 0 .

T h e p e r f o r m a n c e o f t h e P I S O , S I M P L E R a n d S I M P L E C p r e s s u r e c o r r e c t i o n a l -

g o r i t h m s f o r t h e t r e a t m e n t o f t h e p r e s s u r e - v e l o c i t y c o u p l i n g i n s t e a d y - o w p r o b -

l e m s w a s e x a m i n e d b y J a n g e t a l . 3 1 . T h e y f o u n d t h a t , f o r p r o b l e m s i n w h i c h

t h e m o m e n t u m e q u a t i o n w a s n o t c o u p l e d t o a s c a l a r v a r i a b l e , t h e P I S O a l g o r i t h m

w a s s u p e r i o r , b u t w h e n t h e s c a l a r v a r i a b l e , e . g . t e m p e r a t u r e i n b u o y a n c y - d r i v e n

o w s , w a s s t r o n g l y c o u p l e d t o t h e m o m e n t u m e q u a t i o n , S I M P L E R a n d S I M -

P L E C e x h i b i t e d b e t t e r b e h a v i o u r , a n d r e a s o n a b l e s o l u t i o n s w i t h P I S O a l g o r i t h m

w e r e o b t a i n e d o n l y f o r s m a l l t i m e - s t e p s . T h e y d i d n o t o b s e r v e c l e a r s u p e r i o r i t y o f

9


11/115

S I M P L E R o v e r S I M P L E C o r v i c e v e r s a . T h e i r s t u d y w a s e x e c u t e d i n s t a g g e r e d

g r i d .

T a m a m i d i s e t a l . 2 4 c o m p a r e d S I M P L E C p r e s s u r e c o r r e c t i o n a n d a r t i c i a l c o m -

p r e s s i b i l i t y m e t h o d s i n a t h r e e - d i m e n s i o n a l c o l o c a t e d g r i d a r r a n g e m e n t . T h e

b e n c h m a r k e v a l u a t i o n o f t h e t w o m e t h o d s w a s p e r f o r m e d t h r o u g h c a l c u l a t i o n s

o f l a m i n a r o w s i n 9 0

o

- c u r v e d d u c t s o f s q u a r e a n d c i r c u l a r c r o s s - s e c t i o n s . I n

g e n e r a l , t h e c o n t r o l - v o l u m e - b a s e d P C M c o m p a r e d s l i g h t l y m o r e f a v o r a b l y w i t h

m e a s u r e m e n t s a n d o t h e r w e l l - r e s o l v e d c o m p u t a t i o n s t h a n t h e n i t e - d i e r e n c e -

b a s e d A C M . H o w e v e r , b o t h m e t h o d s p r o d u c e d g r i d - i n d e p e n d e n t r e s u l t s a t t h e

s a m e g r i d r e s o l u t i o n . T h e A C M n e e d e d f e w e r i t e r a t i o n s b e c a u s e i t s o l v e d t h e

c o n t i n u i t y a n d m o m e n t u m e q u a t i o n s i n a f u l l y c o u p l e d m a n n e r , b u t i t r e q u i r e d

1 6 t i m e s m o r e m e m o r y . T h e A C M m e t h o d r e q u i r e s t h e u s e o f o n l y o n e a d j u s t a b l e

n u m e r i c a l p a r a m e t e r t o c o n t r o l c o n v e r g e n c e . H o w e v e r , t h e m e t h o d ' s s t a b i l i t y a n d

c o n v e r g e n c e a r e s e n s i t i v e t o t h i s p a r a m e t e r , a n d i t s s e l e c t i o n r e q u i r e s a n e x p e r i -

e n c e d u s e r . T h e P C M t y p i c a l l y r e q u i r e s t w o u n d e r - r e l a x a t i o n f a c t o r s , w h i c h c a n

b e s e l e c t e d q u i t e e a s i l y , t h u s m a k i n g t h e m e t h o d m o r e u s e r - f r i e n d l y .

W i l l i a m s 3 2 p r o p o s e d a m e t h o d i n w h i c h a r t i c i a l c o m p r e s s i b i l i t y a n d p r e s s u r e

c o r r e c t i o n a p p r o a c h e s w e r e c o m b i n e d . H e c o m b i n e d t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n s o f

b o t h m e t h o d s l e a d i n g t o t h e d i a g o n a l l y d o m i n a n t c o n t i n u i t y e q u a t i o n f o r p r e s s u r e

l i k e q u a n t i t y . T h e t e s t c o m p u t a t i o n s o f l i d - d r i v e n c a v i t y o w R e = 1 0 0 a n d 4 0 0

s h o w e d , t h a t t h e C P U t i m e s p e n t i n p r e s s u r e s o l v e r c o u l d b e d i m i n i s h e d e v e n t o

o n e - t e n t h p a r t c o m p a r e d w i t h t h e S I M P L E a l g o r i t h m . T h u s , W i l l i a m s w a s a b l e

t o d e c r e a s e t h e t o t a l C P U - t i m e a b o u t 4 5 . T h e P o i s s o n s o l v e r u s e d b y W i l l i a m s

w a s t h e L U - t y p e e q u a t i o n s o l v e r . T h e b e n e t s o f W i l l i a m s ' s o l v e r s h o u l d b e

g a i n e d b y u s i n g a n e e c t i v e s o l v e r f o r t h e p r e s s u r e - l i k e v a r i a b l e .

A b d a l l a h 3 3 , 3 4 a n d S o t i r o p o u l o s e t a l . 3 5 , 3 6 , 3 7 u s e d P P E M f o r i n c o m -

p r e s s i b l e o w s . T h e i d e a w a s t o s u b s t i t u t e t h e m o m e n t u m e q u a t i o n s i n t o t h e

c o n t i n u i t y e q u a t i o n , f r o m w h i c h t h e n e w p r e s s u r e w a s s o l v e d . T h e a l g o r i t h m w a s

s i m i l a r t o t h e m e t h o d p r o p o s e d b y H a r l o w a n d W e l s h 6 . A k s o y a n d C h e n 3 8

c o m p a r e d t h e p r e f o r m a n c e o f S I M P L E C a n d P P E M i n t h e l i d - d r i v e n c a v i t y o w

o f R e = 1 0 0 a n d 1 0 0 0 . T h e y c o n c l u d e d , t h a t P P E M c o n v e r g e d 1 = 3 f a s t e r

t h a n S I M P L E C , b u t t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n w a s p o o r l y s a t i s e d . S o t i r o p o u l o s

a n d A b d a l l a h 3 5 d e v e l o p e d a m e t h o d i n w h i c h t h e d a m p i n g t e r m o f t h e c o n t i n u -

i t y e q u a t i o n w a s s e p a r a t e d f r o m t h e o t h e r t e r m s s o t h a t i t c o u l d b e c o n t r o l l e d

c a s e b y c a s e . T h u s , t h e c o n t i n u i t y c o n s t r a i n t b e c a m e b e t t e r s a t i s e d .

T h e f r a c t i o n a l s t e p c o n c e p t h a s s i m i l a r i t i e s w i t h P P E M . I t i s m o r e a g e n e r i c a p -

p r o a c h t h a n a p a r t i c u l a r m e t h o d 2 . A n a p p l i c a t i o n o f a f r a c t i o n a l s t e p m e t h o d

t o i n c o m p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s h a s b e e n p r e s e n t e d b y K i m a n d M o i n

3 9 . T h e m e t h o d c a n b e p a c k e d i n t o t h e n e x t s t e p s . F i r s t , t h e m o m e n t u m e q u a -

t i o n s a r e s o l v e d w i t h o u t t h e p r e s s u r e . D u r i n g t h e s e c o n d s t e p , t h e v e l o c i t i e s o f

t h e p r e v i o u s s t e p a r e u s e d t o c a l c u l a t e t h e p r e s s u r e f r o m t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n .

D u r i n g t h e t h i r d s t e p , t h e n e w p r e s s u r e e l d i s u s e d t o c o r r e c t t h e v e l o c i t i e s o f

1 0


12/115

t h e r s t s t e p . T h i s t h r e e - s t e p d e s c r i p t i o n p r e s e n t s t h e m a i n i d e a o f t h e m e t h o d .

I n r e c e n t y e a r s , t h e m e t h o d h a s b e c o m e m o r e p o p u l a r .

P r e s s u r e o r p r e s s u r e c o r r e c t i o n i n P P E M , f r a c t i o n a l s t e p m e t h o d o r p r e s s u r e

c o r r e c t i o n m e t h o d i s s o l v e d f r o m a P o i s s o n e q u a t i o n . A n o t i c e a b l e p o r t i o n o f

c o m p u t a t i o n a l t i m e c a n b e s p e n t o n s o l v i n g t h e s e e q u a t i o n s , e . g . 3 2 . T h e r e f o r e ,

a n e e c t i v e P o i s s o n s o l v e r i s n e e d e d . S o m e s i n g l e - g r i d m e t h o d s , e . g . c o n j u g a t e

g r a d i e n t m e t h o d a n d s u c c e s s i v e o v e r - r e l a x a t i o n S O R t e c h n i q u e 4 0 , a r e q u i t e

p o w e r f u l , b u t t h e m u l t i g r i d t e c h n i q u e 4 1 s e e m s t o b e t h e m o s t e e c t i v e , e . g . 2 ,

a n d r e c o m m e n d e d , 2 5 .

