Regularización Jun 2013 Álgebra

7/28/2019 Regularizacin Jun 2013 lgebra

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Plantel Emiliano Zapata TizayucaACADEMIA DE MATEMTICAS

CURSO DE REGULARIZACINJunio 2013

GUA DE LGEBRA

Alumno:________________________________________


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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTFICOS Y TECNOLGICOS DEL ESTADO DE HIDALGOPlantel Emiliano Zapata Tizayuca

Curso de Regularizacin Junio 2013Academia de Matemticas Gua lgebra

Ac adem ia de Matemtic as (lgeb ra) Pgin a 2

Mensaje

Estimado alumno:

Con el propsito de que el curso de regularizacin que estas por enfrentar sea aprovechado por ti, teofrecemos el siguiente material, mismo que debers de revisarlo conjuntamente con tu maestro asesor y

elegir aquellos ejercicios que presenten mayor dificultad y que te sirvan de muestra para reforzar los temas

que componen el temario de las asignaturas de matemticas.

Los nicos lmites en nuestra vida son aquellos que nosotros mismos imponemos.

Bob Proc tor

Asimismo, te invitamos a que no incurras constantemente en la reprobacin, para que realmente aproveches

el perodo vacacional al mximo, pero sobre todo que adquieras los conocimientos necesarios que requieres

para que tu preparacin acadmica sea ptima y de fortalecimiento matemtico.

La gente no decide su futuro, deciden sus hbitos y sus hbitos deciden su futuro.

FM Alexander

Finalmente, debes de tomar en cuenta que el tiempo asignado al curso de regularizacin no es suficiente para

volver a tratar los temas vistos en clase, por lo que contamos con tu inters no slo en acreditar la asignatura,

sino tambin con t necesidad de aprender y prepararte con perseverancia y empeo para cumplir

cabalmente con el nivel medio superior de bachillerato.

Los altibajos de la vida proporcionan ventanas de oportunidades para determinar tus valores

objetivos. Piensa en usar todos los obstculos como escalones para construir la vida que quieres.

Marsha Sinetar

Por la Academia de Matemticas:

Mtro. Rodolfo Hernndez Pelcastre.

Mtra. Nelly de Jess Chapa Contreras.

Ing. Eloy Alembert Fernndez Honorato.

Ing. Filiberto Espinosa Noble.

Lic. Juan Garca Olgun.

Ing. Cristbal Meneses Hidalgo.

Ing. Manuel Jair Flores Guzmn.

Ing. Rommel Ramrez Hernndez

Ing. Antonio Torres Martnez


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REPASO DE NMEROS REALES

1. Introduccin

Nmer os Natu rales

Nmeros Enteros

Nmer os Racion ales

Nmer os Irracion ales

Nmer os Reales

1. Introdu ccin.

Nmer os Natur ales

Se definen como aquellos nmeros que nacen de la necesidad del hombre por contar y son:

1, 2, 3, 4, 5, 6, , 100, , 1000, + En matemticas indicamos todos ellos entre llaves para designar todos los nmeros naturales:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, , n, +}

La letra se utiliza para designar simblicamente al conjunto de todos los nmeros naturalesEspecficamente a los nmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9se les denomina dgitos.

Nmero s Enteros :

Los nmeros enteros corresponden a los nmeros naturales, nmeros naturales negativos y el nmero 0concretamente:

-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, +

Indicamos todos ellos entre llaves con la letra :

: = { -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, +}

Nmero s Racionales

Un nmero racional es un nmero de la formaa

ben donde a y b y b 0. Utilizamos la letra para

designar a todos los nmeros racionales

= { ab

a, b : b 0}Estos son algunos ejemplos:

Cuando Ejemplo:


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Cuando

De donde se derivan los llamados rac ionales m ixtos, que se forma de una parte entera y otra racional propia.

Los racionales y los decimales. Cada nmero racional tiene una expresin decimal que se obtienedividiendo.

a) Algunos racionales tienen un desarrollo decimal f in i to.

b) Algunos racionales tienen un desarrollo decimal peridicoin f in i to. c) El desarrollo decimalno es nico. Por ejemplo:

De forma general un desarrollo decim al f ini tose puede expresar como un desarrollo decim al peridicoinf in i to.

d) En la expresin decimalse distingue la parte no repetida o anteperiodo y la parte repetida o

periodo. As

NMERO ANTEPERIODO PERIODO

Cmo hallar la fraccin de un decimal? Cada nmero tiene una expresin racional.Ejemplo:

a) Hallar en forma de fraccin el decimal 12.75

Solucin:Se multiplica y se divide respectivamente para desplazar el punto tantos dgitos como decimalestiene el nmero.


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b) Hallar en forma de fraccin

Solucin:Se multiplica para desplazar el punto hasta abarcar el periodo. Tambin se multiplica paradesplazar el punto hasta abarcar el anteperiodo. Por ltimo se restan esas dos cantidades.

Nmero s Irracionales.

Hay otros nmeros adems de los racionales? La respuesta es afirmativa. Con los nmeros racionales yapodemos representar casi todas las cantidades que encontramos en la vida cotidiana.

Sin embargo, hay otra clase de nmeros, los nmeros I rracionalesque se escriben con una infinidad dedecimales pero que no tienen un periodo, es decir, no tienen cifras que se repitan en el mismo orden y, adiferencia de los racionales, no pueden ponerse en forma de fraccin de dos nmeros enteros.

Nmer os Reales

El conjunto de todos los nmeros reales, simbolizado con , consiste en todos los nmeros racionalesy

todos los nmeros irracion ales.

En smbolos, Si los nmeros reales son:

Enteros. ( E)

Naturales. ( N ) Racionales. (Q ) Con sus respectivos decimales.

Irracionales. (

'Q ) 328, 14, 9


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Con sus respectivos decimales.

