Relazione sull'affidabilità del codice di calcolo Por

Relazione sull'affidabilità del codice di calcolo Por

Secondo la normativa attuale, il progettista che utilizzi un codice di calcolo automatico nello svolgimento dell’analisi strutturale è tenuto a controllare l’affidabilità del codice utilizzato e a verificare l’attendibilità dei risultati ottenuti, in modo da pervenire ad un giudizio motivato di accettabilità dei risultati (Ntc18, punto 10.2).Per conseguire tale finalità, l’utente dovrà avere a disposizione una documentazione di corredo al programma, che contenga una esauriente descrizione delle basi teoriche, degli algoritmi impiegati, dei campid’impiego e una discussione commentata di casi risolti, di cui siano disponibili i file di input necessari per la riproducibilità delle elaborazioni.Per il programma Por 2000, l’utente può trovare nel presente documento una sintesi esauriente delle basi teoriche, tratta dal manuale d’uso, e una discussione commentata delle scelte di modellazione adottate nel programma. Sarà pure discusso un test di affidabilità basato sul confronto con risultati sperimentali ottenuti presso l'Università di Pavia nel 1994 di cui sono disponibili resoconti dettagliati [1,2]. La sperimentazione di Pavia è ben nota in letteratura ed è stata spesso utilizzata per la validazione di modellazioni numeriche anche molto dettagliate [3-7].L’utente può riprodurre i tests di sua iniziativa, scaricando dal sito Newsoft i files di modellazione e sottoponendoli ad analisi con la versione in suo possesso. In questo modo avrà la possibilità di riscontrare l’affidabilità numerica dei risultati forniti dal programma e di pervenire in modo autonomo all’espressione di un giudizio motivato di accettabilità dei risultati.

Questi gli argomenti trattati nel seguito di questo documento:Origine e caratteristiche dei codici di calcolo

Generalità sul programma: Versione, Autore e produttore, Licenza d'usoNotizie sulla casa produttriceLa normativa di riferimento

La definizione strutturaleStrutture analizzabiliGli elementi della modellazioneIl controllo della modellazioneStampa della relazione e dei disegni

La modellazione strutturaleLe ipotesi di baseConsiderazioni sulle fasce di pianoConsiderazioni sulla rigidezza dei solaiComportamento meccanico dei maschi

L'analisi pushoverEsecuzione dell'analisi pushoverLe curve di capacità e le verifiche pushoverControllo della partecipazione di massa alle scansioni pushover

L’esecuzione dell’analisiIl quadro generale delle verificheVerifiche locali e globaliSintesi grafiche delle verifiche

Interventi di rinforzoL'individuazione degli elementi più impegnatiL'applicazione dei rinforziIl miglioramento sismico e la vulnerabilità convenzionale

1Newsoft di Casciaro C. & C. s.a.s. / Reg. Trib. CS n. 3724/82 – CF/P.IVA 01051280780

Centro Commerciale Metropolis / via Lenin, scala G – 87036 Rende / CStel 0984 463798 – fax 0984 463884 / [email protected]

Febbraio 2019

Documento tecnico

Il test di PaviaModellazioni Teorico-Numeriche del test di PaviaModellazione in Por 2000 del test di PaviaConfronto fra risultati sperimentali e la modellazione eseguita con Por 2000

Origine e caratteristiche dei codici di calcolo

Generalità sul programmaPor è un programma per la progettazione e la verifica di strutture in muratura ordinaria o armata che consente una definizione accurata della geometria, delle caratteristiche meccaniche della struttura, nuova o esistente, e degli eventuali interventi di rinforzo.Consente l'analisi pushover, le verifiche sismiche per gli stati limite di operatività, danno, salvaguardia vita e collasso, nonché tutte le verifiche locali delle murature in accordo con le Norme Tecniche per le Costruzioni 2018.

Riferimenti del programmaProgramma: Por 2000 v.9.xAutore e Produttore: Newsoft s.a.s.- Centro Metropolis, Torre Sud, Via Lenin, 87036 Rende (CS).Licenza d'uso: Personale, rilasciata in base a fattura di acquisto.

Notizie sulla casa produttriceLa Newsoft è sorta con l'obiettivo di produrre software di qualità capace di fornire un ausilio valido ed affidabile per la progettazione di opere di ingegneria civile, idraulica e geotecnica. Fondata nel 1979 e operativa dal 1981, la Newsoft è stata la prima software house in Italia ad operare nella produzione di software per la progettazione strutturale, instaurando nella sua lunga attività collaborazioni continuative con l'ambiente accademico dell'Università della Calabria e maturando una solida esperienza nel campo dell'analisi strutturale e nelle normative tecniche del settore.Attualmente produce e distribuisce programmi per uso professionale dedicati all'analisi strutturale di edifici incemento armato, in muratura, di struttura reticolari spaziali, solai, plinti su pali e per l'analisi di stabilità dei pendii e delle reti idrauliche in pressione. Tutti i programmi sono corredati da una documentazione d'uso chiara ed esaustiva (manuali in formato Pdf ed help in linea), che ne chiarisce i criteri di modellazione, le ipotesi di base, le modalità d'uso. Newsoft mette a disposizione degli utenti un servizio di assistenza curato direttamente dai tecnici sviluppatoridel programma, che consente di ottenere aiuti e chiarimenti sulla modellazione che si sta eseguendo ed informazioni di approfondimento su qualsiasi argomento inerente il calcolo. Il servizio si esplica generalmente con contatto telefonico e scambio di e-mail, con la possibilità di allegare il file di modellazione per il quale si richiede assistenza.Newsoft rende inoltre disponibili versioni dimostrative dei software prodotti, liberamente scaricabili dal sito assieme alla documentazione tecnica, e versioni editoriali distribuite da Grafill Editoria Tecnica, comprensivedi Cdrom e libro, con capacità di modellazione limitata.

La normativa di riferimentoLa versione Por 8.x consente analisi e verifiche strutturali in accordo alle disposizioni delle Norme Tecniche per le Costruzioni emanate nel 2018, a cui ci riferiremo nel prosieguo con la sigla Ntc18. In via alternativa e per consentire una maggiore libertà di utilizzo, è possibile l’applicazione di normative precedenti.Nel caso di applicazione del sistema normativo Ntc18 i riferimenti normativi sono i seguenti:Legge 05/11/1971 n. 1086, Norme per la disciplina delle opere di conglomerato cementizio armato, normale e precompresso ed a struttura metallica.Legge 02/02/74 n. 64, Provvedimenti per le costruzioni con particolari prescrizioni per le zone sismiche.D.M. 17/01/2018, Norme tecniche per le costruzioni (2018).

Scelta del sistema normativoE' possibile selezionare il sistema normativo da adottare nelcalcolo, scegliendo fra le due opzioni:

• Ntc 2018• Ntc 2008



Selezione del contesto normativo.

• Ntc1996/1987In funzione del sistema normativo selezionato, vengono richiesti i parametri sismici e le opzioni di analisi correlati. Una volta impostato il modello di calcolo, è possibile quindi eseguire il calcolo prima con un sistemanormativo e poi con l'altro, per confrontare le due diverse normative in casi concreti.

La definizione strutturale

Il programma consente un'accurata definizione del modello di calcolo, mediante la definizione degli elementi che lo compongono, lavorando in ambiente grafico e in griglie tabellari.Sono disponibili varie viste grafiche, utili per il controllo della modellazione e per l'interpretazione sintetica deirisultati conseguiti con l'analisi.

Strutture analizzabiliPor consente di analizzare edifici multipiano in muratura ordinaria o armata, con fondazioni piane o sfalsate, aperture ad architrave rettilineo o curvo, anche non allineate nella parete, solai inclinati o sfalsati, tiranti di piano e pannelli murari di differenti caratteristiche meccaniche. E’ prevista la definizione di rinforzi murari di vario tipo, come affiancamenti murari, intonaci armati, placcaggi con fibre composite, cuciture attive in laminedi acciaio pretese, iniezioni. Consente inoltre la definizione di cordoli con assegnata capacità di ammorsamento e tiranti di piano fra muri contrapposti.Nelle seguenti figure vediamo alcuni esempi di strutture analizzate col programma.

Edificio storico in murature di tufo. Edificio storico in mattoni pieni e ricostruzioni in laterizi semipieni.

Scuola con murature a sacco e mattoni pieni, rinforzato. Aggregato prevalentemente in pietrame con ricostruzioni parziali.



Nuova costruzione per abitazioni in laterizi semipieni Edificio scolastico in pietrame a spacco, parzialmente rinforzato.

Intervento di sopraelevazione con rinforzi di intonaco armato Nuovo edificio per abitazioni in laterizi semipieni

Nuova costruzione in muratura armata, in blocchi in calcestruzzo. Murature esistenti in tufo con ampliamenti in laterizi semipieni.



Scuola in pietrame a spacco, con rinforzi di intonaco armato, Scuola in blocchi tufacei e sopraelevazioni in laterizi semipieni.

Edificio in murature di tufo. Edificio rurale in pietrame a spacco e blocchi di calcestruzzo

L'ambiente graficoIl programma consente la vista grafica del modello, attraverso piante, prospetti, viste solide, domini di resistenza, mappe di impegno, realizzate con un grado di dettaglio tale da rendere visibili tutti i particolari della modellazione e i risultati più significativi del calcolo eseguito. Tutte le finestre sono dotate dei comandi grafici usuali (zoom, pan, anteprima, ecc.) che permettono una facile gestione del disegno. In altre viste, come nella pianta, ai comandi di base si aggiungono i comandi di editing grafico, organizzati in apposite barre strumenti, con i quali è possibile inserire, cancellare, spostare, modificare e quotare gli elementi di modellazione.Altre viste si rendono disponibili col progredire del lavoro: i prospetti delle pareti e la vista solida 3D ad esempio dipendono dalla costruzione logica del modello strutturale e quindi richiedono una consistenza minima dei dati di definizione. Le viste basate sui risultati, come i domini di resistenza e le mappe di impegno, diventano disponibili ad analisi eseguita e permettono l’interpretazione sintetica dei risultati raggiunti.

Le pianteNelle piante sono visibili tutti gli elementi utilizzati nella modellazione: i nodi di incrocio, pannelli murari, travi, aperture, solai, cordoli, tiranti di piano, rinforzi. Il grado di dettaglio consente di apprezzare gli spessori, i disassamenti e il materiale dei pannelli, quest'ultimo mediante codice colore, la presenza dei cordoli, l’orditura dei solai, le dimensioni delle aperture.



Nella vista delle piante si distinguono i tipi di muratura in base al colore, l’orditura dei solai e le aperture.Nel particolare ingrandito si distinguono paramenti murari rinforzati con intonaco armato.

