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공학석사학위논문
사장교 지점에서 발생하는 부반력에
저항하는 타이다운케이블의 신뢰도 해석
Reliability Assessment of the Tie-down
Cables Resisting Negative Reactions in Cable-stayed Bridges
2014 년 2 월
서울대학교 대학원
건설환경공학부
이 유 진
i
초록
본 논문에서는 사장교 타이다운케이블의 신뢰도기반 설계를 위한
기초적인 연구로서 부반력에 저항하는 타이다운케이블의 신뢰도해석을
수행한다.
현재 우리나라의 케이블교량설계는 경험적 설계에 기반한
허용응력설계법에서 통계자료에 근거한 확률기반의 한계상태설계법으로
변화하고 있다. 허용응력설계법은 경험적 설계에 기반한 방법으로서
구조저항과 작용하중으로 구성된 설계식에 하나의 대표 안전율을
설정하여 설계를 단순화하기 때문에 구조 성능 또는 위험도를
정량화하는 합리적인 지표라 볼 수 없다. 따라서 일반교량을 대상으로
하는 설계기준들에서는 통계 및 확률이론에 근거한 구조물이 가지는
안정성을 보다 합리적으로 정량화 할 수 있는 한계상태설계법을
도입하고 있다. 하지만 2012 년에 개정된 도로교설계기준
(한계상태설계법)에는 부반력에 대한 설계기준이 누락되어있다. 이에
부반력 설계규정에 대한 한계상태설계법을 도입하기 위해서는
신뢰도해석이 반드시 필요하다.
본 연구에서는 사장교 지점에서 부반력에 저항하는 타이다운
케이블에 영향을 미치는 변수들을 고려하여, 한계상태식을 정립하였으며
ii
한계상태식의 확률변수에 대한 민감도를 수식적으로 제안하였다. 신뢰도
기법으로는 FOSM 을 사용한다.
또한, 국내에 설계된 제 2 진도대교와 인천대교 북항대교, 3 개의
케이블교량의 부반력에 대한 신뢰도평가를 수행하였으며, AASHTO
LRRD 와 현재 초장대교량사업단에서 진행 중인 케이블교량설계지침
(한계상태설계법) (안)에서 제시하는 한계상태의 하중조합에 대해 기준이
만족하는 신뢰도수준을 파악하였다. 그리고 각 교량에 실제
설치되어있는 타이다운케이블의 초기 긴장력상태를 만족하는 케이블이
뜨기 직전까지의 상태인 사용성 상태와 타이다운케이블이 파단에 이르는
극한상태가 확보할 수 있는 신뢰도수준에 대해서도 연구를 진행하였다.
제안한 신뢰도 방법을 이용하여 얻어지는 신뢰도지수는 부반력에
저항하는 타이다운케이블의 한계상태법 도입에 기초자료가 될 것이다.
주요어:
사장교, 신뢰도해석, 한계상태설계법, 부반력, 타이다운케이블
Student Number: 2012-20914
iii
목 차
초록............................................................................................ I
목차............................................................................................ III
그림 목차.................................................................................. V
표 목차...................................................................................... VI
1. 서론....................................................................................... 1
2. 부반력에 저항하는 타이다운케이블의 신뢰도해석...... 4
3. 반력에 대한 한계상태식의 민감도 산정....................... 11
4. 신뢰도해석........................................................................... 18
4.1 설계기준에 따른 활하중............................................. 19
4.1.1 AASHTO LRFD 활하중..........................................................19
4.1.2 케이블교량설계지침(한계상태설계법)(안) 활하중.......... 20
4.2 신뢰도평가를 위한 확률변수의 분포특성................ 21
4.3 신뢰도해석 예제적용.................................................... 24
4.3.1 제 2 진도대교........................................................................ 24
iv
4.3.2 인천대교.................................................................................. 31
4.3.3 북항대교.................................................................................. 38
5. 결론....................................................................................... 44
참고 문헌.................................................................................. 46
부록 A. 탄성현수선 케이블 요소의 연성도 행렬............. 48
부록 B. 예제 교량의 재원..................................................... 50
B-1 제 2 진도 대교 제원................................................... 50
B-2 인천대교 제원.............................................................. 54
B-3 북항대교 제원.............................................................. 59
v
그 림 목 차
그림1. 탄성현수선의 자유물체도.................................................................... 14
그림2. AASHTO LRFD 활하중 모델................................................................. 19
그림3. 케이블교량설계지침 표준트럭하중...................................................... 20
그림4. 제 2 진도대교 및 타이다운케이블 배치도........................................ 25
그림5. 제 2 진도대교 영향선.......................................................................... 27
그림6. 인천대교 및 타이다운케이블 배치도................................................ 31
그림7. 인천대교 영향선.................................................................................... 33
그림8. 북항대교 및 타이다운케이블 배치도................................................ 38
그림9. 북항대교 영향선.................................................................................... 40
그림B.1 인천대교 거더의 물성치.................................................................... 57
그림B.2 인천대교 케이블의 물성치................................................................ 58
그림B.3 북항대교 거더의 물성치.................................................................... 62
그림B.4 북항대교 케이블의 물성치................................................................ 63
vi
표 목 차
표 1. 케이블교량설계지침 표준차로하중..................................................... 20
표 2. AASHTO LRFD 2012 에 사용되는 확률변수의 분포특성값.............. 22
표 3. 케이블교량설계지침에 사용되는 확률변수의 분포특성값............... 22
표 4. 제 2 진도대교 타이다운케이블의 물성치............................................ 26
표 5. 제 2 진도대교 반력.................................................................................. 27
표 6. 제 2 진도대교 신뢰도해석결과............................................................ 28
표 7. 제 2 진도대교 신뢰도해석 MPFP........................................................ 29
표 8. 인천대교 타이다운케이블의 물성치...................................................... 32
표 9. 인천대교 반력............................................................................................ 33
표 10. 인천대교의 신뢰도해석 결과................................................................ 34
표 11. 인천대교의 End pier의 신뢰도해석 MPFP......................................... 35
표 12. 인천대교의 Supplement pier의 신뢰도해석 MPFP............................. 36
표 13. 북항대교 타이다운케이블의 물성치.................................................... 39
표 14. 북항대교 반력.......................................................................................... 40
표 15. 북항대교의 신뢰도해석 결과.............................................................. 41
표 16. 북항대교의 신뢰도해석 MPFP............................................................ 42
vii
표B.1 제 2 진도대교의 케이블의 정착위치.................................................. 50
표B.2 제2진도대교의 부재의 단면 특성....................................................... 52
표B.3 제 2진도대교의 케이블 물성치............................................................. 53
표B.4 인천대교의 케이블 정착위치................................................................ 54
표B.5 북항대교의 케이블 정착위치................................................................ 59
1
1. 서론
현재 우리나라 설계법은 확률 및 통계이론에 근거하여 구조물이 가지는
안정성을 보다 합리적으로 정량화 할 수 있는 한계상태설계법을
도입하고 있다. 이는 기존의 경험을 기반으로 하는 허용응력설계법과
달리 작용하중, 재료특성 및 제작오차 등의 불확실성을 고려할 수 있는
신뢰도기반 설계이기 때문에 합리적인 설계를 수행할 수 있다.
우리나라는 2012 년에 도로교설계기준(한계상태설계법)을 개정했으나,
기존에 수록되어있던 부반력에 대한 설계기준이 누락되어있다. 따라서
부반력에 대한 신뢰도기반 설계기준을 정립하기 위해서는 신뢰도 해석이
반드시 필요하다.
일반적으로 부반력은 곡선교와 사장교에서 많이 발생하게 된다.
사장교의 경우 최외단 케이블이 위치해 있는 측경간에 장력이 크게
발생하기 때문에 변위가 위로 발생하게 되고, 이로 인해 부재가
들어올려지면서 구조물이 제 기능을 하지 못하게 된다. 그러므로
부반력을 제어하는 요소가 없을 시에도 고정하중 상태에서는 부반력이
발생하지 않도록 설계를 한다. 그러나 고정하중상태에서도 지리적 위치
특성으로 인해 부반력이 생길 수 있는 경우와 부반력을 유발하는 활하중
상태 일 때에는 부반력을 제어하는 요소가 필요하다. 부반력을 제어하는
2
요소로는 카운터웨이트와 타이다운케이블, 부반력슈가 있다.
카운터웨이트는 부반력을 감소시키는 것으로 측경간 거더 내부에
콘크리트를 채우는 방식이다. 부반력 슈는 위로 변위가 발생하는 것을
제어하는 받침이며, 타이다운 케이블 역시 부반력 슈와 동일한 역할을
하는 부재이다. 타이다운케이블은 부반력이 발생하지 않을 때는
긴장력이 발생하지 않고, 부반력이 발생할 시에 타이다운케이블의
긴장력이 발생하여 부재의 변위가 위로 발생하지 않도록 제어를 한다.
이러한 특징으로 긴장력이 발생하지 않을 때의 타이다운케이블의
유지보수비용은 매우 저렴하다. 본 논문에서는 지점에서 발생하는
반력에 대해서 확률 통계적 관점으로 접근하기 때문에 통계특성을
확보할 수 있는 타이다운케이블에 대한 신뢰도 해석을 진행한다.
