volji Fiemo projekciju sloja debljine dx. Iz slike se jasno vidi, da pri volumena sloja, t. j. pri integriranju po y, biti granice integracije l i 7, a pri sumiranju sldjeva, t. j. integriranju po x, granice su 2 i 10.

Imamo dakle prema (106a):

10 7

V.= Jj xydxdy =J xdx Jydy a z 1

Kako je x konstanta, mogli smo ga staviti pri drugog integrala ispred tog, integrala, jer u naem x nile vezan zbrajanjem ili oduzimanjem s y.

JO 7 JO

V= Jxdx l y; l= T J x dx (49-2 1

lO

l)= 241 x; l= 12(100-4) = 12.% = 1152 V= H62

Jasno je, da bismo mogli istodobnf> oba integrala, jer u drugi integral ne ulazi y:

v =lx; r: l ;y; 17 = { (100-4)(49-1).= 12.96 = 11-52 2 l

Kako je integracije tJ pravokutnik sastranicarna !5aralelnim.s osima X i Y, imali. smo najjednostavniji dvostrukog integrala, jer u tom irna i drugi integral kon-stantne granice. Rijei isti primjer 'po formuli (106b) uz sliku intejP11ciie i projekcije, sloja.

2. tijela s

z = x' + y' - 2x- 2y + ;4 x=2 x=O

.y = 2 y =o

Napisavi jednadbu zadane plohe u obliku

z-2 = (x-1)' +(y-1)1

vidimo, da je to tijelo odozgo plohom rotacionogparaboloida s vrhom u V(l, l, 2) .. (vidi Dio ll. 7, 7), ravninama x = 2 i y = 2/koje su paralelne s koordinatnim ravninama YZ. odnosno XY, i trima koordinatnim' ravninama. Slika 99a prikazuje oblik tog tijela. b te slike vidimo, da je integracije kvadrat stranice 2..

1 1 Riemo posebno to (sl. 99b), pa uzevi projekciju sloja tijela, na pr. u smjeru osi

X, prema (106b):

220

V = J j (x + y' - 2x- 2y + 4) dx dy = " "

z 2 = J d; J (x + y 1 - 2x - 2y + 4) dx

o o

z y

4

o 2 . l(

y a

Sl. 99

Vidimo, da opet imamo konane granice. integracije i u drugom integralu. lntegl'iramo pam4 tei, da je pri raunanJU drugog integrale y = konstanta:--

,z

+ y' x - x' - 2y x + 4x ,.=

= f(-f+2y'-4-4y+8)dy=

l

=J (2y'- 4y lO) +T ciy =

z

=l ~y'- 2y' + 2~ YI=

=~-8 +~ = 10~ 3 3 J

V= JO~ 3

3. Izra~aj volumen tijela omeena plohama

z= 4-x'-y' x=+l; x=i-1; y=+l ;.y=-l; z=O

,.

Zadano tijelo predouje uspravan paralelopiped, kojemu je osnovka kvadvrat stranice 2 u ravnini XY. Taj paralelopiped presjeen je odozgo paraboloidom, nastalom rotacijom parabole x'~4-z

oko osi Z (sl. lOOa). '

221

'i +l

- o .. 1 ll ,A5

1

y a, b

Sl. 100

NarisavAi podn.tie integracije a (sl. IOOb) raunamo na pr; prema (l~

V= J J (4- x- y 0) dx dy =

+l +l +l +l

~ J dx J (4- x' - y') dy = J dx /4y - _x' v :_ ~ l = -1 -1 -1

Sl. 101

+l

~ J ( 4 - x2 - + + 4 - x' + +)dx --l

+l 122 2 l 40 1-x--x' =-3 3 l 3

-J

V='l3_!_ 3

4. Odredi obujam tijela omc.de!IG s

X-= Y' ; y = r ; Z = t

Rijeivii zajedno jednadbe x = y' i y = x' i odredivli na taj nain sjecita 0(0,0) i A(l,J), tih krivuljll, narBimo podruje integracije a i projekciju sloja traenog volumena (sl. 1-01), pa raunamo prema .( l-06b):

. l 'fi V= J J (12 + y- x") dx dy =J dy J (12 + y- x1) dx=

a o y1 . ' 222

l yY

= J dy j12x + yx - ; l = o y,

J

= !

pa, kairo se vidi iz slike, granice drugog integrala su

od l X =y'-4 do "= 5 a te su racionalne.

Sumirajui slojeve idemo u smjeru osi Y i to od y = - 3 doy = +J, kake) Ile to yidi ,IZ ,slike.

Imamo dakle prema (106b), uzmi u obzir da jef(x,y) ,:; :: = x+ 2y:

+J 5 V = J J (i + 2y) dx dy, = J dy J (x + 1y) dx

. a -J yL-..4

Integrirajmo, pamtei da je pri raunanju drugog integrala y = konstanta.

+J

+3 S'

V= Jdylx; + 2y: "'"" -.3 y'-4 .. +J

J dy {+ . 25 +.2y , s- [ y(y'- 4)1 + -3

+J

+ 2y(y1'-4) ]} =Je:+ IOy- yY' + 4y'-8-,2y' + 8y)dy = -J

+J

~ J (- ~ y - 2y~ + 4y2 + ISy + ~ ) dy -3

l y v' 4 . 9 l -~--~+ TY' + 9v' +-y = 10 2 . 2 -J

= -243

- ~ + 36 + 81 + ~ - 243 + ~ + 36 - 81 + 27 = 50,4 tO 2 2 10 2 2

v= 50,4

Pokaimo sada na primjeru, koji slijedi, da pri izboru redoslijeda integri-:ranja moramo uzeti u obzir i oblik konture k' podruja integracije.

y

Sl. 103

Primjer

ff .l; J l lzraunai (3-4- 4Y dx dy o

ako je Jfodrujc integracije o zadano slikom l OJ.

Uzmemo . li sloj traenog volumena u smjeru osi Y, t. j. primijenimo li formulu (106a), imat emo raunati d va dvostruka in-tegrala: po pravokutniku OACD i po tro"Kutu ABC. Da sveerno zadatak na raunanje jednog dvostrukog integrala, uzet emo sloj u smjeru osi X, t. j. radit emo po formuli (106b).

l Najprije napiimo jednadbu pravca BC, kao pravca koji proiazi tokom B(IO, 0), a ima

.gradijent a= tga. = tg(180-a.') ':"' -tga.' =-~=-+(vidi sl. '103).

224

Prema y-y 1 = a(x- x 1) imamo l

'Y = --zCx-10)

ili

j )j jednadbe pravca BC

x=-2y+IO

Oito je, da jednadbu pravca BC moemo takoder napisati kao jednadbu pravca kroz

3. z= x"+ y y=x ; x=6 ; y=O ; z=O [V.= 432]

4. x + y + z- 3 = O y= 4- 2x ; x = O z=O

Primjedba Raunanje volumena zadanog tijela. vrit emo pomou dvostrukog integrala

sarno u tom sluaju, ako se taj volumen ne da izraunati jednostrukim integralom, jer je',,mnogo jednostavnije izraunati jednostruki nego dvostruki integral. Tako emoobujarn rotacionog tijela raun.ati uvijek prerna poznatoj nam formuli (91) iz II. dijela Repetitorija:

b

v 7' 1tf [f(x) r dx a

Isto tako emo raunati.pomou jednostrukog integrala volurnen tijela, iju povrinu S popre'nog presjeka rnoemo prikazati kao funkciju od x, odnosno y i to prerna forrnuli (89) iz II. dijela Repetitorija:

z b

V= J S(x)dx Q

'U torn:dijelu na str. 20B izraunat je na taj nain obujam troosnog elipsoida. Izrauna; ga sada pornou dvostrukog integrala, da uoi. golernu, razlik1,1 u rnnoini raunskog rada u jednom 1 drugom sluaju.

Navedimo jo jedan slian primjer.

Primier'

~~-------)( Odredi volumen eliptikog paraboloida

x . 9 +.y = 2z

Sl. 104 izmeau ravnina z= O i z= S. Slika l 04 prikazuje tijelo, ijr volumc;n .. trahmo.

. Jasno je) da 'i taj volumen moe!IlO izraunati pomou dvostrultog integrala, napr. oeluzev~ od obujma eliptikog va ljka s osnovkom B i visinom S volumen tijela, koje je omeeno tim valjkom i zadanim eliptikim .paraboloidom, ili, jednostaVnije, prenijevi ravninu XY paralelnim pomakom uzdu osi Z za 5 prema gore. '

M.,ogo iednostavtiije. rijeit emo taj zadatak po formuli (89). U tu svrt.u presijei .ernQ -:i::t;::::i puraboloid nekom mvninom z= z0 paralelnom s ravninom XY.

Uvrtc;nie. ?i = "'' u jednadbu paiabolbida daje

x" 9 + Y 1 - 2zol:2zo

~+L= l d.::0 2z0

naeni presjek ili tonije njegovu sukladn!Jproi~iju ea ra'llniriu~XY.

226

l

Kako vidimo, presjek je elipsa s poluosima .a-~i b= V2z., pa prema po7,..,~toj 'formuli za povrinu c;lipse S = ah rr imamo:

S= VlSzo V2zo rr

ili uredivi i uzevi z 0 = z dobijemo

S(z) = 6 rr z

Primjena formule (89) daje neposredno traeni volumen:

5 5

V= 6rr J.zdz = 6rr1:;.1 = 3 n: 2~ = 75 ": o o

v= 75 7t

Ako je podruje integracije a krug ili eli ps;~, vri se radi jednostavnijeg integn ranja prijelaz na nove promjenljive [vidi dalje toku 3. ovog paragrafa].

b) Srednja vrijednost dvostrukog integrala Govorei o srednjoj vrijednosti jednostrukog odreenog integrala (vidi Dio II.

6, 2), rekli smo, da se odreivanje ~e srednje vrijednosti svodi na pretvaranje . b

povrine S omeene krivuljom f(x), t. j. S= J f(x)dx, u pravokutnik, kojemu a

je visina Yo ta srednja .vrijednost integrala, a osnovka duljina imervala integracije (b-a}, t. j.

b J f(x)dx

Y. a

b-a

Posve slino definiramo srednju vrijednost dvostrukog integrala. Ulogu povr-

!ine S igra sada ,volumen V= J J f(x,y)dxdy, a ulogu Yo igra z. = f(t:,,Y)), tl .

t. j. aplikata zadane plohe z =f(x, y) u nekoj &srednjoj~ toki (c;,Y)) podruja a.

Drugim rijeima, pretvaramo zadano tijelo volumena V =J J f(x, y)dxdy u " valjak istog volumena V, kojemu je baza podruje integracije cr, a visina sredni

vrijednost dvostrukog integtala z. =J (e;, 7J): _

V= J J!(x, y)dxdy =a z.= a f(c,, Y))

Ta srednja vrijednost odreenog integrala uzima se kao srednja vrijednost podintegralne funkcije f(x, y) u podruju a.

Sl. lOS

Primjer

Odredi srednju vrijednost funkcije :: = lx +. y u trokutu omeenom koordinatnim ()fima i pravcan x +Y = 3.

Napisavi podruje integracije o (sl. lO~ i uzevli

.u obzir da je o= 3~3 = ~, raunamo p~;ema (107)

i (106a):

J J (lx + y)dx dy .to= ..:."--'A9-:---

2 3 3-lC

= % J '7" J (lx + y) dy = o o

3 3-x 3

. = ~ J dx !2xy + y; l = ! J dx [ 2x (3 - x) + f (3 - x)1 ] = o o o -

3 3

. = ~J ((3.- x) (4x + 3 - x)] dx = +J (-x + lx + 3)dx -o o

Vidi dalje toku 3. ovog -a.

Z. Trostruki integrali

Pokaimo, da povrinu ravna lika moemo takoer izraunati pomou dvo-strukog integrala.

Odredimo na taj nain na pr. povrinu S lika, koji je omeen prvim lukom sinusoide i osi X (sl. 106).

Uzmemo za x i y ,vrijednosti po volji;' kojim dademo priraste dx i dy. Tada je prema sij,ci:

povrina elementa lika dS= dx . dy.

Da dobijemo povrinu S itava lika, mora--~t/S:i::i.=~~~==~~~~lt mo integrirati u smjer osi X i osi Y, t. j. izra-unati dvostruki integral Sl. 106

228

S= JJ dxdy s

pri emu je podruje integracije .a traena povrina S lika. Prostorno motemo na problem shvatiti tako, da raunamo vclumen cilindrikog tijela, kojemu je osnovu

povrina S zadanog ra.vnog lika, a :visina l, t. j. V= S= J J l dx dy. s

Dalje postupamo prema formuli (106a) ili {106b):

., sanx w sinx "'l

S= J dx J dy ==J dx ly l =J sinxdx. o o o o w

Dobili smo obini jednostruki integral

.. S = 1- COS X l = -COS 1r + COS 0 = ) + J = 2

o .

Slino tome moemo volumen ispod zadane plohe z = j( x, y) izraunati i pomou trost-rukog integrala.

Uzevi x, yi z po volji, davi im priraste dx, dy i dz i povukavi ravnine para-lelne s koordinatnim ravninama, dobijemo volumen dV elementa tijela, pri emu je, kako se to jasno vidi iz slike 107,

dV = dx . dy . dz (108)

:r.>a dobijemo volumen itava tijela, moramo integrirati u smjeru osiju X, Y i Z, t. j. trostruko integrirati, pa je

v~ JJJdxdydz v

pri emu integriramo po volumenu V tijela, iji obujam traimo. Podruje integra-cije je dakle trodimenzionalno.