I prospetti dei pannelliIl disegno mostra la vista in prospetto e in sezione di un pannello. Sono indicati i nodi che delimitano il pannello e le aperture presenti, quotate nelle dimensioni principali. La geometria in altezza del prospetto è ricavata dal programma in funzione dell'altezza di interpiano e dei ribassamenti o rialzi definiti su solai che insistono sul pannello. Nella sezione sono apprezzabili gli spessori di muratura, il disassamento rispetto alla congiungente i nodi e gli eventuali paramenti di rinforzo.La barra strumenti prevede inoltre i comandi specifici per l’inserimento, lo spostamento o la modifica grafica delle aperture.

I prospetti delle paretiNella fase di costruzione del modello strutturale, il programma assembla in automatico le pareti come successione allineata di singoli pannelli. Il risultato dell'operazione è visibile nella vista Pareti, che mostra il prospetto e una sezione trasversale corrispondente ad una posizione selezionabile col mouse. La sezione trasversale consente di controllare gli spessori e i disassamenti verticali delle murature. Nella barra strumenti sono presenti i comandi per gestire le sezioni di verifica a ribaltamento e per regolare graficamente il disassamento delle murature ai vari piani.

Vista di un pannello e della corrispondente parete che lo comprende. Nella vista parete, cliccando col mouse sulla sezione trasversale, è possibile regolare il disassamento fra murature sovrapposte.

La vista solida 3DLa vista mostra il modello tridimensionale solido dell’edificio, che può essere ruotato, spostato e visualizzato parzialmente, per agevolare le operazioni di controllo. Ad analisi eseguita, è inoltre possibile apprezzare i modi deformativi (modali e pushover) in animazione.



Nella vista solida sono visibili elementi travi, rinforzi con incamiciature e allargamenti della base fondale con ali.Nel particolare ingrandito sono visibili pannelli e fondazioni rinforzate e alcuni elementi trave.

Gli elementi della modellazioneLa definizione della struttura passa attraverso la definizione dei livelli, dei nodi di incrocio e degli elementi strutturali che rappresentano i muri, i solai, i tiranti, i rinforzi. L’inserimento dei dati può avvenire per digitazione diretta nelle griglie di definizione o costruendo la pianta con l’editore grafico disponibile nelle piante. Sono disponibili, inoltre, funzioni di utilità come la duplicazione di piani, l’importazione Dxf e la sincronizzazione automatica delle finestre di lavoro, che consentono di velocizzare ulteriormente la fase di input. Passiamo in rassegna adesso i vari elementi che concorrono alla definizione della struttura.

I livelliSi definiscono, innanzitutto, i livelli di piano dalla fondazione alla copertura, assegnando l'altezza di interpiano e le eventuali forze esterne applicate. Sui livelli si assegnano, inoltre, le opzioni di visualizzazione che consentono la composizione di viste solide parziali, utili per il controllo di conformità di parti interne.

I nodi di incrocioI nodi corrispondono ai punti di incrocio in pianta dei pannelli murari o degli spigoli di solai a sbalzo.Sono utilizzati per la definizione dei pannelli murari, estesi fra due nodi, e dei solai che richiedono la sequenza dei nodi posti sul perimetro.

I pannelliIl pannello è un elemento definito fra due nodi di incrocio, utilizzato per modellare muri di elevazione, muri di fondazione o travi per il supporto dei solai. Per i pannelli murari si assegna il tipo di muratura, lo spessore, il filo fisso, il carico verticale direttamente applicato, le precompressioni e il tipo di cordolo. Quest’ultimo conferisce al pannello un grado di ammorsamento col solaio e ne definisce il vincolo da considerare nelle verifiche a presso flessione: libero in testa, semplice appoggio o incastro cedevole.

I rinforziOgni pannello murario può essere, opzionalmente, rinforzato con rinforzi a paramento e iniezioni di malta, con conseguente incremento dei valori di resistenza e di rigidezza, stimati dal programma in base alle correlazioni disponibili in letteratura o impostati in autonomia dall'utente.Sono previste varie tipologie di rinforzi: affiancamento murario, intonaco armato, placcaggio con fibre composite, cuciture attive in lamine di acciaio pretese (sistema Cam), iniezioni. L'applicazione dei rinforzi può essere eseguita direttamente per via grafica nel disegno delle piante, contestualmente alla definizione di un nuovo pannello o modificando un pannello esistente.

Le apertureLe aperture corrispondono alle porte e alle finestre presenti nella muratura. Si dispongono sui pannelli, selezionandone il tipo e definendone la posizione in pianta e in altezza.



I solaiI solai sono gli orizzontamenti presenti nella struttura, definiti in pianta mediante la sequenza dei nodi che ne delimitano il perimetro e assegnando il tipo, l’angolo di orditura, i sovraccarichi presenti e le eccentricità di scarico da considerare nel calcolo. Inoltre possono essere abbassati o rialzati rispetto alla quota del livello o inclinati per ottenere falde o rampe.

I tirantiI tiranti sono collegamenti fra pareti contrapposte, realizzati con cavi, barre o catene, disposti fra due punti in pianta alla quota dei solai. Per ogni tirante si definiscono le caratteristiche meccaniche del ferro, il diametro, il tiro massimo nominale e la distanza di estinzione degli effetti lungo la parete. Si richiedono inoltre la dimensione degli ancoraggi terminali, ai fini della verifica a punzonamento sulla muratura.

I tipi di muraturaI tipi di muratura contengono tutte le informazioni tipologiche e meccaniche dei materiali. In particolare viene definito il tipo di blocco resistente (laterizio, calcestruzzo, pietrame, ecc.), la qualità della malta, la tipologia dell'armatura nel caso di murature armate, la classe di esecuzione della muratura, il grado di connessione trasversale fra i paramenti. Si assegnano inoltre il peso proprio e tutte le caratteristiche meccaniche di interesse per il calcolo: resistenza a compressione e a taglio, moduli elastici normale e tangenziale, i fattori di sicurezza, i limiti di duttilità. In funzione dei blocchi, della malta e della connessione trasversale il programma può impostare in automatico i valori delle resistenze e dei moduli elastici, secondo correlazioni e tabelle disponibili in letteratura. In alternativa, le caratteristiche meccaniche possono essere impostate direttamente dall'utente, se ricavate ad esempio da prove o da altra documentazione.Ad ogni tipo di muratura il programma assegna un colore di riferimento, utile per contraddistinguere gli elementi murari nelle viste grafiche.

Nella griglia dei tipi di muratura è possibile impostare autonomamente le caratteristiche meccaniche o utilizzare le funzioni automatiche di correlazione definite da varie normative. E' inoltre possibile definire murature armate.

I tipi di fondazioneDefiniscono le tipologie delle fondazioni, con i dati riguardanti il tipo di materiale, l’altezza, le dimensioni dell’anima e delle ali laterali, la deformabilità del sottofondo, il carico limite e i relativi fattori riduttivi da considerare nelle verifiche delle tensioni sul terreno in campo statico e sismico.I tipi di fondazione di applicano ai pannelli definiti come muro di fondazione.

I tipi di traveDefiniscono le tipologie delle travi, con riguardo al tipo di materiale e alla sezione.

I tipi di impalcatiI tipi di impalcato si caratterizzano in base alla tecnologia costruttiva (latero-cementizio, in legno, in acciaio) econ altri dati riguardanti le dimensioni dei travetti, la capacità di ripartizione trasversale e il peso proprio.

I tipi di aperturaDescrivono le porte e le finestre presenti nei pannelli. Sono richieste le dimensioni di ingombro, il materiale dell’architrave, la sua eventuale freccia e altri dettagli dimensionali tipici quali mazzetta, quadro e sguincio.



I tipi di cordoliAll'elemento cordolo è affidata una duplice funzione: quella di ammorsare il pannello al solaio, per evitare distacchi e martellamenti, e quella di conferire un grado di vincolo al pannello sottostante, da considerare nella verifica a presso flessione in presenza di forze sismiche trasversali d’inerzia.Il tipo di cordolo è definito dalle dimensioni trasversali, dalla tipologia (in c.a. continuo, in c.a. ammorsato, con profilati metallici, ecc.), dalla resistenza trasversale di ammorsamento e dal grado di vincolo che conferiscono al pannello sul quale è applicato. E' anche possibile assegnare l'assenza di cordolo.

I tipi di rinforziIl programma consente la definizione dei tipi di rinforzo da applicare ai paramenti esterni dei pannelli murari. Sono previste alcune tipologie classiche come l’affiancamento murario e l’intonaco armato, che comportano un aumento di spessore, bilaterale o monolaterale, da specificare per ogni pannello. Le altre due tipologie sono più innovative e riguardano i rinforzi con fasce di fibre composite incollate con resine (Frp) e le cuciture attive in lamine di acciaio pretese (Cam).

Griglia dei tipi di rinforzo sui paramenti.

I tipi di armaturaI tipi di armatura definiscono quantità e diametri dei ferri di rinforzo da disporre nelle murature armate. Sono previste per default due tipologie di riferimento, in accordo rispettivamente alle disposizioni delle Ntc96, delleNtc08, e Ntc18. In particolare vengono definite le armature verticali da disporre alle estremità dei maschi, in corrispondenza cioè dei nodi o dei lati di eventuali aperture, e le armature diffuse verticali ed orizzontali. Vengono infine assegnate le percentuali minime di ferro rispetto alle aree di muratura, che possono comportare l'inserimento di ferri diffusi aggiuntivi.

La griglia di definizione dei tipi di armatura da applicare alle murature armate.

Il controllo della modellazioneUna volta conclusa la definizione della struttura, si può richiedere il controllo della modellazione. In questa fase il programma effettua un approfondito controllo di congruenza dei dati e in presenza di situazioni strutturali anomali o inaccettabili rilascia opportuni messaggi di attenzione. L’utente valuta i messaggi ricevutie interviene con le opportune modifiche correttive. Se non si riscontrano gravi incongruenze, viene costruito il modello strutturale, valutando le connessioni reciproche di tutti gli elementi inseriti e assemblando le pareti come successioni di singoli pannelli. Si riconoscono i maschi murari ai vari livelli dell’edificio e si determinanole loro caratteristiche meccaniche, di rigidezza e di vincolo. Il quadro informativo costruito in questa fase verrà utilizzato in tutte le successive fasi di calcolo.

Stampa della relazione e dei disegniLe opzioni di stampa del programma, consentono di avere in uscita un elaborato finale di calcolo completo didati, risultati e disegni, in accordo con il sistema normativo selezionato per l'analisi.

Il tabulatoTutti i dati relativi all’edificio, i criteri di base dell’analisi e i risultati delle verifiche possono essere inclusi nel tabulato di calcolo, impaginato in base alla selezione degli argomenti e mostrato a video in anteprima. E' anche possibile la stampa diretta o l’esportazione in formato Rtf.



Alcune pagine di tabulato e il sommario finale nell'anteprima di stampa.

