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RelaçõesTensão Deformação
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Divisão de Engenharia Mecânica
MT-717: Introdução a materiais e processos de fabricação
Dr. Alfredo R. de Faria
Dr. Ronnie Rego
2
Relações Plásticas Tensão Deformação3.
Conceitos de Tensão e Deformação2.
Introdução1.
Agenda
3
Processos de Fabricação: Estrutura do Curso
Plasticidade Fundamentos da Conformação
Tecnologias de Conformação
Processos Não-Convencionais
Comportamento mecânico
Tipos de Falhas Análise de tensão
e deformação Relações plásticas Escoamento
plástico
Classificação Modelos
preditivos Influências: atrito,
temperatura; taxa de deformação e anisotropia.
Ensaios de conformabilidade
Trefilação Laminação Forjamento Extrusão Estampagem Estiramento Repuxamento
Soldagem a Ponto Metalurgia do Pó
F
dx
4
Relações Plásticas Tensão-Deformação3.
Conceitos de Tensão e Deformação2.
Introdução1.
Agenda
5
Tensões principais e suas invariantes
P P
m
m m´
m´
A A´
O estado de tensões em um ponto é único. No entanto, esse estado de tensões pode ser descrito em diferentes sistemas de coordenadas
Exemplo: um vetor em 2D cujas componentes são descritas em dois sistemas de referência diferentes
x
yy
6
O
x
z
y
dAz
zxzy
resultante de tensão
plano de corte
Tensões de cisalhamento no plano z: zx e zy
Tensão normal no plano z: z
zzyzyxzx eeet
ez
ex
ey
Tensões principais e suas invariantes
Tensões diferentes surgem dependendo do plano de corte
7
xx
xy
xz
yxyz
y
z
zx
zy
y
yzyx
xy
xz
z
zyzx
z
x
y
zzyzx
yzyyx
xzxyx
][
A B
A B
O
Tensões principais e suas invariantes
Convenção de sinais e notação para tensões em um ponto
8
x
y
yzyx
xy
xz
z
zyzx
z
x
y
dy
dx
dz
dyy
yy
dyyyx
yx
dyyyz
yz
dxxxz
xz
dxxxy
xy
dxx
xx
dzz
zz
dzzzx
zx
dzzzy
zy
Tensões principais e suas invariantes
Equações de equilíbrio (volume infinitesimal)
9
yxxy
zxxz zyyz
02
)(2
)(2
)(2
)(
2)(
2)(
2)(
2)()()(
dydydzdxx
dydydzdxdxdzdxdxdzdyy
dydxdydzz
dydxdy
dxdxdydxdxdydzz
dydxdzdyy
dxdydzdxx
xxxy
yy
zxzxzx
zyzy
zyyx
yxxy
xy
Tensões principais e suas invariantes
Equilíbrio de momento em torno do eixo z
Analogamente, equilíbrio de momento em torno dos eixos x e y
10
0
dxdydzbdxdydxdydzz
dydzdydzdyy
dydzdydzdxx
xzxzx
zx
yxyx
yxxx
x
0
xzxyxx bzyx
0
y
yzyxy bzxy
0
zzyzxz byxz
Tensões principais e suas invariantes
Equilíbrio de força: eixo x
Equilíbrio de força: eixo y
Equilíbrio de força: eixo z
11
y
xz
n
Any
AnxAnz
yzzyxzzxzzz
zyyzxyyxyyy
zxxzyxxyxxxn
nAnnAnnAnnAnnAnnAnnAnnAnnAnA
)()()()()()()()()(
n direção dada pelo vetor normal unitário {n} = {nx ny nz}T
t direção dada pelo vetor tangente unitário {t} = {tx ty tz}T
t
)()()(
yzzyyz
xzzxxz
xyyxxy
zzzyyyxxxt
tntntntntntn
tntntn
}]{[}{ nt Tt }]{[}{ nn T
n
Tensões principais e suas invariantes
Mudança do sistema de coordenadas
12
z
yx
y
z
x
yz
yx
zx
zy
xy
xz
y
z
x
yz
zxzy
xy
xz
z
y
z
y
]][[][][ ll T }]{}{}{[][ zyx nnnl
Mudança do sistema de coordenadas
Tensões principais e suas invariantes
13
Obter os extremos de n = {n}T[]{n} sujeito a {n}T{n} = 1.
Definição da função estendida: n* = n ({n}T{n} 1)
}0{}]){[]([
021
021
021
*
*
*
nI
nnnnn
nnnnn
nnnnn
zzzyzyxzxz
n
yzyzyyxyxy
n
xzxzyxyxxx
n
problema de autovalor
A solução do problema de autovalor fornece as tensões principais
1 2 3 e suas respectivas direções {n1}, {n2} e {n3}.No sistema de coordenadas principal não há tensões de cisalhamento.