기존의 국내외 연구를 살펴보면 곡선교에서 발생하는 지점에서의
부반력에 대한 연구는 많이 진행이 이루어져 왔다. 또한 부반력을
제어하여 설계하는 방법에 대해서는 많은 자료가 있지만, 부반력에
대해서 해석적으로 접근하는 연구는 거의 없다. 기존의 신뢰도해석을
기반으로 하는 연구를 살펴보면, 케이블교량의 구조부재에 대한
신뢰도해석연구는 많이 진행되어왔다. Imai, Fragopol[1]은 현수교의
케이블과 거더의 신뢰도해석을 진행하는데 있어 한계상태식을 정의하고
확률변수들이 한계상태식에 영향을 미치는 민감도를 수식적으로
3
계산하여 신뢰도 평가를 수행하였다. 이와 같이 사장교의 지점에서
발생하는 부반력에 대해서도 신뢰도평가가 이루어져야 한다.
본 논문은 사용하중상태에서 신뢰도평가를 위한 하중조합으로는
AASHTO LRFD 2012 년의 하중조합 (Strenght 1)과 초장대교량사업단에서
진행중인 케이블교량설계지침(한계상태설계법)(안)의 극한한계상태 I
하중조합에 대해서 검토하였다. 또한, 국내에 존재하는 교량에 실제
설치된 타이다운케이블의 사용성상태와 극한상태에 대해 신뢰도평가를
진행하였다. 타이다운케이블의 긴장력이 발현되기 전까지인 뜨기
직전까지 사용성상태에서 타이다운케이블이 확보할 수 있는 신뢰도
수준과 타이다운케이블이 극한상태에 이르러 파단되기까지 확보 할 수
있는 신뢰도 수준에 대해서 평가하였다. 신뢰도해석을 위해 부반력에
영향을 미치는 확률변수들을 정의하고, 이에 따른 한계상태식을
제안하며, 한계상태식의 확률변수에 대한 민감도를 수식적으로
접근하였다. 신뢰도해석 기법으로는 AFOSM 을 사용한다.
본 연구에서 제안하는 정밀 신뢰도해석기법을 통해서 사장교
지점에서 발생하는 부반력에 저항하는 타이다운케이블에 대한
신뢰도해석을 수행하면, 이를 기반으로 신뢰도기반의 설계기준을
정립하는데 근거자료로 사용될 수 있을 것이다.
4
2. 부반력에 저항하는 타이다운케이블 신뢰도 해석
사장교 지점에서 부반력에 저항하는 타이다운케이블의 한계상태식을 다
음과 같이 제안한다.
0)()( =-= DD RSG (2.1)
S 는 타이다운케이블의 극한강도이며 R 은 교량 지점에서의 부반력이다.
D 벡터는 확률변수이다. 지점에서의 반력은 하중변수와 강성도변수에
모두 영향을 받지만, 반력이란 구조물에 작용하는 외부하중의 총합과
같기 때문에, 강성도 변수가 구조물의 평형상태에서 반력에 미치는
영향은 매우 작다. 그러므로 강성도 변수는 확률변수에서 무시할 수
있다.
T
NLqq ),,( 1 K=q and TNCww ),,( 1 K=w (2.2)
하중변수는 외부에서 작용하는 하중 q 와 케이블의 자중 w 이며, 여기서
NL 은 외부하중의 수와 NC 는 케이블의 수 이다. 교량의 거더와 주탑의
자중은 외부하중에 포함된다. 반력은 다음 장에서 제안한 유한요소
모델을 통해 계산된다. 강도변수는 타이다운케이블의 극한강도를
확률변수로 본다.
5
확률변수에 대해 하나의 벡터로 정리를 하게 되면 다음과 같다.
확률변수는 타이다운케이블의 극한강도와 외부에서 작용하는 하중,
케이블의 자중으로 이루어진다.
TT
i SD ),,()( wqD == (2.3)
확률변수들이 정규분포를 따르지 않는 경우에는 AFOSM 을
적용하기에 앞서 Rackwiz-Fiezzler 변환법을 사용하여 비정규분포
확률변수(D)를 등가 정규분포 확률변수(d)로 변환시켜야 한다.[2] 신뢰도
지수는 등가 정규분포 확률변수의 평균과 표준편차를 이용하여, 등가
정규분포 공간에서 원점으로부터 가장 가까이 있는 한계상태식 상의
점까지의 거리로 정의하여 구한다. 신뢰도 지수는 다음과 같이 b이며,
*d 는 등가 정규분포 공간 상에서의 MPFP 를 의미한다. 여기서 MPFP 는
파괴확률이 가장 높은 점이며, 기하학적으로는 원점과 한계상태식 상의
한 점을 이은 직선이 그 점에서의 한계상태식의 법선과 같은 방향이
되는 점이다.[3]
2
2
*2*
Min dd
=b subject to 0)( * =dG (2.4)
본 연구에서는 한계상태식인 식 (2.1)에서 반력이 비선형이기 때문에
반복계산법에 의해서 MPFP 를 계산한다. k 번째 단계에서
6
한계상태식에서의 MPFP 에서 테일러 근사를 하여 선형화된 반력을
나타내면 다음 식 (2.5)와 같다. *D 는 MPFP 이며 DÑ 는 확률변수에
대한 그래디언트 연산자이다.
*1
****
**1
**1
)()()(
)()()(*
+
+=
+
Ñ+Ñ-=
-¶¶
+»
kkDkkDk
kkkk
RRR
RRRk
DDDDD
DDD
DDDD (2.5)
기하학적으로 원점과 직선까지의 거리공식에 의해서 신뢰도 지수는
다음과 같이 구할 수 있다.
kRS
kRSk
)()(
221s+s
m-m=b + (2.6)
여기서 mx 는 확률변수 x 의 평균이며, sx 는 확률변수 x 의
표준편차 이다. 선형화한 반력의 평균과 표준편자는 다음과 같다.
2
*
****
)()(
)()()()(
kDDkR
DkDkkDkkR
R
RRR
D
DDDD
Ñ×=s
×Ñ+×Ñ-=m
s
m (2.7)
Dm 는 확률변수의 평균 벡터이며, Ds 는 확률변수의 대각행렬이다.
등가 정규분포 공간에서 k 번째 단계에서 MPFP 가 kd 에서
한계상태식의 법선 방향에 존재한다고 가정하면 MPFP 는 다음과 같이
표시할 수 있다.
7
)( **
1 kdk Gλ dd Ñ-=+ (2.8)
여기서 l 는 미지수로 스칼라 변수이며, dÑ 는 d 에 대한 그래디언트
연산자이다. 등가 정규분포 공간에서 한계상태식의 그래디언트를 구하기
위해서는 dk 를 원래의 확률분포 공간으로 역변환하여 Dk 를 구한 후
DÑ 를 계산하여 그 값을 다시 등가 정규분포 공간으로 변환을 하게
된다. 주어진 MPFP 는 한계상태식 위에 있어야 하므로 다음을 만족
하게 된다.
0))(()( 1 =Ñ=+ kdk GλGG dd (2.9)
위의 식을 l 에 대해서 풀면 새로운 MPFP 가 결정된다. 그러나
한계상태식을 구성하는 R 이 비선형이기 때문에 l 에 대한 증분형을
통한 반복계산이 필요하다.
lll D+=+ pp 1 (2.10)
p 는 l 를 결정하기 위한 반복계산 회수를 나타낸다. 식 (2.10)을 (2.9)에
대입하여 l 에 대해서 1 차 테일러 근사를 하면 다음과 같다.
8
0)()()(
)()( 1
=DÑ×Ñ+=
D¶¶
¶¶
+»=
+
λGλGλG
λλ
GλGG
kdkpdkp
λλkpk
p
ddd
dd
dd (2.11)
)()()(
kdkpd
kp
GλGλG
λdd
dÑ×Ñ
-=D (2.12)
)()( kpkp λGλG dD = 성질에 의해 식 (2.12)는 다음과 같다.
)()()(
kdkpd
kp
GλGλG
λdd
DÑ×Ñ
-=D (2.13)
반복 계산을 위한 초기값은 신뢰도지수 b 에 의해 결정 되며 다음과
같다.
2
010 )(
)(
k
k
G ddÑ-= +b
l (2.14)
식 (2.13)으로 반복계산을 다음 수련조건에 대하여 적용한다.
λp
ελ
λ£
D
+1
(2.15)
9
여기서 λε 는 허용 오차이다. λ 를 구하는 반복 계산은 Newton-Raphson
방법[4]에 기초하고 있기 때문에 2 차 수렴성을 갖는다. 수렴한 λ 를
통해 새로운 MPFP 1+kd 를 구할 수 있다.
)()()(
*1
*
2
*1*
1 kdkkdkd
kk G
dGdGd
d Ñ=ÑÑ
-= ++
+ lb
(2.16)
결정된 MPFP 를 이용하여 (2.11)~(2.16) 까지의 과정을 MPFP 가 수렴할
때까지 반복한다. 현 단계에서의 MPFP 변화량으로 수렴조건을 확인한다.
MPFP 의 반복계산은 Successive iteration 이지만 일정한 비로 수렴을 하게
된다.
dddd
εk
kk £-
+
+
21
21 (2.17)
여기서 dε 는 허용오차이며, 2
× 는 2-norm 벡터이다.
등가 정규분포 상의 MPFP 를 원래 확률분포공간에서의 MPFP 로
변환하면 다음과 같다.
