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Repaso sobre Geometrıa del plano y del espacio
ALGEBRA LINEAL Y MATEMATICA DISCRETA
E.T.S. I. de Telecomunicacion
Depto. de Matematica aplicada. Universidad de Malaga
Indice
1. Geometrıa del plano afın 11.1. Ecuaciones de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1. Ecuaciones vectorial, parametricas y continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2. Ecuacion punto-pendiente y ecuacion general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Posicion relativa de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. Incidencia y paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2. Perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3. Angulos y distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Geometrıa del espacio afın 62.1. Rectas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1. Paralelismo y perpendiculariad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Posicion relativa. Paralelismo y perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1. Geometrıa del plano afın
Consideremos los puntos de un plano identificados con el conjunto R2. Es decir, un punto viene
definido por dos coordenadas P (x, y) de numeros reales. Representaremos por−−→PQ al vector de origen
el punto P (p1, p2) y extremo el punto Q(q1, q2), que tendra como coordenadas
−−→PQ = (q1 − p1, q2 − p2)
que se corresponde con el punto extremo del vector libre−−→PQ movido al origen de coordenadas.
O
−−→PQ
P
Q
Ejemplo 1. El vector que une los puntos P (2, 1) y Q(4, 3) tiene por coordenadas−−→PQ = (2, 2).
Si un vector �v =−−→PX se suele escribir, a veces, X = P + �v.
Ejercicio 2. Conocido el punto A(1,−1) y el vector−−→AB = (−2, 1), calcula el punto B.
1
Ejercicio 3. Sean los puntos A(−1,−1), B(0, 2) y C(1, 1). Calcula los posibles puntos D que hacen
que uniendo por segmentos los cuatro puntos se forme un paralelogramo.
Producto escalar, distancias y angulos. Representando por �, � el producto escalar definido en R2de
la forma
�(v1, v2), (w1, w2)� = v1w1 + v2w2
Diremos que dos vectores �v, �w son ortogonales si ��v, �w� = 0.
Llamamos modulo o norma de un vector �v = (v1, v2) al numero real no negativo
��v� =���v,�v� =
�v1
2 + v22
y se define el angulo entre dos vectores a traves del coseno del siguiente modo:
cos�(�v, �w) = ��v, �w���v� ��w�
Estas definiciones vectoriales nos permite definir la distancia entre dos puntos P (p1, p2), Q(q1, q2)como la norma del vector que los une
d(P,Q) =���−−→PQ
��� =�(q1 − p1)
2 + (q2 − p2)2
Ejercicio 4. Calcula (las longitudes de) los lados y los angulos del triangulo de vertices A(0, 2),B(−1, 1) y C(2, 1).
1.1. Ecuaciones de la recta
Sabemos que, dado un vector �v �= �0 de un espacio vectorial, el subespacio vectorial de dimension 1generado por dicho vector, recibe el nombre de recta vectorial y se representa en forma parametrica
como
�w = λ�v
1.1.1. Ecuaciones vectorial, parametricas y continua
Definimos una recta afın en el plano como la traslacion de la recta vectorial a un punto arbitrario
P (p1, p2) del plano, es decir, la recta esta formada por los puntos X(x, y) tales que−−→PX = λ�v, que se
le suele llamar ecuacion vectorial y tambien se expresa como
X = P + λ�v
donde
�v recibe el nombre de vector de direccion de la recta.
P es un punto cualquiera de la recta.
Ejemplo 5. Para calcular una ecuacion vectorial de la recta r que pasa por los puntos A(2, 1) y B(0, 5)calculamos el vector de direccion
�v =−−→AB = (−2, 4)
luego r la podemos expresar como
(x, y) = (2, 1) + λ(−2, 4)
2
La ecuacion vectorial X = P + λ�v, desarrollando sus coordenadas queda
(x, y) = (p1, p2) + λ(v1, v2)
que se puede expresar como dos ecuaciones en las que interviene el parametro λ, conocidas como
ecuaciones parametricas.
�x = p1 + λv1
y = p2 + λv2
Ejercicio 6. Encuentra las ecuaciones parametricas de la recta que determina el eje de abscisas.