229

Dalje postupamo na slini nain, kao pri raunanju dvostrukog integrala, t. j. rastavimo trostruki integral u tri jednostruka:

i prelazimo na odreivanje granica integriranja. Pri raunanju treeg integrala smatramo da je x = k, = konstanta i y = k, = konstanta, pa taj integral predo-uje volumen stupia tijela s osnovkom dx-dy (vidi sl. 107). Jasno je, da su gra-nice integracije z= O i z'= f(x, y). Da' dobijemo volUm.en sloja debljine dx za danog tijela,. moramo sumirati' te stUpie. U tu svrhu raunamo drugi' integral, ije su granice y =y,(x) iy =y,(x), kako se to jasno vidi iz slike. Konano pre-lazimo na sumiranje slojeva tijela raunajui prvi integral.od x =a do x =b.

Tako dobijemo volumen V itava tijela:

/J y,(x) /(x,y)

V = J J J dx dy dz = J dx J dy J dz (109) V a Yt(X) 0

pri emu moemo mijenjati redoslijed integriranja kao i pri raunanju dvostrukih integrala.

Jasno je, da nema smisla raunati volumen tijela pomou trostrukog integral&, jer nakon izraunavanja treeg integrala po formuli (109) automatski dobijemo dvostruki integral.

Napisavi formulu (109) u obliku

V= JJJ l dxdydz v

vtmmo,. da pri raunanJU volumena. tijela trostrukim integralom zapravo integri-ramo po volumenu V zadanog tijela funkciju l: Medutim, trostruki integrali imaju veliko praktiko znaenje, .ako podintegralna funkcija nije l, ve funkcija triju nezavisnih promjenljivih u= f(x, y, z}, pa je moramo integrirati po trodimenzio-nalnom podruju w volumena V, u kojem je ta funkcija definirana [vidi dalje toku 5.) ovog paragrafa]. Prema tome trostruki integral funkcije u =f{x. y, z} uzet u konanom trodimenzionalnom podruju w volumena V ima openito oblik:

y,(x) z,(x,y)

J J J f(x, y, z)dxdy dz =J dx J dy J f(x, y, z)dz (l09a) V a y 1(x) z 1(x,y)

Tu je z = z ( x, y) jednadba plohe S, koja omeuje zadano prostorno podruje integracije w volumena V, pri emu pretpostavljamo, da kojigod pravac, koji je paralelan s bilo kojom koordinatnom osi, presjeca tu plohu S samo il dvije toke.

Iz navedenog slijedi nain raunanja trostrukog integrala po prostQrnom podruju w volumena V.

Najprije se funkcijaf(x,y,z) integrira po jednoj promjenlfivoj, na pr. z, ugra nicama. njene promjene. uz konstantne, ali po volji odabrane vrijednosti dviju dru-gih promjenljivih ( x i y), zatim se rezultat prvog integriranja integrira 'po rav: ..

230

nom podrt..:i:, .. , iz oj~ je projekcija na koordinatnu ravninu funkcije tih dviju pro:-mjenljvih;.i to po drugoj promjenljivoj (y/ u grimiC!Ul).a njene promjeneuz kori.~ stantnu, ali po volji uzetu vrijednost tree promjenljive (x), konano se rezultat tog integriranja integrira po toj treoj promjenljivo; (x) u granicama njene najvee :xomjtne _u .navedenom ravnom podruju (projekciji).

U posebnom sluaju, kad je podru-_l:je integracije w pravokutan paraJelopi-ped, kojemu s1 bridovi paralelni s koordi-natnim ravninama, tada su granice svih triju integrala konstantne i ne mijenjaju se pri promjeni redoslijeda integriranja.

Na pr. prema slici 108 imamo:

J J J f(x, y, z)dx dy dz = v

a' b' e'

=J dx J dy J J (x,y,z) dz a h

Sl. 108

Promatrajui odreene integrale u njihovoj cjelokupnosti, opaamo potpunP analogiju u konstrukciji jednostrukih, dvostrukih i trostrukih integrala. Pri integri-ranju funkcije jedne promjenljive svi elementi, koje,sumiramo, lee uzdu jednog pravca (osi X), pa integrira jui po tom pravcu dobijemo pbini jedi10struki integial, koji se iz toga razloga zove takoer p ravocrtni. Pri integriral'lju funkcije dviju promjenljivih, koja je definirana u nekom dijelu koordinatne ravnihe, na pr. ra'

( . "') ' "') / dx J dy I dz '= J dx J dy z = ~ b n 1-;;;- a . b l l" (-,;-

o o o o o o

" b " b J dx J dy n ( l - ;; ) = n J ( l - ; ) dx J dy -o

V = abn (2m - a) 2m

Rije~i pomou trostrukih integrala primjere navedene pod J. a) OVO!! !\.\

Dalnje primjene trostrukih integrala vidi u toki 5. ovog -a.

3. Zamjena promjenljivih u dvostrukim integralima

Rekli smo ve, da su radi pojednostavljenja integriranja, a u prvom redu. da se izl;>jegne integriranje iracionalnih funkcija, vri zamjena promjenljivih pri raunanju viestrukih integrala: Najee prelazimo pri raunanju dvostrukih integrala na polarne koordinate rp i p i na eliptike koordinate.

Sl. 110

pa je

Iz toga razloga promotrimo detaljnije ta dva sluaja, a opi sluaj zamjene promjenlji-vih obrazloimo ukratko.

a) Polarne koordinate

Neka se trai

J J f(x, y)dx dy a

gdje je f(x, y) neprekinuta funkcija u podru-ju integracije cs. Zamijenimo pravokutrie ko-or~inate X. j y polarnim l tp i p:

X= p COS tp y=psincp

f(x, y) =f(pcostp, p sin rp)= F(~, p)

(a)

Podruje integracije cs, za koje pretpostavimo, da radijvekton sijeku konturu k' toga podruja najvie u dvije toke, rastavimo u elemente narisavi koordinatne linije, t. j. koncentrine krunice p = konstanta i poluzrake iz pola rp = konstanta.

Uzmemo li tako po volji neki cp i neki p pa im dademo priraste dp i dp, za koje smatramo da su beskonano mali, dobit emo element KLMN podruja a, koji moemo uzeti da je pravokutnik s osnovkom. KN = p d cp i visinom KL ==;' = NM = dp (si. 110).

232

Prema tome je da ~ dx dy = pdcp dp (IlO)

povrina elementa podruja. Budui da u drugu ruku dvostruki integral, koji p~;omatramo, glasi

J J j(x, y)dx dy, dobijemo u~evi u obz1r formule prijelaza (a) i formulu (liO): ll

J J f(x, y)dx dy = J j HP cos tp, p pn 'P)P dp d cp= " : (Ill)

=J J F(tp, p)pdpdtp Pomou te formule vrimo transformaciju dvostrukog integrala od pravo-

kutnih koordi~ata na polarne. Istom formulom se sluimo, ako je -podintegralna funkcija zad.ana u polarnim koordinatama F(rp, p). Iz te formule vidimo, da se ta transformacija vri tako, da se u integrandu zamijene x i y sa p cos cp i p sin

Imamo.< dakle:

V= J J f(x; y}dx dy = J j HP cos cp, p sin cp)pdpdcp = ~ "

,, P,(') (ll la)

=J dcp J /(p cos cp,- p sin .

b) Opi sluaj

Uzmimo sada opi sluaj, kad treba u. dvostrukom integral u

J J f{x, y)dxdy zamijeniti promjenljive X i y S U i V, pri emu SU te promjenljive Vezane rne~-~obno funkcijama:

x = x(u, v) y = y{u, v)

Za te funkcije pretpostavljamo, da su neprekinute i da imaju neprekinute parcijalne derivacije.

u i v ne emo vie promatrati kao polarne koordinate u ravnini XY, ve kao prav'Okutnc koordinate u drugoj ravnini UV pretpostavljajui, da je u~ O. a O ~v< 2TC.

Zadatak se svodi na to, da se izvri preslikavanje podruja a ravnine XY u podruje a' ravnine UV uz pretpostavku, da su jednadbe (a) takve, da , svakom paru vrijednosti x i y odgovara jedan odreeni par vrijednosti u i v, ili ' drugim rijeima, da svakom poloaju toke T u podruju a odgovara odreden poloaj toke T' u podruju cr' i obratno. Ukratko se kae: relacije (a) moraju imati to svojstvo, da uzajamno jednoznano preslikavaju podruje a. u po-d.ruje o' (i obratno) .

. Uz tu pretpostavku zamjenom promjen)jivih x i y s u i v prelazi podruje o dvostrukog integrala u ravnini XY u podruje o' u ravnini UV. Da po~ve shvatimo to preslikavanje podruja o u podruje cr', promotrimo ve poznatu nam zamjenu promjenljive x u obinom odreenom integralu promjenljivom t pri prijelazu na par::metarsku jednadbu podintegralnc funkcije.

Znamo: ako je x = x(t) parametarska jednadba podintegralne

y = y(t}

funkcije y = f(x), tada izraunavi ax=tx'{t}dt, dobijemo

b ' J f(x)d~ J f[y{t}] x'(t)dt (b) a '

gdje je a= x(t,), a b= y(c,): Na pr. raunajui povrinu polukruga. pisali smo uzevi u obzir da para-

x = r cos t metarska J. ednadba krunice y = \f r' - x glasi . da ,je dx = y=rsrnr = - r sin t dt :

S Jr+rl""7'--;;- J T = Vr' - x' dx = V r' - r ces t (- r sin t) dt =

235

w ,

""' + r J sin 1 sin t dt= rJ sin t dt

gdje je - r = r cos 1t, a + r = r cos O

[vidi Dio Il. 7, 1. a) i d)]. S naeg sadanjeg gledita zamjene promjenljivih u odreenom integralu, mo-

emo jednadbu x = x( t) smatrati kao formulu preslikavanja intervala integracije [a, b] na osi X (u naem primjeru intervala [-r, +r]) na neki drugi interval [t,, t,} osi T (u naem primjeru na interval (Tt", OJ).

rz jednakosti (b) slijedi: dx~x'(t}dt

ili

dx '() -=Xl dt

ili dx: dt~ x'(t}: l

Iz te jednakosti vidimo, da x' (t), ako je x' (t) > O, predouje omjer elementa (diferencijala) intervala [a, b] na osi X i pripadnog elementa (diferencijala) dt na osi T. To znai:

predouje

[t,, t~] na

dx

dt

dx x'(t) -dl

omjer (mjerilo) preslikavanja duine [a, b] na osi X u duinu osi T ili, kako se kae,

je koeficijent deformacije duine pri tom preslikavanju.

Uvjet x' {t) > O osigurava uzajamnu jednoznanost u preslikavanju duina, pri emu u pojedinim tokama x'(t) moe biti jednak nuli. Sluaj x'(t}

:gdje je dcr element podruja a ravnine XY., a dr/ element pripadnog podruja a' ravnine UV.

Koeficijent deformacije ~:, predouje omjer ili modul preslikavanja ,;oJlruja a u podruju cr'. On pokazuje, koliko se puta poveala iti uma-njila povrina elementa dcr u okoliu toke T(x, y) podruja a nakon njena pre-slikavanja u okoli pripadne toke T' (u, v) podruja a'.

Prema tome sasvim analogno jednadbi (b) dobijemo:

l l f(x, y}dx dy = l l f[x(u, v), y(u, v)] da' du dv (e) . ~ ~ Koeficijent deformacije ~(J, rauna sc pomou tako zvane J aco bi'jeve funk-

. ucr

-cijske determinante za funkcije (a) x = x(u, v) i jednak je nj.enoj apsolutnoj y = y(u, v)

vrijednosti:

da (]7=

dx dx du ov

ay dy du dv

Ta d.eterminanni oznauje se simbolom

pa je

d(x, y) d(u, v)

da iJ(x, y) da' = o(u, v) = apsolutnoj vrijednosti

.ili OX OX vu ov

dxdy dudv oy vy ou d v

Imamo konano prema (e):

dx ox du dv

dy dy

du ov

ff f(x, y)dx dy =. llf[x(u, ) ( v)] l q(x, y) ldu dv v ,yu, o(u,v) ..

iJ(x, y) L gdje je

~(u, v)-

ox ou dy ou

dX ov o:Y ov

(1121

( ll2a)

237

Iz navedenog slijedi, da formula ( 112a) vrijedi uz uvjete, da su funkcije/ x = x(u, v) i y = y(u, v), koje vre1 preslikavanj~ podruja rs u podruje rs'; neprekinute, da imaju neprekinute parcijalne derivaciie i da imaju Jacobijevu determinantu, koja ne mijenja svoga predznaka u podruju cs, ali moe da se poniti u pojedinim tokama. Ti uvjeti osiguravaju, neprekinutost i uzajamnu jednoznanost preslikavanja.

Primijenimo tu formulu za zamjenu u dvostrukom integralu pravokutnih koordinata x i y polarnima

.A=aucosv y =bu sin v

o ~ v< 2r.

(113)

Na pr. za u = l i .v = O dobijemo x = a~ y = O, a to je desni vrh elipse. za u = l i v = 90, .dobijemo gornji vrh (0, b) i t. d.

Raunamo prema ( 112):

OX ox o(x, y) ou ov

a cos v -auszu v

o(u, v} = ay oy b sin v bu cos v ou ov

= ab u cos' v + ab u sin' v = abu pa je prema (112)

dx dy = ab u du dv

J J f{x, y)dx dy = ab J J J( au cos v, bu sin v)u dudv = a a'

2'1t l

= ab J dv J j( au cos v, bu sin v),u du o

(113a>

(113b)

ako je podruje integracije cr potpuna eli psa, ~nae se mijenjaju granice prvog integrala.

Opaamo, da imamo konstantne granice integracije.

Kako smo ve rekli, pri raunanju dvostrukih integrala vrit emc uvijek radi jednostavnijeg integriranja prijelaz na polarne, odnosno eliptike koordinate, ako je podruje integracije krug, ~osno elipsa ili dijelovi tih likova.

Navedimo nekoliko primjera.

Primjeri

l. Odredi obujam tijela omeena s

x+y+z-3=0 x' + y' = l ; z = O.