Ejercicio:Indicar el conjunto al que pertenecen los siguientes nmeros y ubicarlos en la recta numrica:

a) 121 b) 1211

c) 1288

d) 168

e) 132560

f) 12

g) 3 1728

No pertenece a N ( ) 78

Pertenece a R ( )2Pertenece aQ ( )2.4 Pertenece a N ( )

2 No pertenece a R ( ) 9 Pertenece a Q ( ) 0 Pertenece a Z ( ) 10 No pertenece a Z ( )

3.5 Pertenece a Q ( )

Sumas o adic iones

8 3 4 8 3 4

8 3 4 8 3 4

8 3 4 8 3 4

8 3 4 8 3 4

8 3 4 8 3 4

Restas o diferencias

8 3 4 8 3 4

8 3 4 8 3 4

8 3 4 8 3 4

8 3 4 8 3 4

8 3 4 8 3 4

Mult ip l icaciones o produ ctos

8 3 4 8 3 4 8 3 4 8 3 4 8 3 4 8 3 4

8 3 4 8 3 4

8 3 4 8 3 4

Divis in o cociente

8 3 4

8 3 4

8 3 4

8 3 4

8 3 4

8 3 4

8 3 4

8 3 4

8 3 4

8 3 4

Combinacin suma y resta

3 4 5

3 4 5

3 4 5

5 4 3

5 4 3

Comb inacin suma, resta y mult ipl icacin

4 2 4

8 1 2

4 1 3

18

42


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8

42

2 8 10 2 7

3 2 2 1 8

98 2 43

15 3 8 4 9

13 3 8 9 3

3 3 9 2 3 4 5 2 3 2 4 1

6 2 3 2 4 9 3 3 9 2 3 4

8 3 3 9 2 3 4 2 8 7 4 5 3 4 3 4

10 4 5 3 4 1 3 2 9 3 4 3 5 3 6 4

Resolver las siguientes operaciones:

1 2 3

4 4 4

3 2 1

5 5 5

2 1 4

2 2 2

4 3 2

6 6 6

6 9 5

7 7 7

6 2 8

9 9 4

5 2 2

3 8 3

1 1 2

3 9 6

1 2 4 6

7 8 7 9

1 3 4 2

3 4 7 5

EXPRESIN BSICA ALGEBRA ICA

En el tratamiento de problemas algebraicos no slo se utilizan smbolos l i teralespara representar lascant idades desconocidas (llamadas incgnitas), sino tambin para consignar las cantidades que sesuponen conoc idas, a travs de los llamados coeficientes. El lgebra tiene la ventaja de que con su usopueden obtenerse frmulas para resolver problemas de manera general, de modo que, para llegar a lasolucin de un caso particular, es suficiente con sust i tu i ren la expresin algebraica el valor de loscoeficientes.

Generalizando las pr imeras letras del alfabeto representan en el desarrollo de un problema, valoresconstantes; mientras que las ltimasson empleadas para indicar en el desarrollo de un problema, valoresvariables, llamadas incgnitas.

El trm inoes el elemento bsico de las matemticas, en aritmtica lo denominamos trm ino numrico, y

consta de un nmero real (Racional, Entero; natural y negativo ; e irracional )Las letras representan nmeros y reciben el nombre de l i terales. Por ejemplo:


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En lgebra lo llamamos trm in o a lg eb rai coy consta slo de la multiplicacin de una o varias literales y uncoeficiente, antecedido por un signo ( + positivo negativo ). Tambin lo conocemos como monomio.

As en el siguiente trm ino a lg eb rai co monom iodistinguimos:

Cuando una expresin algebraica no muestra el coeficiente, ste se considera el nmero 1, en base a lapropiedaddel elemento neutrode la mult ipl icacin.

Cuando un trm in o a lgeb rai coo monom ioes separado por la operacin de sumao diferenciase formanexpresiones algebraicas de ms de un solo trmino, nombrndolas binom ios, t r inomios o pol inomios.

En general, a estas ltimas, se les denomina expresiones p ol inmicaso simplemente po l inomios. Asdependiendo de la cantidad de trminos algebraicos o monomios que tiene la expresin recibir su nombreVer tabla 1

Tabla 1

Nombre Ejemplo

Con un trmino algebraico Monomio Con dos trminos algebraicos Binomio o polinomio

Con tres trminos algebraicos Trinomio o polinomio Con cuatro trminos algebraicos Polinomio Con dos o ms trminos algebraicos Polinomio

En el ejemplo observamos que la ltima expresin algebraica es el nmero -8al formar parte de la expresin algebraica se le considera monom ioy se nombra trm ino in dep end ien te.

Por otra parte la expresin algebraica;

Se considera monom ioAs como la expresin algebraica;

Se considera binomio

GRADO DE UNA EXPRESIN ALGEBRAICA


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Monomio

El grado relat ivode un monom ioest dado por el exponentede la l i teralque se est tomando en cuentaAs por ejemplo:

Grado relativo:

Respecto de Respecto de Respecto de

El grado absolutode un monom ioest dado por la suma de los exponentes de las literales. As por ejemplo:

Polinomio

El gradode un pol inomioque contenga unasola l i teralest dado por el mayorde sus exponentes.

Cuando un po l inomiotiene varias l i terales, el grado depender de la l i teralque se considere. Por ejemplo:

Grado respecto a: x es 3

y es 3

z es 4

Grado del primer trmino 4

Grado del segundo trmino 2

Grado del tercer trmino 8

El grado absoluto del pol inomioestar dado por el gr ado del trm in oque tenga el mayor grado absoluto

ORDEN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Orden d e un trm in o

Mayor exponente

Este trmino es el

de mayor grado

El grado absoluto de cadatrmino est dado por la

suma de sus exponentes

Polinomio de

octavo grado


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Las literales de un mismo trm inose orden an alfabtic amen tey, sin importar los exponentes, el coef ic ientesiempre debe irantes qu e las l i terales. Este orden te ayudar en la identificacin de trm inos semejan tesPor ejemplo:

Al ordenar obtenemos

Orden de un pol inom io

Ordenar un polinomio implica escribir sus trminos de tal forma que el exponentede una misma li terad isminuyao aumentede trm inoa trm ino.

