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U N I V E R S I T À E P O L I T E C N I C O DI T O R I N O
Rendiconti
del Seminario Matematico
(già « Conferenze di Fisica e di Matematica »)
VOLUME 20°
(Anno accademico 1960-61)
In vendita presso
LIBRERIA LATTES GESTIONE LIBRERIE ITALIANE RIUNITE
TORINO
COMITATO DI REDAZIONE
C. AGOSTINELLI, Università. — P. BUZANO, Politecnico. R. EINAUDI, Università. — E. MARCHIONNA, Università. A. TERRACINI, Università. — F. TRICOMI, Università.
T, VIOLA, Università.
Segretario : T. ZEULI, Università.
Per qualsiasi comunicazione gli interessati potranno rivolgersi direttamente al Prof. A. Terracini oppure al Segretario.
U N I V E R S I T À E P O L I T E C N I C O DI T O R I N O
Rendiconti
del Seminario Matematico
(già « Conferenze di Fisica e di Matematica »)
VOLUME 20°
(Anno accademico 1960-61)
In vendita presso
LIBRERIA LATTES GESTIONE LIBRERIE ITALIANE RIUNITE
TORINO
P R O P R I E T À
R I S E R V A T A
1961 - Stab. Grafico Lorenzo RaUero - Torino - Via Modena 40
I
CONFERENZE
ATTI
DEL
CONVEGNO INTERNAZIONALE
DI GEOMETRIA ALGEBRICA
TENUTO A TORINO
NEI GIORNI 24-27 MAGGIO 1961
4*
Roma, 16 maggio 1961
INDIRIZZO DEL PROF. SEVERI PER IL CONVEGNO
INTERNAZIONALE DI GEOMETRIA ALGEBRICA
(24-27 maggio 1961)
Potrei dire che mai come stavolta mi è doluto (e ancora mi
duole) di non essere in condizioni fisiche normali, che mi permet
tano di assistere e di partecipare al presente Convegno Internazio
nale. Ma tutti voi sapete che da quattro anni sono costretto a letto
da dolorosa malattia, che non ha ceduto a vari interventi chirur
gici e che soltanto ora comincia a dar qualche sintomo di arresto
o di guarigione.
Molti di voi mi hanno dato pure il gran piacere, che è stato
anche un onore, di venirmi a trovare nel mio doloroso ostello.
Con taluno di voi ho potuto avere contatti e completare qualche
volume, forse non inutile ai progressi della geometria algebrica.
Mi rappresenta a questo Convegno, e lo ringrazio di avere
accolto la mia preghiera, il mio ottimo, infaticabile e forte disce
polo degli anni romani più lontani, Beniamino Segre, che ora è
mio Collega all'Istituto Nazionale di Alta Matematica, e che espone
quelle sue suggestive visioni della geometria algebrica, rispetto
agli insiemi finiti di punti.
Leggo, con non eliminabile nostalgia, il programma del Con
vegno, e vi trovo i nomi di grandi creatori o maestri della Geo
metria algebrica, vista sotto l'angolo visuale dell'Algebra astratta,
— 60 —
come Van der Waerden, Zariski, Dubreil ed altri. Trovo anche nel programma comunicazioni di amici, come il genialissimo Kàhler, che mi onoro di avere avuto discepolo a Roma, e il Collega Grbbner, amico fraterno e lavoratore indefesso. Vi sono poi i giovani creatori, come Samuel, Roth, e gli allievi diretti o indiretti, come Gherardelli, Dantoni, Galafassi, Baldassarre, Morin, Vesentini. Insomma tutta una gamma di indirizzi e di risultati, che suscitano il desiderio di vedere, di udire e di operare.
Saluto tutti voi, o giovani delle nuove generazioni, che mantenete alto il vessillo della geometria algebrica, che le mie stanche mani di vecchio lavoratore reggono ormai appena, pur venerandolo, ma senza poterlo sollevare a grandi altezze.
FRANCESCO SEVERI
PAROLE DEL PROF. ALESSANDRO TERRACINI
Con molto piacere assolvo il compito graditissimo di dare il
più cordiale benvenuto a tutti i presenti, intervenuti al nostro Con
vegno internazionale di Geometria algebrica, che oggi si inaugura.
Il Rettore dell'Università di Torino manifesta il proprio rin
crescimento perchè, trattenuto da altri impegni, non può essere
presente, e mi ha incaricato di trasmettere a tutti i convenuti il suo
cordiale saluto e i suoi migliori auguri.
