Relaciones entre área y perímetro: convicciones de ...Relaciones entre área y perímetro: convicciones de maestros y estudiantes 4 Se trata de un desafío entre alumnos de diversos

Relaciones entre área y perímetro: conviccionesde maestros y de estudiantes1

Bruno D’Amore2

Martha Isabel Fandiño Pinilla2

RESUMEN

En esta investigación examinamos las convicciones de maestros y de estudiantes enlo que concierne a las relaciones existentes entre perímetro y área de una figura plana.La investigación se inserta en una corriente clásica, explorada por más de 60 años,pero que hoy incluye nuevos factores. En particular, se estudia el cambio de las con-vicciones, el lenguaje utilizado para expresar dicho cambio, el grado de incidencia quetienen los ejemplos dados, y, en particular, discutimos la idea según la cual precisa-mente las supuestas relaciones entre perímetro y área constituyen un ejemplo de laactitud no crítica del estudiante que tiende a confirmar aumentos o disminucionesentre entidades puestas en relación.

• PALABRAS CLAVE: Fundamentos teóricos, Matemática Educación, episte-mología, cognición y articulación de teorías.

ABSTRACT

In this research we examine the convictions of teachers and students regarding theexisting relations between perimeter and area of a flat figure. The research is inserted ina classical position, explored for more than 60 years, but that today includes newfactors. Particularly, the change of the convictions is studied, the language utilized toexpress that change, the degree of incident that have the given examples, and, particularly,we discuss the idea that the supposed relations between perimeter and area constitutean example of the not criticism attitude of the student that tends to confirm increasesor decreases among entities put in relation.

• KEY WORDS: Theoretical bases, mathematics education, epistemology,cognition and theories articulation

Fecha de recepción: 31 de agosto de 2006 / Fecha de aceptación: 14 de enero de 20071 Trabajo desarrollado en el ámbito del Programa de investigación de la Universidad de Bologna (Departamento deMatemática: ‘‘Aspetti metodologici (teorici ed empirici) della formazione iniziale ed in servizio degli insegnanti dimatematica di ogni livello scolastico’’.2 Gruppo di Ricerca e Sperimentazione in Didattica e Divulgazione della Matematica – Nucleo di Ricerca Didattica(RSDDM – NRD). Departamento de Matemática. Universidad de Bologna. Italia.

Relime Vol. 10, Núm. 1, marzo, 2007, pp. 39-68.

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RESUMO

Nesta investigação examinamos as convicções dos professores e dos estudantes noque concerne às relações existentes entre perímetro e área de uma figura plana. Ainvestigação se insere em uma corrente clássica, explorada por mais de 60 anos,porém que hoje inclui novos fatores. Em particular, se estuda a troca das convicções,a linguagem utilizada para expressar essa troca, o grau de incidência que tem osexemplos dados; e, em particular, discutimos a idéia segundo a qual precisamente assupostas relações entre perímetro e área constituem um exemplo da atitude nãocrítica do estudante que tende a confirmar aumentos ou diminuições entre taisconceitos.

• PALAVRAS CHAVE: Fundamentos teóricos, Educação Matemática,epistemologia, cognição e articulação de teorias.

RÉSUMÉ

Dans cette recherche, nous examinons les certitudes de maîtres et d’élèves en ce quiconcerne les rapports entre le périmètre et l’aire d’une figure plane. La recherches’inscrit dans un courant classique, exploré pour plus de 60 ans, lequel a inclusrécemment de nouveaux éléments. En particulier, ont été étudiés le changement descertitudes, le langage utilisé pour exprimer ce changement, le degré d’incidence qu’ontles exemples donnés, et en particulier, il est discuté l’idée selon laquelle il est possiblede préciser que les rapports supposés entre le périmètre et l’aire sont un exemple del’attitude non critique de l’élève qui tend à confirmer d’augmentations et de diminutionsentre les entités mises en relation.

• MOTS CLÉS: Fondements théoriques, Didactique des mathématiques,épistémologie, cognition et articulation des théories.

1. PREMISA Y CUADRO TEÓRICO

Las investigaciones sobre el problema delaprendizaje de los conceptos de perímetroy área de las figuras planas pueden osten-tar el título de haber sido las primeras enser estudiadas. Después de haberse ocu-pado del nacimiento del pensamiento y dellenguaje en el niño y, años después, de laadquisición-construcción de la idea de nú-

mero (en sus varias acepciones), Piaget seocupó, a partir de los años treinta del sigloXX, de las construcciones conceptualesrelacionadas con la Geometría. Entre lasdiversas obras, que sería aquí imposiblecitar, nos limitaremos a aquellas en lascuales aparecen explícitamente el períme-tro y el área o referencias a estos concep-

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Relaciones entre área y perímetro: convicciones de maestros y estudiantes

3 En 1979 aún no estaba totalmente difundida la teoría de los obstáculos de Brousseau (Brousseau, 1976; 1986;1989); por lo tanto, los autores utilizaban términos que en el momento actual, dentro de este marco teórico, deberíanser precisados; nos parece, sin embargo, que la idea de “obstáculo conceptual” de Rogalski se puede asociar conla idea de “obstáculo epistemológico” de Brousseau, pero evidenciando el factor relativo a la dificultad de aprendi-zaje, más que a hechos históricos.

tos (Piaget, 1926; Piaget, 1937; Piaget,Inhelder & Szeminska, 1948; Piaget &Inhelder, 1962). A estas obras de base si-guieron rápidamente, en los años 50 y 60,estudios realizados por alumnos o segui-dores del Maestro ginebrino, basados enlas mismas certezas tomadas de la epis-temología genética, por ejemplo Vihn et al.(1964), Vihn & Lunzer (1965). Señalamostambién el estudio de Battro (1983), quienrepite todos los célebres experimentos delMaestro.

Son éstos, estudios clásicos, los que haninfluido por más de veinte años en los aná-lisis sucesivos sobre dicho tema, los cua-les se centraban principalmente en losfracasos de jóvenes alumnos en determi-nados estadios de edad. En particular, eneste sentido se estudiaron con mucha aten-ción, entre otras, las ideas de longitud y desuperficie, lo que evidenció la gran dificul-tad que los alumnos tienen para apropiar-se de la idea de superficie. Más aun, lasinvestigaciones pusieron en evidenciacómo, al variar la forma, el joven estudiantetiende a no ser capaz de aceptar la posibleinmutabilidad de la medida de la superficie.La dificultad ligada a falsas relaciones en-tre área y perímetro, según estas investi-gaciones, parece perdurar hasta los 12años, y está poco relacionada con el desa-rrollo lingüístico del sujeto.

[Es bien conocido que las conclusiones dePiaget fueron sometidas a severas críticasen posteriores estudios; con el fin de hacermenos pesado este trabajo, remitimos aResnick & Ford (1981, en especial al capí-tulo 7)].

A estos estudios preliminares y clásicossiguieron numerosas investigaciones; tan-tas, que es imposible hacer aquí un cuadrocompleto; nos limitaremos (siguiendo un re-corrido cronológico) sólo a aquellos quehacen referencia específicamente a las di-ficultades en el aprendizaje del perímetro ydel área. Dichas investigaciones han con-dicionado sin ninguna duda la dirección denuestra actual investigación.

En Rogalski (1979) se señala cómo uno delos grandes problemas del aprendizaje delas superficies está en que existen "obstá-culos conceptuales" específicos que se re-fuerzan los unos en los otros3. Las dificul-tades sobresalientes son los cambios enlas dimensiones, el estatuto específico delas unidades de medida, sus relaciones conlas unidades de longitud y las medidas es-paciales.

En Gentner (1983), con mucha cautela, sesugiere el uso de materiales concretos sen-cillos para las primeras aproximaciones ala geometría en general, y al estudio de lassuperficies en particular.

La idea de modelo intuitivo está muy bienexplicada en Fischbein (1985): "Para crearuna base intuitiva en la investigación inte-lectual, a los conceptos y a las operacio-nes mentales, tendemos a asociar espon-táneamente modelos significativos desdeel punto de vista intuitivo (...) Un modelointuitivo tiene siempre un significado pictó-rico-comportamental e induce siempre efec-tos de aceptación inmediata. (...)" (pp. 14-15); pero: "La insistencia excesiva en darsugerencias intuitivas usando representa-

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ciones artificiales o demasiado elaboradaspueden hacer más mal que bien" (p. 18).

Un discurso mucho más general fue pro-puesto por Speranza (1987); junto a con-sideraciones generales de extraordinariointerés cultural, se demuestra cómo lasdificultades conceptuales relevadas, encuestiones relacionadas con el área y elperímetro, en la escuela primaria, perma-necen en alumnos avanzados, inclusoen la universidad. [Veremos confirmarseesta afirmación en el trascurso de estetrabajo].

Iacomella & Marchini (1990) proponen unainteresante reflexión, en la cual se eviden-cia la existencia de un contraste entre lasmedidas directas (como, por ejemplo, elgeoplano, cuadrículas, teorema de Pick)e indirectas de una superficie (por ejemplorecurriendo a las fórmulas, usando lasmedidas lineales) y cómo este contrastepuede constituir una dificultad conceptualpara la comprensión de este argumento.

