27
ˆ a l Q l Int. J. Number Theory 2013.09:517-543. Downloaded from www.worldscientific.com by "UNIV OF MINNESOTA, TWIN CITIES" on 05/17/13. For personal use only.

RÉPARTITION GALOISIENNE D'UNE CLASSE D'ISOGÉNIE DE COURBES ELLIPTIQUES

Embed Size (px)

Citation preview

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

������������� ����� �� � ��� ���������� �� ��� � ������ ������� © !���" # �����$ %���&���' (� )���*+�, �������-#����������������

����������� ��������� � ��� ��� � ��������� ������ ��������

.+*+/%01 .�(02.*

������ ������� � ���� �� �a����� ����������� � ������� ����� ����� ����

������ �����!�������� �"

.� ��3�" �4 5�� � ����2 �)��" �� �� ����

%���&��" �� ��3� ��� ����

*��& �� ���� ��� �� ����� 6� ��& ������& &�& 7����& "�& ��3������& �"�����& �&&� �8&9 "�& ����& ����)��6�& � )��:�& ���� �������������� �����# 3������ "��& �� �$������ � ;���" �� &;86�"�&������� "��& �� ���� �"����� 3��& �� )���������8 ��)��<����6�� /� "8 ��&������� ��)�&� &� "�& ��' ���& "� ��8���� ��'�"�6�� ���� ��� ���� �%� � ���� � �� =2� 1&>�� �� 0� +�� 1�'�"� �������� )���� �� �6�"�&���������� 0� >� )����&� &"���� '��( )(��� *(���� ����� ����?� �?���?�@�� ���&� 6� &��� �� �%� � � ;���" ���� � * =�<%� #����� �+���� l,���� ����������� ���&������� ���� �!� 2� A��B� ��� ��C D��>� ��?4�E %��)��8�8& 7����&�����& "�& )����&";��"�� $�� "�& ����& ����)��6�&� ����� ���� ����� ������ �������@ "��& �� �& �F ��&��3������& �"�����& ��&�"8�8& &��� ��'8���6�& &� Q� �� "�& �8&����& "� 7� #�� ��"��& �� �& ����& ��"��� =����������� �� �� �������� '��( �- ���������� ����,������ %��� �����& �� ��� 5���� ��� �� #� ���� �� �)�� �%��� ���� G��3��&��� %��&&�%��� ����� �� �����@�

�� ���& ���� ��� �� �& &��C� ���� 7����& �����& �� ��3������& �&&� ����" C��� ���,����" ���.�� ���"���� � )��: ����)�� �3�& �6�"�&������ �� ��� ��&&� �� �"<��� �3� ��C��"& ��� ��)������ )���������� ��&��� ��� )���� �& ��&�" �� ��' ���&��� ��'�"� ������� �&)� ����� ����;� ���� �� �������� /�.� � �� =2� 1&>�� ��" 0�+�� 1�'�"� �������� )���� �� �6�"�&�������� �� 0� >� )����&� &"���� '��( )(��� *(���� ����� ����?� �?���?�@�� �& C��� �& �� *;� ��� ���" ���� =�<%� #������+���� l,���� ����������� ��� &������� ���� �!� 2� A��B� ��� ��C D��>� ��?4�E%��)��8�8& 7����&�����& "�& )����& ";��"�� $�� "�& ����& ����)��6�&� ����� ���� ����� ������ �������@ �� �&� �� ��'����� ��3������&� ��" �� 7� #�� ��;& C��> �� �������& ��"��� �&� =����������� �� �� �������� '��( �- ���������� ����������%��� �����& �� ��� 5���� ��� �� #� ���� �� �)�� �%��� ���� G��3��&��� %��&&� %��� �<���� �� �����@�

0(.���, (����& ����)��6�&E 86��8)��������E 86�"�&��������E ��&&� ";�&�'8���E ���� �"�����E 3���8�8 "� #�� ��E � �'� �3���� "� #����E �"��& "� ����E '��)�&����� 8��6�&E �8&��: ����� 8��6�&E )����& "� 0� >�E ��8��H � "� .������

5���� ��� & #�B� � (��&&�$ ����� ����, ��I?�� ��2��� ��J��� ��7��� ��7��

���

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

��4 � ������

�� ������������

������ Γ �� ������ ������� Γ(1) ���� ��� !� SL(2,Z) "#� ��� $����� {+Id;−Id}%�� &���"� #& � ' &#�$(� "#� (���&�#"( �� ��� �� ������� �� ����� H := {z ∈C | �(z) > 0}

±(

a b

c d

)#""� ��� τ ���

a · τ + b

c · τ + d.

)� �* ��+����� ' �*��"#$� ���� ��� Γ\H ��� �*�� ��� � �#����������� !� �*�� �������$���� !� ���,#$� !� - ��#�� ,# �#�� !� �*#""� $#� �� H → Γ\H �� ���.������(������"(� �#� /+ #��!����� !�� !��0 "� ��� ��� ���� �# $�#��� !� i �� $���� !� �#�#$ �� $�� ��� !� �*�� �+ (1 + i

√3)/2%

�� ���.������ �� !+$� � # �� �# ,��$� �� ��!��# �� j ��� H ��� !���+� "#� �#�+� � !� 1#����� ' $��2$ ���� ��� ��� � �� $����� 3�� 4��%5�%�6

j(τ) =1q

+ 744 + 196884 · q + · · · , �7 q = exp(2πiτ),

!� �#8�� !� $�����&��$� 1 �� q% ����� ,��$� �� ��� ��#� #��� ���� �*#$� �� !� à �� �!� � ��� ,��$� ��

Γ\H ∼→ C,

�� ��� �� � (������"( ��� ���#� ������ ' �# ����$���� !� ���,#$� !� - ���#� $���� !+�+� "�+$+!������ ��� Γ\H% 1�� "� ��� ' �#� /$#� �� !����� �� �� "�� �� ����������� $���� $��0 �� ���� � ��+� !#�� ��� /���� j = 1728 �� j = 0 ���"�$� ������%

1* ����"�+�#� �� �� �#��� �� ������ !� $������ ��� "� ���� ��� � �� $����� ' ����"� �� τ !� H �� #���$ � �� �+��#� Z+τZ !� C # �� ��� �� ���� ���� ��� C/(Z+τZ)%9 $� !��� �� $�����"��! ��� ������ �������� $��"��0� Eτ :�� � 3�; ��� ��� 5���� 5� 4�6<% 1# $�#��� !* �����"( ��� !� Eτ ��� !+���� �+� "#� �� ��!��� �������� ������� jEτ ∈ C :�� � 3�; ���%5� ���"�� � �� �%�:$<6<% �#� �0��"�� �#$����� ��� "� ��� $��"��0� E !���+� "#� �*������ �� �������� (���&=��a

E : Y 2Z = X3 + aXZ2 + bZ3, #��$ a, b ∈ C /0+�

# $���� ��!��� j(E) = 1728(4a)3/16(4a3+27b2)% >� ,# � $�� �0��"�� ��� �0(#��� , ����� $����� ��� "� ��� $��"��0� ��� �����"(� ' ��� $����� !� �8"� "�+$+!���3�; ���%5� ���"�� � �� �%�6% ?#�� �� $#� !�� $������ Eτ � �*#& � !� �*+��#� ��

Y 2Z = 4X3 + 60G4(τ)XZ2 + 140G6(τ)Z3

!��� ��� $��2$ ���� �*��� ������ ' "#�� � !�� �+� �� !*> ������ � G4 �� G6% ?� �#����� �*�� ,��� �#� �� !� E(C) �*��� ��� :�� � 3�; 4�%5� ���"�� � �� �%;6< #� ��8��!� �# ,��$� �� ℘(z; τ) !� �� �����#@ �� !� �# !+� �+� ℘′(z; τ) �� �# �#� #��� z "#�

a+� ��3���� ����& "� ���&�� � � ���'��� "� �� ��� "� '��)� &� E �� )���� « 9 �;��$��» "� ���"���8�& �� �'H��& [X : Y : Z] = [0 : 1 : 0]�

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

� �������� "�������� �1�� ����� �1���" �� � ���+� ������2�� ���

�# ,������

C → E(C),z �→ [℘(z; τ) : ℘′(z; τ) : 1].

1� �+����#� "� �$ "#� !� $� ��0�� ��� � !��0 $������$� ��� �#�������� ��� Γ\H

:�< ?*��� "#�� � �0 ��� ��� H ��� ������ ���+� ���� ��� ����� ��#� #��� "#� (����&�#"( �� �� ��� ' ��� $����#��� ���� "� $#� �� "�=�% )� $(� � � ����������� �#������ �� ����� !���+� "#� �# ,���� ������

y−2 · !x ∧ !y = i/�(τ)2 · !τ ∧ !τ .

)� �� !+!� � ��� ������ ��$#������ /� � µ ��� �# �#�� Γ\H !� ���.������%�*��� ��� ������ !� �#��� /� � Vol(Γ\H) = π/3 :�� � 3�� �(+��=�� �%�6<%)� �� "�+,+���# �# "���#� � �+ µ := µ/(π/3) ��� �*�� ������# �������������������%b

:�< ?*#���� "#�� �# !�� �� #2�� ��� C ��� ��� ����� �������� #8#�� �� ��!=���#����� ��� Q% >� "#�� $�� �� �� "��� $��� !+��� �*#$� �� ' &#�$(� !� Aut(C/Q)��� ��� ��#� #��� ��!��# ��� !� $������ ��� "� ����% >0"� $ ������ +�#�� !���+�� #������"( ��� σ !� C �

j = 1728(4a)3/16(4a3 + 27b2)

��� �* ��#� #�� ��!��# �� !� �# $����� ��� "� ��� E !*+��#� �� Y 2 = X3+aX+b#����

σ(j) = 1728(4σ(a))3/16(4σ(a)3 + 27σ(b)2)

��� ��#�� ' �� $��� !� �# $����� Eσ !*+��#� �� Y 2 = X3 + σ(a)X + σ(b)%

����� $����� ��� "� ��� $��"��0� E #!��� ��� +��#� �� !� �� �����#@ Y 2 =X3 + aX + b #��$ a �� b !#�� �� �����$��"� Q(j(E)) !� C :�� � 3�; ���%5� ���"�� �� �� �%�6<% -+$ "��������� � E ��� !���+� "#� ��� +��#� �� ' $��2$ ���� !#�� ��$��"� K #���� j(E) ∈ K% �#� $���+����� +�#�� !���+� �� $��"� L �$��� !#�� C ����� $����� ��� "� ��� $��"��0� E #!����#�� !�� +��#� ��� ' $��2$ ���� #�&+�� ������� L �* ��#� #�� ��!��# �� j(E) ��� #�&+�� ��� ��� LA #�������� ! � j(E) �*#!�����*��� ��� �� /� � ���� �*#$� �� !� Aut(C/L)% )� $��� !=�� #���� �*�� ��� "���#�� � �+ ��� C ��""���+� "#� �*��� �� !� j(E) �� ��#� #��� "#� Aut(C/L)A �� �# ����δL(j(E))%

1� �+����#� "� �$ "#� !� $� ��0�� !#�� �� $#� !� �*��"#$� Γ\H #2��� ��� !#��$���# ��� � ��#� ��� �� �������� �# "���#� � �+ (8"����� ��� µ $���� � � �� !� "����#� � �+� !� �# ,���� δL(j(E))% ���� "�+$ �+����

b/;� �'� "��� �� "� ���� )���������8 &� C� ��"��� )�� �� ��� ���� j� �&� �� )���������8 9"��&��8 &� C� 6� �;�� ������ �&&� µE ���� �&� "���8� )�� �� ��� � 3�� � 9 ��K ����& ���<����6�&� &�� )��<L��� �� 0 �� 1728� (�& ��K ����& &;8 ��3��� �� ��� � "� �� ��� ���� ��)��<

'8� 8���6� 2F1(1/6

−1/61/43/4

; j)� 1� �M��� �;��3��&� "� �� ��� ���� j �&� �� ��� ���� ������ � 6�

&� "8 ��� �� ��� � ";�� 86����� "�M8��������� J �&����� ";��"�� 2 9 "�: )N��& &� C� � ; 2������(�(�" �� ��2�) � 3���������� =��� ��@�

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

��� � ������

������� ���� ��� L �� ����� �� �8"� /� ������� ��� C����� ������ ��� ���� (En)n∈N �� ������� ��������� ��������� ������ �� ���

������� � ��������� ��������� ��� L, ��������� !��0 ' !��0 ��� �����"(��,�#�� ���� "� $#� �� $��"��0�, �� ������������ ��&=���, � �������� δL(j(En))�������� ���� � �������� ����������� µ ������� n ���� ���� +∞.

�������� ��, ���� ����� !������ ������� ������ f : C→ R,

δL(j(En))(f) :=1

#Aut(C/L) · j(En)

∑z∈Gal(C/L)·j(En)

f(z)→ µ(f) :=∫C

f�µ

������� n→ +∞.