)()(
*2
2
*1*
1 kDkD
kDk G
DGD
D DD
Ñ×Ñ×
b-= +
+ ss
m (2.18)
여기서 DDD sss ×=2 and RSG DDD Ñ-Ñ=Ñ 와 같다.
10
식 (2.7), (2.18)에서의 반력의 그래디언트는 반력의 민감도로서,
사장교의 유한요소 모델을 통해 구할 수 있다. 이를 구하는 방법은
다음과 같다.
11
3. 반력에 대한 한계상태식의 민감도 산정
사장교를 해석하기 위해 유한요소 모델을 사용한다. 거더와 주탑, 그
외의 뼈대 구조물은 beam-column 요소를 사용하며, 케이블의 경우
탄성현수선 요소를 사용한다.
타이다운케이블은 사용성 상태에서 지점이 뜨는 것을 방지하기 위해
초기 긴장력을 가하게 되는데, 본 연구에서는 타이다운케이블의
초기긴장력을 고려하기 위해 논문에서 고려한 한계상태일 때의
부반력이 초기 긴장력보다 크게 된다면 지점을 타이다운케이블로 모델링
한 스프링지점으로 치환하여 계산하며, 한계상태일 때의 부반력이 초기
긴장력보다 크지 않은 경우에는 스프링지점으로 치환할 필요 없다.
스프링지점에서의 타이다운 케이블의 초기 긴장력은 고정된
외부하중으로 생각한다. 사장교에서의 평형방정식은 다음과 같다.
÷÷ø
öççè
æ+
=÷÷ø
öççè
æ=+=
RqPqP
wUFwUF
wUFUFF)()(
),(),(
),()(R
P
R
PCF (3.1)
여기서 U, P, F, FF, Fc 는 각각 FE 모델의 절점 변위, 외부하중, 구조물의
내력, 뼈대구조물로 인한 구조물의 내력, 케이블에 의한 구조물의 내력의
벡터이다. 여기서 아래에 쓰인 변수 P 는 자유단이며 R 은 고정단을
12
의미한다. 타이다운 케이블의 긴장력을 포함한 외부하중은
등가절점하중으로 정의되며 다음과 같다.
k
NL
k kR
kPk
NL
kk
R
P qq åå==
÷÷ø
öççè
æ==÷÷
ø
öççè
æ=
1 ,
,
1)()(
)(PP
PqPqP
qP (3.2)
여기서, kP 는 k 번째 하중요소에 대한 공칭값의 등가절점하중 벡터다.
qk 는 공칭값의 하중에 대한 통계적 특성을 갖고 있는 값이다. 즉
공칭값의 k 번째 하중에 대한 편차과 변동성을 포함하고 있다. 각 케이블
요소의 자중은 케이블의 부재력에 포함되어있으며, 절점변위는 다음과
같이 확률변수의 내제 함수로 표현된다.
),( wqUU = (3.3)
자유단에서의 절점변위는 식 (3.1)을 통해서 구할 수 있다. 케이블의
비선형성에 의해서 Newton-Raphson 방법으로 반복계산을 통해
평형방정식을 풀 수 있다. 식 (3.1)에서 자유단에서의 절점 변위를
구하게 되면, 고정단인 지점에서의 반력이 계산된다.
반력의 민감도는 식 (3.1)을 직접 미분하여 구할 수 있다. 변위는
확률변수의 내제 함수로 표현되기 때문에 평형방정식인 식 (3.1)은
연쇄법칙을 통해 다음과 같이 표현된다.
13
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
¶¶
+=
÷÷÷÷
ø
ö
çççç
è
æ
¶¶¶¶
=¶¶
=¶¶
¶¶
=¶¶
kkR
kP
kR
kP
kkk qq
qqqq
RP
P
UK
UKUKU
UFF
,
,
(3.4)
여기서 K 는 평형상태에서의 강성도 행렬과 같다. 변위의 민감도는 식
(3.4)의 윗부분을 통해 다음과 같이 구해진다.
kPPkq ,
1PKU -=¶¶
(3.5)
식 (3.5)를 (3.4)의 아랫부분에 대입하게 되면 외부하중에 대한 반력의
민감도는 다음과 같다.
kRkPPRkRk
Rk qq ,,
1, PPKKPUKR
-=-¶¶
=¶¶ - (3.6)
케이블 자중에 대한 반력의 민감도도 식 (3.1)를 직접 미분하여 구할 수
있다.
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶¶=
¶¶
+¶¶
¶¶
=¶¶
kk
C
k
F
k wwwwRFU
UFF 0
(3.7)
구조물의 케이블의 내력은 각 케이블요소의 부재력의 합으로 표현된다.
å=e
eCC FF (3.8)
14
ecF 는 e 번 케이블 요소의 부재력이며, S
e는 FEM 의 합을 의미한다.
그림 1. 탄성현수선의 자유물체도
케이블 요소의 외부 평형방정식은 다음과 같다.
eee gFF --= 12 (3.9)
여기서, ),0,0( 0e
ee Lw=g 이며, eL0 는 e 번 케이블 요소의 무응력 길이이다.
e 번 케이블 요소의 평형상태에서의 양단 절점 위치가 기지의 기준
위치 e0X 에서 절점 1 과 절점 2 에서 발생하는 변위 ee
21 ,uu 에 의하여
결정되며 이는 아래의 식으로 표현된다. eφ 는 탄성현수선 요소
케이블의 적합방정식이다.
),()( 10 e
eeee wFφUxB =+ (3.10)
x
z w e
e1F
eyF1y
exF1
ezF1
e2F
Node 2
Node 1
15
여기서 e0X 와 eU 는 e 번 케이블 요소의 절점의 위치와 절점의 변위를
의미하며, B 는 다음과 같이 정의된다.
úúú
û
ù
êêê
ë
é
--
-=
100100010010001001
B (3.11)
÷÷÷÷÷÷÷÷
ø
ö
çççççççç
è
æ
+-++---
÷÷ø
öççè
æ-÷÷
ø
öççè
æ +--
÷÷ø
öççè
æ-÷÷
ø
öççè
æ +--
=÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
fff
= --
--
))()((12
)(
)sinh(sinh
)sinh(sinh
21
2201
2
,
20,
0,
1
1101110
,
1
1101110
,
1
ez
ee
ez
eecc
ekce
ecc
ez
ez
ee
ez
e
eye
ecc
ey
ez
ee
ez
e
exe
ecc
ex
ez
ey
ex
e
FHLwFHwAE
LAL
AEF
HF
HLwF
wF
LAE
FHF
HLwF
wFL
AEF
φ
(3.12)
식 (3.10)을 k 번째 케이블의 자중으로 미분하면 다음과 같다.
k
e
e
e
k
e
k
e
www ¶¶
¶¶
+¶¶
=¶¶ 1
1
FFφφUB (3.13)
식 (3.13)의 부분적분의 첫번째 항은 ke ¹ 이면 사리지는 항이다. 절점
1 에 해당하는 부재력의 민감도는 다음과 같다.
kekk
e
k
eecke
k
e
k
e
e
e
k
e
wwwwwd+
¶¶
-¶¶
=d¶¶
-¶¶
÷÷ø
öççè
涶
=¶¶
-
hUUkφUBFφF )()( 12
1
1
1 (3.14)
16
ked 는 kronecker delta 이다. 여기서 ek
ek hk , 는 각각
1
1
-
÷÷ø
öççè
涶
= e
eec F
φk ,
k
eec
ek w¶
¶=
φkh 이다. 식 (3.14)를 식 (3.9)의 미분식에 대입하면 다음과
같은 방정식이 나오게 된다.
keee
kk
e
k
eec
k
e
wwwd+-
¶¶
-¶¶
-=¶¶ )()( 0
122 LhUUkF (3.15)
여기서, ),0,0( 00ee L=L 이다. 식 (3.13)과 식 (3.15)를 하나의 행렬을 가진
방정식으로 표현하면 다음과 같다.
keek
k
eeckeee
k
ek
k
e
ec
ec
ec
ec
k
eC
wwwd+
¶¶
=d÷÷ø
öççè
æ
--+
¶¶
úû
ùêë
é
--
=¶¶ hUK
LhhU
kkkkF
0
(3.16)
여기서, Teek
ek
ek ),( 0Lhhh --= 이다. 식 (3.7), 식 (3.8), 식 (3.16)을 통해
정리하면 다음과 같다.
÷÷ø
öççè
æ+
¶¶
úû
ùêë
é=+
¶¶
=
+¶¶
+¶¶
=
+¶¶
+¶¶
¶¶
=¶¶
+¶¶
¶¶
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶¶
åå
åå
R
P
kR
P
k
e
ee
ke
ec
F
e
ee
k
eec
k
F
e k
ec
k
F
k
ww
w
wwwww
HHU
KK
HUK
hUKUF
hUKUUFFU
UFR
)(
)(0
(3.17)
17
å=e
eehH 이며, 식 (3.17)의 윗부분을 풀면 k 번째 케이블의 자중에 대한
변위의 민감도가 계산되며, 식 (3.17)의 아랫부분을 통해 반력의
민감도가 계산된다.