En el artículo de Tierney, Boyd & Davis(1990) se afronta el tema de las concep-ciones que tienen los docentes de la es-cuela primaria con respecto al área; espor demás relevante que se evidencie losiguiente: primero, dichas concepcionesa veces coinciden con las de los alumnos;segundo, el área es puesta en relación conlas fórmulas para calcularla, más que conun concepto general. En un cierto senti-do, esta investigación puede ser interpre-tada como el punto de partida de todosaquellos que indagan sobre las concep-ciones de los docentes y, por tanto, deltrabajo que aquí estamos presentando.

En Outhred & Mitchelmore (1992) se pre-sentan casos de niños de los últimos añosde la escuela primaria capaces de con-frontar superficies de figuras rectangulares,pero que no estaban en disposición de pa-

sar de esta experiencia a las medidas desuperficie. En general, el artículo está dedi-cado a las dificultades específicas en la con-ceptualización del área y del perímetro porparte de los alumnos de la escuela prima-ria. Normalmente, en la actividad de ense-ñanza se tiene como premisa que, si unalumno aprende a calcular el área del rec-tángulo, está listo para aprender a medirlas áreas de cualquier otra figura geométri-ca. Aquí se muestra, al contrario, como estoes sólo una ilusión.

Un amplio estudio, considerado un clásicopor muchos investigadores, es el de Rouche(1992); en éste se demuestra cómo el rec-tángulo constituye el punto de partida másimportante para la adquisición del concep-to de superficie, el punto crucial, la figurapor excelencia, dado que a ésta recurrencasi todas las otras figuras que el alumnoconocerá en la escuela primaria y, cierta-mente, las primeras (triángulo, paralelogra-mo, trapecio...). Se insiste también en quela determinación del área de un rectángulocomo producto de las medidas de dos seg-mentos sea aún ejemplo del uso de medi-das indirectas, hecho difícil de aceptar y,por tanto, de construir conceptualmente.Aparentemente, hay una contradicción en-tre las dos investigaciones mencionadas,pero no es así: en la primera se muestracómo dominar los elementos del rectángu-lo no es condición suficiente para asegurarel dominio de los elementos de las demásfiguras, en particular en lo referente al con-cepto de área; en la segunda se muestracómo, de todas maneras, la figura privile-giada al inicio del aprendizaje de este argu-mento es, sin lugar a dudas, el rectángulo.

Consideramos de gran importancia la inves-tigación de Giovannoni (1996), en la que sediscuten y se repiten célebres experimen-tos de Piaget sobre el problema de lacomprensión del concepto de superficieen niños de entre 3 y 6 años; se demuestra


4 Se trata de un desafío entre alumnos de diversos países, sobre la base de pruebas que una comisión prepara; esteconcurso tiene una gran difusión en Suiza y en Italia, principalmente.

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con contundencia que dicho concepto noestá por sí mismo fuera del alcance de losniños, como se aseguraba en el pasado,sino que esta conquista depende de lascondiciones del entorno, en particular lasreferidas al lenguaje y a la propuesta demodelos específicos adecuados (hojas ver-des interpretadas como tales y no comoprados; áreas superficiales como tales yno como hierba para vacas). Por lo tanto,poseer un lenguaje específico tiene unaprofunda incidencia en la construcción dedicho concepto: el uso ambiguo del adjeti-vo “grande” viene sustituido lenta y cons-cientemente por “extenso”, asegurando unnotable éxito en el aprendizaje incluso ensujetos de 5 años.

En los trabajos de Moreira & Comiti (1993)y Moreira (1996) se hace énfasis en lasdificultades que tienen los estudiantes delos últimos años de la escuela primaria parareconocer las medidas de una figura comouno de los elementos que la determinan y,en particular, en el primer trabajo, a sepa-rar las medidas de área y perímetro y, enel segundo, a adquirir la idea de área deuna figura plana. En estos trabajos se ponede manifiesto cómo el aprendizaje de losdiferentes elementos de la medida de mag-nitudes geométricas es específico y dife-rente en cada caso. La idea del área deuna figura plana no siempre es reconocidacomo una característica de dicha figura.

Marchini (1999) habla del conflicto entrelos dos conceptos y de la forma didácticacomo se podría afrontar el argumento conel fin de alcanzar resultados positivos; suartículo contiene consideraciones de granimpacto y de amplio espectro no sólo di-dáctico, sino también matemático y epis-temológico.

En Medici (1999) se discute la formulaciónlingüística de los enunciados de los proble-mas de geometría, y se pregunta si no se-ría conveniente recurrir a un lenguaje menospreciso y más accesible evitando el usoexcesivo de fórmulas.

Otro estudio de gran interés es el de Ja-quet (2000), en el cual se presenta y sediscute con profundidad un problema pro-puesto a alumnos de 3° y 4° de primaria,en el curso del Rally matemático transalpi-no4 en los meses de enero y febrero de2000; en dicho problema, original en su for-mulación, se pide confrontar áreas de figu-ras no estándar, de las cuales no se danmedidas ni de superficie ni lineales. Se es-tudian la formas en que los sujetos afron-tan el problema, y se muestra la complejidadde los procesos puestos en juego por losalumnos, quienes mezclan métodos direc-tos e indirectos cuando intentan calcular elárea y el perímetro de los polígonos queaparecen en el diseño. Se trata de un inte-resante estudio que demuestra la comple-jidad de la relación entre los dos conceptos.

Un trabajo que seguimos de cerca, inclusoen su desarrollo, es el de Chamorro (1997);la autora analiza ocho aspectos distintosque determinan los entornos de aprendiza-je en lo que concierne con la medida (engeneral), tomando como referencia lasideas de Guy Brousseau; esos aspectosson: objeto soporte, magnitud, valor parti-cular (o cantidad de magnitud), aplicaciónde la medida, medida imagen, medida con-creta, medición, orden de magnitud. La in-vestigación de Chamorro se refiere a lamedida en general y demuestra la comple-jidad del tema, especialmente en lo rela-cionado con el aprendizaje. Entre losejemplos específicos que se hacen, apare-

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cen precisamente el contorno y la superfi-cie: “En la superficie, en cuanto medidaproducto, confluyen múltiples obstáculosconceptuales. Entre éstos, la relación quelas unidades de superficie conservan conlas unidades de longitud, siendo las se-gundas la base de las primeras como pro-ductos de medidas. Dichas relacionespueden ser comprendidas sólo a partir derelaciones espaciales que a su vez debenser coordinadas con relaciones multiplica-tivas. La coordinación entre la linealidadde cada una de las dimensiones y la linea-lidad de las superficies debe poder ser ga-rantizada a través de un modelo geométricoque ayude a visualizar dichas relaciones”.

A la tesis de doctorado de Chamorro sigueun largo artículo que la resume y la profun-diza al mismo tiempo, Chamorro (2001,2002); en este artículo se analizan expe-riencias realizadas en la escuela primariaa propósito del problema de la enseñanza-aprendizaje de la medida y en forma parti-cular del perímetro y del área; el objetivode este estudio es el de contribuir a la rea-lización de exitosas situaciones a-didácti-cas y de ingeniería dirigidas a eliminar o,por lo menos, a limitar las conocidas difi-cultades en el aprendizaje de la medida.

Un estudio de Montis, Mallocci & Polo(2003) confirma lo que la práctica eviden-cia; es decir, que los jóvenes alumnos en-tre 6 y 8 años identifican la figura de mayorextensión con la de mayor longitud o conla más alta.

En la investigación de Medici, Marchetti,Vighi & Zaccomer (2005) se evidencian laspreconcepciones y los procesos espontá-neos que alumnos entre 9 y 11 años (4° y5° año de la escuela primaria italiana) po-nen en juego cuando deben resolver situa-ciones problemáticas que involucran el áreay el perímetro; recurriendo a tests y a en-trevistas, los autores insisten en que es-

tas dos ideas fundamentales constituyenobstáculos epistemológicos.

Como se ve, el cuadro científico de referen-cia, aun en las limitaciones de contenidoque nos impusimos, es extremadamentecomplejo y amplio.

2. PROBLEMAS DE LAINVESTIGACIÓN

Es evidente, por lo tanto, que los dos con-ceptos geométricos: perímetro y área deuna figura plana, tienen muchos elemen-tos en común sobre el plano científico, peromuchos otros que son simplemente su-puestos sobre el plano de las misconcep-ciones, comunes en los estudiantes detodo grado escolar.

Por ejemplo, las investigaciones han de-mostrado ampliamente (véanse Stavy & Ti-rosh, 2001; y muchos de los artículos cita-dos líneas arriba) que gran número deestudiantes de todas las edades están con-vencidos de que existe una relación de es-trecha dependencia entre los dos concep-tos sobre el plano relacional, del tipo:

Si A y B son dos figuras planas, enton-ces:

• si (perímetro de A > perímetro de B) entonces (área de A > área de B)• ídem con <• ídem con = (por lo cual: dos figuras iso-perimétricas son necesariamente equi-extensas);

y viceversa, cambiando el orden"perímetro-área" con "área-períme-tro".

