Rekker og tallfølger - UiO

Rekker og tallfølger

1

Rekker og tallfølger Halvor Aarnes, UiO, 2014

Innhold Rekker og tallfølger .............................................................................................................................. 1

Uendelige rekker ............................................................................................................................... 1

Rekker, π og Γ .................................................................................................................................. 3

Rekker og e ....................................................................................................................................... 5

Rekker og trigonometriske funksjoner ........................................................................................... 6

Potensrekker ..................................................................................................................................... 7

Binomial rekke ................................................................................................................................... 9

Fibonacci-tall og spiraler ................................................................................................................ 11

Taylor- og McLaurin-rekker ............................................................................................................... 15

Bernoulli-tall ......................................................................................................................................... 16

Alternerende rekker og Cesàrosummering ..................................................................................... 19

Den enkleste aritmetiske rekken er 1, 2, 3, 4,…, og når disse summeres får man en uendelig rekke som divergerer. Vi kan summere tallene fra 1-100, den oppgaven Gauss fikk av sin lærer for å holde Gauss opptatt, hvorpå raskt Gauss fant at tallet ble 5050. Gauss la sammen fra hver ende: 1+99, 2+98, osv. og ble sittende igjen med tallet 50 til slutt.

Uendelige rekker De triangulære tall er lik antall steiner i en trekant med n rader:

Dette blir tallene gitt ved:


2

12· · 1

2

De 10 første triangulære tallene i rekken: 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 En aritmetisk rekke får vi ved å addere til samme tall til det foregående, her starter rekken med 1 og legger til 4 til det foregående 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 … I en geometrisk rekke multipliseres hvert foregående tall med samme tall, noe som gir samme ratio. Her starter man med 2 og ganger med 2. 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 …

I en potensrekke opphøyes alle tallene i samme potens, her opphøyd i andre: 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100… En kubisk rekke er hvert tall opphøyd i tredje: 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000…

På 1300-tallet fant den franske matematikeren og biskopen Nicole Oresme (1325?-1382) at noen uendelig rekker konvergerer, det vil delsummene går mot en grenseverdi. Rekker som ikke går mot en grenseverdi divergerer.

∞12

22

32 2

2

34

Han fant også en annen rekke som konvergerer: ∞

3 · 14

3 · 24

3 · 34

34

43

I en harmonisk rekke er hvert ledd et harmonisk middeltall mellom det foran og det etter. Et harmonisk middeltall X er den resiproke av gjennomsnittet av resiproke. Den resiproke betyr ”1 over…”


3

1

∑1 ∑1

112

Rekker, π og Γ Den enkleste harmoniske rekken er:

13

14

.

1

og Euler fant at det var en sammenheng mellom logaritmer og harmoniske rekker, publisert i De progressionibus harmonicis observationes (Observasjon om harmonisk progresjon) (1735).

∞

112

13

14

ln

lim∞

1

Tallet gamma (Γ) er også et eksempel på et tall som man treffer på de underligste steder i naturen, på lik linje med det naturlige tallet e, π, og kalles Euler-Mascheronis konstant:

ln 0.5772156649015….

11

2

Lorzenzo Mascheroni (1750-1800).

Jakob Bernoulli (1654-1705) hadde arbeidet med uendelige rekker av typen (teleskoprekken):

∞

113

16

110

2

St.Petersburg Akademiet.

Leonhard Euler (1707-1783) gjorde grunnleggende studier innen alle deler av matematikken: tallteori, geometri, algebra og kombinatorikk, publisert i Opera omnia. I Basel i Sveits hadde Euler Johann Bernoulli (1667-1748) som lærer, og Johanns sønn, Daniel Bernoulli(1700-1782) inviterte seinere Euler til St.Petersburg. Jakob og Johann Bernoulli var brødre. Bernoulli-dynastiet hadde alle matematisk talent, men få har overgått Euler.Mye av det Euler skrev ble publisert i tidsskriftet til


4

.6 som fant at det ble π2/6= 1.644934..