Para que las operaciones sean ms sencillas, se recomienda siempretener los po l inomiosordenados, y

sus l i terales, escritas en ord en a lf abti co.

Ejemplos:

Ordenar el siguiente polinomio respecto a x

De mayor a menor exponente (orden decreciente o descendente)

De menor a mayor exponente (orden creciente o ascendente)

Obsrvese que el trmino independiente siempre se coloca al final del orden considerado.Ordena en forma descendenteel siguiente polinomio:

Ordenar en forma ascendenterespecto a al siguiente polinomio:

TRADUCCIN DE LENGUAJE COMN AL LENGUAJE ALGEBRA ICO

Leng uaje comn

La sum a de dos nmeros ig uales

Lengu aje numric o Lengu aje algeb raico

2+2 (-5) + (-5)

Primero el coeficiente


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La sum a de dos nmeros o la suma de do s nmero s cualesqu iera.

8 + 7 El tr ip le de un nmero m enos el cu adrado del mismo .

3(4) 42 La sum a de los cub os de do s nmeros o dos nmeros c ualesquiera.

73 + 93 El cudru ple de cu adrado d e un nmero meno s la mitad de otro .

4(22) - (9) La raz cbi ca d e la difer enc ia de do s nmeros

El cuadrado de un n mero m enos el cuadrado de la suma de otros dos nmeros.

Smbolo aritmtico Smbolo algebraico

Adicin 8+3 a + b

Sustraccin 8-3 a - b

Producto 8x3 a(b) o ab o a*b o ab

Cociente 83 ab o (a) (b) o

Recuerda que en lgebra no se utiliza el smbolo x para indicar una multiplicacin, ya que se confunde conla x que denota una expresin algebraica.

Ejercicios.

Escribe en lenguaje algebraico las siguientes oraciones:

Lenguaje comn Lenguaje algebraico

Dos nmeros cuyo producto es 18 Tres cubos consecutivos


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Un mltiplo de 5 ms su doble La raz cuadrada de la diferencia de dos cantidades

Los cuadrados de tres nmeros consecutivos Dos nmeros que sumen 34

El doble de un nmero menos cuatro quintos del mismo nmero El cociente de un nmero entero entre su antecesor

El recproco de un nmero

La edad de una persona hace 10 aos

Los ngulos de un tringulo, si el primero es el doble del segundo

Las dos terceras partes de un nmero, ms el triple de suconsecutivo, menos su recproco equivale a 10

El permetro de un tringulo rectngulo, si se sabe que el cateto

mayor mide tres unidades ms que el cateto menor, y que lahipotenusa es dos unidades mayor que el cateto mayor.

El rea de un cuadrado de lado x unidades

Un nmero disminuido en tres 1. Dada una expresin algebraica, representa en lenguaje comn las siguientes expresiones algebraicas:

Ejemplos:

Expresin Lenguaje comn

La quinta parte de un nmero cualesquiera

El cubo de la sexta parte de un nmero cualesquiera

El producto de la suma por su diferencia de dos nmeros cualesquiera Cul es el nmero que agregado a 3 suma 8?

Ejercicios:

Expresin Lenguaje comn


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Escribe usando smbolos y simplifica el resultado:

Lenguaje comn Expresin

La suma de 24 y 19 19 ms que 33

Dos veces la diferencia de 9 y 4

El producto de 6 y 16 3 veces la diferencia de 27 y 21

La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado El cociente de 3 al cubo y 9

Estimado alumno, te recomendamos realices la actividad sin presin y slo por el gusto de aprender y mejoraren la comprensin. Recuerda que la prctica hace al maestro, cada vez que resuelvas uno de los ejercicios y


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antes de continuar reptelo en voz alta, concentrndote en la forma de su escritura y lectura. Asimismo,recuerda que existen diferentes formas de expresar una misma expresin intntalo sobre todo en aquellosejercicios que te hayan causado mayor problema al resolverlo, nimo y adelante.


1. El doble de un nmero menos su cuarta parte.

2. Aos de Ana Beln dentro de 12 aos.

3. Aos de Isabel hace tres aos.

4. La cuarta parte de un nmero ms su siguiente.

5. Permetro de un cuadrado.

6. Un nmero par.

7. Un nmero impar.8. Un mltiplo de 7.

9. Dos nmeros enteros consecutivos.

10. Dos nmeros que se diferencian en dos unidades.

11. El doble de un nmero menos su quinta parte.

12. El quntuplo de un nmero ms su quinta parte.

13. La edad de una seora es el doble de la de su hijo menos 5aos.

14. Dos nmeros se diferencian en 13 unidades.

15. Dos nmeros suman 13.

16. Un hijo tiene 22 aos menos que su padre.

17. Dos nmeros cuya suma es 25.

18. La cuarta parte de la mitad de un nmero.

19. Dimensiones de un rectngulo en el que su largo tiene 6metros ms que el ancho.

20. Un tren tarda tres horas menos que otro en ir de Madrid aBarcelona.

21. Repartir una caja de manzanas entre seis personas.

22. Un nmero es 10 unidades mayor que otro.

23. Un nmero menos su mitad ms su doble.

24. Un nmero 5 unidades menor que otro.25. El cuadrado de un nmero.

26. Un nmero y su opuesto.

27. Un nmero y su inverso.

28. Veinticinco menos el cuadrado de un nmero.

29. El cuadrado de un nmero menos su cuarta parte.

30. Dividir 25 en dos partes.

31. La suma de un nmero al cuadrado con su consecutivo.

32. La suma de un nmero con su consecutivo al cuadrado.


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33. El cociente entre un nmero y su cuadrado.

34. La diferencia de dos nmeros impares consecutivos.


35. El producto de un nmero con su consecutivo.

36. La diferencia de dos nmeros consecutivos elevados alcuadrado.

37. Triple de un nmero elevado al cuadrado.

38. Restar 7 al duplo de un nmero al cuadrado.

39. Roberto es cinco aos ms joven que Arturo.

40. Antonio tiene 20 euros ms que Juan.

41. Carmen supera a Concha en tres aos

42.El precio de m libros a 49 euros cada uno.