Este tema difícilmente se propone con ob-jetivos didácticos en forma explícita, en par-


5 Consideramos de interés declarar explícitamente que nos serviremos de las siguientes interpretaciones de dichostérminos (propuestas también con claridad en: D’Amore & Fandiño, 2005):

• convicción (belief) (o creencia): opinión, conjunto de juicios/expectativas, lo que se piensa a propósito de algo;

• el conjunto de las convicciones que alguien (A) tiene sobre algo (T) son las concepciones (K) de A relativas aT; si A pertenece a un grupo social (S) y comparte con los otros miembros de S dicho conjunto de conviccionesrelativas a T, entonces K es la concepción de S relativa a T.

Generalmente, al puesto de "concepción de A relativa a T" se habla de la "imagen que A tiene de T".

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te, según algunos maestros, por una su-puesta dificultad.

Podemos preguntarnos si los maestros decualquier grado escolar tienen concienciade este problema o si, por casualidad, tam-bién en algunos de ellos existen problemasde construcción conceptual. Esta eviden-cia tiene que ver con el problema de lasconvicciones y de las concepciones de losmaestros5.

Los estudios sobre la importancia de lasconcepciones que la sociedad, la gentecomún, ciertos grupos sociales, losmaestros, los estudiantes tienen de lamatemática, incluso en lo que concierne aprocesos que van más allá de la ense-ñanza y del aprendizaje de la misma,tienen un origen reciente. Sin embargo,estos revelaron inmediatamente el granimpacto que estas consideraciones tienensobre el aprendizaje y sobre la enseñan-za. Schoenfeld (1992) llegó a afirmar quecada individuo conceptualiza la matemáti-ca y se ubica en el ambiente matemáticoprecisamente sobre la base del sistema desus propias convicciones sobre la mate-mática; por lo tanto, sobre la base de lasconcepciones que tiene de la matemática.Es dicha concepción la que determina nosólo las modalidades de esa inserción,sino también las sensaciones que el indi-viduo experimenta después de que estainserción ha ocurrido. De esto se deducela imposibilidad de separar conocimiento(de la matemática) y convicción (sobre lamatemática) en los profesores (Fennema& Franke, 1992), lo que además conllevaa afirmar, como obvia consecuencia, que

las decisiones que los profesores tomanestán determinadas por los dos factores,lo que ulteriormente explica la notable im-portancia que en el momento actual tienela investigación en el campo de las con-vicciones (Thompson, 1992; Hoyles, 1992;Pehkonen & Törner, 1996; Krainer et al.,1999).

Interesantes consideraciones teóricas so-bre la estructura de las convicciones y so-bre las actuales investigaciones a este pro-pósito se encuentran en Törner (2002).

Por otra parte, hoy se reconoce universalmen-te que las convicciones forman parte impor-tante del conjunto de conocimientos, dadoque los determinan y los condicionan, comolo había relevado Schoenfeld (1983) haceya más de veinte años.

Desde los primeros momentos de interéspor este tipo de argumentos surgió unaespecie de análisis de los tipos de convic-ciones; en el trabajo de Schoenfeld (1992),por ejemplo, la distinción está hecha sobreel agente; así, distingue entre convicciones:

• del estudiante• del maestro• de la sociedad,

esta última, una distinción de hecho des-contada, pero no por eso libre de sorpre-sas, y, en todo caso, la más seguida preci-samente por su inmediatez.

A propósito del tercer punto, hoy sabemosque no es posible separar el análisis de lasconvicciones de un individuo de aquellas

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del grupo social al cual pertenece, dadoque éstas son, de todas formas, el resulta-do de complejas interacciones entre gru-pos sociales (Hoyles, 1992); por lo tanto,un estudio de este tipo debe estar inmersodentro del contexto social.

Un vasto y reciente trabajo que presentaun panorama sobre este tema, por lo me-nos en lo que se refiere a la comunidadPME, se encuentra en Llinares & Krainer(2006).

En los años que van del inicio de los estu-dios sobre las convicciones (inicio de ladécada de los ochenta) a la actualidad,han cambiado las metodologías para in-vestigar esas convicciones; al inicio, setrataba de individuar tipologías a las cua-les pertenecían los sujetos analizados; hoyse tiene como objetivo encontrar una rela-ción entre las convicciones expresadas porel sujeto analizado y su acción en el aula.Nosotros tuvimos esta posibilidad, queseguimos como metodología de investiga-ción, en particular en el caso de los do-centes. La metodología seguida fue, porlo tanto, la entrevista dividida en dos fa-ses: la primera, con una conducción aespejo, buscaba que el sujeto manifesta-ra sus propias convicciones sobre el temaobjeto de estudio; la segunda, de tipo re-flexivo, pidió al sujeto comparar sus pro-pias convicciones con la vida de aula.

Este tipo de metodología de análisis fueintroducida por Skott (1999) y fue sucesi-vamente reelaborada en situaciones aná-logas (Beswick, 2004). Una vez analiza-das las convicciones iniciales, se trata deanalizar qué cambio se opera en ellas des-pués de un determinado evento, por ejem-plo, como veremos, en nuestro caso, des-pués de la discusión con el investigador apropósito de las relaciones entre el área yel perímetro; esto se logra enfrentando al

sujeto con sus mismas declaraciones,antes y después.

Para obtener el objetivo, es necesario quelos sujetos hagan explícitas sus propiasconvicciones antes de la investigación, yesto se puede lograr recurriendo a decla-raciones escritas (D’Amore & Fandiño,2005), a entrevistas individuales registra-das, o a entrevistas colectivas conducidascon dos o tres sujetos, de forma que cadauno pueda testimoniar las afirmacionesde los otros. Nosotros seguimos las tresmetodologías, de acuerdo con las circuns-tancias.

Existe, además, otro factor importante,evidenciado por Azhari (1998), que trata-remos de expresar en forma breve: cuan-do existen dos relaciones ligadas mutua-mente, el estudiante intenta aplicar lasiguiente “ley de conservación”:

• si una determinada cosa crece, tam-bién esta otra, con la cual está rela-cionada, crece (y viceversa).

Ahora, el ejemplo que liga entre sí perí-metro y área parece conectar perfecta-mente con las consideraciones de Azhari(1998) (es más, éste es precisamente unode los ejemplos ofrecidos en este trabajo,citado por Stavy & Tirosh, 2001).

Si ponemos en relación los perímetros dedos figuras A y B con las respectivas áreas,nos parece que una forma convincente deevidenciar que las “leyes” enunciadas líneasarriba no son válidas es la de dar un ejem-plo para cada uno de los siguientes nuevecasos posibles:

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p S p S p S> > > = > <= > = = = << > < = < <

La primera casilla > > quiere decir:

• encontrar dos figuras tales que, pasan-do de la primera a la segunda, el perí-metro crezca y el área crezca

y así sucesivamente.

Para evitar dificultades, se puede siemprepartir de figuras simples, como por ejem-plo del rectángulo, cuando esto es posi-ble, haciendo diversas transformacionessobre él o sobre figuras que se derivan deéste. Consideramos necesario aclarar quelas figuras sobre las cuales conviene tra-bajar son las más habituales, es decir lasfiguras más usuales que se encuentran enlos libros de texto y en el salón de clase,para evitar complicaciones que se derivende la misma figura.

En el Apéndice se da un ejemplo de cadauna de las nueve situaciones indicadas, configuras elementales. Estos ejemplos nofueron mostrados a los sujetos involucra-dos en la prueba que se describe a conti-nuación; cada sujeto debía proporcionar losejemplos oportunos, por lo menos en unaprimera instancia.

3. PREGUNTAS, METODOLOGÍA DEINVESTIGACIÓN E HIPÓTESIS DE

RESPUESTA6

A un grupo de colaboradores7, docentesde escuela primaria, de escuela media,de escuela superior y de universidad, lespropusimos hacerse cargo de la investi-

6 Contrariamente a nuestra forma habitual de trabajar, no separamos estos tres puntos dado que éstos están, en estaocasión, profundamente ligados entre sí.7 Por “colaboradores” se entiende lo siguiente: en Italia existen grupos de investigación en didáctica de la matemática,reconocidos por el Ministerio de la Universidad y de la Investigación, adscritos a una determinada Universidad; elgrupo de Bologna se denomina RSDDM (www.dm.unibo.it/rsddm); de dichos grupos forman parte docentes de todoslos grados escolares a quienes oficialmente se identifica como “colaboradores de investigación”. Del grupo decolaboradores forman parte docentes universitarios o de grado equivalente.

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gación descrita líneas arriba. Decidimoshacer la investigación en todos los nivelesescolares para verificar si los resultadospodían estar relacionados, en forma espe-cífica, con dichos niveles o si, por el con-trario, se podían encontrar resultados inde-pendientes de la variable “nivel escolar”. Acada uno de los colaboradores dimos lassiguientes indicaciones que son, al mismotiempo, las preguntas explícitas de investi-gación, las relativas indicaciones metodo-logías y nuestras hipótesis de respuestas,subdivididas en tres puntos.

