Resumo

Neste trabalho em laboratório com auxílio de um trilho de ar que permite simular uma superfície patricamente sem atrito, um carrinho sendo “puxado” por diferentes massas suspenças e mais um conjunto de instrumentos que serão citados ao decorrer da descrição experimental, e ainda que de forma “elementar” , foi feito um experimento afim de determinar a relação entre a força resultante e a aceleração atuantes em um sistema, o que Newton mesmo não contando com todo esse aparato tecnológico já havia concluído também experimentalmente por volta da segunda metade do século XVI, sendo que exatamente desses estudos desse célebre físico que surgiram os princípios da Dinâmica também conhecidos por leis de Newton, que estão diretamente ligadas com o experimento apresentado a seguir. A interpretação dos resultados foi feita através de uma metodologia que consistirá na normalização dos dados obtidos diretamente (tempo) e indiretamente (força), e montagem de um gráfico F x a ( força resultante versus aceleração), passos principais que possibilitaram atingir o objetivo requisitado.

I- Introdução[1-9]

Isaac Newton nasceu prematuramente no dia de Natal de 1642 em Woolsthorpe, no mesmo ano em que faleceu Galileu. O pai tinha morrido pouco antes do seu nascimento e a mãe voltou a casar-se quando ele tinha três anos. Foi educado pela avó e frequentou a escola em Woolsthorpe.

Cientista, químico, físico, mecânico e matemático, Newton não se concentrou apenas numa só área de estudos, e sempre esteve envolvido com questões filosóficas, religiosas, teológicas e também com a alquimia. Suas obras mostravam claramente seu conhecimento a respeito destes assuntos.

Durante uma vida de descobertas, quatro de suas principais foram realizadas em sua casa, isto ocorreu no ano de 1665, período em que a Universidade de Cambridge foi obrigada a fechar suas portas por causa da peste que se alastrava por toda a Europa. Na fazenda onde morava, o jovem e brilhante estudante realizou descobertas que mudaram o rumo da ciência: o teorema binomial, o cálculo, a lei da gravitação universal e a natureza das cores.

Em 1672 tornou-se membro da Royal Society (a academia de ciências inglesa). Sua obra mais importante, o Philosophiae Naturalis Principia Mathematica “(Latim: "princípios matemáticos da filosofia natural", também chamado de Principia ou Principia Mathematica)” foi publicada em 1687, com duas edições posteriores, em 1713 e 1726.

Um fato interessante que alguns sites destacam é a idéia de que Newton era um aluno bem mediano, até que uma cena de sua vida mudou isso: uma briga com um colega

2

de escola fez com que Newton decidisse ser o melhor aluno de classe e de todo o prédio escolar .

Aos quase oitenta e cinco anos, em Londres no ano de 1727 Newton morre vítima de problemas renais após uma vida de grandes descobertas e realizações. Foi respeitado como nenhum outro cientista, contribuindo efetivamente para uma revolução científica onde seus estudos foram como chaves que abriram portas e mais portas para diversas áreas que hoje possuímos acesso com mais facilidade do que séculos atrás.

Não se pode falar em Newton sem se remeter a história da “maçã”.“Se por um lado essa história seja mito, o fato é que dela surgiu uma grande oportunidade para se investigar mais sobre a Gravitação Universal. Essa história envolve muito humor e reflexão. Muitas charges sugerem que a maçã bateu realmente na cabeça de Newton, quando este se encontrava num jardim, sentado embaixo de uma macieira, e que seu impacto fez com que, de algum modo, ele ficasse ciente da força da gravidade, como se perguntasse: "por que em vez da maçã flutuar, ela caiu?". A pergunta não era se a gravidade existia, mas se se estenderia tão longe da Terra que poderia também ser a força que prende a Lua à sua órbita. Newton mostrou que se a força diminuísse com o quadrado inverso da distância, poderia então calcular corretamente o período orbital da Lua. Ele supôs ainda que a mesma força seria responsável pelo movimento orbital de outros corpos, criando assim o conceito de “gravitação universal”. O escritor contemporâneo William Stukeley e o poeta Voltaire foram duas personalidades que citaram a tal maçã de Newton em alguns de seus textos.”

Voltando as Leis de Newton (princípios da Dinâmica), para um trabalho desse caráter, é importante frisar o que cada uma “diz”. Tais leis foram apresentadas na obra de Newton “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, constando nessa também a explicação do movimento dos astros e o efeito da massa dos planetas sobre os corpos próximos a eles, através da lei da gravitação universal, trabalho esse apoiado nos estudos realizados por Galileu Galilei (1564-1642) e Johannes Kepler (1571-1630).”

Segundo Aristóteles, tanto para colocar um corpo em movimento como para mantê-lo em movimento é necessária ação de uma força. Tempos depois dessa observação feita por Aristóteles, Galileu imaginou uma situação ideal em que uma esfera lançada sobre um plano horizontal perfeitamente polido (sem atrito), desprezando a resistência do ar, o movimento não seria nem acelerado nem desacelerado: não havendo forças na direção horizontal, teríamos um movimento retilíneo uniforme, era a primeira vez que era formulada a lei da inércia.