>� ������ �#&+� �# �� �� !�� ��� ��� !� j(En) ���� Aut(C/L) � *�������������� �# "���#� � �+ µ ������� n ���! ���� +∞%

?#�� �*+���$+ �%� �*(8"��(=�� ��� ��� $������ $��� !+�+�� "��� ������ !*����.�� $�#��� !* ��&+� � ��� �! �"���#���% �� $��� !+���� ��� �� $#� �7 L = Q%1�� ��� ��� ���� Gal(Q/Q) !� ������� #�&+�� ���� �*��� "#� �� &+�+�#� "��"� +�+!*+�� ! ��� ��� �� +���$+� �.�� � ���� ������ #�&+�� ��� ��� �* ��#� #�� ��!���# �� !*#� �� �� ��� $����� ��� "� ���% 9 � ��� !*�0��"�� ��� ��� ��� !� �#$ ��� !��*�� �+ �*+�� ! ��� ����� �� ���& !� $��$�� �� �+ �� ��� �� �� !� � �&������ ,���+� !�������� �#� ������ �� "��� #� � ��0 �*+�� ! ��� ���� ��� "��� ��� �#��� !� ? �#$�� $� �� ������� � $�� �#� ������ ,������ ��� �� �� !� �#�$(8%

� �� #� ?�B� # �����+ �*#�#��&�� !� �+����#� "�+$+!��� "��� ��� $������ ��� "�� ���� ' ���� "� $#� �� $��"��0� 3C6% �# !+������#� �� �� � �� !�� �+�(�!�� �"�$���#��� :������ !� �����$����0 �+ !� D��&��� !*�E#� �$ ��� $��F�$����� !� �� � ���,����� !� G##@<% >��� "����� "#� $����� !� �� "#� ��""���� ��� ��� $������ $���� !+�+�� �� ��� ��&=���%

H� "��� �� ,# � ��� �� � #� $������ !#�� �*+���$+ �%� ��� �� $�����# �� �� �#��

����!!"�� ��#� ��� ��� ���� (En)n∈N ����� ��� ��� �� �����"��, �� �����[L(j(En)) : L] ���� ���� +∞ ������� n ���� ���� +∞� #� ��������, ��� �� ����� K

�� ���� �� ��� Q ���, � �*� ��*�� ������ �� �� ������� ��������� C����"���� ��� ������ ������, �������� � C����������� ��"��

� j(Ei) ��� ��#��$��!#�� "��� �� �! $� i � �� ��� !� �.�� "��� $(#��� �! $�% ���� �� ��� $#�c �� $�����# �� �� !+!� � !�� �+����#�� !� �( ���# ��I�$B�% ���� ���� N ∈ N>0 �� � ΦN (X, Y ) �� "��8�J�� ��!��# �� !*��!�� N ������ $������ � !#�� 3�� >0��$ $� �%�C6% �*��� �� "��8�J�� ' $��2$ ���� ��� ���:�%�C:#<< ��+!�$� ��� �� �# �#� #��� Y #� !����� !� C(X) �� !� !�&�+ #P1(Z/(N))�� $(#$��� !� ��� �#� #���� :�%��:�< �� �%�C:$<<% �"+$ #� ���� X �� j(Ei)% ?=����� ΦN (X, Y ) �� �"+$ #� �� �� �� "��8�J�� !��� ��� �#$ ��� ���� ��� ��#� �#��� ��!��# ��� !�� $������ ��� "� ���� $��"��0�� ��� +�� ' Ei "#� ��� ��&+� �

c/� �� ��� � )��:� j(Ei) "8$��� ����& � ����� " � �2�� "��& �� ���'�'� "� !���� "� �� "������K�� &� Q� +� Aut(C) )�� �� ����&���3� ��� �;��&� ��� "� �& )����&� *;� )���� "� 3���'8���6�� �� &K�� "� �� ��&�"8��� 6� �� )���� '8�8��6� " & �8 � �&&� �8�

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

� �������� "�������� �1�� ����� �1���" �� � ���+� ������2�� ���

������� !*��!�� N :�%��:�<<% ����� j(Ei) ��� ��#��$��!#�� ��� Q $���� �"+$ #�� �#� �� �!� � �� �����"( ��� Q(X) ∼→ Q(j(Ei))% ����� ΦN (X, Y ) ��� ��+�!�$� ��� ��� C(X) !��$ #��� ��� Q(X) �� "��8�J�� ΦN (j(Ei), Y ) ��� ��+!�$� ������ Q(j(Ei))% K�������� ! � ��� ������� j(E) ���� ��� E ��� ��� +� ' Ei "#� ��� ��&+� � $8$� ��� !� !�&�+ N ���� $��F�&�+� ���� Aut(C/Q(j(Ei))) �� ���� !�!�&�+ #P1(Z/(N)) ��� Q(j(Ei))% >� "#�� $�� �� � �*8 # ' �����"( ��� "�=� ��*�������� /� !� ������ $������ E% ����� ��� En ���� !��0 ' !��0 ��� �����"(���� !�&�+ Nn !*��� ��&+� � $8$� ��� ��� #�� En ' Ei ���! ���� +∞ !� �.�� ��� ��!�&�+ [Q(j(En)) : Q] = #P1(Z/(Nn))% �� �� � +�#�� !���+ �� $��"� L !� �8"� /� ��� Q ��� [L(j(En)) : L(j(Ei))] ���! ���� �* �/� #��$ n%

?#�� �� $#� !� $������ !+/� ��#���� ��� !�� $��"� !� ������� � ��� "��� ��� ����*�� "� ��� !+!� �� $� $�����# �� !� �(+��=�� !� L#,#��� M :$,% 3�� "#&� �4 �6 �7 �*��$��� !=�� !�� $������ ������������ K� ��&=��� $��"�+�� ' K� �����"( ��� "�=�<�� !� �����"�� �� ������ �� $����� :�� � 3�6 ���� �# ,���� !� ������# �� �%C!� 3;6<% )� "�+,+���# !+!� �� $���� "��"� +�+ !� �(+��=�� �� � *��� ������� ������� �� !� �(+��=��� &+�+�#�0 !*K��#�! D���� ��� ��� &���"�� #� �(�+� ����% �����# �*��F�� !� �# "#�� � �% )� #��# �*�$$#� �� !*+�#�� � �� "#��#�� ! ���� +���$+�!� /� ��!� ��� ��� &���"�� #� �(�+� ���� �� #!+� ���� !��� $���# �� ������ �+�� � �+�"#� �# �� ��% ����� �+�(�!� ��!+������ #��� �� $�����# �� !#�� �� $#� ��#��$��!#���� ����� ��#�� #� �(+��=�� !� �* �#&� ������� ��� #�#��&�� :���"�� � �� �%�<%

-��#������ ��/� ��� �# ��� �� !� $�����&��$� �� � �+� !#�� �*+���$+ ��� �#����������� ������% >� "#�� $�� �� � �*8 # "#� !� « "���� !� �#��� ' �* �/� »% ��$ ��� !*#��#�� "��� ���#���#��� ��� !#�� ��� �.�� $�#��� !* ��&+� � �# ������ !� ��#� #��� ��!��# ��� !��0 ' !��0 ! �� �$�� �*��� �� &+�+�#� "#� ����+� 3�C6%

K�#�� !� $��� ���� ���� ����� $ ��� +�#"�� "� �$ "#��� !� �# !+������#� ��% 1�"� �� !� !+"#�� ��� �� �(+��=�� !� �* �#&� ������� !� ����� �� ���� "����� !� $���"���!�� ��� ��� ��� !� &���"� !� N#�� � ��� �# $����� ��!��# �� �� ������ !*#$� ���!� &���"� #!+� ��� GL(2, Z) !#�� �*��"#$� PGL(2,Q)\PGL(2,A)/PGL(2, Z)%O� ��� ' !��� /�� $�� ��"#$� #��$ PGL(2,Z)\PGL(2,R) ����� "����=�� �� �#�=��' +��! �� !�� « ��� ��� !� I�$B� » #� ���� !� 3�6% �� !��� �� "����=�� ��� �+����!#�� 3�6 �� �� �#�#�� ��� !�� �+�(�!�� ��&�! ���� ����� !�� �(+��=��� !� -#����%d

���� #""� ���� 3�6 � ,#�� �����,� � �+� /�� ��� �� $#�! �#� !�� ��� ��� $��� !+�+�����! ���� +∞% 1*+���$+ �%� ���� #""���! ��� $���� (8"��(=�� ��� #����#� �������� �+� /+� !#�� �� $#!�� #� �(�+� ��� !#�� ������ ���� ���� "�#P���% ����!+������� �%� ���� ���� �#���� ��� !�� �(+��=��� !*K% D����% >�/� "��� ����� ��� �# !+������#� �� � ���� ,#�� �+� /�� ��� �� �+����#� !*+�� ! ��� ��� �� !#��PGL(2,Z)\PGL(2,R) ������ ' "#�� � !� 3�6 ��!���� � �� �� �+����#� $(��$(+ ��� �#$����� ��!��# ��%

d1� � 6� �� ���� ��& ��8��H �& ��� �� ���� �� )�� �� ����� &�'� 6� " �& )���� ���� G =SL(2, R)� Γ = SL(2, Z) "� =�@� �� �;�))���O� )��<L��� )�& ����� ��� "��& =�@ 6;�� &K� ";�))��6���� ��8��H � "� .����� 6;� '��)� G ��� )�& �8 �&&���� ��� G × G�� 1� ��� 8��� "� �&� ��&� ���� &���� =�@� 6� � « ��&&� �� �&� =� � � @ =C�&@ >��C� ��� � ���' �� �»�

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

��� � ������

���� #���� "� � �� ���$ !*�� � ��� !�� #�&������ �� �*#""� ����� #� $#� !� �#�� +�+� !� �( ���# "��� &+�+�#��� ��� ��� $������ ��!��# ��� $���� ��� ��"#$�� !���!���� !� �#� +�+� #�+� �����% 1*#����� �����$ � �� �#""������ �� �� # ,# � ���#������ ��� !#�� $� $����0�� "��� &+�+�#� �# &+�+�#� �#� �� !� ����� �(+��=�� �+"��!' ��� ����� �� !� � �B 3�C -��#���� �%�:�<6 �� �# "�+$ �#��% G# � !#�� $� $#!������� �+�(�!� �+$��� �� !*#!������ $���� (8"��(=�� �*#�#��&�� !� �(+��=�� !��* �#&� ������� !� ����� �� ��� ��� ,���� ���,��$+� !� �# ���%������ �� &��!���'(�� :�� � "#� �0��"�� "��� "��� !� "��� #�"�� !+�# �� 3��6 �� "��� "#�� $�� =�������# ��$� �� ��<% )� $���� !��� =�� �*��� !+�����+� ��� "��� $���# ��� �#� +�+� #�+� ������ �0$��#�� ���#����� �# "��"#�� !�� �#� +�+� #�+� ����� !� ! ���� �� 4% 1���� � =�� $(#" ��� !� �# �(=�� !� !�$���#� 3�6 !+������ ���� ,���� $��! � ���������� ����� &+�+�#� �#� ��% ���� ��� �#� +�+� !� �( ���# !� �8"� #�+� �� � �������# ���� ��� �+����#�� !� 3�6 ��2���� "��� ����� � �#� #��� �+&=������ #Q# �� � �# � �$��! � ������� :�� �� � �#�� #���� �# ��$��!� "#�� � !� 3�6<%

� � ��� � ��$

�� �����$ � �#�$#� K�� �� �� D#$( � D�BB# ���&� �#��#� K��� �� �(#������1� �K��� �� ?�$��� D#� >! 0(���� R��� N� �#�$*( S�#�$B 1��#8 1#����� G�����D# ��8 �� � � �( �(#( "��� ���� �T���$� ��� $� ��#�# � ��� $� �� � ����� ��$����#&������ ���� ! �"�� � � �+ ���� "#� ��$� ����� ���� &������� ��� ! �$��� ��� ������� #���� ���� ��$% �� ���� ����� (�����% �� �����$ � +&#������ �*U$��� ����#���� �*�-GK- "��� ��� $��! � ��� !#�� ���������� � �*# +�+ "��� � !� ����� ' � �� $���#�# �% �� �����$ � +&#������ ��� �#""������ !� $�� #�� $�� "��� ����� $������# ����������0 �� ��� !+�# ��+�% ���� #����� ' "�+���� +���$�� �� ����� &+�+�#� �+ ���+����#� "� �$ "#� !� $� ��0��% �*��� ' $���� /� ��� ���� $�����$����� "#� ���������#""��� ��� ��� $������ ��!��# ��� !� � ��#� N %

#� ����% $ Y (N)& ������ '"!��$� �� � ������

�� � N �� ��� �� �#����� ��� ���% )� ���� ζN �# �#$ �� "� � � �� N � =�� !� �*�� �+exp(2πi/N) !� C% -#""����� ��� Γ(N) � Γ(1) !+� &�� �� N � =�� �����&���"� "� ��$ "#� !� $��&����$� �#&� !#�� PSL(2,Z) !� ��8#� !� ���"( ��� !� �+!�$� ����!��� (N) SL(2,Z)→ SL(2,Z/(N))%

������ E[N ] �� �����&���"� !�� "� ��� !� N ����� �� !*��� $����� ��� "� ���$��"��0�% �*��� �� &���"� �����"(� ' (Z/(N))2% �� !����� ��� ��������� �����"���� ���� N ��� ��� $����� ��� "� ��� $��"��0� E $*��� $(� � � �� �����"( ��� β

����� (Z/(N))2 �� �� �����&���"� E[N ] !�� "� ��� !� N ����� �� !� EA $��# ��� ���#��� ' �� !����� ��� Z/(N)��#�� (P1, P2) = β((1, 0), (0, 1)) !� �# N ����� �� !� E%

1*����������� �� ��� !� E !+/� � ��� ,���� � � �+# �� #�����+� ��� !+&+�+�+�$#��� ��� eN : E[N ]×E[N ]→ µN ' �#���� !#�� �� &���"� µN !�� �#$ ��� N � =���!� �*�� �+% ���� $��� ��!���� !*�� � ��� �# ����#� �#� �� !� 3�� �C 5� K""%6 ���������#� �#� �� ��� #��� $��"#� ��� #��$ �# !+/� � �� !� 3��6 :$,% >0��$ $� �%��< �� ��"���! �# $������$� �� !� 3��6%

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

� �������� "�������� �1�� ����� �1���" �� � ���+� ������2�� ���

���� ���� "� �� τ !� H �# $����� ��� "� ��� Eτ =C/(Z+ τZ) "���� ��� ����$����� β(τ) !� � ��#� N $#��� ��� �� �Q�� �# N ����� �� !� Eτ ��� ��&��!�+� "#� ��� �#&�� P1(τ) �� P2(τ) !�� !��0 "� ��� 1/N �� τ/N !� C% )� �� !+!� � ��� �#$ ��"� � � �� !� �*�� �+ ζ(τ)= eN(P1(τ), P2(τ)) $#��� ������� #���$ +� ' τ % �#� $#�$���� ������ ζ(τ)= ζN "��� ���� τ !#�� H :�� � 3�� �C 5� K""%6 �� 3�� >0��$ $� �%��6<%

)� �+� /� ��� !��0 "� ��� τ �� τ ′ !� H !������ � �� ' !��0 $������ (Eτ , β(τ))�� (Eτ ′ , β(τ ′)) #��$ ����$���� !� � ��#� N �����"(�� � �� ��������� � τ = γ · τ ′