PUNTO 1

PROBLEMA de investigación Pr.1: Soli-citamos a todos los colaboradores some-terse ellos mismos a la prueba y, en unsegundo momento, aplicar la misma prue-ba a algunos de sus colegas de las escue-las primaria, media o superior, y a estudian-tes universitarios, futuros maestros enformación. El problema consiste en verificarsi, en un primer momento, en nuestros mis-mos colaboradores y, en un segundo mo-mento, en los demás sujetos que se some-tieron a la prueba, se verifica un cambio deconvicciones relativo a las relaciones entreárea y perímetro.

PREGUNTA de investigación Pg.1: ¿Esverdad o no es verdad que se pueden en-contrar ejemplos para todos los nueve ca-sos? ¿Es verdad o no es verdad que surgeespontáneamente la idea de que, en gene-ral, al aumentar el perímetro de una figuraplana aumenta también el área? ¿Es ver-dad o no es verdad que se necesita recurrir

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8 Como introducción del tema se les sugirió recurrir al llamado “problema de Galileo” de las plazas de dos pueblos,que veremos dentro de poco.

a las propias competencias, a las cons-trucciones cognitivas anteriores y a su pro-pia experiencia, para convencerse que lascosas no son así?

HIPÓTESIS de respuesta H.1: Conside-ramos que no sólo los alumnos, sino tam-bién algunos docentes y algunos colabo-radores tenían misconcepciones a propó-sito de supuestas relaciones necesariasentre perímetro y área de las figuras pla-nas. Que no fuera banal encontrar los nue-ve ejemplos indicados (especialmente enel caso en que el perímetro debe disminuiry el área aumentar, y viceversa). Inclusoque, después de haber visto los ejemplos,no fuera completamente aceptada. Comoindicadores de dichas misconcepcionespensamos asumir las mismas declaracio-nes de los colaboradores, de los maestrosentrevistados, de los estudiantes universi-tarios.

PUNTO 2

PROBLEMA de investigación Pr.2: Pe-dimos a todos los colaboradores hacer laspruebas con estudiantes de escuela pri-maria, media, superior y con estudiantesuniversitarios de todo tipo de facultad, yno sólo estudiantes que siguen curso uni-versitarios para la formación de futurosdocentes.

Cada uno de ellos fue invitado a introducirde forma oral, discursiva, el tema8 sobrelas mutuas relaciones entre perímetro yárea de figuras planas simples, y probar arealizar transformaciones, verificando si losestudiantes:

• aceptan espontáneamente• aceptan de buen grado después de un

ejemplo

• aceptan con dificultad después de va-rios ejemplos

• rechazan sin discusión• rechazan después de algún ejemplo

y que puedan ser válidas las nueve relacio-nes; es decir, que nada se pueda decir apriori de la relación entre “aumento (igual-dad, disminución) del perímetro” y “aumen-to (igualdad, disminución) del área de lasfiguras planas”. Cada colaborador tenía quehablar con los estudiantes y cumplir lassiguientes fases:

• proponer el problema, escuchar la pri-mera respuesta, registrarla según laescala anterior;

• proponer las nueve pruebas y ayudar alestudiante en su ejecución, escuchar ytomar nota de sus comentarios;

• llegar a una formulación explícita de lanueva convicción, en el caso de que éstase presentara.

A nosotros nos interesaban dos aspectosque constituyen el Problema de Investiga-ción Pr.2:

a) el cambio de las convicciones; es de-cir: si, después de algunos ejemplos,los estudiantes estaban dispuestos acambiar de convicción, según las hipó-tesis del marco teórico presentado an-tes, y si sobre esto incide la edad; paralograr esto era indispensable llevar a lossujetos a que expresaran sus convic-ciones antes y después de los ejem-plos; para alcanzar este objetivo, másque hacer un test, era esencial entre-vistar a los sujetos en pequeños gru-pos (dos o tres personas por grupo) oindividualmente. Sobre la metodologíade investigación usada en este particu-

lar punto, hicimos referencia en el aparta-do 2;

b) el lenguaje usado por los estudiantespara explicar su pensamiento, antes ydespués: ejemplos, discursos genera-les, frases, uso de diseños, de esque-mas...

PREGUNTA de investigación Pg.2: ¿Concuánta naturalidad y espontaneidad losestudiantes logran aceptar que no existenrelaciones obligadas entre el perímetro y elárea de las figuras planas? ¿Cómo varíaesta aceptación con la edad? ¿Resulta fá-cil aceptar los nueve ejemplos? ¿Cómo ex-presan sus convicciones al respecto? ¿Quétipo de lenguaje usan?

HIPÓTESIS de respuesta H.2: Conside-rábamos que los estudiantes, de cualquieredad, manifestarían una gran dificultad paraaceptar aquello que parece ser anti-intuiti-vo; es decir: opinábamos que más de unestudiante estaría convencido, antes de laprueba, de que al aumento del perímetrole correspondería necesariamente un au-mento del área, por ejemplo; y cuanto másanclado estuviera en una convicción intui-tiva, mayor sería su esfuerzo para aceptarel resultado de la misma prueba.

Con base en nuestras experiencias de in-vestigación, considerábamos que: confor-me avanzara la edad, esta aceptación au-mentaría netamente; que los sujetosencontrarían alguna dificultad para acep-tar los ejemplos; que la expresión de susconvicciones sería poco académica, dadoque éstas contrastan con las conviccio-nes construidas escolásticamente; que ellenguaje usado sería básicamente colo-quial, tal vez con el uso espontáneo degráficos y de diseños esquemáticos.

PUNTO 3

PROBLEMA de investigación Pr.3: Invi-tamos a los colaboradores a realizar la si-guiente prueba, a través de entrevistas in-dividuales con nuevos estudiantes de losúltimos años de escuela primaria (edad: 9a 11 años), de escuela secundaria de pri-mero y segundo grado (edad respectiva:11 a 14 años y 14 a 19 años) que no ha-bían participado en la prueba anterior.

Los colaboradores debían entregar a losestudiantes una tarjeta que contenía lasdos figuras que se presentan a continua-ción:

(El hexágono B se obtuvo del rectánguloA, mediante la eliminación de un pequeñorectángulo de la parte superior derecha, loque puede ser confirmado visualmente).

Ahora, a la mitad de los estudiantes seles debían proponer las siguientes dos pre-guntas:

pg.1:¿La superficie de A es menor, igualo mayor de la superficie de B?

Y ¿el perímetro de A es menor, igual omayor del perímetro de B?

A la otra mitad, se les debían proponer lassiguientes dos preguntas:

pg.2:¿El perímetro de A es menor, igualo mayor del perímetro de B?

Y ¿el área de A es menor, igual omayor del área de B?


Relime

PREGUNTA de investigación Pg.3: ¿Pue-de el orden inverso de las preguntas en pg.1y pg.2 modificar radicalmente las respues-tas de los estudiantes? La pertinencia deesta pregunta es descrita en las líneas si-guientes.

HIPÓTESIS de respuesta H.3: Nuestrahipótesis era que:

• en pg.1 los estudiantes habrían verifica-do fácilmente que el área de A es ma-yor que el área de B (dado que estoaparece gráficamente evidente) y ha-brían concluido, sin verificar, que el perí-metro de A es mayor del perímetro deB; los colaboradores debían sólo verifi-car si esta tendencia existía en verdad;

• en pg.2 la primera pregunta sobre el pe-rímetro haría que los estudiantes estu-vieran en dificultad, lo que los llevaría averificar con atención, pues la respues-ta “no” es inmediatamente evidente; unavez verificado que el perímetro de A esigual al de B, sin embargo, no habríantenido problema para decir que el áreade A es mayor al área de B; los colabo-radores debían llevar al estudiante a queverificara que los dos perímetros fueraniguales y lo expresara y, después deesto, tenían que estar atentos a la res-puesta espontánea a propósito de lasáreas.

Si las cosas hubieran sido así, habría-mos contradicho la hipótesis de Azhari(1998) (idea que, parcialmente citada, fuehecha propia por Stavy & Tirosh, 2001)sobre la base de la evidencia de las figu-ras; no valdría entonces la supuesta “leyde conservación”, sino que todo conduci-ría a un hecho ligado a misconcepcionesy a evidencias perceptivas.

En total tuvimos 14 colaboradores:

7 docentes de la escuela primaria2 docentes de la escuela secundariade primer grado (en Italia: escuelamedia)3 docentes de la escuela secundariade segundo grado (en Italia: escuelasuperior)2 docentes de la universidad (o equi-valente).

Cada uno de ellos se sometía a sí mismoa la prueba y, en un segundo momento, aalgunos colegas; en total, el número dedocentes que se sometieron a la pruebafueron:

26 de la escuela primaria16 de la escuela media13 de la escuela superior2 de la universidad,para un total de 57 docentes.

Los estudiantes sometidos a la segundaprueba fueron:

29 de la escuela primaria (todos de5º)20 de la escuela media (6 de 1º y 14de 3º)21 de la escuela superior (8 del primerbienio de un Liceo Científico, 9 de 4ºde Liceo Científico, 4 de un InstitutoProfesional)13 de la universidad o análogos (4 delcurso de Licenciatura en Educación,1 del tercer año del curso de Matemá-tica, 8 de la Alta Escuela Pedagógica)para un total de 83 estudiantes.