Non a caso il Convegno è stato inserito tra le manifestazioni
del '61, con le quali quest'anno si commemora, in vari modi, il
centenario dell'unità italiana.
Nel 1860, quando esistevano già le premesse per la costitu
zione del regno d'Italia — la cui proclamazione seguì nei primi
mesi del 1861 — Terenzio Mamiani, Ministro per l'Istruzione nel
Ministero Cavour (il penultimo Ministero Cavour), comprendendo
che alle affermazioni politiche si dovevano accompagnare quelle
dell'alta cultura, istituiva nuove cattedre universitarie: fra esse, a
Bologna quella di Geometria superiore, alla quale fu chiamato,
trentenne, Luigi Cremona.
Non si possono rileggere senza commozione le parole con le
quali, nella sua Prolusione del 1860, Cremona incitava i giovani:
«Nelle armi e nei militari esercizi rinvigorite il corpo; negli studi
« severi e costanti spogliate ogni ruggine di servitù e alla luce della
« scienza imparate ad esser degni di libertà. Se la voce della patria
— 62 —
«vi chiama al campo, e voi accorrete, pugnate, trionfate o cadete,
«certi sempre di vincere: le battaglie della nostra indipendenza
« non si perdono più. Ma se le armi posano, tornate agli studi
«perocché anche con questi servite e glorificate l'Italia. L'avvenir
« suo è nelle vostre mani; il valore de9 suoi prodi la strapperà tutta
« dalle ugne dello straniero, ma ella non durerebbe felice e signora
« di sé ove non la rendesse onoranda e temuta il senno dei suoi
«cittadini». E continua dicendo ai giovani: «i militari e li scien-
« tifici studi vi faranno aiutatori alla grandezza di questa nostra
«Italia, che sta per rientrare, al cospetto dell'attonita Europa, nel
« consorzio delle potenti e libere nazioni, con una sola capitale,
«Roma, con un solo re, Vittorio Emanuele, con un solo e massimo
« eroe, Garibaldi ».
Uascesa di Cremona alla cattedra universitaria segna un mo
mento cruciale per gli albori della geometria algebrica. Non tanto
per lo spirito che il Cremona intendeva portare, e ha portato, nel
l'insegnamento, col suo ideale per i metodi — per dirlo con le sue
parole — puramente geometrici, che egli aveva imparato ad ammi
rare principalmente presso Chasles e Steiner, quanto perchè il
periodo bolognese di Cremona, protrattosi fino al 1866, è stato tra
i più fecondi per la sua operosità — fu il periodo ^e/Z'Introduzione
ad una teoria geometrica delle curve piane, e delle trasformazioni
cremoniane —, fu insomma il periodo in cui si affermò e rifuse
la sua personalità scientifica. Appunto in conseguenza di ciò,
Cremona venne assumendo per i geometri italiani di quella gene
razione il ruolo di guida: dalla sua scuola, a Bologna, e poi a
Milano, e infine a Roma, sono usciti Eugenio Bertini, Riccardo
De Paolis, Ettore Caporali, e poi anche, in un certo senso, Giu
seppe Veronese.
L'attività creatrice di Cremona cessa poco dopo il 1880 — gli
ultimi suoi lavori sono dell'84. Proprio in quel torno di tempo si
affaccia agli studi di geometria Corrado Segre. Nato a Saluzzo nel
1863, la vita di Corrado Segre è iiidissolubilmente legata a Torino
e a questa Università, che frequentò come studente dal 1879 all'83.
— 63 —
Qui fu assistente dapprima di Enrico D'Ovidio — alla scuola del
quale si era formato —, poi di Giuseppe Bruno, e qui tenne la
cattedra di Geometria superiore per 36 anni, dal 1888 al 1924,
anno della sua morte.
Proprio in questo edificio, allora disposto diversamente, Cor
rado Segre ha tenuto le sue lezioni, su all'ultimo piano, in quella
cosidetta aula IH, rivestita di ampie vetrine, nelle quali Segre
venne raccogliendo un'ampia collezione di modelli, che durante
l'ultima guerra una bomba distrusse completamente, insieme con
i locali dell'ultimo piano. L'ultima lezione, Segre l'ha tenuta il
10 maggio, otto giorni prima della morte. E nel cortile dove si
affaccia questa saletta sostò per un minuto il funerale di Corrado
Segre.