Mais tarde Newton em sua obra “Os princípios Matemáticos da Filosofia Natural”, já citada anteriormente, formulou três “Axiomas ou leis do movimento”. A 1ª lei é a Lei da Inércia , que enunciada nas palavras de Newton é:

3

(Inércia)  “Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.”

(“Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que seja forçado a mudar aquele estado por forças imprimidas sobre ele.”)

O que significa realmente essa lei? Como podemos saber que não existem “ forças impressa sobre o corpo”? Pelo fato de que permanece em repouso ou movimento uniformemente retilíneo e uniforme? Se assim fosse Eddington teria tido razão quando criticou o enunciado da primeira lei, dizendo ser equivalente a “... persiste...exceto quando não persiste” ( o que corresponde ao bom conhecida predição meteorológica: “ Tempo bom, salvo se chover.”).

Esta critica é injusta. Se todas as forças fossem devidas ao contato com outros corpos, bastaria a ausência do contato para estabelecer a ausência de forças. O exemplo de força-peso, e das forças que atuam sem que haja contato direto como corpo responsável pela força. Entretanto, essas forças tendem a diminuir à medida que os corpos em interação se afastem um do outro. Em média, uma distância típica entre uma estrela e sua vizinha mais é aproximadamente 1018 m. A observação das estrelas confirma que elas obedecem com muita boa aproximação à lei da inércia. Em relação a que referencial? Não é em relação a terra, pois o observador vê as estrelas girar no céu noturno.

Isto indica outro ponto importante na compreensão da 1ª lei: ela não pode ser válida pra qualquer referencial. Os referencias em que é valida são chamados referencias inerciais. A terra não é um referencial inercial. Entretanto, o movimento de rotação da terra em torno do eixo afeta muito pouco os movimentos usuais, na escala de laboratório, e na prática empregamos a terra como referencial inercial com boa aproximação.

Temos que um referencial inercial em movimento retilíneo uniforme em relação e a um referencial é também inercial ( porque um corpo em repouso ou em movimento uniforme em relação a um deles também estará em repouso ou em movimento retilíneo uniforme em relação a outro). Logo, dispondo de um referencial inercial (ligado as estrelas fixas), dispomos de uma em conseqüência de uma infinidade deles.

A expressão do movimento retilíneo uniforme refere-se à geometria euclidiana que, conforme já foi mencionado, não é um conceito válido “a priori”, mas está sujeito a verificação experimental. Em escala cosmológica, observam-se desvios, mas na escala em que estaremos aplicando as leis da mecânica clássica tais desvios são desprezíveis.

Já a segunda Lei de Newton (também denominada Lei Fundamental da Mecânica/Dinâmica), é o segundo princípio consiste em que todo corpo em repouso

4

precisa de uma força para se movimentar e todo corpo em movimento precisa de uma força para parar. O corpo adquire a velocidade e sentido de acordo com a força aplicada. Ou seja, quanto mais intensa for a força resultante, maior será a aceleração adquirida pelo corpo.

Quando uma força resultante atua sobre uma partícula, esta adquire uma

aceleração na mesma direção e sentido da força, segundo um referencial inercial. Neste

caso a relação entre a causa (força resultante) e o efeito (aceleração) constitui o objetivo

principal da Segunda Lei de Newton, cujo enunciado por Newton é:

(Quantidade de Movimento) “Mutationem motis proportionalem esse vi motrici

impressae, etfieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.”

(“A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na

direção da linha reta na qual aquela força é imprimida.”)

A resultante das forças que agem em um corpo é igual à taxa de variação do

momento linear (quantidade de movimento) do mesmo em relação ao tempo.

Matematicamente, a definição de força é expressa por 

Quando a massa do corpo é constante temos  , e por

conseguinte 

Isso significa que, sendo a massa do corpo constante, a força resultante e

aceleração produzida possuem intensidades diretamente proporcionais.

A força resultante aplicada a um corpo é diretamente proporcional ao produto

entre a sua massa inercial e a aceleração adquirida pelo mesmo 

Se a força resultante for nula,  , o corpo estará em repouso (equilíbrio

estático) ou em movimento retilíneo uniforme (equilíbrio dinâmico). A força poderá ser

medida em Newton se a massa for medida em kg (Obs.: no experimento foi usado massa

em g, e consequentemente a força foi dada em dinas ) e a aceleração

em m/s² pelo Sistema Internacional de Unidades de medidas (S.I).

Esta última afirmação que fala que se uma força resultante for nula então o corpo

estará em repouso ou movimento retilíneo uniforme, mostra que a primeira lei pode ser

considerada como um caso particular da segunda.

A terceira lei completa as duas outras e diz que “se você age com o corpo e mente

em direção aos seus objetivos, seus objetivos também agirão em direção a você”.