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9 Es necesario distinguir las intervenciones escritas espontáneas de los docentes, que trataremos aquí, de lasintervenciones de los estudiantes sobre temas de matemática, los llamados TEPs, aquí no tomados en consideración;sobre este último argumento puede verse D’Amore & Maier (2003).

Los estudiantes sometidos a la terceraprueba fueron:

50 de la escuela primaria (todos de5º)26 de la escuela media (12 de 1º y14 de 3º)14 de la escuela superior (4 del pri-mer bienio del Liceo Científico, 5 delInstituto Profesional, 5 de 3º, 4º o 5ºdel Liceo Científico)17 de la universidad o análogos (4 delcurso de Ciencias de la Educación,12 de la Alta Escuela Pedagógica, 1del tercer año del curso de Filosofía)para un total de 107 estudiantes.

Conviene recordar que todas las pruebasocurrieron en forma de entrevista individual,de tipo clínico, usando la pauta descritaen el apartado 3, en el punto 2. Por otraparte, la entrevista, especialmente en loscasos en que el entrevistador era uno delos colaboradores, era de tipo personalstory, dado que se buscaba tener elemen-tos que revelaran cambios conscientes delas convicciones. En esta investigaciónhicimos un gran uso de las declaracionesque los docentes daban por escrito. Convarias denominaciones9, esta técnica esusada con beneficio para la investigaciónen contexto internacional desde hace yamucho tiempo; como prueba tenemos eltrabajo pionero de Gudmundsdottir (1996),en el cual se usa la metáfora del icebergpara ilustrar como la punta emergentecorresponde a cuanto viene declaradocomo respuesta (explícita) por parte de undocente, a una pregunta en el curso deuna entrevista, mientras la mayor parte (im-plícita) es aquella escondida bajo el agua,la cual emerge sólo gracias a una narra-ción personal.

Particularmente útil para nosotros es la in-vestigación descrita en Edwards & Hensien(1999), dado que en ella se analiza un gru-po de docentes (de escuela primaria y deescuela secundaria) implicados en unainvestigación-acción común, cuyo objetivoera discutir la acción didáctica en aula. Losdocentes utilizaron la narración para expre-sar lo que sucedía y las sensaciones queexperimentaron durante dicha acción.

En Gudmundsdottir & Flem (2000) se dis-cute, siempre haciendo uso de estas téc-nicas “narrativas”, cómo ha cambiado la vidaen el aula en las últimas décadas, cuálesson las sensaciones y los sentimientos delos docentes a este propósito; mientras enGudmundsdottir (2001) se presenta la na-rración de una experiencia de enseñanza“abierta” en una escuela para niños entrelos 5 y los 8 años.

En Strehele et al. (2001), la técnica es usa-da para estudiar la integración de las tec-nologías en la práctica didáctica; mientrasen Raths (2001) se analizan las conviccio-nes acerca del docente y de la enseñan-za, incluso con el propósito de la decisiónde modificar las propias estrategias de en-señanza.

También en Presmeg (2002), la atenciónse centra en el uso de la autobiografía parahacer emerger las propias conviccionesacerca de la matemática y de los cambiosde éstas con el pasar del tiempo.

Conviene destacar el uso de investigaciónque se hace de los textos escritos por lossujetos analizados, docentes de escuelasecundaria en formación, en Llinares &Sánchez García (2002), para determinar las

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Relime

imágenes acerca de la matemática, de suenseñanza, de su aprendizaje y del signi-ficado que tienen las tareas escolares eneste propósito.

Citamos, por último, el trabajo de D’Amore& Fandiño (2005), en el cual los sujetosanalizados debían expresarse medianteuna carta autobiográfica.

4. RESULTADOS DE LA INVESTIGA-CIÓN, DISCUSIÓN DE LOS RESULTA-DOS Y RESPUESTAS A LAS PREGUN-

TAS DE INVESTIGACIÓN

4.1. Respuestas de los docentes a laprueba sobre perímetro y área

4.1.1

Por lo que respecta al punto 1, problemade investigación Pr.1, hicimos una distin-ción entre las dos consignas:

• pedimos a todos los colaboradores so-meter a sí mismos a la prueba, y;

• después, a algunos de sus colegas delas escuelas primarias, media, superior,estudiantes universitarios de cursos (deespecialización en Italia y de master enSuiza) para la formación de maestrosde escuela secundaria (inferior o supe-rior).

En los dos casos, las preguntas de inves-tigación Pg.1 eran las siguientes: ¿Es ver-dad o no es verdad que se pueden encon-trar ejemplos para todos los 9 casos? ¿Esverdad o no es verdad que surge espontá-neamente la idea de que, en general, alaumentar el perímetro de una figura plana,aumenta el área? ¿Es verdad o no es ver-dad que se necesita hacer un esfuerzo

para convencerse que las cosas no sonasí?; mientras que nuestras hipótesis derespuestas H.1 eran: Consideramos quealgunos docentes (incluidos algunos cola-boradores) tendrían misconcepciones a pro-pósito de supuestas relaciones necesariasentre perímetro y área de las figuras pla-nas. Que no fuera tan fácil encontrar los 9ejemplos solicitados [especialmente en elcaso (p<, S>) en el cual el perímetro debedisminuir y el área aumentar]. Que, inclu-so después de ver los ejemplos, se pre-sentaría alguna resistencia.

En este apartado, 4.1.1, examinaremos elcaso en el cual los sujetos sometidos a la(auto) prueba eran los mismos colabora-dores de la investigación, y dejamos paraun segundo momento, en el apartado 4.1.2,el caso de los sujetos sometidos a la prue-ba eran colegas de los colaboradores dela investigación o estudiantes universitariosde los cursos anteriormente indicados.

De los 14 colaboradores de la investiga-ción tuvimos reacciones similares en lo queconcierne con la modalidad de respuesta:

• 1 sujeto (docente universitario) se limitaa cumplir un análisis exclusivamentematemático de la situación, obviamentecorrecta, sin responder a la preguntapersonal sobre sus propias dificultades;

• 13 escriben textos de respuesta que vande 1 a las 6 páginas, en ocasiones ri-cas en referencias a sus propias dificul-tades:

o 9 colaboradores (7 docentes de pri-maria, 1 de superior, 1 de universi-dad) confiesan su dificultad en elmomento de tener que dar forma ala propia idea, incluso si ésta escorrecta y consciente; admitentambién que tuvieron que hacer un

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10 Una nota, sólo como curiosidad extra-investigativa. Uno de los colaboradores declara haber puesto a la pruebaalgunos de sus propios familiares:

• quienes desarrollan actividades de construcción, cotidianamente enfrentados a situaciones concretas en lascuales los casos (p>, S<) y (p<, S>) son frecuentes, no tuvieron ningún problema no sólo en respondercorrectamente, sino también en proporcionar ejemplos;

• otros, empleados en actividades más de rutina, se inclinaron por respuestas clásicas: existen sólo los casos(p>, S>), (p<, S<), (p=, S=); los otros casos fueron considerados imposibles; por ejemplo, no fue posibleencontrar ejemplos para el caso (p<, S>).

gran esfuerzo para imaginar todaslas nueve situaciones;

o 4 colaboradores (2 docentes deescuela media, 2 de superior) de-claran no haber tenido ningún pro-blema en encontrar rápidamente lasrespuestas y expresan su plenoconocimiento de que las cosas de-ban ser así.

[4 colaboradores (2 de primaria, 2 de me-dia) hacen una amplia referencia a susalumnos, sin lograr responder en primerapersona como sujetos, se ve una tenden-cia a interpretar nuestras preguntas comouna invitación implícita a pensar en la si-tuación de aula].

El caso considerado como el de mayorcomplejidad casi por unanimidad es preci-samente (p<, S>), como lo habíamos su-puesto, junto con su análogo (p>, S<).

Nuestras hipótesis H.1 son, por tanto,ampliamente confirmadas: incluso en per-sonas de alto nivel cultural, como es elcaso de nuestros colaboradores, existen,por lo menos en una primera instancia,misconcepciones arraigadas a propósitode supuestas relaciones necesarias entreperímetro y área de las figuras planas.Como indicadores de tales misconcep-ciones, decidimos enunciarlas recurrien-do a sus mismas admisiones explíci-tas o a la prueba evidente de susdificultades. Para muchos, no fue fácil en-contrar los nueve ejemplos pedidos [es-pecialmente en los casos (p<, S>) y (unpoco menos) (p>, S<)], por admisión ex-

plícita. Uno de nuestros colaboradoresdeclara abiertamente por escrito: “(...) Tuvemayor dificultad en encontrar figuras paralos casos donde el perímetro debe dismi-nuir y el área debe permanecer invariableo aumentar”, frase que tomamos como mo-delo para muchas otras del mismo tipo.

Se ve claramente cómo la (auto) declara-ción de dificultad se concentran entre losdocentes de los primeros niveles escola-res, tal vez a causa de una menor prepa-ración técnica (denunciada por más deuno; muchos docentes colaboradores dela escuela primaria confiesan haber apren-dido a tratar críticamente estos argumen-tos dentro de los cursos organizados porel RSDDM de la Universidad de Bologna).