#��$ γ ∈ Γ(N)% >� ,# � Γ(N)\H "#�#�=��� # �� ������ ��� $�#���� !* �����"( ���!� $������ ��� "� ���� ��� �� !*��� ����$���� $��"�=�� !� � ��#� N !��� �# �#$ ��!� �*�� �+ #���$ +� ��� ζN % ���� k ∈ Z/(N)� �� ��� ��� ��� ����$����� !� � ��#� !��#$ �� !� �*�� �+ #���$ +� ζN

k �� $��� !+�#�� #� $(� 0 ��� �#��� !� �8"� (k/N, τ/N)�� (1/N, kτ/N)%

?#�� �� $#� N = 1 �� ���� ��� Γ(N)\H �* !��� /� ' �*�������� A1(C) !��"� ��� $��"��0�� !� �# !�� �� #2�� A1% ?� ,#P�� #�#��&�� �# $����� ��!��# ��Y (N) ��� ��� $����� #�&+�� ��� :#2�� �� �������������� �������< ��� Q(ζN ) �� « "#�#�=��� »e ��� $������ ��� "� ���� ��� �� !*��� ����$���� $��"�=�� !� � ��#� N

!��� �# �#$ �� #���$ +� ��� ζN % 1*��"#$� #�#�8� ��� Y (N)(C) ,���+ !� ��� "� ���$��"��0�� �* !��� /� # �� ' �# ���,#$� !� - ��#�� Γ(N)\H% ���� N = 1 �� ���������� � (������"( ��� Γ\H ∼→ A1(C) �!� � "#� �# ,��$� �� j% 1*��"#$� Γ(N)\H "����!��$ ��� "���#� � �+ (8"����� ��� $#��� ��� ���+� µ # �� ��*��� #$� �� !� &���"�Aut(C/Q(ζN ))%

1# "���#� � �+ µ �� $������ � $���� !#�� �� $#� !� Γ\H !+�# ��+ �� ����!�$� ��%1*#$� �� !� Aut(C/Q(ζN )) �� !+$� � # �� �� � σ ∈ Aut(C/Q(ζN )) �� �� � z ∈Y (N)(C)% K���� x "��� .��� ��"�+����+ "#� ��� ��� $����� ��� "� ��� $��"��0� E

!���+� "#� ��� +��#� �� !� �� �����#@ Y 2Z = X3 + aXZ2 + bZ3 �� ��� � !*����#�� (P1 = [X1 : Y1 : Z1], P2 = [X2 : Y2 : Z2]) !� �# N ����� ��% ?=� ���� �� "� ��σ(z) ��� ��"�+����+ "#� �# $����� Eσ !���+� "#� Y 2Z = X3 + σ(a)XZ2 + σ(b)Z3

�� ��� � !� �# �#�� (P1σ = [σ(X1) : σ(Y1) : σ(Z1)], P2

σ = [σ(X2) : σ(Y2) : σ(Z2)])%)� �+� /� ��*' $���� !��� =�� �� #���$ � �# �#$ �� eN(P1

σ, P2σ) = σ(eN (P1, P2)) =

σ(ζN ) = ζN "� ���� σ #& � $���� �* !��� �+ ��� Q(ζN )%�� � L �� $��"� !� �8"� /� $������ !#�� C �� $�����#�� Q(ζN )% �� � z ∈

Y (N)(C) �� "� �� $��"��0� ��""��+ �������� ��� L% K���� �*��� �� !� z

���� Aut(C/L) ��� /� � �� ��� �� ��""��� !*��� �� ��� "���#� � �+ ���+� ����� Aut(C/L)� ��#� #��� ��� �*�� �����# δL(z) ��� Y (N)(C)%

1� �+����#� "� �$ "#� !� $� ��0�� ��� ��� &+�+�#� �#� �� !� �*+���$+ �%� #� $#� !������$����� $��"�=��� !� � ��#� N % �� "����� ��� �# ���,#$� !� - ��#�� Y (N)(C)!*����� � �# ������ (8"����� ��� µ $���� � � �� +��� �� !� "���#� � �+� ' ��""���/� !� �8"� δL(z)% ���� "�+$ �+����

������� #��� ��� L �� ����� !� �8"� /� ������� ��� C �� �������� Q(ζN )�

e*����� ���� �� &;�'�� ";� �&)� � "� �"�� '��&&��� )�� N = 1 � 2� �� $� )�� N ≥ 3� " )���<�H � "� ��&&�$ ����� �&&� �8� +� )�� )�� �:� )�� )���"�� �� $��� '8�8��6� "�& Spec(Z[1/N, ζN ])<& �8 �& ��&����& "��& =�@ � =��@�

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

��� � ������

��� zn ∈ Y (N)(C) ��� ���� �� ����� !��0 ' !��0 ! �� �$��� ��������� ��� ���zn ���� ����������� �� ��� ���������� �����"��� �� ���� N ��� ��� ������� ���������� ��������� En !��0 ' !��0 ��&=��� �� �#�� ���� "� $#� �� $��"��0� �������� ��� ������� � ��������� ��������� ��� L�

���� δL(zn) �������� ���� µ ������� n ���� ���� +∞� �������� ��, ���� ����� !������ ������� ������ f : Y (N)(C)→ R,

δn(f) :=1

#Aut(C/L) · zn

∑z∈Aut(C/L)·zn

f(z)→ µ(f) :=∫

Y (N)(C)

f�µ

������� n→ +∞.

)� ! �# ��� �# �� �� !�� ��� ��� !� zn ���� Aut(C/L) � *���������� ���� �#"���#� � �+ µ%

1� �(+��=�� �%� ��� �� $#� "#�� $�� �� !� �*+���$+ "�+$+!��� "��� N = 1 ��!����* !��� /$#� �� Y (1)(C) � Γ(1)\H ∼→ C%

�� � L �# ,�������� #�&+�� ��� !� L !#�� C% 1� ,# � ��� En �� � !+/� � ��� L

+�� �#�� ' $� ��� zn #""#�� ���� #� ������������� Y (N)(L) !� Y (N)(C)% ���#��� ��� #��� ' ! �� ��� j(En) ∈ L% 1�� "���#� � �+� δL(zn) ���� !��$ � �� !+/� ��%����� ��� En ���� !��0 ' !��0 ��&=��� � ��2� �� ,# � "��� ��� ������ ��� $������!� �# ,#� ��� (En)n∈N �� ��� !+/� ��#���� ��� L ��*#� �� �� ��� !� $�� $����� �� �!+/� ��#��� ��� L%

(� ������ '"!��$� �� $�� �� �!"$$ � �$�'���

?#�� $���� ��$� �� ���� !+$� ���� ���� ��� ,���� "��� $����!� �# $�#��� !* ���&+� � !*��� $����� ��� "� ��� $��"��0� :$,% ���"�� � �� �%�<% ?� "��� !#�� �� $#�!*��� $����� !+/� ��#��� ��� �� $��"� L !� �8"� /� ���� �0"� $ ���� �*#$� ��!� Gal(C/L) ��� �# $�#��� !* ��&+� � :���"�� � �� �%�<% >�/� ���� �0"� $ ������$������ ��� �� ��� ��������� ��� ���� #����� ������� #��$ ��� $������ ��!��# ��� ����!� ��� "�+$+!������ :���"�� � �� �%;<% �� ���� !�� "��"� +�+� � �� $������ ���� ���� "� �� ! 2$ �� !��� /�� �*#$� �� &#�� � ���� !#�� �� $#� #�&+�� ��� ���# ��,# � �� $�����# �� !� �(+��=�� !� �* �#&� ������� !� �����%

-#""����� �� =������ ��� Z !+� &�� �� $��"�+�+ !� Z "��� �# �#�� !� �� � �#&��!� 0 !���+� "#� ��� !+#�0 ��� ���� !� Z $*����'�! �� ��� �����&���"�� #!! � ,�!* �! $� /� )� # Z = lim←−N∈(N>0,×)

Z/(N)% �*��� �� #���#� "��/� !��$ $��"#$��� ���#������ ! �$��� ��A � $��� ��� Z $���� �����#���#� !����% )� � �� !� �����$( �� � �# !+$��"�� � �� Z =

∏p �������Zp �� ����� !*#���#�0 !*��� ��� p�#! ����%

)� ,���� �*#���#� Af � Z ⊗Z Q !�� #!=��� #�0 "�#$�� /� �� �7 �*�� $��� !=�� �#��"���& � ! �$�=�� ��� Q �� Z% �*��� �� #���#� ��$#������ $��"#$� $���� ��+ !���� ��� (np/mp)p ������� !�

∏p �������Qp �*#!����#�� �� !+��� �#���� ��� "��� #�

"��� �� ������ /� !* �! $��% >�/� A � R × Af !+� &�� �*#���#� !�� #!=���% ����� �� #��� ��$#������ $��"#$�A �� ����� Q �� "���&� !� ,#P�� ! #&��#�� ��� �������#���#� ������ �� �������� !� $��� �$ %

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

� �������� "�������� �1�� ����� �1���" �� � ���+� ������2�� ���

���� ����!� ���� �# ���#� �� �� �#��� )� !+� &���# "#� GL(2)[NZ] :���"�$�� ������ GL(2)[N Z]< �� ��8#� !� ���"( ��� �+!�$� �� ��!��� NZ :���"% N Z<GL(2)(Z)→ GL(2)(Z/NZ) :���"% GL(2)(Z)→ GL(2)(Z/NZ)<A $*��� �� �����&���"�!� GL(2)(Z) :���"% GL(2)(Z)< !�� �#�� $�� $��&���� ' �* !��� �+ ��!��� (N)%

4� $ �� "��� �� !�� +���$+� ��� ���� #����� !+�������%

���)�$����� (��� ��� E ��� ������ �������� �������� �#�� ���� "� $#� ��$��"��0�, �� ��� β : (Z/(N))2 ∼→ E[N ] ��� ��������� �����"�� �� ���� N ��� E

�� ���� �� � *���� ������ ���� � ζN � )� �� ��� ��������, ���� �������, ������ �� T (E) ������� β�

:�< ���� ��� ������ � *���������� �� ������� ��������� ��������� E′ ���"���� E ����� � *��� ��������� �����"�� β′ �� ���� N !������ �� ��������IsogN (E) �� � *������ ������������ �

Q�\Isom(Af2, V (E))/GL(2)[N Z],

�*���������, ���� ����� ��� � *�� � *��� ���� ��� ��� �� T (E), �

Q�\GL(2,Af )/GL(2)[N Z]

�� �*��, ������ ���� �� �����"�� � *��������� !����, �

Q�\GL(2,Q)GL(2, Z)/GL(2)[N Z].

:�< #� �����, � *������� �� !� ������������ � � ����� �� ������ (E, β′) ����� ������ N �"�� ������ � *������ ���� � � *�������

Q�\GL(2,Q)GL(2, Z)/GL(2)[N Z] −→ µN (C),Q� · (q · z) ·GL(2)[N Z] �−→ (ζN )���(z).

:�< +������� �� IsogN,ζN(E) �� ������������� ��� ����� �� Y (N)(C) �� ����

����������� �� ��� ��������� �� ���� N �� ���� ������ ζN ��� ��� �������������� �������� ���"�� � E� ���� IsogN,ζN

(E) � *������ � ������������� �� IsogN (E) ���� ��

Q�\GL(2,Q)GL(2)[N Z]/GL(2)[N Z].

O������� ���#����� #�#�� !� "����� ���% ���� !*#���! ��� #$� ��� !�� !��0&���"�� Aut(Af

2) �� Aut(V (E)) ��� Isom(Af2, V (E)) �� ,��� "#� $��"�� � �� '

!�� �� "��� Aut(Af2) �� ' &#�$(� ��#�� ' Aut(V (E))A $� ���� !��$ !�� #$� ��� �

����� �� � ����� ���"�$� ������%f >� $� �� $��$���� ��$��! "� �� !� �# $��$��� �� � ,#�� �#�� � ��� ���� +�+���� g !� GL(2,Af ) "��� �� ������ ���� �# ,���� q · z#��$ q ∈ GL(2,Q) �� z ∈ GL(2, Z) :�� � 3�� "% ;;6<%

f/� ��3������ 6� ��& ����&��& )�� �� ���8����&����� "�& � ����& "� '��)� �&� �))�&8� 9 ����"�& 4� ���� � ���� ����2� "� �� A����>�, ��& �� ����& � 8�8 ��� gH "� G/H �� ��&&� 5 �����

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

��? � ������

���� ���� ��" ���� !� �*�0"�� � �� !� 3� "% ��6 �� � k �� $��"� #�&+�� �������$��� !� $#�#$�+� �� ��� 0A ����� ���� �"�������� ��� $#� �7 k ��� C Q �� "���&+�+�#������ �# ,�������� #�&+�� ��� !#�� C !� $��"� L !� �8"� /� $��� !+�+!#�� �%�% )� $��� !=�� �# $#�+&�� � Q�� �+# �� E(k) ⊗Q !�� «$������ ��� "� ����' ��&+� � "�=�» ��� k !+/� � # ��

V 1�� $#�+&�� �� E(k) �� E(k)⊗Q ��� ��� �.��� ��F���% )� �����# �����,� �E ⊗Q �# «$����� ��� "� ��� ' ��&+� � "�=�» �!� �� "#� E%

V 1�� T=$(�� !� E(k)⊗Q :�� ���� $��"�� � ��< ���� !���+�� "#� �# ,������

Hom(E ⊗Q, F ⊗Q) := Hom(E, F )⊗Z Q.

