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Observamos:

- 

el cociente es un grado menor que el

dividendo, ya que el divisor es de grado1.

- 

Como gr(r ) < gr( x − 3)  gr(r ) = 0, o

r ( x) = 0.

- 

El coeficiente principal del cociente es

igual al coeficiente principal del

dividendo, ya que el coeficiente principal

del divisor es 1.

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DIVISORES DEL TIPO ( x − α)

(Teórico)

Ejemplo:

3 28 6 2 6 x x x   3 x  

3 28 24 x x   28 18 56 x x  

218 2 6 x x  218 54 x x  

56 6 x  

56 168 x  

162

ESQUEMA DE RUFFINI PARA DIVISORES ( x − α). 

24 54 168

Obs:    es la raíz del divisor.

¿Se puede utilizar el esquema de Ruffini cuando el divisor es de la forma ( )ax b ?

Prueba con los siguientes ejemplos utilizando los dos métodos y emite conclusiones.

) (3 + 5 − 3) entre (2 − 4) 

) 33 − 62 − 39 − 28 entre (3 − 15) 

Conclusión:

-1-

Coeficientes del cociente

Resto

 Esquema de Ruffini

Coeficientes del dividendo

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Sea : ( )t t x     3 2: ( ) 2 3 1t t x x x x  

a) Halla1

( 2), (5) y2

t t t 

 

 

 b) Determina cociente y resto de dividir t ( x) entre: i) ( 2) x  ii) ( 5) x  iii)1

2 x

 

c) ¿Qué observas?

TEOREMA DEL RESTO

Hipótesis Tesis

( ) f r      

Demostración:

Si tomamos el valor numérico en ambos miembros de la igualdad,

  ( ) ( ) ( ) ( ) 0. ( ) ( ) 0 ( )

 x

 f q r f q r f r f r 

 

 

 

Ejercicio:

a) Halla el resto de dividir la función7( ) 3 entre ( 1) f x x x  .

 b) Dada : ( ) g g x     3 2: ( ) 4 5 2 g g x x x x , halla el resto de dividir g ( x) 

entre ( x –  2).

-2-

 F  ( x) ( x − α)

r   q( x)

 f  ( x) ( x − α)

r   q( x)( ) ( ) ( ) f x x q x r  

El resto de dividir una función polinómica entre ( x − α) es igual al valor

numérico de dicha función cuando x = α 

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TEOREMA DE DESCARTES

f es divisible entre (x − α) es raíz de ( ) f x   

(Directo)

Como f  es divisible entre ( x − α)  

Que por def. de división entera es  f ( x) = ( x − α)q( x)

 Nos interesa el valor numérico de f ( x) cuando x = α entonces: 

 f (α) = (α − α)q(α) = 0.q(α) = 0 es raíz de ( ) f x   

nº real def. de raíz

(Recíproco)

Como α  es raíz de f ( x) entonces f( α) = 0. 

Por otro lado nos interesa la división

Que por def. cumple  f ( x) = ( x − α)q( x) + r

Calculamos:  f (α) = (α − α)q(α) + r

Operamos:( ) 0

0 ( ) es divisible entre

( ) 0

 f r r f x

 f  

 

 

 

 

( x − α) 

-3-

 f  ( x) ( x − α)

0  q( x)

 f  ( x) ( x − α)

r   q( x)

La condición necesaria y suficiente para que una función polinómica f ( x)

sea divisible entre ( x − α) es que α sea raíz de f ( x) 

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Raíces particulares de funciones polinómicas.

Raíces evidentes : 0, 1, −1. 

 

Una función polinómica tiene raíz evidente x = 0, si y sólo sí, su términoindependiente es cero.

  Una función polinómica tiene raíz evidente x = 1, si y sólo sí, la suma de suscoeficientes es igual a cero.

  Una función polinómica tiene raíz evidente x = −1, si y sólo sí, la suma de loscoeficientes de los términos con exponente par de la variable es igual a la suma

de los coeficientes de los términos de exponente impar.

Escribe un ejemplo en cada caso.

-4-