La elección de las figuras para los nuevecasos se concentró, por lo menos al ini-cio, alrededor de los polígonos convexosy en particular en rectángulos10.

4.1.2

Los 43 docentes entrevistados (19 de es-cuela primaria, 8 de escuela media, 10 deescuela superior, 6 en formación de post-grado como docentes de escuela secun-daria inferior) tuvieron comportamientosmuy diferentes, pero también muchas re-acciones en común; los protocolos de lasentrevistas están a disposición, aquí re-saltamos lo esencial. Reportaremos entrecomillas las frases que confirman nues-tras afirmaciones o que nos parecen másrepresentativas.

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Relime

Una reacción muy frecuente, en todos losniveles escolares, es la diferencia mani-festada intuitivamente entre el primer con-tacto con el problema, respecto al cambio(a veces fuerte) entre la primera respuestaintuitiva y la convicción adquirida al térmi-no de la prueba.

Como lo habíamos dicho al inicio, las en-trevistas empiezan con el llamado “proble-ma de Galileo”: “Un pueblo tiene dos pla-zas A y B; el perímetro de la plaza A esmayor del perímetro de la plaza B; ¿cuálde las dos plazas tiene el área mayor?”11

Muchos de los entrevistados, la mayor par-te, 40 de 43, incluso licenciados, docen-tes de la escuela superior, afirmaron quela plaza con la mayor área era la A, demayor perímetro, para después:

• Corregirse espontáneamente, afirman-do “no está dicho”, aún antes de efec-tuar todas las pruebas previstas en laentrevista (y aquí se nota una mayorconcentración de docentes de la escue-la superior).

o bien

• Aceptar que su respuesta fuese criti-cable e incorrecta, pero sólo despuésde haber realizado las pruebas (y aquíse nota una mayor concentración dedocentes de los primeros niveles esco-lares).

Por tanto, el cambio de convicción es evi-dente, a veces fuerte, y, en varias ocasio-nes, requiere pruebas y reflexiones no ba-nales.

A las preguntas:

“¿Es verdad o no es verdad que se pue-den encontrar ejemplos para cada uno de

los nueve casos? ¿Es verdad o no es ver-dad que surge espontáneamente la idea,en general, de que al aumentar el períme-tro de una figura plana, aumenta tambiénel área? ¿Es verdad o no es verdad que senecesita hacer un esfuerzo, para conven-cerse que las cosas no son así?”, muchosdocentes, y no necesariamente de la es-cuela primaria, inician dando la respuesta“no”, a la primera pregunta, lo que revelaque las misconcepciones arraigadas a pro-pósito de supuestas relaciones necesariasentre el área y el perímetro de las figurasplanas están presentes no sólo en algu-nos docentes, como lo pensábamos, sinoen la mayoría de ellos.

Para muchos entrevistados no fue paranada banal encontrar los nueve ejem-plos pedidos [especialmente en el caso(p<, S>) o viceversa]. Encontramos en re-petidas ocasiones casos de docentes (in-cluso de la escuela superior y de la escue-la media) que tuvieron que recurrir a los (oa algunos de los) ejemplos dados por elentrevistador. Muchos notaron las simetríasen las solicitudes; y alguno manifestó ungran malestar en el caso (p=, S=) porqueno quería aplicar simplemente una isome-tría o dejar las figuras idénticas.

Lo que se evidenció, sin embargo, fue que,después de haber visto los ejemplos crea-dos por el entrevistado mismo o propues-tos por el entrevistador, desapareció deltodo (o casi) la persistencia en las mis-concepciones ligadas a la intuición; y sellegó a frases llenas de conciencia comola siguiente:

“Por lo tanto, dos figuras equi-extensas noson automáticamente iso-perimétricas”[este perfecto enunciado está hecho conevidente sorpresa por una docente de es-cuela primaria quien declara haber lucha-

11 Sobre la historia exacta de este problema, así como Galileo lo presenta realmente, se puede ver: D’Amore &Fandiño (2006).

54


do por mucho tiempo consigo misma paraencontrar los nueve ejemplos, bloquea-da por sus propias convicciones sobre elargumento (una misconcepción arraiga-da de la cual antes no se había dado cuen-ta) de que al aumentar el perímetro fuesenecesario que aumentase también elárea].

Es muy claro que las misconcepcionesreveladas se deben a que casi todos losmodelos figurales que ilustran estas cues-tiones son realizados con figuras planasconvexas por demás usuales, lo que llevaa creer que se puede afrontar el problemasólo con dichas figuras. Es más, estaconsideración fue confirmada por más deuno de los mismos entrevistados: “Esposible partiendo de un cuadrado; no esposible partiendo de un círculo” (en otraspalabras, el cuadrado es considerado fi-gura admisible para transformacionescomo las que nos propusieron, el círculono); a la propuesta de una figura cóncava:“Pero ésta no es una figura geométrica”[quiere decir: no de aquellas usadas co-múnmente en la práctica didáctica cuan-do se habla de perímetro y de área]; otrosconsideran posibles sólo homotecias, porlo que: “... pero con los cuadrados es im-posible” dado que el homotético de un cua-drado es un cuadrado.

El reenvío que los docentes entrevistadoshacen a sus alumnos es recurrente; mu-chas de las preguntas y de las respues-tas se dan “filtradas” a través de la expe-riencia con o de sus propios alumnos:“Ellos tampoco lo ven” [lo que yo no hevisto]; “…tienen dificultad para imaginar-lo”; “Es necesario cambiar constantemen-te las figuras” [es decir pasar de figurasestándar a otras no tradicionales, por ejem-plo cóncavas; en realidad, no sería siem-pre necesario, pero los ejemplos dadospor los entrevistadores (véase Apéndice)

son considerados a menudo como losúnicos posibles.

Algunos docentes de las escuelas secun-darias (inferior y superior) consideran estetipo de argumento más cercano al mundode la escuela primaria, “porque allí se tra-baja con las figuras, más en lo concreto,menos en lo abstracto”, como justificandosu propio error (y el error potencial de suspropios alumnos) en la prueba. Natural-mente, en esto hay mucha verdad; en laescuela primaria, generalmente, se trans-forman en modelos radicados los que sólodeberían ser imágenes parciales, y, enmuchas ocasiones, no existe ni siquierala conciencia del problema.

Veremos en los próximos apartados, 4.2.1y 4.2.2, el curso de la investigación conlos estudiantes. Adelantamos aquí la hi-pótesis, que analizaremos críticamente en5., de que el obstáculo que parece eviden-te respecto a la construcción de un cono-cimiento matemáticamente satisfactoriosobre las relaciones entre “perímetro yárea” no es sólo de naturaleza epistemo-lógica sino básicamente de naturaleza di-dáctica.

La naturaleza epistemológica del obstá-culo es evidente y tiene múltiples aspec-tos:

A. No es fortuito que las historietas yleyendas que ligan área y perímetro seanantiquísimas y se repitan en el tiempo,incluso a distancia de siglos (basta pen-sar en el mito sobre la fundación deCartagine por parte de Didone y a lacélebre adivinanza de Galileo). Ésta esuna señal, no más que una señal, porsupuesto, de obstáculo epistemológi-co; por otra parte: cuando una ideamatemática no entra inmediatamente aformar parte de esta disciplina y, por elcontrario, es causa de discusiones, con-

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Relime56

testaciones, luchas; generalmente pue-de considerarse un obstáculo episte-mológico en el sentido de Brousseau(1976, 1986, 1989).

B. Para llevar acabo este análisis se de-ben operar transformaciones geométri-cas sobre las figuras, pero sólo a fina-les del siglo XIX estas transformaciones,su potencia, su necesidad, se revela-ron completamente a los ojos de losmatemáticos; por milenios dominó larigidez de los Elementos de Euclides;incluso este retardo en la introducción-aceptación es una obvia señal de obs-táculo epistemológico.

Por otra parte, con estos evidentes obs-táculos epistemológicos se mezclan tam-bién obstáculos didácticos; si se necesi-taron oportunas y profundas entrevistas,para cambiar las convicciones de los mis-mos docentes, ¿cómo no pensar que laselecciones didácticas por ellos utilizadasen aula con sus propios alumnos no influ-yen en la formación de misconcepcionesrelativas a este estratégico tema?

4.2. Respuestas de los estudiantes ala prueba sobre área y perímetro

4.2.1

Recordemos que en el punto 2, como pro-blema de investigación Pr.2, pedimos atodos los colaboradores entrevistar estu-diantes de la escuela primaria, media,superior y estudiantes universitarios de lasdiferentes facultades. Cada colaboradortenía que hablar con los estudiantes y pro-poner en primer lugar el problema “deGalileo”, escuchar su respuesta y regis-trarla según la escala presentada; en se-gundo lugar, el colaborador propondría lasnueve pruebas y ayudaría al estudiante en

su ejecución, escuchando sus comenta-rios; y por último, se debería llegar a unaformulación explícita de su nueva convic-ción, en el caso que ésta se hubiera pre-sentado.