>� "#�� $�� �� E ⊗Q ��� �����"(� ' F ⊗Q � &� /� ��� E �� F ���� ��&=���%1# $��� !+�#� �� !� ��!��� !� �#�� �!� � �� ,��$���� #!! � ,

[f : E → F ] �→ [T (f) : T (E)→ T (F )]

!� E(k) ���� �# $#�+&�� �ModZ !�� Z ��!����% ���� �$ �!� � #��� �� ,��$����[f : E⊗Q→ F ⊗Q] �→ [V (f) : V (E⊗Q)→ V (F ⊗Q)] !� E(k)⊗Q ����ModAf

%)� �������� #���� HomE��(k)(E, F ) $���� �� ������������� !�� ���"( ���� f ∈Hom(E ⊗Q, F ⊗Q) ���� ��� V (f)(T (E)) ⊆ T (F )%

�� � V �� Af ���!��� � ��� !� �#�& 2% H� ����� !� V !+� &���# $ �������&���"� $��"#$� ������ T !� $��� �$ % 1# !���+� !� T +�� �#�� ' $����!*��� GL(2, Z)�$�#��� ' !�� �� !* �����"( ���� Af �� �+# ��� !� "�#� Af

2 #��$ V ' �# $�#���

B ∈ Isom(Af2, V )/GL(2, Z)

$�����"��! �� �+��#� β(Z2) �7 β : Af2 ∼→ V !+� &�� �* �"���� ���� �����"( ���

!� $�#��� B% >� ����� �� $(� 0 !� �*��� !�� GL(2)[N Z]�$�#���� $�������� !#�� B

C ∈ B/GL(2)[N Z] ⊆ Isom(Af2, V )/GL(2)[N Z],

��� ��� ' $(� � � �� �����"( ��� !� (Z/(N))2 � Z2⊗Z/(N) #��$ β(Z2)⊗Z/(N) $��� �!� � "#� β ⊗ Z/(N) "�� �"���� β ∈ C%

)� !+/� � ���� �� �# $#�+&�� � E(k)′ !�� $��"��� (E⊗Q, B) �7 B ��� �� �+��#�!� V (E ⊗Q) "��� �#������

Hom((E ⊗Q, B), (F ⊗Q, C)) ⊆ Hom(E ⊗Q, F ⊗Q)

��� !+/� "#� V (f)(β(Z2)) ⊆ γ(Z2) "��� β ∈ B �� γ ∈ C% �� ��� ��+! #� ����*�� ��� ��� # �� ��� $#�+&�� � +�� �#����� ' E(k) ��� +�� �#���$� +�#�� $������ #���$ � ' �# $����� ��� "� ��� E �� $��"�� (E ⊗ Q, T (E))% ?� "��� ���� ��F��(E′⊗Q, B) !� E(k)′ ��� ��� E′ ��� ��&=�� ' E ��� �����"(� ' (E⊗Q, B′) "����� B′ $�����#��� "#� �0��"�� V (f)�B "��� f $(� � !#�� Isom(E′ ⊗Q, E ⊗Q)%

)� !+/� � ��/� �� &���"�W!� EN(k) $���� �# $#�+&�� � !��� ��� ��F��� ���� ���$��"��� (E ⊗Q, B) �7 B ∈ Isom(Af

2, V (E))/GL(2)[N Z] �� #8#�� $���� ������"( ���� !� (E⊗Q, B) ���� (F⊗Q, C) ��� �����"( ���� f !#�� Isom(E⊗Q, F⊗Q)���� ��� B = f�C% 1� &���"�W!� EN (k) # �� $������ � ��� +�� �#���� ' �# $#�+&�� �

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

� �������� "�������� �1�� ����� �1���" �� � ���+� ������2�� ���

,���+� !�� $������ ��� "� ���� ��� k #��$ ����$���� $��"�=�� !� � ��#� N �� !�� k� �����"( ���� $��"#� ���� #�0 ����$�����g "��� �*+�� �#���$� �� ' E ��� � !�β : (Z/(N))2 ∼→ E[N ] ,# � $�����"��!�� E ⊗Q ��� � !� �# $�#��� !* �����"( ����!� Af

2 ���� V (E ⊗ Q) �����#�� β% 1*�������� IsogN (E) :!� �# ���"�� � �� �%�<�* !��� /� # �� ' �*�������� !�� $�#���� !* �����"( ���� !*��F��� !� EN (k)%

?� �.�� ��� "��� E(k)′ ����� $�#��� !* �����"( ��� !#�� EN(k) �� �����"�+����+� "#� (E′ ⊗ Q, B) �7 E′ ��� ��&=�� ' E #!��� �� ��"�+����#�� !� �#,���� (E ⊗Q, B′)A �� �� !+!� �

���)�$����� (�#� ,*�������� IsogN (E) ��� ������ � *���������� �� EN (k)������������ �� �� ������ (E′, B) ��� ��� � ������ E′ ��� ��&=�� � E ��� ���%����� �������� ���

Aut(E ⊗Q)\Isom(Af2, V (E))/GL(2)[N Z],

�- End(E ⊗Q) �� ��"������ ��� V (E) � �� !������� V �

)� ���#���� ��� ������� E �*#!��� "#� !� ���� "� $#� �� $��"��0� �� &���"�Aut(E ⊗Q) ��� �+!� � ' Q� �� ��� � ��� Aut(E ⊗ Q) �#�� K� �7 K ��� ������� �� ���������� �������� !� E% )� # # �� !+�����+ �� "��� �� "� �� !��# ���"�� � �� �%�%

�� � �# ����#�� z ∈ IsogN (E) ��� $�#��� !* �����"( ��� !� EN(k)% )� �#�0"� $ ��� �*#$� �� !*�� +�+���� g !� GL(2, Z) ��� $���� $�#���% 9 $�� �Q�� �� � E ���$����� ��� "� ��� ��� k ��� � !*��� ����$���� $��"�=�� !� � ��#� N ��"�+����#��$���� $�#���% �(� � ����� +&#������ β �� �����"( ��� !� Z2 ���� T (E) �����#��$���� ����$���� !� � ��#�% K���� g ���� � �# $�#��� !� (E, β ⊗Q : Af

2 ∼→ V (E)) ���$���� !� (E, (β ◦ g) ⊗ Q : Af

2 ∼→ V (E))% ?��$ �# $�#��� z · g "��� g ∈ GL(2, Z)��� ��"�+����+� "#� �# ����$���� !� � ��#� (β ◦ g) ⊗ Z/(N) : (Z/(N))2 ∼→ E[N ](k)��� E%

������ βN = β ⊗ Z/(N) : (Z/(N))2 ∼→ E[N ](k) �� gN = g ⊗ Z/(N) :(Z/(N))2 ∼→ (Z/(N))2% �#� !+/� � �� �# ����$���� βN ��� E #!��� ζ :=eN (βN (1, 0), βN(0, 1)) $���� �#$ �� #���$ +�% 1# ����$���� (β ◦ g)⊗Z/(N) ��#�� '���� # "��� �#$ �� #���$ +� eN (βN ◦gN(1, 0), βN ◦gN(0, 1)) �� � +&#������ ζ���(g) eN

+�#�� � � �+# �� #�����+� ' �#����� !#�� µN (k)% )� �� !+!� � �� ��$��! "� �� !� �#���"�� � �� �%�% 1� ��� � =�� "� �� ��#�� ' �� !+$���� !� $� ��$��! "� �� ' $�$ "�=���* � ,#�� ���#����� ��� GL(2,Q) ·GL(2)[N Z] = GL(2,Q) ·SL(2, Z)GL(2)[N Z] �7�� ��$���#X� �� SL(2, Z)GL(2)[N Z] �� �����&���"� !�� �#�� $�� !� GL(2, Z) !��� ��!+���� �#�� ��� $��&�� ' 1 ��!��� (N)% G# � $��# "��� ��� !� ,# � ��� �* ������$� ��SL(2,Z) !� GL(2,Q) #��$ SL(2, Z) ��� !���� !#�� $� !��� �� 3�� "% ;�6%

)� �# �# ����#�� �0"� $ ��� ��� "��"� +�+� &#�� � ����� !� �������������IsogN,ζN

(E) !� Y (N)(C)% ���� "�+$ �+���� �� �# +�#�� � �*+���$+ �� �#��

���)�$����� (�(� ��� L ��� �������� !� �8"� /� �� Q(ζN ) �������� ��� C�

g/� ��&�"8������ "� �� �� ���� "�& '��)�P"�& �����'�& �: E��N (k)� )�� � & �8 � k 3��������"���� �� ���� ��� � �� ) �"����� M0

N ��&���� "��& =�@�

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

��4 � ������

��� E ��� ������ �������� �������� �#�� ���� "� $#� �� $��"��0� ���� � *������������ �����"�� β �� ���� N �� ���� ������ ζN � ��������� ��� (E, β) ������ ���"�� (E, β) ∼→ (EL, βL) ⊗L C, �- EL ��� ��� ������ �������� ����� ��� L

�� �- βL ��� ����� ��� L� �� IsogN,ζN(E) ��� �������� �� ����� �� Y (N)(C)

��������� ��� L �� ����� ��� ���� �� Gal(C/L)�.��������� ��� ��� �� T (E) ������� β, �� ���

ρ : Aut(C/L)→ GL(2, Z)

� ������������ �������� ��� �� ������ �� (�� �� E ������ � ���"�� EL

����� ��� � ��� ��� � *�� � *��� ���� ����, � *��� ���, ����� ������������ �� ������ ��, �� � *���� ���, ����

���� σ ∈ Aut(C/L), � *���� �� σ ��� IsogN,ζN(E) � *������ �� ��������� ��

� *���� �������� �� ���������� � ����� �� ρ(σ) ��� IsogN (E)� �������� �� � *���� �� Gal(C/L) ��� IsogN,ζN

(E) ��� �������� � ����� �/������������� �/���� �� �� GL(2, Z) ���

Q�\GL(2,Q)GL(2)[N Z]/GL(2)[N Z],

�� ���������� � ������

-��#������ $ ��� $���� Q� ��� $������ !#�� �� ������ !� GL(2,Af ) �*#$� ��' &#�$(� !� GL(2, Z) ��� Q�\GL(2,Af ) ��� � �� !+/� �% �����,� � �� �����&���"�!� GL(2, Z) �� ��#� � �� IsogN,ζN

(E) ��� $��� !+/� "#� ���(σ) ≡ 1 (mod (N))#�������� ! � SL(2, Z) ·GL(2)[N Z]% �*��� �� �����&���"� !* �! $� /� #Z/(N)�% ����� !��$ ��� $� !=� ��� N ≥ 3% �*��� ��� $� �����&���"� ��� �*#$� �� ��� IsogN,ζN

(E)��� � �� !+/� �%

?+$� ���� ' "�+���� �*#$� �� &#�� � ����% ������ GalL := Aut(C/L) "������� $��"� L ⊆ C% �� ��� L (E, β) �� (EL, βL) $���� !#�� �*+���$+% �� � #��� ϕ : F → E ��� ��&+� �% K���� ϕ �!� � �* �����"( ��� (ϕ, V (ϕ)) !� E(C)′ �����(F, T (F )) �� (E, V (ϕ)(T (F )))% �� � ��/� σ ∈ GalL% ?+$� ���� EL "#� ��� +��#� ��!� �� �����#@ ' $��2$ ���� !#�� L% �*��� ��� +��#� �� ��#� #��� ���� σ% �#� $����+����� �� "����# !��� /�� ��� $������ $��"��0�� E �� Eσ $#� ����� ���� !+$� ���"#� �# �.�� +��#� ��% ������ ϕσ : F σ → Eσ = E �* ��&+� � ���!�� !� ϕ% K����(F σ, T (F σ)) ��� �����"(� !#�� E(C)′ ' (E, V (ϕσ)(T (F σ)))% 1� $#��+ �� �#�� ���$�����#� ,

Fσ� ��

ϕ

��

F σ

ϕσ

��E

σ� �� Eσ

� � �� ��� V (ϕσ)(T (F σ)) = ρ(σ) · V (ϕ)(T (F ))%���� !+���� �# ����#�� γ : (Z/(N))2 → F [N ] ��� ����$���� $��"�=�� !� � ��#�

N �� !� �#$ �� #���$ +� ζN ��� F % K���� γσ = [σ� : F [N ] → F σ[N ]] ◦ γ ��� �#����$���� $�����"��!#��� ��� F σ% ����� !��� =�� # +&#������ "��� �#$ �� #���$ +�ζN $#� "#� (8"��(=�� σ /0� Q(ζN )%

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

� �������� "�������� �1�� ����� �1���" �� � ���+� ������2�� ���

>� ����� �� # �* !��� �+ !�� !��0 �����"( ���� σ� ◦ T (ϕ) ◦ γ �� T (ϕσ) ◦ σ� ◦ γ

!� (Z/(N))2 ���� V (ϕσ)(T (F σ))⊗Z/(N)% >� �Q�� �� ! #&�#��� �� �#�� $������

(Z/(N))2γ �� F [N ]

σ� ��

ϕ

��

F [N ]σ

ϕσ

��E[N ]

σ� �� E[N ]σ

K �� �� �+��#� V (ϕσ)(T (F σ)) !� V (E) #���$ + "#� ϕσ ' �# $����� F σ �� �#$�#��� !* �����"( ��� �����#�� (Z/(N))2 ∼→ V (ϕσ)(T (F σ))⊗Z/(N) #���$ +� ' σ�◦γ�*��� ������ ' "#�� � !�� +�+����� #���$ +� ' F �� γ "#� $��"�� � �� "#� σ� : V (E)→V (E)%

���# $��$��� �# !+������#� �� !� �# ���"�� � �� �%� ' $�$ "�=� ��* � ,#�� +�#�� ���� �*#$� �� GalL → Aut(T (E)) # �� $���8#� /� % �*��� �� "��"�� !� �(+��=���� �#��

������� (�* +� ! ��"' ��, �� � �� -#�& ##./� ��� E ��� �������������� (��������������) ��� ���������� �������� ����� ��� �� ����� ��������� L� ���� �/���� �� GalL ��� ��� ������ (�� V (E) �� !������ ���/������� �/�� ����������� �/���� �� �� AutZ(T (E))�

?#�� �� $#� �7 j(E) ��� #�&+�� ��� ��� Q% ?#�� �� $#� �7 j(E) ��� ��#��$��!#�� ���� � �� # �� �+����#� #�#��&��%

���)�$����� (�0 +����!!"�� h � -#0.& ������� 1�1/� ��� E ��� �������������� �������� ���� � *����� ������� j(E) ��� ���������� ��� Q� �������� ���� ����� N ∈ N>0, �� ���� ����������� ϕ �� ������ ����� E[N ], ������ �� ������� σ �� Aut(C/Q(j(E))) �� �� �� ϕ ��� E[N ]�

�����$��"����� >� �Q�� j(E) +�#�� ��#��$��!#�� � ��� �������� #� ���� !�1���� ;%� "��� �# ,��$� �� j ��� H �� �� $��"� !+�����#��� k = Q% >� �����:�(+��=�� ;%;< ��� ,��$� ��� fa "��� a !#�� N−1Z2\Z2 ���� #�&+�� ���� ��� Q(j)%?#�� �# !+������#� �� !� ����� ;%� � ��2� !� "���!�� "��� f1 �# ,��$� �� j% 1�������������� FP !� H ��� #���� �� � �� �7 �# ,��$� �� j "���! !�� �#����� #�&+�� ������� Q% 1# !+������#� �� $��$��� ��� ���� z0 ��� ��� j(z0) ��� ��#��$��!#�� ���&+�+� ��� #� ���� !� ����� ;%� ' �# ,� � "��� �# ,��$� �� j �� ��� ,��$� ��� fa "��� a

!#�� N−1Z2\Z2% )� "��� !��$ #""� ���� �� �(+��=�� ;%; �� �# ���#���� ;%�%

K$(����� ' "�+���� $���� ��$� �� �� �0"� $ �#�� �� "���&����� !� �*��������

Q�\GL(2,Q)GL(2)[N Z]/GL(2)[N Z]

!#�� Y (N)(C) ������ "#� !��� /$#� �� #��$ IsogN,ζN(E)% ���� "�+$ �+����

h/� "8 ��&������� 6� &�� �� ���� 6;�:)�� ���� ��& ��"�����& ";����&����� " ��8��H � ?�? �3���=��@�� �� )�& )���� ��H�� ��� �;�K� ����� «2 ����� C� ���" ���& �� � ���� �� ��� &)� ��� �&�" Q � =� � � @» �)� �����

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

��� � ������

���)�$����� (�1� )� �� ���� ��� � ������ �� � �������� �%�� ���� �� �� ���� �������!