Trai se obujam krunog valjka, kojemu je os simetrije os Z, a polumjer osno~e l. Taj valjak pre-

sjeen je ravninom T + f + f = l (narii sliku!). Prema slici 114, koja predouje podruje inte-

gracije ~ i projekciju sloja traeno~ volumena, rauna- mo obzirom na formulu (Ille): Sl. 114

239

V = J J (3 - r- y)dr dy = tf

J J (3 ~p COS

16

3. Rijeimo t. zv. Vivianijev zadatak (1622-1703) ..

Izraunaj zajedniki volumen kugle polumjera a i krunog \/aljka polu mjera ;-, iji plait prohzi sreditem kugle.

Slika 116 prikazuje zadano tijelo. Budui da je tijelo, iji volumen traimo, simetrino obzirom na koordinatne ravnine XZ

i XY, raunat emo' samo etvrtinu volumena, koji se nalazi u prvom oktan tu.

y

X

Sl. 116 Sl. 117

Iz slike 117, kop predouje podruje integracije a i projekcl)c sloja traenog volumena z;a lt

neki lionstantni ~ vid t mo, da se p mijenja od O ao a cos cp, a cp od O do 2", pa uzevi u obzir, da Jednadba zadane kugle glasi

x' + y' + z' = a' dobijemo prema (Illa)

.f = J J Va' - x' - y' dx dy ~ j J Va' -p' cos' - p' si11 2 p pdcp _ a COl !J I ~'l' J Va'- p' pdp

Kako k uz supstituciju a'- p' =

J Va'-p' p dp= -}Vca'-p')' dobijemo dalje:

"' a cat 11 v 4 -

_31 fT V(a'-p')' dq> - + J2([Vra'-a' cos')' -v;i'] d"= B. Apeen: Repetitortl Yl!h. matematike - Dio III.

241

.. '/J ."

-~ f~ith?-l)d~ ~ -rf 1;~- J!rn'

!_ "' T l jz . =- 16a' cos'

=> -v+ -nnv--cosv +-nn fl --~;---- --ft' ll . J J l . l 12 l +l 2 3 3 8 . 3 3 v- Tt

Taj primje~ moemo rijeiti i prema (Ille) uzevti z ='(x- t)(y- IY, t. j. pomaknuvli koordinatni sustav u 'S(l, 4)

y' 6. Izrauna; volumen uspravnog eliptikog valjka s osnovkom ~ + T = l u ravnini XY~

koji je presjeen ravninom z = 12- 3x- 4y.

Uzevi u_obzir da je a= 2 a b= t; raunamo prema (ll3b): ~.. l

~V= 2 l J dv:J(12 ~ 3 2 u cos v- 4 .. l u sin v) u du= o o

~ - ~ ... 2 J dv 16u'- 2 cos v u ~ ~ sin v u l: = 2 J( 6- 2cos v- ~ sin v) dv-

o o

1= 216v- 2 sin v+ ~ cos ~l:': = 2{ 12 n: + -}-H = 24 11: v= 24 1t

7. Izrauna j volumen tijela omeena s

y z=xy+Zx-S

(x-4)1 + (y- 3)" =l; z= O. 4

l ~----- --

Kako je podruje integracije.a (vidi sl. '120) clipS.. sa sreditem u toki S(4, 3) i poluosima a= l i b ... Z: imamo prema (113) i ob:Urom na sliku 120:

x=4+ lucosv

1 y=3+2usinv

Prema (112) .'dobijemo

~o~-+1---------4+-----.-.x

Sl. 120 dx dy = t :.~:: ~~ l ~ dtJ = 2 u 4u_dtJ

pa prema (ll3b) raunamo:

z". t V= ~J dv J [c4 +u cos v) (3 + 2 u sin .v) + 2 (4 +u cos v) -s] u du ...

o o

2!r l

= 2 J dv J (ISu + Su cos v + 8 u sin. t1 + 2u1 sin tl cos v)du '= o o

~ l

J .,.s . 5 3 8 .... . l ' . l = 2 dv T" +T" cos v + 3 ..-smv +yu smvcosv o o

244

211' '

2!, (IS S 8 . . J . ) d = -+~cosv+-smv+-sznvcosv v=. . 2 . 3 3 :! o

v ='30 1t Odredi uz zamjenu promjenljivih obujam tjelesa,omectenih s

l.

.2.

x z=--

a

x'+y.,.r

4z = x + y' x'+y'=Sx

z=O

3. x + y + z = r x + y = rx ; z = O

4. z = xy + x + y + l (x- 2)'. + (y- 3)' = l ; z = O

16 9

[ sr}

V= lsa]

[V= 96 1t]

[V= 144 1t]

5. Izraunaj volumen dijela yaljka x + y = r izmedu ravnina

z=O i z-=mx

6. lzr~unaj volumen tijela, koje je omeeno hiperbolnim paraboloidom cz = zy, ravninom z= O i valjkom (x-a)' +(y-b)1 = r

4. Zamjena promjenljivih .u trostrukom intepalu

Najee se vri prijelaz od pravo'kutnih koordinata; u kojim je zadan tro-struki integral, na cilindrike i na kugline koordinate.> Stoga emo potanko promotriti ta dva sluaja, dok emo opet opi sluaj zamjene promjenljivih obrazlo-iti samo ukratko.

a) Cilindrike kO

To su formule prijelaza od cilindrikih koordinata na pravokutne. Uzmemo li, da je p = R (konstanta), dobit emo parametarsku jedna-

iman: o

dV = dx dy dz = pdp d rp dz (liSa) .

pa uzevi u obzir formule (114) dobijemo konano traenu formulu zamjene u trostrukom integralu pravokutnih koordtnata cilindrikim:

J J J f(x, y, z)dx dy dz =J J J f(p cos cp, p sin q~, z)pdp d

pri emu je

tl ;;::;; & ;;::;; 7t; .. o ~ p < + co . To su formule prijelaza od kuglinih koordinata na pravokutne. Uzmemo li, da je p= R (ko~stanta), dobit emo jednad.bu kugline ~lo

he (sfere) polumjera R u parametarskorn obliku, u kojoj su rp i & pa-rametri, pa cp moemo smatrati geograf-skom duljinom, a & dopunom do 90" georafske irine toke T (vidi takoer 4. 12).

Koordinatna povrina rp = konst. predstavlja sada polukrugove, kojima os Z prolazi kroz sredite, p = konst. su kugline plohe sa sreditem u ishoditu O, a .& = konst. su platevi stoa~a, ko-jima je os Z zajednika os.

Te koordinatne plohe dijele pro~tor u elije, ili oblik vidimo na slici 124.

Dademo li kuglinim koordinatama cp, .& i. p neke toke T ktigline plohe pri-raste dcp, d& i dp, tada dobijemo lik pri-kazan na slici 124.

Sl. 124 Uz pretpostavku, da su ti prirasti

beskonano male veliine, moemo uzeti, da je taj lik pravokutni paralelopiped, pa njegov volumen dV raunati kao umno-ak povrine osnovke i visine dp.

Uzevi u obzir, da je

UT= p sin & drp (UT je luk kugline paralele, kojoj je polumjer TO'= . =p sin&)

i da je

imamo:

ili

E= P. d&

d V= p sm & d cp p d& dp

,dV = p sin.& d

Raunanje trostrukog int

J J J j (x~y, z) dxdyds =;=-v

('120)

= J J J f[x (u, v, t), y(u, v, t), z(u, v, t}] ~~, du do dt v

gdje je ;~ koeficijent deformacije volwnena pri pres)ika.vanju po~ja W u po-druje w1 prema formuli (120). Taj koeficijent deformacije jednak -je u sv;akoj toki podruja apsolutnoj vrijednosti Jacobijeve determinante

dV _, iJ{x, y, z) dV' - iJ(u, v, t)

gdje je

ox 'ox dx (120a)

iJu iJv ot

d(x, y, z) ay oy ay o(u, v, t) = iJu ov dt

az o z o z ou ov ot

Primijenimo li te formule (120) i (l20a) za sluaj prijelaza u trostrukom inte-gral u na cilindrike, odnosno kugline koordinate (naini to!), dobit emo ve nam poznate formule (116), odnosno (119). Meutun, te formule ne smijemo u tom slu-aju smatrati kao formule prijelaza u trostrukom integralu od pravokutnih koordi-nata na cilindrike, odnosno kugline u istom podruju W, ve kao formule nekih! posebnih transformacija u trostrukom integralu od pravokutnih koordinata opet\ na pravokutne koordinate, ali u drugim, pripadnim podrujima W'.

S. Primjena dvostrukih i trostrukih integrala

Rekli smo ve, da promatranje dvostrukog i trostrukog integrala kao volu-mena tijela omeenog zadanom plohom, daje samo geometrijsko znaenje tih inte-graJa. Sada emo navesti mnogobrojne primjene viestrukih integrala,

a) Povrina ravnih likova

Pokazali smo. da povrinu ravnih likova moemo raunati i pomou dvostrukog integrala, jer je dS = dx dy povrina elementa ravna lika, pa je povrina ravna lika:1

(121)

pri emu smo iz navedenog primjera (vidi str: 228) vidjeli, da taj nainraunanja nema openito smisla, jer nakon prvog integriranja prelazimo automatski na obini

250

jednostruki integral. Meutim, ako je zadani ravni lik omeen s . dvije krivulje, isplati se raunati njegovu povrinu pomou dvostruKog integrala, jer se u tom sluaju jednostavnije odreuju granice integracije. Pokaimo to na primjerima.

Primjeri.

l. Odredi povrinu lika omeenog parabolom y = 4x + 4 i pravcem y = 2-x. Nariimo zadani lik (sl. 125) prethodno izraunavi sjecita A(O, 2) i B(8, -6) pa!'llbole i

pravca, a takoer vrh V(0,-1) zadane parabole y 2 = 4(x + 1). Element traene povrine uzme. mo u smjeru osi X, pa napisavi jednadbe parabole i pravca u ob!~ x = y' ~ 4 i x = 2-y raunamo prema slici i formuli (121):

= 12y:_ ~-'h+ yi= 6- 2- i+ 18 + 18- 18 --6

y

y

SI. 125

21.!.. 3

SI. 126

Da smo element traene povrine uzeli u smjeru osi Y, t. j. da amo integrirali prvo po ;y, :a zatim po x, morali bismo izraunati d,a integrala, ll granice integracije bill: bi iracionalne:

o +Vx+4 s z-x

s=faxf dy + faxf dy -l -V4x+4 -f4x+4

2. lzraunaj povrinu lika omeena s

y = sin X ; y ""' COS X X = 0.

Kako je sin ; = cos ; = Vf, imamo prema slici 126 i formuli (121): 'TT

! 4 ""'" S= ff dxdy;, dxfdy= S O .Vu:

251

.".

4 ' = J (cos "-sin x) dx =

g

1

lsmx+csxl= . .

Jasno je, da i povrsmu lika omeenog knvul)ama, ije su jednadbe zadal'le u polarnim koordinatama, moemo izraunati pomou dvostrukog integrala uzevi da je podintegralna funkcija jednaka l. Na taj nain dobijemo prema (Ill):

Sl. 127

'TT

s= J J pdpdrp (1221 s

P nm) er

Odredi povrmu lika, IO ga omeuju krunic~ p = 2 cos 'P i p = 4 cos

Ako je materija, koja jednoliko pokriva lik, nehomogena, gustoa se mijenja 1>d toke do toke, ona je funkcija od x i y, t. j. .

gustoa !L = !L (x, y).

Oznaimo li s dm povrinsku masu elementa lika u nekoj njegovoj toki T ( x, y) (diferencijal mase), a s dS povrinu toga lika (vidi sL 128), bit e gustoa u toj toki T(x, y):

a odatle je

dm fL{X, y) = dS

a kako je dS = dx dy dm = fl(x, y) dS

dm= !J.{ X, y) dx dy

Tako smo dobili izraz za diferencijal mase ravna lika.

Sl. 128

y

itavu masu lika dobijemo integrirajui po povrini lika:

Masa nehomogena ravna lika m =J J fL( X, y) dx dy ~

Pn m) er

Sl. 129

Odredi masu pravokutnika gustoe >t= xy, kojemu su stranice b i ll.(sl. 129).

Prema (123b);

" m = J J xy dx dy = J x dx J y dy =

s o o

Ako je lik homogen, t. j. fl= konst., formula (123b) prima oblik:

(123)

(123a)

(123b)'

253

a za

m= (l. J J dxdy =(l. S s .

t-t= l

m=S

t. j. ako je,ravan lik homogen, a gustoa. !L = l, masa lika numeriki je je-dnaka njegovoj povrini.

U tom sluaju odreivanje mase ravna lika svodi se na raunanje njegove' povrine.

e) Statiki momenti i koordinate teita ravnih likova

Govorei u dijelu II. Repetitorija (vidi 7, 2.) o primjeni jednostrukih odre-enih integrala, ve smo potanko obradili to pitanje, pa znamo, da je statiki mo ... ment M ravna lika, za koji pretpostavljamo da je homogen gustoe "ll-= l, obzirom na neku os jednak umnoku povrine S toga lika i udaljenosti njegova teita od dotine os1, t. j.

Mx= JydS s

My= j xdS s

(a)

Znamo takoer, da podijelivi statiki moment lika s povrinom S lika dobi-jemo koordinate teita toga lika : .

M {xdS X =-Y-=_s __

' S f dS s

.f ydS . M" . s

y,=-s= [dS (b)

U mnogim sluajevima odreivanje statikih momenata i koordinata teita ravnih likova vri se jednostavnije pomou dvostrukih integrala. Taj prijelaz na dvostruke integrale moemo lako izvriti, ako se sjetimo. da je

dS= dxdy

Formule (a) i (b) primaju tada oblik:

M"= j J ydxdy. ; Mu =J J x dx dy s s

ff xdxdy My s Mx

x, = -s-. =:= --=-},.,./,..... d-.-x-d-;-:y- / y, = -s s

Jj ydxdy fldxdy s

(124)

(125).