B e s i d e s t h e p r e s s u r e c o r r e c t i o n a p p r o a c h , H a r l o w a n d W e l s h 6 i n t r o d u c e d t h e

s t a g g e r e d g r i d a r r a n g e m e n t . T h e s t a g g e r i n g w a s a l s o u t i l i z e d i n t h e o r i g i n a l

v e r s i o n s o f S I M P L E 7 , S I M P L E R 8 a n d S I M P L E C 9 . I t w a s e x p l a i n e d t o

s t r e n g t h e n t h e v e l o c i t y - p r e s s u r e c o u p l i n g t o p r e v e n t t h e o s c i l l a t i o n o f t h e s o l u -

t i o n , b u t i t s d i s a d v a n t a g e s o o n b e c a m e c l e a r . T h e t r e a t m e n t o f t h e c o m p l e x

g e o m e t r i e s b e c a m e v e r y c l u m s y . T h i s w a s t h e m a i n r e a s o n f o r s t u d i e s t o d e v e l o p

a n o s c i l l a t i o n - f r e e m e t h o d f o r t h e c o l o c a t e d g r i d a r r a n g e m e n t . T h e l i s t o f m e r i t s

o f c o l o c a t e d g r i d c a n e a s i l y b e c o n t i n u e d , 1 3 : t h e c o n v e c t i o n c o n t r i b u t i o n t o t h e

c o e c i e n t s i n t h e d i s c r e t i z e d e q u a t i o n s i s t h e s a m e f o r a l l v a r i a b l e s , c a r t e s i a n v e -

l o c i t y c o m p o n e n t s c a n b e u s e d i n c o n j u n c t i o n w i t h n o n - o r t h o g o n a l c o o r d i n a t e s ,

t h e r e a r e f e w e r c o n s t r a i n t s o n t h e n u m e r i c a l g r i d b e c a u s e t h e r e i s n o n e e d t o

e v a l u a t e t h e s o - c a l l e d c u r v a t u r e t e r m s , a n d m u l t i g r i d t e c h n i q u e s a r e m u c h e a s i e r

a p p l i e d t o t h e c o l o c a t e d a r r a n g e m e n t .

R h i e a n d C h o w 1 9 p r o p o s e d a m e t h o d o f p r e v e n t i n g t h e p r e s s u r e o s c i l l a t i o n s i n

t h e c o l o c a t e d g r i d a r r a n g e m e n t . T h e p r i n c i p a l i d e a w a s t o a d d a d a m p i n g t e r m

t o t h e c e n t r a l d i e r e n c e s t e n c i l o f t h e c e l l - f a c e v e l o c i t y . I n p r a c t i c e , t h e d a m p i n g

t e r m w a s a d i e r e n c e o f p r e s s u r e g r a d i e n t s t e n c i l s a t t h e c e l l - f a c e , a n d t h u s t h e

f o r m u l a b e g a n t o b e c a l l e d t h e p r e s s u r e - w e i g h t e d i n t e r p o l a t i o n m e t h o d P W I M

a l o n g w i t h t h e R h i e & C h o w i n t e r p o l a t i o n .

T h e d a m p i n g t e r m c a n b e d e r i v e d f r o m t h e m o m e n t u m e q u a t i o n o f t h e " s t a g g e r e d

f a c e c e l l " , w h i c h h a s b e e n d i r e c t l y u s e d w h e n d e v e l o p i n g t h e s o - c a l l e d m o m e n t u m -

w e i g h t e d i n t e r p o l a t i o n m e t h o d M W I M . I n f a c t , M W I M c a n b e t r e a t e d a s a

h a l f - d o n e R h i e & C h o w i n t e r p o l a t i o n s c h e m e . A n d n a l l y , b o t h m e t h o d s u t i l i z e

t h e s t a g g e r i n g i d e a i n d i r e c t l y , 1 3 . P W I M h a s b e e n u s e d b y M e l a a e n 1 0 , 1 1 ,

A c h a r y a a n d M o u k a l l e d 4 2 , L a p w o r t h 1 5 , W u a n d R a t h 4 3 , G u 4 4 , T a m -

a m i d i s e t a l . 2 3 , 2 4 , M a t h u r a n d M u r t h y 2 0 , L i e n a n d L e s c h i z i n e r 3 0 , a n d

M i l l e r a n d S c h i m d t 2 7 . M W I M h a s b e e n u t i l i z e d b y T h i a r t 2 1 , 2 2 , K o b a y a s h i

a n d P e r e i r a 1 2 , P a r a m e s w a r a n e t a l . 4 5 , P e r i c a n d K e s s l e r 1 3 , M a j u m d a r 4 6 ,

J e s s e e a n d F i v e l a n d 1 6 , C h o i e t a l . 1 7 , Z h a n g e t a l . 4 7 , P e r i c 1 4 a n d R o d i

e t a l . 2 5 .

A k s o y a n d C h e n 3 8 c o m p a r e d P W I M a n d M W I M i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e p r e s -

s u r e c o r r e c t i o n a p p r o a c h . T h e y c o n c l u d e d t h a t t h e d i e r e n c e s b e t w e e n t h e p e r -

1 1


13/115

f o r m a n c e s o f t h e m e t h o d s w e r e m i n o r i n l i d - d r i v e n c a v i t y o w t e s t s o f R e = 1 0 0

a n d 1 0 0 0 . B a s e d o n t h e s a m e o r i g i n o f t h e f o r m u l a s , t h e c o n c l u s i o n c o u l d h a v e

b e e n e x p e c t e d .

P e r i c e t a l . 1 3 c o m p a r e d s t a g g e r e d a n d c o l o c a t e d g r i d a r r a n g e m e n t s i n t w o -

d i m e n s i o n a l l a m i n a r o w s . L i d - d r i v e n s q u a r e c a v i t y R e = 1 0 0 , b a c k w a r d - f a c i n g

s t e p R e = 1 0 0 , a n d c i r c u l a r p i p e w i t h a s u d d e n c o n t r a c t i o n w e r e c h o s e n . T h e

n u m b e r o f i t e r a t i o n s a n d t h e t o t a l c o m p u t i n g t i m e s w e r e a l m o s t i d e n t i c a l f o r t h e

r s t a n d t h e s e c o n d c a s e . I n t h e t h i r d c a s e , t h e c o l o c a t e d v e r s i o n r e q u i r e d f e w e r

i t e r a t i o n s 2 9 . T h e t y p i c a l d i e r e n c e s b e t w e e n t h e s o l u t i o n s o b t a i n e d w i t h t h e

s t a g g e r e d a n d c o l o c a t e d v e r s i o n s w e r e a b o u t 0 : 0 1 o f t h e a p p r o p r i a t e r e f e r e n c e

v a l u e s . D i e r e n c e s o f t h e o r d e r o f 0 : 1 o c c u r r e d o n l y i n r a t h e r s m a l l r e g i o n s .

A l s o , d u e t o i t s o t h e r m e r i t s , P e r i c e t a l . 1 3 r e c o m m e n d e d t h e c o l o c a t e d g r i d

a r r a n g e m e n t .

S o m e m o d i c a t i o n s t o t h e R h i e & C h o w i n t e r p o l a t i o n h a v e b e e n p r o p o s e d . T h e

e a r l i e s t p r o p o s a l f o u n d d u r i n g t h i s s t u d y w a s p r e s e n t e d b y H a n 4 8 . H e s u b s t i -

t u t e d t h e d i s s i p a t i o n t e r m c r e a t e d b y P W I M d i r e c t l y i n t o t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n .

H e a l s o m u l t i p l i e d t h e d i s s i p a t i o n t e r m b y a f a c t o r t o b e x e d c a s e b y c a s e . T h e

i d e a w a s t o c o n t r o l t h e a m o u n t o f d a m p i n g t o k e e p s i m u l t a n e o u s l y t h e c o n v e r -

g e n c e r a t e a c c e p t a b l e a n d t h e s o l u t i o n o s c i l l a t i o n - f r e e .

J o h a n s s o n a n d D a v i d s o n 2 6 p r o p o s e d a R h i e & C h o w i n t e r p o l a t i o n s c h e m e s i m -

i l a r t o H a n ' s 4 8 i d e a . T h e y s i m p l i e d t h e f o r m u l a a n d m u l t i p l i e d t h e d i e r e n c e

o f p r e s s u r e g r a d i e n t s t e n c i l s b y a f a c t o r t o b e u s e d t o c o n t r o l t h e a m o u n t o f

d i s s i p a t i o n i n t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n . B y u s i n g t h e n e w f o r m u l a , J o h a n s s o n

a n d D a v i d s o n w e r e a b l e t o c a l c u l a t e b u o y a n c y - d r i v e n c a v i t y o w o f R a = 1 0

7

,

w h i c h w a s i m p o s s i b l e w i t h t h e o r i g i n a l R h i e & C h o w v e r s i o n . T h e y w e r e a l s o

a b l e t o c o m p u t e s o m e t u r b u l e n t a n d t h e r m a l v e n t i l a t i o n a p p l i c a t i o n s , w h i c h w e r e

p r e v i o u s l y i m p o s s i b l e i n t h e c o l o c a t e d g r i d a r r a n g e m e n t .