5

Formalizando a idéia temos que sempre que dois corpos quaisquer A e B

interagem, as forças exercidas são mútuas.

Tanto A exerce força em B, como B exerce força em A. A interação entre corpos é

regida pelo princípio da ação e reação, proposto por Newton, que enunciou:

(Ação e Reação)” Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sine

corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias

dirigi.”

(“A toda ação há sempre uma reação oposta e de igual intensidade, ou, as ações mútuas

de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas a partes opostas.”)

É indiferente atribuir a ação a uma das forças e a reação à outra. Como foi dito,

essas forças são caracterizadas por terem:

Mesma direção

Sentidos opostos

Mesma intensidade

Aplicadas em corpos diferentes e, por isso, não se anulam

Na linguagem matemática, temos:

onde   é a força no corpo 1 devida ao corpo 2 e   é a força no corpo 2 devida

ao corpo 1.

A partir do que já foi descrito anteriormente sobre a terceira lei Newton, temos

que essa é de fundamental importância. Talvez a mais importante, se é que podemos

dizer que existe uma mais importante que outras.

Newton sepulta qualquer idéia de força individual. As forças manifestam-se em

pares. Se A exerce uma força sobre B, este, ao seu turno, reagirá com outra força de

mesmo módulo, mesma direção e sentido contrário. “Não existe ação sem reação”.

Todas as vezes que alguém interage com o ambiente que o rodeia pode-se pensar

na terceira lei. Um exemplo prático é se uma bola for chutada com determinada força, a

bola reage e devolve, instantaneamente, a mesma força para seu pé.

O presente trabalho tem como objetivo determinar relação entre a força

resultante e a aceleração que atua em um sistema, utilizando equipamentos e

instrumentos mais precisos do que os utilizados por Isaac Newton para chegar aos

mesmos resultados.

6

II- Teoria

Nessa seção do relatório será apresentado alguns conceitos essenciais para realização dos experimentos, são esses, velocidade média, velocidade instantânea, espécie de movimento, força resultante, tipos de “medidas”, e também será esclarecido como serão representados os resultados obtidos experimental e serão expostas as fórmulas usadas no processo experimental, dentre as quais estão inclusas todas as fórmulas ou equações usadas para cálculo de cada desvio padrão.

II - 1 Movimento retilíneo uniformemente variado [9 e 6]

Em um movimento retilíneo uniformemente variado temos que a aceleração é constante. Para movimentos desse caráter a aceleração média é igual aceleração

instantânea (a=dvdt

):

a = améd = ∆v∆ t

= v−v 0t−0¿

¿ (II- 1 a)

onde v0 é a velocidade no instante t = 0 e v é velocidade no instante de tempo posterior a t.

Para esse e qualquer outro tipo de movimento usual, velocidade média é a razão entre o deslocamento ∆x e o intervalo de tempo ∆t durante o qual esse movimento ocorre :

Vm= ∆ S∆ t

( II–1 b)

E para velocidade instantânea temos:

V = lim∆t⇾0

Vm=dS(t )dt

( II-1 c)

Para a função “velocidade linear” (aceleração constante) , a velocidade média em qualquer intervalo de tempo ( de t = 0 a um instante posterior t, digamos ) é a média aritmética entre da velocidade do início do intervalo (v0 ) com a velocidade no final do intervalo (v). Para o intervalo t = 0 até o instante t, portanto, a velocidade média é:

V(méd) = ½(v0 + v) ( II-1 d )

Para encerrar essa seção do MRUV, a equação que descreve a trajetória do corpo é:

S – S0 = v0 t + 12

at2 (II-1 e)

7

onde S0 é a posição inicial e S a posição final, v0 a velocidade inicial, a a aceleração e t o tempo em algum instante.

II-2 Força [10 e 6]

Em física clássica, a força (F) é aquilo que pode alterar (num mesmo referencial

assumido inercial) o estado de repouso ou de movimento de um corpo, ou de deformá-

lo. Esta definição não pode ser desvinculada da Terceira Lei de Newton (que como já foi

visto, "afirma" que a força é a expressão física para a interação entre DOIS entes físicos

[ou entre duas partes de um mesmo ente], definindo então a direção, o sentido e a

igualdade dos módulos das forças de um par acão-reação), e da Segunda Lei de Newton

(já citada anteriormente, que define o módulo da força baseando-se na definição de

aceleração e do quilograma-padrão [massa]).

Detectamos uma força através de seus efeitos. Estes podem ser: a variação no

módulo da velocidade do corpo (por exemplo, quando se dá um chute numa bola em

repouso); uma alteração na direcção e sentido do movimento do corpo (no Movimento

Circular Uniforme ou no "efeito" no voo de uma bola); ou pode haver uma deformação

no corpo em que é aplicada a força (deformação momentânea da bola quando é

chutada...).