I disegniLe piante, i prospetti delle pareti, la vista solida 3D, i domini di resistenza, le mappe di impegno, le curve di capacità pushover, possono essere impaginati ed esaminati in anteprima. Si può quindi procedere alla stampa o all’esportazione Dxf di tutte le tavole o di quelle selezionate.

Disegni impaginati di piante, pareti, curve di capacità e mappe di impegno nell'anteprima di stampa.



La modellazione strutturaleIl modello di calcolo assume come elementi resistenti all'azione sismica i maschi murari, chiamati anche setti, corrispondenti alle porzioni di muratura comprese fra due aperture successive, fra una apertura e un nodo d’incrocio o fra due nodi in assenza di apertura intermedia.

Le ipotesi di baseLe ipotesi base assunte nella modellazione sono che i maschi murari abbiano un comportamento tipo shear-type, ovvero abbiano rotazioni al piede e in testa impedite e che il loro spostamento in pianta sia descrivibile come roto-traslazione rigida. La prima ipotesi è generalmente accettabile ai fini tecnici quando sussiste fra le pareti un sufficiente grado di ammorsamento tale da garantire un comportamento scatolare dell'insieme. In queste condizioni infatti, la presenza dei muri trasversali limita notevolmente la rotazione delle sezioni terminali delle murature, rendendo plausibile l'ipotesi di rotazioni impedite al piede e in testa. Inoltre, nel caso di setti adiacenti ad aperture, la deformabilità del collegamento può essere messa in conto, come in effetti si fa in Por 2000, attraverso un appropriato trattamento del nodo a dimensione finita.Per quanto riguarda la seconda ipotesi, questa non discende, come pure a volte semplicisticamente si dice (mutuando dal caso degli edifici in c.a.), dalla presenza di solai di piano sufficientemente rigidi da impedire ladeformazione in pianta della struttura (la rigidezza dei solai, anche se realizzati in laterocemento, resta irrisoria rispetto a quella della muratura portante) ma è conseguenza anch'essa del comportamento scatolare dell'edificio. Infatti, se i muri sono validamente ammorsati negli incroci, possiamo assimilare la pianta di un edificio murario ad una sezione pluriconnessa, dotata quindi di una forte rigidezza torsionale. In questo contesto, anche in assenza di solai, la risposta ad una spinta orizzontale lungo un setto non produce effetti solo locali, ma porta ad una collaborazione dell'insieme dei setti, che si manifesta con una roto-traslazione dell'insieme, e pertanto gli spostamenti in pianta risultano tali da poter essere decritti con buona approssimazione tramite un moto rigido del solaio. La validità di entrambe le ipotesi resta ovviamente legata ad un pieno ammorsamento agli incroci murari ed ad una corretta realizzazione delle aperture, ma questi sono prerequisiti essenziali che una costruzione muraria deve comunque garantire. In tal caso le ipotesi forniscono un buon compromesso fra semplicità di analisi ed accuratezza di modellazione e sono accettabili ai fini tecnici, specie se si considera anche il livello delle approssimazioni coinvolte negli altri aspetti della modellazione (identificazione dei parametri elastici e diresistenza delle murature, valutazione dello stato di degrado ed altro). Si può anche osservare che, all'estremo opposto, una modellazione apparentemente più sofisticata, che veda pareti separate trattate come strutture intelaiate, porterebbe a trascurare del tutto gli effetti legati alla rigidezza torsionale della cassamuraria, con ciò perdendo l'aspetto forse più importante del comportamento della struttura.

Il riconoscimento dei maschi murariL'individuazione dei maschi passa attraverso il riconoscimento delle pareti, viste come assemblaggio di uno o più pannelli murari allineati in pianta. In questo contesto la presenza delle aperture, interrompendo la continuità della muratura, indeboliscono la resistenza della parete; ma per contro si osserva, in qualche misura, un aumento di rigidezza nelle immediate vicinanze dei vuoti, dovuto alla presenza delle fasce di piano sopra o sotto l'apertura. Studi sull'argomento modellano tale effetto con una riduzione dell’altezza efficace heff dei maschi posti a lato dell'apertura, tenendo conto di una angolo di diffusione degli sforzi in prossimità dei vuoti (vedasi sull'argomento: Mauro Dolce, "Schematizzazione e modellazione per azioni nel piano delle pareti", Corso sul Consolidamento degli edifici in muratura in zona sismica- Ordine Ingegneri di Potenza).

L'altezza netta così valutata interviene in sostituzione dell’altezza di piano nel calcolo della rigidezza tagliante e flessionale del setto.



Nell'ambito della parete, inoltre, è frequente trovare setti adiacenti non intercalati da una apertura. E' questo il caso dei setti a cavallo di un nodo di incrocio o di due setti in contatto, distinti per diversità di spessore o di materiale. Se si ipotizza che durante la deformazione non insorgano distacchi fra i due setti adiacenti (fatto plausibile per l’irrigidimento conferito dai solai), ovvero che l'insieme dei due setti mostri un comportamento solidale, è necessario amplificare in maniera opportuna le rigidezze flessionali dei singoli setti per tener conto del comportamento d'insieme. Questo aspetto di modellazione viene affrontato dal programma e risolto con l'omogeneizzazione delle rigidezze flessionali dei maschi riconosciuti in contatto.

Considerazioni sulle fasce di pianoCome dicevamo al punto precedente, nella modellazione dei setti murari si considerano gli effetti di rigidezzadelle fasce di piano, documentati in alcuni studi specifici. Il programma però non effettua verifiche di resistenza delle fasce di piano e le motivazioni per questa scelta sono diverse:

1. Innanzitutto, il comportamento di questa zona di muratura è molto complesso e dipende fortemente dalle modalità costruttive, come la consistenza dell'architrave, la presenza di un arco in mattoni o pietra per la raccolta della spinta verticale, l'eventuale disassamento tra le aperture, la presenza di catene ed altro. Ciò potrebbe rendere illusorio un trattamento semplicistico a telaio “equivalente”, specie la modellazione non tiene conto della forte ortotropia di comportamento della muratura.

2. In considerazione delle difficoltà di una corretta interpretazione del loro funzionamento statico, le regole dell'arte sono al riguardo tradizionalmente cautelative e forniscono prescrizioni relativamente restrittive sulla ampiezza delle aperture e sulle disposizioni costruttive. In realtà il cedimento della fascia per apertura di fessure verticali è un evento relativamente raro (più frequente la caduta della muratura sottostante all'arco di spinta, comunque da mettere in relazione con insufficienze costruttive).

3. In ogni caso, in presenza di dubbi sul funzionamento statico della fascia, devono sempre essere previsti interventi locali di rinforzo (con l'inserimento di catene, il rafforzamento degli architravi od altro) attraverso una progettazione "a regola d'arte".

4. Un eventuale cedimento della fascia non altera la resistenza a taglio delle pareti e quindi ha poca o nulla influenza sulla verifica a taglio in corrispondenza stato limite ultimo. Può avere influenza solo sulla verifica a pressoflessione longitudinale (cioè nel piano della parete) che tuttavia è quella tipicamente meno restrittiva. Problemi reali potrebbero nascere solo in presenza di un cedimento delle fasce così esteso da compromettere il comportamento scatolare della costruzione, che rappresenta la caratteristica più importante per la resistenza delle strutture in muratura, ma una adeguata attenzione alle buone regole dell'arte dovrebbe essere garanzia sufficiente che questa circostanza non si verifichi.

Considerazioni sulla rigidezza dei solaiPer le costruzioni in muratura, la dizione “piano rigido” o “piano deformabile” può risultare fuorviante. In questa tipologia costruttiva, infatti, la rigidezza dei solai è quasi sempre irrilevante rispetto a quella delle pareti murarie e la indeformabilità in pianta è conseguenza del comportamento scatolare dell‘insieme delle pareti (lo stesso effetto si ha nella torsione di travi a cassone). Al riguardo, sono utili le seguenti considerazioni. Possiamo dire che un solaio può essere considerato infinitamente rigido, rispetto agli elementi verticali che collega, se la sua rigidezza supera quella degli elementi verticali di qualche ordine di grandezza, ad esempioche sia almeno 10 volte più rigido degli elementi verticali.Consideriamo adesso un semplice esempio, per quantizzare i rapporti di rigidezza in gioco in un edificio in muratura e verificare se le condizioni anzidette sono rispettate. Consideriamo due muri isolati contrapposti e un solaio interno ad essi, come mostrato nella seguente figura. Applichiamo uno spostamento unitario orizzontale (1 cm) ad uno dei muri e valutiamo le rigidezze degli elementi (forza da applicare per ottenere lo spostamento unitario), secondo le semplici espressioni:Rigidezza del solaio: Ksol = Gsol By tsol/(1,2 Bx)Rigidezza della muratura: Kmur = Gmur By tmur/(1,2 Hmur)In queste espressioni si assumono trascurabili i contributi dovuti alla deformabilità flessionale per effetto dei rapporti di forma in gioco (elementi con dimensione trasversale comparabile alla luce).



Assegniamo dei valori alle dimensioni in pianta, alla altezza dei muri e ai moduli elastici tangenziali G per il calcestruzzo del solaio e per la muratura e calcoliamo in Excell le rigidezze facendo variare l'altezza della soletta del solaio tsol. A riguardo del modulo G, c'è da dire che per le murature i valori tabellati in letteratura sono tipicamente valori ridotti rispetto al valore elastico reale, per tener conto a vantaggio di statica di possibili effetti anelastici, in questa calcolazione andrebbe quindi aumentato. Il modulo G del calcestruzzo, che si ottiene dalle espressioni di normativa, non sconta invece questa riduzione e quindi verosimilmente è abbastanza vicino al valore elastico a sezione interamente reagente. E' disponibile su richiesta il file Excell utilizzato per i calcoli nel quale potranno essere variati a piacimento i valori di riferimento.Otteniamo i seguenti risultati:

Vediamo che per gli spessori usuali delle solette (4 o 5 cm) la rigidezza del solaio è minore o di poco superiore a quella della muratura, non possiamo parlare quindi di solaio rigido. Per avere un impalcato con una rigidezza maggiore di 10 volte quella delle murature sarebbe necessario un solaio pieno da 50 cm, che chiaramente è improponibile. Da questa esemplificazione possiamo evincere che, nell'ambito degli edifici in muratura, il solaio infinitamente rigido è una astrazione che non trova riscontro nella realtà strutturale e che, par tale ragione, è improprio utilizzare tale concetto in questo ambito.

Comportamento meccanico dei maschiNella modellazione, si suppone che l'elemento resistente abbia un comportamento elastico-plastico fragile, definito da una resistenza ultima a taglio (definita in base alla tensione tangenziale limite della muratura o, sepiù restrittiva, dalla verifica a pressoflessione longitudinale) e dai valori limite di deformazione (duttilità di danno, duttilità ultima). Nel seguito, verranno discussi con maggiore dettaglio i termini di resistenza e duttilitàche definiscono il legame elasto-plastico, in funzione delle indicazioni di normativa.