Tensões principais e suas invariantes
14
Problema de autovalor
0)2()(
)(0
222
222
23
xyzxzyyzxxzyzxyzyx
xzyzxyzxzyyx
zyx
zyzxz
yzyxy
xzxyx
As raízes da equação polinomial cúbica correspondem às três tensões principais 1, 2 e 3
Uma vez que a equação característica não pode variar, definem-se seus coeficientes como invariantes de tensão:
x + y + z = I1
xy + yz + xz xy2 yz
2 xz2 = I2
xyz + 2xyyzxz xyz2 yxz
2 zxy2 = I3
Tensões principais e suas invariantes
15
Exemplo: determine as tensões principais do estado de tensões
MPa 28000020024002400
Tensões principais e suas invariantes
I1 = x + y + z = 200 280 = 80 MPa
I2 = xy + yz + xz xy2 yz
2 xz2 = 200(280) (240)2 = 113600
I3 = xyz + 2xyyzxz xyz2 yxz
2 zxy2 = 16128000
3 + 802 113600 16128000 = 0
1 = 360 MPa, 2 = 160 MPa, 3 = 280 MPa
16
Tensões principais (máximas) de cisalhamento
Trabalhando no sistema de coordenadas principais 123
Tensões principais e suas invariantes
1
3
2 nta
tb
Há uma direção normal: {n}
Há duas direções tangentes: {ta} e {tb}
A matriz de transformação e sua inversa são
bzbybx
azayax
zyxT
bzazz
byayy
bxaxx
ttttttnnn
llttnttnttn
l ][][,][ 1
As seguintes relações são válidas:
taxtay + tbxtby + nxny = 0 tax2 + tbx
2 = 1 nx2 = ny
2 + nz2
taxtaz + tbxtbz + nxnz = 0 tay2 + tby
2 = 1 ny2 = nx
2 + nz2
taytaz + tbytbz + nynz = 0 taz2 + tbz
2 = 1 nz2 = nx
2 + ny2
17
Tensões principais (máximas) de cisalhamento
A resultante do cisalhamento ao quadrado é dada por
2 = a2 + b
2 =
nx21
2tax2 + ny
222tay
2 + nz23
2taz2 +
2nx1taxny2tay + 2nx1taxnz3taz + 2ny2taynz3taz +
nx21
2tbx2 + ny
222tby
2 + nz23
2tbz2 +
2nx1tbxny2tby + 2nx1tbxnz3tbz + 2ny2tbynz3tbz
Tensões principais e suas invariantes
Aplicando as relações do slide anterior
2 = (1 2)2nx2ny
2 + (1 3)2nx2nz
2 + (2 3)2ny2nz
2
18
Tensões principais (máximas) de cisalhamento
As tensões principais de cisalhamento ocorrem nas seguintes combinações:
Tensões principais e suas invariantes
nx ny nz
0 1/2 1/2 1 = (2 3)/2
1/2 0 1/2 2 = (1 3)/2
1/2 1/2 0 3 = (1 2)/2
Tensão de cisalhamento máxima max = (1 3)/2
19
Tensor desviante e esférico
O tensor de tensões pode ser dividido em dois: tensor desviante e tensor esférico (também denominado hidrostático ou médio)
O tensor desviante (´ij) envolve tensões de cisalhamento e, por isso, resulta em deformação plástica
O tensor esférico (m) produz apenas mudanças elásticas de volume e não resulta em deformação plástica
y
x
xy
m
(x y)/2
xy
m
(y x)/2
20
Tensor desviante e esférico
O tensor desviante possui componentes principais dadas pela equação
(´)3 J´1(´)2 J´2´ J´3 = 0onde
J´1 = ´x + ´y + ´z = (x m) + (y m) + (z m) = 0
J´2 = xy2 + xz
2 + yz2 ´x´y ´x´z ´y´z =
= [(x y)2 + (x z)2 + (y z)2 + 6(xy2 + xz
2 + yz2)]/6
J´3 é o determinante de [´]
32
32
32
][,3
yxzyzxz
yzzxy
xy
xzxyzyx
ijmijijzyx
m
21
Círculo de Mohr
Duas dimensões: estado plano de tensão z = xz = yz = 0y
x
xyxy x
y
T
z
Ty
Tx
n
nn
}100{}{
}0cossin{}{}0sincos{}{
2cos2sin2
)sin(coscossin)(
2sin2cos22
cossin2cossin
2sin2cos22
cossin2sincos
1000cossin0sincos
00000
1000cossin0sincos
22
22
22
xyxy
xyxyyx
xyyxyx
xyyxy
xyyxyx
xyyxx
yxy
xyxT
zzyzx
zyyyx
zxyxx
22
Círculo de Mohr
22
22
22
2cos2sin2
2sin2cos22
xyyx
yxyx
x
xyxy
yx
xyyxyx
x
equação de uma circunferência
Um ângulo de rotação corresponde a um ângulo 2 no círculo de Mohr