RPPRRk
Rk
PPk
ww
w
HQKKHUKR
HKU
+-=+¶¶
=¶¶
-=¶¶
-
-
1
1
)(
)( (3.18)
식 (3.6)과 식 (3.18)을 통해 하중변수에 대한 반력의 민감도가 계산이
되면, 식 (2.7)과 식 (2.10)을 통해서 타이다운케이블의 신뢰도 지수와
그에 따른 MPFP 가 계산이 된다.
18
4. 신뢰도해석 예제
본 연구에서 제안한 신뢰도해석 기법을 이용하여 다음과 같이 세 교량인
제 2 진도대교, 인천대교, 북항대교에 대한 신뢰도평가를 수행한다.
타이다운케이블의 요구저항강도는 AASHTO LRFD 2012 한계상태
Strength I 하중조합과 초장대교량 사업단에서 진행 중인
케이블교량지침(한계상태설계법)(안)의 극한한계상태 I 하중조합에
대해서 평가 하며 설계기준은 다음과 같다.
LIDWCWDPA RRRRS 75.150.190.025.165.0 +++= AASHTO
LIDWCWDPC RRRRS 80.150.190.015.165.0 +++= 케이블교량설계지침
A 는 AASHTO 와 C 는 케이블교량지침을 의미하며, DP 는 카운터
웨이트 CW 를 제외한 1 차 고정하중이고, DW 는 포장하중이며, LI 는
충격을 포함한 활하중이다. 저항계수는 PTI recommendation 을 따른다.
활하중은 AASHTO 는 HL-93 하중으로, 케이블교량지침은 표준차로하중을
영향선 재하하였다. DP 가 부반력을 유발한다면 하중계수가 각각
1.25 와 1.15 이지만 정반력을 유발한다면 최소하중계수인 0.9 를 적용한다.
DW 의 경우에도 부반력을 유발한다면 최대하중계수인 1.50 이지만
정반력을 유발한다면 최소하중계수 0.65 를 적용한다. CW 는
19
카운터웨이트로 항상 정반력을 유발하기 때문에 최소하중계수인 0.9 를
적용한다. 이는 가장 불리한 하중계수를 조합하여 검토하기 위함이다.
4.1 설계기준에 따른 활하중
4.1.1 AASHTO LRFD 활하중
AASHTO LRFD 에서 제시하는 활하중 모델은 HL-93 으로 다음 조합
중 부반력을 더 크게 발생하는 조합을 선택하였다.
1) Design truck and design lane load
2) Design tandem and design lane load
신뢰도해석 대상 교량에 대해 두 조합의 결과를 비교해보면 1) Design
truck and design lane load 의 조합이 더 큰 부반력을 유발하는 것을
확인하였다.
Design truck and design lane load Design tandem and design lane load
그림 2. AASHTO LRFD 활하중 모델
4ft
25kips 25kips 0.64klf
8kips 32kips 32kips
14ft 14ft~30ft
0.64klf
20
4.1.2 케이블교량설계지침(한계상태설계법)(안) 활하중
케이블교량설계지침에서 제시하는 활하중 모델은 다음 하중 중에서
부반력을 더 크게 발생하는 것으로 선택하였다.
1) 표준트럭하중
2) 표준트럭하중의 75%와 표준차로하중
신뢰도해석 대상 교량에 대해 두 조합의 결과를 비교해보면 2)
표준트럭하중의 75%와 표준차로하중이 더 큰 부반력을 유발하는 것을
확인하였다.
그림 3. 케이블교량설계지침 표준트럭하중
표 1. 케이블교량설계지침 표준차로하중
지간길이(m) 등분포하중의 크기 (kN/m)
60L £ 12.7
60L > 15.0)L60(7.12 ´
L 은 영향선 길이(m)이다.
48kN 135kN 192kN
3.6m
135kN
7.2m 1.2m
21
4.2 신뢰도평가를 위한 확률변수의 분포특성
타이다운케이블에 대한 신뢰도평가를 수행하기 위해서는 이를
지배하는 하중조합을 알아야 한다. 신뢰도평가를 수행할 설계기준은
AASHTO LRFD 2012 설계기준과 케이블교량 설계지침(안)
(한계상태설계법) 의 두 기준에 대해서 진행한다. 또한 구조물의 부재가
들어올려지는 상태가 한계상태인 Pretension 이 확보하는 신뢰도수준과
실제 타이다운케이블의 극한강도를 요구저항강도로 보고 케이블이
파단되기까지 확보하는 신뢰도수준에 대해 평가한다. 한계상태 하중조합
Strength I 와 극한한계상태 하중조합 I 를 구성하는 하중 중에서 1 차
고정하중 DC 에서 Counterweight 를 따로 분리하여 Counterweight 를
제외한 1 차 고정하중(DP)과, Counterweight (CW)로 확률변수를 각각
정의하며, 2 차 고정하중 DW 와 차량 활하중(LL)을 확률변수로
정의하였다. 타이다운케이블의 초기긴장력 (Pretension) 등 나머지 하중의
값과 타이다운케이블의 유효단면적은 확정값(deterministic value)로
가정하며, 타이다운케이블의 극한응력만을 확률변수로 정의하여
신뢰도평가를 수행한다. 총 4 방법에 대해서 사용되는 확률변수의
분포특성값은 표 2 과 3 과 같다. 표 2 과 3 에서의 각 하중 및 저항의
통계특성은 교량설계핵심기술연구단의 연구결과[5],[6]와 Nowak[7],
Imai[1] 의 기존연구를 활용하였으며 그 값들은 다음 표와 같다.
22
설계기준 외에 사용성상태와 극한상태에 대한 신뢰도해석은 표 2 을
따른다.
표 2. AASHTO LRFD 2012 에 사용되는 확률변수의 분포특성값
구분 편심계수, l 변동계수,d 분포종류
Counterweigt 제외한 1 차 고정하중 DC1
1.03 0.05
Normal Counterweight DC2 1.03 0.05
2 차 고정하중 DW 1.00 0.25
활하중 LL 1.10 0.18 Lognormal 타이다운케이블
극한 응력 fu 1.07 0.05
표 3. 케이블교량설계지침 (안)에 사용되는 확률변수의 분포특성값
구분 편심계수, l 변동계수,d 분포종류
Counterweigt 제외한 1 차 고정하중 DC1
1.03 0.08
Normal Counterweight DC2 1.03 0.08
2 차 고정하중 DW 1.00 0.25
활하중 LL 1.10 0.20 Lognormal 타이다운케이블
극한 응력 fu 1.07 0.05
AASHTO LRFD 와 케이블교량지침이 확보하는 신뢰도 수준을
비교하기위해 활하중 편심계수를 1.10 으로 동일하게 하여 신뢰도평가를
한다. AASHTO LRFD 는 활하중 변동성 18%일 때 편심계수를
23
1.10~1.20 을 적용해야하며, 케이블교량지침은 활하중의 변동성이 20%일
때 편심계수를 1.00~1.10 을 적용해야 한다. 편심계수가 크게 되면
하중효과가 크게 평가 되기 때문에 신뢰도 지수는 작게 된다. 그렇기
때문에 1.10 의 같은 편심계수일 때, AASHTO LRFD 는 upper bound 가
되고 케이블교량지침은 low bound 가 되어 AASHTO LRFD 의 신뢰도
지수가 케이블교량지침보다 크게 나옴을 알 수 있다.
24
4.3 신뢰도해석 예제 적용
4.3.1 제 2 진도대교
제 2 진도대교는 기존교량과 동일한 형식의 쌍둥이 사장교로
계획되었으며, 전라남도 해남군과 섬인 진도군을 잇는 교량이다.
현지지형 및 해양환경의 특성상 조류가 빨라 해상공사 없이 횡단할 수
있는 장경간 교량을 설계하여, 경간장비가 70/344=0.2 로 하중조건에
관계없이 상시 부반력이 발생하는 구조이다. 부반력에 효과적으로
대처할 수 있도록 측경간을 부분 콘크리트를 채움(카운터웨이트)으로
부반력을 감소시키는 효과를 얻을 수 있으며, 부반력 저항기구로서는
Tie-down 케이블과 Pot Bearing 방식을 도입하였다.
(a) 제 2 진도대교
344 70 70
69 m
25
(b) 제 2 진도대교의 타이다운케이블 배치
그림 4. 제 2 진도대교 및 타이다운케이블 배치도
교량의 단면도는 다음 그림 4(a)과 같으며, 사장교 총 길이는
491.58m 이며 폭은 12.6m 로 2 차로이다. 케이블은 각 주탑에 30 개가
설치되어있으며, 대칭이다. 타이다운케이블은 양 쪽 끝에서 3.79m
떨어진 지점에 위치해 있다. 구조물의 물성치는 부록 B.1 이
수록되어있다. 측경간에 설치되어있는 카운터웨이트는 양 쪽 거더
끝으로 부터 60m 정도 채워져있으며 총 크기는 127.19 KN/m 이다. 그림
4(b)에서 보는 것과 같이 타이다운케이블이 설치되어있는 근처에는
케이블이 많이 설치 되어있는 것을 확인 할 수 있다. 타이다운케이블은
4 개가 설치 되어있으며, 물성치는 표 4 과 같다.