Hmur Bx By Gsol tsol Ksol Gmur tmur Kmur Ksol/Kmur[cm] [cm] [cm] [kg/cmq] [cm] [kg/cm] [kg/cmq] [cm] [kg/cm] [adim]300 600 400 120000 4 266667 5800 50 322222 0,83300 600 400 120000 5 333333 5800 50 322222 1,03300 600 400 120000 10 666667 5800 50 322222 2,07300 600 400 120000 15 1000000 5800 50 322222 3,10300 600 400 120000 25 1666667 5800 50 322222 5,17300 600 400 120000 35 2333333 5800 50 322222 7,24300 600 400 120000 50 3333333 5800 50 322222 10,34

Legame elastoplastico taglio-spostamento per i setti

Risposte elastoplastiche a taglio e a pressoflessione dei setti

In virtù del comportamento elasto-plastico assunto per il maschio, la proporzionalità fra sforzo e spostamentoè valida soltanto in campo elastico attraverso il valore calcolato di rigidezza, ossia fin tanto che lo

spostamento u, dipendente sia dall’intensità della forza orizzontale applicata, sia dalle caratteristicheelastiche del setto di muratura, si mantiene inferiore allo spostamento al limite elastico ue . Oltre detto limite,

entrando in campo plastico, la muratura dissipa energia sotto forma di deformazione plastica senza piùrispettare la legge di proporzionalità forza-spostamento, ma bloccando la portanza raggiunta al limite

superiore di resistenza, identificato nel valore del taglio ultimo Tu o del momento Mu .In funzione dei rapporti esistenti fra le resistenze Tu e Mu col progredire del processo deformativo il maschio arriverà al valore limite di resistenza per pressoflessione o per taglio. Da questo punto in poi, continua ad offrire la portanza limite raggiunta, finché lo spostamento non raggiunge la soglia ultima, al di sopra della quale il maschio è dichiarato collassato e il suo contributo si annulla.

Rigidezza del maschio murarioLa rigidezza di un maschio murario, nelle condizioni di rotazioni impedite alpiede e in testa, si valuta in base alla teoria della trave deformabile a taglioe a flessione. In particolare, per un maschio di lunghezza l, altezza netta he spessore t, il valore della rigidezza può essere determinato in base allaformula

2

2.1

11

1

2.1

l

h

E

Gh

tlGKm

Resistenza e duttilità della muraturaGeneralmente gli edifici in muratura sono costituiti da elementi con caratteristiche diverse per geometria, rigidezza, duttilità e resistenza e pertanto si comportano in maniera altrettanto diversa allorché sottoposti a sforzo da parte dei carichi agenti.



Ciascun setto di muratura potrà tollerare valori limitati sia di sforzo che di deformazione e il modo attraverso cui resiste alle sollecitazioni dipende fortemente da queste caratteristiche. In particolare, all’attingersi del massimo sforzo sopportabile, le risorse meccaniche si traducono nella capacità di assorbire energia per deformazione plastica, ed è proprio in questa fase che la muratura preserva la struttura dal repentino collasso fragile, giacché la quantità di energia dissipabile in campo plastico è spesso paragonabile, se non superiore, a quella che viene consumata in campo elastico.D’altra parte anche le risorse in campo plastico evidenziano un limite, raggiunto il quale il setto è da considerare collassato e, non essendo più in grado di equilibrare i carichi esterni, deve essere escluso dall’insieme murario ancora resistente.

Risposta flessionale e a taglio dei maschi per analisi secondo Ntc18I maschi murari sono caratterizzati da un comportamento bilineare elastico-perfettamente plastico, in cui intervengono i valori resistenti del taglio ultimo Tu (calcolato in base alla verifica a scorrimento longitudinale) del momento ultimo Mu (calcolato in base alla verifica a pressoflessione longitudinale) e i valori degli spostamenti al limite di danno ed al limite ultimo dD e dU. Questi valori, per come indicato dalla Norma, sono definiti come segue:

Taglio ultimo longitudinale per muratura nuovaIl valore del taglio ultimo resistente si ottiene dalla seguente formula

Tu = (fvmo+ tan n) L Bin cui:

L e B sono lunghezza e spessore del maschio murario (dimensioni in pianta),fvmo è la resistenza tangenziale media della muratura fvmo= fvk0/0.7,fvk0 è la resistenza tangenziale caratteristica assegnata alla muratura, è l’angolo di resistenza a taglio della muratura (valore consigliato tan =0.4),

n è la tensione normale media, prodotta dal carico verticale e dalle precompressioni.

Taglio ultimo longitudinale per muratura esistenteIl valore del taglio ultimo resistente si ottiene dalla seguente formula

Tu = fvm L Bin cui:

L e B sono lunghezza e spessore del maschio murario (dimensioni in pianta),fvm è la resistenza tangenziale media della muratura ottenuta come:

0

0

5.11

5.1

vm

n

b

vmvm fk

ff

fvm0 è la resistenza tangenziale media di calcolo per carico verticale nullofvm0= fvk0/(0.7*c),

c è un fattore riduttivo per le resistenze (fattore di confidenza), kb è un coefficiente correttivo legato alla distribuzione degli sforzi sulla sezione

kb = H/L, con valori limitati nel range 1 kb 1.5,fvk0 è la resistenza tangenziale caratteristica assegnata alla muratura,

n è la tensione normale media, prodotta dal carico verticale e dalle precompressioni.

Momento ultimo longitudinaleIl valore del momento ultimo resistente si ottiene dalla seguente formula

Mu = (L2 B n/2) (1- n/(0.85 fd))in cui:

L e B sono lunghezza e spessore del maschio murario,fd è la resistenza normale di calcolo della muratura, fd = fk/c,

fk è la resistenza normale caratteristica assegnata alla muratura,c è un fattore riduttivo per le resistenze (fattore di confidenza),

n è la tensione normale media.

Nel caso di murature rinforzate con intonaco armato o compositi fibrorinforzati si tiene conto del contributo a trazione offerto dall’armatura o dalle fibre.

Limiti di duttilitàNell'ambito di un modello elastico-perfettamente plastico del setto murario, i limiti di duttilità determinano i valori di spostamento in corrispondenza dei quali si assume venga raggiunto un particolare stato limite: di danno, di collasso a taglio o di collasso a flessione.



Nella normativa i limiti di duttilità vengono espressi in rapporto all'altezza di calcolo del setto, secondo le seguenti tabelle, in accordo con le disposizioni della normativa selezionata.

Limiti di duttilità delle murature secondo Ntc18 (punti 7.3.6.1, 7.8.2.2.1 e 7.8.2.2.2, C8.7.1.3.1.1).Tipo di muraturaOrdinarie esistenti Ordinarie nuove Armate

Duttilità al limite di danno 0.003 h 0.002 h 0.003 hDuttilità al limite ultimo: collasso a taglio 0.005 h 0.005 h 0.008 hDuttilità al limite ultimo: collasso a p.flessione 0.010 h 0.010 h 0.016 h

Limiti di duttilità delle murature secondo Ntc08 (punti 7.3.7.2, 7.8.2.2 e 7.8.3.2, C8.7.1.4.)Tipo di muraturaOrdinarie esistenti Ordinarie nuove Armate

Duttilità al limite di danno 0.003 h 0.003 h 0.004 hDuttilità al limite ultimo: collasso a taglio 0.004 h 0.004 h 0.006 hDuttilità al limite ultimo: collasso a p.flessione 0.006 h 0.008 h 0.012 h

Sebbene nella normativa non si faccia menzione di fattori di sicurezza da applicare ai valori tabellati sopra, il programma consente la possibilità di applicare un fattore di sicurezza (maggiore o uguale ad uno) che possatener conto di probabili effetti sfavorevoli all'estrinsecarsi della duttilità, come ad esempio per localizzazione delle deformazioni o per danneggiamenti già esistenti (vedi § Duttilità limiti, Capitolo 4 del Manuale).In particolare, i valori di calcolo delle duttilità limiti si ottengono come:dD = dkD /d duttilità limite di danno,dU = dkU /d duttilità limite ultima al collasso,in cui:

dkD e dkU sono le duttilità limite (di danno e ultima) assegnati per il tipo di muratura,d è il fattore di sicurezza sulle duttilità assegnato (d 1).

L'analisi pushover

I recenti sviluppi normativi hanno introdotto l'analisi statica nonlineare, detta anche analisi pushover, come ulteriore strumento di valutazione del comportamento di strutture soggette a sisma. In particolare le Ntc18 al punto 7.3.4.1 dispongono che l’analisi statica non lineare può essere applicata per gli scopi e i casi seguenti: valutare il rapporto di sovraresistenza u/1 che interviene nel calcolo del fattore di struttura q, verificare l’effettiva distribuzione di domanda inelastica in edifici progettati col fattore di struttura q, in sostituzione dei metodi di analisi lineari per gli edifici di nuova costruzione, come metodo di valutazione della capacità di edifici esistenti.

L'analisi pushover si basa su due assunzioni:• che la risposta della struttura possa essere legata a quella di un sistema "ridotto equivalente" ad un

solo grado di libertà; • che la risposta dinamica alle azioni sismiche del sistema ridotto sia riconducibile a quella di in

sistema elastico "equivalente".La prima assunzione implica che il comportamento sotto sisma della struttura sia complessivamente valutabile in base alla sua risposta in spostamento a seguito dell'applicazione di una singola spinta, definita da un sistema di forze sismiche equivalenti, proporzionalmente crescenti; la seconda implica una appropriatadefinizione dei parametri del sistema elastico equivalente (massa, rigidezza e viscosità) in modo che possa istituirsi una relazione semplice tra le escursioni massime in spostamento nei due sistemi. Entrambe le ipotesi trovano riscontro solo come approssimazione grossolana, tuttavia una serie ormai numerosa di investigazioni ha mostrato che, se l'analisi è ripetuta per tutte le possibili direzioni di incidenza sismica e per le diverse possibili distribuzioni della spinta lungo l'altezza dell'edificio, si possano ottenere per questa via informazioni significative del comportamento reale delle strutture, almeno nei casi, tutto sommato frequenti, in cui la risposta è dominata da un solo modo deformativo. L'analisi pushover fornisce in effetti informazioni, quanto meno sul piano qualitativo, su aspetti importanti della risposta che in analisi basate su una modellazione elastico-lineare sono messe in conto solo in modo



forfettario attraverso l'introduzione euristica del cosiddetto fattore di struttura q. In particolare l'analisi pushover:

• permette di tener conto delle riserve di duttilità e di resistenza che la struttura conserva anche oltre illimite elastico;

• permette di tener conto del degrado di resistenza in elementi soggetti a deformazioni elevate; • segnala la presenza di elementi potenzialmente fragili ed la loro influenza sulla sicurezza

complessiva della struttura;• segnala gli elementi e le zone della struttura potenzialmente soggette a deformazioni più elevate.