Summen av rekken nedenfor visste man at lå i nærheten av 8/5=1(Basel-problemet), og Euler

22

612

∞

11 1

419

116

125

136

149

Euler arbeidet også med rekken:

1∞

·1

321

127

1125

13432 1

…

I arbeidet med Basel-problemet fant Euler at følgende integral ble π/4:

ln ln 4

Figur. Arealet under funksjonen i området [0, 1] er lik π/4.

Euler tok som vanlig i bruk rekkeutvikling og kunne skrive:


5

ln 1! 3! 5! 7!

13! 5! 7!

414

Euler fant også at følgende rekke konvergerer: ∞

1

4

90

12 1

Euler kunne også vise at pi (π)var involvert i rekkene: ∞

11

13

15

17…

8

1 11

12

13

14

15 … 12

313

Tallet pi (π) dukker opp på de underligste steder i naturen.

Euler klarte ikke å finne en god løsning av: ∞

11

12

13

14 ?

13

, men i 1998 viste Roger Apéry (1916-1994) at summen er et irrasjonalt tall, 1.2020569032.. , kalt Apérys konstant

Følgende uendelige sum er lik π/4 1

51

71 1

9111 4

e er lik den uendelige summen:

!

Rekker og e Det naturlige tallet

1∞

11

1! 2!1

3!1

4!1

n fakultet (n!) stiger så raskt at her tar vi bare for oss tallene fra 1-10.


6

unksjonen x kan også inngå i rekker:

1!

F

12! 3! 4!

som også gjelder hvis x er et kompleks tall x=a+bi eller enklest x=ix:

1!1

2! 3! 4!

12! 3! 4! 5!

fordi: 1 1

Vi stokker om rekken og bruker rekken for cosx og sinx for å finne at:

12! 4! 6! 3! 5! 7! 9!

Det naturlige tallet e er også grenseverdien for:

1lim

∞1

og følgende sammenheng mellom pi, e og komplekse tall: √ 1 0

i har også fø

· !· √

V lgende grenseverdi:

lim∞

√2

Rekker og trigonometriske funksjoner Sinus kan uttrykkes som følgende rekke:

sin3! 5! 7! 9!

Cosinus som rekke:

cos 12! 4! 6!

Invers tangens (tan-1) eller atan(x) er lik følgende rekke:


7

3 5 7 9 11

412 5

1 18

otensrekker ke som konvergerer:

11

PVi har følgende rek

1 | | 1

og det gjør også den deriverte av denne rekken:

11 2 3 4

1 | | 1

Hvis en funksjon f(x) kunne utvides til en uendelig potensrekke ∞

så vil den deriverte av rekken f´(x) bli:

·∞

John Wallis (1616-1703)som skrev i 1655 Arithmetica infinitorium (Aritmetikk om det uendelige) hadde funnet den berømte uendelige

2

´ 2 3

produktrekken for pi (π): 21·23·43·45·65·67·..

Dette følger fra integralene:

· 2·12·34·56· …

2 12

· 23·45·67· …

22 1

Dette kan benyttes for å vise Stirlings formel for n fakultet:


8

! √2 · · √2 · ·

tirlings formel er oppkalt etter James Stirling (1692-1770) publisert i else innført

v Christian Kramp i 1808.

Figur. Fakultetsfunksjonen n!, og verdier fra Stirlings formel (røde prikker) Wallis hadde også funnet for heltall p og q at:

SMethodus differentialis (1730), og n fakultet (n!) er en betegna

1

1

Han ønsket en generell formel for integraler av formen:

1

or enhetssirkelen blir arealet av en kvadrant i enhetssirkelen lik π/4:

4

F

1

Leibniz fant en alternativ rekke for π/4:

41

31

51

71

Dette var ikke et direkte resultat av:


9

4 1

Binomial rekke ken:

1 1 1 2

∞

·

sientene: · 1 · … 1 1

Newton oppdaget den binomiale rek

!

hvor binomialkoeffi

!