Uvrstimo li u (124) x =p cos 'P i y =p sin

:rrimjeri.

1. Odrcli statike momente pravokutnika osnovke b i visine h obzirom na njegove stranice (vil!i'gorc sl. 129).

Prema (124)

b b

M" =J J y dx dy = Jdx J y dy = l xl s o o . o

gdje je S = bij = povrina pravckutnika.

Na isti nain dobijemo:

a prema ( 125)

hb' b M_,. =-z=S y

b Xt=T

h Y=y

il l ~l = b~ = s . ~ ' o

Sl. 130

2. Odredi koordinate teita lika omeenog sinu so idom od 11 = O do x "":. 1t i !='Si X (sl. .IlO).

Prema slici:

Prema (125) :

"11 .ftn% "' ... J Jydxdy Jaxjy dy If. l sm xdx .s o o

If- sin:x l o

Yt = sin x "11 J Jdxdy Jdxjdy Jsin xdx s o o

Izrauna; za vjebu xt !

2. Odredi teite' lika omeenog krunicama

(x-l)' + y~ = l Prema toj slici i (125) :

(x- 2)' + y' = 4 (vidi sl. 127 i primjer uz ru sliku).

Yt =O My My

:Xa=--=--S 3 x

(a)

Napisavi jednadbe zadanih krunica u polarnim kordinatama

p=:UOSq> i p=4coocp

raunamo My prema (12Sa): .. +7 4cosqo

My = J J p'"'"" 'P Qp ~ = J ,COS 'P dq> J p dp = S

~25i

:Prema (a):

.. ." -+z - 4cos, +z

=J cos cp d cp l f-1 = i-J cos cp (64 co; cp- 8 cos cp) d" --ff ZCIJS' 'If'

-~ -z-

+-f = f j 7 cos cpdop = prema tipu VIII. (Dio II. 5, 7.) =

,.. -z-

56 =3

7 Tc 7 Xt ~-=-= 2..!__

3 7t 3 3

Teite (T' o)

4. Odredi teite krunog isjeeka (sl. 131), kojemu odgovara sredinji kut 2.

Prema slici i (125a):