Ecuacion continua. Si v1 �= 0 y v2 �= 0, eliminando el parametro λ en las ecuaciones nos queda la
ecuacion continua de la recta:
x− p1
v1=
y − p2
v2
Esta ecuacion continua tiene una expresion conveniente cuando queremos calcular la ecuacion de una
recta que pasa por dos puntos distintos conocidos A(a1, a2) y B(b1, b2). Puesto que el vector de
direccion es−−→AB = (b1 − a1, b2 − a2) = (v1, v2) nos queda:
x− a1
b1 − a1=
y − a2
b2 − a2
Ejercicio 7. Cacula la ecuacion continua de la recta r del ejemplo 5.
1.1.2. Ecuacion punto-pendiente y ecuacion general
Si una recta tiene como vector de direccion �v = (v1, v2) con v1 �= 0 se dice que tiene pendiente
m =v2
v1. La pendiente de una recta se corresponde con la tangente del angulo que forma la recta y el eje
de abscisas. En caso que el vector de direccion de la recta sea de la forma �v = (0, a) con a �= 0, se dice
que tiene pendiente infinita, m = ∞, o tambien que es una recta vertical.
Nota.- Si una recta tiene vector de direccion de la forma �v = (a, 0) con a �= 0, entonces
tiene pendiente m = 0. Estas rectas se dice que son horizontales.
A partir de la ecuacion continua, se puede despejar como y − p2 =v2
v1(x − p1), luego la ecuacion
punto-pendiente es
y − p2 = m(x− p1)
Ecuacion general o cartesiana. A partir de la ecuacion continua, pasando todos los terminos a uno
de los miembros, obtenemos
v2x− v1y + (v1p2 − v2p1) = 0 (1)
que se puede expresar como una ecuacion cartesiana, de la forma
Ax+By + C = 0
3
Observese que de esta ecuacion general se obtiene directamente:
Un vector de direccion �v = (−B,A).
Si A �= 0, la pendiente es m = −A
B.
Ejercicio 8. Calcula la ecuacion, en todas sus formas, de las dos rectas que pasan por el punto P (1, 1)y ambas forman un angulo de 60o
con el eje de ordenadas (OY).
1.2. Posicion relativa de rectas
1.2.1. Incidencia y paralelismo
Se dice que dos rectas son incidentes si tienen un (unico) punto en comun. En un plano, dos rectas
distintas no incidentes se dice que son paralelas y se representa r1 � r2. Para estudiar la incidencia de dos
rectas r1 y r2, a partir de sus ecuaciones generales planteamos el sistema lineal y sus correspondientes
matrices
r1 ≡ A1x+B1y = −C1
r2 ≡ A2x+B2y = −C2
�A =
�A1 B1
A2 B2
�A
∗ =
�A1 B1 −C1
A2 B2 −C2
�
y seran incidentes si y solo si el sistema es compatible determinado. En terminos de rango de las matrices
del sistema A y A∗se tiene:
rgA = rgA∗ = 2, las rectas son incidentes (se cortan en un unico punto).
rgA = rgA∗ = 1, las rectas son coincidentes (la misma recta).
rgA = 1 �= rgA∗ = 2, las rectas no tienen ningun punto en comun, son paralelas.
Proposicion 9. Dos rectas del plano tienen la misma pendiente si y solo si son paralelas o coincidentes.
Ejercicio 10. Un paralelogramo tiene dos de sus lados apoyados sobre las rectas �1 ≡ x − y = 1 y
�2 ≡ x+ y = 0. Ademas uno de sus vertices es A(0, 4). Calcula:
1. Ecuaciones de las rectas sobre las que se apoyan los otros dos lados.
2. Los restantes vertices.
3. El centro del paralelogramo.
Posicion relativa de tres rectas. Si consideramos tres rectas, el estudio de las matrices del sistema de
ecuaciones que forman
A∗ =
A1 B1 −C1
A2 B2 −C2
A3 B3 −C3
nos determinan cuatro posibles situaciones:
rgA = rgA∗ = 2, las tres rectas se cortan en un unico punto.
rgA = 2 �= rgA∗ = 3, las tres rectas no tienen ningun punto en comun.
4
rgA = 1 �= rgA∗ = 2, una de las rectas es paralela a las otras dos.
rgA = rgA∗ = 1, las tres rectas son coincidentes.
En cada uno de los casos anteriores, las posiciones relativas se complementan considerando todas las
rectas de dos en dos.
Ejercicio 11. Calcula la ecuacion general de la recta r1 que pasa por los puntos (0, 4) y (−2, 0) y
determina su posicion relativa junto con las siguientes dos rectas:
r2 ≡ − 2x+y
2= 2
r3 ≡ y − 2 = 2(x+ 1)
1.2.2. Perpendicularidad
Definicion 12. Decimos que dos rectas del plano son perpendiculares, r1 ⊥ r2, si sus vectores de
direccion son ortogonales.