O mesmo sentido de rotação deve ser usado
Tensões de cisalhamento que causam rotação no sentido horário ficam acima do eixo horizontal do círculo de Mohr
y
x
1
2
maxxy
xy
O
A
B
DE 2
y
x
xy
23
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
0 45 90 135 180
Tens
ões,
σx
e τx
y [M
Pa]
Rotação, ϴ [°]
σ'x τ'xy
Círculo de Mohr
45° 45°
24
Círculo de Mohr
Círculo de Mohr em três dimensões
Todos os possíveis estados de tensão estão na área sombreada
1
2
3
3
21
1
23
25
Diferentes processos, diferentes estados de tensão
Círculo de Mohr: Processos de Conformação
1
2
3
4
51 Estiramento
2 Forjamento de matriz aberta
3 Estampagem profunda
4 Laminação
5 Corte
26
y
x
z
P p
XY
Z
trajetória de um ponto material
configuraçãoinicial
configuraçãoatual
t0
t
X, Y, Z coordenadas Lagrangeanasx, y, z coordenadas Eulerianas
),,,(),,,(),,,(
tZYXzztZYXyytZYXxx
A mudança de configuração de um corpo é denominada transformação
Transformações envolvendo mudança de forma e volume são deformações
Deformações principais e invariantes
Configuração de um corpo: transformação
27
X
Y
Z
C
A
B
O
c
a
b
o
dYdX
dZw u
v
dZZuu
dXXuu
dYYuu
dXXvv
dYYvv
dZZvv
dXXww
dYYww
dZZww
(/2 xz)
A(X + dX, Y, Z)
B(X, Y + dY, Z)
C(X, Y, Z + dZ)
uA = u + (u/X)dXvA = v + (v/X)dXwA = w + (w/X)dX
uB = u + (u/Y)dYvB = v + (v/Y)dYwB = w + (w/Y)dY
uC = u + (u/Z)dZvC = v + (v/Z)dZwC = w + (w/Z)dZ
Deformações principais e invariantes
Deformação: problema geométrico Independe de propriedades mecânicas → válido em regime elás co e plás co
28
dXdXoa
OAOAoa
x
XudX
XudX
Xw
Xv
XudXoa
wdXXwwvdX
XvvudX
XuudXoa
1211
)(
2/1222
2222
Zw
Yv
Xu
zyx
,,
Deformações principais e invariantes
Interpretação geométrica das deformações Deformações normais
29
))((2)()()(ˆcos
222
ocoaacocoacoa
222)(,1,1
dZZudXdX
XwdZac
ZwdZoc
XudXoa
Zu
Xw
dXdZdXdZZudXdZXwcoa
2
)/(2)/(2ˆcos
Zv
Yw
Yu
Xv
Zu
Xw
yzxyxz
,,
Deformações principais e invariantes
Interpretação geométrica das deformações Deformações de cisalhamento
30
y
x
z
PpX
),,,(),,,(),,,(
tZYXzztZYXyytZYXxx
dx
u
u + du
dX
dZdYdX
Zz
Yz
Xz
Zy
Yy
Xy
Zx
Yx
Xx
dzdydx
XFx dd
configuraçãoatualconfiguração
inicial
Deformações principais e invariantes
Configuração de um corpo: transformação
31
XFx dd
gradiente da transformação
XHu ddZdYdX
Zw
Yw
Xw
Zv
Yv
Xv
Zu
Yu
Xu
dwdvdu
d
Xxu
HIF
Deformações principais e invariantes
Gradiente da transformação
32
y
x
z
PpXP
xX
XFx ΔΔ
)()()()()()( XFFXxxXX TTTT
0)]([)( XFFIX TT IFF T
xp
)()( PPPp XXFuXXXFxx
Translação pura u = xp XP seguida de rotação pura F(X XP)
Gradiente da transformação e movimento de corpo rígido
configuraçãoatual
configuraçãoinicial
Deformações principais e invariantes
33
22][
}{2
}{2)(2
)()(
)]([)()()()()()()()(
)()()(
2
22
22
2
2
HHHHIFF
IFFXIFFX
XIFFXXFFXxx
XX
TTT
TT
TT
TT
TTT
T
nndSd
dSd
dSdSds
dddSdsddddds
dddS
}]{[}{}]{[}{ nnnn TT }]{[}{ nln
TT llll ]][][[][]][[][][
Deformações principais e invariantes
Tensor de deformações de Green: Opção para representação da deformação, seguindo mesmo método aplicado
para transformação do tensor de tensões
34
Relações deformação deslocamento
Sendo:
Deformações principais e invariantes
zyzxz
yzyxy
xzxyx
][
222
222
222
21
21
21
Zw
Zv
Zu
Zw
Yw
Yv
Yu
Yv
Xw
Xv
Xu
Xu
z
y
x
2][ HHHH TT
Zw
Yw
Xw
Zv
Yv
Xv
Zu
Yu
Xu
H
Tensor de Deformações
35
