Relatorio4 Metodo Euler

RELATRIO 4

IM253 MTODOS NUMRICOS em FENMENOS de TRANSPORTE

Mtodo de Euler

1. Objetivo Este trabalho tem como objetivo desenvolver um cdigo com para o Mtodo de Euler. Para tal, ser

testado dois exemplos de funes retirados do livro texto do curso Anlise Numrica (Richard L.

Burden e J.Douglas Faires). Sendo eles:

Funo 1: y(t )=(t+1)2 - 0,5et

Funo 2 : y(t)=-1/t

2. Introduo

Interpolao

O mtodo de Euler, tambm conhecido como mtodo da reta secante, um dos mtodos mais antigos

que se conhece para a soluo de equaes diferenciais ordinrias, porm raramente utilizada.

Problemas prticos no devem ser resolvidos com o mtodo de Euler. Existem outros mtodos que

proporcionam resultados com uma melhor preciso e estabilidade se comparados ao mtodo de Euler

para o mesmo passo.

Seja uma funo

= (, ) , com a condio de contorno y = yn quando x = xn . Da Figura 1,

observa-se que o valor de yn+1 , em x = xn+1, dado por:

+1 = + (1.1)

Do clculo, pode-se escrever que:

=

(1.2)

Da equao (1.2), encontra-se uma aproximao para:

(1.3)

Das equaes (1.1) e (1.3), encontra-se:

yn+1=yn+(xn+1-xn) f(xn,yn) (1.4)

Na Figura 1, observa-se que quanto menor o valor da diferena entre xn+1 e xn (desprezando os erros

causados pela representao finita dos nmeros pelos computadores), menor o erro da estimativa para

yn+1. Todavia, o nmero de computaes para um intervalo aumenta medida que a diferena entre

xn+1e xn reduzida. Define-se o passo h como sendo igual a:

h=xn+1-xn (1.5)

Usando a equao (1.5) nas equaes (1.5) e (1.4), tem-se:

xn+1=xn+h (1.6)

e

yn+1=yn+hf(xn,yn) (1.7)

Sendo a equao completa, levando em consierao o erro do mtodo igual a:

+1 = + (, ) +2

2() (1.8)

A equao (1.8) conhecida como frmula de Euler. A soluo de uma equao diferencial pelo

mtodo de Euler realizada pelo uso recursivo das equaes (1.6) e (1.7), usando as condies de

contorno x0 e y0 . O erro no mtodo de Euler da ordem de O (h2 ).

Figura 1: Ilustrao do mtodo de Euler.

3. Algoritmos 1) INICIO

2) ENTRADA extremidades a,b; nmero inteiro N; condio inicial alfa;

3) FAA h=(b-a)/N;

t=a;

w=alfa;

4)PARA i variando de 1 at N, execute os passos

5) t=a+ih

6) PARE

7) SADA aproximao de w e y nos (N+1) valores de t

4. Programa C

Mtodo de Euler

#include

#include

#include

// Implementao Mtodo de Euler

// Autor: Renan Sadao Kuroda Rodrigues

// Disciplina: Mtodos Numricos em Fenmenos de Transporte

// Funo de aproximao pelo mtodo de Euler

float f (float x, float v)

{

return 1/(v*v)-(x/v)-(x*x);

}

// Funo da soluo exata

float g (float u)

{

return -1/u;

}

int main()

{

// n: nmero de inteiro N

// x[]: vetor para armazenar os valores de x

// a e b: extremidades

// h[]: tamanho do passo

// alpha[]: condio inicial

int n,i;

float a,b,c,h,alfa;

char passo;

// Inserir os quantos pontos sero utilizados

printf("\n Metodo de Euler \n");

printf("\n Digite o intervalo a e b (ex. [0;5] = digite 0 5): ");

scanf("%f %f",&a,&b);

printf("Digite o numero de pontos da malha: ");

scanf("%d",&n);

printf("Digite condicao inicial: ");

scanf("%f",&alfa);

// Cria um vetor para os valores dos pontos

float w[n],t[n],alpha[n],v[n],j[n],err[n];

// Inicializa o passo h, tempo t0 e w0

h=(b-a)/n;

t[0]=a;

w[0]=alfa;

// Lao formar o tempo

for (i=0; i

{

printf(" %f %f %f %f\n", t[i],w[i],j[i],err[i]);

}

return 0;

}

5. Resultados e Discurses Para a resoluo da aproximao pelo mtodo de Euler, foi realizado primeiramente uma tabela em

EXCEL para verificar a exatido do cdigo. As tabelas 1 e 2 apresentam os valores do nmero de

pontos, o tempo, os valores da aproximao w e wi, sendo este referente ao tempo t+1, e o valor real

da funo y.