Unit: m
6.25
3.79
6.60
tie-down cable
0.68 1.61
1.31
girder
counterweight
60
26
표 4. 제 2 진도대교 타이다운케이블의 물성치
Tie-down cables
Ultimate stress 1800 MPa
Pretension 43.25 MN
Elastic modulus 200 GPa
Effective area 0.034328 m2
Length 6.6 m
활하중은 영향선 재하를 하며 진도대교의 왼쪽 지점에 대한 영향선은
다음과 같다. 중앙경간에 활하중을 재하 할 때 왼쪽 지점에서 부반력이
가장 크게 발생하는 것을 알 수 있다. 트럭하중의 위치는 AASHTO
LRFD 의 경우에는 트럭중앙하중이 영향선 최대점에 위치한 것이
부반력을 가장 크게 일으키며, 케이블교량설계지침의 활하중은 영향선
최대점이 두 바퀴 135KN 의 정 가운데에 놓일 때 부반력이 가장 크게
발생하게 된다.
27
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
0 100 200 300 400 500
Displacement ratio (Node/Support)Maximum point
Girder (m)
344 m
그림 5. 제 2 진도대교 영향선
제 2 진도대교의 반력에 대해 DC,DW,LI 에 대한 반력을 각각
표시해보면 다음과 같다.
표 5. 제 2 진도대교 반력
Reaction (MN) AASHTO LRFD 케이블교량설계지침
DC DP 9.15 9.15
CW -3.62 -3.62
DW 5.69 5.69
LI 5.61 5.05
28
제 2 진도대교는 카운터웨이트를 제외한 DP 와 DW, LI 모두 부반력을
유발하기 때문에 최대하중계수를 고려하며, 정반력을 유발하는 CW 는
최소하중계수를 고려하여 요구저항강도를 구한다.
신뢰도를 평가한 결과표는 다음 표 6 와 같다. 설계기준 AASHTO 와
케이블교량지침의 요구저항강도가 Pretension 보다 크지 않기 때문에
스프링으로 치환하지 않고 지점으로 두고 평가를 했다.
표 6. 제 2 진도대교 신뢰도해석결과
Support Condition Capacity (MN) Reliability index
Pretension Support 43.25 10.39
설계기준
AASSHTO Spring 42.26 10.13
설계지침 Spring 37.81 8.93
Design Strength Spring 61.79 13.81
신뢰도지수는 AASHTO 10.13, 케이블교량지침은 8.93 으로 AASHTO
의 결과가 케이블교량지침의 결과 보다 크게 나온 것을 알 수 있다.
Pretension 은 신뢰도 수준 10 이며, 실제 설치된 타이다운케이블의 Design
strengh 에 대해 13 울 확보한다. 이는 제 2 진도대교의 타이다운케이블이
매우 보수적으로 설계됐음을 알 수 있다.
타이다운케이블의 MPFP 는 표 7 와 같다. MPFP 는 각 확률변수의
공칭값으로 정규화한 값이다. 케이블의 MPFP 는 거의 동일하기 때문에
하나로 묶어서 표시하였다.
29
표 7. 제 2 진도대교 신뢰도해석 MPFP
Pretension Required Strength Design
Strength AASHTO 설계지침
Resistance fu 0.80 0.80 0.86 0.80
Load
DC
Girder 1.32 1.32 1.18 1.23
Pylon 1.03 1.03 1.03 1.03
Stay cables 1.03 1.03 1.03 1.03
CW, left 0.91 0.91 0.97 0.95
CW, right 1.02 1.02 1.03 1.03
DW Girder 2.19 2.20 1.96 1.83
LI Truck 1.25 1.25 1.24 1.19
Land Load 3.47 3.23 3.85 9.12
거더의 자중과 포장하중과 지점에서 가까운 카운터웨이트와 활하중이
공칭값에서 많이 변화했으며, 이것이 신뢰도 지수에 영향을 미치게 된다.
이 4 가지의 확률변수를 제외한 나머지 변수들의 MPFP 는 편심계수
근처에서 많이 변하지 않는다. 신뢰도해석은 강도는 줄어들며 하중은
증가하는 경향을 갖고 수렴하므로 MPFP 에 도달하게 되면 저항은
공칭값보다 작아지게 된다. 그 외에 왼쪽 카운터웨이트의 경우
지점에서의 부반력을 저감시키는 역할을 하기 때문에 MPFP 에 도달 시
왼쪽 카운터웨이트는 공칭값보다 작게 된다. 포장하중과 차로하중의
30
MPFP 가 거더의 MPFP 보다 큰 것을 알 수 있는데 이는 차로하중과
활하중의 변동성이 크기 때문에 MPFP 에 도달할 때 다른 하중계수보다
많이 변화하는 것을 알 수 있다. MPFP 에 도달하는 과정은 최적화
과정이기 때문에 요구저항강도가 커질수록 빠르게 수렴하는 방향으로
변수들이 변화하게 된다. 케이블교량설계지침이 그 외의 신뢰도해석
MPFP 와 다른 이유는 설계지침의 경우 DC 의 변동성이 10%에서
8%으로 줄어들었기 때문이다. 또한, Design Strength 가 요구저항강도일
경우 하중효과를 크게 유발하는 활하중의 MPFP 가 급격하게 증가하는
것은 포장하중이 유발하는 하중효과보다 활하중이 유발하는 하중효과가
훨씬 크기 때문이다.
31
4.3.2 인천대교
인천대교는 영종도와 송도국제도시를 잇는 교량으로 최대 6 차로
길이는 18.38km 이다. 사장구간은 1480m 이며 케이블은 208 개로 장경간
사장교이다. 인천대교의 단면도는 그림 6(a)와 같다. 인천대교는
타이다운케이블이 End pier 와 Supplement Pier 에 모두 설치되어있다. 양
측경간인 End Pier 와 Supplement Pier 의 사이에는 카운터웨이트가 총
크기 500kN/m 로 36m 채워져 있다.
(a) 인천대교
(b) 인천대교의 타이다운케이블 배치
그림 6. 인천대교 및 타이다운케이블 배치도
counterweight
52.07
tie-down cables
6.00 12.00 13.00 15.00
girder
Unit: m 80
1.88
49.75 36
32
그림 6(b)에서 보는 것과 같이 타이다운케이블 근처에 많은 케이블이
모여져 있다. 인천대교는 카운터웨이트가 없을 시에는 End Pier 는
부반력이 발생하며, Supplement Pier 는 작은 정반력이 발생한다. 하지만
카운터웨이트로 인해 End Pier 와 Supplement Pier 모두 정반력을 유발한다.
포장하중과 활하중 모두 부반력을 유발하기 때문에 End Pier 와
Supplement Pier 에 모두 타이다운케이블이 설치되어있다.
타이다운케이블은 4 개가 설치되어있으며, 물성치는 다음과 같다.
표 8. 인천대교 타이다운케이블의 물성치
Tie-down cables End Pier Supplment Pier
Ultimate stress 1770 MPa 1770 MPa
Pretension 8.80 MN 20.40 MN
Elastic modulus 195 GPa 195 GPa
Effective area 0.01124 m2 0.023244 m2
Length 49.75 m 52.07 m
활하중은 영향선 재하를 하며, 재하차로수는 8 차로이다. 왼쪽의 각각
지점에 대한 영향선은 다음과 같다. 트럭하중의 위치는 영향선
최대지점을 기준으로 제 2 진도대교와 동일하다.
33
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
0 300 600 900 1200 1500
End PierSupplement PierMaximum
Girder(m)
800 m
60 m
그림 7. 인천대교 영향선
인천대교의 반력에 대해 DC,DW,LI 에 대한 반력을 각각 표시해보면
다음과 같다. E 는 End pier 을 의미하며 S 는 supplement pier 를 의미한다.
표 9. 인천대교 반력
Reaction (MN) AASHTO LRFD 케이블교량설계지침
E S E S
DC DP 6.13 -1.15 6.13 -1.15
CW -10.83 -7.72 -10.83 -7.72
DW 2.13 1.91 2.13 1.91
LI 4.57 10.72 4.30 10.18
34
인천대교의 End pier 의 경우 DP 와 DW, LI 모두 부반력을 유발하므로
최대하중계수를 적용하며, CW 만 최소하중계수를 적용하여 요구
저항강도를 구한다. Supplement pier 의 경우는 DP 와 CW 가 정반력을
유발하므로 최소하중계수를 적용하고, DW 와 LI 는 부반력을 유발하므로
최대하중계수를 적용하여 요구저항강도를 구한다.
신뢰도를 평가한 결과표는 표 10 과 같다. 설계기준 AASHTO 와
케이블교량지침의 요구저항강도가 Pretension 보다 크기 때문에
타이다운케이블의 특성을 갖는 스프링으로 치환하여 신뢰도해석을
진행하였다.
표 10. 인천대교의 신뢰도해석 결과
Support Condition
Capacity (MN) Reliability index
E S E S
Pretension Support 8.80 20.40 4.27 5.42
설계기준
AASSHTO Spring 11.70 21.01 5.95 5.56
설계지침 Spring 10.72 20.38 5.73 5.33
Design Strength Spring 19.89 41.14 8.71 8.79
신뢰도지수는 End pier 는 AASHTO 5.95, 지침은 5.73 이며 Supplement
pier 는 AASHTO 5.56, 지침은 5.33 이다. AASHTO 가 설계지침보다
신뢰도 지수가 크게 평가된 것을 알 수 있다. Pretension 이 확보하는
35
신뢰도 수준은 4~5 이며, 실제 설치된 타이다운 케이블이 파단되기까지
확보하는 신뢰도 수준은 8.7 이다.