Uma mesma partícula pode estar sobre efeito de várias forças, quando isso aconte

esse sistema de forças pode ser substituido por uma única força, a força resultante, que é

capaz de produzir na partícular o mesmo efeito de que todas as forças aplicadas.

Um exemplo de força resultante é o seguinte:

http://www.iped.com.br/sie/uploads/8847.jpg (22/05/2009)

Figura 1 – Representação de uma força resultante em um sistema.

8

II-3 Teoria de Erros [11,12 e 13]

Todas as grandezas físicas, resultadas de medições, estão afetas de um incerteza

que se convencionou chamar de erro, desvio, imprecisão ou incerteza da medida.

Estes erros são de varias naturezas origens, e são representados por um número.

O resultado de uma medida física correta deve conter apenas um número certo de

significativos, e preferencialmente, o erro que afeta o resultado.

O erro (que contém um certo grau de subjetividade) é afetado pela perícia do

operador, pela qualidade do instrumento utilizados, pelo controle exercido sobre as

condições ambientais (tais como: temperatura, pressão, interferência elétricas e

mecânicas, etc., que afetam os instrumentos de medidas.

Classificação das medidas

Ao fazermos uma medição, estamos realizando uma ação, estamos determinando

o valor numérico de uma grandeza física. Podemos realizar dois tipos de medidas:

• Medida direta: Obtida utilizando um instrumento de medidas, que pode ser

subdividida em: ⇾ Medida direta de uma única medida ⇾ Medida direta de varias medidas

• Medida indireta: O valor é obtido do resultado de um calculo;O resultado da medição é uma estimativa do valor da grandeza estimada e só é completa quando conhecida a incerteza desta estimativa.Representação de uma medida experimental:Grandeza medida = ( valor da grandeza ±desvio da gradeza)unidadeFormas e/ou Equações para obter os desvios das grandezas mensuradas:• Uma única medida:Há uma regra prática, denominada regra do fabricante, para avaliar a incerteza de um instrumento quando se realiza uma única medida:“A incerteza de um instrumento é a metade da menor divisão registrada”9

A regra do fabricante não vale para instrumentos cujas medidas são apresentadas em mostradores digitais ou com nônio (ou vernier). No caso de equipamentos com mostradores digitais, deve-se em primeiro lugar buscar informações no manual do fabricante quanto a resolução do equipamento, caso esta informação não esteja disponível deve-se considerar a ultima casa de leitura como sendo a duvidosa, e a incerteza será uma unidade dessa ultima casa lida. No caso de ter outros tipos de influência como o de paralaxe acrescentar a respectiva quantidade.•Várias medidas:O valor da medida será a média entre as quantidades medida varias vezes:xm = ∑

i=0

n

x i /n (II- 3a) (também chamada de valor esperado ou valor provável da grandeza)onde x é a grandeza medida, e n o número de medidas.E, o desvio padrão é dado por pela equação 𝝈xm = √∑i=0

n (Xm−Xi )2

n−1 (II- 3b)para quantidades menores que 100 medidas.

Medidas indiretas:

Em medidas indiretas, estamos realizando algum tipo de operação (multiplicação,

soma ou divisão) entre outras medidas (diretas ou indiretas), para esse caso aplica-se o

algoritmo neperiano na equação e usamos a definição

ln x = σ xx (II- 3c)

e leva-se em conta que devido a teoria de propagação de erros todo sinal negativo passa

a ser positivo.

Ex: Considerando uma equação qualquer que envolve multiplicação e divisão:

A= BCD

, então ln A = ln B + ln C –lnD e utilizando em seguida a definição (II – 3c), chega-

se à

10

σ AA = σ BB +σ CC + σ DD

Com essas ferramentas em mãos, determinaram-se os desvios necessários para o experimento que será apresentado a seguir, tais desvios estão expostos nas sequência:Desvio da velocidade: V = S

t Aplicando lnln v = ln s - ln tPortanto:σ v = v (σ ss + σ tt ) (II- 3d)Desvio da aceleração:S = 1

2at²

a = S2t 2Aplicando lnln a = ln s - 2 ln tPortanto:

σ a = a (σ ss + 2σ tt ) (II- 3e)Desvio da força:F = maF = mg (g para o experimento, onde g é aceleração gravitacional )Aplicando lnln F = ln m

11

Portanto:σF = (σ mm ) ( II- 3f)Desvio da F

a :

F/a = mAplicando lnlnF/a = ln mPortanto:σ Fa

= Fa

(σ ff

+ σ aa

) (II – 3g) Erro relativo percentualConhecido o valor verdadeiro de uma medida ou outro valor preestabelecido, que chamaremos de valor de referência, é possível avaliar o resultado de uma medida, por meio do erro percentual relativo que é dado por:E% = ¿ Xr−X ’Xr