43. Dos mltiplos de tres consecutivos.

44.El nmero que es la cuarta parte del nmero y.

45. El 25% de un nmero.

46.Lo que cuestan c metros de cuerda si cada metro cuesta 8euros.

47. El beneficio que se obtiene en la venta de un artculo quecuesta a euros y se vende por b euros.

48.Lo que cuesta un lpiz si 15 cuestan p euros.49. El nmero que representa 12 unidades ms que el nmero

x.

50. La edad de Juan es ocho veces la de Rafael.

51. El nmero que representa 20 unidades menos que el nmeroh.

52.El nmero que es tres veces mayor que el nmero n.Considerando un rebao de x ovejas:

53. Nmero de patas del rebao.

54. Nmero de patas si se mueren 6 ovejas.

55. Nmero de ovejas despus de nacer 18 corderillos.56. Nmero de ovejas despus de dos aos si el rebao crece

un cuarto al ao. Considerando que Ana tiene x euros:

57. Enrique tiene 100 euros ms que Ana.

58. Susana tiene el doble de Enrique.

59. Charo tiene 400 euros menos que Susana.


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Resuelve las siguientes operaciones y subrayar la opcin que indica el resultado correcto:

1) 2)

3) Suma 4) Cul es el resultado de 5) 6) 7) 8)

9) E 10) 11) 12) 13) 14) 15)

16)

17)

18)

19) 20) Un obrero est pintando una barda, cuya superficie es de metros cuadrados, si le

faltan por pintar metros cuadrados. Qu superficie lleva pintada?21) Las dimensiones de una caja en decmetros son: de largo, de ancho y de altura

Cul es su volumen?


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REPASO DE PRODUCTOS NOTABLES

Los productos notables son aquellos que se pueden obtener mediante un simple desarrollo sin necesidad deefectuar el producto.

CUADRADO DE UN B INOMIO

El desarrollo de la suma y diferencia de dos cantidades al cuadrado, es igual a:

En forma general se puede expresar:

A la expresin resultante se le conoce con el nombre de Trinomio Cuadrado Perfecto.

Anlisis:

Trinomio: , (Tres monomios)Cuadrado: El primero y tercer trmino son cuadrticos, es decir, tienen raz cuadrada exacta.

Perfecto: El trmino de en medio se forma con el doble producto del primero por el segundo trmino.

La expresin es equivalente a la expresin Realizando el producto, aplicando la propiedad distributiva, de los binomios, obtenemos:

Ejemplos:

a)

El cu adrad o del prim er trm ino , ms o menos el do ble p rod uc to d el prim er trm ino po r el

segun do , ms el cu adrado del segu nd o trm ino .

b b


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Aplicando la regla general receta de cocina

El cuadrado del primer trmino El doble producto del primer trmino por el segundo

El cuadrado del segundo trmino Se suman los trminos resultantes y se obtiene:

b) Se aplica la regla considerando a como primer trmino y a segundo trmino.

c)

Sustituyendo los trminos en la regla y efectuando las operaciones resulta:

d)

En este ejemplo se observa que los exponentes de las bases son expresiones algebraicas, por lo tanto aaplicar la regla se obtiene:

e) El binomio se expresa de la siguiente manera: ( )

Aplicando la regla resulta:

( ) f)

g)

Ejercicios: Desarrol la las siguientes expresion es:


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(

)

CUADRADO DE UN TRINOMIO

El desarrollo de la expresin , es igual:

Demostracin:

La expresin es equivalente al producto:

Simplificando trminos semejantes:

Ejemplos:

a)

b) La expresin se representa como ()y se aplica la regla establecida:

c)

A la s uma de los cuad rados de cada u no de los trmin os, ms los dob les pr odu ctos de las

com binaciones entre ellos


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BINOMIOS CONJUGADOS O EL PRODUCTO DE LA SUMA POR SU DIFERENCIA DE DOS

CANTIDADES.

Son de la forma y su resultado es:

Demostracin:

La expresin es equivalente al producto de ambas expresiones, aplicando la propiedaddistributiva:

Ejemplos:

a) b) ( )( ) () c) ( )( ) () () d) ( )( ) () () ()() ()() e)

[ ][ ]

f) g) () h)

Igual a la diferencia de los cuadr ados de ambas exp resiones


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( )( )

PRODUCTO DE POLINOMIOS DONDE SE APLICAN B IOMIOS CONJUGADOS

Ejemplos:

a) El resultado de es:Se agrupan los elementos de ambos factores de la siguiente manera:

[ ][ ]Se aplica la frmula para binomios conjugados:

Se desarrolla el binomio y se obtiene como resultado:

b) Desarrolla :

El producto se acomoda de la siguiente manera y se desarrolla como binomio conjugado

[ ][ ] c)

[ ][ ] Se desarrollan los binomios, se eliminan los parntesis y se ordena los trminos:



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BINOMIO CON TRMINO COMN

Son de la forma su resultado es un trinomio cuyo desarrollo es:

Demostracin:

Se realiza el producto de los binomios, aplicando la propiedad distributiva:

Se agrupan los trminos semejantes y se obtiene la regla:

Ejemplos:

a) Desarrollar Aplicando la regla descrita:

El cuadrado del trmino comn: La suma de los trminos no comunes, multiplicada por el trmino comn:

El producto de los trminos no comunes: Se suman los trminos anteriores y se obtiene como resultado:

b) Desarrollar

c) Efectuar

d) Resuelve

El c uad rad o d el trm ino comn, ms l a sum a de lo s trm inos no comun es po r el trm ino

com n, ms el pro duc to d e los n o comu nes.