! !

allene i Pascals triangel: Binomialkoeffisientene kan plasseres i en Pascals trekant (Blaise

ene i neste horisontale linje er summen av de venfor og havner midt mellom dem:

1 1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

00

Binomialkoeffisientene danner t

Pascal 1623-1662) hvor tallo


10

10

11

20

21

22

30

31

32

33

40

41

42

43

44

og slik kan man fortsette nedover. Trekker man skrå linjer i Pascals trekant finner man igjen Fibonaccitallene. Vi ser at trekanten er symmetrisk om midtlinjen og

Summen av to koeffisienter som står ved siden av hverandre i en rekke havner midt mellom dem i raden under:

risontale linjene får vi

Det vil si: 2

11

Vi har for eksempel for k= 3 på den kubiske ligningen, og se at du finner jen tallene i Pascals trekant:

1 3 3 pliserer

ut uttrykkene: 1 2 1

1 4 6 4 1 Eller mer generelt binomialteoremet:

horisontal

111

Vi ser også at summerer vi tallene som står i de hotallene 1, 2, 4, 16, 64 osv.

0 1 2 3 Loven om Pascals trekant:

ig1

Koeffisientene i Pascals trekant er dem man finner når man multi


11

2 3

uttrykkes som:

Hvis derimot k ikke er et positivt heltall får vi for eksempel k=-1:

11

1

0 1

(x+y)0=1 som også kan

1

ercators rekke for logaritmefunksjonen:

12

Det var denne som kunne gi M

3 4

Hvis k=1/2 får vi:

1 √1 112

18

116

..

Fibonacci-tall og spiraler Leonardo av Pisa (1170-1240), kalt Fibonacci, publiserte den første av

hvor mange kaniner lages hvert år hvis man begynner med et par, ingen dør, og hver måned får hvert par et avkom. Det tar to måneder før de

odene og kan f eget avkom. Dette ga en tallrekke hvor neste tall i rekken er summen av de to foregående, en rekurrent rekke 1,1,2,3,5,8,…. Nyfødt (N), ung (U) og voksen (v) med måned nr. i arentes N(0), U(1),VN(2),VUN(3),VVUNN(5),…

I solsikkeblomsten finner man 55 spiraler den ene veien og 89 den andre 3. Furukongle har 5 spiraler den ene

fire Liber abaci (Regnebok) i 1202, og i den stilte han spørsmålet om

nyfødte er kjønnsm å

p

veien, ananas har tilsvarende 8 og 1veien og 8 den andre. Dette er tall som man finner igjen blant Fibonacci-tallene.


12

De 20 første Fibonacci-tallene er: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 Vi kan regne kvotienten mellom to påfølgende tall i rekken 1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5 osv.

1.000000 2.000000 1.500000 1.666667 1.600000 1.625000 1.615385 1.619048 1.617647 1.618182 1.617978 1.618056 1.618026 1.618037

.618033 1.618034 1.618034 1.618034 1.618034 …

ldne snitt tau (τ):

1

Denne rekken konvergerer i det gy1 √52

1.618034…

et gyldne snitt Tau blir også en av røttene i den kvadratiske ligningen: D1

med røtter: 1 √52


13

Figur. Funksjonen y=x2-x-1 har røtter lik konstanten i det gylde snitt, her merket med rød prikk: -0.618034… og 1.618034…

Det gyldne snitt blir også kalt phi (φ). Det gyldne snitt kan finnes igjen i den logaritmiske spiral (jfr. Nautilus-skall, det gyldne rektangel, det

et, e

lærebok i kk,

gyldne pentagon (pentagram), og den gyldne sirkel, og i arkitektur og kunst. Fibonacci brakte de indiske tallene 1-9, posisjoneringssystemde primære regnearter og arabisk algebra til Europa. Noen hevdet at dindiske tallene var lett å forfalske i forhold til de romerske tall. Dermed ble alle regneregler skrevet i ord. Det var handelsskoler hvor regnemestre (maestri d´abbaco) underviste. I renessansen var Luca Bartolomeo Pacioli (1446-1517)en regnemester som skrev enregning som inneholdt datidens kjente kunnskap om algebra, aritmetigeometri og trigonometri,fra Euklid, Boëthius, A.M.S. (480-525) og Fibonacci; Summa de arithmetica, geometria, proportioni et


14

te rte De

Det gyldne sitt kan også uttrykkes i form av sinus og cosinus:

proportionalita, utgitt i Venezia i 1494. Hertugen av Milano engasjerLeonardo da Vinci kunstneriske oppdrag, og Vinci som illustredivina proportione (1509), med tekst av Pacioli.