∨¿. 100 (II- 3h)onde xr é o valor de referência e x’ é o valor da medida.Casas após a vírgulaPara generalizar a escolha do número de casas após a vírgula, adotou-se considerá-la de acordo com o número de casas depois da vírgula constando no desvio, de modo que esse será considerado apenas o primeiro algarismo não nulo devidamente arredondado. Para ser mais específico, o mesmo número de casas depois da vírgula que terá o desvio deverá ter também o valor da medida ou da média. Caso o desvio fosse um número inteiro, então foi representado o valor da medida ou da média como um inteiro. Em situações em o que o desvio obtido foi da ordem 10, 100 ou mais, os desvios e os valores das grandezas, foram representados entre

12

parênteses em forma de “potências de 10”, mantendo somente um dígito para representar o desvio.III- Procedimento ou Metodologia [14]Determinação da força resultante que atua no sistema

Antes de dar início a parte experimental, foi determinando teoricamente quais serão as forças resultantes atuantes no sistema (que está representado na figura 2) e em cada corpo do mesmo, sistema o qual se tem um carrinho sendo “puxado” por massa suspensa.A figura 2 mostra o esquema de montagem que será utilizada para realização do experimento.

Figura 2 – Figura esquemática ilustrando o equipamento utilizado no experimento.13

Como carrinho ( massa m1) está sobre o trilho de ar consideremos que a força de atrito entre ele e o trilho seja praticamente nula, assim podendo ser desprezada. A figura 3 mostra o carrinho e massa m2 separadamente:

Figura 3 – Esquema do carrinho (m1) e da massa m2 utilizada no experimento.A figura 4 mostra as forças (direção e sentido) que atuam em cada corpo do sistema:

14

Figura 4 – Representação das forças que atuam no sistema.Fazendo conhecimentos das forças que atuam em cada corpo, considerando que o fio que prende os dois corpos é inextensível (isso nos permite tratar os dois corpos como único sistema) e tanto a massa desse quanto a massa da polia sendo desprezíveis , pode-se concluir da seguinte forma a força resultante Fr1 atuando no carrinho na horizontal, a força resultante Fr2 atuante sobre a m2 e a força resultante atuante sobro o sistema Fr. Tais conclusões estão a seguir:Fr1 = T1 (na horizontal atuando sobre o carrinho) Eq. – 1Fr2 = P2 - T2 (na vertical atuando sobre a massa m2) Eq. - 2E tendo T1 = m1a Eq. –3P2- T2 = m2a Eq. – 4 Onde |T1| = |T 2|, m1 massa do carrinho e m2 massa do corpo suspenso e P2 o seu peso, sendo “a” a aceleração gravitacional que é constante para todo movimento, pois a altura h ( distância na vertical a qual a massa se move para o carrinho percorrer todo o trilho de ar) é pequena quando comparada com o raio da terra. Somando a Eq. – 3 com a Eq. –4 chegou-se a força resultante atuante no sistema (Eq. – 5) .Fr = P2 = (m1 + m2)a Eq. – 5Procedimento Experimental I O trilho de ar, como já foi anteriormente, permite com que um corpo deslize sobre uma superfície onde a força de atrito seja praticamente nula, para isso ele ejeta uma pequena camada gás que fica entre o trilho e o carrinho que desliza por cima dele. Além disso, o trilho

15

de ar é munido de um eletroímã fixo em uma de suas extremidades que enquanto ligado prende o carrinho, e um cronômetro, que mede com sensores disposto ao longo do trilho o tempo gasto para o carrinho percorrer certa distância. Foi montado um sistema conforme a figura 5. Foram colocados cinco sensores junto ao trilho de ar, de modo que ficassem equidistante um do outro 20 cm (Sendo que cada um dos sensores ficava em uma das posições: S0=0cm ;S1=20cm ;S3=40cm ;S4=60cm ;S5=80cm). Ajustou-se o primeiro sensor de modo que a assim o carrinho entra-se em movimento (desligando o eletroímã) o cronômetro fosse acionado. O objetivo era de que no tempo t0 = 0, S0 e V0 também fossem zero.Para esse experimento foi necessário uma superfície sem declive, logo é fundamentalmente preciso saber se o trilho de ar está verdadeiramente na horizontal. Para isso, colocou-se um nivelador sobre o trilho de ar e observou se a “bolha” estava no centro da demarcação contida no mesmo. Inicialmente isso não ocorreu, então fazendo ajustes na altura dos “suportes” contidos nos “pés” do trilho, ajustou-os até atingir o nivelamento.Após os sensores estarem nas devidas posições e o trilho de ar estar nivelado, o compressor foi ligado e o cronometro zerado, em seguida deu-se início ao experimento, de modo que o carrinho ficava preso pelo eletroímã e tensionado por um fio com uma massa suspensa, e ao desligar o eletroímã o carrinho entrava movimento “puxado” pela massa suspensa que caia até parar em um banquinho sendo que nesse momento o carrinho já havia passado pelo último sensor e tinha seu movimento cessado por um elástico que foi colocado propositalmente no final do trilho para evitar maiores impactos entre o carrinho e o trilho. (Isso que foi descrito está muito bem representado na figura 5). Os tempos determinado para cada posição foram lançados na tabela 1. Novamente o cronometro foi zerado e o carrinho preso ao eletroímã. Esses passos foram repetidos mais 4 vezes.