Q�\GL(2,Q)GL(2)[N Z]/GL(2)[N Z] ��

��

IsogN,ζN(E)

��Γ(N)\(GL(2,R)/R�) �� Y (N)(C)

�-

' � 0"��� ��������� ��� � *��������� ������� ��� �%�' � 0"��� �� ����� ��� � *������� ��������,' ����� �� ����� ����� Q�qGL(2)[N Z] ��� Γ(N)(q−1R�), ���� ���� q ∈

GL(2,Q),' �� � 0"��� �!������ ��� ������ �� Γ(N)gR� �→ Γ(N)g ·τ, �- τ ��� �� ��������� H ������� �� ���� �� Y (N)(C) ����������� � ����� � *���������� ��(E, β)�

�����$��"����� �� 8 # !��0 T=$(�� ' $��"#��� �# $��"��+� !� �# T=$(� ��"+� ����"#� �# T=$(� !� &#�$(� !*��� "#�� �� �# $��"��+� !�� !��0 #����� T=$(�� !� $#��+!*#���� "#��% 1� &���"� GL(2,Q) #& � ' &#�$(� !� ,#P�� ��#�� � �� ��� �� !��������� ��� Q�\GL(2,Q)GL(2)[N Z]/GL(2)[N Z]% �� ��2�# !��$ !� �+� /�� ��� ��� !��0T=$(�� ' $��"#��� "������� ��� �#���� !��� ��� �� #� �� �� �� �.�� "� �� ����*����� ���� $��"#� ���� ' �*#$� �� !� GL(2,Q)%

���� !+���� �# !����� $�#��� !� �# �#�� $� !��� �+% >��� $�����"��! !#��IsogN,ζN

�� Y (N)(C) ' �# $�#��� !� �# $����� E ������.�� ��� � !� �# ����$����� �!� �� "#� �# �#�� !� T (E) ��� �*�� �*��� /0+% ����� !����� $�#��� ��� ����8+�� # �# $��"��+� �,+� ���� ��� �# $�#��� Γ(N)τ �� "#� !+/� � �� ��"�+����� � �� E

�� �# ����$����%K/� !� "������ �# $��"#� � � �+ ' �*#$� �� !� GL(2,Q) $(� � ����� �� +�+����

τ !#�� H !��� �* �#&� !#�� Y (N)(C) ��"�+����� �# $�#��� !� (E, β) �� /0��� �� ������"( ��� C/(Z+ τZ)→ E(C) $��"#� ��� #�0 ����$����� !� � ��#�% ���� !+������ ���"( ��� #!! � ,

λ : Q2 → C

�� ���� � (a, b) ��� a + bτ % )� �������� �# ����$���� β ��� E �� $��� !+�#�� �* �#&�!� �# �#�� ((1/N, 0), (0, 1/N)) !� Q2 !#�� C/(λ(Z2))% �� � g ∈ GL(2,Q) �� $��� !�+���� �� ���"( ��� $��"��+

λ ◦ g : Q2 → Q2 → C.

1* �#&� !� "� �� g · τ !� H !#�� Y (N)(C) ��� ��"�+����+ "#� �# $����� C/(λ◦g(Z2))��� � !� �# �#�� �!� �� "#� (λ ◦ g(1/N, 0), λ ◦ g(0, 1/N))% )� �������� # �� ' �����"( ��� "�=� ������ ��� ����$����� !� � ��#� N �� !� �#$ �� ζN ��� !�� $��������� "� ���� $��"��0�� ��&=��� ' E%

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

� �������� "�������� �1�� ����� �1���" �� � ���+� ������2�� ���

K� � ��#� !�� ��!���� !� �#�� C/(λ(Z2)) ��� � !� �# ����$���� !� � ��#� N

��� ��"�+����+� "#� �* �����"( ��� λ⊗QAf : Af2 → λ(Z2)⊗ZAf

2 �� C/(λ◦g(Z2))"#� �* �����"( ��� $��"��+ ' !�� �� !� "�+$+!��� "#� �* �����"( ��� Af

2 → Af2

!� �#�� $� g% ?��$ "��� g ∈ GL(2,Q) �# $�#��� !* �����"( ��� !� $����� ��� "� ���#��$ ����$���� !� � ��#� N ��"�+����+� "#� gτ ��� ������ !#�� Isom(Af

2,Af ⊗Z

(Z + τZ)) "#� �*#$� �� ' &#�$(� "#� $��"�� � �� ' !�� �� !� g ��� �* �����"( ���Af

2 → Af ⊗Z (Z + τZ) !���+ "#� �# �#�� (1, τ)%

*� ������ � $ ��$ "�2 "��������3� $ �"2��"�2

1*��F�� !� $���� ��$� �� ��� !� !+������� �� �+����#� !� /� ��!� ��� ��� ��#� �#��� ��!��# ��� #����$+ !#�� �* ����!�$� �� :���"�� � �� �%�< �# � +&#������!*+�#�� � $� ,# �#�� ! ���� +���$+� !� /� ��!� ���#����� �# ���"�� � �� �%; !��� � ���# ,# � ��#&� "#� �# �� ��%

���� ���� �#������ ��� ��� !��0 �(+��=��� �� �#���% -#""����� ��*�� &���"�#�&+�� ��� ��� �� �"�� G ��� Q ��� ! � �� ���� ��� ������ �* � �*# #�$�� ��#� �,#$���� :$����0�< H ��� ��� H(R) �� � $��"#$�% ���� �*#����� ' �� � ��� !#�� �����$� ��� �� �#���� ��� �� $#� �7 G = PGL(2) �� SL(2)%

������� *�� +��� ! -#./� ,� ������ �� ������ � *�� ������ �������� �������� Q ��� ���

�������� ��, ���� ���� ����������� ������ K �� G(Af ), K\G(Af)/G(Q) ������ .�� ����� ��� ��� G(Af )/G(Q) ��� �������

������� *�# +��� ! -(./� ��� G �� ������ �������� ����� ��������� ������ ��� ������ ��� Q�

���� ���� ����������� ��������� �� G(C) ��� ������� ��� �� ������ ���� ��� ��� �� ������������ ���������� ����� ��������

��� !��0 �+����#�� ���� !�� !#�� ���� ,���� &+�+�#�� ' K��#�! D����% 1���$��! !+$���� !� �����"�� �� ������ !� D���� $���� �� �#""���� �# ���� 3�6% H��#���� �+,+���$� �� ������ !#�� 3�� �(+��=�� �%�6% 1� "��� �� ��� !+�����+ !#��3�6 �# � �� ������ #��� !#�� 3�� �(+��=��� �%� �� C%�6%

�#$(#�� ��� ���� &���"� #� �(�+� ��� à ��� !� �8"� /� :�� � 3� 4%�6 �� 3���(+��=�� �%�6< �� � �� !� �%� �# $���+����$� �� �#���

����!!"�� *�(� ��� G �� ������ �������� ����� ��������� �� ���� ��� ������� ��� Q, �� ��� à ����������� ��������� à �� G(C)�

���� �� ������ �� ����������� ���������� �� G(C) �������� à ��� ���

>� �Q�� �� ��� Γ1, . . . , Γk ��� �����&���"�� #� �(�+� ���� �#0 �#�0 !� G(C)$�����#�� Γ �� ���� �� ������ /� !*#"�=� �%�% �� � B �* �! $� �#0 �#� !� Γ !#���*�� !�� Γi% ����� ��� Γi ���� !� �8"� /� �� �� $��� ������ $(#$�� ��*�� ������/� !� �����&���"�� !* �! $� #� "��� B% )� ���� �����&���"� #� �(�+� ��� $�����#��Γ ��� $������ !#�� �*�� !�� Γi �� $� #��$ �� �! $� #� "��� B $� �� !+������ ��$�����# ��%

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

��� � ������

���� �� !+!� ���� �# "��� =�� "��"� +�+ !� /� ��!� �� �#���

���)�$����� *�*� ��� G �� ������ �������� ����� ��� Q, ��������� �� ������� ������� ��� (Γn)n∈N ��� ����, �������� ��� ��������� ��������, �� ������������ ���������� �� G(Q) ���� � ���� ���%������ ��� Γ �� ����������� ���������� ���������� G(Q)�

���� [Γ : Γ ∩ Γn] �� [Γn : Γ ∩ Γn] ������� ���� +∞�

�����$��"����� ��""����� "#� �*#����!� ��* � �0 ��� �� ��� �� B ��� ��� �* �+�&#� �+ [Γ : Γ ∩ Γn] ≤ B �� � �+� /+� "��� ��� �/� �+ !* �! $�� n% ����� Γ ��� !��8"� /� � �*# ��*�� ������ /� !� �����&���"�� !� Γ !* �! $� #� "��� B% ?��$ �#,#� ��� !�� Γ ∩ Γn ������� n "#�$���� $�� �! $�� �� $��"���! ��*�� ������ !��������% ?*#"�=� �� $�����# �� #""� ��+ ' $(#$�� !� $�� +�+����� � �*8 # ��*�������� /� !� �����&���"�� #� �(�+� ���� !� G(C) $�����#�� �*�� !� $�� Γ ∩ Γn%)� �# �� �� !�� Γn ��� ��""��+� �#�� ������� �� $����#���A $*��� �# $����#! $� ����$(��$(+�% )� # # �� �����+ ��� �# �� �� [Γ : Γ ∩ Γn] ���! ���� �* �/� %

�(� � ����� "��� $(#��� ��� �� �#����� n �� +�+���� gn !� G(Q) ��� ��� �*��# � Γn = gnΓ0gn

−1% K���� �# $��F�&# ��� "#� gn−1 �!� � ��� � F�$� ��

Γn/Γ ∩ Γn∼→ Γ0/(gn

−1Γgn) ∩ Γ0.

)� �� !+!� � ��� [Γn : Γ ∩ Γn] = [Γ0 : (gn−1Γgn) ∩ Γ0]%

�*#2��� #���� ��� �# �� �� !�� gn−1Γgn �*#!��� "#� !� ������� �� $����#���% >�

�Q�� �# �� �� !*��� ��� [Γ : Γ ∩ Γn] = [(gn−1Γgn) : (gn

−1Γgn) ∩ Γ0] �*#!��� "#� !�������� �� $����#���A ���� ���! �� �*# �� ���� �* �/� %

O� ��� ' +$(#�&�� ��� �J��� !� Γ �� Γ0 �� ' +��! �� �# �� �� !�� gn−1Γ0gn ��

�# ��������� "#� �*#����!� $ �!����� �*#""� ��� �� �� $��$��� ��� [Γn : Γ ∩ Γn] =[Γ0 : (gn

−1Γgn) ∩ Γ0] ���! +&#������ ���� ∞%

�� ���� ,#�� �# ����#�� +�#�� � �*#�#��&�� #!+� ��� !� �*+���$+ "�+$+!���% )������ � ' �# ��$� �� "�+$+!���� "��� ��� ���#� ��� �� � �+�� $��$���#�� ��� #!=���% ������ ,#�!�# "��� $� ,# �� ��#&� !� �# "��"� +�+ !� /� ��!� !� ������ !� $�#����%?#�� ��� +���$+� �� �#��� �� !��� /��# �� &���"� G(Q) #��$ ��� �#&� !#�� G(Af ) �!� �� "#� �� ���"( ��� !*#���#�0 Q→ Af %

���)�$����� *�0� ��� G �� ������ �������� ����� ��� Q, ��������� �� ������� ������� ��� (Kn)n∈N ��� ����, �������� ��� ��������� ��������, �� ������������ �������, �������, �� ���� � ���� ���%�����, �� G(Af )� ��� K �� ����������� ������ ������ �� G(Af )� 1����� Γ = G(Q) ∩K �� Γn = G(Q) ∩Kn� ���� ��� ����� � *������ [Γ : Γ ∩ Γn] �� [Γn : Γ ∩ Γn], �� ��� ��� �����

[K : K ∩Kn] �� [Kn : K ∩Kn], ������� ���� +∞�

�����$��"����� �� ��� K �� K ′ !��0 ���� &���"�� $��"#$�� �� ������� !� G(Af )%K���� K/K ∩ K ′ ��� /� % �� ��� Γ = K ∩ G(Q) �� Γ′ = K ′ ∩ G(Q) ��� &���"��

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

� �������� "�������� �1�� ����� �1���" �� � ���+� ������2�� ���

#� �(�+� ���� #���$ +�% K���� �*#""� $#� �� $#��� ���

Γ/Γ ∩ Γ′ −→ K/K ∩K ′

��� �F�$� ��% )� # !��$ ��� � ���#� �� [K : K ∩K ′] ≥ [Γ : Γ∩Γ′]% �#� $���+����� � ���� ��2�# !� �� !+������� �# $��$��� �� �� ������� ��*�� $� �� $��$���� ���&���"�� Γ �� Γn%

�#� �# "��"� +�+ �%� !� /� ��!� !� ������ !� $�#���� #""� ��+� #� �����&���"� ������ K0 !� G(Af ) � �0 ��� �� ������������� /� F !� G(Af ) ��� ���G(Af ) = G(Q) · F ·K0% >� "#�� $�� �� "��� $(#��� n ∈ N �� "��� ������� ���+$� ���� !� �����&���"� Kn $��F�&�+ ' K0 !#�� G(Af ) ���� �# ,����

Kn = qnfnK0fn−1qn

−1, �7 fn ∈ FK0 �� qn ∈ G(Q).