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e) Desarrolla Se agrupan los trminos en comn:

[ ][ ]

Aplicando la regla para binomios con trmino comn, se obtiene:

[ ][ ]

f) Desarrolla Se agrupan los trminos en comn:

[ ][ ]Aplicando la regla para binomios con trmino comn, se obtiene:

[ ][ ]


CUBO DE UN BINOMIO

Es de la forma su desarrollo es un polinomio de cuatro trminos llamado cubo perfecto y su regla desolucin es:

El cub o d el primer trmin o ms o meno s el tr iple p rodu cto del cu adrado del prim ero p or el

segu nd o trm ino ms el trip le pr od uc to del prim ero po r el cu adr ado del segun do trm ino ms

o m enos el cubo del segun do trm ino .


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Demostracin:

La expresin es equivalente al producto , luego entoncesobtenemos:

Ejemplos:

a) Se obtiene cada uno de los trminos que conforman el cubo perfecto:

El cubo del primer trmino

El triple producto del cuadrado del primero por el segundo trmino: El triple producto del primero por el cuadrado del segundo trmino: El cubo del segundo trmino:

Estos resultados se agrupan sumndolos resultando:

b) Resuelve

El binomio se representa como: [ ] se aplica la regla general:

c)

d)


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e)


MULTIPLICAC IN POLINOMIOS QUE SE RESUELVEN CON DIVERSOS CASOS DE PRODUCTOS

NOTABLES

Se emplean para resolver una multiplicacin de polinomios, siempre y cuando las caractersticas de losfactores permitan aplicar las reglas de los productos notables. Se agrupan las expresiones y se desarrolla eproducto notable que corresponda a las caractersticas de los mismos; con los factores resultantes se aplica emismo procedimiento hasta obtener el resultado.

a) Desarrolla el producto Se eligen los factores los cuales se resuelven como producto de binomios conjugados:

Luego se multiplica este resultado con

Por lo tanto:

b) Desarrolla el producto De acuerdo a la eleccin de los factores es como se procede a aplicar el producto notable, en este casoreagruparemos los factores de la siguiente forma:

Resolviendo tenemos:


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Por lo tanto:

c) Se desarrollan los cuadrados de los binomios:

Aplicando binomios conjugados:

[ ] Por lo tanto:

Ejerc ic ios: Real iza las sig uientes mul t ip l icaciones apl icando producto s notables: e

i

REPASO DE FACTORIZACIN O DESCOMPOSICIN FACTORIAL

Factores

Se llama factores o divisores de una expresin algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadasentre s dan como producto la expresin inicial.

Factor comn.

Es expresar un a suma o diferencia de trmin os c omo el prod ucto in dicado de sus fac tores;

stos se p res ent an en la fo rm a ms s im ple.

Es la expres in com n qu e tienen to do s los trm ino s de un a expresi n algebraic a.


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FACTOR UN MONOMIO

El factorar un monomio por simple inspeccin, es tomar en cuenta los elementos que conforman el monomio.

Ejemplos:

a) As los factores del monomio son, por simple inspeccin:

b) Los factores de por simple inspeccin, resultan ser:

c) Al factorar la expresin por simple inspeccin obtenemos:

d) Cuando se factora la expresin algebraica monmica resulta: Ejerc ic ios: descom poner en factores los siguientes monomios:

FACTORAR UN POL INOMIO

No todo polinomio se puede descomponer en dos o ms factores distintos de 1, pues del mismo modo que enAritmtica, hay nmeros primos que slo son divisibles por ellos mismos y la unidad, hay expresionesalgebraicas que slo son divisibles por ellas mismas y por 1, y que, por tanto, no son el producto de otrasexpresiones algebraicas. As no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque slo esdivisible por y por 1.CASO I

a) Factor comn monomio

Ejemplos:

1) Descomponer en factores Para encontrar el factor comn se toma la letra que se repite y de menor exponente , despus cada uno delos trminos de la expresin algebraica se dividen entre el factor comn:

Los resultados se expresan de la siguiente manera:


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Para comprobar que nuestro resultado obtenido es correcto, se realiza el producto, aplicando la propiedaddistributiva de la multiplicacin, si se obtiene la expresin original motivo de la factorizacin, el resultado escorrecto.

2) Factorar la expresin El factor comn es

Al dividirlo entre el polinomio se obtiene:

Por lo tanto:

Comprobacin aplicando la propiedad distributiva: 3) Factorar la expresin

Se busca el factor comn de las literales y primeramente el de los coeficientes, el cual es el mximo comndivisor de ellos:

Se llevan a cabo las divisiones trmino a trmino, obteniendo como resultado de la factorizacin:

Comprobacin:

4) Factorar

( )5) Factorar

Ejerc ic ios: Factorar o descompo ner en dos factores:


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b) Factor comn polinomio

Ejemplos:

1)

Comprobacin:

2) Se agrupan los trminos y de los primeros se factoriza m y de los segundos a

La ltima expresin se vuelve a factorizar tomando como factor comn el binomio y se obtiene comoresultado:

Comprobacin aplicando la propiedad distributiva::

Ordenando los trminos, tenemos:

3) Factorizar

Comprobacin aplicando la propiedad distributiva:

Ordenando los trminos resulta:

4) Factorar Se introducen los dos ltimos trminos en un parntesis precedido del signo menos (), resultando:


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Se factoriza el binomio comn, agrupndolos con los otros trminos:

Se comprueba la identidad aplicando la propiedad distributiva:

Ejerc ic ios: Factorar o descompo ner en dos factores:

( )

CASO II

FACTOR COMN POR AGRUPACIN DE TRMINOS

Ejemplos:

Descomponer en dos factores:

a) b)

( )( )c)

( )d) ( )e)

f)

( )( )


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Ejercicio: Real izar la com pro bacin de los 6 ejemplo s anteriores.

Adems:

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Recordando lo tratado en pgina 8 de estas notas tenemos:

CUADRADO DE UN B INOMIO

El desarrollo de la suma y diferencia de dos cantidades al cuadrado, es igual a:

En forma general se puede expresar:

A la expresin resultante se le conoce con el nombre de Tr inom io CuadradoPerfecto.