G u 4 4 h a d a l s o r e c o g n i z e d t h e c o n v e r g e n c e p r o b l e m s o f t h e c o l o c a t e d g r i d a r -

r a n g e m e n t i n b u o y a n c y - d r i v e n o w s . H e i n t r o d u c e d a s e c o n d - o r d e r b o d y f o r c e

t e r m i n t o t h e R h i e & C h o w i n t e r p o l a t i o n s t e n c i l . A s u c c e s s f u l t e s t c o m p u t a t i o n

w a s r u n u s i n g H a r w e l l ' s F L O W 3 D c o m p u t e r p r o g r a m w i t h a c a s e R a = 1 0

1 0

, i . e .

i t w a s t u r b u l e n t . U s i n g t h e o r i g i n a l P W I M t h e c a s e d i d n o t c o n v e r g e . R a h m a n

e t a l . 4 9 a l s o p r o p o s e d b o d y f o r c e c o r r e c t i o n t o P W I M , b u t t h e i r c o r r e c t i o n

m a d e t h e c e l l - f a c e v e l o c i t y s t e n c i l r s t - o r d e r a c c u r a t e .

D a t e 2 8 p r o p o s e d m e t h o d s f o r p r e v e n t i n g p r e s s u r e o s c i l l a t i o n s i n t h e c o l o c a t e d

g r i d a r r a n g e m e n t . A t r s t , h e i n t r o d u c e d e d a n o n - s y m m e t r i c P W I M s c h e m e ,

w h i c h w a s n o m o r e s e c o n d - o r d e r a c c u r a t e . N e x t , h e p r o p o s e d t h a t c e l l - f a c e v e l o -

c i t i e s c o u l d b e c a l c u l a t e d u s i n g c e n t r a l d i e r e n c e s t e n c i l s i f t h e p r e s s u r e g r a d i e n t s

i n m o m e n t u m e q u a t i o n s w e r e c a l c u l a t e d i n a p r o p e r m a n n e r . T o d e m o n s t r a t e

t h e m e t h o d s , D a t e c a l c u l a t e d l i d - d r i v e n c a v i t y o w o f R e = 1 0 0 a n d b u o y a n c y -

d r i v e n o w i n a c o r n e r o f R a = 1 0 0 0 . D a t e ' s l a t t e r i d e a w a s a l s o t r i e d b y R u s s e l l

1 2


14/115


15/115

a n d M W I M . T h e c e l l - f a c e v e l o c i t i e s a r e n e e d e d t o c a l c u l a t e m a s s u x e s t h r o u g h

t h e c e l l - f a c e s . I n g e n e r a l c o o r d i n a t e s y s t e m s , c o n t r a v a r i a n t v a l u e s a r e a l m o s t

a l w a y s u s e d , e x c e p t C h o i e t a l . 1 7 , w h o h a s u s e d c o v a r i a n t c o m p o n e n t s . T h e

c e l l - f a c e v a l u e s a r e a l w a y s u p d a t e d a f t e r t h e p r e s s u r e c o r r e c t i o n e q u a t i o n . M o s t

o f t h e s o l v e r s s e e m t o c o n t a i n a r r a y s f o r c e l l - f a c e v e l o c i t i e s , b e c a u s e t h e R h i e

& C h o w i n t e r p o l a t e d v a l u e s a r e c o r r e c t e d d i r e c t l y w i t h o u t c o r r e c t e d c e l l v a l u e s .

O n l y D a t e 2 9 h a s d e m o n s t r a b l y a b a n d o n e d c o n s e r v i n g t h e c e l l - f a c e v a l u e s i n t o

t h e a r r a y s , a n d h e a l w a y s u s e s a c e n t r a l d i e r e n c e s t e n c i l f o r c e l l - f a c e v e l o c i t i e s .

I n t h e c o m m e r c i a l a n d i n d u s t r i a l e n v i r o n m e n t , g e o m e t r i c e x i b i l i t y r a n k s h i g h i n

i m p o r t a n c e . T h e r e f o r e , e v e n i n u n i v e r s i t y c o d e s a g e n e r a l c o o r d i n a t e s y s t e m m u s t

b e u s e d . O t h e r w i s e , n e w l y d e v e l o p e d m o d e l s a n d n u m e r i c a l t e c h n i q u e s c a n n o t

b e s u b j e c t e d t o t e s t i n g a n d v a l i d a t i o n i n a c h a l l e n g i n g g e o m e t r i c e n v i r o n m e n t

w i t h i n w h i c h a n i n c r e a s i n g a m o u n t o f e x p e r i m e n t a l d a t a a r e b e i n g g e n e r a t e d ,

e . g . 3 0 . I n m a n y a r t i c l e s t h e g e n e r a l c o o r d i n a t e s a r e p r e s e n t e d u s i n g t h e n i t e

d i e r e n c e a p p r o a c h w i t h J a c o b i a n . O n l y P e r i c 1 4 , J o h a n s s o n a n d D a v i d s o n 2 6 ,

J e s s e e a n d F i v e l a n d 1 6 , a n d M a t h u r a n d M u r t h y 2 0 h a v e u s e d t h e p u r e c o n t r o l

v o l u m e a p p r o a c h w i t h v e c t o r n o t a t i o n s . B u t , c a r t e s i a n v e l o c i t y c o m p o n e n t s a r e

a l w a y s u s e d a s v a r i a b l e s i n m o m e n t u m e q u a t i o n s .

T h e d i u s i o n t e r m s a r e a l w a y s d i s c r e t i z e d u s i n g t h e c e n t r a l d i e r e n c e s t e n c i l . T h e

v a r i e t y o f c o n v e c t i o n m o d e l s i s w i d e . A p p r o x i m a t e l y h a l f o f t h e w r i t e r s h a v e u s e d

t h e r s t - o r d e r a c c u r a t e m e t h o d s , l i k e r s t - o r d e r u p w i n d , H Y B R I D a n d p o w e r -

l a w . A l s o s o m e a n a l y t i c a l m e t h o d s , w h i c h i n p r a c t i c e a r e r s t - o r d e r a c c u r a t e ,

h a v e b e e n u s e d , e . g . e x p o n e n t i a l s c h e m e b y S p a l d i n g 5 3 a n d n i t e a n a l y t i c F A

m e t h o d b y C h e n 5 4 . T h e m o s t p o p u l a r h i g h e r o r d e r s c h e m e i s Q U I C K , p r o p o s e d

b y L e o n a r d 5 5 . I t h a s b e e n u s e d b y M i l l e r a n d S c h m i d t 2 7 , T a m a m i d i s e t a l .

2 3 , 2 4 , J o h a n s s o n a n d D a v i d s o n 2 6 , R a h m a n e t a l . 4 9 , a n d Z h a n g e t a l .

4 7 . T h e s e c o n d - o r d e r u p w i n d s c h e m e h a s b e e n a d o p t e d b y M e l a a e n 1 0 , 1 1 ,

S o t i r o p o u l o s e t a l . 3 6 , 3 7 , a n d M a t h u r a n d M u r t h y 2 0 . H a n 4 8 , P e r i c

1 4 a n d W i l l i a m s 3 2 h a v e a p p l i e d t h e c e n t r a l d i e r e n c e s t e n c i l f o r c o n v e c t i o n

t e r m s . O n l y L i e n a n d L e s c h z i n e r 3 0 a n d J e s s e e a n d F i v e l a n d 1 6 h a v e u s e d t h e

M U S C L s c h e m e w i t h u x l i m i t e r s . T h e a c r o n y m s t a n d s f o r M o n o t o n e U p s t r e a m -

c e n t r e d S c h e m e s f o r C o n s e r v a t i o n L a w s , a f t e r t h e n a m e o f t h e r s t c o d e a p p l y i n g

t h i s m e t h o d 5 6 . I t c o n t a i n s a n i n n i t e n u m b e r o f u p w i n d - w e i g h t e d c o n v e c t i o n

s c h e m e s i n c l u d i n g c e n t r a l d i e r e n c e , Q U I C K a n d s e c o n d - o r d e r u p w i n d s t e n c i l s .

I n t h i s s t u d y , t h e S I M P L E p r e s s u r e c o r r e c t i o n a p p r o a c h h a s b e e n c h o s e n . F o r

s i m p l i c i t y , t h e e q u a t i o n s a r e s o l v e d i n a s e g r e g a t e d m a n n e r . A n e e c t i v e m u l t i -

g r i d s o l v e r i s d e v e l o p e d f o r p r e s s u r e c o r r e c t i o n e q u a t i o n . M e t h o d s f o r c a l c u l a t i n g

c e l l - f a c e v e l o c i t i e s a r e s t u d i e d . C o n v e c t i o n a n d d i u s i o n t e r m s a r e m o d e l l e d u s i n g

M U S C L a n d t h e c e n t r a l d i e r e n c e s t e n c i l , r e s p e c t i v e l y . T h e v a r i a b l e s a r e l o c a t e d

i n t h e c e l l - c e n t r e d c o l o c a t e d g r i d . T h e g e n e r a l c o o r d i n a t e s a r e d e s c r i b e d u s i n g

t h e p u r e c o n t r o l v o l u m e a p p r o a c h w i t h v e c t o r n o t a t i o n s . C a r t e s i a n v e l o c i t y c o m -

p o n e n t s a r e u s e d a s v a r i a b l e s i n t h e m o m e n t u m e q u a t i o n s , a n d t h e c o n t r a v a r i a n t

c o m p o n e n t s a r e u s e d t o c a l c u l a t e c o n v e c t i o n u x e s t h r o u g h t h e c e l l - f a c e s .