Ejemplo 13. Las rectas x + 2y + 1 = 0 y 2x − y = 0 son perpendiculares. Efectivamente, la primera
recta tiene como vector de direccion �v = (−2, 1) y �w = (1, 2), respectivamente y ambos vectores son
ortogonales
��v, �w� = (−2) · 1 + 1 · 2 = 0
Proposicion 14. Dos rectas perpendiculares en un plano son siempre incidentes.
Ejercicio 15. Comprueba si el paralelogramo del ejercicio 10 es o no un rectangulo.
Proposicion 16. Si una recta tiene pendiente m �= 0, entonces cualquier recta perpendicular tiene por
pendiente
m⊥ =1
m
En caso que la pendiente nula m = 0, cualquier perpendicular tiene pendiente m⊥ = ∞ y viceversa.
Dada una recta r con vector de direccion �v, llamaremos vector normal de r a cualquier vector no
nulo �n ortogonal a �v, es decir ��v,�n� = 0 y �n �= �0. Es facil entender que toda recta tiene dos unicos
vectores unitarios normales.
Ejemplo 17. Si r ≡ Ax + By + C = 0 es la ecuacion de una recta, entonces el vector �n = (A,B) es
un vector normal a r. Por tanto, �n es el vector de direccion de cualquier recta perpendicular.
Ası las rectas de ecuacion s ≡ −Bx + Ay +D = 0 cumplen r ⊥ s. Si queremos calcular cual de
ellas pasa por un cierto punto P (p1, p2), unicamente tenemos que calcular el valor D sustituyendo P en
la ecuacion de s, es decir,
D = Bp1 −Ap2
5
1.2.3. Angulos y distancias
En general, el angulo formado por dos rectas incidentes es el menor de los angulos que forman sus
vectores de direccion (o equivalentemente, sus vectores normales). Por tanto, si r ≡ Ax+By +C = 0y r� = A�x+B�y + C � = 0, se tiene que
cos�(r, r�) = |AA� +BB�|√A2 +B2
�A�2 +B�2
Por otro lado, la distancia de un punto P (p1, p2) a una recta r ≡ Ax + By + C = 0 se calcula
mediante la formula
d(P, r) =|Ap1 +Bp3 + C|√
A2 +B2
Ejercicio 18. Calcula el area del triangulo descrito en el ejercicio 4.
2. Geometrıa del espacio afın
Consideremos los puntos de un espacio identificados con el conjunto R3. Un punto viene definido
por tres coordenadas P (x, y.z) de numeros reales. El vector−−→PQ de origen P (p1, p2, p3) y extremo
Q(q1, q2, q3) tendra como coordenadas
−−→PQ = (q1 − p1, q2 − p2, q3 − p3)
El producto escalar en R3se define
�(v1, v2, v2), (w1, w2, w3)� = v1w1 + v2w2 + v3w3
El modulo o norma de un vector �v = (v1, v2, v3) toma la expresion
��v� = +���v,�v� =
�v1
2 + v22 + v3
2
que nos permite definir la distancia entre dos puntos P (p1, p2, p3), Q(q1, q2, q3) como la norma del
vector que los une
d(P,Q) =���−−→PQ
��� =�
(q1 − p1)2 + (q2 − p2)
2 + (q3 − p3)2
Base orientada del espacio. Decimos que una base {�v1,�v2,�v3} de R3esta orientada positivamente
si y solo si
det(�v1,�v2,�v3) > 0
En caso de determinante negativo se dice que la base esta orientada negativamente.
Existen reglas mnemotecnicas para reconocer una base positivamente orientada, por ejemplo:
Regla del sacachorcos Regla de la mano derecha
Ejemplo 19. La base canonica de R3 {�ı = (1, 0, 0),� = (0, 1, 0),�k = (0, 0, 1)} es una base orientada
positivamente.
6
Producto vectorial. Dados dos vectores �v = (v1, v2, v3), �w = (w1, w2, w3) del espacio R3, se define
el producto vectorial �v ∧ �w como un nuevo vector de R3que verifica:
�v ∧ �w es ortogonal a ambos vectores,
Si �v, �w son independientes, {�v, �w,�v ∧ �w} es una base orientada positivamente.
��v ∧ �w� = ��v� ��w� sen�(�v, �w). Es decir, su modulo el area del paralelogramo que definen �v y �w.