Esecuzione dell'analisi pushoverL’analisi pushover viene eseguita sulla struttura di elevazione facendo variare la direzione sismica e la distribuzione delle accelerazioni sull'altezza del fabbricato. L’utente può impostare in particolare il numero di scansioni sismiche da effettuare e selezionare le distribuzioni di accelerazioni da applicare nell’analisi (solo lineare, solo costante, o entrambe). A questo riguardo, la normativa Ntc18 (punto 7.3.4.2) richiede di considerare almeno due forme di distribuzione delle forze sismiche sull'altezza del fabbricato:

• una distribuzione lineare, ovvero derivata da una distribuzione lineare di accelerazioni,• una distribuzione uniforme, ovvero derivata da una distribuzione uniforme di accelerazioni.

Per entrambe le forme si calcola il fattore di partecipazione e lo si applica nella valutazione dei taglianti di piano, moltiplicandoli per il fattore calcolato.L'analisi è condotta applicando sulla struttura i carichi statici quasi-permanenti ed un insieme di forze statiche equivalenti ottenute assumendo una distribuzione (costante o lineare lungo l'altezza) di accelerazioni sismiche agenti in una prefissata direzione di incidenza dell'azione sismica. Si instaura quindi un processo incrementale di carico sotto spinta sismica proporzionalmente crescente, protratto fino al raggiungimento del collasso della struttura. Gli elementi resistenti sono considerati a comportamento elasto-plastico, con limiti di duttilità definiti per il limite di danno, di salvaguardia vita e di collasso in funzione del tipodi muratura. Per ogni passo di carico si controlla la duttilità raggiunta negli elementi: non appena un elemento raggiunge il valore limite di duttilità è dichiarato collassato e non darà più contributo all'assorbimento del tagliante sismico nei passi di carico successivi. Per tale ragione, col progredire dei collassi locali, la struttura perde capacità portante nei confronti delle azioni orizzontali. Controllando il calo progressivo della forza resistente si riconoscono gli stati limite ultimi di salvaguardia vita e di collasso, raggiunti quando la perdita di portanza arriva ai limiti prefissati. Al raggiungimento del limite di collasso l'analisi ha termine. L'analisi è ripetuta quindi con un una diversa orientazione in pianta della spinta sismica, in modo da coprire, attraverso una scansione angolare, tutte le possibili direzioni di incidenza sismica (la verifica terrà conto dei risultati più restrittivi forniti dalle diverse analisi).

Controllo della partecipazione di massa alle scansioni pushoverL'analisi pushover è l'analisi sismica più adatta a rappresentare il comportamento fortemente non lineare delle costruzioni in muratura sotto sisma. La norma riconosce questa peculiarità ai punti 7.8.1.5.4 e C7.8.1.5.4, consentendone l'applicazione anche nel caso che il modo di vibrare fondamentale abbia una massa partecipante inferiore al 75%. Per gli edifici esistenti dotati di diaframmi dotati di rigidezza non trascurabile, c'è inoltre una ulteriore apertura della norma al p. C8.7.1.3.1 nel quale si afferma che è possibile “utilizzare l’analisi statica non lineare assegnando, come distribuzioni principale e secondaria, rispettivamente, la prima distribuzione, sia del Gruppo 1, sia del Gruppo 2, indipendentemente dalla percentuale di massa partecipante sul primo modo”.L'analisi dinamica modale è una analisi di tipo lineare che trova larga applicazione nelle analisi strutturali ed è apprezzata per l'affidabilità e l'accuratezza che offre nella ricostruzione della risposta strutturale. Nel caso delle murature, però, dove il comportamento elastico è del tutto trascurabile questo tipo di analisi non è rappresentativa.Tuttavia, poiché la norma fa riferimento all'analisi dinamica per formulare un controllo di rappresentatività dell'analisi pushover, il programma la esegue preliminarmente all'analisi pushover, proprio per ottemperare aquesta richiesta.C'è da dire però, che la norma si preoccupa in sostanza che la distribuzione di forze assunte nelle analisi pushover sia sufficientemente rappresentativa della distribuzione di accelerazioni che si svilupperanno nella struttura durante l’eccitazione sismica. Queste ultime sono, in qualche modo, in relazione con le forme modali fondamentali, cioè a maggiore partecipazione e maggiore amplificazione dinamica. Il modo di operare, che la stessa norma suggerisce e che è assunto anche nel programma, di assumere duedistribuzioni diverse di accelerazioni, costante e lineare lungo l’altezza, e considerando anche un ampio



ventaglio di possibili direzioni sismiche, può tuttavia essere ragionevolmente ritenuto come copertura sufficiente delle diverse possibili modalità di comportamento della struttura. Assumere una distribuzione di accelerazioni costante fornisce, per definizione, un fattore di partecipazione unitario per un sisma traslazionale agente nella stessa direzione. D’altro canto, fare riferimento ad una distribuzione di accelerazioni lineari permette di mettere in conto modi tipicamente a maggiore amplificazionedinamica. In ogni caso, anche per una completezza formale dei risultati, il programma esegue l'analisi modale e determina i modi di vibrare della struttura (visibili fra l'altro anche in vista animata 3D), riportando i risultati di interesse nelle due griglie:

• Modi di vibrare• Partecipazioni di massa dei modi

In quest'ultima griglia, per le varie scansioni sismiche dell'analisi pushover, sono riportati gli indici dei primi due modi a maggiore partecipazione (mi e m2) e le corrispondenti percentuali di massa eccitata (pm1 e pm2).

Gli stati limite dell'analisi pushoverNel corso dell'analisi pushover secondo le Ntc18, si considerano i seguenti stati limite, secondo le indicazionidei p. C7.8.1.5.4 e p.C8.7.1.3.1:Slo stato limite di operatività,raggiunto nel punto della curva di equilibrio a spostamento minore fra:

• il punto di massima forza,• il punto in cui lo spostamento orizzontale relativo in un setto raggiunge un'aliquota prefissata (2/3)

della duttilità limite Sld dd impostata per il tipo di muratura;Sld stato limite di danno,raggiunto nel punto della curva di equilibrio a spostamento minore fra:

• il punto di massima forza,• il punto in cui lo spostamento orizzontale relativo in un setto raggiunge la duttilità limite Sld dd

impostata per il tipo di muratura;Slv stato limite di salvaguardia vita,raggiunto nel punto della curva di equilibrio corrispondente a:

• uno spostamento pari ad una aliquota (¾) dello spostamento allo Slc;Slc stato limite di collasso,raggiunto nel punto della curva di equilibrio a spostamento minore fra:

• il punto in cui la forza residua per effetto dei collassi progressivi dei setti si riduce ad una aliquota prefissata fc, del valore massimo raggiunto (80%),

• il punto in cui collassano tutti i maschi murari di una parete ad un determinato livello.

Caratteristiche dell'algoritmo di calcoloDovendo tener conto di un comportamento deformativo diversificato per setti, è necessario procedere attraverso un’analisi di tipo incrementale-iterativa, dove il tagliante sismico è affetto da un moltiplicatore, inizialmente posto a 0 (zero), progressivamente crescente secondo incrementi opportunamente dosati in funzione del tipo di risposta che l’insieme strutturale esibisce.



Allo scopo si adotta un algoritmo iterativo basato sul metodo proposto da E. Riks, particolarmente efficace inproblemi di elasto-plasticità in quanto, distinguendosi da altri metodi classici (Newton-Raphson e derivati) peril modo in cui ad ogni passo riesce a localizzare un nuovo punto di equilibrio, regolando l’ampiezza degli incrementi di carico e di spostamento in funzione del corrente stato iterativo, con un numero non elevato di passi e a basso impegno di memoria fornisce una ricostruzione completa del percorso di equilibrio, con tutte le informazioni richieste per la valutazione dei fattori di sicurezza cercati.

Le curve di capacità pushoverNel corso di ogni analisi pushover eseguita, al variare quindi della direzione del sisma e della distribuzione delle forze sull'altezza, il programma conserva tutte le informazioni necessarie alla costruzione della curva dicapacità pushover, che rappresenta il percorso di equilibrio carico-spostamento dell'analisi effettuata. Le curve pushover sono disponibili in grafico una volta conclusa l’analisi e intervengono nella successiva procedura di verifica, che porterà alla valutazione delle accelerazioni al suolo (Pga) di capacità e di domanda.Ogni curva pushover ha quindi come riferimenti distintivi la direzione sismica e la distribuzione adottata per le accelerazioni sismiche (lineare o costante sull’altezza). Complessivamente, se nds è numero di direzioni sismiche richieste e 2 sono le distribuzioni da considerare, vengono eseguite 2*nds analisi pushover e costruite altrettante curve di capacità.Osservando una curva pushover vediamo che sull’asse y è posta la forza sismica cumulata f (tagliante al piede dell’edificio), sull’asse x è posto lo spostamento orizzontale u corrispondente, calcolato con una equivalenza energetica col lavoro di deformazione (spostamento = lavoro/forza). Questa modalità di calcolo ha il vantaggio di rendere i risultati di analisi indipendenti dalla scelta arbitraria del punto di controllo.

L'analisi pushover porta alla costruzione della curva di capacità, che esprime la relazione fra forza applicata e relativo spostamento orizzontale. Nell'analisi secondo Ntc08, sono evidenziati i punti di raggiungimento degli stati limite di operatività (SLO), di danno (SLD), salvaguardia vita (SLV) e collasso (SLC). Sulla sinistra sono posti istogrammi di verifica che confrontano capacità e domanda per l'accelerazione al suolo.

Punti rappresentativi degli stati limiteSi vede dall’andamento della curva come al crescere delle forze sismiche si raggiunga il punto di massima portanza e quindi per successivi collassi dei maschi murari si registri un calo di portanza. Sulla curva sono indicati i punti di raggiungimento degli stati limite e i corrispondenti schemi bilineari equivalenti.Il punto Sle rappresenta lo stato limite elastico, raggiunto quando per la prima volta un setto arriva alla sua resistenza ultima. Il setto continuerà però a dare il suo contributo all'assorbimento delle forze orizzontali, con



un valore di resistenza bloccato al valore ultimo, fintanto che la deformazione non arriva al limite ultimo di duttilità.I punti Slo, Sld, Slv e Slc rappresentano rispettivamente lo stato limite di operatività, danno, salvaguardia vitae collasso, raggiunti quando per la prima volta si presentano le condizioni definite per ognuno di essi.Per coerenza logica, il punto Slc non può precedere i punti rappresentativi degli altri stati limite. Al raggiungimento dello stato limite di collasso l'analisi incrementale termina.