Qua a Torino vi sono ancora quei portici — secondo una tradi
zione, di via Po; secondo un'altra, di corso San Martino, vicino
alla stazione di Porta Susa — che intorno al 1890 avevano visto
sorgere (così si diceva) nuove vedute sulla Geometria algebrica:
là solevano allora passeggiare conversando Corrado Segre e Guido
Castelnuovo : abitavano entrambi nei paraggi di Porta Susa, Castel-
nuovo in piazza Statuto, e Segre, allora, in via Juvara. Poco dopo
Segre si trasferì in quell'alloggio al secondo piano di corso Vit
torio 85, dove rimase poi sempre, lavorando in quel suo studiolo
affacciato su un giardino, che molti della mia generazione certa
mente ricordano, con le fotografie dei matematici che ne adorna
vano le pareti. Queste fotografie sono ora visibili nella nostra Biblio
teca matematica, che ha anche il previlegio di conservare la bella
collezione dei quaderni nei quali Corrado Segre redigeva i suoi corsi.
Con Corrado Segre la Geometria algebrica trovò in Italia un
grande Maestro e un nuovo caposcuola. A lui si deve l'aver impor
tato in Italia le idee che si erano venute sviluppando altrove. A lui,
dopo il suo lavoro di pioniere nella geometria proiettiva iperspa-
ziale, dopo la valorizzazione dei procedimenti di proiezione e
sezione negli iperspazi — quali erano stati immaginati e svilup
pati anche da Giuseppe Veronese — si deve sopratutto la ricostru-
— 64 —
zione della teoria delle serie lineari su una curva mediante il metodo iperspaziale. La sua « Introduzione alla geometria sopra un ente algebrico semplicemente infinito», pubblicata nel 1894 sugli Annali di matematica, e ora riprodotta nel l volume delle sue Opere, è stata come la magna charta che ha fatto testo per la geometria sulla curva secondo le idee di Segre. (?«eZZ'Introduzione è il frutto di un corso tenuto da Segre qua a Torino nell'anno accademico 1890-91, nel quale — Segre ci teneva a dirlo — egli aveva esposto non solo il metodo geometrico, dovuto a lui e a Castel-nuovo, ma anche quelli preesistenti: segnatamente il metodo algebrico-geometrico di Brill e Noether e quello trascendente di Riemann. «L'argomento è tale», scrive Segre /ze//'Introduzione « che non è ben trattato se non si sviluppa sotto più aspetti. Ond'é «che l'aver io preso qui ad esporlo dal punto di vista geometrico « non va interpretato nel senso di una preferenza che a mio avviso « si debba dare a questo metodo rispetto agli altri. Tutti meritano «di essere studiati; ognuno ha i suoi pregi speciali; per ciascuno «vi sono questioni, in cui esso va più in là, od almeno riesce pia « luminoso degli altri ».
Quello stesso corso del 1890-91, insieme con altri successivi, avrebbe dovuto dare origine a un volume di Corrado Segre: Vor-lesungen iiber algebraische Geometrie, volume che non è mai uscito, il cui annuncio, riferisce Gino Loria, si trovò per parecchi anni nel catalogo della casa Teubner.
Del resto, nel campo della Geometria algebrica non mancano altre pubblicazioni di Corrado Segre che sono nate in qualche modo dai corsi da lui tenuti qua a Torino; per esempio il suo lavoro sulla molteplicità d'intersezione condotto mediante la risultante, quello delle singolarità della Hessiana e della linea parabolica di una superficie, l'invariante di Zeuthen-Segre, e verosimilmente anche l'estensione alle superficie delle idee di Noether sulla composizione dei punti singolari. La Nota pubblicata da Segre nel 1896 sull'invariante di Zeuthen-Segre ha la sua origine nel corso del 1893-94, nel quale era anche sua intenzione, poi non realizzata,
— 65 —
di far conoscere la dimostrazione della razionalità delle involu
zioni piane, trovata da Castelnuovo nell'estate del '93.
Corrado Segre non ha preso parte attiva alla creazione della
teoria delle superficie, quale uscì dalla scuola geometrica italiana,
che si sintetizza nei tre grandi nomi: Castelnuovo, Enriques, Severi.