Analıticamente el producto vectorial se calcula del siguiente modo:
�v ∧ �w =
������
�ı � �k
v1 v2 v3
w1 w2 w3
������= (v2w3 − v3w2, v3w1 − v1w3, v1w2 − v2w1)
Ejercicio 20. Calcula los dos unicos vectores unitarios ortogonales a los vectores (1, 1, 1) y (−2, 1, 0).
Producto mixto. Definimos el producto mixto de tres vectores �u, �v y �w como
[�u,�v, �w] = ��u,�v ∧ �w� = det(�u,�v, �w) =
������
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
������
El valor absoluto de este producto nos devuelve el volumen del paralelepıpedo que forman los tres
vectores.
2.1. Rectas en el espacio
La recta afın en el espacio que pasa por un punto P (p1, p2, p3) y tiene por direccion el vector
�v = (v1, v2, v3), esta formada por los puntos X(x, y, z) tales que−−→PX = λ�v (ecuacion vectorial) que
tambien se expresa
X = P + λ�v
de la que obtenemos las ecuaciones parametricas
x = p1 + λv1
y = p2 + λv2
z = p3 + λv3
despejando λ de cada ecuacion e igualando tenemos las siguientes ecuaciones
x− p1
v1=
y − p2
v2=
z − p3
v3
Observese que las ecuaciones parametricas pueden ser consideradas como las soluciones de un sis-
tema de ecuaciones compatible indeterminado de la forma
Ax+By + Cz +D = 0A�x+B�y + C �z +D� = 0
�
donde rg
�A B C
A� B� C �
�= 2, que determinan las ecuaciones cartesianas de una recta en el espacio.
Ejercicio 21. Encuentra las ecuaciones anteriormente descritas de la recta que pasa por los puntos
P (1, 1, 1) y Q(−2, 1, 0).
7
2.1.1. Paralelismo y perpendiculariad
Al igual que en el plano, decimos que dos rectas del espacio son paralelas, r1 � r2, si sus vectores
de direccion son linealmente dependientes; son perpendiculares, r1 ⊥ r2, si sus vectores de direccion
son ortogonales, y son incidentes si tienen un unico punto en comun. Dos rectas paralelas iguales son
coincidentes. En el espacio y en el plano dos rectas paralelas (y no coincidentes) no tienen ningun punto
en comun, en cambio en el espacio, al contrario que en el plano, dos rectas perpendiculares no tienen
porque ser incidentes.
Ejercicio 22. Da un ejemplo de dos rectas perpendiculares que no se corten en ningun punto. Expresa
las ecuaciones cartesianas de ambas.
Ejemplo 23. Veamos si la recta r1 con vector de direccion �v1 = (2, 0, 1) y que pasa por el punto
(−1, 0, 1) y la recta r2 de ecuaciones parametricas
x = 1− λ
y = 2λ
z = 2
tienen algun punto en comun.
SOLUCION: Calculemos las ecuaciones parametricas de r1 que son
x = −1 + 2λ
y = 0 + 0λ
z = 1 + 1λ
Un punto que pertenezca a ambas rectas debe verficar ambas ecuaciones, de aquı que sea solucion del
siguiente sistema
1− s = −1 + 2t2s = 0 + 0t2 = 1 + t
(¡Ojo! el valor del parametro para el mis-
mo punto en cada recta no es el mismo)
Puesto que este sistema es claramente incompatible, se deduce que no tienen ningun punto en comun.
Nota. Dos rectas no paralelas que no son incidentes se dice que se cruzan. El ejemplo
anterior nos muestra dos de estas rectas.
2.2. Planos en el espacio
Se define un plano afın como la traslacion a un punto de un plano vectorial (subespacio vectorial
de dimension 2). Por tanto, dados dos vectores �v, �w linealmente independientes, llamados vectoresdirectores y un punto P del espacio, la ecuacion vectorial de un plano es
X = P + λ�v + µ�w
de donde se obtiene las ecuaciones parametricas
x = p1 + λv1 + µw1
y = p2 + λv2 + µw2
z = p3 + λv3 + µw3
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que son la solucion de una ecuacion con tres incognitas, llamada ecuacion general o cartesiana del
plano
Ax+By + Cz +D = 0
Ejercicio 24. Calcula las ecuaciones descritas del plano que pasa por el punto P (0,−1, 2) con vectores
de direccion �v = (0, 3, 1) y �w = (0,−2, 2).