타이다운케이블의 MPFP 는 End pier 는 표 11 과 같고, Supplement
pier 는 표 12 와 같다. MPFP 는 각 확률변수를 공칭값으로 정규화한
값이다.
표 11. 인천대교의 End pier 의 신뢰도해석 MPFP
Pretension Required Strength Design
Strength AASHTO 설계지침
Resistance fu 1.02 0.99 1.00 0.95
Load
DC
Girder 1.12 1.12 1.08 1.12
Pylon 1.03 1.03 1.03 1.03
Stay cables 1.03 1.03 1.03 1.03
CW, left 0.77 0.75 0.87 0.77
CW, right 1.03 1.03 1.03 1.03
DW Girder 1.31 1.35 1.31 1.33
Pylon 1.00 1.00 1.00 1.00
LI Truck 1.14 1.15 1.17 1.15
Land Load 1.83 2.55 2.91 4.39
36
표 12. 인천대교의 Supplement pier 의 신뢰도해석 MPFP
Pretension Required Strength Design
Strength AASHTO 설계지침
Resistance fu 1.01 1.00 1.01 0.96
Load
DC
Girder 1.02 1.02 1.03 1.02
Pylon 1.03 1.03 1.03 1.03
Stay cables 1.03 1.03 1.03 1.03
CW, left 0.94 0.93 0.97 0.94
CW, right 1.03 1.03 1.03 1.03
DW Girder 1.14 1.15 1.13 1.13
Pylon 1.00 1.00 1.00 1.00
LI Truck 1.15 1.15 1.17 1.15
Land Load 2.72 2.78 2.98 4.89
표를 보게 되면, 지점에서 가까운 왼쪽 카운터웨이트와 포장하중,
활하중이 많이 변화하는 것을 알 수 있다. 카운터웨이트가 왼쪽
지점에서 6.78m 인 곳에서부터 36m 로 채워져있기 때문에
카운터웨이트가 End pier 에 미치는 영향은 Supplement pier 보다 크게 된다.
그 영향은 End pier 에서 활하중의 하중효과보다도 크기 때문에 최종
MPFP 를 보게 되면 활하중의 MPFP 도 증가하지만 이보다 왼쪽의
카운터웨이트가 많이 감소한 것을 확인 할 수 있다. Supplement pier 는
카운터웨이트의 영향보다 활하중의 영향을 더 받기 때문에 End pier 의
37
MPFP 와 비교해보면 카운터웨이트가 덜 감소하고 활하중이 더 증가한
것을 확인할 수 있다. 표 11 을 보면, DC 에서 케이블교량설계지침이 더
적게 변화하는 것은 DC 의 변동성이 8%로 적기 때문이다.
요구저항강도가 Design strength 일 때는 활하중의 MPFP 가 증가하는
양상도 활하중의 변동성이 크기 때문이다. 위에서 언급한 것과 같이
카운터웨이트를 제외한 DC 는 End pier 는 부반력을 유발하고 Supplement
pier 는 정반력을 유발하기 때문에 거더의 MPFP 가 End pier 의 경우에는
공칭값보다 증가하지만 Supplement pier 는 공칭값보다 작아지는 것이다.
38
4.3.3 북항대교
북항대교는 부산의 영도와 남구를 잇는 교량으로 왕복 6 차로의
사장구간 1.114km 인 합성형교량이다. 교량의 단면도는 그림 8(a)와 같다.
케이블은 총 160 개가 설치되어있다. 북항대교는 단부의 부반력 제어를
위해 앵커블럭을 대형화시켜 End pier 에서는 매우 큰 정반력이 유도된다.
따라서, End pier 에서는 부반력이 발생하지 않기 때문에 Supplement
pier 에만 타이다운케이블이 설치되어있다.
(a) 북항대교
(b) 북항대교의 타이다운케이블 배치
그림 8. 북항대교 및 타이다운케이블 배치도
girder
tie-down cable
60 35
8.6
39
타이다운케이블은 그림 8(b)와 같이 설치되어있다. 북항대교에는
카운터웨이트가 따로 존재하지 않으며, 단부에 설치된 대블럭이
카운터웨이트 역할을 하게 된다. 대블럭으로 인해 불리한 하중조합에도
End pier 에서는 부반력이 발생하지 않는다. 타이다운케이블의 물성치는
표 13 과 같다.
표 13. 북항대교 타이다운케이블의 물성치
Tie-down cables
Ultimate stress 1770 MPa
Pretension 8.20 MN
Elastic modulus 200 GPa
Effective area 0.018628 m2
Length 35 m
활하중은 영향선 재하를 하며 북항대교 왼쪽 Supplement pier 에서의
영향선은 그림 9 와 같다. 트럭하중의 위치는 영향선 최대지점을
기준으로 제 2 진도대교와 동일하다.
40
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5End PierSupplement Piermaximum
0 200 400 600 800 1000 1200Girder (m)
540 m
그림 9. 북항대교 영향선
북항대교의 반력에 대해 DC,DW,LI 에 대한 반력을 각각 표시해보면
다음과 같다.
표 14. 북항대교 반력
Reaction (MN) AASHTO LRFD 케이블교량설계지침
DC 7.80 7.80
DW -1.04 -1.04
LI 7.94 8.00
41
북항대교는 DC 는 부반력, DW 는 정반력, LI 는 부반력을 갖는다. 하지만
북항대교의 경우, DC 를 증가시킬 수록, 즉 고정하중이 커질 수록
부반력의 크기가 줄어드는 것을 확인하였다. 이는 즉 DC 의 하중이
커질수록 정반력을 유발한다는 것을 의미하며, 반력에 대한 DC 의
크기는 부반력일지라도 DC 하중 자체는 크기가 커질수록 정반력을
유발하는 하중이므로 DW 와 함께 최소하중계수를 적용해야한다. LI 는
부반력을 유발하므로 최대하중계수를 적용하여 요구저항강도를 구한다.
신뢰도를 평가한 결과표는 다음 표 15 과 같다. 설계기준
AASHTO 와 케이블교량설계지침의 요구저항강도가 Pretension 보다 크기
때문에 타이다운케이블의 물성치를 갖는 스프링으로 치환하여
신뢰도해석을 진행하였다.
표 15. 북항대교의 신뢰도해석 결과
Support Condition Capacity (MN) Reliability index
Pretension Support 8.20 -5.72
설계기준
AASSHTO Spring 26.53 5.41
설계지침 Spring 27.37 5.21
Design Strength Spring 32.97 7.02
신뢰도지수는 AASHTO 5.41 지침은 5.21 이다. AASHTO 설계기준이
설계지침보다 신뢰도 지수가 크게 평가된다. 이는 인천대교의
42
Supplement pier 와도 유사한 신뢰도수준을 확보한다. Pretension 이
확보하는 신뢰도지수는 -5.72 이다. Pretension 이 확보하는 신뢰도 수준은
부재가 위로 뜨는 상태를 한계상태로 두고 신뢰도를 평가한 것이기
때문에 '-'의 값은 부재가 어떤 하중조합에도 위로 변위가 발생한다는
것을 의미한다. 실제 설치된 타이다운 케이블이 파단되기까지 확보하는
신뢰도 수준은 7.02 이다.
타이다운케이블의 MPFP 는 표 16 와 같다. MPFP 는 각 확률변수를
공칭값으로 정규화한 값이다.
표 16. 북항대교의 신뢰도해석 MPFP
Required Strength Design
Strength AASHTO 설계지침
Resistance fu 0.96 0.98 0.94
Load
DC
Girder 0.97 1.00 0.97
Pylon 1.02 1.03 1.02
Stay cables 1.03 1.03 1.03
DW Girder 0.89 0.91 0.89
LI Truck 1.18 1.20 1.18
Land Load 2.61 2.81 3.45
43
표 16 를 보면, 거더의 자중과 포장하중,활하중의 MPFP 가 많이
변화한다. 다른 변수들은 편심계수와 비슷한 값을 보인다. 북항대교는
1 차고정하중인 DC 와 DW 는 정반력을 유발하기 때문에 MPFP 에 도달할
때 거더와 포장하중 모두 공칭값보다 작게 되는 것이다.
케이블교량설계지침과 AASHTO 의 MPFP 차이는 변동성 차이이다.
요구저항강도가 Design strength 가 될 때에는 활하중에 의한 하중효과가
크기 때문에 활하중이 증가하면서 MPFP 에 도달한다.
44
5. 결론
본 논문에서는 부반력에 저항하는 타이다운케이블에 신뢰도기반 하중-
저항계수설계법의 도입을 위한 기초연구로서 부반력에 저항하는
타이다운케이블에 대한 신뢰도해석을 제안하였다. 기존의 부반력
설계기준은 허용응력설계법으로 한계상태법에 도입하기 위해서는
신뢰도해석이 선행되어야 한다. 이에 대해 타이다운케이블에 영향을
미치는 변수들을 고려하여, 부반력에 저항하는 타이다운케이블의
한계상태식을 정립하였으며 FOSM 을 이용한 신뢰도해석을 수행하기
위해 필요한 한계상태식의 확률변수에 대한 민감도를 제안하였다.