Istogrammi di verificaSul lato sinistro del disegno sono posti due gruppi di istogrammi che consentono il confronto visivo fra capacità e domanda, rispettivamente in termini di spostamento e di accelerazione al suolo, normalizzata quest'ultima per suolo di categoria A. Gli istogrammi sono riportati per gli stati limite effettivamente richiesti per la verifica, così come definiti nel foglio delle Opzioni di analisi, e riportano inferiormente anche i valori numerici di capacità e domanda.

Le verifiche pushoverUna volta disponibili le curve di capacità, le verifiche sismiche sono condotte nei riguardi degli stati limite di interesse: Slo, Sld, Slv, Slc. Le verifiche sono eseguite sempre per tutti i quattro stati limite, ma nella presentazione dei risultati si terrà conto solo degli stati limite effettivamente richiesti, così come indicati dall'utente. Le Ntc18 definiscono infatti quali siano gli stati limite da considerare nelle verifiche finali di capacità-domanda, in funzione della classe d'uso dell'edificio (p.7.3.6, tab. C7.3.I). In base a queste disposizioni, il programma attiva in automatico gli stati limite richiesti come impostazione predefinita, lasciando comunque all'utente la possibilità estendere le verifiche anche a stati limite non strettamente richiesti e di impostare direttamente alcuni parametri collegati.Le verifiche sono condotte in termini di spostamento, confrontando la capacità di spostamento uc con la domanda di spostamento ud richiesta dalla normativa e verificando che la capacità risulti maggiore della domanda, ovvero:

dc uu In termini meccanici ciò equivale a richiedere che la struttura possegga risorse di duttilità tali da consentire un adeguata escursione in campo plastico e una conseguente capacità di dissipare l’energia trasmessa dall’azione sismica.Il risultato della verifica può essere espresso in maniera equivalente in termini di accelerazioni al suolo (Pga), normalizzate per suolo di categoria A, confrontando la capacità di accelerazione al suolo pgac con la domanda di accelerazione al suolo pgad richiesta dalla normativa e verificando che la capacità risulti maggiore della domanda, ovvero:

dc pgapga

Capacità di spostamentoLa capacità di spostamento uc è lo spostamento registrato dal modello strutturale al raggiungimento dello stato limite di interesse, può quindi essere letto sull'asse delle u in corrispondenza del punto rappresentativo dello stato limite.

Domanda di spostamentoLa domanda di spostamento ud si ottiene costruendo il sistema bilineare equivalente ad un grado di libertà, valutandone il periodo proprio in base alla rigidezza elastica secante e ricavando lo spostamento richiesto dallo spettro elastico corrispondente allo stato limite di verifica, eventualmente amplificato con un fattore di correlazione fra sistema elastico e sistema anelastico. Più in particolare, la domanda di spostamento uc viene calcolata secondo i seguenti criteri.

Costruzione del sistema bi-lineare equivalenteInnanzitutto si esegue la costruzione del sistema bi-lineare equivalente sul grafico che riporta la curva pushover. Sulla curva si individuano i punti di massima portanza Fmax e il punto al 70% di Fmax.Unendo l’origine col punto posto a 0.7 Fmax si ottiene il tratto elastico del sistema equivalente, dotato di rigidezza Ke. L’ordinata Fy che esprime la forza di snervamento del sistema equivalente si ottiene dall’equivalenza energetica fra la struttura in esame e il sistema bi-lineare, imponendo l’uguaglianza delle aree sottese indicate nelle seguenti figure (riferite al caso della verifica SLV).



Area sottesa dalla curva di capacitàArea sottesa dallo schema bilineare equivalente

Stima del periodo proprio sistema bi-lineare equivalenteIl periodo proprio Teq del sistema equivalente può essere ricavato come:

eeq K

MT 2

in cui M è la massa sismica totale della struttura e Ke è la rigidezza elastica del sistema bilineare equivalente.

Calcolo della domanda di spostamentoNoto il periodo proprio del sistema bilineare equivalente Teq, si ricava la domanda di spostamento dr secondola seguente espressione:

)( eqDer TScd in cui:

SDe(T) è lo spostamento spettrale elastico, ottenibile come:SDe(T) = Se(T) (T/2 ) 2 essendo Se(T) l'accelerazione spettrale elastica,

c è un fattore di correlazione fra sistema elastico e anelastico, che assume valori maggiori di 1 (effetto amplificativo) solo se il periodo proprio Teq è minore del periodo di riferimento spettraleTC. In particolare c è calcolato con le espressioni:

y

eeqC

f

fqessendo

q

TTqc

*

*

* )1(1,1max se Teq < TC

1c se Teq ≥ TC

in cui:fy è la forza di snervamento del sistema equivalente, già indicata in precedenza,fe è la forza di risposta elastica del sistema equivalente, che si ricava come:

MTSf eqee )(in cui Se (Teq) è l’accelerazione spettrale elastica.

E' interessante notare che gli spettri utilizzati per ricavare la domanda di spostamento sono quelli elastici: i fattori spettrali ag, S, Fo TB, TC TD sono quelli definiti per lo stato limite in esame, non compare il fattore q, ma interviene solo il fattore viscoso ricavato in funzione del coefficiente di smorzamento viscoso assegnato nei parametri di analisi.

Verifica del rapporto fe/fyInsieme alle verifiche basate sulla capacità di spostamento si richiede anche una verifica basata sulle forze ein particolare si richiede che il fattore di struttura del sistema equivalente qe, definito dal rapporto fra la forza di risposta elastica e la forza di snervamento del sistema equivalente (per i vari stati limite sismici di interesse), risulti non superiore a 4:



qe = fe/ fy ≤ 4

Verifica soddisfatta Verifica non soddisfatta

Si tratta di una verifica complementare a quella vista in precedenza basata sulla capacità di spostamento ed equivale a richiedere che la capacità di termini di forze resistenti (fy) sia maggiore di un valore limite assunto pari a fe/4. Se consideriamo due strutture assoggettate ad azioni sismiche identiche e che presentino la stessa rigidezza elastica Ke, avremmo un identico valore della forza elastica fe per entrambe. A parità di fe, la verifica risulta positiva nella prima che presenta una forza resistente fy maggiore.

Verifiche in termini di accelerazioni al suoloConvenzionalmente si preferisce esprimere le verifiche in termini di accelerazioni al suolo, normalizzate per suolo di categoria A (roccia), piuttosto che in termini di spostamento, in modo da avere una informazione fisica più evidente e direttamente più percepibile.Bisognerà quindi controllare che la capacità di accelerazione al suolo pgac sia maggiore o uguale alla corrispondente domanda pgad, per gli stati limite richiesti:

verifica per Slo pgac(SLO) pga d(SLO),verifica per Sld pgac(SLD) pga d(SLD),verifica per Slv pgac(SLV) pga d(SLV)

verifica per Slc pgac(SLC) pga d(SLC)

Le capacità di Pga sono valori di calcolo, ottenuti a valle dell'analisi pushover eseguendo le verifiche per gli stati limite di interesse. Le domande di Pga sono i valori richiesti dalla normativa e corrispondono direttamente ai valori ag che compaiono nelle espressione degli spettri di risposta regolamentari.

L’esecuzione dell’analisiCon l'esecuzione dell'analisi il programma calcola le sollecitazioni agenti negli elementi strutturali, esegue l'analisi sismica pushover e tutte le verifiche richieste dal sistema normativo selezionato.Per le murature, le verifiche sono usualmente distinte in verifiche locali e verifiche globali, in funzione delle caratteristiche del meccanismo di crisi che si considera, da ritenere complementari ai fini della valutazione della sicurezza.

Il quadro generale delle verificheImmediatamente a valle dell'analisi il programma riporta su video due quadri che riportano i risultati ottenuti per tutte le verifiche eseguite.



Ad analisi conclusa, gli esiti finali delle verifiche locali e sismiche sono riportati in due quadri sintetici, nei quali sono evidenziate in rosso le verifiche non soddisfatte.

Combinazioni di caricoIl programma predispone le seguenti combinazioni di carico da utilizzare per le verifiche:

● Statica locale utilizzata per le verifiche statiche di tipo locale sulle murature,● Statica fondazioni utilizzata per le verifiche statiche di tipo locale sulle fondazioni,● Sismica locale utilizzata per le verifiche sismiche di tipo locale sulle murature,● Sismica fondazioni utilizzata per le verifiche sismiche di tipo locale sulle fondazioni,● Sismica pushover utilizzata per le verifiche sismiche globali con analisi pushover.

Per ognuna di esse, i fattori di combinazione sono impostati di default in funzione del sistema normativo selezionato, ma possono in ogni caso essere variati dall'utente.

Definizione delle combinazioni di carico per sistema normativo Ntc08.

Verifiche localiLe verifiche locali corrispondono a meccanismi di crisi dipendenti quasi esclusivamente da condizioni locali all'elemento e per i quali si possono assumere schemi statici di verifica semplificati. Rientrano in questa categoria le verifiche dei setti a pressoflessione trasversale e le verifiche a ribaltamento delle pareti, sotto le azioni dei carichi verticali, delle spinte statiche di falde non efficacemente ammorsate, delle spinte sismiche di inerzia o di solai non efficacemente incordolati.

• Verifica della snellezza • Verifica dell’eccentricità trasversale e longitudinale• Verifica a taglio per azioni statiche • Verifica pressoflessione trasversale e longitudinale• Verifica a ribaltamento per azioni statiche e sismiche• Verifica dei tiranti a trazione a punzonamento • Verifica delle tensioni in fondazione

Verifiche globaliLe verifiche globali corrispondono a meccanismi di crisi che dipendono dal comportamento d'insieme degli elementi resistenti e che richiedono una adeguata modellazione della struttura muraria e analisi di tipo non lineare, come l'analisi pushover, che possano tener conto del manifesto comportamento non lineare esibito in questi casi.



In queste verifiche, lo stato di crisi non è direttamente collegato alla crisi locale del singolo setto, ma piuttostoal raggiungimento di stati limite predefiniti valutati sul comportamento d'insieme e regolamentati dalla normativa.

Sintesi grafiche delle verificheL’analisi porta alla costruzione delle curve di capacità pushover, dei domini di resistenza sismici e delle mappe di impegno dei setti. L’esame di questi grafici sintetizza in maniera efficace la risposta statica e sismica dell’edificio e consente di trarre utili indicazioni per eventuali interventi di rinforzo.

Spettri di rispostaSono visibili gli spettri di risposta previsti dal sistema normativo selezionato, in termini di accelerazione o di spostamento, sui quali ad analisi conclusa, sono riportati i punti di lavoro delle analisi effettuate.

Vista degli spettri di risposta in accelerazione e spostamento per sistema normativo Ntc08.

Curve pushoverDette anche curve di capacità, rappresentano il percorso di equilibrio carico-spostamento dell’analisi pushover per ogni direzione sismica. Sono evidenziati sulla curva gli stati limite raggiunti e la schematizzazione del sistema bilineare equivalente. I risultati della verifica pushover in corrispondenza degli stati limite di interesse (SLO, SLD, SLV e SLC) sono inoltre espressi con istogrammi di confronto fra il valoredi capacità ottenuto dall'analisi e il valore di domanda richiesto dalla normativa.