������ Γf = fK0f−1 ∩ G(Q) "��� f ∈ F �� Γf

n = qnΓfqn−1 "���

(f, n) ∈ F ×N% )� # # �� Γfnn = Kn ∩G(Q) "��� ���� n ∈ N% >�/� Γ !+� &���#

K ∩G(Q)%)� �# ������� ��� "��� ���� f !#�� F �# �� �� !�� Γf

n �*#!��� "#� !� ������ �� $����#���% ������ N(Γf ) �� ����#� �#���� !� Γf !#�� G(Q)% �*��� �����&���"�#� �(�+� ��� !� G(Q) $�����#�� Γf 1* �! $� [N(Γf ) : Γf ] ��� /� :$,% 3�� :�%��<6<%

���# ��� ��� ' ������� ��� �# �� �� (qn ·N(Γf ))n∈N !�� $�#���� ' !�� �� ��!���N(Γf ) �*# "#� !� ������� �� $����#���% �� ��2� �* �! $� [N(Γf ) : Γf ] +�#�� /� ���$� �� � �� $#� "��� �# �� �� (qn · Γf )n∈N �� �.�� F +�#�� /� "��� �# �� �� (qn ·(⋂

f∈F Γf ))n∈N%��""����� "#� �*#����!� ��� �# $�#��� qn ·

⋂f∈F Γf �� � �# �.�� "��� ���

�/� �+ !* �! $�� n% O� ��� ' �0��# �� F +�#�� /� �� "��� ��""���� ��*�� �����"��� $�� �! $�� fn �� "���! ��*��� ����� �#���� ! ���� g% ?=� ���� Kn =qn(gK0g

−1)qn−1 �� "���! ��*��� ����� �#���� ������� n "#�$���� $�� �.��� �! $��

$#� !*��� "#�� Γg ��� $������ !#�� gK0g−1 �� !*#���� "#�� qnΓg �� �*+$� � #���

(qn ·⋂

f∈F Γf ) · Γg ��� ��""��+ �� "#� !+"��!�� !� n% )� Kn +�#�� ��""��+ �#��������� �� $����#��� $*��� #����!�%

)� �� !+!� � ��� "��� ���� n ∈ N � �*8 # ��*�� ������ /� !* �! $�� n′ ������� Γf

n = Γfn′ %

K �� �# �� �� !�� Γfn �*#!��� "#� !� ������� �� $����#���%

)� "��� #���� #""� ���� �# "��"�� � �� "�+$+!���� �� �� !+!� �� ��� "��� f

/0+ [Γ : Γ ∩ Γfn] ���! ���� +∞% )� $��$��� #���� "#� /� ��!� !� F ��� ��� �� ���

[Γfn : Γ ∩ Γf

n] �� [Γ : Γ ∩ Γfn] ���!��� ���� +∞%

1# "��$(# �� +�#"� $��� ��� ' ����� � �� �+����#� #�#��&�� "��� ��� ������ !#��G(Af )/K ′ !*�� �����&���"� $��"#$� ������ K !� G(Af ) "���J� ��� "��� �* �#&�!�� $��F�&�+� !� K% �$ K ′ !+� &�� �� !��0 =�� �����&���"� $��"#$� ������ !�G(Af )%

���)�$����� *�1� ��� G �� ������ �������� ����� ��� Q, ��������� �� ������� ������� ����� K �� K ′ ���� ������������ ������� ������� �� G(Af )� ���

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

��� � ������

(gn)n∈N ��� ���� ��� G(Af ) ����� ��� ��� K������� KgnK ′/K ′ ����� ���� ����� �������� ��� G(Af )/K ′�

���� � ���� � *������ #KgnK ′/K ′ ���� ���� +∞� #� �����, �� ����� Γ =G(Q) ∩K, #ΓgnK ′/K ′ ���� �������� ���� +∞�

�����$��"����� U�#�� !���+ g ∈ G(Af ) ���� #���� !�� � F�$� ���

KgK ′/K ′ ∼→ g−1KgK ′/K ′

� g−1Kg/(K ′ ∩ g−1Kg)∼→ K/(gK ′g−1 ∩K),

!*�7 �*+&#� �+ #KgK ′/K ′ = [K : gK ′g−1 ∩K]%G������� �# ����#�� ��� �# $�����"��!#�$� �� �#���

{(KgK ′, g−1Kg) | g ∈ G(Af )}

����� !������ $�#���� !� K �� K ′ �� $��F�&�+� !� K ��� ��� $�����"��!#�$� ���%����� $�����"��!#�$� ��� �!� �� "#� ��� T=$(��

K\G(Af)/K ′ ←− K\G(Af ) −→ N(K)\G(Af ),KgK ′ ←−� Kg �−→ g−1Kg.

�7 N(K) !+� &�� �� ����#� �#���� !� K% �� ��2� !��$ !� ������� ��� $(#$��� !�$�� !��0 T=$(�� ��� ' /���� /� ��%

���� �# T=$(� !� &#�$(� KgK ′ +�#�� $��"#$� ��� �#&� !#�� K\G(Af ) ���/� � K +�#�� ������%

���� �# T=$(� !� !�� �� � ,#�� ������� ��� N(K)/K ��� /� % �� ��2� !� ���������� N(K) ��� $��"#$� K +�#�� ������%

���)�$����� *�4� ��� G �� ������ �������� ��������� ��� Q� ��� K �� ����������� ������ �� ������ �� G(Af )� ���� �� ���������� N(K) �� K ��� G(Af )��� �������

�����$��"����� 1# !+������#� �� $�����$� #��$ �� ,# � � �� $���� �� �#�� �7"��� �� �����&���"� #�&+�� ��� !� GL(N) !+/� ��� Q �� ���� G(Zp) �� �����&���"�!�� "� ��� !� G(Qp) �� #""#�� ������ ' GL(N,Zp) �� G(Z) �� "��!� � !�� G(Zp)"��� p "��� ��%

�� *�5� ��� G �� ����������� �������� �� GL(N) ���� ��� Q, �� K ������������� ������ ������ �� G(Af )� ���� � ����� �� �������� �� F �� ��������������, �� ���� *��� ���� ���������� ����, �� �� ����������� ������ �������� KF �� G(

∏p∈F Qp) ���� ���

K = KF ×∏p�∈F

G(Zp).

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

� �������� "�������� �1�� ����� �1���" �� � ���+� ������2�� ���

>� �Q�� K �� G(Z) +�#�� $��"#$�� �� ������� $� ���� !�� �����&���"�� $���������#���� !� G(Af )% �� �0 ��� !��$ �� ������������� /� E !� G(Af ) ��� ���K ⊆ E ·G(Z) �� G(Z) ⊆ E ·K% �� � F �� �������� /� !� ������� "��� ��� $������#�� $��0 #""#�# ��#�� #�0 !+��� �#����� !�� +�+����� !� E% �*��� �� ��������/� �� "��� .��� $(� � #�� ��# ������ &�#�! �� "#� $������$� �� � �+� /�∏

p∈F

{1} ×∏p�∈F

G(Zp) ⊆ K ⊆∏p∈F

G(Qp)×∏p�∈F

G(Zp).

�� �� !+$���� �� �+����#� $(��$(+%K�#�� !� ���� ��� �# !+������#� �� !� �%� ���� +�#�� ����� ��� $���+����$� !�

3�� ���"�� � �� �%�;6%

���)�$����� *�6� ��� G �� ������ �������� ��������� ��� Q, ��� F ���������� �� �� ������� �������, �� ��� K �� ����������� ������ �� ������ ��∏

p∈F G(Qp)� ���� �� ���������� N(K) �� K ���∏

p∈F G(Qp) ��� �������

>� �Q�� ����!� ���� "��� ���� p !#�� F �� �����&���"� Kp := K∩G(Qp) !� K%�*��� �� �����&���"� $��"#$� �� ������ !� G(Qp)% ?��$ !*#"�=� 3�� ���"�� � ���%�;6 ��� ����#� �#���� NG(Qp)(Kp) !#�� G(Qp) ��� $��"#$�% �� � �# ����#�� ��+�+���� g = (gp)p∈F !�

∏p∈F G(Qp) ����#� �#�� K% ����� G(Qp) ��� �� �����

&���"� ! �� �&�+ !�∏

p∈F G(Qp) gp #""#�� ��� ' NG(Qp)(Kp) "��� ���� +�+����p !� F % �� �� � ��� N(K) �* !��� /� ' �� �����&���"� !�

∏p∈F NG(Qp)(Kp) �� ���

$��"#$�% ����� N(K) ��� �� �����&���"� ,���+ �� �� !+!� � ��* � ��� $��"#$�%?+�������� ' "�+���� �# ���"�� � �� �%�% >� �Q�� �� � G �� &���"� #�&+�� ���

��� �� �"�� �� $��� !+���� ��� ��"�+����#� �� /!=�� !� G ��� Q !� ����� ��� G

"����.��� �� $���� �����&���"� ,���+ !� GL(N)%?*#"�=� 3�� ���"�� � �� �%�%�6 "��� ���� ������ "��� �� p (��� � �� ��������

/� E !*����� ��0 G(Zp) ��� �� �����&���"� :$��"#$�< ���������� !� G(Qp)%>� "#�� $�� �� $*��� �� �����&���"� $��"#$� �#0 �#� :�� � 3�� �%C%�6< !� G(Qp)%���� �� ��� p $��� !+���� �� ����#� �#���� !� G(Zp) !#�� G(Qp)% �*��� �� &���"�$��"#$� !*#"�=� 3�� ���"�� � �� �%�;6 �� $� &���"� $��� ��� G(Zp)% 1� &���"�G(Zp) +�#�� $��"#$� �#0 �#� � ��� !��$ ��� "��"�� ����#� �#����%

�� � ��/� K �� �����&���"� $��"#$� �� ������ !� G(Af )% ?*#"�=� �� 1���� �%C � �0 ��� �� �������� /� F !� ������� "��� ��� ���� ��� K "��� �� ������ ���� �#,���� KF ×

∏p�∈F G(Zp)% )� "��� �.�� ��""���� ��� �*�������� /� E $ �!�����

��� $������ !#�� F % 1� ����#� �#���� !� K !#�� G(Af ) �*+$� � #����

N(K) = NG(Q

p∈F Qp)(KF )×∏p�∈F

G(Zp).

?*#"�=� �# ���"�� � �� �%� NG(Q

p∈F Qp)(KF ) ��� �� �����&���"� $��"#$�% )� "���#���� $��$���� ��� N(K) ��� �� �����&���"� $��"#$� !� G(Af )%

)� "��� ' "�+���� ���� ��� �# !+������#� �� !� �# ���"�� � �� �%;% ?#�� �*+&#� �+#KgK ′/K ′ = [K : gK ′g−1 ∩K] � �*8 # !*#"�=� �%� ��*�� ������ /� !� !������

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

��? � ������

$�#���� KgK ′ �� $�����"��!��� ' �� $��F�&�+ !���+ gKg−1 !� K% )� "��� #����$��$���� ' �# "��� =�� "#�� � !� �*+���$+ �� #""� ��#�� �# ���"�� � �� �%�%

O�#�� ' �# ��$��!� "#�� � !� �# $��$��� �� �� +$� � "#� /� ��!� !� ������ !�$�#���� gn = qn · fn · kn �7 qn ∈ G(Q) kn ∈ K ′ �� fn ∈ F �� �7 F ��� �� ������������� /� !� G(Af )% O� ��� ' �0��# �� �� "��� ��""���� ��� fn �� !+"��! "#� !�n% O� ��� ' ���"�#$�� K ′ "#� f0K

′f0−1 �� �� ��� $��������#��� �� "��� �.��

��""���� ��� fn ��� �*+�+���� ������ �� $� �� ��� ��� #� �.�� ��� gn ∈ G(Q)%?=� ���� ΓgnK ′/K ′ ��� $#��� ������� �����"(� ' ΓgnΓ′/Γ′ �7 Γ′ := K ′ ∩G(Q)%)� �# $�����"��!#�$� "�+$+!���� �!� � ��� �����$�����"��!#�$�

Γ\G(Q)/Γ′ ←− Γ\G(Q) −→ N(Γ)\G(Q),ΓgΓ′ ←− � Γg �−→ g−1Γg

���� #��� /� �% �� ��2� "��� $��$���� !*#""� ���� �# ���"�� � �� �%�%

���� #""� ����� �# ����#�� $� �+����#� #� &���"� PGL(2) �� �� !+!� ���� "#��� � # � !� �(+��=�� !� �* �#&� ������� !#�� �� $#� #�&+�� ��� �� �# ���"�� � �� �%�� ��� ��� "��"� +�+ !� /� ��!� ��� ��� ��#� #��� ��!��# ���%

���)�$����� *��7� ��� L �� ���������� �� C �� ���� �� ��� Q �� ��� E ��������� �������� �������� ��� ���������� �������� ��������� ��� ��� ��������� ��� �� L� ��� (En)n∈N ��� ���� �� ������� ��������� ������ ���"��� � E

�� ���� � ���� ��� ���������� ���� degL(j(En))→ +∞�

�����$��"����� �� � EK �� ��!=�� !� E ��� ��� �0���� �� /� � K !� L% K���� ��# �*��$#!������ 1 ≤ degL(j(En))/degK(j(En)) ≤ [K : L]% �� ��2� "#� $���+�����!� $��� !+��� �# �� �� !�� ��� ��� degK(j(En))% )� degK(j(En)) ��� �� $#�! �#� !��*��� �� !� j(En) ���� �*#$� �� !� Aut(C/K)%