Cada uno de los colaboradores era invita-do a probar transformaciones, verificandosi los estudiantes:

• aceptan espontáneamente• aceptan de buen grado después de un

ejemplo• aceptan con dificultad después de va-

rios ejemplos• rechazan sin discusión• rechazan incluso después de ejemplos

y que pueden ser válidas las nueve rela-ciones, que nada se puede decir a prioride la relación entre “aumento (igualdad, dis-minución) del perímetro” y “aumento (igual-dad, disminución) del área de figuras pla-nas”.

A nosotros nos interesaban dos aspectos:

a) el cambio de las convicciones; es de-cir, si después de algunos ejemplos, losestudiantes estaban dispuestos a cam-biar de idea y si sobre esto incide laedad; para saber esto era esencial lle-var a los sujetos a que expresaran susconvicciones antes y después de losejemplos; para alcanzar este objetivo,más que hacer un test, era esencial en-trevistar a los sujetos individualmentesegún la metodología explicada antes;

b) el lenguaje usado por los estudiantespara explicar su pensamiento, antes ydespués: ejemplos, discursos genera-les, frases, uso de diseños, de esque-mas ...

Con este objetivo, las preguntas de inves-tigación Pg.2 eran las siguientes: ¿Concuánta naturalidad y espontaneidad losestudiantes logran aceptar que no existenrelaciones a priori obligadas entre períme-tro y área de las figuras planas? ¿Cómocambia esta aceptación con la edad? ¿Re-sulta fácil aceptar los nueve ejemplos?¿Cómo expresan sus convicciones a estepropósito? ¿Qué tipo de lenguaje usan?

Como hipótesis preliminares, considerá-bamos que los estudiantes de cualquieredad muestran una gran dificultad en acep-tar lo que parece anti-intuitivo. Que con laedad, esta aceptación aumenta netamen-te. Que los sujetos encuentran alguna di-ficultad en aceptar los ejemplos. Que ha-brían expresado sus convicciones en modopoco formal, dado que éstas interaccio-nan con las convicciones construidas enla escuela. Que el lenguaje usado sería lomás cercano posible a la forma coloquial,tal vez con el uso espontáneo de gráficoso de diseños esquemáticos.

El resultado de mayor impacto de toda lainvestigación es que los casos de mayorcomplejidad (p>, S<; viceversa; p>, S=;viceversa) no son aceptados espontánea-mente en mayor medida con el aumentode la edad (o con el mayor nivel de escola-ridad).

Más de 90% de los estudiantes entrevis-tados, sin que importe su grado escolar,tiende espontáneamente a afirmar queexiste una dependencia estrecha entre elaumento o disminución del perímetro y elaumento o disminución del área; frente ala tarea de dar ejemplos, las dificultadesse centraron básicamente en los casos

enunciados anteriormente; sólo pocosafrontaron con éxito la tarea, y el resultadopositivo no está relacionado con la edad(por tanto ni con el grado de escolaridad);entre los estudiantes universitarios se tie-nen algunos de los más notorios resulta-dos negativos.

Una vez que el entrevistador hace notar quees posible encontrar ejemplos para losnueve casos, se tienen las siguientes re-acciones:

• Más de la mitad de los estudiantes12 sesorprende cuando ve que se hace usode figuras cóncavas; alguno declara que“Éstas no son figuras geométricas”, que“No son correctas”, que “En la escuelano se usan”; esta actitud no se relacio-na en forma significativa con la edad y,por lo tanto, tampoco con el grado deescolaridad ni con el tipo de escuela fre-cuentada.

• Más de la mitad de los estudiantes13

entiende el sentido de la propuesta yadmite haber inmediatamente cambia-do de convicción; también este tipo deactitud es ligeramente superior en losniveles altos de escolaridad.

• En los casos en los que no se alcanzaun resultado positivo, el estudiante, ge-neralmente, se atrinchera detrás de jus-tificaciones debidas a la falta de desa-rrollo de este argumento por parte delos docentes; este hecho se presentacon mayor frecuencia en la escuelamedia; numerosos estudiantes de laescuela superior demuestran haber en-tendido el sentido de la investigación yrevelan interés y motivación en dar la

12 Lo aquí reportado no quiere ser una apreciación cuantitativa, pues estamos en pleno campo cualitativo (como selo demuestra que se citan frases de los entrevistados); nuestra intención es sólo dar una idea de la dimensión delfenómeno.13 Ídem.


Relime

14 Esta actitud lingüística de los estudiantes universitarios nos sorprendió, por lo cual tendremos que retomar lainvestigación de una forma más específica. Por ahora este aspecto no será analizado con detalle.

58

respuesta; algunos reconocen su difi-cultad al hacer oportunas transforma-ciones sobre las figuras.

• Es interesante observar cómo algu-nos estudiantes de la escuela superiorse hacen cargo personal del problema,sin descargar la responsabilidad de sufracaso en sus docentes de los nivelesprecedentes (al contrario, tuvimos do-centes licenciados que se hicieron res-ponsables de su fracaso y dificultad alos estudios universitarios, en los cua-les, acusaban, este tipo de argumentoes ignorado; o a los libros de texto, porlas mismas razones).

En diversos casos, quien declara un cam-bio de convicciones lo hace con sorpre-sa, como si esto destruyera una concep-ción dada por adquirida.

De los 13 estudiantes universitarios en-trevistados, uno de los cuales es estudian-te de Matemática, menos de la mitad de-claran espontáneamente que los nuevecasos son todos posibles, independien-temente de poderlos encontrar; de losotros, aquellos que tienen necesidad dehacer pruebas, sólo la mitad declara alfinal en forma convincente haber cambia-do de convicción; de ellos, algunos lo ha-cen de manera explícita.

Muchos son los que sostienen que el mal-entendido de pensar que el aumento delperímetro implique un aumento del áreaderiva de una didáctica incorrecta, y secomprometen a estar atentos cuando ten-gan que afrontar su futura profesión; esmás, iniciarán ahora mismo en la activi-dad de práctica docente.

No siempre la aceptación es fácil: “Paramí es difícil aceptarlo, estaba convencidode que dependían, es una gran sorpresaque debo digerir, pero es difícil”.

En cuanto al lenguaje, es frecuente el re-curso al lenguaje cotidiano, además exis-ten confusiones terminológicas (por ejem-plo, no obstante se hable explícitamentedel perímetro y del área, muchos estudian-tes, de la escuela primaria a la escuelasuperior, dicen “perímetro” cuando se es-tán refiriendo al “área” y viceversa), ade-más de otras expresiones inadecuadasdesde el punto de vista del léxico.

Se nota que el recurso a un lenguaje colo-quial de bajo perfil formal o por lo menoscultural en el ámbito matemático no selimita sólo a los primeros grados de esco-laridad. Es más, son generalmente los es-tudiantes universitarios quienes mayor-mente nos sorprenden con adjetivos ylocuciones que no están en consonanciacon la geometría oficial: “Si una [figura] lahaces delgadita...”, “Si hago una ‘cosa’ con‘muchas puntas’, el perímetro ...” etc.14

Muchos de los entrevistados intentan re-currir a diseños explicativos que ilustren,confirmen o desmientan su propio pensa-miento; sin embargo el resultado es de-cepcionante: son pocos los estudiantes,sin distinción del grado escolar, que sa-ben usar el diseño para validar o negar suspropias afirmaciones: lo intentan, pero nodominan este lenguaje gráfico específico.

Es notable cómo alumnos de 5º de prima-ria de diversas zonas italianas que res-ponden correcta y espontáneamente a laprimera pregunta (es decir, ¿Teniendo unrectángulo y un cuadrado de igual perí-


metro, necesariamente tienen igual área?),dan un argumento no válido: porque elcuadrado es “más amplio”, “tiene mayorespacio dentro”, “es más ancho”...

Resulta obvio que entre cuadriláteros iso-perimétricos, el cuadrado es el de mayorsuperficie; esto se imagina, se ve, se in-tuye desde un punto de vista gráfico, ma-yormente en la escuela primaria que enlos años sucesivos. Naturalmente, no fal-tan los casos de estudiantes de la escue-la superior que demuestran competenciaen estos argumentos; por ejemplo, tuvi-mos casos de estudiantes que conocíany dominaban las relaciones entre superfi-cie de figuras iso-perimétricas.

4.2.2

Llegados al punto 3 de la investigación,invitamos a los colaboradores a someterdiversos estudiantes, que no se habíansometido a la prueba precedente, a la si-guiente, mediante entrevistas individuales.

Los colaboradores debían entregar a losalumnos una tarjeta que contenía las si-guientes dos figuras:

(El hexágono B se obtuvo del rectánguloA, mediante la eliminación de un peque-ño rectángulo de la parte superior dere-cha, lo que es evidente a simple vista).

Ahora, a la mitad de los estudiantes seles proponían las dos preguntas si-guientes:

pg.1: ¿La superficie de A es menor, igualo mayor de la superficie de B? y

¿El perímetro de A es menor, igual omayor del perímetro de B?

A la otra mitad, se les proponían las si-guientes dos preguntas:

pg.2: ¿El perímetro de A es menor, igualo mayor del perímetro de B? y

¿El área de A es menor, igual o mayordel área de B?