16

Figura 4 - Figura esquemática da montagem com o posicionamento dos sensores.Expondo os resultadosA tabela 1 demonstra os tempos obtidos no experimento I para cada posição e o valor médio dos mesmos calculado via equação II- 3a)Tabela 1 – Dados experimentais referente ao procedimento experimental IMedida S(cm) t1(s) t2(s) t3(s) t4(s) t5(s) tm(s)

1 20 0,586 0,578 0,572 0,566 0,560 0,5722 40 0,844 0,836 0,830 0,823 0,816 0,8303 60 1,041 1,033 1,026 1,020 1,013 1,0274 80 1,206 1,198 1,191 1,184 1,178 1,191

Na tabela 2 estão contidos o valor dos espaços S(cm) percorridos e dos tempos médios tm(s) com seus respectivos desvios. Os desvios dos espaços são 0,1cm (ao invés de 0,05 cm, metade da menor graduação) por considerar outros tipos de influência como o paralaxe (imprecisão do sensor, “seta” que indica o espaço ser relativamente grossa...) e os do tempos médios calculados via equação II- 3b.17

Tabela 2 – Dados experimentais do espaço S(cm) e dos tempos médios tm com os respectivos desvios Medida (S ± 𝝈s)cm (tm ±𝝈tm)s

1 20,0 ± 0,1 0,572 ± 0,0102 40,0 ± 0,1 0,830 ± 0,0113 60,0 ± 0,1 1,027 ± 0,0114 80,0± 0,1 1,191 ± 0,011

Interpretação dos resultadosOs dados da tabela 2 foram normalizados a fim de se obter relação matemática entre o espaço e o tempo médio. As normalizações estão expostas na tabela 3. Para normalizar, basta dividir os valores da mesma coluna pelo primeiro valor da coluna.Tabela 3 – Tabela normalizada referente aos dados da tabela 2

Medida S t1 1 12 2 1,53 3 1,84 4 2,1

Observando a tabela 3 chegou-se que a relação matemática entre o espaço S e o tempo éS t ² Eq. - 6 18

proporção semelhante a obtida para o experimento “plano inclinado” feito anteriormente a este, o que evidencia a presença de uma aceleração constante no sistema. Tal semelhança se deu devido o fato de que em ambas a situações os corpos de cada sistema estiveram sob ação de uma força resultante constante. Temos quea = améd =

∆v∆ t

= v−v 0t−0¿

¿ por (II- 1) quando a aceleração é constante, Vm= ∆ S∆ t

por (II–1 b)

e que V(méd) = ½(v0 + v) por (II-1 d) quando aceleração é constante. Igualando (II–1 b) à (II-1 d) e sabendo que v0 e S0 valem zero no caso do experimento I, chega-se que

v=2S / t Eq. - 7

Substituindo v em a = v−v 0t−0¿

¿ , chega-se à

a=2S

t2 Eq. – 8

Para não perder o foco, voltemos a repetir que esse experimento teve como objetivo determinar a relação entre a força resultante e a aceleração que atua em um sistema.

Procedimento Experimental II [14]Algumas considerações:1 – Quando se quer determinar experimentalmente relação matemática entre duas grandezas, é preciso que essas variem de modo que todas as outras se mantenham constantes;2- Para esse caso, foi tratado de um sistema composto por um carrinho (massa m1) e a massa suspensa (massa m2), portanto a massa do sistema é m1 + m2 ;3- Se somente m2 for variada, então a aceleração do sistema varia, a força resultante também varia e massa também varia, o que se opõem a primeira consideração;4- Logo, foi preciso mudar a massa m2 de modo que a massa do sistema fosse. Para isso, assim que a massa m2 fosse aumentada, a massa m1 era diminuída na mesma