1 sin10

2 ·1 √5

5

2

Konstruksjon av det gyldne rektangel. En rettvinklet trekant med med hosliggende sider lik henholdsvis 1 og 2 får en hypotenus lik √5, som

ndre

Vi kan dividere med x på begge sider av ligningen over:

danner diagonal i det gyldne rektangel. Ved å trekke arealet av et kvadrat fra et gyldent rektangel gir et nytt gyldent rektangel. Forholdet mellom (lengden av hypotenus pluss den ene siden lik 1) og den ahosliggende siden lik 2, blir lik det gyldene snitt.

Det gyldne snitt er en løsning av ligningen:

1 0


15

1 1 1

1

Edouard Lucas (1842-1891) utviklet en rekke med Lucas-tall, hvor neste tall i rekken er summen av de to foregående:

2, 1, 3, 4, 7, 11,1 8, 29, 47,76,…

Taylor- og McLaurin-rekker med grad n for den n-deriverbare

endimensjonale funksjonen f(x) ved x=a gitt som Generelt har vi et Taylorpolynom

′

1!

′′

2!

′′′

3!

!

Hvis a=0 har vi en egen utgave av Taylor-rekken som kalles MacLaurin-rekke:

0′ 01!

′′ 02!

′′′ 03!

0!

ac Laurin (1698-1746) skrev Treatise on fluxions (1742) som omhandlet fluksjonsregning og rekkeutvikling av funksjoner; inspirert av Brook Taylor (1685-1731), Newtons etterfølger, og hans Methodus

crementorum directa et inversa (1715) med Taylors formel,

′ 0

Colin M

inrekkeutvikling og differensialregning. Hvis vi har funksjonen:

så blir McLaurin-rekken:

01!

′′ 02!

′′′ 03!

0!

1!0

′ 0 ′′ 02!

′′′ 03!

0!

Vi får da den velkjente rekken for sin(x) når vi setter inn for verdiene:

3!


16

,

,

Vi kan lage en todimensjonal Taylor-rekke til en funksjon f(x,y) i et punkt x=a+δx,y=b+δy og den deriverte i punktet (x=a,y=b)

2!1

2

13!

3 3

Vi ser binomialkoeffisientene i uttrykket.

Bernoulli-tall

oulli-tallene til Jakob Bernoulli, som var inne på disse isin Ars Conjectandi publisert posthumt i 1713, er

på mange steder. llene er, og bortsett for B1 så er alle B2k+1=0, dvs.

3=B5=0 osv.

I Calculus differentialis tilegnet Euler Bern

tall som man treffer De første Bernoulli-taB B0 1 B1 -1/2 B2 1/6 B4 -1/30 B6 1/42 B8 -1/30 B10 5/66 B12 -691/2730 B14 7/6 B16 -3617/510

eB rnoulli und e potenser av de n første naturlige tallene med et tivt heltal nent.

ersøktposi l som ekspo


17

For eksempel summen av kvadrater: 1 4 9 16 25 55

Summen av kuber: 216 343 784

Som også gir differensligningen:

1

0 0

r for de første verdiene av m: 1

2

1 2 3 1

1 8 27 64 125

og

Vi få

2 2

2 16

1

3 2 6

1

4 4 2 4

ernoulli-tallene Bk kan beskrives som en Taylor-rekke:

1

B

!

∞

Denne funksjonen har poler ved 2πn slik at |x|<2π


18

2

1 2·

11 2 2

Vi har også:

1

1

Rekurrensformelen blir

1

Bernoulli-tall finnes igjen om koeffisienter i Taylorutvikling av følgende:

12

12

!

Venstre side av den ligningen kan uttrykkes som et produkt av potensrekker:

∞

!