y

~+ ..

~~~-:-cos cp l . 'IT

x,~o

Sl. 132

=-:------.:.2_-,..... .. ...,...., R(sin +sin ) 2 R sin a ~ {; + -; +") 3 =....;.3_. __ a_

17

~. Odredi teite polo,ine elipse, koja lei iznad nJene velike osi 2a (sl. 132).

Xt = 0

Jlt. raunamo prema (125), izvrivi prema (113) prijelaz na eliptike koordinate:

x=aucosv

y =bu sin v

dxdy = abududv

ab'f J u sin v du dfJ s

Yt = ----::------

abffududt! s

2 . "' 2 lt 3 "'

Odredi pomou dvostrukog integrala teite:

.. l

J udu jav

2=~ 37t

l. Trokuta osnovke b i visine h obz1rom na osnovku

2. Petlje l emniskate p' = a cos ~ 'l'

3. Kardioide p= a(l + cos - Dio lli.

y

Sl.'lll

25'1

Sve te :momente ve znamo raunati pomou obinih jednostrukih integrala. ali se jednostavnije raunaju, kao emo vidjeti, pomou dvostrukih integrale.

Postoji )o jedan moment, koji ne moemo izraunati pomou jednostrukih integrala, to je centrifugalni moment ili moment devijacije obzirom na osi X i Y:

]xy,= J xy dS s

Dok su svi momenti trornos~i uvijek pozitivne veliine (x'>O, y'>O i p'>O), centrifugalni moment lika je negativan za one njegove dijelove, koji lee u II. i IV. kvadrantu, jer u tim kvadrantima x i y imaju razliite predznake, pa je x . y

Primjeri

l. Izraunaj t.. !y, 10 i l~~:y za pravokutnit prikazan na sliCi 129. Prema (126)

b ll

I,.= J Jy"dxdy-= J dx Jy dy = b: s o o -

b. lo

ly =J j x dx dy = J x' dx J dy = ": S D O -

b h

lxy = J J xy dx dy = J x dx Jydy = b~ s o o --

Prema (127a)

bh lp= lu= lx+ ly = y{h1 +bl)

2. Izraunaj lx, ly i l"y za trokut prikazan na slici 134.

..... ---

Sl. 134

Oznaivi s a i e dijelove osnovke b trokuta (a + e = b) i uzevi u obzir, da su jednad!be stranica trokuta

pa je

raunamo prema (126) i slici 134:

h

~+L= l e h

= Jy[c{l-~)+a {1-~}]dy= o

ch ch al!" ah" l l M' =3-4+ 3 - -r= rr

h l c-a y c'-a' y 2 y' l ""-2-j(t-f} ydy=-~- z:-:11 3+ h'. y'l" = 4 tl o

=(e+ a) (e-a) {~-~ ll'_\= b{c-a)h' 2 2 3 ;l-41 24

Za e > a je !xy> O, a 'za e

x =au i:os v

y =bu stnv

dx dy = abududv

ff . Jz"' fl l v n'n 2vz'w l u' lt ab3n l:x = . b u nn v . abu du dv = ab sin' v dv u du = ab1 2--4- 4 = -4-s o o o o--

Zamijenimo li u tom rezultatu a s b, a' b s a, dobijemo:

ban: ly=-4-

[kontrolira; prema (126)).

12 = O, jer su osi X i Y osi simetrije elipse (glavne osi).

Prema. (127a):

ab'n: ba3 n: abn lp= 10 =lx+ ly = - 4- + - 4-= :-;r-

Prema (127a)

h b 2 b h' ~ 2h1 ) 10 = lx+ ly = 30'+ - 7-= b h G.Q+ - 7-

l"y = O, jer je os X os llimetrije lika.

2. Izra:unaj polarni moment tromosti 10 lika, koji je omeen_s

y

.Sl. 138

Y' = 4ax , y = 2a i x = O (sl. .138).

Prema (127a): yi

2a Ta

lo = J J ex + y") dx dy = J dy J ex + y') dx-s () o -

)a ~ la

f l~ 14" J( y' y') = dyfl+yx = l92a+4ady- D o

=_!_lL_. ~~z"=..!....(~ 32a') -~, 4a 336a' + S o 4a 336a' + S lOS a

- - Izraunaj lx i ly za isti lik, pa rezultate ltontroliraj prema (127a):

lx + ly = lo =_!2!a' lOS

Izraunaj pomou dvostrukih integral.a:

J. lx, ly, l:cy i [0 za lik omeen s x =a, y =":O i y = : x

[I. = ~~ (3a' + b1) 1>'

a'b'] l:cy=-8-2. Isto za lik omeen parab;t,n, koja prolazi tokom (a, b), a vrh joj j~ u ishodi!tu, i,

!'ravcem, koji prolazi istim tokama. - -

262

[ b'

:Y' =-_;-x ab (a' b'\ 1 =4 -r+sl ; a'b"] l:cy= 24 3. [0 za povrinu lemniskate p2 = a cos 2

e) Komplanacija (odreivanje. povrine) ploha

Koniplanir~ni neku zadanu plohu znai .. Odrediti vrijednost njene povrine.

Neka je-ploha zadana jednadbom z =f(x;y); gje je f(~e, y) nepreldnuta funkcija .s neprekinutim parcijalnim derivacijama, pri, emu pretpostavljamo, da pravci usporedni s osi Z probadaju plohu. samo_u jednoj, toki, pa je z== z(x, y) jednoznana funkcija.

z

.~ :

'

' ds

:;=-db d!ldy

a b Sl. 139

Traimo povrinu S te plohe i to onog njenog dijela, koj~u o~govara p~ druje o ravnine XY, gdje je cr projekcija S na ravninu XY (sl. 139). . ~

U nekoj toki T(x; y, z) plohe uzmimo element povrine dS te plohe. l

Znamo jednadbu (77a) normale na plohu z= f{x, y) u toki T,(x,, y,, z,) plohe:

x-x,= y-y, =z-z, P, q, -I

gdJe su p, i q, parcijalne derivacije po x i po y funkcije z u toj toki T,, pa je u toki T plohe

o z p=-OX

o z q=-oy

Kosinuse smjera pravca (normale) znamo izraunati prema (39):

. -1 cos 'Y = -;--;;=;;==;;====:o- yp + q + 1

ili, ako ispred korijena uzmemo predznak minus.

l

cos y = -;;:;v l:=+:;==;;p.==+=q=t .... l l ( OZ)' ( oZ'\. v 1 + ox -t oyl Uvrtenje u (130) daje:

dx dy V . v (o~ (oz) dS=--=. l+p'+q'dxdy= l+ T +T dxqp ~T .. . ~ ~

(130)-

(130a)

(130a)'

Na ploni integral (a) prelazi obzirom na (130a)' u dvostruki integral uzet po podruju a ravnine XY:

s= Jfdx dy =//V t-+ p + q dx dl " cos y 11

gdje je o z

p ="'""' ox a o z

q=-oy

To je formula za komplanaciju plohe z =f(x, y).

(Ill).

Kako se vrijednost S povrine plohe obino uzima po apsolutnoj vrijednosti. ispred drugog korijena uzimamo predznak +.

Ako je jednadba plohe zadana u implicitnom obliku, p i

U posljednjem sluaju treba jednadbu plohe napisati u obliku

x = x(y, z), odnosno y .;, y(x, z)

1 na nain prikazan pri izvodu formule (130a),za cosy izraziti i ostale kosinuse smjera normale na plohu pomou parcijalnih derivacija funkcija x(y, z) i y(x, z), uzevi u obzir, da u tom sluaju jednadba normale'na plohu glasi

x-x,=y-y,=z -z, -l OX -- OX

oy oz

odnosno

x-x, =y-y, =z-z, oy -J oy

Dobijemo:

cos ()t = ::-:r===

ili

'Primjeri

:}. lzraunaj pov~inu S kugle polumjera R.

x' + j' + z' - R = O

Raunat_ emo prema (131) i" '(92a i b) povrinu gornje polovine kugle, t. j._-}. z

P=-x

2x h

z 2y q=ay=-i;

x' y' x' + y' + z' R' R' l+p'+q'=l+7o+-;z= z' =-;z=_,R-x-y

Uvrtenje u ( 131) daje:

~- Rjj dxdy 2 - " V R' - x'- y'

Prijelaz na polarne koordinate prema (Ill) daje:

~= Rjj pdpd? 2 VR- p'

- q

Raunamo:

271' R

~=Rf dcp f pdp 2 . VR'-p'

o o '

Uz supstituciju R' -p'= t. dobijemo:

Odatle

R

; = R 2 1t 1-V R' - p' l o

~ = 2R 1t(O + R) = :2R'ri' 2

S= 4R1 7t

~)

2. Izraunaj povrinu onog dijela kugle po!Ult'Jera a, koja le~i un_utar valjkn p~lumjera ".: Vidi Vivianijev zadatak na str. 241 i slike 116 i 117.

Prema tom zadatku i navedenim slikama imamo obzirom na izraz (a) dobiven u predanjem, P.!imieru: - -

- 71'

2 acosq:a . !i_=;= a Jr p dp dq> =a f dqi l ~ .... 4 ll a' -p' v,a' - p

11 f o ll :.

266

~ ~

2 COl. T

=a J d

=.arava = a . '

S= 4a

Izrauna j povrinu: l. kugline plohe x + y + z = 100 zatvorene izmedu ravnina

x=-8 i x=6, [S= 280 7!:]

2. onog dijela ravnine ..!_ +Lb +-=._ = l, koji lei izmedu koordinatnih ravnina. a e ~

3. onog dijela paraboloida y 1 + z = 4ax, koji odsjeca valjak y' = ax i ravnina X = 3a_

[s - 112 ] --7ta 9 . .4. onog dijela_vlilika _x' + y' = 16, koji se nalazi izmedu ravnine z= 2x i ravnine XY.

[S= 128]

J) Masa kO"ordinate teita ploha

Znajui izraunati povrinu S zadane plohe z= f(x, y}, moemo-lako po:. staviti formulu za odreivanje mase te plohe, ako je ploha pokrivena' nekom mate-_rijom, bilo homogenom ili nehomogenom.

Pretpostavimo,. da je masa zadane plohe z =j( x, y),' koja je definirana u podruju ravnine XY, nehomogena. To zna.i, da se njena gustoa 'll mijenja' od toke do toke, ona je, dakle, funkcija od x i y:

!l= v.(x, y)

Imamo sluaj posve slian odreivanju mase ravnih likova [vidi toku b.)}) Uvrtenje formule (130a)' u (123a)

dm= v.(x;y) dS

daje izraz 'la diferencijal mase ne homogene teke plohe z;;;;;;: (x, y):

dm = IL ( x, y) V l + p + q x dy (132) a. odatle je:

m= J J tJ.( X, yJV l + p + q" dx dy (Ula) o

masa nehomogene plohe z =f(x, yj gusto?. tJ.= v.(x, y).

268

Ako je ploha homqgena, gustoca IL= konst., pa If stavimo ispred znaka inte--grala, dok je za 1.1. = I. m = S. 1

Primjer

Izraunaj masu oktanta kugline plohe polumjera R, ako je gustoa tJ. = xy.

Kako je za kuglu

x'+y'+z'=R' R

yt + p + q' 7 VR -x.-y (vidi primjer l. na str. 266),

dobijemo prema ( 132a):

'JJ xydxdy m-R - , VR'- x -y' ili nakon prijelaza na poiarne koordinate

."

2. R p' dp ,

m= R J sin cp coscp dcp J V R' -p o o

Rijeivi posebno i to neodreeno drugi integral pop1o.u supstitucije p= Rsint dobijemo

'll

m~ Rl~ i - o

R 1- (p'+ 2R') ~l=

Z~ koordinate teita plohe lako moemo napisati formule, ako se sjeti;no 'Onoga, to smo rekli za koordinate teita ravnih, likova i homogenih rourcionih tijela. [Vidi Dio Il, 7, 2. i 7.e)). .

Znamo ve, da se koordinate teita lika dobiju tako, da se njegovi statiki momenti podijele s povrinom, odnosno masom lika.

Kako se ploha z= (x, y) nalazi u prostoru, statiki se momenli plohe ne raunaju obzirom na koordinatne osi, ve. obzirom na sve tri koordinatne ravnine XY, XZ i YZ, pa prema slici 139 koordinate teita nehomogene plohe z = f(x, y) _gustoe JJ.(X, y), a definirane u podruju oravnine XY glase

= Myo x, m

M z=~

' m ' (133-)

260

( Tu je m masa plohe, a Mz' Mx .. i M stati:ki momenti pJohe obzirODl'

na koordinatne ravnine. Uzevi u obzir, da je ~tatiki moment materijalne toke (elementa plohe) obzi-

rom na neku ravninu jednak umnoku mase te toke i njene udaljenosti od ravni-ne, dobijemo prema formulama sustava ( 131) i (132) i slici 139:

J J xdm ff X(y, z) (-l(y, Z) v l+(:_:) 1 + (::r dydz x,= a. "

m fJflry, z)Vt +(:;)' + (:;)' dydz "

ff ydm J Jy rx~ Z). fl rx, z JV 1 + (:~r~ (:~r dx dz y =.-l " _(134) ' m

ff (-l(X, z) v l +(:~r + e~r dx dz "

J J z dm J Jzrx, y) ~L(x, y) vl+(~:)'+(:;)' dxdy z= QB " l m J JfL rx, yJ V t+ (~f + (:;)' dxdv

" To su koordinate teita nehomogene plohe gustoe !J.( X, j). Ako je plolia homogena, ll = konst., gornje se formule primaju jednostavniji

blik, jer se fl krati.

Primjer

Izraunaj koordinate teita plohe homogene polukugle x' + y' + z = Ra gustoe !L= konst. (z ~ 0). '

Budui da kuglina ploha nastaje rotacijom polukrunice oko osi z, teite te plohe lei na osi Z, pa je

. Uzevi u obzir, da je z = + YR'- x -y l'nmjeru

da je prema predanjem

R

VR"-x'- y'

lio bivamo prema u-eoj formuli sustava (134):

270

Rdxdy iJ. JJv R'- x- _ y . VR'-x:.:....y

z,= --=-a--J-J--..R,.....dx-d..-"[)1-----'--!J. VR"-x'-y'

" a aakon prijelaza na polarne koordinate imamo konano:

z, = :.." --,2..;R,1t--

g) Masa i koordinate teita tijela

2R'1t

Pretpostavimo, da je zadano trodimenzionalno nehomogena tijelo. To znai, da se njegova gustoa iJ. mijenja od toke do toke, ona je funkcija od x, y i z:

gustoa !J. = !J.{X, y, z)

U nekoj toki T { x, y, z) toga tijela nalazi se element- volumena d V =dx dy dc i mase dm. [vidi sl. 141 i formulu (108)]

Kaka je za materijalnu toku (element tijela} gustoa 71 = 7asa dobijemo: vo umen

gustoa u toki T(x, y, z):

ili

Odatle

dm IJ.(x, y, z) =dV

dm= ~J.{ X, y, z)dV

dm = p.{x; y, z) dx dy dz (135)

diferencijal mase nehomogenog tijela.

Da dobijemo masu itavoga tijela, moramo integrirati po volumenu V toga tijela, t. j. u smjeru koordinatnih osiju X, Yi Z, pa je

z

~----~~~.--~~--x

:y _________ :~~::--~--:;

Sl. 141

m= J J J IJ.{x,y, z)dx dy dz (136) v

masa nehomogenog tijela. Za homogeno tijelo (tJ. = konst.) m = !"' V, a za !"' = l, m "== V. Govorei o materijalnim plohama postavili smo jednadbe (134) za koordi~

nate teita tih ploha, pa smo rekli, da je statiki moment materijalne toke (ele-menta tij.ela) obzirom na neku ravninu jednak umnoku mase te toke i njene uda-ljenosti od ravnine.

!71

Prema tome obzirom na sliKu 141 i formule (135) i (136) dobijemo:

M JJJxdm 'JJJx(J.(x,y,z)dxdydz

l""=~= v ~v-:----------~ m m J J J (J.{ X, y, z)dxdy dz

v

Jjjydm ,y = M., =_v ___ _

1 m m

JjjY!l-(x,y, z)dxdydz v

J JJ (J.( X, y, z) dx dy dz v

J J Jz dm M.,." v z, =--;n-= --'--m--,.--

J J J Z(J.(x,y, z) dx dy dz. v

J J J !L( X, y, z) dx dy dz v

k-oordinate teita nehomogenog tijela. Ako je tijelo homogeno, gustoa "l) = konst. se krati.

Primjeri

(1~7)

J.; IZraunaj )roOrdinate'teita homogene polukugle xl+ y' + z ";, R gustOe (J.= lr.onst. (z~O).'

Teite lei na osi Z, dakle '