19

quantidade. Então, mudando as massas dessa forma, a massa do sistema se mantinhaconstante; Para esse experimento, foram escolhidas cinco massas. Primeiramente só suporte foi colocado como massa suspensa inicial, e as cincos massas enumeradas (mI=5,1g; mII=5,1g ;mIII= 5,0g; mIV=5,0g ; mV=5,1g) mantidas sobre o carrinho. Foram colocados dois sensores junto ao trilho de ar, de modo que ficassem um do outro 70 cm (valor escolhido pelo grupo que realizava o experimento). Ajustou-se o primeiro sensor de modo que a assim o carrinho entra-se em movimento (desligando o eletroímã) o cronômetro fosse acionado. O objetivo era de que no tempo t0 = 0, S0 e V0 também fossem zero.Assim como no experimento I, para esse experimento foi necessário uma superfície sem declive, logo é fundamentalmente preciso saber se o trilho de ar está verdadeiramente na horizontal. Para isso, colocou-se um nivelador sobre o trilho de ar e observou se a “bolha” estava no centro da demarcação contida no mesmo. Inicialmente isso também não ocorreu, então fazendo ajustes na altura dos “suportes” contidos nos “pés” do trilho, ajustou-os até atingir o nivelamento.Estando os sensores nas posições S = 0 cm e S = 70 cm, o trilho de ar estar nivelado e o carrinho estar junto as cinco massas, o compressor foi ligado e o cronometro zerado, e em seguida deu-se início ao experimento, de modo que o carrinho ficava preso pelo eletroímã e tensionado por um fio com o suporte de massa (massa suspensa inicial), e ao desligar o eletroímã o carrinho entrava movimento “puxado” pela massa suspensa que caia até parar em um banquinho sendo que nesse momento o carrinho já havia passado pelo último sensor e somente após isso seu movimento era cessado por um elástico que foi colocado propositalmente no final do trilho para evitar maiores impactos entre o carrinho e o trilho. Com a massa dispostas dessa forma (massa suspensa= suporte de massa; carrinho + cinco massas), foram feitas cinco medições para saber o tempo que o carrinho levava para percorrer o intervalo de 70 cm. As massas uma a uma foram transferidas para o suporte de massa até que as cinco massas estivessem no mesmo, e em cada passagem foi realizado cinco medições dos tempos gasto para o carrinho percorrer a distancia proposta (70cm).

20

Os dados obtidos no experimento II estão na tabela 4.

Tabela 4 – Dados experimentais com a massa total do sistemaMedida m2(g) t1(s) t2(s) t3(s) t4(s) t5(s)

1 27,0 1,149 1,159 1,154 1,152 1,1522 32,1 1,056 1,059 1,061 1,062 1,0623 37,2 0,983 0,988 0,985 0,985 0,9834 42,2 0,925 0,923 0,923 0,923 0,9245 47,2 0,873 0,873 0,872 0,873 0,8736 52,3 0,830 0,830 0,827 0,828 0,826

Massa do carrinho:m1= 220,4gMassa total suspensa: m2 = 27g(1); 32,1g(2); 37,2g(3); 42,2g(4); 47,2(5); 51,3g(5)Espaço percorrido: ∆S = 70cmObs: A massa total suspensa é em determinada “medida” a massa do suporte (27g) somado com as massas sobre ele. A ordem de transferência das massas foi: mI; mII; mIII; mIV ; mV ;

21

Na sequência foram feito uso da equação II- 3a para calcular o tm, da Eq.– 8 para calcular a aceleração, da fórmula da segunda lei de Newton (citada na introdução do relatório) para calcular a força e por último foi feito a razão entra força e aceleração de modo que todos esses cálculos foram feitos para cada medida. Em seguida calculou-se os desvios dos tm, da aceleração, das forças e das razões força por aceleração, respectivamente com as fórmulas II- 3b, II- 3e, II- 3f e II– 3g. Ou seja, calculou-se os desvios para todos os resultados atingidos anteriormente.Obs: Para os cálculos anteriores usou-se o Sistema CGS de unidades;

Feito isso, os valores de cada grandeza calculados anteriormente e seus respectivos desvio padrões foram lançados na tabela 5, junto também das massas suspensas para cada medida e seus devidos desvios padrão, que por orientação do fabricante da balança usada na pesagem é 0,1g.

Tabela 5 - Dados finais para interpretação referentes à tabela 4Medida Massa“Suspensa”

Força“dinas” Tempo médio Aceleração Razão(força/Aceleração)Nº m2 F(dinas) tm(s) a(cm/s )² F/a(g)1 27,0±0,1 (265±1)10²

1,153±0,004 105,3±0,7 252±32 32,1±0,1 (315±1)10

²1,060±0,003 124,6±0,7 253±2

3 37,2±0,1 (365±1)10²

0,985±0,002 144,6±0,7 252±24 42,2±0,1 (414±1)10

²0,924±0,001 164,0±0,6 252±2

5 47,2±0,1 (463±1)10²

0,873±0,001 183,7±0,3 252±16 52,3±0,1 (513±1)10

²0,828±0,002 204±1 252±2

Massa total = (272,6±0,1)g ∆S= (70±0,1) cm g = 980,665cm/s²Interpretação dos resultados:

22

Para verificar a relação matemática entre força e aceleração, os dados de força e de aceleração da tabela 5 foram normalizados. A normalização esta representada na tabela 6.Tabela 6 – Tabela normalizada para a força resultante e a aceleração.Medida F a1 1 12 1,2 1,23 1,4 1,44 1,6 1,65 1,7 1,76 1,9 1,9

A partir da normalização concluiu-se que a relação matemática entre a F e a “a” éF a Eq. - 9

Para essa “relação” também ser válida para a tabela 5 de dados, “a” foi multiplicado por uma por uma constante C:

F = C a Eq.- 10

Graficamente foi possível determinar C. A figura 6 mostra através de um gráfico “força versus aceleração” como se determinou C, e de acordo com a “unidade de C” (g, pois

c= fa

) foi concluído que C representa a massa total do sistema usado para o experimento

(grandeza que permanece constante).