본 연구에서는 제 2 진도대교, 인천대교, 북항대교를 대상으로 하여
세 개의 실제 교량에 대해 신뢰도해석을 수행하였다. 결과에서 볼 수
있듯이 교량 종류에 따라 신뢰도지수의 차이가 발생하는 것을 알 수
있다. 이는 하중효과를 구성하는 하중의 비 뿐만이 아니라 고정하중의
반력의 방향으로 인해 나타나는 양상이다. 제 2 진도대교의 경우
측경간대비 중앙경간이 길기 때문에 고정하중으로 유발되는 부반력이
활하중으로 인한 부반력의 2 배이다. 인천대교는 1 차 고정하중이
정반력을 유발하고, 북항대교의 경우에는 2 차 고정하중이 정반력을
유발한다. 활하중은 항상 동일한 방향으로 부반력을 유발하지만
45
고정하중의 반력의 방향으로 인해 제 2 진도대교와 인천대교, 북항대교의
신뢰도지수 차이가 생기는 것으로 판단된다. 또한 각각의 하중 비율을
보게 되면, 제 2 진도대교의 경우 고정하중과 활하중의 비율은
(69%):(31%)이며, 인천대교는 End Pier 의 경우 (-148%):(248%), Supplement
Pier 는 (-216%): (316%)이고, 북항대교의 경우는 (46%),(54%)으로 하중의
비율에 따라서도 신뢰도지수의 차이가 미소하게 차이가 나게 된다.
본 연구에서는 기존의 설계기준의 한계상태가 만족하는
신뢰도수준과 타이다운케이블이 뜨기 전까지인 사용성 상태와
타이다운케이블이 파단되는 극한상태가 확보할 수 있는 신뢰도수준을
평가하였다. AASHTO LRFD 와 케이블교량설계지침에 따라 제
2 진도대교는 9~10 의 신뢰도지수를 만족하며, 인천대교와 북항대교는
5 정도의 신뢰도지수를 확보한다. 하중조건에 상관없이 상시 부반력이
발생하는 제 2 진도대교는 인천대교와 북항대교와 비교하여 부반력이
발생할 확률도 높으며 이에 대해 안전하게 설계할 필요성이 있다. 반면
고정하중에 대해서는 부반력이 발새하지 않는 인천대교와 북항대교는 제
2 진도대교에 비해 부반력에 관해서는 좀 더 안전하다고 볼 수 있다.
따라서, 고정하중이 부반력이 발생시키는 경우에는 더 높은 신뢰도
지수를 확보해야하는 것이 옳다고 판단되며, AASHTO LRFD 와
케이블교량설계지침의 하중조합에 대한 부반력에 저항하는 타이다운
케이블의 신뢰도지수는 최소 5 를 만족하는 것으로 판단된다.
46
참고문헌
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Application to the Innnoshima Bridge", Journal of Bridge Engineering, ASCE, vol.6,
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Computer Structural.; 9: 489–494. ,1978
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Design. John Wiley & Sons, Inc.; 2000.
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McGraw-Hill; 1981.
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교량설계핵심기술연구단 ,2006. TRS 001.
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47
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Highway and Transportation Officials: Washington, DC. , 2012
[11] Specification, PTI Guide. "Recommendations for stay cable design, testing and
installation." Post-Tensioning Institute Committee on Cable-Stayed Bridges, 2007
48
부록 A. 탄성현수선 케이블 요소의 연성도 행렬
þýü
îíì
+-
++-÷÷
ø
öççè
æ+
++--=
¶¶
)(1
)(1ln1
11202
2
1
200
TFTTwLFTwF
TFTwLF
wEAL
F ze
z
x
z
ez
e
x
exf
þýü
îíì
+-
++-=
¶¶
)(1
)(1
11202 TFTTwLFTwFF
F ze
z
yx
y
exf
þýü
îíì
--=¶f¶
12
11TTw
FF
x
z
ex
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¶
f¶
)(1
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11202 TFTTwLFTwFF
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200
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12
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11TTw
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-+
--=¶f¶
12
00 1TF
TwLF
wEAL
Fz
ez
e
z
ez
49
÷÷ø
öççè
æ+-=
¶f¶
20
11TEA
FL xe
ex
÷÷ø
öççè
æ+-=
¶
f¶
20
11TEA
FL ye
ey
÷÷ø
öççè
æ++-=
¶f¶
20
0
11)(TEA
wALFL
eze
ez
여기서, 22211 zyxe FFFT ++== F , 2
022
22 )( ezyx
e wLFFFT +++== F 이
다.
50
부록 B. 예제 교량의 제원
B-1. 제 2 진도대교의 제원
표 B.3 은 케이블이 정착된 위치이며 표 B.2~B.3 은 제
2 진도대교의 부재의 물성치이다.
표 B.1. 제 2 진도대교의 케이블의 정착위치
Girder Tower
x (m) y (m) z (m) x (m) y (m) z (m)
1 -245.347 17.212 6.689 -172.750 88.111 0.417
2 -244.664 16.677 6.736 -172.750 87.116 0.524
3 -243.050 16.757 6.736 -172.750 86.114 0.631
4 -241.743 16.823 6.736 -172.750 85.115 0.745
5 -219.420 19.647 6.599 -172.750 82.831 0.990
6 -197.881 20.708 6.599 -172.750 80.552 1.234
7 -146.096 23.271 6.599 -171.250 80.449 1.245
8 -128.828 24.062 6.599 -171.250 81.616 1.120
9 -111.557 24.755 6.599 -171.250 82.594 1.015
10 -94.279 25.349 6.599 -171.250 83.533 0.915
51
11 -77.010 25.848 6.599 -171.250 84.459 0.816
12 -59.746 26.251 6.599 -171.250 85.367 0.718
13 -42.486 26.557 6.599 -171.250 86.267 0.615
14 -25.204 26.768 6.599 -171.250 87.158 0.520
15 -7.965 26.880 6.599 -171.250 88.064 0.423
52
표 B.2 제 2 진도대교의 부재의 단면 특성
Member Range A (m2) w (KN/m) Iy (m2) Iz (m2) J (m2)
Girder
-245.79 ~ -235.75 0.936 145.62 16.890 1.451 18.210
-235.75 ~ -182.90 0.486 53.82 6.777 1.050 7.335
-182.90 ~ -168.45 0.759 87.17 10.38 1.078 11.340
-168.45 ~ -6.10 0.462 55.11 6.283 0.596 6.842
-6.10 ~ 0.00 0.462 61.15 6.283 0.596 6.842
Tower
19.92 ~ 29.92 0.394 36.33 0.497 0.332 0.629
29.92 ~ 46.92 0.348 31.43 0.333 0.220 0.524
46.92 ~ 66.92 0.288 27.53 0.365 0.243 0.461
66.92 ~ 76.42 0.334 30.81 0.419 0.287 0.537
76.42 ~ 85.85 1.016 109.36 3.583 1.080 4.461
85.85 ~ 88.92 0.607 65.36 0.680 0.507 1.033
53
표 B.3 제 2 진도대교의 케이블 물성치
Cable Group Cable No. A (m2) w (KN/m) L0(m)
Side 1
1 0.581´10-2 0.47 101.445
2 0.581´10-2 0.47 100.635
3 0.581´10-2 0.47 98.724
4 0.581´10-2 0.47 97.045
5 0.581´10-2 0.47 78.546
6 0.581´10-2 0.47 64.962
Center
2
7 0.281´10-2 0.23 62.613
8 0.281´10-2 0.23 71.617
9 0.281´10-2 0.23 83.175
3
10 0.420´10-2 0.34 96.530
11 0.420´10-2 0.34 110.960
12 0.420´10-2 0.34 126.130
13 0.420´10-2 0.34 141.795
4 14 0.535´10-2 0.43 157.905
15 0.535´10-2 0.43 174.165
54
B-2. 인천대교의 제원
표 B.4 은 케이블이 정착된 위치이며, 그림 B.1~B.2 는 인천대교
부재의 물성치이다.