Anlisis:

Trinomio: , (Tres monomios)Cuadrado: El primero y tercer trmino son cuadrticos, es decir, tienen raz cuadrada exacta.

Perfecto: El trmino de en medio se forma con el doble producto del primero por el segundo trmino.

Por lo tanto, para factorizar un TCPes necesario verificar que se trate de l, por lo que llevaremos a cabo eanlisis descrito en prrafo anterior:

Ejemplos:

a) Factorizar el trinomio Se debe verificar que los trminos se encuentren ordenados con respecto a los exponentes de mayor

a menor o viceversa.

Se extraen las races cuadradas de los trminos extremos (primero y ltimo trminos)

Para comprobar que la expresin es un TCP se realiza el doble producto de las races:

El cu adrad o del prim er trm ino , ms o menos el do ble p rod uct o d el prim er trm ino po r el

segun do , ms el cu adrado del segu nd o trm ino .


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Como la expresin es un TCP, la factorizacin es un binomio al cuadrado, formado por el binomio al cuadrado

de las races cuadradas del primer y ltimo trmino, separado por el signo del segundo trmino del trinomiooriginal.

Comprobacin:

Al desarrollar el producto notable deber de resultar el trinomio original por factorizar.

b) Factorizar el trinomio Ordenando los trminos:

Determinando las races cuadradas de los trminos extremos:

Comprobando que es un TCP

Por lo tanto al ser un TCPsu factorizacin es:

Comprobando la factorizacin:

c) Factorizar el trinomio Ordenando los trminos:



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d) Factorizar el trinomio Ordenando los trminos: Determinando las races cuadradas de los trminos extremos:





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e) Factorizar el trinomio

Ordenando los trminos:





f) Factorizar el trinomio Ordenando los trminos:



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Ejercicios:

CASO IV

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Ejemplos:

a) Factorar la expresin Se extrae la raz cuadrada al minuendo y sustraendo. Se multiplica la suma de estas races cuadradas por la diferencia.

Se observa que el resultado de la diferencia de cuadrados perfectos es el producto de binomios conjugados.

Para la comprobacin se aplica la propiedad distributiva:


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b) Factorar la expresin Se extrae la raz cuadrada al minuendo y sustraendo. Se multiplica la suma de estas races cuadradas por la diferencia.



c) Factorar la expresin

Se extrae la raz cuadrada al minuendo y sustraendo. Se multiplica la suma de estas races cuadradas por la diferencia.



d) Factorar la expresin Se extrae la raz cuadrada al minuendo y sustraendo. Se multiplica la suma de estas races cuadradas por la diferencia.


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e) Factorar la expresin

Se extrae la raz cuadrada al minuendo y sustraendo. Se multiplica la suma de estas races cuadradas por la diferencia.



CASOS ESPECIAL

Ejemplos:

a) Factorar la expresin La regla empleada en los ejercicios anteriores se aplica a las diferencias de cuadrados en que uno amboscuadrados sean expresiones compuestas.

Por lo tanto tenemos que:

La raz cuadrada de


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La raz cuadrada de es Se multiplica la suma de estas races por la diferencia teniendo:

[ ][ ]

Comprobacin:

b) Factorar la expresin

La raz cuadrada de La raz cuadrada de es Se multiplica la suma de estas races por la diferencia teniendo:

[ ][ ]

Comprobacin:

c) Factorar la expresin La raz cuadrada de La raz cuadrada de es 3 Se multiplica la suma de estas races por la diferencia

teniendo:

[ ][ ] [ ][ ]

Comprobacin:


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d) Factorar la expresin

Ordenando la expresin resulta: La raz cuadrada de La raz cuadrada de es Se multiplica la suma de estas races por la diferencia

teniendo:

[ ][ ]

Comprobacin:

Ejercicios: Factorizar las sigu ientes expresion es algebraicas y efectuar la comp rob acin:

COMBINACIN DE LOS CASOS III Y IV

La descomposicin de expresiones compuestas mediante el arreglo conveniente de sus trminos, se obtieneuno o dos TCPy descomponiendo estos trinomios (caso III), se obtiene una diferencia de cuadrados (casoIV),

Ejemplos:

a) Factorar Se observa que tenemos el TCP , el cual agrupndolo con -1 resulta factorando el trinomio se presenta diferencia de cuadrados, que al factorizarla resulta:

Comprobando:


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b) Factorar

Se observa que tenemos el TCP , el cual agrupndolo con-36resulta: , factorando el trinomio se obtiene , diferencia de cuadrados, que afactorizarla resulta:

Comprobando:

( ) c)

Se observa que tenemos dos TCP , los cuales agrupndolos resulta:

Los cuales al factorizarlos se obtiene:

Diferencia de cuadrados que al factorizarla resulta:

[ ][ ]Comprobando:

[ ][ ]

d)

Se observa que tenemos dos TCP , los cuales agrupndolosresulta:

Los cuales al factorizarlos se obtiene:


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Diferencia de cuadrados que al factorizarla resulta:

[ ][ ]Comprobando:

[ ][ ]

Ejercicios: Factorizar las sigu ientes expresiones algebraicas y efectuar la com prob acin:

TRINOMIO DE LA FORMA

Son trinomios que cumplen las siguientes condic iones:

1. El c oefic iente del p rimer trm ino es 1.

2. El prim er trm ino es un a literal cualq uiera elevada al cuadr ado .

3. El segun do trmin o tiene la mism a l i teral que el p rimero con expon ente 1 y su coeficiente esuna cantidad cu alquiera, pos it iva o negativa.

4. El t ercer trm ino es i nd epen di ent e de la l iter al q ue apar ece en el 1y 2trm inos y es u nacantid ad cualquiera, pos it iva o negativa.

Los siguientes trinomios son ejemplos de la forma descrita:

Regla pract ica para factorar un Trinom io de la Form a

1) El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer trmino es , o sea la raz cuadradadel primer trmino del trinomio.