23

Figura 6 – Gráfico de Força (F) versus aceleração (a) com dados da tabela 5.

“Cálculo para determinar C a partir da observação do gráfico”

C=Fa C=

414∗102gcms2

164 cms2

C= 252,43gReescrevendo C como sendo C’ multiplicado por m (massa), foi obtido:C = C’mReescrevendo a Eq.-10 com essa nomenclatura chegou-se à

24

F = C’m a Eq.- 11A partir das medidas da tabela 5, foi possível encontrar C’ C’= F

ma

C’= 4,14∗102

272,7∗164 C’ ≅ 0,93Reescrevendo a Eq.-11 com valor de C’, obteve-se F = 0,93m a Eq.- 12De acordo com a segunda lei de Newton, o valor de C’ deveria ser 1, logo que

Fr = m a = 1m a

Tendo o valor de C’, foi aplicada a “fórmula do erro percentual” ( II- 3g) para descobrir a

margem de erro do experimento. Os cálculos estão explícitos abaixo.

E% = |Xr−X ’Xr |.100E% = |1– 0,93

1 |.100 E% = 7%

IV- Conclusão

Foi notória a presença das leis fundamentais da dinâmica (1ª, 2ª e 3ª leis de Newton)

no experimento. Quando o carrinho entrava em movimento acelerado, a 2ª lei estava

“atuando” sobre ele e sobre massa suspensa. No momento em que o movimento da massa

suspensa era cessado pela colisão com o banquinho, o carrinho continuava sua trajetória com

velocidade constante. A 1ª lei estava em “atuação”. Quando o carrinho tinha seu movimento

cessado chocando-se com o elástico ao final do trilho e com a própria extremidade do trilho,

25

ele tinha sua trajetória mudada em decorrência de uma força que agia sobre ele de igual

intensidade só que sentido contrário a força que ele também desempenhava sobre o elástico e

a extremidade do trilho, era a presença da 3ª lei.

Para o experimento, foi feito o uso de uma única metodologia para determinar a

relação entre a força resultante e aceleração que atuam em um sistema, o objetivo do relatório.

Mesmo tendo conhecimento do caminho a ser tomado e do resultado na teoria, existiu certa

dificuldade na interpretação dos resultados e na própria obtenção desses.

Diante dos problemas que existiram para se chegar ao resultado final e a relativa

imprecisão do mesmo, mesmo contando com todo um aparato tecnológico, é surpreendente

saber que Newton usando equipamentos bem mais rudimentares que os atuais propôs

corretamente há séculos atrás qual é a relação entre a força resultante e a aceleração que

atuam em um sistema.

Como era de se esperar o resultado final obtido apresentou certa diferença da teoria,

logo que foi trabalhado com incertezas. Portanto, considerando a “margem de erro” (desvio

padrão) em decorrência de todo um conjunto de fatores, é possível dizer que o resultado

obtido atingiu as expectativas.

V - Referências Bibliográficas

[1] http://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton (Acessado em 17/05/2009)

[2] http://web.educom.pt/luisperna/biografia_newton.htm (Acessado em 17/05/2009)

[3] http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/newton/biografia.htm (Acessado em 17/05/2009)

26

[4] http://www.suapesquisa.com/biografias/isaacnewton/ (Acessado em 17/05/2009)

[5] http://pt.wikipedia.org/wiki/Philosophiae_Naturalis_Principia_Mathematica (Acessado em 17/05/2009)

[6]Bonjorno R.A , Bonjorno J.R., Bonjorno V., e Ramos C.M. Física Completa,Volume Único. Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil,Editora FTD,2001, p.84 à 92.

[7] http://pt.wikipedia.org/wiki/Leis_de_Newton (Acessado em 21/05/2009)

[8]Nussenzveig H. M.Curso de Física Básica: Os princípios da dinâmica. 2ª edição. São Paulo, Editora Edgard Blucher Ltda, 1981.

[9]Halliday D., Resnick R.; tradução e revisão técnica Ronaldo Sérgio de Biasi. Fundamentos da Física1: Força e movimento. 8 ª edição, Rio de Janeiro, Ed. LTC, 2008.

[10] http://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a (Acessado em 22/05/2009)

[11] Hatsumi Mukai. Apostila Teoria De Erros, Física Experiemental 1 – UEM – CCE – Departamento de Física

[12]Hennies, C.E., Guimarães, W.N.O., e Roversi, J.A.Problemas Experimentais em Física. 3ª ed. Campinas, Editora da UNICAMP,1989.

[13] Hatsumi Mukai, Modelo de Relatório – Física Experimental 1

[14] Hatsumi Mukai, Experimento leis de newton

27