1 4


16/115

2 C a l c u l a t i o n o f I n c o m p r e s s i b l e F l o w s

2 . 1 G o v e r n i n g E q u a t i o n s

T h e n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n s o f i n c o m p r e s s i b l e o w s a r e b a s e d o n t h e c o n s e r v a t i o n

o f m a s s , m o m e n t u m a n d i n t e r n a l e n e r g y , a n d t h e y a r e u s u a l l y p r e s e n t e d a s a s e t

o f p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s . I n t h i s s t u d y , t w o - d i m e n s i o n a l e q u a t i o n s w i l l b e

u t i l i z e d . I n c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s , t h e c o n s e r v a t i o n o f t h e m a s s , i . e . c o n t i n u i t y

e q u a t i o n , i s a s f o l l o w s 2

@

@ t

+

@

@ x

u +

@

@ y

v = 0 1

w h e r e i s t h e d e n s i t y a n d v e l o c i t y v e c t o r i s d e n e d ~v = u

~

i + v

~

j . T h e c o m p o n e n t s

o f t h e m o m e n t u m e q u a t i o n i n t h e x - a n d y - d i r e c t i o n s a r e i n c o n s e r v a t i o n f o r m 2

@

@ t

u +

@

@ x

u

2

+

@

@ y

u v =

@ p

@ x

+

@

@ x

@ u

@ x

+

@

@ y

@ u

@ y

j g j c o s T T

1

1

2

@

@ t

v +

@

@ x

u v +

@

@ y

v

2

=

@ p

@ y

+

@

@ x

@ v

@ x

+

@

@ y

@ v

@ y

j g j s i n T T

1

1

3

w h e r e p i s p r e s s u r e , i s d y n a m i c v i s c o s i t y , g r a v i t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n v e c t o r i s ~g ,

T i s t e m p e r a t u r e , i s v o l u m e t r i c t h e r m a l e x p a n s i o n c o e c i e n t , T

1

i s a m b i e n t

t e m p e r a t u r e a n d i s a n g l e b e t w e e n g r a v i t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n v e c t o r ~g a n d t h e

y - a x i s . T h e u i d h a s b e e n c o n s i d e r e d a s N e w t o n i a n . T h e d y n a m i c v i s c o s i t y h a s

b e e n a s s u m e d t o b e c o n s t a n t , a n d t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n 1 h a s b e e n u s e d

t o m a n i p u l a t e t h e v i s c o u s t e r m s . A s s u m p t i o n o f a c o n s t a n t d e n s i t y h a s b e e n

u s e d e x c e p t t h e g r a v i t a t i o n a l b o d y f o r c e t e r m s w h i c h h a s b e e n m o d e l l e d u s i n g

B o u s s i n e s q ' s a p p o x i m a t i o n , s e e e . g . 5 7 . E q u a t i o n s 2 a n d 3 a r e o f t e n c a l l e d

N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . T h e t e m p e r a t u r e o c c u r r i n g i n m o m e n t u m e q u a t i o n s i s

s o l v e d f r o m t h e i n t e r n a l e n e r g y e q u a t i o n , w h i c h i s a s f o l l o w s 2

@

@ t

T +

@

@ x

u T +

@

@ y

v T =

@

@ x

c

p

@ T

@ x

+

@

@ y

c

p

@ T

@ y

4

w h e r e a n d c

p

a r e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y a n d s p e c i c h e a t a t c o n s t a n t p r e s s u r e ,

r e s p e c t i v e l y . E q u a t i o n s 1 , 2 , 3 a n d 4 f o r m a c l o s e d s y s t e m f r o m w h i c h

1 5


17/115

t h e o w p r o p e r t i e s u , v , p a n d T c a n b e s o l v e d a s a f u n c t i o n o f s p a c e a n d t i m e .

B u t , i n t h i s s t u d y o n l y s t e a d y - s t a t e o w s w i l l b e c a l c u l a t e d . A n e x t e n s i o n t o t h e

g e n e r a l c o o r d i n a t e s w i l l b e s t u d i e d l a t e r .

2 . 2 N u m e r i c a l C a l c u l a t i o n o f t h e E q u a t i o n S y s t e m

S i m u l t a n e o u s n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n o f E q s . 1 , 2 , 3 a n d 4 i s c o m p u t a -

t i o n a l l y c o m p l e x . T h e r e f o r e , t h e e q u a t i o n s a r e s o l v e d o n e a f t e r a n o t h e r , i . e . i n

a s e g r e g e t e d m a n n e r . T h e b a s i c s t r u c t u r e o f E q s . 2 , 3 a n d 4 i s s i m i l a r

t o e a c h o t h e r , c o n t a i n i n g a n u n s t e a d y t e r m , c o n v e c t i o n , d i u s i o n a n d p o s s i b l y

s o u r c e t e r m s , a n d t h e y a r e o f t e n c a l l e d c o n v e c t i o n - d i u s i o n e q u a t i o n s . T h e o w

p r o p e r t i e s u , v a n d T a r e s o l v e d f r o m E q s . 2 , 3 a n d 4 r e s p e c t i v e l y . T h e r e -

f o r e , t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n 1 i s t o b e m o d i e d f o r p r e s s u r e o r p r e s s u r e - l i k e

q u a n t i t y .

2 . 3 C o n v e c t i o n - D i u s i o n S o l v e r

T h e r s t s t a g e i s t o d e r i v e a c o n v e c t i o n - d i u s i o n e q u a t i o n t o n i t e f o r m . I n t h i s

s t u d y t h e c o n t r o l v o l u m e a p p r o a c h i s u t i l i z e d . T h e p r o c e s s i s t o b e s t u d i e d b y

t h e a i d o f a g e n e r a l c o n v e c t i o n - d i u s i o n e q u a t i o n f o r q u a n t i t y ,

@

@ t

+

@

@ x

u +

@

@ y

v =

@

@ x

@

@ x

+

@

@ y

@

@ y

+ S 5

w h e r e i s d i u s i o n c o e c i e n t a n d t h e s o u r c e t e r m S c o u l d c o n t a i n , f o r i n s t a n c e ,

p r e s s u r e g r a d i e n t a n d o r b o d y f o r c e , e t c . N e x t , E q . 5 i s i n t e g r a t e d o v e r t h e

c o n t r o l v o l u m e V

i ; j

. T h e c o n t r o l v o l u m e V

i ; j

w i t h i t s s u r r o u n d i n g i s r e p r e s e n t e d

i n F i g . 1 b y d a s h e d l i n e s . A f t e r t h e r e a r r a n g e m e n t s t h e i n t e g r a t e d e q u a t i o n c a n

b e o b t a i n e d i n t h e f o r m ,

V

i ; j

@

i ; j

@ t

+

h

A

u

@

@ x

i

i + 1 = 2 ; j

h

A

u

@

@ x

i

i 1 = 2 ; j

+

h

A

v

@

@ y

i

i ; j + 1 = 2

h

A

v

@

@ y

i

i ; j 1 = 2

= S

i ; j

6

w h e r e A i s a s u r f a c e a r e a o f a f a c e o f t h e c e l l . S u r f a c e i n t e g r a l s h a s b e e n a p -

p r o x i m a t e d b y u s i n g t h e s e c o n d - o r d e r a c c u r a t e m i d p o i n t r u l e , s e e e . g . 2 . B y

d e n i n g q u a n t i t y u x a s f o l l o w s

1 6


18/115

F

i 1 = 2 ; j

=

h

A

u

@

@ x

i

i 1 = 2 ; j

7

E q . 6 c a n b e s i m p l i e d t o f o r m

V

i ; j

@

i ; j

@ t

F

i 1 = 2 ; j

+ F

i + 1 = 2 ; j

F

i ; j 1 = 2

+ F

i ; j + 1 = 2

= S

i ; j

8

N e x t , t h e i n t e g r a t e d E q . 6 i s t o b e d i s c r e t i z e d .

i,j

i,j+1

i+1,j

i,j1

i1,j

(i,j)

(i,j+1)

(i1,j) (i+1,j)

(i,j1)

ui+1/2,jui1/2,j

vi,j1/2

vi,j+1/2

x

y

F i g u r e 1 . C o n t r o l v o l u m e i ; j a n d i t s s u r r o u n d i n g s i n C a r t e s i a n

c o o r d i n a t e s .

1 7


19/115

2 . 3 . 1 D i s c r e t i z a t i o n

T h e p r e s e n t s o l v e r i s b a s e d o n t i m e i n t e g r a t i o n , b u t t h e o w s a r e a s s u m e d t o

b e i n d e p e n d e n t o f t i m e . T h u s , a r s t - o r d e r a c c u r a t e a p p r o x i m a t i o n f o r t h e t i m e

d e r i v a t i v e w i l l b e a c c e p t e d . F i r s t , T a y l o r s e r i e s f o r

n + 1

i ; j

, w h e r e s u p e r s c r i p t n + 1

d e n o t e s t o n e w t i m e t

n + 1

= t

n

+ t , a b o u t t h e m o m e n t t

n

i s d e v e l o p e d . A f t e r

t h e r e a r r a n g e m e n t s , t h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e t i m e d e r i v a t i v e i s o b t a i n e d i n t h e

f o r m

h

@

@ t

i

n

i ; j

=

n + 1

i ; j

n

i ; j

t

+ O t 9

w h e r e O t i s t h e m a g n i t u d e o f t h e t r u n c a t i o n e r r o r , w h i c h i s n o w p r o p o r t i o n a l

t o t . I f t h e o w d e p e n d s o n t i m e , t h e a p p r o x i m a t i o n 9 s h o u l d b e r e p l a c e d b y

a s e c o n d - o r d e r a c c u r a t e s t e n c i l , i . e . t h e t r u n c a t i o n e r r o r s h o u l d b e o f t h e o r d e r

O t

2

.