Come ha osservato Castelnuovo, mentre Segre aspira ad aprire
nuove vie all'indagine geometrica, non si preoccupa poi di per
correre queste vie fin dove appaiono feconde: forse un desiderio di
perfezione artistica frenava la curiosità del ricercatore. Ma, se ha
posto dei limiti alla propria opera, continua Castelnuovo, Segre
ha immensamente favorito l'attività della sua scuola. Alla quale,
in misura maggiore o minore, appartennero tutti tre: Castelnuovo,
Enriques, Severi. Il primo rimase a Torino come assistente di
D'Ovidio dall'87 al 91 ; Enriques trascorse qua alcuni mesi alla
scuola di Segre, credo nel '93; Severi si laureò a Torino il 30 giugno
1900, con una tesi sulle singolarità delle curve iperspaziali, pub
blicata nelle Memorie dell'Accademia delle Scienze di Torino pre
sentata con una Relazione di Segre; a Torino rimase qualche
tempo come assistente, e a Torino prese la libera docenza. Severi
parla di Segre come del suo primo grande Maestro.
Ma anche se Segre non ha partecipato attivamente alla crea
zione della teoria delle superficie da parte della scuola geometrica
italiana, egli fu a ragione considerato come il capo di questa scuola:
i discepoli spinti da lui nelle direzioni che egli aveva seguito e coi
metodi di cui si era valso (è ancora Castelnuovo che parla) hanno
potuto affrontare e risolvere ardue questioni mettendo in rilievo la
fecondità di quegli indirizzi e di quei metodi.
Se Segre ha potuto assistere a una buona parte degli sviluppi
della geometria algebrica classica per merito di Castelnuovo, Enri
ques e Severi, non gli è stato dato di vedere la successiva profonda
trasformazione della geometria algebrica avvenuta sotto il potente
influsso dell'algebra moderna; non gli è stato dato di vederne quel-
l'aritmetizzazione che ha fornito solide basi, necessarie per l'asse
stamento e per i successivi progressi, e che esige la sostituzione di
5
— 66 -
corpi più generali a quello classico dei numeri complessi. Ma ogni
generazione vive nel suo tempo, e possiamo solo immaginare che
Segre si sarebbe rallegrato della trasformazione avvenuta, e anche
dell'ampia cerchia di studiosi che così sarebbero entrati nel campo
della geometria algebrica. E si sarebbe anche rallegrato del fatto
che le idee geometriche che sono rimaste affiancate a quelle del
l'algebra moderna nei successivi sviluppi della geometria algebrica
siano uscite dalla scuola da lui capeggiata, prolungandosi così oltre
la morte la sua opera dì Maestro, di grande Maestro.
INDICE
Pag. 5
» 15
» 39
» 41
» 55
CONFERENZE
F. G. TRICOMI, / matematici fuori della matematica
C. AGOSTINELLI. Nel centenario della nascita di Volterra e di Somigliana
H. BEHNKE. Le théorème de Runge et ses généralisations dans la théorie des fonctions de plusieurs variables complexes .
\J. RICHARD.. Caratterizzazione topologica del Calcolo numerico
P. DUBREIL. Demigroupe des endomorphismes d'un groupe
A T T I
Indirizzo del Prof. Severi per il Convegno Internazionale di
Geometria algebrica Pag. 59
Saluto del Prof. Alessandro Terracini » 61
B. SEGRE. Alcune questioni su insiemi finiti di punti in geometria
algebrica » 67
B. L. WAERDEN, Invariants birationnels » 87
M. BALDASSARRE Osservazioni sulla struttura dei fasci lisci . » 101
A. ANDREOTTI, E. VESENTINI. Un teorema d'annullamento della
coomologia » 109
L. GODEAUX, Costruzione di superficie algebriche irregolari . . » 115
P. SAMUEL, Le théorème de Hahn Banach en geometrie algébrique » 127
L. ROTH. Alcune applicazioni della varietà di Picard . . . » 135
G. DANTONI, Ideali e varietà algebriche » 149
— 268 —
0. ZARISKI, On the super abundance of the complete linear systems j nD | (n — large) for an arbitrary divisor D on an algebraic surface Pasr. 157
E. KAEHLER, Aritmetica infinitesimale » 1 7 5
P. DOLBEAULT, Une généralisation de la notion de diviseur . » 177
P. DUBREIL, Idéaux de polynomes et fonction de Hilbert . . » 203
W. GRÒBNER, Applicazioni delle serie di Lie nella geometria algebrica » 217
V. E. GALAFASSI, Omeomorfismi algebrici tra piani reali e questioni collegate » 227
P. BURNIAT, Varietà algebriche V?, con Pg — Pa— 0 e Po qualunque » 235
U. MORIN, Risoluzione geometrica di problemi di analisi diofantea di grado superiore » 255
Finito di stampare il !) gennaio 1962 nella tipografia L. Ballerò, via Modena 40, Torino
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