2) En el primer factor, despus de

se escribe el signo del segundo trmino, y en el segundo factor

despus de de escribe el signo resultante de multiplicar el signo del 2 trmino del trinomio por esigno del tercer trmino del trinomio.3) Si los dos factores binomios tienen en medio signos ig ualesse buscan dos nmeros cuya sumasea

el valor absoluto del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercertrmino del trinomio. Estos nmeros son los segundos trminos de los binomios.

4) Si los dos factores binomios tienen en medio signos dist intos se buscan dos nmeros cuyadiferenciasea el valor absoluto del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea el valor absolutodel tercer trmino del trinomio. El mayorde estos nmeros es el segundo trmino del primer binomioy el menor, el segundo trmino del segundo binomio.


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Ejemplos:

a) Factorar la expresin algebraica El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer trmino es la raz cuadrada del

es decir

:

En el primer binomio despus de se escribe el signo + (positivo) porque el segundo trmino del trinomio + 3xtiene signo +. En el segundo binomio, despus de , se escribe el signo que resulta de multiplicar el el signode + 3x por el signo de -10, por lo que resulta

Ahora, como en los binomios tenemos signos distintos buscamos dos nmeros cuya diferencia sea 3 y cuyoproducto 10. Estos nmeros son 5 y 2, por lo que tenemos:

Comprobacin:

b) Factorar la expresin algebraica

El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer trmino es la raz cuadrada del es decir:

En el primer binomio despus de se escribe el signo (positivo) porque el segundo trmino del trinomio tiene signo En el segundo binomio, despus de , se escribe el signo que resulta de multiplicar elsigno de por el signo de , por lo que resulta

Ahora, como en los binomios tenemos signos iguales buscamos dos nmeros cuya suma sea 10 y cuyoproducto 21. Estos nmeros son 7 y 3, por lo que tenemos:

Comprobacin:

c) Factorar la expresin algebraica El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer trmino es la raz cuadrada del es decir:


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En el primer binomio despus de se escribe el signo (negativo) porque el segundo trmino del trinomio

tiene signo

En el segundo binomio, despus de

, se escribe el signo que resulta de multiplicar e

signo de por el signo de por lo que resulta Ahora, como en los binomios tenemos signos desiguales buscamos dos nmeros cuya diferencia sea 20 ycuyo producto 300. Estos nmeros son 30 y 10, por lo que tenemos:

Comprobacin:

d) Factorar la expresin algebraica


En el primer binomio despus de se escribe el signo (negativo) porque el segundo trmino del trinomio tiene signo En el segundo binomio, despus de , se escribe el signo que resulta de multiplicar esigno de por el signo de por lo que resulta

Ahora, como en los binomios tenemos signos iguales buscamos dos nmeros cuya suma sea 15 y cuyoproducto 54. Estos nmeros son 9 y 6, por lo que tenemos:

Comprobacin:

e) Factorar la expresin algebraica Se ordenan los trminos y se factoriza el signo negativo:



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En el primer binomio despus de se escribe el signo (negativo) porque el segundo trmino del trinomio tiene signo En el segundo binomio, despus de , se escribe el signo que resulta de multiplicar esigno de por el signo de por lo que resulta

Ahora, como en los binomios tenemos signos desiguales buscamos dos nmeros cuya diferencia sea 4 y cuyoproducto 5. Estos nmeros son 5 y 1, por lo que tenemos:

Se multiplica el signo por los trminos del primer factor y el resultado de la factorizacin es:

Comprobacin:

f) Factorar la expresin algebraica

El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer trmino es la raz cuadrada del es decir : [ ][ ]

En el primer binomio despus de : se escribe el signo (negativo) porque el segundo trmino detrinomio tiene signo En el segundo binomio, despus de , se escribe el signo que resultade multiplicar el signo de

por el signo de

por lo que resulta

[ ][ ]Ahora, como en los binomios tenemos signos desiguales buscamos dos nmeros cuya diferencia sea 3 y cuyoproducto 28. Estos nmeros son 7 y 4, por lo que tenemos:

[ ][ ]

Comprobacin:



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TRINOMIO DE LA FORMALos siguientes trinomios son ejemplos de la forma descrita:

Se diferencian del caso anterior, en que el primer trmino, es decir, el trmino cuadrtico tiene el coeficientedist intode 1.

Ejemplos:

a) Factorar la expresin algebraica Se puede proceder de dos posibles maneras:

1. Dividir el trinomio entre el coeficiente del trmino cuadrtico, con el propsito de que ste sea 1, sinembargo, los dems trminos no resultan ser cantidades enteras sino racionales complicando as labsqueda de los factores numricos. Por lo anterior, convendr este mtodo si las divisiones

resultarn exactas.

2. Multiplicar el primer y tercer trmino del trinomio por el coeficiente del primer trmino, con el propsitode que ste sea cuadrtico, y el segundo nicamente se indicar la operacin, sin realizarla. Laventaja de este mtodo es que se trabaja en primera instancia con nmeros enteros y por otra eprimer trmino siempre tendr raz cuadrada exacta. Es importante hacer notar que a los factoresresultantes se les deber eliminar el efecto de la multiplicacin, descomponiendo el factor multiplicadory hasta donde sea posible dividirlo a los binomios resultantes.

Aplicndolo obtenemos:

El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer trmino es la raz cuadrada del es decir [ ][ ]En el primer binomio despus de : se escribe el signo (positivo) porque el segundo trmino del trinomio tiene signo En el segundo binomio, despus de , se escribe el signo que resulta de multiplicar esigno de por el signo de por lo que resulta

[ ][ ]Ahora, como en los binomios tenemos signos iguales buscamos dos nmeros cuya suma sea 7 y cuyoproducto 12. Estos nmeros son 4 y 3, por lo que tenemos:

[ ][ ] A esta factorizacin se le quita el efecto de la multiplicacin por 6, descomponiendo ste en 2 y 3, dividindoloentre los binomio resultantes.