1# Aut(C/K)���� �� !� $(#$�� !�� j(En) +�#�� /� � �� "��� � �� �Y� ���"�#$���*(8"��(=�� ��� ��� En ���� ��� �����"(�� #�������� ! � ��� ��� j(En) ���� ! ��� �$�� "#� �*(8"��(=�� ��� ����� Aut(C/K)���� ��� ���� !��0 ' !��0 ! �� �$���%

���� #���� �� ��� �*#$� �� !� Aut(C/K) ��� �*�������� !�� ��#� #��� ��!���# ��� "�����#�� !� $������ ��� "� ���� ��&=��� ' E ��� �����"(� ' �*#$� �� !*�������&���"� ������ !� PGL(2, Z) ��� PGL(2,Q)/PGL(2,Z) :���"�� � �� �%�<%

)� !*#"�=� �# ���"�� � �� �%; $���� #$� �� �*#!��� "��� ���� ��� �� N ��*�������� /� !*��� ��� !� $#�! �#� #� "��� N %

0� �3����$���%����� � $ )����$ � 8 �9

1� �+����#� "� �$ "#� !� $���� ��$� �� ��� �# ���"�� � �� �%� �� �*��� ��*��� �#� #���#!+� ��� !+!� �� !� �+����#� !*+�� ! ��� ��� �� !�� ����� �� 2��3�% ���� �����!����"#� $� ����� ��� $�#���� "�����#�� !*�� �+��#� !*�� &���"� !� 1 � "��� �*#$� �� !*����$��! �+��#� $��������#��� #� "��� ��% ���� "�+$ �+���� ���� ���� �#������ ����*+���$+ �� �#��

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

� �������� "�������� �1�� ����� �1���" �� � ���+� ������2�� ���

������� 0�� +�3����$���%����� � $ )����$ � 8 �9 & �:� -6./� ��� G �������� �������� ����� Q������ ������� ��� ��� G(R) ��� ��� ������� �����Γ �� Γ′ ���� ������ ���������� �� G(R)+� 1����� µ � *����� �������� G(R)+

������ ��� Γ′\G(R)+� .��������� ��� ���� (gn)n∈N ����� ��� ��� Γ�������

Γ′\Γ′gn · Γ���� ���� � ���� �������� ��� Γ′\G(R)+�

���� ���� ����� !������ ������� �� ������ f : Γ′\G(R)+ −→ R,∑x∈Γ′\Γ′gn·Γ

f(x)

#Γ′\Γ′gn · Γ → µ(f) :=∫

Γ′\G(R)+fdµ.

>� !*#����� ������ ��� ��� ��� Γ′\Γ′gn ·Γ � *������������ !#�� Γ′\G(R)+ �����# "���#� � �+ (���&=�� µ%

?#�� $�� +���$+ �# ���#� �� G(R)+ !+� &�� �# $��"��#��� ������ !� &���"� !�1 � �+�� G(R)% �*��� �� &���"� !� 1 � �+�� �������%

���� ��# ���� $ �� $#� !*�� &���"� #�&+�� ��� #��� &+�+�#� ��� "��� ���% �������� �+,+���� ' 3�6i �7 �� �+����#� �� �#�� �� !+!� � ! ��$������ !� �*+��!� !��(+��=�� !� -#���� ���� !� 3�;6% ���� ��� #""� $#� ��� !#�� �� $����0�� #!+� ��� ������� ��� �*+���$+ $������ !#�� 3�6 ��2��% ���� �# !+������#� �� !� �+����#� �%����� �*�� � ������ ��� �� $#� !� &���"� SL(2) �� "���J� !� PGL(2)% �� �� "����# �#���� ��� �� �+����#� !� 3�6 �� � $���� !� "��� ���&�� !#�� "��� $� &���"� "#�� $�� ��%

���� !+������� �� �+����#� �%� ���� �� � ������ �# �#� #��� #!+� ��� $ �!������ !�$�� +���$+% )� "���!�# &#�!� ' ! Q+���$ �� ��� $�" �� �� �#���� !� Q �* �#&� ιR(Q)!� ιR : Q → R �* �#&� ιf (Q) !� ιf : Q → Af �� �* �#&� ιA(Q) !� ιA : Q → A"��� � �"������ ���+� Q% )� !+� &�� "#� G(Q)+ �� �����&���"� !� G(A) ������$���� �# "�+ �#&� !� G(R)+% >�/� ��� �#&�� !� G(Q)+ "#� ιR �� ιf ���������"�$� ������ ���+�� G(ιR(Q))+ �� G(ιf (Q))+%

-��#������ ��� "#� /� ��!� !� ������ !� $�#���� � �0 ��� "��� ���� �����&���"� $��"#$� �� ������ K ′ !� G(Af ) �� �������� /� F !+"��!#�� !� K ′��� ���

G(A) = G(Q) · F ·G(R)+K ′.

�� � Γ′ �� �+��#� ιR ◦ ιf−1(K ′∩G(ιf (Q))+) !� G(R)+% K���� �*#""� $#� �� �#�������

Γ′\G(R)+ → G(Q)\G(Q) ·G(R)+ ·K ′/K ′

�!� � �� �����"( ��� !� G(R)+���"#$�� (���&=��� ' !�� ��% >� "#�� $�� ��G(Q)\G(Q) ·G(R)+ ·K ′/K ′ ��� $����0�%

���)�$����� 0�#� ��� G �� ������ �������� ����� Q������ ������� �� ������� ������� ����� K �� K ′ ���� ������������ ������� �� ������� �� G(Af )�

iR ����� �������& 6�� "��& �� �& ����� 8��6� ��� � ���&� �;��)���H&� &))�8 ������� "� =�@&� ��& "�'�8& �&� &)��S�� ";�)�H& �� %��)�&����� ��?�

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

��4 � ������

.��������� ��� ���� (gn)n∈N ��� G(ιf (Q))+ ����� ��� ��� K�������

K · gn ·K ′/K ′

����� ���� � ���� �������� ��� G(Af )/K ′� )� ��������� ��� ��������������En = K · gn ∩G(ιf (Q))+ ·K ′ �� G(Af )�

)� ������ �� µ � �������� G(R)+������� ��� �� G(R)+�����������"�� � ����� ������� X := G(Q)\G(Q) ·G(R)+ ·K ′/K ′�

���� ���� ����� !������ ������� �� ������ f : X→ R,

∑x∈G(Q)\G(Q)·En·K′/K′

f(x)

#G(Q)\G(Q) ·En ·K ′/K ′ → µ(f) :=∫X

f�µ.

>� !*#����� ������ �# �� �� !�� ��������� /� � En ·K ′/K ′ �*+�� ! ��� ��� !#��G(Q)\G(Q) · G(R)+ · K ′/K ′ � Γ′\G(R)+ "��� µ% ������ �� "#��#�� ��� ������������ En ·K ′/K ′ ���� ��� � !�� $#� �� # "� � �� � !� $(� � � ��� +�+����� gn

!#�� G(ιf (Q))+%����� K ′ ��� ������ �� K ��� $��"#$� K · gn · K ′/K ′ ��� �� �������������

/� !� �*��"#$� ! �$��� G(Af )/K ′% )� "��� !��$ ���"�#$�� �*(8"��(=�� ��� ���K���� ��� K · gn ·K ′/K ′ �� ��� !��0 ' !��0 ! �� �$��� "#� �*(8"��(=�� ��� gn ·K ′

���!� ���� �* �/� !#�� G(Af )/K ′% ����� K ′ ��� $��"#$� $��# ��� ��� #� �.��!� ��""���� ��� gn ���! ���� �* �/� !#�� G(Af )%

���# +�#�� �# ���"�� � �� �%; "����� !+F' !*#2���� ��� �# �� �� !� $#�! �#�0#K · gn ·K ′/K ′ ���! ���� +∞ � �� ��������� � gn ���! ���� ∞ !#�� G(Af )% )��*#""� $#� �� G(Af )/K ′ → G(Q)\G(A)/K ′ ��� �F�$� ��% �#� $���+����� �� $#�! �#�!� G(Q)\G(Q) ·K · gn ·K ′/K ′ +&#�� $��� !� K · gn ·K ′/K ′% ���� ��� (8"��(=���!� �*+���$+ $�� $#�! �#�0 ���!��� !��$ ���� +∞%

1# �+!�$� �� !� �# ���"�� � �� �%� ' �# ���"�� � �� �%� "�+$+!���� $��� ��� ������� �������� �� �*#""� $#� �� !� ����� �� �#��

�� 0�(� ����� ������ � *���� ���������� � *�� ������ G ��� �� ��������X, �� ��*�� ����������� H �� G �� �� ������������� H������ Y �� X� ����������� f : Y → Z ��� ������� ���� �� ����� ��������� �������

)� �����"�� ��� ���� G · xn � *������ ���� �� G ��� X ���������� Y � ���������� ��� ���� ����� ���� yn �� Y, ����� ��� yn ∈ G · xn ∩ Y ���� ���� n ∈ N,

� ���� �� ��������� f�µyn ��� Z �������� ���� ��� ����� �������� µ, �- µyn

������ � �������� H������� �� ������� H · yn� ���� �� ������� �� µn � �������� ����������� �� ������� G · xn ∩ Y, �

���� f�µn �������� �������� ���� µ, ������� n→∞�

K�#�� !� !+������� $� ����� +���P��� �� $#� "#�� $�� �� �� �#�� X = Y = Z

�� f ��� �* !��� �+% ������ �� "#��#�� ��* � ���# ���+� �������� ,# � ��#&� !� $#�"#�� $�� �� �� �#�� �7 X = Y = Z �� f ��� �* !��� �+

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

� �������� "�������� �1�� ����� �1���" �� � ���+� ������2�� ���

�� 0�*� ����� ������ � *���� ���������� � *�� ������ G ��� �� ����� ���������� ������ X, �� ��*�� ����������� H �� G� .��������� ��� ���� (xn)n∈N

��� X ����� ��� � *����� G · xn ��� ��� ���� ���� n ∈ N���� µ ��� ������ �� �������� ��� X �� ��������� ���, ���� ����� ����

(yn)n∈N ����� ��� yn ∈ G ·xn ���� ���� n ∈ N, µyn �������� ���� µ, �- µyn ������� �������� H������� ��������� �� H · yn�

���� � µn ������ � �������� G������� ��� G · xn, µn ���� ���� µ�

?+�������� �# ����#�� �� 1���� �%�% :�� �*�� �� ��# �� 1���� �%�%<

�����$��"���� �� �� 0�(� �� � ϕ ��� ,��$� �� $��� ��� �� ����+� ��� Z%)� ���� �������

«µn(ϕ) =

∑x∈(G·xn)∩Y ϕ ◦ f(x)

# ((G · xn) ∩ Y )���! ���� µ(ϕ) ������� n ���! ���� ∞»

)� �� "��� �+#��#�&�� �# ����� /� � ����� ��� $�#���� !� H # ��

µn(ϕ) =∑

E∈H\(G·xn∩Y )

1# (H\(G · xn ∩ Y ))

(∑x∈E ϕ ◦ f(x)

#E

).

�#� (8"��(=�� �*�������� !� �+��� {∑x∈E ϕ ◦ f(x)/#E|E ∈ H\(G · xn) ∩ Y } ���!�� ,���+���� ���� µ(ϕ) ������� n ���! ����∞% )� $��$��� !��$ ��� µn(ϕ) �� ����� �� �#�8$����� ���! �� #��� ���� µ(ϕ)%

?+�������� �#�� �#�!�� �# ���"�� � �� �%�%

�����$��"���� � !" ���)�$����� 0�#� H� � ���� �� 1���� �%� "��� X =G(Af )/ K ′ G = K H = K ∩ G(ιf (Q))+ Y = G(ιf (Q))+/K ′ Z = X =G(Q)\G(Q)G(R)+ K ′/K ′ �� ��� �� �� K · gn ·K ′/K ′ !� G���� ��� ����� ��� !#���*+���$+ !� �# "��"�� � ��% ���� �� !+!� ���� ��* � ��2� !*+�#�� � �# $�����&��$��� �� $��� !+�#�� ��� !�� K ∩G(ιf (Q))+���� ��� $�������� !#�� Y "���J� ��� !��K���� ���%

�����!� ���� ��� �����&���"�� Γ �� Γ′ !� G(Q) ���� ��� ιf (Γ) = K∩G(ιf (Q))+ ��ιf (Γ′) = K ′ ∩G(ιf (Q))+% K �� ιR(Γ) �� ιR(Γ′) ,������ !�� �+��#�0 #� �(�+� ����!� G(R)+%

U�#�� ����� �# $�����#� � �+ !� ! #&�#��� $ �!������

G(Q)+/Γ′

��

�� Γ′\G(Q)+

��G(ιf (Q))+ ·K ′/K ′

��������������ιR(Γ′)\G(R)+

�������������

G(Q)\G(Q) ·G(R)+ ·K ′/K ′

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

��� � ������

�7 �# T=$(� (�� Z���#�� ��� �# � F�$� �� q−1Γ′ �→ Γ′q% �� ��2� !� ���#����� ���"��� q ∈ G(Q) ��� G(Q)�$�#���� ' &#�$(� G(Q) · G(ιR)(q) �� G(Q) · G(ιf )(q−1)���� !��� ���� !#�� G(Q)\G(A)%

K �� ��� ��� ��� ' &#�$(� ιf (Γ)·gn ·K ′/K ′ !� ιf (Γ) !#�� G(ιf (Q))+ ·K ′/K ′ �� ������ ��� ' !�� �� ιR(Γ′)\ιR(Γ′)·G(ιR◦ιf−1)(gn)·ιR(Γ) !� ιR(Γ) !#�� ιR(Γ′)\G(R)+

�!� ���� �� �.�� �������� !#�� G(Q)\G(Q)·G(R)+ ·K ′/K ′% )� �*��� !��$ �#���+' +�#�� � �*+�� ! ��� ��� �� !� ιR(Γ)���� ��� !#�� ιR(Γ′)\G(R)+%