T h e a p p r o x i m a t i o n o f c o n v e c t i o n t e r m s i s n o m o r e s o s t r a i g h t - f o r w a r d . F r o m

t h e p h y s i c a l p o i n t o f v i e w , t h e c o n v e c t i o n t r a n s f e r s t h e i n f o r m a t i o n d o w n s t r e a m .

T h e r e f o r e , t h e a p p r o x i m a t i o n o f c o n v e c t i o n t e r m s m u s t b e w e i g h t e d t o t h e u p -

s t r e a m - s i d e . T h e s i m p l i e s t s t e n c i l i s t h e r s t - o r d e r u p w i n d F O U

i 1 = 2 ; j

=

i 1 ; j

+ O x w h e n u

i 1 = 2 ; j

0 1 0

i 1 = 2 ; j

=

i ; j

+ O x w h e n u

i 1 = 2 ; j

0 1 1

i . e . t h e t r u n c a t i o n e r r o r i s o f m a g n i t u d e x . T h e F O U s t e n c i l w a s p o p u l a r

d u r i n g t h e 1 9 7 0 s a n d t h e 1 9 8 0 s . I t w a s u s e d i n i t s e l f o r a s a p a r t o f t h e H Y B R I D

s c h e m e d e v e l o p e d b y S p a l d i n g 5 3 . T h e m a i n p r o b l e m w i t h t h e F O U s c h e m e i s

i t s d i u s i v e e e c t o n t h e s o l u t i o n . T h e r s t t r u n c a t i o n e r r o r t e r m c a n b e w r i t t e n

a s f o l l o w s

n u m

i 1 = 2 ; j

@

@ x

i 1 = 2 ; j

1 2

w h e r e t h e n u m e r i c a l d i u s i o n c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m

n u m

i 1 = 2 ; j

= u

i 1 = 2 ; j

x = 2 ,

w h i c h i n c r e a s e s t h e p h y s i c a l d i u s i o n . P e a k s o r r a p i d v a r i a t i o n s o f w i l l b e

s m e a r e d o u t i f t h e g r i d i s n o t d e n s e e n o u g h . F r o m t h e p r a c t i c a l p o i n t o f v i e w ,

t h e g r i d b e c o m e s t o o n e . T h u s , t h e c o n v e c t i o n m u s t b e a p p r o x i m a t e d b y u s i n g

h i g h e r - o r d e r s c h e m e s .

P e r h a p s t h e m o s t v e r s a t i l e w a y i s t o u s e t h e M U S C L a p p r o a c h , e . g . 5 6 . T h e

1 8


20/115

M U S C L s c h e m e c a n b e d e r i v e d a s f o l l o w s : T h e o r i g i n a l c o n v e c t i o n t e r m i n t h e

p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s a p p r o x i m a t e d a s f o l l o w s

h

@

@ x

i

i ; j

=

i + 1 = 2 ; j

i 1 = 2 ; j

x

1 3

T h e a p p r o x i m a t i o n s f o r

i + 1 = 2 ; j

a n d

i 1 = 2 ; j

a r e s e a r c h e d f o r i n t h e f o r m

i 1 = 2 ; j

= b

i 2 ; j

+ c

i 1 ; j

+ d

i ; j

1 4

i + 1 = 2 ; j

= b

i 1 ; j

+ c

i ; j

+ d

i + 1 ; j

1 5

w h e r e t h e c o n v e c t i o n v e l o c i t i e s a r e a s s u m e d t o b e p o s i t i v e a t b o t h f a c e s , i . e .

u

i + 1 = 2 ; j

0 a n d u

i 1 = 2 ; j

0 . T h e a p p r o x i m a t i o n s 1 4 a n d 1 5 a r e s u b s t i t u t e d

i n t o t h e f o r m u l a 1 3 , a n d a f t e r t h a t t h e T a y l o r s e r i e s a r e d e v e l o p e d f o r

i 2 ; j

,

i 1 ; j

,

i ; j

a n d

i + 1 ; j

a b o u t t h e p o i n t i , j . F i n a l l y , t h e f o r m u l a 1 3 c a n b e

o b t a i n e d i n t h e f o r m a s f o l l o w s

h

@

@ x

i

i ; j

= b + c + d

@

@ x

i ; j

+

x

2

3 b c + d

@

2

@ x

2

i ; j

+

x

2

6

7 b + c + d

@

3

@ x

3

i ; j

+ O x

3

1 6

N e x t t h e a p p r o x i m a t i o n 1 6 i s r e q u i r e d t o b e a t l e a s t s e c o n d - o r d e r a c c u r a t e ,

t h a t l e a d s t o t h e p a i r o f e q u a t i o n s

b + c + d = 1

3 b c + d = 0

a n d t h e n e x t l i m i t a t i o n c a n b e o b t a i n e d :

b = d 1 = 2

c = 2 d + 3 = 2

B y c h o o s i n g d = 1 + = 4 t h e b e t t e r k n o w n f o r m o f t h e M U S C L s c h e m e i s

o b t a i n e d

1 9


21/115

i 1 = 2 ; j

=

i 1 ; j

+

1

4

1

i 1 ; j

i 2 ; j

+ 1 +

i ; j

i 1 ; j

1 7

w h e r e t h e c o n v e c t i o n v e l o c i t y a t t h e f a c e i 1 = 2 ; j i s a s s u m e d t o b e p o s i t i v e .

I f t h e c o n v e c t i o n v e l o c i t y i s n e g a t i v e , t h e u p w i n d - w e i g h t e d M U S C L s c h e m e c a n

b e w r i t t e n i n t h e f o r m

i 1 = 2 ; j

=

i ; j

+

1

4

1

i ; j

i + 1 ; j

+ 1 +

i 1 ; j

i ; j

1 8

A n i n t e r e s t i n g f e a t u r e o f t h e M U S C L d i s c r e t i z a t i o n i s t h a t i t i s a l w a y s s e c o n d -

o r d e r a c c u r a t e a n d t h e n u m b e r o f s t e n c i l s i s i n n i t e . H o w e v e r , i t i s u p w i n d -

w e i g h t e d i n t h e r e g i o n 1 1 . S o m e o f t h e w e l l - k n o w n d i s c r e t i z a t i o n

m e t h o d s a r e o b t a i n e d w i t h t h e c h o i c e s

= - 1 s e c o n d - o r d e r u p w i n d

= 0 F r o m m ' s s c h e m e

= + 1 3 t h i r d - o r d e r u p w i n d

= + 1 2 Q U I C K

= + 1 c e n t r a l d i e r e n c e

N o w a d a y s , t h e Q U I C K s c h e m e Q u a d r a t i c - U p s t r e a m I n t e r p o l a t i o n f o r C o n v e c t i v e

K i n e m a t i c s , 5 5 i s p e r h a p s t h e m o s t p o p u l a r h i g h e r - o r d e r s t e n c i l f o r m o d e l l i n g

c o n v e c t i o n t e r m s o f i n c o m p r e s s i b l e o w s , i n c l u d i n g c o m m e r c i a l C F D p a c k a g e s .

T h e r e a s o n f o r t h e p o p u l a r i t y o f t h e Q U I C K s c h e m e i s p e r h a p s i t s t h i r d - o r d e r a c -

c u r a c y t o a p p r o x i m a t e t h e c e l l - f a c e v a l u e , b u t i n f a c t i t a p p r o x i m a t e s t h e o r i g i n a l

c o n v e c t i o n t e r m s e c o n d - o r d e r a c c u r a t e l y . A n d n a l l y , t h e Q U I C K s c h e m e i s a

s t e n c i l t h a t c a n b e w r i t t e n b y c h o o s i n g t h e v a l u e = 1 = 2 i n t h e g e n e r a l M U S C L

s c h e m e .

T h e d i u s i o n t e r m s o f E q . 6 a r e a p p r o x i m a t e d b y u s i n g t h e c e n t r a l d i e r e n c e

s c h e m e

h

@

@ x

i

i + 1 = 2 ; j

=

i + 1 ; j

i ; j

x

+ O x

2

1 9

w h e r e t h e g r i d i s a s s u m e d t o b e u n i f o r m . A l s o t h e p r e s s u r e g r a d i e n t t e r m s o f t h e

m o m e n t u m e q u a t i o n s a r e a p p r o x i m a t e d b y u s i n g c e n t r a l d i e r e n c i n g . A f t e r t h e

i n t e g r a t i o n o v e r t h e c o n t r o l v o l u m e V

i ; j

t h e y a r e o b t a i n e d i n t h e f o r m

2 0


22/115

Z

V

i ; j

@ p

@ x

d = p A

i + 1 = 2 ; j

p A

i 1 = 2 ; j

2 0

w h e r e c e n t r a l d i e r e n c e s c h e m e s l i k e ,

p

i + 1 = 2 ; j

=

1

2

p

i ; j

+ p

i + 1 ; j

+ O x

2

2 1

a r e a p p l i e d . I n t h e c a r t e s i a n g r i d , t h e g r a v i t a t i o n a l b o d y f o r c e t e r m s c a n b e

i n t e g r a t e d s t r a i g h t - f o r w a r d l y o v e r t h e c o n t r o l v o l u m e .