Teníamos una única pregunta de investi-gación Pr.3: ¿Puede el orden inverso delas preguntas en pg.1 y pg.2 modificarradicalmente las respuestas de los estu-diantes?

Nuestra hipótesis H3 era que:

• En pg.1, los estudiantes habrían verifi-cado fácilmente que el área de A esmayor que el área de B (dado que estoes gráficamente evidente) y habrían con-cluido, sin verificar, que el perímetro deA es mayor que el perímetro de B; loscolaboradores sólo debían corroborar siesta tendencia existía en verdad.

• En pg.2, la primera pregunta sobre elperímetro haría que los estudiantesencontraran dificultad, lo que los lleva-ría a verificar con atención, pues lo quese pregunta no es inmediatamente evi-dente; una vez verificado que el perí-metro de A es igual al de B, sin embar-go, no habrían tenido problema paradecir que el área de A es mayor que elárea de B. Los colaboradores debíanllevar a los estudiantes a que verifica-ran que los dos perímetros eran igua-les y lo expresaran. Luego, los colabo-radores debían estar atentos a la

Relime60

respuesta espontánea a propósito delas áreas.

Si las cosas hubieran sido así, habríamoscontradicho la hipótesis de Azhari (1998)(hecha propia por Stavy & Tirosh, 2001)sobre la base de la evidencia de las figu-ras; no valdría entonces la supuesta “leyde conservación”, sino que todo se condu-ciría a un hecho ligado a misconcepcionesy evidencias perceptivas.

Los resultados de las pruebas demuestranen forma absolutamente irrefutable nues-tra hipótesis; el orden de las preguntas esfundamental para las respuestas, pero, eneste caso, la edad (y por tanto el grado deescolaridad) inciden en forma estadística-mente relevante.

La respuesta correcta a la primera partede la pregunta pg.1 (superficie de A > su-perficie de B) fue dada de forma espontá-nea e inmediata en todos los entrevista-dos; de éstos, entre 90 y 91% concluyóerróneamente sin reflexionar que entoncestambién perímetro de A > perímetro de B.

La respuesta correcta a la primera partede la pregunta pg.2 (perímetro de A = perí-metro de B) fue dada espontáneamente sinnecesidad de reflexión en muy pocos ca-sos, incluso en altos niveles de escolari-dad; una vez que los colaboradores indu-cían a reflexionar sobre esta respuesta,muchos de los entrevistados, alrededor de85%, reconocían la igualdad de los perí-metros.

Las respuestas erradas en el caso de lasegunda parte de pg.2, por tanto, no estánligadas a la supuesta “ley de conservación”,sino a misconcepciones ligadas a los as-pectos que emergen en el apartado prece-dente y a la evidencia perceptiva que, en elcaso del área, es inmediata, mientras queen el caso del perímetro no lo es.

La hipótesis de Azhari viene aquí negada.

Los problemas que se encuentran son dediversos tipos y sólo en parte esperados:

• Algunos estudiantes confunden en suterminología área y perímetro; lo queimplica la no aceptación de las decla-raciones del entrevistado por parte delinvestigador.

• Dificultad para confrontar las dos figu-ras A y B, porque una de las dos esuna figura “insólita”, no incluida entrede las que tradicionalmente la escuelapresenta y a las que dedica fórmulas.

• Cuando un estudiante, especialmentede los primeros años de escolaridad,intenta medir los perímetros, no siem-pre sabe cómo hacerlo; es notable que,para responder a las preguntas, no eranecesario hacer ningún tipo de medi-ción; se intentaba realizar medicionesen los casos en los que el sujeto lasconsideraba necesarias (lo que suce-de en más casos de los previstos, y nosólo en la escuela primaria o media;varios estudiantes de la escuela supe-rior hicieron uso de cuadriláteros espe-cificando siempre las medidas de loslados y calculando el área y el períme-tro).

5. CONCLUSIONES Y NOTASDIDÁCTICAS

Visto el desarrollo de la investigación conlos estudiantes, es del todo evidente queel obstáculo que se opone a la construc-ción de un conocimiento satisfactorio so-bre las relaciones entre “perímetro y área”no es sólo de naturaleza epistemológica,como se afirma en muchos trabajos pre-cedentes sobre este campo de investiga-


15 Entendemos aquí la “transposición didáctica” en sentido clásico como la transformación del saber (savoir savant)en un saber de enseñar (Chevallard, 1985); tendremos que profundizar más sobre este tema, pues falta en muchosdocentes una competencia sobre este tipo de temas; esta carencia no les permite transformar realmente el saber enun saber de enseñar, no les queda otro camino sino el de hacer referencia a un saber personal que coincide con elsaber institucional esperado por las normas curriculares o por la tradición. Esta nota final, que no tiene vínculos conlo precedente, tiene como único objetivo delinear otros posibles escenarios de investigación.

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ción, sino que es básicamente de natura-leza didáctica.

Este obstáculo reside en las eleccionesdidácticas:

• Se usan siempre y sólo figuras con-vexas, lo que provoca la idea erróneade que las figuras cóncavas no puedenser usadas o no son convenientes.

• Se usan siempre figuras estándar pro-vocando la misconcepción que vieneenunciada generalmente con la frase:“Pero ésta no es figura geométrica”.

• Casi nunca se ponen explícitamente enrelación área y perímetro de la mismafigura geométrica; por el contrario, aveces se insiste en que el perímetro semide en metros (m) mientras que elárea en metros cuadrados (m2), y seinsiste en las diferencias y no en lasrelaciones reciprocas.

• Casi nunca se hacen transformacionessobre las figuras de forma que se con-serven o se modifiquen área o períme-tro, lo que crea una misconcepción encuanto al significado que tiene el térmi-no “transformación”; de hecho, muchosestudiantes entienden espontáneamen-te por “transformación” un cambio quesólo implica una reducción o una am-pliación de la figura (una homotecia ouna similitud); en el caso (p=, S=)como consecuencia, muchos estudian-tes rechazaron la identidad o una iso-metría como una “transformación”.

La confirmación de lo anteriormente enun-ciado se tiene en la investigación hechacon los docentes; se verifica el caso dedocentes, no sólo de escuela primaria, quetienen reacciones del todo análogas a lasde los alumnos, es decir de sorpresa, fren-te a un necesario cambio de convicciones.Un docente afirma: “Pero si nunca ningu-no nos enseña estas cosas, ¿cómo pode-mos saberlas?”; esta frase nos parece lareafirmación de que casi todo se puederesumir en obstáculos didácticos.

Las elecciones de los docentes no ocu-rren dentro de una correcta transposicióndidáctica que les permita transformar un“saber” (que para algunos de ellos noexiste) en un “saber de enseñar”, en modoculto y consciente (por lo general, lamen-tablemente, no existe ni siquiera la con-ciencia de la existencia y de la diferenciaentre “saber” y “saber de enseñar”)15. Dehecho, al menos en el campo exploradopor nosotros, se observa un escenario decuestiones acríticas, aburridas, que siguenun guión preestablecido consagrado por loslibros de texto. La expresión de estos he-chos se encuentra en los siguientes as-pectos: cuando el docente cambia de con-vicción, lo hace

• Insistiendo en que este argumento debeentrar explícitamente en la didáctica, y

• Prometiendo espontáneamente a símismo, en ocasiones, incluirlo en lapropia futura acción didáctica deenseñanza-aprendizaje.

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Estas últimas consideraciones nos permi-ten insertar el resultado final de nuestra in-vestigación acerca del cambio de convic-ciones de los docentes en un importantecontexto internacional. Es verdad que lasconvicciones pueden tener efectos deleté-reos sobre la acción didáctica, pero puede

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ocurrir también lo contrario, como lo de-muestra nuestro caso; podemos encontrarapoyo en la siguiente afirmación: “Las con-vicciones pueden ser un obstáculo perotambién una potente fuerza que permiteefectuar cambios en la enseñanza” (Tirosh& Graeber, 2003).

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Este artículo se ha realizado con la colaboración de:

Gianfranco Arrigo, Lorella Campolucci, Giampiero Ceccherini, Erminia Dal Corso,Margherita Francini, Maura Iori, Ines Marazzani, Annarita Monaco, Fabrizio Monari,Paola Nannicini, George Santi, Silvia Sbaragli, Anna Traverso, Nadia Vecchi.

Los autores agradecen a los colaboradores de la investigación por la preciosa ayuda quehan dado y por la enorme disponibilidad no sólo en la conducción de las pruebas con susalumnos y colegas sino también sobre si mismos. Les agradecemos también por lacolaboración dada al finalizar el trabajo, por las pacientes lecturas críticas y sugerencias.Agradecemos además a todos aquellos (colegas y estudiantes) que gentilmente aceptaronsometerse a las pruebas; sus nombres, obviamente, aquí no aparecen.

Por último agradecemos a los árbitros anónimos por sus pertinentes y generosassugerencias críticas.

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Bruno D’AmoreMartha Isabel Fandiño PinillaRSDDM – NRDDepartamento de MatemáticaUniversidad de BolognaItalia

Email: [email protected]

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