표 B.4. 인천대교의 케이블 정착위치
Girder Tower
x (m) y (m) z (m) x (m) y (m) z (m)
1 6.7800 64.5207 -16.7843 338.4500 230.0532 -0.3500
2 12.7800 64.7077 -16.7843 338.4500 228.5532 -0.3500
3 18.7800 64.8947 -16.7843 338.4500 227.0532 -0.3500
4 24.7800 65.0787 -16.7843 338.4500 225.5532 -0.3500
5 30.7810 65.2597 -16.7843 338.4500 224.0531 -0.3500
6 36.7820 65.4397 -16.7843 338.4500 222.553 -0.3500
7 42.7830 65.6167 -16.7843 338.4500 221.0529 -0.3500
8 54.7860 65.9667 -16.7843 338.4500 219.5528 -0.3500
9 66.7880 66.3177 -16.7843 338.4500 218.0527 -0.3500
10 79.7910 66.7017 -16.7843 338.4500 216.5526 -0.3500
11 92.7930 67.0927 -16.7843 338.4500 215.0524 -0.3500
12 107.7960 67.5487 -16.7843 338.4500 213.5522 -0.3500
13 122.8000 68.0037 -16.7843 338.4500 212.0521 -0.3500
14 137.8040 68.4567 -16.7843 338.4500 210.5519 -0.3500
15 152.8090 68.9087 -16.7843 338.4500 209.0517 -0.3500
55
16 167.8140 69.3597 -16.7843 338.4500 207.5515 -0.3500
17 182.8180 69.8107 -16.7843 338.4500 206.0513 -0.3500
18 197.8240 70.2617 -16.7843 338.4500 204.451 -0.3500
19 212.8300 70.7127 -16.7843 338.4500 202.8508 -0.3500
20 227.8360 71.1637 -16.7843 338.4500 201.1505 -0.3500
21 242.8420 71.6137 -16.7843 338.4500 199.3502 -0.3500
22 257.8480 72.0637 -16.7843 338.4500 197.3498 -0.3500
23 272.8530 72.5137 -16.7843 338.4500 195.1494 -0.3500
24 287.8590 72.9637 -16.7843 338.4000 192.5488 -0.3500
25 302.8650 73.4127 -16.7843 338.4200 189.9483 -0.3140
26 317.8720 73.8627 -16.7843 337.8500 182.3467 -0.8500
27 361.8870 75.1797 -16.7843 342.1500 182.3468 -0.8500
28 376.8940 75.6287 -16.7843 341.58100 189.9494 -0.3140
29 391.9000 76.0767 -16.7843 341.6000 192.549 -0.3500
30 406.9070 76.5267 -16.7843 341.55000 195.1495 -0.3500
31 421.9140 76.9757 -16.7843 341.5500 197.35 -0.3500
32 436.9210 77.4257 -16.7843 341.5500 199.3503 -0.3500
33 451.9280 77.8685 -16.7843 341.5500 201.1507 -0.3500
34 466.9340 78.2903 -16.7843 341.5500 202.851 -0.3500
35 481.9400 78.6895 -16.7843 341.5500 204.4512 -0.3500
36 496.9460 79.0683 -16.7843 341.5500 206.0515 -0.3500
37 511.9520 79.4245 -16.7843 341.5500 207.5517 -0.3500
56
38 526.9570 79.7593 -16.7843 341.5500 209.0519 -0.3500
39 541.9630 80.0705 -16.7843 341.5500 210.5521 -0.3500
40 556.9680 80.3643 -16.7843 341.5500 212.0523 -0.3500
41 571.9720 80.6345 -16.7843 341.5500 213.5524 -0.3500
42 586.9760 80.8823 -16.7843 341.5500 215.0526 -0.3500
43 601.9800 81.1085 -16.7843 341.5500 216.5527 -0.3500
44 616.9840 81.3123 -16.7843 341.5500 218.0528 -0.3500
45 631.9880 81.4925 -16.7843 341.5500 219.553 -0.3500
46 646.9910 81.6513 -16.7843 341.5500 221.0531 -0.3500
47 661.9930 81.7875 -16.7843 341.5500 222.5531 -0.3500
48 676.9960 81.9003 -16.7843 341.5500 224.0532 -0.3500
49 691.9980 81.9905 -16.7843 341.5500 225.5533 -0.3500
50 706.9990 82.0573 -16.7843 341.5500 227.0533 -0.3500
51 718.2500 82.092 -16.7843 341.5500 228.5533 -0.3500
52 729.5000 82.1142 -16.7843 341.5500 230.0534 -0.3500
57
150
200
250
300
350
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
0 100 200 300 400 500 600 700
Self weight Area
Self
wei
ght (
KN
/m)
Area (m
2)
Girder (m)
End PierSupplement Pier Pylon
100
120
140
160
180
200
220
240
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 100 200 300 400 500 600 700
IyIzJ
Iy (m
4 )Iz , J (m
4)
Girder (m)
End Pier
Supplement Pier Pylon
그림 B.1 인천대교 거더의 물성치
58
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
0.014
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.00 100 200 300 400 500 600 700
Area Self weight
Are
a (m
2 ) w (K
N/m
)
Girder (m)
PylonSupplement PierEnd Pier
100
150
200
250
300
350
400
450
0.00 100 200 300 400 500 600 700
Original length
L o (m)
Girder (m)
PylonSupplement PierEnd Pier
그림 B.2 인천대교 케이블의 물성치
59
B-3. 북항대교의 제원
표 B.5 은 케이블이 정착된이며, 위치그림 B.3~B.4 는 북항대교
부재의 물성치이다.
표 B.5. 북항대교의 케이블 정착위치
Girder Tower
x (m) y (m) z (m) x (m) y (m) z (m)
1 266.400 58.526 -13.750 285.350 142.000 -3.700
2 253.500 57.880 -13.750 284.950 143.700 -3.700
3 240.600 57.236 -13.750 284.950 146.000 -3.700
4 227.700 56.590 -13.750 284.950 148.000 -3.700
5 214.800 55.946 -13.750 284.950 150.000 -3.700
6 201.900 55.300 -13.750 284.950 152.000 -3.700
7 189.000 54.656 -13.750 284.950 154.000 -3.700
8 176.100 54.011 -13.750 284.950 156.000 -3.700
9 163.200 53.365 -13.750 284.950 158.000 -3.700
10 150.300 52.721 -13.750 284.950 160.000 -3.700
11 137.400 52.075 -13.750 284.950 162.000 -3.700
12 124.500 51.431 -13.750 284.950 164.000 -3.700
13 111.600 50.785 -13.750 284.950 166.000 -3.700
14 98.700 50.141 -13.750 284.950 168.000 -3.700
60
15 85.800 49.495 -13.750 284.950 170.000 -3.700
16 77.200 49.066 -13.750 284.950 172.000 -3.700
17 68.600 48.636 -13.750 284.950 174.000 -3.700
18 60.000 48.206 -13.750 284.950 176.000 -3.700
19 51.400 47.776 -13.750 284.950 178.000 -3.700
20 42.800 47.295 -13.755 284.950 180.000 -3.700
21 266.400 58.526 13.750 285.350 142.000 3.700
22 253.500 57.880 13.750 284.950 143.700 3.700
23 240.600 57.236 13.750 284.950 146.000 3.700
24 227.700 56.590 13.750 284.950 148.000 3.700
25 214.800 55.946 13.750 284.950 150.000 3.700
26 201.900 55.300 13.750 284.950 152.000 3.700
27 189.000 54.656 13.750 284.950 154.000 3.700
28 176.100 54.011 13.750 284.950 156.000 3.700
29 163.200 53.365 13.750 284.950 158.000 3.700
30 150.300 52.721 13.750 284.950 160.000 3.700
31 137.400 52.075 13.750 284.950 162.000 3.700
32 124.500 51.431 13.750 284.950 164.000 3.700
33 111.600 50.785 13.750 284.950 166.000 3.700
34 98.700 50.141 13.750 284.950 168.000 3.700
35 85.800 49.495 13.750 284.950 170.000 3.700
36 77.200 49.066 13.750 284.950 172.000 3.700
61
37 68.600 48.636 13.750 284.950 174.000 3.700
38 60.000 48.206 13.750 284.950 176.000 3.700
39 51.400 47.776 13.750 284.950 178.000 3.700
40 42.800 47.295 13.755 284.950 180.000 3.700
62
60
80
100
120
140
160
180
200
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
0 80 160 240 320 400 480 560
Self weight Area
Self
wei
ght (
KN
/m)
Area (m
2)
Girder (m)
End Pier Supplement Pier
Pylon
0
5
10
15
20
25
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 80 160 240 320 400 480 560
IyIz
Iy (m
4 )Iz (m
4)
Girder (m)
End Pier Supplement PierPylon
그림 B.3 북항대교 거더의 물성치
63
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.010
0.011
0.012
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.00 150 300 450 600
Area Self weight
Are
a (m
2 ) w (K
N/m
)
Girder (m)
End Pier Supplement Pier Pylon
50
100
150
200
250
300
0.00 100 200 300 400 500 600
Original length
L o (m)
Girder (m)
End Pier Supplement Pier Pylon
그림 B.4 북항대교 케이블의 물성치
64
ABSTRACT
This paper suggests the reliability analysis of the tie-down cables for negative
reactions in the bridge for the bridge design based on Load and Resistance Factor
Design(LRFD).
Bridge design concepts have been changed from Allowable Stress Design
(ASD) method to LRFD method. ASD method is simplified the design applied a
factor of safety based on empirical method. LRFD design method is rational
method based on reliability assessment that applies probabilistic and statistical
information of the design variables.
For the design of the Tie-down cables resisting negative reactions in cable-
stayed bridges, it is important to set the limit state function. The limit state function
of negative reactions is specified by the ultimate strength of the tie-down cables
and the reactions at supports. The reliability index and the most probable failure
point are obtained by the advanced first-order second-moment reliabiblity method
(AFOSM). The sensitivity of the reactions have to be evaluated using the finite
element model of a cable-stayed bridge. The reliability analysis are performed by
AFOSM through four ways. First Analysis is based on the AASHTO LRFD bridge
design specification and the post-tensioning institute (PTI) recommendation for
three cable-stayed bridge in service in Korea. And other two analysis are subjected
to tie-down cables at the three cable-stayed bridge in service in Korea. Tie-down
cables are usually pre-tensioned to prevent uplift displacements of supports under
65
the normal operation condition. So the reliability analysis is performed by normal
operation condition and ultimate condition that failure of the tie-down cables. This
proposed method could be a meaningful information for the LRFD design method.
Key Words:
Cable-stayed bridge, Reliability Analysis, LRFD design method, Negative reaction,
Tie-down cables
Student Number: 2012-20914