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Comprobacin:

b) Factorar la expresin algebraica El trinomio suele confundirse con un TCP, sin embargo, al verificarlo no es un TCP, por lo que, al multiplicarlopor 4 obtenemos:

Comprobando:

c) Factorar la expresin algebraica

Multiplicando la expresin por 14 tenemos:

El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer trmino es la raz cuadrada del es decir. [ ][ ]En el primer binomio despus de : se escribe el signo (negativo) porque el segundo trmino detrinomio tiene signo En el segundo binomio, despus de , se escribe el signo que resulta demultiplicar el signo de por el signo de por lo que resulta

[ ][ ]Ahora, como en los binomios tenemos signos desiguales buscamos dos nmeros cuya diferencia sea 45 ycuyo producto 196. Estos nmeros son 49 y 4, por lo que tenemos:

[ ][ ] A esta factorizacin se le quita el efecto de la multiplicacin por 6, descomponiendo ste en 2 y 3, dividindoloentre los binomio resultantes.


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( )( )Comprobando:

TRINOMIO DE LA FORMA

Por agrupacin de trminos

d) Factorar la expresin algebraica Se multiplica el coeficiente del primer trmino por el trmino independiente:

Se buscan dos nmeros que multiplicados den 30 y sumados 13, en este caso los nmeros son 10 y 3,por lo tanto, el segundo trmino del trinomio se expresa como:

Y se procede a factorizar agrupando trminos:

Finalmente la factorizacin es:

Comprobando:

e) Factorar la expresin algebraica Se multiplica el coeficiente del primer trmino por el trmino independiente:

Se buscan dos nmeros que multiplicados den 48 y sumados -19, en este caso los nmeros son-16 y -3, por consiguiente, se expresa como:

Y se procede a factorizar agrupando trminos:


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Finalmente la factorizacin es:

( )( )Comprobando:


CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

De productos notables tenemos:

Para ser considerado cubo perfecto, tiene que cumplir con las siguientes cond ic iones:

1. Tener cu atro s trm inos .

2. Que el pr imer y el ltim o trm ino sean c ub os p erfect os .

3. Que el segun do trm ino sea ms o men os el trip lo del c uad rado de la r az cubic a del p rim ertrm in o m ul ti pl ic ado po r l a raz cb ic a del ltimo trm ino .

4. Que el t erc er trm ino s ea ms el tr ip lo de l a raz cbi ca del pr im er trm ino po r el cu adr ado de l araz cb ic a d el ltimo .

Si todos los trminos de la expresin son pos i t i vos, la expresin dada es el cubo de la sumade las racescbicas de su primero y ltimo trmino, y si los trminos son al ternativamente posi t ivos y negat ivoslaexpresin dada es el cubo de la di ferenciade dichas races,

Ejemplos:

a) Factorizar la expresin algebraica Analizar si cumple con las cuatro condiciones expuestas:

1. La expresin tiene cuatro trminos: 2. El primer trm in o y el lt im o trm in o tienen raz cbica exactapor lo que son cubo s perfectos.


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3. El segundo trmino 4. El tercer trmino ( )

Al cumplir con las condiciones la factorizacin se forma con las races cbicas del primer y ltimo trminoelevado al cubo

Comprobando:

[ ]

b) Factorizar la expresin algebraica

Analizar si cumple con las cuatro condiciones expuestas:

1. La expresin tiene cuatro trminos: 2. El primer trm in o

y el lt im o trm ino

tiene raz cbica exacta

por lo que son cubo s perfectos.

3. El segundo trmino 4. El tercer trmino ( )

Al cumplir con las condiciones la factorizacin se forma con las races cbicas del primer y ltimo trminoelevado al cubo

Comprobando:

[ ]


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Ejercicios: Factorizar las sigu ientes expresion es algebraicas y efectuar la comp rob acin:

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Se sabe que

Y como toda divisin exacta el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente, se tiene:

La regla nos diceque:La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

La suma de sus races cbicas El cuadrado de la primera raz, menosel producto de ambas races, msel cuadrado de la segunda

raz.

La regla

nos diceque:

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

La diferencia de sus races cbicas El cuadrado de la primera raz, msel producto de ambas races, msel cuadrado de la segunda raz.

Ejemplos:

a) Factorar la suma de cubos perfectos La raz cbica de La raz cbica de

De acuerdo con la regla 1:

[ ] ( )Comprobacin:

( )


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b) Factorar la diferencia de cubos perfectos La raz cbica de La raz cbica de


[ ] ( )

Comprobacin:

( )

c) Factorar la suma de cubos perfectos La raz cbica de La raz cbica de


[ ][ ] [ ]

( )

Comprobacin:

( )

d) Factorar la diferencia de cubos perfectos


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )


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Comprobacin:


Miscelnea de ejercicios

Ejercicios: Ident i f ica el t ipo d e expresin algebraica, factorizla, mostran do las o peracion es real izadas yl levando a cabo su comp robacin:


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ECUACIN

Una ecuacin se define como una igualdad que existe entre dos valores representados por letras, de loscuales uno o ms se desconocen.

A la parte de la igualdad que esta ala izquierda se le llama 1er. Miembro, y a la que se localiza a la derecha2 miembro.

Dos ecuaciones son equivalentes cuando se cumple la igualdad.

Por ejemplo:

Se busca un nmero que sustituya a la incgnita (x) y que sumado a 6 sea igual a 9.

Porque la solucin de la ecuacin es x = 3

Una ecuacin puede tener ms de una literal, por ejemplo:

La solucin es una pareja de nmeros que sumados dan como resultado 9.

La solucin en este caso no es nica.

Cuando en una ecuacin el mayor exponente es i decimos que se trata de una ecuacin de primer grado olineal.

En matemticas la incgnita con exponente 1 no se escribe.

Y cuando en la ecuacin la incgnita tiene el exponente 2, se le llama ecuacin de segundo grado o

cuadrtica. Ejemplos:

1er. miembro 2. miembro

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Regularización Jun 2013 Álgebra