Vista di due curve di capacità relative ad una stessa struttura: entrambe riferite all'orientazione sismica a 0° (dir.X), ma a differenti distribuzioni delle forze sull'altezza. Sulle curva sono evidenziati i punti di degli stati limite e gli schemi bilineari equivalenti.

Visibili sulla sinistra gli istogrammi di verifica, che esprimono il confronto fra capacità e domanda.

I domini di resistenza sismicaL’esame dei domini di resistenza è un mezzo molto efficace per valutare i risultati dell’analisi sismica. Distinguiamo nel disegno i domini di capacità e i domini di domanda. Il dominio di capacità è un diagramma disegnato in pianta, il cui raggio in una certa direzione misura la capacità di accelerazione al suolo per sismaagente in quella direzione, nel dominio di domanda il raggio misura invece l'accelerazione al suolo richiesta



dalla normativa per lo stato limite considerato. La verifica per una direzione sismica è soddisfatta se la capacità è maggiore della domanda, ovvero se il dominio di capacità è esterno a quello di domanda. Confrontando il dominio di capacità col dominio di domanda possiamo quindi capire su quali direzioni le verifiche non sono soddisfatte e quali sono le direzioni di maggiore debolezza.Nel caso di analisi sismica secondo Ntc08 sono riportati i domini solo per gli stati limite espressamente richiesti, fra i quattro disponibili (Slo, Sld, Slv, Slc), valutati per una doppia distribuzione di forze sismiche sull’altezza dell’edificio.

Vista dei domini di resistenza ottenuti con analisi pushover secondo Ntc08.

Le mappe di impegno sismicoSi tratta di un disegno pianta che riporta in codice colore il quadro deformativo dei maschi murari corrispondente ad uno degli stati limiti di interesse determinati con l’analisi sismica non lineare. Si possono individuare i setti collassati e il tipo di crisi che ha determinato il collasso del maschio, per taglio o per pressoflessione longitudinale. Inoltre, è possibile riconoscere i collassi critici, quelli cioè che avvengono per bassi livelli dell’azione sismica e che risultano pregiudiziali per il soddisfacimento della verifica sismica. Cliccando il setto col mouse è inoltre possibile ottenere informazioni numeriche più dettagliate. L’informazione espressa da tali mappe risulta molto utile per interpretare le risorse di sicurezza disponibili e per localizzare i possibili interventi di rinforzo.



Mappe di impegno sismico per SLD e SLV ottenute con analisi pushover secondo Ntc08. I maschi critici, che condizionano l'esito della verifica per lo stato limite indicato, sono evidenziati con doppia retinatura. Cliccando col mouse si ottengono i valori numerici di duttilità.

Le mappe di impegno per le verificheSi tratta di un disegno analogo al precedente, in cui le tonalità di colore esprimono il grado di impegno dei setti murari per le verifiche locali, la tonalità diventa più intensa all'aumentare dell'impegno. La soglia di verifica è rappresentata da un impegno pari al 1, i setti con un impegno superiore non soddisfano la verifica e sono evidenziati in rosso pieno, con un doppio tratteggio diagonale. Con un semplice click, inoltre, è possibile ottenere informazioni numeriche dettagliate riguardanti la verifica del setto cliccato.Questa mappa, insieme a quella dell'impegno sismico e dei domini di resistenza aiutano ad interpretare i risultati raggiunti con l’analisi e danno informazioni molto utili per il dimensionamento delle opere di rinforzo.

Mappe di impegno per le verifiche a pressoflessione trasversale statica e delle tensioni sul terreno di fondazione. Gli elementi che non soddisfano la verifica sono evidenziati in rosso con doppia retinatura. Cliccando col mouse si ottengono i valori numerici di verifica.



Istogrammi riepilogativiSono gli istogrammi riepilogativi di tutte le verifiche effettuate, riportati in termini di impegni massimi di verifica e di fattori di sicurezza sismica. Differenziati in funzione del sistema normativo selezionato, esprimono gli esiti finali di tutte le verifiche condotte.

Vista degli istogrammi sintetici per gli impegni massimi di verifica e per la sicurezza sismica. L'istogramma è riportato in rosso nel caso di verifica non soddisfatta.

Interventi di rinforzo

Dopo aver eseguito l'analisi il programma riporta un resoconto sintetico delle verifiche effettuate, sia per le verifiche statiche locali, sia per le verifiche sismiche condotte con l'analisi pushover.Da queste prime informazioni, il progettista può farsi un quadro generale dello stato di sicurezza dell'edificio e individuare le principali carenze sulle quali intervenire. Informazioni di maggiore dettaglio si ottengono dall'esame dei domini di resistenza sismici e dalle mappe di impegno, sia per le verifiche locali, sia per le verifiche sismiche pushover.

L'individuazione degli elementi più impegnatiIl passo successivo consiste nell'individuare gli elementi su cui agire in via prioritaria. Nel caso delle verifichesismiche pushover, per individuare gli elementi critici che necessitano di rinforzi, si può aprire la vista dell'Impegno sismico dei setti. Viene riportata una pianta a toni di colore con gli impegni di duttilità nei setti incorrispondenza di un particolare stato limite. Scorrendo le mappe di impegno per gli stati limite Slv e Slc ai vari piani, si possono individuare i setti critici, fillatura con doppio tratteggio.

Il controllo delle mappe di impegno sismico per gli stati limite Sld e Slv, che evidenziano i i setti più critici.



Un procedimento analogo può essere seguito anche per le verifiche statiche, come ad esempio la pressoflessione trasversale. In questo caso, per individuare gli elementi più impegnati si aprirà la vista dell'Impegno di verifica dei setti, selezionando dall'interno del foglio la verifica a pressoflessione statica, facendo attenzione ai setti evidenziati dal doppio tratteggio diagonale.

Il controllo della mappa di impegno per la verifica a pressoflessione trasversale sismica e i domini di resistenza.

L'applicazione dei rinforziGli interventi di rinforzo possono essere diversi. Innanzitutto, si può pensare a rinforzare direttamente i setti individuati, applicando ad essi una delle tecniche previste dal programma, come l’affiancamento murario, l’intonaco armato, la fasciatura con fibre composite (Frp), le cuciture attive in lamine di acciaio pretese (Cam)o le iniezioni di malta. Altre alternative, da valutare caso per caso, possono consistere nella chiusura o nello spostamento di aperture, nella costruzione di cordoli o catene, nella costruzione di nuove murature o nell'applicare rinforzi distribuiti lungo direzioni preferenziali (di maggiore debolezza o rigidezza), individuate ad esempio dall'esame dei domini di resistenza.

Il controllo del miglioramento conseguitoDopo aver applicato i rinforzi, si possono controllare immediatamente gli effetti che si ottengono, rieseguendo l'analisi e verificando il miglioramento conseguito, ripercorrendo lo schema delineato in questo paragrafo.

Il miglioramento sismicoGli interventi che riguardano edifici esistenti possono richiedere la valutazione del miglioramento sismico rispetto ad una condizione preesistente, a seguito di un intervento di rinforzo. Si richiede in questo caso di effettuare l'analisi della struttura nello stato di fatto e nello stato futuro (ovvero dopo dopo la messa in opera dei rinforzi) e dal confronto ottenere la misura del miglioramento conseguito. Per facilitare questa operazioneil programma prevede un quadro sintetico, disponibile sia a video che in stampa, esteso su tutte le verifiche sismiche che permette il confronto dei fattori di sicurezza fra i due stati e di verificare il conseguimento delle condizioni relative al miglioramento e all'adeguamento.

Per il miglioramento sismico si confrontano i fattori di sicurezza relativi allo stato esistente e allo stato rinforzato.



La classe di rischioDa qualche anno, gli interventi di rinforzo strutturale in zone sismiche possono usufruire di benefici fiscali collegati al miglioramento conseguito, misurato convenzionalmente, mediante la classe di rischio. Questo è un parametro che può variare da A+ a G (in ordine di rischio crescente), che discende dall'analisi strutturale (in particolare dal fattore di sicurezza per Slv) e dalle probabili perdite economiche che possono verificarsi nel corso degli anni per danni strutturali da eventi sismici. Come per la valutazione del miglioramento, anche per lo stato di rischio è possibile confrontare i valori per lostato esistente e per lo stato di progetto, sia in termini tabellari, sia in termini grafici.

Il confronto della classe di rischio per lo stato di fatto e lo stato di progetto



Il test di Pavia

La muratura è un materiale molto complesso in cui confluiscono fenomeni diversi: il comportamento elastico dei costituenti (malta, blocchi lapidei o in laterizio), la loro orditura, l'evoluzione del danno, l'apertura fragile difessure, l'attrito. Non meraviglia pertanto che non esistano ancora modellazioni teoriche ampiamente consolidate che ne restituiscano tutte le peculiarità. Per una validazione del codice Por 2000, si deve pertanto fare riferimento a prove di laboratorio su strutture in scala reale, di cui siano stati pubblicati in dettaglio i dati riguardanti i materiali, la geometria ed i risultati strumentali ottenuti.In questo campo una prova di riferimento molto ben documentata, è quella eseguita presso l'Università di Pavia nel 1994 [1,2] da Calvi e Magenes. Il test è stato eseguito su un piccolo edifico, a quattro pareti e due piani, in muratura di mattoni pieni e malta mista idraulica-cementizia, quindi abbastanza rappresentativo di costruzioni largamente diffuse nel nostro patrimonio edilizio. Una delle pareti, in cui erano presenti delle aperture, era stata parzialmente scollegata dalle restanti, in modo da semplificarne il comportamento e rendere più facile un eventuale confronto teorico sperimentale.

La parete è stata sottoposta, attraverso l'azione di martinetti idraulici applicati in corrispondenza dei solai di interpiano, a cicli di carico orizzontale alternato di ampiezza via via crescente, fino al collasso. Della prova sono disponibili e ben documentati, oltre che i risultati del test di carico in termini di diagramma forza/spostamento e di mappe di fessurazione, anche le caratteristiche dei materiali impiegati e le modalità di costruzione.

La parete oggetto della prova ha spessore di 25 cm. Le modalità di preparazione del modello in scala reale edi esecuzione delle prove stesse hanno consentito di ricavare risultati strumentali per la singola parete



La parete del test di Pavia

caricata nel suo piano, mostrata in figura e a cui ci riferiremo come parete test, di spessore 25 cm e dotata diaperture ai due piani. Nel test sperimentale la parete è stata inizialmente sottoposta (oltre che al peso proprio) ad un carico verticale uniformemente distribuito a livello dei solai per un totale di 120 kN per ogni piano. La parete è stata quindi sottoposta, attraverso l'azione di martinetti idraulici applicati in corrispondenza dei solai di interpiano, a cicli di carico orizzontale alternato di ampiezza via via crescente, fino al collasso. Date le modalità di caricamento, le forze orizzontali risultano eguali ai due piani e quindi, considerata l'eguaglianza delle masse di questi, la spinta laterale applicata corrisponde ad una distribuzione di accelerazioni costante sull'altezza.