2 . 3 . 2 E x t e n s i o n t o N o n - o r t h o g o n a l G r i d s

W h e n t h e g e o m e t r y o f t h e d o m a i n i s c o m p l e x , t h e u n i f o r m c a r t e s i a n g r i d i s u n -

s u i t a b l e f o r e e c t i v e c o m p u t a t i o n . T h e r e f o r e , t h e s o l v e r m u s t b e a b l e t o h a n d l e

" n o n - o r t h o g o n a l c o n t r o l v o l u m e s " . T h e c o n t r o l v o l u m e a p p r o a c h i t s e l f p r o v i d e s

a s t r a i g h t - f o r w a r d a p p r o a c h t o t h e p r o b l e m , 2 . T h e i n t e g r a l f o r m u l a o f t h e

c o n v e c t i o n - d i u s i o n e q u a t i o n o f t h e s c a l a r i s

Z

V

@

@ t

d =

Z

V

r r ~ v + S d 2 2

a n d b y u s i n g G a u s s ' s t h e o r e m , e . g . 5 8 , i t c a n b e m o d i e d t o f o r m

Z

V

@

@ t

d =

Z

A

r ~ v ~n

0

d +

Z

V

S d 2 3

w h e r e V i s a n a r b i t r a r y v o l u m e , A i s i t s s u r f a c e a n d ~n

0

i s t h e e x t e r i o r u n i t n o r m a l

a t t h e f a c e A . T h e i n t e g r a l f o r m u l a 2 3 c a n d i r e c t l y b e a p p l i e d t o a n y c o n t r o l

v o l u m e .

A t y p i c a l t w o - d i m e n s i o n a l n o n - o r t h o g o n a l c o n t r o l v o l u m e i s p r e s e n t e d i n F i g . 2 .

T h e d e t a i l s o f t h e f o r m u l a 2 3 c a n b e s t u d i e d b y t h e a i d o f t h e f a c e i + 1 = 2 ; j .

T h e r e f e r e n c e p o i n t o f i + 1 = 2 ; j l i e s i n t h e m i d d l e o f t h e s u r f a c e i + 1 = 2 ; j

1 = 2 - i + 1 = 2 ; j + 1 = 2 . T h e c e n t r a l p o i n t o f t h e v o l u m e i ; j i s d e n e d a s t h e

i n t e r s e c t i o n o f t h e m e d i a n s i 1 = 2 ; j - i + 1 = 2 ; j a n d i ; j 1 = 2 - i ; j + 1 = 2 , w h i c h

a r e s h o w n a s d a s h e d . T h e u n i t n o r m a l v e c t o r s a t t h e p o i n t s i 1 = 2 ; j a n d i ; j

1 = 2 a r e n o t t h e e x t e r i o r u n i t n o r m a l s n e e d e d i n t h e c o m m o n i n t e g r a l f o r m u l a s .

2 1


23/115

T h i s m a t h e m a t i c a l l y u n c o m m o n c h o i c e i s p r a c t i c a l f r o m t h e i m p l e m e n t a t i o n p o i n t

o f v i e w , a n d i t m u s t b e k e p t i n m i n d d u r i n g t h e d e r i v a t i o n o f t h e d i s c r e t i z e d

f o r m u l a s .

x

y

(i+1,j)

(i1,j)

t0

i

j

(i,j1)

(i+1/2,j+1/2)

(i+1/2.j1/2)

n0

n0

n0

n0

(i+1/2,j)

(i,j1/2)

(i,j+1/2)

(i1/2,j+1/2)

(i1/2,j1/2)

(i1/2,j)

(i,j1)

(i,j)

i,j+1

i1,j

i+1,j

i,j1

i,j

F i g u r e 2 . A t y p i c a l 2 - d i m e n s i o n a l c o n t r o l v o l u m e w i t h t h e c e l l s

s u r r o u n d i n g i t , a n d t h e n o t a t i o n s u s e d .

T h e m a s s u x t h r o u g h t h e f a c e i + 1 = 2 ; j c a n b e a p p r o x i m a t e d b y t h e f o r m u l a

_m

i + 1 = 2 ; j

=

Z

A

i + 1 = 2 ; j

~v ~n

0

d ~v ~n

0

A

i + 1 = 2 ; j

2 4

w h e r e t h e u n i t n o r m a l a n d t h e s u r f a c e a r e a c a n b e c a l c u l a t e d e x a c t l y i n 2 - D

f r o m t h e c o o r d i n a t e s o f t h e c o r n e r p o i n t s .

T h e c o n v e c t i v e u x o f t h e s c a l a r q u a n t i t y c a n b e c a l c u l a t e d b y a s s u m i n g t h a t

t h e m a s s u x i s k n o w n , w h i c h l e a d s t o

F

c

i + 1 = 2 ; j

=

Z

A

i + 1 = 2 ; j

~ v ~n

0

d _m

i + 1 = 2 ; j

2 5

2 2


24/115

w h e r e t h e v a l u e o f

i + 1 = 2 ; j

i s a p p r o x i m a t e d b y u s i n g t h e M U S C L f o r m u l a 1 7 o r

1 8 , i . e . c h a n g e s i n t h e d i s t a n c e s b e t w e e n c e l l c e n t r e s a n d i n t h e d i r e c t i o n s o f

t h e u n i t n o r m a l v e c t o r s a r e n o t t a k e n i n t o a c c o u n t . T h e s e s i m p l i c a t i o n s r e s t r i c t

t h e g r i d g e n e r a t i o n : t h e s p a c i n g b e t w e e n t h e p o i n t s m u s t e x p a n d w i t h t h e f a c t o r

a s n e a r u n i t y a s p o s s i b l e , a n d t h e d i r e c t i o n s o f t h e u n i t n o r m a l v e c t o r s a t t h e

c e l l - f a c e s a r e a l l o w e d t o t u r n a s s l o w l y a s p o s s i b l e . T h e t h i r d l i m i t i n g f a c t o r i s

t h e n u m b e r o f c o n t r o l v o l u m e s a v a i l a b l e . T h e d e t a i l s o f t h e g r i d m u s t a l w a y s b e

c o m p r o m i s e d a m o n g t h e s e t h r e e i t e m s .

T h e d i u s i v e u x o n t h e f a c e i + 1 = 2 ; j c a n b e a p p r o x i m a t e d b y u s i n g t h e f o r m u l a

F

d

i + 1 = 2 ; j

=

Z

A

i + 1 = 2 ; j

r ~n

0

d r ~n

0

A

i + 1 = 2 ; j

2 6

T h e g r a d i e n t o f a t t h e c e l l - f a c e i + 1 = 2 ; j c a n b e e x p r e s s e d e i t h e r i n t h e t e r m s

o f t h e d e r i v a t i v e s w i t h r e s p e c t t o g l o b a l c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s o r l o c a l o r t h o g o n a l

c o o r d i n a t e s n

0

; t

0

:

r =

@

@ x

~

i +

@

@ y

~

j =

@

@ n

~n

0

+

@

@ t

~

t

0

2 7

w h e r e n a n d t r e p r e s e n t t h e c o o r d i n a t e d i r e c t i o n s n o r m a l a n d t a n g e n t i a l t o t h e

s u r f a c e i + 1 = 2 ; j , r e s p e c t i v e l y .

T h e r e a r e m a n y w a y s t o a p p r o x i m a t e t h e d e r i v a t i v e n o r m a l t o t h e c e l l - f a c e . B y

u s i n g t h e c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s t h e d i u s i v e u x c a n b e c a l c u l a t e d i n a s t r a i g h t -

f o r w a r d w a y f r o m f o r m u l a 2 6 , w h i c h i s n o t d i c u l t t o i m p l e m e n t e x p l i c i t l y ,

b u t t h e i m p l i c i t v e r s i o n m a y b e c o m p l i c a t e d d e p e n d i n g o n t h e n u m b e r o f n o d e s

i n v o l v e d . A g o o d a p p r o x i m a t i o n i s e a s i l y f o u n d b y u s i n g t h e l o c a l o r t h o g o n a l

c o o r d i n a t e s y s t e m n

0

; t

0

. T h e d i u s i v e u x c a n b e c a l c u l a t e d u s i n g t h e f o r m u l a ,

F

d

i + 1 = 2 ; j

=

A

@

@ n

i + 1 = 2 ; j

2 8

w h e r e t h e d e r i v a t i v e i n t h e n - d i r e c t i o n c a n b e c a l c u l a t e d b y u s i n g t h e c e n t r a l

d i e r e n c e s c h e m e :

@

@ n

i + 1 = 2 ; j

i + 1 ; j

i ; j

j ~r

i + 1 ; j

~r

i ; j

j

2 9

w h e r e j ~r

i + 1 ; j

~r

i ; j

j i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n n o d e s i + 1 ; j a n d i ; j . I n f a c t ,

t h e p o i n t s i ; j , i + 1 = 2 ; j a n d i + 1 ; j i n f o r m u l a 2 9 a r e a s s u m e d t o l i e o n

2 3


25/115

t h e s a m e l i n e , w h i c h i s n o t t r u e i n t h e g e n e r a l c a s e . T h i s s i m p l i c a t i o n i s c a l l e d

t h i n - l a y e r a p p r o x i m a t i o n , 5 9 . T h e l i m i t a t i o n m e n t i o n e d e a r l i e r c o n c e r n i n g t h e

d i r e c t i o n s o f t h e u n i t n o r m a l v e c t o r s i s a l s o v a l i d w h e n u s i n g f o r m u l a 2 9 .