Relações deformação deslocamento
Deformações principais e invariantes
zyzxz
yzyxy
xzxyx
zyzxz
yzyxy
xzxyx
2/2/2/2/2/2/
][
Yw
Xw
Yv
Xv
Yu
Xu
Xv
Yu
Zw
Xw
Zv
Xv
Zu
Xu
Xw
Zu
Zw
Yw
Zv
Yv
Zu
Yu
Yw
Zv
xyxy
xzxz
yzyz
2
2
2
deformação de deformação decisalhamento de cisalhamentoengenharia matemática
xy xy
xy
36
Yu
Xv
Zu
Xw
Zv
Yw
Zw
Yv
Xu
xyxzyz
zyx
Pequenas deformações
Hipótese: |ui/Xj| << 1
Embora |ui/Xj| << 1 leve a pequenas deformações, nada pode ser afirmado a respeito dos deslocamentos. Existem casos práticos relevantes onde as deformações são pequenas, mas os deslocamentos são grandes.
Deformações principais e invariantes
37
x, X
y, Y
LL
uP(X, Y, Z)
p(x, y, z)
sincossincos XYyYXx
00001cossin0sin1cos
1000cossin0sincos
1000cossin0sincos
HF
ZYX
zyx
[] = [0]. Porém, o tensor de pequenas deformações é
00001cos0001cos
Exemplo de rotação pura
Deformações principais e invariantes
38
Deformações principais e invariantes
Deformações se transformam segundo a mesma regra das tensões. Logo, é possível também obter deformações principais assim como foi feito com tensões.
0)2()(
)(0
222
222
23
xyzxzyyzxxzyzxyzyx
xzyzxyzxzyyx
zyx
zyzxz
yzyxy
xzxyx
As raízes da equação polinomial cúbica correspondem às três deformações principais 1, 2 e 3
Uma vez que a equação característica não pode variar, definem-se seus coeficientes como invariantes de deformação:
I1 = x + y + z
I2 = xy + yz + xz (xy2 + yz
2 + xz2)/4
I3 = xyz + (xyyzxz xyz2 yxz
2 zxy2)/4
39
Deformações principais e invariantes
As raízes da equação cúbica 3 I12 + I2 I3 = 0 correspondem às deformações principais. As direções principais de deformação {nxi nyi nzi}T são obtidas pela solução do sistema indeterminado
000
zi
yi
xi
izyzxz
yziyxy
xzxyix
nnn
As deformações de cisalhamento principais são dadas por
1 = 2 3 2 = 1 3 3 = 1 2
onde a deformação de cisalhamento máxima é dada por 2
40
Deformações principais e invariantes
Em geral as deformações em um sólido envolvem uma combinação de mudança de volume e mudança de forma
A deformação volumétrica é a mudança de volume por unidade de volume
1)1)(1)(1()1)(1)(1(
zyxzyx
dxdydzdxdydzdxdydz
Para pequenas deformações
equivalente ao primeiro invariante I1 do tensor de deformações
Define-se m em como deformação média (ou esférica)
zyx
33
zyxm
41
Deformações principais e invariantes
32
32
32
][
yxzyzxz
yzzxy
xy
xzxyzyx
mzzyzx
yzmyyx
xzxymx
ijmijij
Mudança de forma: tensor de deformações desviante [´]
42
Definição: variação da deformação ao longo do tempo do processo
Taxa de deformação
Faixa de taxa de deformação [s-1]
Tipo de ensaio
10-8 a 10-5 Ensaio de fluência com carregamento ou tensão constante
10-5 a 10-1 Ensaios de tração "estáticos"(equipamento acionado hidraulicamente ou por fuso)
10-1 a 102 Ensaios dinâmicos de tração ou compressão
102 a 104 Ensaios de alta velocidade, com barras de impacto (considerando efeito de propagação de onda)
104 a 108 Impacto de hipervelocidade, usando pistolas a gas ou projéteis movidos por explosão (ondas de choque)
Lv
dtdu
LdtLud
dtLLd
dtd
1)]/1[ln()]/[ln( 00
43
Influência no escoamento, particularmente a temperaturas elevadas Relação com tensão: temperatura e deformação constantes:
– Onde C e m são constantes
Taxa de deformação
1
2
T
mC,
)(
)/ln(/)/( 12 m
44
Relações Plásticas Tensão Deformação3.