~----~ Yt=O r- Raunamo-prema treoj formuli sustava (137), koja u h;:,mogeno tijelo ((J.= konst.),prima oblik . . .

JJ J ~dxdydz . v.. M"oy

Zt = . =--v-J j [4

2; Izrauna j koordinate teita homogene krnje prizme omeene ravninama X ;;o tJ ,y-:llf 0,. lt 10= 0, X = 2, y = 4, X + y + t: = 8.,

18

.Prema (137). i slici 142:

Z 4 8.-x-y

j J jx dx dydz Jx dx Jdy Jdz xc =-=-'"'-v ____ ~-- o o o

j J Jaxdydz y'

2 4 ,z ..

J x dx J cs --x-y)dy o

[xdx,By-xy-fJ z 4 z 4

J dx J (8-x.,-y)dy 1

Jdx,8y-xy- ~~~ D D

z:

, l .. ..--,' i . , ___ _.".: __

/ ...... /: ... --,-

B ~

Sl. 142

z Jcnx- 4x-8x)dx .

z

Jc32- 4x- S )dx o

Na isti nain dobijemo prema-(137):

Izraunaj to!

\26 Yt =-. 15

SI.'J4J

z

'12x'-; x" l o 14

----------z~ T:f

124x-2x l

8 Zt =T

o

3. _ Izraunaj koordihate tc~ta homogenog tijela omeenog s

y = V7,'"' y = 2V7,' z= O, x + z= 6

B. Apsen: Repetltoril vie matematike - Dio III. 273

Prema (137) i slici 143:

s 7 T T

6x x

JJjxdxdydz v

6

6

J

Prema tome uzmemo li u~ nekoj toki T(.x, y, z) trodimenzionalnog nehonto-genog tijela gustoe IL= !L( xl y, z) element toga tijela mase dm, tada e ntomenti tromosti za taj element glasiti prema slici 141 ~

Aksijalni "moment tromosti obzirom na os X:

dl.,= z. dm a. kako je z = y + Z1 , a prema (135)

bit e dm= !J.( X, y, z)dV =!J.( X, y, z)dx dy dz

. dl,..= (y' +z') !L(x, y, z) dx dy dz

Analogno dobijemo momente tromosti obzirom na os1 Y i Z:

d/11 = (x' +z') ~(x, y, z).dx dy dz

dl.= (x' + y') !L(x, y, z) dx dy dz

Da dobijemo aksijalne momente tromosti za itavo tijelo, mo-ramo integrirati po volumenu V tijela:

I.= J J fry+ z') !L(x, y, z) dxdyb v

l"= J J J {x' +z') !L( X, y; z) dxdy dz (138) v

I. = j J J (x' + y") . !J.(~:,..Y:t~J dx dy b v

To su aksijalni momenti tromosti pcbomogenog,tijela obzirom~ na koordinatne osi.

Na isti nain dobijemo prema slici 141: polarni moment tromosti obzirom oa 'isbodiltc .O laordiaatnog aus tava:

Ip == 1" =J J Jrr +Y-+ s:' J -:!L(x, y,_z)dxdydz (139) v.

' i planarne momente tromosti obzirom na koordinatne ravn.ine:.

1.,"11 =J J Jzt !L(x, y, z)dxdydz v

1.,",= JJJy~ fL(x,y, z)dxdyda v '

11100 =J J j x' (L(X,: y,:,ll) dx dy dz v

(140)

275

Ako je .tijelo homogeno, gustoa fL = konst. stavi se' ispred znaka integfala, a za fL = l dobijemo t. zv. geometrijske momente. tromosti.

Rastavimo li svaku formulu sustava (138) u dva integrala, dobit emo obzi-rom na formule ( 140):

(141)

a;rastavljanje formule (139) u tri integrala daje obzirom- na formule (140)':

(142)

'Konano zbroj formula.(141} daje obzirom. na (142)

ili

(143)

Spomenimo jo na kraju,, da se i za tijelo rafunaju~centrifugalni momenti

1.,11 =J xydm, 1.,, =J xzdm i 111, =J yzdm, v v v

IJlri emu se koordinatne osi' X, y i Z zovu glavne osi" tromosti tijela, ako-su sv~ tri centrifugalna momenta, uzeta obzirom na taj pratokutni koordinatili sistem, jednaka nuli, a J.,, 111 i I, su tada glavni momenti tromosti.

Pomou navedenih formula moemo izraunati momente tromosti bilo kojeg homogenog i nehomogenog tijela. Meutim, ako je tijelo rotaciono i homogeno, njegove momente tromo'Sti raunamo mnogo jednostavnije pomou jednostrukih integrala, kako je to pokazano u dijelu II. Repetitorija( 7, 7.).

Pojam momenta tromosti ima veliku primjenu tunnogim podrujima- nauke i .tehnike, na pr. u mehanici i vrstoi.

Tako u mehanici postoji uska veza izmedu momenta tromosti tijela, koje rotira, obziro1,n na os vrtnje, i kinetike energije toga tijela.

Neka se neko nehomogena tijelo gu,stoe fL= [L(x,y, z) i volumena V okree oko osi Z koordinatnog sustava sa stalnom kutnom brzinom w Znamo, da je kiaetika energija materijalne toke:

(a)

gdje je m - masa toke, a v -njena obodna brzina. Uzevi u obzir, da je obodna bi-zina v= polumjer rotadje puta kutna brzina= a w =prema slid 141 :;;o = ro V X'+ y, dobijemo_ prema (a) za element. tijela~mase dm i volumen dV -';:= dx dy dz :

276

n kako je dm= J.L(x, y, z)dxdyd:;;

a odatle

ili prema (I 38):

dE,=+ u/ ( x' + y')" iJ.(X, y, z)dx dy dz

E, =-} w' J I I (x' + y') !J.(x, y, z)dx dy dz . v

l I E= -w , ' 2

Kinetika energija tijela, koje se okree oko neke osi sa stalnom kutnom brzi-nom, jednaka je urnnoku polovine kvadrata kutne brzine i momenta tromosti tijela obzirom na os rotacije.

U vrstoi raunaju se poglavito momenti tromosti poprenih prcsjcka no-saa, dakle geometrijski momenti tromosti, t. j. momenti tromosti ravnih likova gustoe fL= 1. Tako, na pr.,. normalno naprezanje cr u poprenom presjeku opte-. reenog nosaa u udaljenosti y od osi X rauna se po formuli

M. y (J= .

I~

gdje je M - moment savijanja u dotinom poprenom presjeku p.osaa, a I -moment tromosti istog presjeka. Meusobno okomite osi X i Y, koje se si(ek_u u teitu poprenog presjeka, jesu glavne osi tromosti toga presjeka, ako je .centrifugalni mo- z ment I%Y =O.

Primjeri

l. lzraunaj moment tromosti homogene kocke ,gustoe fl= konst. i brida a obzirom na os Z,(sl. 144).

Prema (138) imamo:

iz = lJ. J J J (x' + y')dx dy dz = v

a o

= fl-Jdx j

1 ~+~X i= ~a'(~'+~') 2 2 2 -~ta.- -J.ta1 a1 ~-",a 3 . 3 3 o

.,..gdje" je m ""'ILa' masa koclce.

2. Izraunaj momente tromosti- za pravokutni paralelopiped bridOIIll a. b, e l JUStote " = konst., i to obzirom na osi simetrije, teite i koordinatne ravnine (sl. 14,).

Prema (138):

Sl. 145

b'+ bc' .=~ac l.2

Sdie je m - masa paralelopipeda. Na "isti nain dobijemo

Izrilunaj to!

Prema (143):

Prema (140):

278

+..!.. +!..

=JL l X l :fd:ll Y'%+ X

-T -T

l l ' TI JL abc (b' + c1) = IT m (b' + e')

.~

l Iz = J2m (a' + b')

= f.Lab-=!=.!.mc 12 12.

Na isti nain:

Kontrola prema (142):

....!_ma'+ .!.mb1 +..!..mc1 = 12 12 12

l 12 m (a + b1 + e') = r.

lzy = 1,.1 = Iv 111 = O, jer su koordinatne ravnine ra-vnine simetrije za zadani paralelopiped, pa su X, Y i Z glavne osi tromosti.

3. Izraunaj masu, teite i moment tromosti '()bzirom na os simetrije nehomogenog krunog us-

l ~'

,

l '-..,e._,__ t ' ' l : ", ( ... .... _""" __ _

y Sl. 146

pravnog valjka polumjera osnovke R i visine h, ako je-gustoa u svakoj toki numeriki jedn~ kvadratu udaljenosti te toke od ishodita koordinatn,og sustava (sl. 146).

Prema slici i zadatku

gustoa ... = r' = z + OT'1 = z'+ x + y, pa prema (136) imamo

m= J J J

f l 3

hl ) l' h.' = 2 rc h' t2 : 4 p dp = 2 rr h' ~ + 4 p' Rl 'rt - = -h'R'(R' + h11 2 4 D

Prema (138):

o

z,= Mxoy 3 h(R' + h') m =T 3R' + 2h2

Xt = 0 Yt = 0 Dokai to!

Iz= J J J (x' + y 2) (x' -f y' +z') dx dy dz v

a nakon prijelaza na cilind~ine:Jmordinate

1'11 R Ir

Iz = J J J p' (p' + z') p dp d 'fl dz =J d'>' J p3 dp j-Jp' + %2) d z = v

h R

p' t: + ~, = 2 7r h J ( p' + ~ p3 ) dp = o o

R

l p h' p' l l = 2 rr h - + - - =-rc h R'(2 R' +h') 6 . 3 . 4 6 o ---------

Izraunaj:

l. Momente tromosti .pravokutnog paralelopipeda gustoe f.1. = const., ako se osi X, Y i Z podudaraju s bridovima: a, b i e paralelopipeda, i to obzirom na te osi, obzirom na ishodite O i obzirom n:1. koordiname ravnine uz kontrolu rezultata prema (142).

[Ix:=" --}-m(b1 +e~) i t. d. ]

2. Moment tromosti uspravnog krunog valjka gustoe f.l. = cons t. obzirom na os, koja se podudara s promjerom njegova srednjeg presjeka, ako je h visina valjka, a R polumjer osnovke.

3. Moment tromosti uspravne kvadratine piramide stranice osnovke a visine h, koja rotira oko svoje visine h (fl. = const.).

[ a h a"] Iz = f.l.'"'30 = m lO

280

: 6. INTEGRAL!, KOJI OVISE O PARAMETRU. NJIHOVO DERNIRANJE

I INTEGRIRANJE PO PARAMETRU

t. Pojam parametra integrala ,

Pod parametrom integrala razumije se ona promjenljiva veliina, o kojo} ovisi podintegralna funkcija ili takoder granice integrala, dok parametar sam ne zavisi od promjenljive integrala.

Iz te definicije vidimo, da mo!SU biti dva sluaja: l) samo podintegralna funkcija ovisi o parametru, koji oznaimo s ex, dok su

granice integracije konstantne:

b

F (ex) =j l (x,rz.) dx a

Jasno Je, da vrijednost mtegrala ovisi o parametru rz., pa smo je Oznaili s F(cx).

2) Granice imegrac1je nisu konstantne, ve su takoer funkcije parametra oc:

a (a)

F (ex) =J l (x,oc) dx b (a)

Na je zadatak, da pokaemo, kako se derivira, odnosno mtegr!ra po para-metru oc integral, koji ovisi o parametru.

2. Deriviranje integrale po parametru

a) Granice imegraci}e su konstantne, na pr. a i b. U tom sluaju derivacija integrala po parametru ex jednaka je integralu de-

rivacije podintegralne funkcije po tm parametru o.:, ako su podintegralna funk-cija i njena parcijalna derivacija po parametru ct neprekinute u intervalu inte-gracije [a, b].

To znai:

b

za F(cx)= Jrrx,rx)dx a

b b

F'(a) =_!!__J J (x, ex) dx~ J oj(x, a:) dx da. orx

(144)

a a

Kako vidimo, deriviranje funkcije F(rx) po o.: svodi se na deriviranje pod zna-kom integrala. To je Leibniz{')vo pravilo.

281

Primijetiino, da uiogu parametra o: moe igrati. i y.

Uvrtenje a.= y u (144) daje:

b b

_!_ff (x,y') dx= f of(x,y) dx dy iJy'

a a

y je parametar;

x takoer moe imati znaenje parametra:_

x je parametar.

Primjer

d b ' b . -JI (x,y) dy = f of (x,yJ dy dJ' ox

a _a

l d J .,

- ln (x + y') dx = dy o

{144a)

(144b)

Kako su podintegralna funkcija l njena parcijalna derivacija po y neprekinute u granicama' integracije i za y > O, t. j. u podruju O~ x ;;:;;; l i y > O, imamo prema ( 144a):

t t

= J iJin (x' + Y~J dx = J---.2._ dx = oy . x' + y'

v o

integriramo po x, parametar y ne ovisi o x =

t

= 12y + arctg ; l = 2 arc 1.1,' + o

b) Granice integracije a i b su funkcije parametra ct, t. j. a=a(ct) i b=b(a.).

b(o)

F (ct) = J f (x, oc) dx a(a)

F je sada funkcija ne 'samo od a., ve i od a(a.) i b(oc), t. j. F je sloena funk-cija odtot:

- F = P [c;t;, a(~), b(a.)]

Derivirajmo F po pravilu za deriviran je sloenih funkcija, t. j. prema (87):

(a)

282

Prvi lan desne strane

b() .

oP_ (144)-J~f(x,a.)dx o:x - prema - ~ a(a)

Dalje

o. P -=-J (a,a.) o .:z oP db= +J(b,a.)

prema pravilu za. deriviran je integrala .. po donjoj, odnosno gornjoj granici (vidi Dio_ ll; 6).

Uvrtenje u (a) daje:

h(a) b{a)

dF d f f iJ J ( x, r1.) db da d11.=da. J(x,a.)dx= ~ dx+f{b,a.)da.-f{a,r~.)drJ. (145)

a(a) a(a)

Faktori f{b, a.) if( a, a.) u pol)ljednjim lanovima formule-(145) jesu funkcije samo parametra r~., jer se dobiju tako, da se u podintegralnoj funkciji f :zamijeni x s b(a.), odnosno_s a(a.).

Znaenje parametra a. moe imati y; Zamijenimo li_ u {145)_a._s y dobijemo:

bOO bOO .

df f()f(x,y) db da - J(x,y)dx= 0

dx+J(b,y)--J(a,y)...,..-dY -~ dy dy

(145a)

a(y) a(y)

jije parametar. Isto tako i x moe imati znaenje parametra:

b(x) b(x)

d f f ~J ( x, y) .. db da dx J (x,y) dy = ax dy + J(b,x) dx- j (a, x) d;c (145b) a(x) a(x)

Primjeri

" " l. :X J sin (~ y) dy ~ prema (145b) - J y cos {x_:y) dy +

o o

" " . + . '-')dx . ( . 0,&o l ysin(x' y) l J sin(x-:-y) d + . ( . .., .. nn t" dx - san x 'J dx = x - x !ll. san x 1 -o o .

" -... x sin"x+ l cos~ . y) l t sin x' - 2 sin (x') .+ ~-~. ,

- o

283

4y-s,.+z

2. ;Y j (x'y- 3xy1 -+: 4y + 5x) dx = prema (145a) sin (Z JI- 3) +3y

.4y1-SJI+Z

J (x- 6xy +,4)dx + [(4y'- Sy + 2)'y -=.3 (4y1-=.Sy + 2)y1 + sin(2_y-3)+3y

+ 4y + 5 (4y1 - Sy + 2)](8y- S)- {!sin (2y- 3) + )y]' y:- - 3 [s(n(2y;:...;. 3) + 3y]y + 4y+ ~[sin (2y_- 3) + 3yJ} [2 cos (2y- 3) +Sl~=-

4,-s,.+z

= l ;." ~ 3xy +~4xl + f(y) = sm(2y-3)+ Jy

=_'gdje su s f(y) oznaeni svi lanovi ~a-_inregrala =

=;{-} (4y' --5~ + 2)3 -'- 3(4y'- Sy + -2)1 y + 4 (4y1 - 5y + 2)-

-'i [sii (2y..::..: 3) + 3y]3 - 3 [sin (2y- 3) + 3y] y + + 4[sin(2y-3) + 3yl} +J(y)

Uredi rezultat!

Leibnizovo pravilo za deriv1ranje pod znakom integrala primijenjuje se.:za. raunanje sloenih .odreenih integrala.

Navedimo Primier. Treba izraunati

lzraunajmo najprije

'IT

f--:--::--2

--::---:dx ~ (a2 cos x + b' sin'x)2

o

'll

F(a,b) = dx fl

a cos x + b' sin x u

Podijelivi brojnik i nazivnik integranda s"cos'x i uzevi supstituciju tg X = t (vidi Dio n~ ptilnjedba kod tipa VL), dobijemo nakon integriranja i povratka na prvobitnu promj~nljivu~x:

'Ir

~~ (b )l-z l(7t ) ", F(a,b)=- arctg -tgx =- --0 =-ab a ab2 2ab

. o Dakle:

r.,. F(a,b) = dx a eDs' x + b' sin x (a) o 284

::smatrajui a parametrom derivirajmQ (a) po a;

lli prema (144):

.",

oF(a,b) Jz dx --oa-- = Oa a2 cos2 x + b1 sin t x

1t =-~

F(a, b) o a

o

"' _.:2acos2 xdx ___ n_ -2

'

Kako raunanje statiki neodreenog sistema pretpostavlja op~rno znanje vrstoe, odre-dimo Po Castiglianu, kao primjer, samo progib f na kraju konzolnog nosaa optereenog silom P (si. 147).

Potencijalna energija Ep savinutog nosaa glasi: b

,L:p = - 1- {M'dx 2El . "

(a) p

Tu je ... l(

x~~~~~~--~--~~ --------ff

E.- modul ehisticiteta materijala, od kojega je na-pravljen nosa, '

l

Sl. 147

J - moment tromosti poprenog presjcka nosaa obzirom na os savijanja,

Mx- moment savijanja u udaljenosti x.

Prema prvom SLavku teorema raunamo progib f na kraju grede, ,t. j. ispod sile P:

b

~ l J~ f = 0; = prema (a) i (144) =

2L:'l --yp dx (b)

Q

Za na sluaj prema slici 147 imamo

Mx =P X Odnosno

Mx' = Px

dbk je a = O i b = l (duljina nosaa). U~tenje (e) u (b) daje traeni progib f zadanog nosaa:

l' l

l J iJ (P' x') l j J= 2EI ~dx=2EJ 2Px'dx = o o

Izrauna j

).

2.

Sx+Z1inx

.i!_ J (xy + y 3 - 4x' + 2x - 3y + 7) dy dx

3%1 -Scos x +Z

.. J dx (x + a1) 1 o.

.. J dx polazei od x + a o

[ l X J X ]

. 2ay:i" src tg Va l 2a x + a

l

P lx>! Pl Er r -rn

o-

3. Integriranje integrala po parametru

Neka je zadan integral, koji ovisi o parametru ot:

b

F(ot} = J! (x, ot) dx IM'i emu pretpostavimo,. da su granice integra~iie a i b konstaD:tne.

286

(e)

Tramno integral toga integ~ po parametru i to od , do 1

t. j. traim6

cr" jj .. &

J F ()th= J [j' l (x, )dx] th= J do; J l (x, )dx t~1 cr, 4 a "

Dobili smo dvostruki integral uZet po podruju ravnine rx.OX. Prema pozna-tom svojstvu dvostrukih .integrala, moemo promijeniti redoslijed- i.Qtegriranjjl, t. j. naiprije integrirati po parametru ct, a zatim po x.

'l

... b ...

J F (IX} do; = J dx J f (x, ) da. (146) ., 41- o-,

To znai: Integral po parametru oe integrala s konstantnim granicama inte-gracije jednak je integralu, koji ima zadane konstantne granice integracije, a kao podintegralnu funkciju zadani integral s param~tarskim. granicama integracije.

Kako vidimo, to je pravilo slino Leibwzovom pravilu o deriviranju pod znakom integrala, pa moemo openito kazati:

Da se derivira ili integrira po parametru integral s konstantnim granicama integracije, potrebno je primijeniti te operacije na podintegralriu funkciju.

Integriranjem pod znakom integrala, kao i deriviranjem, sluimo se za izraunavanje nepravih integrala, kad drugi naini ne vode cilju. Na pr. na taj se nain dokazuje, da je

oo

f sinxdx- 1t -x- -T o

7. EGZAKTNI DIFERENCIJAL! I NJIHOVO INTEGRIRANJE

L Treba rijeiti pitanje: uz koji uvjet predouje linearni diferencijalni izraz

P(x, y) dx+ Q(x, y)dy

gdje su P(x, y) i Q(x, y) neprekinute funkcije s neprekinuti.nl parcijalnim deri-vacijama u nekom podruju ravnine XY, totalni diferencijal neke funkcije u = = u(x, y) i kakva je ta fUnkcija u?

Ako postoji takva funkcija u= u(x, y), za koji ie Pdx + Qdy =du, tada se-izraz Pdx + Qdy zove egzaktni diferencijal.

Pretpostavimo, da je P(x, y)dx + Q(x, y)dy egzaktni diferencijal, t. _j. to-talni diferencijal Reke funkcije u = u( x, y):

ou c>u P dx+ Qdy =du =e= -dx+- dy . ox ay '

287

~z te jednadbe slijedi;

Q= du dy

Deriviraju~i prvu jednakost po y, a drugu po x, dobijemo:

Kako je

iJP o'u . iJy =: ~X iJy

iJQ - ou ox - iJyiJx

ou o'u iJxoy = oyox

(a)

imamo oP oQ ay= ox.

(b)

To je nuni uvjet, da izraz Pdx + Qdy predouje totalni diferencijal neke funkcije od (X> y). To znai: ako je diferenCijalni izraz P dx + Qdy totalni diferen-cijal neke funkcije u= u(x, y), tada funkcije p i Q zadovoljavaju uvjet (b), ili,. ako funkcije P i Q taj uvjet ne zadovoljavaju, tadane postoji funkcije, iji bi totalni diferencijal bio Pdx + Qdy.

Pokaimo sada, da je taj uvjet i dovoljan, t. j. dokaimo:

ako je uvjet. ~p~ ~Q tspunjen, tada diferencijalni izraz Pdx -f- Qdy predOuje uy ux . .

(totalni diferencijal neke funkcije u(x, y). Dokaz provedimo tako, da uz pretpo-

stavku uvjeta ~: ,;:;, ~~ izvedemo funkciju u( x, y) t\lk,vu, da je du= P dx+ Qdy. Iz (a) vidimo, da traena funkcija u(x, y) mora zadovoljavati jednadbe

ou ox =P(x,y)

. ~ou . t - = Q(x, y)

oy (e)

Ako postoji bar jedna takva funkcija u(x, y), koja zadovoljava te jednadbe, :tada postoji beskonano mnogo takvih funkcija, koje se meusobno razlikuju samo za konstantu, jer bi ta konstanta otpala pri deriviranju tih funkcija po x i po y. Odredimo onu funkciju u(x,y), koja bi u nekoj unaprijed zadanoj toki, na pr. ":aki (x., y.), bila jednaka nuli.

Iz prve jednadbe (e) slijedi, da je

iJu= P(x, y) ox

Smatramo li y nekim. parametrom, tu jednakost moemo napisati u obliku:

du= P(x, y)dx

Integrirajmo sada taj izraz po x od x. do x uz vrsti paramt:tar y: . u (x,y) = /P (x,y) dx+

Vidimo, da smo mjesto- konstante integracije, dobili bilo koju. tunkciju q> parametra y, jer ta funkcija otpada pri parciialn9m deriviranju4u po. x" budui da je konstanta obzirom na x

Funkciju cp(y) odredimo iz (d) tako,~ taj integral 'deriviramo po Leibnizovu pravilu po parametru y:

X X

011 =~JP rx,yJ tk+ drp(yJ =prema (I44a) =J o.P dx+ dr.p(y) ay oy dy ay dy

a kako je prema (e) dobijemo odatle

Q( ) - s"oQd + dr.p(y) x,y - dX x dy ...

Raunajui ~Q smatramo, da je y = const., ~Q je dakle funkcija od samoga vX vX

x,a budui 'da su integrilJlllje .i derivJranje inverzne operacije;~ dobijemo:

Q {x,y} =IQ (x,y{+ d~:) = Q {x,y)- Q (x.>y) + d~:) ...

Odatle

dr.p(y) = Q (x ,y} dy o

ili drp(y} = Q(x0 , y)dy

I megriramo od Y do y,- dodavi konstantu integracije e:

. . y

r.p(y) =J Q (x.,y)dy+ e' Yo

Uvrtenje u (d) daje traenu primitivnu funkciju:

% y .

u (x,y) = J p (x,y) dx+ J Q (x.,'y) d!+ e (e) Yo

Tu su X0 , Yo konstante po vofji. Njihove vrijednosti odabiramo tako, da inte-griranje.bude to jednostavnij~, .. s#toga se razloga obino uzima x. =O i y0 ~ 0..

19 B. Apsen: Repetitol'!J ville matematike ~ Dio m. 289

T . d k d oP oQ ud e d J" rme smo o azal.l, a Je UVJet ~ = - Olte samo n an, v 1 ovo 1an. u.v ox pa moemo zakljuiti:

Da linearni diferencijalni izraz J->(x, y)dx + Q(x, y}dy predouje totalni diferencijal du neke funkcije u= u(x,y), t. j. da bude egzaktni diferencijal, nuno j e i dpvoJjno, da funkcije P(x,y) i Q(x, y) zad~ vnljavaju uvjet:

ili (i47)

Taj uvjet zove se uvjet integrabilnosti za diferencijalni izraz Pdx + Qdy. jer samo uz taj uvjet moemo izraunati

jPdx + Qdy

Obzirom na (e) imamo u tom. sluaju:

J P (x,y) dx+ Q (x, y) dy = J du (x, y) =u (x, y)= (148)

. ) =J p (x,y) dx+ J Q (x.,y) dy +e l' o

gdje su x0 i Y neke konstante.

Primjeri

Pokai, da su diferencijalni izrazi,: koji slijede, egzaktni diferencijali i izrau naj pripadne. primitivne funkcije:

290

l. (20x1 - 21 x'y + 2y)dx + (-7 x' + 2x + 3)dy p o.

Prema (14 7):

~-~= -2b' +2-C-21x' + 2) =O. ay ok

Zadani izr!lz. je egzaktni diferencijal l

'!'rema (148):

u (x, y) = J (20x',- 2lx1y + 2y) dx + e~ 7x' + 2x + 3) dy-,

= J

pri raunanju prvog integrala je y = const., jer integtirnmo samo po x, takoer su.. i Yo, kon-stante

" = l sx- y. 7x3 + 2yx l+ ... )'

+ J - 7x03y + 2xoY + 3y j + e = 5x'- 7x1 y + 2xy- Sx04 + 7x01y ~ 2xoY-~ .

- 7x113y + 2x0y + 3y + 1x03Yo- 2x,y.- 3yn + e = Sx'- 7x1y + 2fJI + 3y-- Sx0 4 + 7xo'y~- 2x0 y 0 - 3y0 + e = 5x4 - 7x y + 2xy + 3y + e,

G,

Vaina primjedba

Iz naeg primjera vidimn, da se nakon uvrtenja granica integracije u rezultatu ukidaju svi mjeani lanovi, t. j. lanovi, koji se sastoje od' faktora s x0 i y bez indeksa, dok su lanovi s x0 i Yo konstante pa ih spajamo sa G u jednu konstantu C1 Odatle slijedi jednostavno pravilo za integriranje egzaktnog diferencijala prema formuli (148):

granice Integracije se ne uvrtavaju, a pri raunanju drugog lntegrala izostavljaju se svi lanovi s x .

To pravilo odgovara u mnogtm sluajevima vrijednostima x. = O i y. = O. Rijeimo sada na~. primjerAprema_mm jednostavnom. pravilu:.

" y

u(x,y)= fc2or~2r~y.+ 2.yldx + J(-1xo"+2xo+ 3)dy+C~ ..

2.

.. 5x' - 7x"y + 2xy + 3y + e

xdy-ydx :x + y

Napiavlii taj IZraz u oblikw

___ Y __ dx + X d x"+y x+:v'Y -.,-. -p v

ltaiH>&ffio prema (14 7) :

iJP (x + y') l - 2y2 ily = - (x' + y')'

iJQ (x + y') l - 2x' -x + y ex + y")' Tx= (x + y")

x'-y2 (x + y')'

oP = oQ , dakle zadani je izraz egzaktni diferencijal. ily M .

:&Dl

Prema (148):

3.

~

u(x,y) = ----dx+ ---dy =- --.--dx+ 'J y X . J y x 2 + y' x + y' x + y' ..

y X

+ r--x_._ ay+ e= -J--y--dx +o+ e= x. + y' x + y' . y,

X

J dx .+ e = - y o _!_arc tg ..:.. + e = -arc rg -=- + e = - Y . ". + v Y Y Y .. xdy-y dx o p

jp= -J ay

cl O -=l

""

ili

Dobijemo:

iJP o'u iJy - iJxiJy

oQ iJ'u ox = oyox

iJR iJ'u ax-- ozox

Iz tih jednakosti slijedi:

oP oQ oP aR iJy- iJx oz- ox

aQ _ iJP = 0 ox ay

aR_ oQ = 0 ily oz

iJP eru oz = iJxoz

oR o'u py = iJzoy

oQ aR iJz- oy

oP_ iJR =O oz ox

To je nuni uvjet, da je Pdx + Qdy + Rdz egzaktni diferencijal.

(149)

Vidimo, da su se uvjetu sluaja u ravnim pridruila sada jo dva uvjeta.

Moe se pokazati na nain slini onome kod sluaja u ravnini, da je taj uvjet dovoljan i da je u tom sluaju

J P (x,y, z) dx+ Q (x,y, z) dy + R (x,y, z) dz = J du= u (x,y, z) = (150)

X y

=j P (x,y,z) dx+ J Q (x0,y, z) d>:+ jR (x.,y., z) dz +G x, y, ..

gdje su x,, y. 1 Z 0 bilo koje konstante. Pri integriranju pridravat emo se istog pravila, koje smo postavili za ravni

sluaj

Granice integracije ne uvrravamo, a pri raunanju drugog i treeg integrala izostavljamo mjeanc lanove, t. j. lanove, koji sadre x., yi z odnosno x., Yo i z.

Uvjet (149) je uvjet integrabilnosti :;;a prostorni sluaj.

Primjeri

Pokai, da su linearni diferencijalni izrazi, koji slijede, egzaktni diferencijali i odredi pripadne primitivne funkcije. ,

J. ...!._dx-1..dy + Jy-x dz z z z 11

l' O R

293

294

PrC!!M _ (149):

~=0 dy

oO= 0 , dx

oR l Tx= --;.-'

3 dR 3 z '; dY = z' , ...

dakle dP dQ Ty=~

dakle P ~R

Tz=Tx"

dakle

Zadani izraz je eg1:akttti.~ diferencijal! Prema (l 50):

Prema (149):

., ll - J l J 3 J 3y0 - x0 U(x,y,z) = -dx-- -dy + --.-+e= z z z-

y, z.

yz dx + x z'dy - xy J< x~y~ + z 2

J'2 xz xy dz x'y' + z'dx_+,x'y' + zdy- x'y' +z' --p--' ---o- -r-

dP (x' y' + z') z - yz 2x'y d; = (x' y' + z')'

~Q (X0 y' + z) Z "'-.XZ . 2xy2 --;;;- = (x' y' + z')'

z'- x' y' z (x' y' + z')'

z 8 -x2 y"z

ex y' + z')'

Na isti nain dobijemo;

Vidimo, da je

Prema (ISOl;

i!P x'y' -y z -;);" = (x' y' + z')'

ilQ . x' y'- xz Tz = (x' y' + z')'

oR ox

x' y'-yz' (x' y' +z')'

i!R x3 y' -xz' dY = (x' y' + z')'

y z

) ( yz dx+ l x. z d -J XoYo d +e,;,. u (x, y, z = J x'y' + z' x0

' y' + z~ y_ Xo1 Yo1 + z' ~ yf z.

z yz ; dx =7 x + {;)'

+C= ..!....arctg x +C-z z y - y y.

Izvedi isto za

~ arctg {~) +C

xdx +ydy + zdz Vx + y 1 + z [u =Vx +y" + .a

1 + CJ

8. EGZAKTNE DIFERENCIJALNE JEDNADZBE.

EULEROV MUL TIPLIKATOR

To su diferencijalne jednadbe, ija je-lijeva strana egzaktni diferencijal; t. j . totalni diferencijal neke funkcije u= u(x, y}.Prema tome egzaktna diferencijalna jednadba _ima_openito oblik

P(x, y)dx + Q(x, y)dy =O

Pri rjeavanju tih jednadbi razlikujemo dva sluaja:

Prvi sluaj

Lijeva strana zadane diferencijalne jednadbe u tom- obliku, kako je zadana. ve je egzaktni diferencijal, t. j. ispunjenje uvjet ( 147):

U tom sluaju rjeavanje diferencijalne. jednadbe svodi se na primjenu for-mule (148), koju izjednaujemo s nulom.

Primjeri

Rijei diferencijalne jednadbe

l. eYdx + (x?-2y)dy.=

ili

ili

Prema (148) :

2:.

Prema (147) :.

Prema (148)

" y f e/ dx +J (x.,e"- 2y) ay+ e.= o x. ~.

X y

e" f dx-2 J ydy +e =0 x, y,

X eli - y 1 + e = 0 , , ... ope rjeenje,

3.x' -y 2xdx ---dy=--

y y'

2x y- 3x -dx+ ---dy =O y y'