∞

!

∞

Vi kan sammenligne koeffisienten for xn på begge sider:

! ! !


19

21

Bernoulli-tallene kan man også finne igjen i rekkeutvikling av tan(x), x/sin(x), og log(sin(x)/x) Euler fant igjen Bernoulli-tall i løsningen av Basel-problemet som var å finne grenseverdien for følgende, første gang formulert av Jakob Bernoulli:

∞

6

1∞

112

Alternerende rekker og Cesàrosummering Alternerende rekker er rekker på formen:

hvor an>0 Hvorvidt en slik rekke konvergerer kan undersøkes med Leibniz test,

som sier at hvis grensen for sekvensen an er lik 0 når n går mot uendelig (∞), det vil si at sekvensen an er monotont minskende, og rekken konvergerer. Følgende alternerende harmoniske rekken konvergerer. Vi viser det med Leibniz test hvor an=1/n går mot 0 når n går mot uendelig

13

14

15

2

1

Man kan lage en rekke av de naturlige heltallene og skifte fortegn alternerende 1 – 2 + 3 – 4 + 5-…:

∞

Intuitivt vil vi si at denne rekken divergerer, allikevel skrev Euler at denne rekken konvergerer mot 1/4.


20

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1∞

1

Figur. Cesàro-summer av tallene opp til 100 Vi ser at summen av 100 ledd i rekken blir 50 og det virker paradoksalt at denne summen skal bli lik 1/4. Ernesto Cesàro (1859-1906) studerte denne summen nærmere, og den er en spesialutgave av følgene rekke, noe også Euler oppdaget:

Rekken 1-1+1-1+… kalles Guido Grandis rekke, som det kan argumenteres for konvergerer paradoksalt mot 1/2, foreslått av Euler. Grandis uendelig rekke:

har Cesàro sum lik 1/2. Dette er også lik Dirichlets etafunksjon η(0): og η(-1) blir lik 1/4, det samme som Cesàro summen av

∞


21

Figur. Summen av Grandis rekke Sekvensen av delsummer blir 1,0,1,0,…, og denne rekken konvergerer ikke. Siden de nevnte rekker er tall som summeres kan man manipulere med rekkefølgen av tallene i summasjonen. Gjennomsnittene av delsummene av rekken 1-2+3-4+5-… blir


22

∞

lim∞

1

Figur. Cesarosum (C,1) Vi kan regne ut gjennomsnittene av delsummene som blir rekken 1,0,2/3,0,3/5,0,4/7,… men vi ser at denne rekken ikke konvergerer som betyr at den er ikke Cesàrosummerbar. Derimot kunne Otto Hölder vise at vi Höldersummering (H,n) og Cesàrosummering (C,n) gir samme resultat. Hvis vi tar snittene av gjennomsnittene (C,2) ser vi at summen konvergerer mot 1/4. Vi kan se at Grandisrekken er Cesàrosummerbar og konvergerer mot en 1/2: Cesàrosummering av uendelige rekker vil generelt si at har man rekken:

med delsummen sk for det k-te element:

så vil rekken være Cesàrosummerbar hvis delsumrekken konvergerer mot en sum A:


23

or Grandisrekken ser vi at partialsummene konvergerer ikke, men det

lim∞

Fgjør gjennomsnittet av delsummene 1/1,1/2,2/3,2/4,3/5,3/6,…

som blir lik 1/2.

i kan uttrykke Cauchy-produktet av to uendelige rekker (Augustin Louis

1 1 1 1

Vi ser nå at n starter ved 0, men vi får samme resultat som tidligere, og

man får ved bruk

VCauchy (1789-1857) og i vårt tilfelle med produktet av to Grandisrekker har vi:

ser at produktet av to Grandisrekker blir lik rekken 1,-2,3,-4,5,-6 Det er også en nær tilknytning til Abelsk summering. Dessuten ser man likhetstrekk med absurde summer av Riemanns zeta-funksjon. Se også Dirichlets etafunksjon.

Documents

Rekker og tallfølger - UiO