S i m p l e s o u r c e t e r m s , e . g . b o d y f o r c e e t c . , c a n b e e a s i l y i n t e g r a t e d o v e r t h e c o n t r o l

v o l u m e . T h e c r o s s p r o d u c t o f t h e d i a g o n a l v e c t o r s o f t h e c e l l c a n b e u s e d t o

c a l c u l a t e t h e v o l u m e o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l c e l l . T h e o r d e r o f t h e p r o d u c t i s

c h o s e n s o t h a t t h e v o l u m e s a r e a l w a y s p o s i t i v e i f t h e c o u n t e r - c l o c k w i s e a n g l e

b e t w e e n t h e v e c t o r s ~r

i + 1 = 2 ; j + 1 = 2

~r

i 1 = 2 ; j 1 = 2

a n d ~r

i 1 = 2 ; j + 1 = 2

~r

i + 1 = 2 ; j 1 = 2

i s

i n r e g i o n 0 : : : r a d . I f t h e a n g l e i s l e s s t h a n 0 o r m o r e t h a n t h e t o p o l o g y o f t h e

c e l l i s n o t p r o p e r , a n d t h u s , t h e v o l u m e i s n e g a t i v e . T h e f o r m u l a t o c a l c u l a t e t h e

v o l u m e c a n b e w r i t t e n a s f o l l o w s ,

V

i ; j

=

1

2

j ~r

i + 1 = 2 ; j + 1 = 2

~r

i 1 = 2 ; j 1 = 2

~r

i 1 = 2 ; j + 1 = 2

~r

i + 1 = 2 ; j 1 = 2

j 3 0

T h e p r e s s u r e t e r m s o c c u r r i n g i n m o m e n t u m E q s . 2 a n d 3 a r e t r e a t e d a s

s o u r c e t e r m s . T h e v o l u m e i n t e g r a l c a n b e m o d i e d t o s u r f a c e i n t e g r a l b y u s i n g

G a u s s ' s t h e o r e m

Z

V

i ; j

@ p

@ x

d =

Z

V

i ; j

r p

~

i d =

Z

A

i ; j

p

~

i ~n

0

d 3 1

i . e . t h e p r e s s u r e a t e a c h f a c e o f t h e c e l l m u s t b e i n t e r p o l a t e d , e . g u s i n g t h e c e n t r a l

d i e r e n c e s c h e m e , a n d t h e r e s t o f 3 1 c a n b e c a l c u l a t e d u s i n g t h e c o o r d i n a t e

d a t a o f t h e g r i d .

2 4


26/115

2 . 3 . 3 T i m e I n t e g r a t i o n

I n t h i s s t u d y t h e i m p l i c i t t i m e - i n t e g r a t i o n i s u s e d . I t i s d i v i d e d i n t o t w o s t e p s 6 0 .

D u r i n g t h e r s t s t e p a n e x p l i c i t r e s i d u a l i s c a l c u l a t e d u s i n g t h e a p p r o x i m a t i o n s

r e p r e s e n t e d e a r l i e r . I t i s d e n e d a s f o l l o w s ,

e x p l :

i ; j

=

t

V

i ; j

F

n

i 1 = 2 ; j

F

n

i + 1 = 2 ; j

+ F

n

i ; j 1 = 2

F

n

i ; j + 1 = 2

+ S

n

i ; j

3 2

w h e r e t h e u x e s a n d s o u r c e t e r m s a r e c a l c u l a t e d u s i n g t h e v a l u e s f r o m t h e p r e -

v i o u s t i m e - s t e p . T h e c o n v e c t i o n u x i s c a l c u l a t e d u s i n g t h e M U S C L s c h e m e , t h e

d i u s i o n u x u s i n g c e n t r a l d i e r e n c i n g a n d t h e p r e s s u r e g r a d i e n t u s i n g f o r m u l a s

2 0 a n d 2 1 . O t h e r s o u r c e t e r m s a r e i n t e g r a t e d i n a s t r a i g h t - f o r w a r d w a y . T h e

e x p l i c i t r e s i d u a l 3 2 i s u t i l i z e d d u r i n g t h e i m p l i c i t s t e p .

T h e i m p l i c i t c o n v e c t i o n - d i u s i o n e q u a t i o n c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m

V

i ; j

n + 1

i ; j

n

i ; j

t

= F

n + 1

i 1 = 2 ; j

F

n + 1

i + 1 = 2 ; j

+ F

n + 1

i ; j 1 = 2

F

n + 1

i ; j + 1 = 2

3 3

w h e r e t h e s o u r c e t e r m h a s n o w b e e n i g n o r e d f o r s i m p l i c i t y . I f t h e c o n v e c t i o n w a s

n o w a p p r o x i m a t e d b y u s i n g a n y u p w i n d - w e i g h t e d s e c o n d - o r d e r a c c u r a t e s t e n c i l ,

E q . 3 3 w o u l d c o n t a i n v e u n k n o w s i n e a c h d i r e c t i o n . I n t w o - d i m e n s i o n a l c a s e

t h e t o t a l n u m b e r o f u n k n o w n s w o u l d b e n i n e , w h i c h w o u l d b e c o m p u t a t i o n a l l y

t o o e x p e n s i v e . T h e r e f o r e s o m e s i m p l i c a t i o n s a r e n e c e s s a r y .

N e x t , E q . 3 3 i s w r i t t e n i n d e l t a f o r m . A T a y l o r s e r i e s f o r t h e u x e s w i t h

r e s p e c t t o t i m e a b o u t t h e m o m e n t n i s d e v e l o p e d . B y u s i n g t h e c h a i n r u l e o f

d i e r e n t i a t i o n t h e n e x t f o r m u l a i s o b t a i n e d ,

F

n + 1

= F

n

+

@ F

@

n

+ O t

2

3 4

w h e r e i s a n u n k n o w n v e c t o r : : : ;

i ; j

; : : : a n d =

n + 1

n

. B y s u b s t i t u t i n g

t h e u x t e r m s 3 4 i n t o E q . 3 3 t h e n e x t f o r m u l a c a n b e w r i t t e n a f t e r s o m e

m a n i p u l a t i o n s .

n

1

t

V

i ; j

h

L

x x

A

x

i ; j

L

x

A u

i ; j

+ L

y y

A

x

i ; j

L

y

A v

i ; j

i o

i m p l :

i ; j

=

e x p l :

i ; j

3 5

2 5


27/115

w h e r e L

x x

a n d L

x

a r e d i u s i o n a n d c o n v e c t i o n o p e r a t o r s , r e s p e c t i v e l y . T h e d e n -

i t i o n s o f o p e r a t o r s w i l l b e p r e s e n t e d l a t e r . I n t h e r i g h t - h a n d s i d e o f E q . 3 5

t h e r e i s t h e e x p l i c i t r e s i d u a l 3 2 , i . e . t h e s o u r c e t e r m s a r e i n c l u d e d i n t h e i m p l i -

c i t f o r m u l a 3 5 v i a t h e e x p l i c i t r e s i d u a l . N e x t , t h e a p p r o x i m a t i v e f a c t o r i z a t i o n

i s a p p l i e d t o E q . 3 5 w h i c h l e a d s t o t h e f o r m

n

1

t

V

i ; j

h

L

x x

A

x

i ; j

L

x

A u

i ; j

i o

n

1

t

V

i ; j

h

L

y y

A

x

i ; j

L

y

A v

i ; j

i o

i m p l :

i ; j

=

e x p l :

i ; j

3 6

E q . 3 6 c o n t a i n s e x t r a t e r m s c o m p a r e d w i t h E q . 3 5 . T h e m a g n i t u d e o f

t h e s e t e r m s i s O t

2

, w h i c h d o e s n o t d e c r e a s e t h e a c c u r a c y . B y a d o p t i n g a n e w

a u x i l i a r y q u a n t i t y

#

i ; j

, E q . 3 6 c a n b e s p l i t t o f o r m

n

1

t

V

i ; j

h

L

x x

A

x

i ; j

L

x

A u

i ; j

i o

#

i ; j

=

e x p l :

i ; j

3 7

n

1

t

V

i ; j

h

L

y y

A

x

i ; j

L

y

A v

i ; j

i o

i m p l :

i ; j

=

#

i ; j

3 8

T h e d i u s i o n o p e r a t o r s L

x x

a n d L

y y

u s e t h e c e n t r a l d i e r e n c e s t e n c i l a s i n t h e

e x p l i c i t p a r t . B u t t h e c o n v e c t i o n o p e r a t o r s L

x

a n d L

y

u s e t h e r s t - o r d e r u p w i n d

s t e n c i l 1 0 t o k e e p t h e c o m p u t a t i o n a l c o s t s l o w e n o u g h , a n d t h u s t h e i m p l i c i t

p a r t c a n b e s o l v e d u s i n g a t r i d i a g o n a l s o l v e r , e . g . T h o m a s a l g o r i t h m 6 1 . T h i s

c h o i c e d o e s n o t d e c r e a s e t h e a c c u r a c y o f t h e c o n v e c t i o n t e r m s , w h i c h c a n b e s e e n

i f f o r m u l a 3 5 i s w r i t t e n t e r m b y t e r m . I n p r a c t i c e , t h e r s t t e r m o n t h e r i g h t -

h a n d s i d e o f t h e M U S C L s c h e m e , 1 7 o r 1 8 , i s t r e a t e d i m p l i c i t l y a n d t h e r e s t

e x p l i c i t l y . T h u s , t h e e x p l i c i t p a r t d e t e r m i n e s t h e a c c u r a c y o f t h e s o l v e r . N o w t h e

c o n v e c t i o n a n d d i u s i o n o p e r a t o r s c a n b e w r i t t e n a s f o l l o w s ,

L

x x

A

x

i ; j

i ; j

= +

A

x

i + 1 = 2 ; j

i + 1 ; j

i ; j

A

x

i 1 = 2 ; j

i ; j

i 1 ; j

3 9

2 6


28/115

L

x

A u

i ; j

i ; j

= A

i 1 = 2 ; j

M A X 0 ; u

i 1 = 2 ; j

i 1 ; j

A

i 1 = 2 ; j

M I N 0 ; u

i 1 = 2 ; j

i ; j

+ A

i + 1 = 2 ; j

M A X 0 ; u

i + 1 = 2 ; j

i ; j

+ A

i + 1 = 2 ; j

M I N 0 ; u

i + 1 = 2 ; j

i + 1 ; j

4 0

w h e r e t h e m a x i m u m a n d m i n i m u m o p e r a t o r s M A X 0 ; u a n d M I N 0 ; u , r e s p e c t -

i v e l y , a r e u s e d t o n d t h e u p w i n d - s i d e o f t h e c o n v e c t i o n , s e e e . g . 8 .