)� ��� K���� ��� ���� !��0 ' !��0 ! �� �$���% ���# "����� !*#""� ���� �# ���"��� � �� �%; !*�7 "��� ���� n ∈ N � �*�0 ��� ��*�� ������ /� !* �! $�� n′ ���� ���ιf (Γ) · gn ·K ′/K ′ = ιf (Γ) · gn′ ·K ′/K ′% K �� !#�� �# �� �� !�� ιf (Γ) · gn′ ·K ′/K ′!��$ #��� !�� ιR(Γ′)\ιR(Γ′) ·G(ιR ◦ ιf

−1)(gn) · ιR(Γ) �.�� � ��� ������ �� ����"#� !��0 ' !��0 ! �� �$�� � �*8 # "#� !� ������� �� $����#���%

�*��� "������ �� "��� ���� !� �.�� #""� ���� �# ���"�� � �� �%� ' �*#$� ��!� &���"� #� �(�+� ��� ιR(Γ) ��� ιR(Γ′)\G(R)+% )� $��$��� !��$ ' �*+�� ! ��� ���� �� !�� ��������� En !� �*+���$+ "��� �# "���#� � �+ G(R)+� ��#� #��� !#��G(Q)\G(Q) ·G(R)+ ·K ′/K ′%

1� �����$��"����

?+�������� /�#������ �� �(+��=�� �%�% �� ���# ,# � ��#&� !�� +���$+� �%� �%� �%��%� �� �%;%

�� � L �� $��"� !� �8"� /� $�����#�� ζN �� $������ !#�� C �� �� � (zn)n∈N ����� �� !� "� ��� !� Y (N)(C) ����� ��� !#�� �*+���$+% ���� ���� n ∈ N �� � (En, βn)��� $����� ��� "� ��� $��"��0� #��$ ����$���� $��"�=�� !� � ��#� N ��"�+����#���� "� �� zn% �#� (8"��(=�� ��� $������ En ���� !��0 ' !��0 ��� �����"(�������������� ��&=��� �#�� ���� "� $#� �� $��"��0� �� !+/� ��#���� ��� �# ,��������� #�&+�� ��� !� L !#�� C%

S 0��� (E, β) := (E0, β0) �� ������ (P, Q) = (β(1, 0), β(0, 1))% �� � (EK , βK) ����!=�� !� (E, β) ��� ��� �0���� �� /� � K !� L $������� !#�� C% �#� (8"��(=�� E

"��� .��� !���+� "#� ��� +��#� �� !� �� �����#@ Y 2 = X3 + aX + b ' $��2�$ ���� a �� b #�&+�� ���� ��� LA � ��2� #���� !� "���!�� "��� K �*�0���� ��

L(a, b, X(P ), X(Q), Y (P ), Y (Q))/L

!� L ��&��!�+ "#� ��� $��2$ ���� a �� b # �� ��� ��� $���!���+�� !� P �� Q% �*������ �0���� �� /� � !� L%

?=� ���� Aut(C/K) ��� �� �����&���"� !* �! $� /� !� Aut(C/L)% )� #""� ���#���� �� 1���� �%� "��� X = Y (N)(C) G = Aut(C/L) �� H = Aut(C/K)%)� �� !+!� � ��* � ��2� !*����� � �� �+����#� !*+�� ! ��� ��� �� "��� !�� ��� ���!� Aut(C/K) "���J� ��� Aut(C/L)% )� "����# !��$ ��""���� ��� K = L%

����� ��� ��� ��� Aut(C/L) · zn ���� /� �� �� ��� ��� "� ��� zn ���� ��""��+�! �� �$�� �� "����# �� ��� ' �0��# �� ��""���� ��� ��� ��� ��� Aut(C/L) · zn ����!��0 ' !��0 ! �� �$��� $*����'�! �� ! �F� ����%

)� �� /0� ��� �#�� !� T (E) �����#�� β !� ����� ��� �*�� # �� �#�� �%���� !��� /$#� �� !� IsogN,ζN

#��$ Q�\GL(2,Q)GL(2)[N Z]/GL(2)[N Z]% ?*#"�=�

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

� �������� "�������� �1�� ����� �1���" �� � ���+� ������2�� ���

�# ���"�� � �� �%� �� ��8���#�� �� $(� 0 !*�� ��!=�� "��� (E, β) �� # �.�� �����"( ��� ρ : Gal(C/L)→ GL(2, Z)%

)� ���(# �� #""� ���� �# ���"�� � �� �%� #�0 ��� ��� !� �*#$� �� !� Aut(C/L)��� IsogN,ζN

% )� "���! "��� G �� Q�&���"� #�&+�� ��� � �+# �� PGL(2)% �*���� �� �� &���"� Q�� �"�� !� �8"� ��� $��"#$�% )� "���!�# "��� K ′ �� ����&���"� $��"#$� ������ PGL(2)[N Z]% O�#�� ' K $� ���# �* �#&� !� ρ(Aut(C/L))!#�� PGL(2, Z)% ?*#"�=� �%� �� �%� $*��� �� �����&���"� $��"#$� ������%

1� ���"( ��� ���� ��� GL(2)→ PGL(2) �!� � ��� #""� $#� ��

Q�\GL(2,Af )/GL(2)[N Z]→ G(Af )/G(Z).

����� �� # A�f ∩ GL(2,Q) = Q� $�����$ ��� �F�$� �� ��� �� �������������

Q�\GL(2,Q)GL(2)[N Z]/GL(2)[N Z]% >��� !��� /� "#� $���+����� IsogN,ζN#��$

�*�������� G(ιf (Q))K ′/K ′% )� G(ιf (Q))K ′/K ′ ��� $������ !#�� �*��"#$�G(Af )/K ′ $��� !+�+ !#�� �# ���"�� � �� �%�% ���� !+���� �# �� �� !�� ��� ��� ��"�"��+�� ! �� �$��� Aut(C/L) · zn !� Aut(C/L) !#�� IsogN,ζN

�7 n !+$� � N% >�����* !��� /��� ' !�� ��� ��� !��0 ' !��0 ! �� �$��� !� K !#�� G(Q)K ′/K ′% ?� "���G(R) +�#�� $����0� �� # G(R)+ = G(R) �� !��$ G(Q)+ = G(Q)% �#� $���+�������� ��� ��� !� K !#�� G(Q)K ′/K ′ ���� � �� !� �# ,���� K · gnK ′ �7 gn ∈ G(Q)+%

)� # # �� �+� /+ ������ ��� (8"��(=��� �+$���# �� ' �*#""� $#� �� !� �#���"�� � �� �%� #�0 ��� ��� !� K !#�� G(Q)K ′/K ′ $�����"��!#�� #�0 ��� ���Gal(C/L) · zn% )� �� !+!� � ��� $�� ��� ��� �*+�� ! ��� ����� !#�� �*��"#$�

G(Q)\G(Q) ·G(R) ·K ′/K ′ � Γ(N)\G(R)

"��� �# �������G(R) ��#� #��� ' &#�$(�%)� !*#"�=� �# ���"�� � �� �%; �� $��"��#�� �*#""� $#� ��

IsogN,ζN→ Γ(N)\G(R)

$ �!����� "#� �*#""� $#� �� Γ(N)\PGL(2,R) → Y (N)(C) �! ��+� �� ���������* �$��� �� !� IsogN,ζN

!#�� Y (N)(C)% G# � �*#""� $#� �� "#� �#������ �� $���"��� ���� � �# ������ ��#� #��� !� Γ(N)\G(R) ���� �# ������ (8"����� ��� !�Y (N)(C)% �#� $���+����� ��� ��� ��� !� Aut(C/L) !#�� IsogN,ζN

�*+�� ! ��� �������� ��������� !#�� Γ(N)\G(R) �# � #��� !#�� Y (N)(C) $� �� ���� �� �#!+������#� �� !� �(+��=�� "� �$ "#�%

��:�� �� $

��� �� �� ���� �� ����� � �� �� ���������� �� ������ ��� ������ � ������������ ��� �� ������� ������� ���� ���� �� �������� � ��� ���� ������ �� ���� ���� ������� ���� �� ���!�� � "# �$%%& ��� �'()�'$�

�*� �� +�� � ��� ,�� �� ���� ��� � �� �� � ������ �! � ��� � , ��� ����� ������� �� ����� ����� ���� �� �$%-& .)-'�

�-� /// � ���� �� ���������� �� ������ ��� ��������� �� ����� ������ �������� �$%%& 01)1$�

�(� 2� 3��4 � 5� 6� �� 7� 8���� 5 �9 �� ������ �� :������������� �� 5 �9 ������������ ����� ��� *& *''�& -*0)-.��

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

��� � ������

�.� �� � �� 5��� ���� �� ������� ��� ���� 3������ 2 ���� � � ���� ������ 8�! ����� �� 3������ �� �� 3������ #2 *'''&�

�%� �� � ��� �� �! � � ��; ���� � � ��� � � ������ !���� �<���=� >� ?������&� �!�� "�� ������� �$1.& *.)(�@ � ���� +�����9� A��� �$1-B1(�

�0� �� � ��� �� �� "������� 2 � ���C��� � ����� � � ����� � ������:� � � ��#���� $������ % &�� '�������, �� 2 ���� ��� � � ���� ������ A��� -($ ����� �+ ��� �$0-& ��� �(-)-�%�

�1� D� ��9 5�� ������ ����������� ����� �� �� ����E�� ���� F ���� ����� ������������ ����� �� �& �$11& 0-)$'�

�$� �� 7�9� �� 5� 6� 7������ �� �� ��� ����� �� :������������� �� 5 �9 �����(����� ���� � ���� � ��� �� �& *''%& �%-)�%0�

��'� >� ?������ 7�����9 ����G�4 �H� �� ���� A��� �G� H� � I���9J�� � ������������ �� -& �$1-& -($)-%%�

���� K� 5���� ������)?���� :������ 5���������� �� �� ����� ���� �� � �������#����� : ��� �������)*����� ��� *������ ("����� >���� �� +� ��� ���� ����*'''& ��� �-0)�.��

��*� K� 7� 5����� �� ���������� ��� 2 ���� ��� � � ���� ������ A��� 01$ ����� � + ��� �$1'&�

��-� �� �� L��4 �� +� ��4�� ���������� ����� % (������� +���� ���� �� ���� E������ ����� � A��� �'1 ���� �� 8�! ����� �� �� ���� �� �K �$1.&�

��(� �� 2�� (������� $������ *� �� >������ � ��� � ���� ������ ����� �EA ���� � F M��9 �$10&@ D��� � ��� ��� �� K� ��� �

��.� �� D� ������ #��������� �� ������ ��� ������ �� ���� *''�&@ ����NBB��O�!����B���B����B'�'%'%-�

��%� �� ��4 � �� �� ���� 6 �� ���� �� ������ �!����� � ���� � �� ����� � P�F�(����� ���� � ���� � ��� �� �& �$$.& �($)�.$�

��0� �� 6������9 �� 7� +� A�� �� ,�� ��� ��� ,�� ������� � �� 7������� ��� ������ ������� ��� � � ����� �EA ���� + ��� *'''&�

��1� "� ��9 � ��������� �� �� ��; ���� � �� ���� ��)2�� �� ���C)6��� �������� ����� �� ������� ��� -����� ���� ����� �� � ���� ������ A��� *-. +��9�G�� � +���� +���� �� *''.& ��� *.�)*1*�

��$� A� ������! �� �� "������9 ��������� ��� ��� -����� ���� ��� ������� � ���� ������ A��� �-$ ���� ��� �� �� +���� �� �$$(&@ ������� ����� �� �$$� "����� ������� �� "��� � "�F �

�*'� "� "������ ��� :� �:� � :� ����� �<C:������������� �C��C��� ������C��:� ��=� � �������� 8�! ����C � " � � *''$&�

�*�� K�E�� � �� ������� l#���� ����� ������� ��� (������� +���� ��>��� 8�! �����2 ���� ��� � D���� F��� �� 3����������� �� D� L��9 �� K� 2���� D� ��+ ;��� � F M��9 �$%1&�

�**� /// ������C�C� >������ � � � ����� �<���� ,� � � ����� � ������:� � ������������ �� (& �$0*& *.$)--��

�*-� /// ������C�C� ��; ������ � � � ����� � � >����� ����!�:� � � � � � ��C� ��E���� lE���:� � � ����� ���� ���� �� �������� � ��� ���� ������ A��� .. �� ���� ���� ������� ���� �� ���!�� � "# �$$(& ��� -00)(''�

�*(� /// +�� �.������!��"�� Q�����=� C����� �� �� � 8�! ������� � � ?��� ����� �$$.&�

�*.� >� ������� ���������� � ��� ���������� ���� % ��������� $������ ���E�������� �� �� ���� ������� ���� �� �� K��� A��� �� ���� �� 8�! ����� �� ������ �� �K �$$(&@ " ���� �� �� �$0� ������� L�R � ������ 2 ���� � ��

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.

�������� �� ��� �� �� �������������� ������� ������

� �������� "�������� �1�� ����� �1���" �� � ���+� ������2�� ���

�*%� K� 5� ���! ��� ��� ���������� % (������� +���� >������ � ��� � ���� ������A��� �'% ����� �EA ���� � F M��9 �$$*&@ 3��� �� � � ���� �� �� �$1% ��������

�*0� /// �������� ���� �� ��� ���������� % (������� +���� >������ � ��� ����� ������ A��� �.� ����� �EA ���� � F M��9 �$$(&�

�*1� 2� �4���� �� 7� 8���� A������� � �� ���� �� � ?������ ��� � ����� � QE����C� � ����� ������:� ��/� ����� �� �� �& �$$$& 1�)$0�

�*$� K� ���� " �����! ������ �! � ����� , ��� � ��������� $�� 0 ����� ������� ��� L#$������ ���� 1 ���� ���� �� �������� � ��� ���� ������ A��� -- �� ���� ���� ������� ���� �� ���!�� � "# �$0$& ��� *$)%$�

�-'� D�9�� ��� ������)?���� :����� ����NBB �F�9�� �������BF�9�B������E?����S :������

Int.

J. N

umbe

r T

heor

y 20

13.0

9:51

7-54

3. D

ownl

oade

d fr

om w

ww

.wor

ldsc

ient

ific

.com

by "

UN

IV O

F M

INN

ESO

TA

, TW

IN C

ITIE

S" o

n 05

/17/

13. F

or p

erso

nal u

se o

nly.