Conceitos de Tensão e Deformação2.
Introdução1.
Agenda
45
Relações Plásticas de Tensão e Deformação
Regime Elástico: Relação entre tensões e deformações Lei de Hooke ( = E)
independentemente de como esse estado de tensão foi atingido
Regime Plástico: Deformações dependem do histórico das tensões
Evolução da deformação demanda abordagem incremental
determinar os incrementos de deformação plástica ao longo do carregamento
obter deformação total por meio de integração ou soma dos incrementos
46
Equações de Levy-Mises Deformações elásticas são desprezíveis (sólido idealmente plástico)
No escoamento uniaxial1 0, 2 = 3 = 0, m = 1/3 e as tensões desviantes são 1´ = 1 m = 21/3e 2´ = 3´ = 1/3
Conservação de volume: d1 = 2d2 = 2d3 → d1/d2 = 1´/2´ Generalizando:
Incrementos de deformação plástica são proporcionais às tensões desviantes
– Geometricamente o vetor de tensões desviantes e o vetor de deformações plásticas incrementais são paralelos.
Relações Plásticas de Tensão e Deformação: Equações de Levy-Mises
dddd
3
3
2
2
1
1
321 22
47
Equações de Levy-Mises
As equações de Levy-Mises podem ser escritas como
d1 = d1´ = d(21 2 3)/3
d2 = d2´ = d(22 1 3)/3
d3 = d3´ = d(23 1 2)/3
Da definição do conceito de deformação efetiva d = 2d/3
Isolando o termo d, a substituição nas equações de Levy-Mises produz
)(
21,)(
21,)(
21
213331223211
dddddd
48
Semelhanças com a Lei de Hooke:
I. No lugar de 1/E está a razão de proporcionalidade d/ . A razão de proporcionalidade pode ser obtida da curva de tensão deformação efetiva
II. No lugar de está 1/2
Relações Plásticas de Tensão e Deformação: Equações de Levy-Mises
)(
21,)(
21,)(
21
213331223211
dddddd
)]([1zyxx E
49
Relações Plásticas de Tensão e Deformação: Equações de Levy-Mises
Exemplo: cilindro de parede fina (raio/espessura = 20) sob pressão de 7 MPa. Encontrar a deformação plástica circunferencial. A curva de tensão deformação plástica é dada por = 170 0.25.
Tensão circunferencial: = 1 = pr/t
Tensão longitudinal: l = 2 = pr/2t = 1/2
Tensão radial: r = 3 = 0
Volume constante: d1 + d2 + d3 = 0, conclui-se que d2 = 0
Do conceito de tensão efetiva ou equivalente:
43)(
21,
43)(
21 1
21331
3211
dddddd
12/12
312
322
21 23])()()[(
22
50
Equações de Levy-Mises
Tensão circunferencial: 1 = pr/t = 7(20) = 140 MPa
Tensão efetiva: = 3(140)/2 = 121 MPa
Deformação efetiva: = (121/170)1/0.25 = 0.257
Deformação efetiva incremental:
Deformação circunferencial:
12/12
132
322
21 32])()()[(
32 dddddddd
222.0)257.0(23
23
23
011
ddd
51
As equações de Levy-Mises se aplicam somente a casos onde as deformações elásticas são desprezíveis
No caso de problemas elasto-plásticos é necessário considerar tanto as deformações plásticas como as elásticas: Equações de Prandtl Reuss
A deformação total é então dividida em duas parcelas:
dij = deijE + dij
P
Pela lei de Hooke, o incremento nos deformações elásticas é
O incremento nas deformações plásticas é
Relações Plásticas de Tensão e Deformação: Equações Prandtl-Reuss
ijkk
ijijkkijEij
dE
dE
dE
dE
de 3
2111
ijijPij
ddd
23
52
Trabalho de deformação plástica
No regime plástico o trabalho das tensões é dado por
dWP = ijdijP = (ij´ + mij)dij
P = ij´dijP
A última igualdade decorre de d1P + d2
P + d3P = 0
Pelas relações de Levy-Mises dijP = ij´d. Logo,
dddddW ijijPijij
P 2
32