Tabela 1: Anlise Numrica do problema 1.

N t w wi y

0 0 0,50000000 0,80000000 0,5

1 0,2 0,80000000 1,15200000 0,829299

2 0,4 1,15200000 1,55040000 1,214088

3 0,6 1,55040000 1,98848000 1,648941

4 0,8 1,98848000 2,45817600 2,12723

5 1 2,45817600 2,94981120 2,640859

6 1,2 2,94981120 3,45177344 3,179942

7 1,4 3,45177344 3,95012813 3,7324

8 1,6 3,95012813 4,42815375 4,283484

9 1,8 4,42815375 4,86578450 4,815176

10 2 4,86578450 5,23894141 5,305472

O grfico 1 demostra como a curva gerada pela aproximao do mtodo se distncia medida que o

tempo avana. Segundo Richard Burden, o erro aumenta ligeiramente conforme o valor de t aumenta,

devido ao truncamento no erro de segundo grau da equao diferencial (1.8)

Grfico 2: Grfico comparativo soluo exta e por mtodo de Euler para y(t )=(t+1)2 - 0,5et.

0,00000000

1,00000000

2,00000000

3,00000000

4,00000000

5,00000000

6,00000000

0 1 2 3

Y

tempo t

Y(t)=(t+1)2 - 0,5et

Soluo Exata

Aproximao porMtodo de Euler

As figuras 3,4 e 5 demonstram como o tamanho do passo h est relacionado com o erro do mtodo.

Conforme o passo aumentando, notou-se uma melhora no erro real das funes. O que esperado,

pois com o aumento do nmero de pontos da malha, a reta da secante tende a se aproximar mais das

curvas da funo exata.

Figura 3: Sada do cdigo Mtodo de Euler h=0,2.

Tabela 2: Anlise Numrica para Y(t)=-1/t.

N t w wi y

0 1 -1,00000000 -0,95 -1

1 1,05 -0,95 -0,9045354 -0,95238

2 1,1 -0,9045354 -0,8630071 -0,90909

3 1,15 -0,8630071 -0,8249169 -0,86957

4 1,2 -0,8249169 -0,7898476 -0,83333

5 1,25 -0,7898476 -0,7574466 -0,8

6 1,3 -0,7574466 -0,7274145 -0,76923

7 1,35 -0,7274145 -0,699495 -0,74074

8 1,4 -0,699495 -0,6734675 -0,71429

9 1,45 -0,6734675 -0,6491412 -0,68966

10 1,5 -0,6491412 -0,6263501 -0,66667

11 1,55 -0,6263501 -0,6049494 -0,64516

12 1,6 -0,6049494 -0,5848116 -0,625

13 1,65 -0,5848116 -0,5658248 -0,60606

14 1,7 -0,5658248 -0,5478898 -0,58824

15 1,75 -0,5478898 -0,5309184 -0,57143

16 1,8 -0,5309184 -0,5148323 -0,55556

17 1,85 -0,5148323 -0,4995613 -0,54054

18 1,9 -0,4995613 -0,4850426 -0,52632

19 1,95 -0,4850426 -0,4712197 -0,51282

20 2 -0,4712197 -0,4580416 -0,5

Grfico 2: Grfico comparativo soluo exta e por mtodo de Euler para y(t)=-1/t

Figura 4: Saida do cdigo

6. Concluso Atravs da realizao deste trabalho, pode-se concluir que o mtodo de Euler um mtodo simples de

ser implementado, porm pouco utilizado devido seu erro de segunda ordem O(h2). Alm disso,

percebeu-se uma relao entre o tamanho do passo h e a reduo do erro real, no qual quanto menor

for o passo de tempo h, menor ser o erro real.

-1,20000000

-1,00000000

-0,80000000

-0,60000000

-0,40000000

-0,20000000

0,00000000

0 0,5 1 1,5 2 2,5Y

tempo t

Y(t)=-1/t

Soluo Exata

Aproximao porMtodo de Euler

7. Referncia [1] - Burden, Richard L. and Faires, J.Doulas - Analise numrica traduo 8aed norte americana. Ed

Cengage Learning.

[2] Guidi, Leonardo F. Material Graduo Pgina da disciplina "Noes de Clculo Numrico"

MAT01186 (http://www.mat.ufrgs.br/~guidi/grad/MAT01169/calculo_numerico.pdf) Acessado em

22/03/2015

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