Vector normal al plano. Cualquier vector−−→PQ formado por dos puntos cualesquiera del plano π, es
una combinacion lineal de los vectores directores. Llamamos vector normal �n al plano π a cualquier
vector ortogonal a todos los vectores formados con puntos del plano.
Ejemplo 25. Si �v, �w son dos vectores directores, entonces �v ∧ �w es un vector normal del plano.
Ası si �n es un vector normal al plano y P es un punto, podemos dar la ecuacion de cualquier punto
mediante
��n,
−−→PX
�= 0
que recibe el nombre de ecuacion normal del plano.
Proposicion 26. Un plano de ecuacion general Ax+By + Cz +D = 0 tiene por vector normal a
�n = (A,B,C)
Demostracion. Si P (p1, p2, p3) y Q(q1, q2, q3) son dos puntos del plano, entonces
�(A,B,C),
−−→PQ
�= A(q1 − p1) +B(q2 − p2) + C(q3 − p3) =
= (Aq1 +Bq2 + Cq3)− (Ap1 +Bp2 + Cp3) = −D +D = 0
luego (A,B,C) ⊥ −−→PQ ⇒ �n = (A,B,C).
Ejemplo 27. Si un plano tiene como vector normal �n = (1, 2, 3), entonces tiene por ecuacion general
x+ 2y + 3z +D = 0
por tanto, si damos un punto P (p1, p2, p3) cualquiera del plano, podemos calcular D con mas que
sustituir P en la ecuacion,
−D = p1 + 2p2 + 3p3
Lo anterior nos puede servir para encontrar la ecuacion del plano que determinan tres puntos noalineados.
Ejemplo 28. Ecuacion determinada por los puntos A(1, 0, 1), B(0, 1, 1) y C(1, 1, 0).
SOLUCION: El producto vectorial nos da un vector normal
�n =−−→AB ∧ −→
AC =
������
�ı � �k
−1 1 00 1 −1
������= (−1,−1,−1)
Podemos cambiar el sentido del vector normal (por conveniencia con el signo), luego el plano buscado
tendra como ecuacion x+ y+ z+D = 0 y sustituyendo cualquiera de los puntos conocidos obtenemos
D = −2, luego el plano buscado es x+ y + z = 2 .
9
2.3. Posicion relativa. Paralelismo y perpendicularidad
Dos planos π1 t π2 son dos planos del espacio el sistema de ecuaciones determinado por sus ecua-
ciones generales
Ax+By + Cz +D = 0A�x+B�y + C �z +D� = 0
�
nos determina la posicion relativa de ambos planos. Si es incompatible, se dicen que los planos son
paralelos π1 � π2. En caso de ser compatible, pueden ser coincidentes π1 = π2 o se cortan en la recta
que tiene a ambos planos como ecuacion cartesiana.
Proposicion 29. Dos planos paralelos tienen los mismos vectores directores. Si, ademas, tienen algun
punto en comun, entonces son coincidentes.
Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son ortogonales. Es facil probar que dos
planos perpendiculares se cortan en una recta. Se dice que una recta es perpendicular a un plano,
r ⊥ π, si cualquier vector de direccion de la recta es un vector normal al plano. Tambien es facil probar
que una recta perperdicular a un plano “lo toca” en un unico punto.
Ejercicio 30. Encuentra la ecuacion general del plano π que contiene a la recta r ≡ (x, y, z) =(1, 1,−1) + λ(0, 1, 2) y contiene al punto (1, 2, 0).
Ejercicio 31. Encuentra un plano perpendicular al plano π del ejercicio 30 anterior y que contenga a
la mencionada recta r.
Dejamos como ejercicios el estudio de posiciones relativos de una recta y un plano, de tres planos,
de dos rectas y un plano, etc.
Ejercicio 32. Encuentra una recta perpendicular al plano x− y = 1 en el punto (2, 1, 0).
Angulo entre planos Se define el angulo entre dos planos como el menor de los angulos formados por
sus vectores normales. es decir
cos �(π1,π2) =���cos �(�n1,�n2)
���
Por tanto, so los planos estan expresados en su ecuacion general
cos �(π1,π2) = |AA�+BB�+CC�|√A2+B2+C2
√A�2+B�2+C�2
Ejercicio 33. Aplica la formula anterior para dos planos perpendiculares y comprueba que forman un
angulo de π/2 radianes. ¿Que angulo forman dos planos paralelos?
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