clQ = _!_ (- 6x)' = - 6x clx ;y' ' ~

" y

~Jxdx + J(.!._:J:io') dy+ e= o y' . y y' . ~ y,

x l ---+e= o l ;y ;y ;y

x - y 1 + ey = O ope rjeenje.

Napiemo li zadanu"diferencijalnu jednadbu u obliku

d;y 2xy' dx = y (3x'- y 1)

2xy y' = 3x1 y

dobijemo homogenu diferencijalnu jednadbu prvog reda, pa je moemo rije!iti 'i :na :!lal.'in na-veden u dijelu Il. Repetitorija JO, 2 . d).

296

Meutim, rJeavaju.;i tu diferencijainu jednadbu kao cg:.aktnu bre .i~ jednostavnije ola-zimo do opeg rjeenja.

3.

ili

Prema (147):

Prema ( 148):

4.

ili

Odatle

Prema (147):.

~--.J:.!."0~-+ dx =o x' + y', x' + y'

( J - _Y_) dx+ _x_d = O ~ + y' . x' + y' . !>' .

oP x'-y' 6'Y = - (x' + y')"

t)Q x.-y d; = - (x' +tY'iT

X .Y

!( I __ Y_}dx + J-x''-dy + C_""'-0 x' + y' x~ + y' x, Yo

X .

J dx x-y ---+ C= O x + y' x,

x-arc tg ~ + C = O epe rjeenj;;. y

y' y;x;Y-J

xY ln x

dy yxy-I

dx=- xY ln x

yxY-I dx;. xY lnxdy =O

~= yxY- 1 /nx +xY-l oy

~ = xY _!_ + ln X y xY- J = Xy- J + y Xy -l bl X t)x x

Pre::r,a (148):

" " J yx7 - 1 dx+ J x."lnx0 dy+C-O ~., y~

x". y -+ O+C= O y .

. /Xy + C = 0 .. " Ope rjeenje,

29'7

Rijei egzaktne diferencijalne jednadbe:

1.. p- x' ~ y'} dx + ( x + x ~ y' ) dy ='o ,[xy-.arctgf +e= oJ

2. lx' dx+ 2y'dy-xy"dx-x'ydy =O

{x' - x' y' + y' + e = O)

3.

' [x-arc tg f ~ e= o] Drugi sluaj

' Pretpostavimo, da lijeva strana diferencijalne jednadbe oblika

P(x, y)dx + Q(x, y}dy =O (a)

.nije egzaktni dtfercnci)al, t. j.

U tom sluaju ne moemo integrirati diferencijalnu j~dnadbu, jer ne postoji funkciju, ciji bi totalni diferencijal bio jednak lijevoj strani jednadbe, pa moramo najprije pretvoriti izraz u lijevoj strani jednadbe u egzaktni diferencijal i tek zatim integrirati. U tu svrhu neba odrediti t. zv. E ul erov multiplikator. To je neka funkcija f.!-(X, y), koJom mnoimo obje strane diferencijalne jednadbe (od toga sc ope rjeenje jednadbe ne mijC!Ilja), pa tako pretvaramo lijevu stranu jednadbe u egzaktni diferencijal, koji moemo zatim integrirati.

Pomnoimo, dakle jednadbu (a) nekom funkcijom fl(X, y). Dobijemo:

P !L dx + Q fL dy = O

Da lijeva strana te dobivene jednadbe bude egzaktni diferencijal, nuno je i"dovoljno, da bude ispunjen uvjet (147), t. i mora biti

298

a kako je - o/nu l d!J. ~=--ox ri. ox

imamo

(151)

Jasno je, da e svaka funkcija p.(x~ y), koja zadovoljava jednadbu (151), biti 'Eulerov multiplikator za zadanu diferencijalnu jednadbu (a). Jednadba (151) je dakle diferencijalna jednadba Eulerovih multiplikatora jednadbe (a) i to parcijalna diferencijalna jednadba, jer je traeni multiplikator funkcija dviju promjenljivih x i y~ pa u diferencijalnu jednadbu ulaze parcijalne derivacijj!. Teorija parcijalnih diferencijalnih jednadbi dokazuje, da jednadbil (151) ima beskonano mnogo rjeenja, dakle naa diferencijalna jednadba (a) ima uv1jek Eulerov multiplikator.

Meutim, praktiki nismo nita napredovali u rjeavanju zadane diferencijalne jednadbe (a), jer rjeavanje jednadbe (151) nikako nije lake od rjeavanja po-lazne jednadbe, pa se moramo ograniiti samo posebnim sluajevima odreivanja Eulerova ,nultiplikatora !L( x, y).

l. Pretpostavimo, da je multiplikator IL funkcija samo od x: !L= !J.(X). Tada u (151)

jer u fl. ne ulazi y, pa jednadba (151) prima jednostavniji oblik:

To je obina diferencijalna jednadba, koju moemo lako )ntegrirati. Slino imamo, ako je IL funkcija samo od y, t. j. IL= !L(y). Tada je

Oln!L =O, ox a

pa jednadba (151) prima oblile

din !L = _!_ (oQ _ oP) -d.v P ox oy

(152).

(l52a)

299

Primjeri

,l~ (2xy-y)dx + (yt + X+ y) dy = 0 Prema:(1~7):

~- r}Q ";" (4xy-t)-t = 4xy-2 r}y r}x

~- iJO + o ' aakle lijeva. strami zadane diferencijalne jednadbe nije egzaktni dif~ r}y,~ ox

\fretpostavimo, da je ." = ." (x). Da se uvjerimo da to stoji, raunamo prema (l~l'l..;.

d ln fL = _l ( iJP _ iJO} = 4 xy- 2 dx o oy OX . y' + X + y

' Vidimo, da fL nije funkcija samo od x, jer u dobiveni izraz ulazi i y.

Uzmimo sada, da je !l= fL(y), pa raunamo prema (152a):

dln~.t=__!_(oO_iJP) = l (2 _ 4 xy)=-2(2xy-l)=_!_ dy p r}:.; oy 2xy'-y y(2xy-l). y

Vidimo;' da je fL faktino funkcija samo od y. Integriramo dobivenu jednadbu:

d ln fl. 2 --=--idy

dy y

dy ' din-t~-= -2-y

ln fL= -21ny

ln fL= lny-'

l fl. = 7 ...... Eulerov multiplikator;

Tim'rnultiplikatorom mnoimo zadanu diferencijalnu jednadbu:

l (2xy'-y) 0 dx + (y' + x + y) y

oP ,fo Kako i e sa>la - =--'-'

r}y r}x

l ' -dy=O y' .

jer je

intregnramo prema (148) jednadbu (b):

soo

,.. JIO X .

xl--+ y + lny +e= O .... ope rjdenje. y

2. (xsiny +ycosy) dx+ (.:coy-.JLsiny)dy =O,

Prema (147):

iJP iJQ . -. . . ..,.O ily -~= xcosy-yszny +.c~y-_cosy = xcos;z-ysmy ..-_..,

Neka je l.t = v.(x), tada prema (152) i (b) imamo:

din !L l {t) p iJQ} l . --=- --- = .. (xcosy-ysmy) = 1 dx Q ily dx x cos y - y sUl y --

..,.,Ile _:ovisi o y.

dln!J.=dx

ln lJ. = x

lJ. = e" . , Eulerov multiplikator.

{a) n'lnoimo s lJ. = e"

e" (x siny + y cosy)dx + e" (x cos y --:-Y siny)dy. ~O

S d . dP iJQ . .

a a Je oy = '"dx'", Jer JC

"P e . ) --:;--=e" xcosy-ysmy + cosy vY -

ilQ ( ) ' ( ' . ) Tx =e" cos y + x cosy -y s:ny e"= e" cosy + x co1y -_y_smy,

pa prema (148) ilnamo:

" y J e"(xsiny +!cosy)dx + fe"o(x.cosy~ysiny)_dy+ e= o Yo

Odatle

ili

e" (x sin y- sin y + y cos y) + e = O ope rjeenje.

Primjedba

Iz navedenog vidimo, da se diferencijalne jednadbe oblikal

'P(x, y}dx +Q(x, y}dy =O

.(a)

(b)

lako rjeavaju, .ako je lijeva strana _jednadbe egzaktni diferendjai; f} i1 ateo,; j~ ispunjen uvjet integrabilnosti

301

Meutim, ako taj uvjet nije ispunjen, moramo naJ pt! Je odrediti Eulerov-!lilultiplikator ,._a taj znamo odrediti "samo u posebnim sluajevima,. kad je multi-:>o plikator:funkcija samo od x ili samo ~od y.

Iz toga slijedi, da diferencijalne. jednadbe oblika

P{x, y)dx + Q(x, y) =O

ukoliko nije ispunjen uvjet integrabilnosti, treba u veini sluajeva rjeavati na drugi nain, izbjegavajui traenje Eulerova multiplikatora.

Tako;napr., ako su funkcije P{x,y) i Q(x,y) homogene funkcije:._istog stepena n, tada se diferencijalna jednadba dade prikazati u obliku

dy =J(~) dx x

a to:je homogena diferencijalna jednadba I. reda, koju znamo rijeiti uz supsti-

tuciju z =...!..[vidi Dio Il. 10, 2. d), Tip II.]. X.

Isto . tako znamo rijeiti separacijom promjenljivih jednadbe oblika

odnosno

dy a,x + b,y +e, dx= a,x + b,y +e,

( a,x + b,y + e,)dx - ( a,x + b,y + e,)dy = O

{vidi Dio II. lO, 2. g)).

Vanu\pfimjenu egzaktnih diferencijala nalazimo u termodinamici kod izvo--enja matem:itikog izraza za . entropiju (vidi Bonjakovi, Nauka o toplini L ~r: 63).

Rijeit;diferencijalne; jednadbe:

'f.:,Zxy~ d.i'+. (x' y 11 - J) dy = O

2. (2 +- 2x - y') d_x - 2y dy = O

4. y(l~i~~y)d.-

9. KRIVULJE U PROSTORU

1. Jednadbe prostornih krivulja

Dosada je bilo govora samo o ravnim krivuljama, t. j. o krivuljama, CIJe toke lee u jednoj ravnini. Uzmemo li tu ravninu za koordinatnu ravninu XY. glasi jednaqba te ravne .krivulje .

y = f(x) ili F(x, y) =O

Ako sve toke krivulje ne lee u jednoj ravnini, imamo prostornu krirulju, pa. je za odreivanje poloaja nienih toaka potreban prostorni koordinatni sustav XYZ.

Prostorna krivulja moe biti zadana na dva naina:

l. kao presjenica dviju zadanth ploha:

f,(x, y, z) = ()

f,(x, y, z) =O

Na pr. sustavom jednadbi

x' + y + z' = 4r'

(153)

(a)

zadana je prostorna krivulja kao presjenica kugline ploh.:, kojoj je sredite u isho-ditu a polumjer R = 2r, i uspravnog valjka:

x' + y.= 2ry ili

x' + { y - 2ry) = O ili

x' + (y- r r = r' ' kojemu je sredite osnovke u toki (0, r, 0), ' a polumjer je r (slika 148).

Uklonimo li iz jednadbi (153) jednu promjenljivu, a zatim drugu, na pr. z i x, dobit emo jednadbe

cp,(x, y) =O ( 153a)

z

Sl. 148 .

kQje predouju ortogonalne projekcije prostorne krivulje na koordinatne ravnine XY i YZ (u deskriptivnoj geometr.iji rekli bismo, da smo odredili projekcije pf.O.: dora zadanih ploha na ravnine 7t1 i rt,).

301

Prostorna krivulja moe biti dakle zadana i svojim projekcijama u dvije ko-ordinatne ravnine.

Uklonimo li, na pr., iz jednadbi (a) promienliivu x tako, da drugu jedna-dbu uvrstimo u prvu,' dobit emo

ili 2ry + ~ = 4r'

ili z' = 4r' - 2ry

z = -2r(y --,2r)

To je projekcija prodorne krivulje zadanih kugle i valjka na ravninu YZ (na 1t

1), i to parabola s vrhom u toki (2r, 0). ,

2. Praktiki se najvie sluimo parametarskom jednadbom prostorne krivulje. Do nje dolazimo promatrajui prostornu krivulju kao stazu pomine toke, t. j. kao geometrijsko mjesto svih njezinih uzastopnih poloaja u prostoru.

Gibanje toke u prostoru posve je odreeno, ako je u svaki moment t poznat poloaj toke ili, drugim rijeima, ako za svaku vrijednost t moemo izraunati koordinate x, y i z pomine toke. Na taj nain dolazimo. do jednadbe pomine toke u prostoru:

x = x(c)

y=y(t) (154)

z = z( t)

Budui da te jednadbe odreuju i srazu roke, one su Istodobno para-l!letarske jednadbe prostorne krivulje.

Uklonimo li iz jednadbi (154) parametar t, dobit emo jednadbe (153). Primijetimo jo,' da se esto parametar t ne smatra vremenom, ve mu se

-daje.znaenje neke druge veliine, koja se mijenja pri gibanju toke, na pr. kut zaokreta i t. d.

z

Sl. 149

-304

lg

Kao pnmjer izvedimo parametarsku je-dnadbu cilindrike spirale (zavojnice).

Zamislimo, da se po jednoj krunici~ koja Je presjek uspravnog valjka polumjera osnovke r, okomit na njegovu os, okree . jednoliko sa stalnom brzinom a neka toka. Istodobno se ta krunica giblje translatorno po platu valjka s konstantnom brzinom b. U tom sluaju opi-suje toka u svom dvostrukom gibanju pro stomu krivulju, koja se zove cilindrika spirala.

Na slici 149 prikazana je spirala u desnom koordinatnom sustavu obzirom na primjenu vektorske analize u teoriji prostornih krivulja.

Okree li se toka po krumc1 protiv kazaljke na satu, nastaje desna spirala ili desni vijak {kao na slici 149), u protivnom sluaju - lijevi vijak.

N e ka se u neki moment t pomina toka nalazi u toki T ( x, y, z); tada uzevi za parametar t pola~ni kut projekcije T' toke T na ravninu xy, dobijemo prema slici 149:

X= T 'COS l

y=rsint

Sto se tie aplikate z toke T, ona je jednaka visini, na koju se podigla .toka za vrijeme t', t. j.

Z=bJ' (b)

Za vrijeme t' toka je prola po krunici put AT'== a . t', a iz slike vidimo, da je Ar = r e pa je

odatle.

Uvrtenje u (b) daie

ili

gdje je

at'=rc

' r e= -t a

z=b.!...c a

a= ct

e= b!...= " r a a

Tu je 1 Qmjer staln~h brzinoa gibanja krunice po platu valjka 'i toke po toj krunici.

Prema tome x=rcosc

y=rsint (155)

z= cc

parametarska jednadba cilindrike spirale. , Kada kut t dobije vrij~dnost 2n:;toka T e se vratiti na polaznu izvodrlicu

AB valjka, pa e se dignuti na visinu

z= e 2n:

Ta visina

h= 2n:e

1:ove-se uspon vijka, pa UVTstivi u treu jednadbu sustava (155) e= 2: do-

bi)emo parametarsku jednadbu spirnle u obliku

B. A.psen: ~ vile sua~ - Dio III. 305

gdje je h = 2nc = uspon vijka.

X= T CO$!

y = rsinJ.

h z= -t 2;r

(l55a)

Rekli smo, da uklonivi iz parametarskih jednadbi prostorne krivulje,p~ametar e, dobijemo ,prostornu krivulju kao presjenicu dviju ploha.

Pokaimo to na primjeru.

Prostorna krivulja neka je zadana parametarski s

x=t+a

z= V2a(a .t)

Kako je iz prve jednadbe

e= x-a

uvrtenje te vrijednosti e u drugu i treu jednadbu daje:

y =.Va'- (x-a)'

z= V2a(2a- x)

ili

(x-a)'+ y = a (a).

z = -2a(x- Za)

Zadana je krivulja presjenica krunog i parabolikog valjka; a ortogonalne projekcije zadane prostorne kriVulje u ravninama XY i XZ su krunica i parabola.

Zbrojimo li jednadbe (a), dobit emo jednadbu kugline plohe

x" + y + z" =;= 4a

To znai: zadana prostorna krivulja lei na kugli polumjera 2a, a presje~ je kugline plohe s gore navedenim valjkastim plohama.

U daljnjem ograniit emo se na prouavan~ : proMOrnih krivulfa, ije ~u iednadbe zadane u parametarskom obliku.

306

2. Jednadba .