2 7


29/115

2 . 3 . 4 B o u n d a r y C o n d i t i o n s

T o c l o s e t h e p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s y s t e m 1 - 4 f o r a c e r t a i n p r o b l e m ,

t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s m u s t b e s p e c i e d . U s u a l l y t h e v a l u e o f

f a c e

o r i t s

d e r i v a t i v e

@

@ n

j

f a c e

a t t h e f a c e o f t h e d o m a i n i s g i v e n , w h i c h i s c a l l e d t h e D i r i c h l e t

o r N e u m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n r e s p e c t i v e l y , e . g . 6 2 .

I n t h e p r e s e n t s o l v e r , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e h a n d l e d b y u s i n g g h o s t c e l l s ,

w h i c h a r e i l l u s t r a t e d i n F i g s . 3 a a n d 3 b . T h e p r i n c i p a l i d e a i s t o u s e t h e g h o s t

c e l l v a l u e s t o g i v e t h e x e d b o u n d a r y v a l u e a t t h e b o u n d a r y o f t h e d o m a i n , i . e .

t h e g h o s t c e l l v a l u e s a r e e x t r a p o l a t e d f r o m t h e f a c e a n d d o m a i n v a l u e s . T h u s ,

t h e D i r i c h l e t a n d N e u m a n n c o n d i t i o n s a r e g i v e n i n t h e f o r m

2 ; j

= 2

f a c e

3 ; j

4 1

2 ; j

=

3 ; j

x

@

@ x

f a c e

4 2

r e s p e c t i v e l y . F o r m u l a s l i k e 4 1 a n d 4 2 a r e u s e d t o u p d a t e t h e g h o s t c e l l v a l u e s

w h i c h a r e n e e d e d a s b o u n d a r y c o n d i t i o n s d u r i n g t h e n e x t i t e r a t i o n .

domain

ghost cells

ghost cells

ghostcells

ghostcells

in next figure

F i g u r e 3 a . G h o s t c e l l s a r o u n d t h e d o m a i n .

2 8


30/115

domainghost cells

(3,j+1)(2,j+1)(1,j+1)

(3,j)(2,j)(1,j)

x x

x/2 x/2

boundary of domain

F i g u r e 3 b . T h e n o t a t i o n s o f t h e g h o s t c e l l s .

2 9


31/115

2 . 3 . 5 F l o w C h a r t o f t h e C o n v e c t i o n - D i u s i o n S o l v e r

Compute residual n

Perform the implicit

stage

n+1

Update the solution

n+1=

n+

n+1

CD solver

F i g u r e 4 . F l o w c h a r t o f t h e c o n v e c t i o n - d i u s i o n s o l v e r .

T h e o w c h a r t o f t h e c o n v e c t i o n - d i u s i o n s o l v e r i s s h o w n i n F i g . 4 . D u r i n g

t h e r s t s t a g e , t h e e x p l i c i t r e s i d u a l

n

i s c o m p u t e d u s i n g f o r m u l a 3 2 . I t i s

u s e d d u r i n g t h e i m p l i c i t s t a g e t o c o m p u t e

n + 1

u s i n g f o r m u l a s 3 7 a n d 3 8 .

D u r i n g t h e t h i r d s t a g e , n e w

n + 1

v a l u e s a r e c a l c u l a t e d , a n d w h e n n e c e s s a r y t h e

g h o s t c e l l v a l u e s , i . e . b o u n d a r i e s , a r e u p d a t e d . T h e c o n v e c t i o n - d i u s i o n s o l v e r i s

u s e d t o s o l v e m o m e n t u m a n d i n t e r n a l e n e r g y e q u a t i o n s .

N e x t , t h e t r e a t m e n t o f p r e s s u r e i s d e s c r i b e d .

3 0


32/115

3 T r e a t m e n t o f P r e s s u r e i n I n c o m p r e s s i b l e N a v i e r -

S t o k e s E q u a t i o n s

I n t h i s s t u d y t h e p r e s s u r e c o r r e c t i o n a p p r o a c h i s u t i l i z e d . T h e v e l o c i t y c o m p o n -

e n t s a r e c a l c u l a t e d f r o m t h e m o m e n t u m e q u a t i o n s w h e r e t h e p r e s s u r e g r a d i e n t

t e r m s a r e t r e a t e d e x p l i c i t l y , i . e . t h e s t e n c i l s a r e c a l c u l a t e d u s i n g t h e v a l u e s f r o m

t h e p r e v i o u s t i m e - s t e p . I f t h e p r e s s u r e e l d a n d t h e c e l l - f a c e v e l o c i t i e s i n t h e m o -

m e n t u m e q u a t i o n s a r e c o r r e c t , t h e r e s u l t i n g v e l o c i t y e l d s a t i s e s t h e c o n t i n u i t y

e q u a t i o n . B u t i f n o t , t h e m a s s i m b a l a n c e o c c u r s i n t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n . T h u s ,

n e w p r e s s u r e e l d a n d c e l l - f a c e v e l o c i t i e s a r e n e e d e d u n t i l a l l t h e e q u a t i o n s a r e

s a t i s e d a c c u r a t e l y e n o u g h .

T h e p r e s s u r e c o r r e c t i o n m e t h o d p r e s e n t e d b y P a t a n k a r a n d S p a l d i n g 7 w a s

c o n s t r u c t e d i n t o t h e s t a g g e r e d g r i d a r r a n g e m e n t , w h i c h i s s h o w n i n F i g . 5 .

centre of ucell ucell

centre of vcell vcell

centre of pcell pcell

pi,jp

i1,j

pi,j1

ui+1/2,j

vi,j+1/2

ui1/2,j

vi,j1/2

F i g u r e 5 . S t a g g e r e d g r i d a r r a n g e m e n t 8 .

I t c a n b e n o t i c e d t h a t , w i t h r e s p e c t t o t h e p r e s s u r e o r g e n e r a l l y s c a l a r g r i d

p o i n t s , t h e u l o c a t i o n s a r e s t a g g e r e d o n l y i n t h e x - d i r e c t i o n . I n a s i m i l a r w a y ,

t h e v l o c a t i o n s a r e s t a g g e r e d o n l y i n t h e y - d i r e c t i o n , a n d a c o r r e s p o n d i n g t h r e e -

d i m e n s i o n a l p a t t e r n c a n b e i m a g e d i n a s t r a i g h t - f o r w a r d m a n n e r . T h e k e y i s s u e

o f t h e s t a g g e r e d g r i d a r r a n g e m e n t c a n b e s e e n f r o m F i g . 5 . T h e c e l l - f a c e v e l o c i t i e s

o f p c e l l a r e t h e c e l l - c e n t r e d v a l u e s o f u a n d v , a n d n o i n t e r p o l a t i o n i s r e q u i r e d .

F u r t h e r m o r e , t h e f a c e p r e s s u r e s o f t h e m o m e n t u m e q u a t i o n s d o n o t n e e d a n y

i n t e r p o l a t i o n . T h e i n t e r p o l a t i o n n e e d e d i n t h e c o l o c a t e d g r i d a r r a n g e m e n t s e e

F i g . 1 . m a y c a u s e a n o s c i l l a t i n g s o l u t i o n . T h e s p a t i a l o s c i l l a t i o n s o c c u r w h e n

c e n t r a l d i e r e n c i n g i s a p p l i e d t o b o t h t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n a n d t h e p r e s s u r e

g r a d i e n t t e r m i n t h e m o m e n t u m e q u a t i o n s . T h e m o m e n t u m e q u a t i o n s a t t h e

e v e n - n u m b e r e d n o d e s d e p e n d o n l y o n p r e s s u r e s a t o d d - n u m b e r e d n o d e s , a n d v i c e

v e r s a . T h e s a m e h o l d s f o r t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n . B e c a u s e n o p r e s s u r e - d e n s i t y

3 1


33/115

c o u p l i n g e x i s t s w i t h a n i n c o m p r e s s i b l e o w , n o i n t e r a c t i o n e x i s t s b e t w e e n t h e

p r e s s u r e s a t

Documents

Report - Simple Collocated Incompressible Flow