Se si esaminano i percorsi di equilibrio ottenuti dal test, ovvero le curve forza/spostamento riportate in figura, si può notare come la struttura manifesti un comportamento abbastanza lineare in prossimità dell'origine, una progressiva riduzione delle rigidezze al procedere dei cicli di carico e un evidente graduale appiattimento delle curve di isteresi. Si ha anche una progressiva riduzione della portanza orizzontale (tagliante alla base) che decade rapidamente a circa 15 t e sembra assestarsi, negli ultimi cicli, a circa 12 t.

Modellazioni Teorico-Numeriche del test di PaviaIl test di Pavia, proprio in ragione della cura prestata nella esecuzione delle prove e della buona documentazione prodotta, è stato spesso utilizzato in ricerche successive come termine di confronto nella validazione di approcci teorico/numerici alla modellazione delle murature. Fra questi possiamo citare le modellazioni proposte da Gambarotta e Lagomarsino in [3], da Formica, Sansalone e Casciaro in [4] e da Brasile, Casciaro e Formica in [5,6,7]. Questi lavori sono basati su un legame elasto-plastico attritivo con danneggiamento per i materiali (mattoni e giunti di malta), anche se qualche differenza nella definizione del legame elastico e nella legge di evoluzione del danno e, più ancora, nella strategia complessiva dell'analisi. In particolare, in [3] e in [4] si fa uso di una discretizzazione standard ad elementi finiti con integrazione per punti di Gauss, mentre in [5], [6] e [7] si usa una descrizione fine della muratura (al dettaglio del singolo mattone e giunto di malta) insieme ad una gestione multilivello della soluzione.

In entrambi i casi, i risultati forniti dalla simulazione numerica, presentano un buon accordo con i risultati sperimentali sia nella ricostruzione delle curve carico-spostamento, riportate qui sotto in figura, che nella descrizione dell'evoluzione del danno, anche se la simulazione condotta in [5] sembra cogliere meglio l'ampiezza dei cicli di isteresi e il progressivo degrado di portanza all'avanzare dei cicli, che caratterizza le curve sperimentali.



Curve forza/spostamento ottenute sperimentalmente nel test di Pavia [1,2]

Modellazione in Por 2000 del test di PaviaLo stesso test è stato analizzato utilizzando il programma Por 2000. Dato che questo programma è indirizzato ad una analisi tridimensionale di strutture scatolari, la simulazione di una singola parete piana avrebbe portato a risultati irrealistici. E' stato pertanto costruito un modello tridimensionale costituito da due pareti in direzione X, fra loro eguali, corrispondenti alla parete oggetto della prova, e due pareti piene in direzione Y per la chiusura della scatola muraria (vedi figure seguenti).

La caratterizzazione della muratura è stata definita selezionando inizialmente l'opzione “edificio nuovo” in modo da applicare le impostazioni di normativa che si riferiscono a questa casistica: l'assunzione di un fattore di confidenza unitario (nessuna riduzione di resistenza per scarsa conoscenza strutturale) e l'applicazione del criterio alla Coulomb per la valutazione della resistenza tangenziale limite, basato sulla definizione dell'angolo di attrito.



Curve forza/spostamento ottenute mediante simulazione numerica in [3]

Curve forza/spostamento ottenute mediante simulazione numerica in [5]

La tabella seguente riporta i parametri caratterizzanti la muratura utilizzati nell'analisi (vedi anche la tabella diinput mostrata in figura)

Caratterizzazione della muratura:

resistenza normale caratteristica fk = 38.0 kg/cmq

resistenza tangenziale caratteristica fvk = 2.00 kg/cmq

modulo elastico normale E = 14000 kg/cmq

modulo elastico tangenziale G = 4800 kg/cmq

tangente dell'angolo di attrito tga = 0.40

duttilità ultima per collasso a flessione duf = 0.80



Viste bidimensionali del modello in Por 2000

Viste solide 3D del modello in Por 2000

Il valore 0.80 assunto per la duttilità al limite ultimo per collasso a flessione è quello indicato dalla normativa per murature nuove non rinforzate, come nel caso in esame.

Sono state inoltre tarate le impostazioni dei fattori di sicurezza sui limiti di duttilità, nel foglio delle opzioni di analisi, che il programma imposta inizialmente in via cautelativa, ma che in accordo con le indicazioni di normativa possono essere assunti con valore unitario:

• fattore di sicurezza sulle duttilità per localizzazione deformazioni: 1.0,• fattore di sicurezza sulle duttilità per preesistente danneggiamento: 1.0.

L'effetto di impostare ad 1.0 questi fattori corrisponde ad utilizzare nell'analisi i valori limiti di duttilità così come risultano specificati nel foglio dei tipi di muratura (ultime tre colonne della griglia riportata nella figura inalto), senza ulteriori riduzioni di sicurezza.

Confronto fra risultati sperimentali e la modellazione eseguita con Por 2000Utilizzando il programma è stata eseguita una analisi pushover della struttura. Il programma procede per scansione angolare, considerando tutte le possibili direzioni di incidenza sismica, ma ci soffermiamo qui in particolare sui risultati per sisma in direzione 0° (parallelo cioè alle pareti test), in modo da avere un diretto confronto con i risultati sperimentali.

Se si esamina la mappa degli impegni sismici (per la direzione 0°) si vede che, nel caso in esame, il comportamento sotto carichi orizzontali è dominato dalla risposta a pressoflessione, ovvero che il collasso è raggiunto per crisi a pressoflessione, piuttosto che per crisi di taglio. Il meccanismo è dominato dall'apertura di fessure orizzontali, al piede ed alla testa dei maschi, più che da scorrimenti trasversali lungo i letti di malta,come peraltro si individua nei risultati del test sperimentale.

Inoltre, se si esamina la curva di equilibrio per l'analisi con sisma in direzione 0° per distribuzione uniforme delle accelerazioni sull'altezza del fabbricato, si può vedere come il comportamento della struttura rimanga incampo elastico lineare fino ad uno spostamento di circa 0.2 cm, oltre il quale si sviluppa il comportamento in campo plastico, caratterizzato da un valore della forza di circa 30 t e una escursione di spostamento di circa 2 cm.



Definizione della muratura per il modello in Por 2000

Viste delle mappe di impegno per analisi nella direzione 0° per distribuzione lineare e costante

I valori numerici della forza massima e dello spostamento raggiunto al collasso sono riportati nella tabella deirisultati delle verifiche pushover, illustrata in figura. I risultati di interesse, in corrispondenza alla direzione 0° gradi, sono evidenziati con un riquadro per i due casi di analisi 0°L (distribuzione lineare) e 0°C (distribuzione costante).

L'esame di questi dati e della curva carico/spostamento ottenuta analiticamente evidenzia, anche in questo caso, un ottimo accordo con i risultati sperimentali, specie se si considera che l'analisi pushover realizza unaunica spinta crescente e non i cicli di carico alternato a cui è stata sottoposta la struttura sotto test. In particolare, il carico di collasso ottenuto con Por 2000, di circa 30 t per l'insieme delle due pareti, corrispondeperfettamente alla portanza iniziale di circa 15 t ottenuta per la singola parete nel test sperimentale. Lo spostamento massimo, di circa 2 cm, è anche in buon accordo con il risultato sperimentale, anche se lo spostamento raggiunto durante l'esperienza, di circa 2.5 cm, era risultato leggermente superiore. Si osservi tuttavia che nella valutazione di questo valore intervengono fortemente i limiti di duttilità, necessariamente



Curva di equilibrio per la direzione sismica 0°C parallela al piano della parete test ottenuta mediante analisi pushover in Por 2000

Risultati numerici della verifica pushover in Por 2000

cautelativi, suggeriti dalla normativa e fatti propri dal programma. Tenendo conto che, allo spostamento massimo raggiunto sotto il test, la parete si presentava già fortemente dissestata, questa cautela, che nell'analisi comporta un vantaggio di sicurezza, può ritenersi appropriata.

Tabella di confronto fra valori analitici e valori sperimentali

Valore analitico Por:analisi 0°L

Valore analitico Por:analisi 0°C

Valore sperimentaleTest di Pavia

Forza massima 30,0 t 30,0 t 15.0x2 = 30 t

Spostamento massimo 2,08 cm 2,04 cm 2,5 cm

Per concludere, possiamo affermare che i risultati forniti dalla analisi condotta con il programma Por 2000, versione 7, sono da ritenere adeguatamente vicini a quelli ottenuti con i risultati sperimentali ottenuti nel test a scala reale condotto a Pavia [1,2] e con simulazioni analitico/numeriche dello stesso test apparse su rivistea larga diffusione [3-7].

Gli utenti che volessero ripetere in autonomia il procedimento di confronto illustrato in questa pubblicazione, possono scaricare dal nostro sito il file dati TestPavia.por, per esaminare in maggiore dettaglio le scelte di modellazione e per rieseguire l'analisi con eventuali variazioni nella impostazione dei dati.

Riferimenti[1] G. M. Calvi, G. Magenes, Experimental research on response of URM building system. D. P.

Abrams, G. M. Calvi eds. Proc. U.S.-Italy workshop on guidelines for seismic evaluation and rehabilitation of unreinforced masonry buildings, State University of New York at Bufalo, NCEER-94-0021, 3-41/57, Pavia, 1994.

[2] Magenes G, Calvi GM. In-plane seismic response of brick masonry walls. Earthquake Eng Struct 1997;26:1091–112.

[3] Gambarotta L, Lagomarsino S. Damage models for the seismic response of brick masonry shear walls. Part II: the continuum model and its applications. Earthq Eng Struct D 1997;26:441–62.

[4] Formica G, Sansalone V, Casciaro R. A mixed solution strategy for the nonlinear analysis of brick masonry walls. Comput Meth Appl M 2002;191:5847–76.

[5] Brasile S, Casciaro R, Formica G. Multilevel approach for brick masonry walls – part I: a numerical strategy for the nonlinear analysis. Comput Meth Appl M 2007;196:4934–51.

[6] Brasile S, Casciaro R, Formica G. Multilevel approach for brick masonry walls – part II: on the use of equivalent continua. Comput Method Appl M 2007;196:4801–10.

[7] Brasile S, Casciaro R, Formica G. Finite Element formulation for nonlinear analysis of masonry walls. Computer and Structures 2010; 88: 135–143.

[8] Mauro Dolce, Schematizzazione e modellazione per azioni nel piano delle pareti, Corso sulConsolidamento degli edifici in muratura in zona sismica- Ordine Ingegneri di Potenza.



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