Reguladores PID ejercicios resueltos

8/15/2019 Reguladores PID ejercicios resueltos

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Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática

Automática Básica (2do

parcial). 04/06/12

NOTA: Solo se permite la utilización del formulario normalizado. Duración: 2.5 horas.Puntuación: Problema 1º: 3 puntos, Problema 2º: 5 puntos. Problema 3º: 2 puntos.

1º) La función de transferencia de un determinado proceso de naturaleza desconocida y delsensor que se va a emplear en la realimentación son las siguientes:

( )

( )( )( )

( )

( )

2 6 5 5( ) ; ( )

1 2 3 4

s sG s H s

s s s s

⋅ + ⋅ +

= =

+ + + +

Se va utilizar como elemento de control una ganancia variable K. El lugar de las raíces se incluyeen la figura adjunta.

a) Determinar el rango de valores de K que hacen que el servosistema sea estable.

b) Determinar el rango de valores de K que hacen que el servosistema tenga una respuestasobreamortiguada.

c) Determinar el rango de valores de K que hacen que el servosistema tenga unasobreoscilación inferior al 10%.

d) Determinar el rango de valores de K que hacen que el servosistema tenga un tiempo deestablecimiento inferior a 4 segundos.


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2º) En el sistema del problema anterior, se sustituye la ganancia variable por un regulador de tipoPID. Se pretende diseñar el regulador para el cumplimiento de ciertas especificaciones defuncionamiento.

a) Diseñar un regulador de tipo PID lo más sencillo posible para que la respuesta en buclecerrado tenga una duración del transitorio inferior a 4 segundos y error en elseguimiento de referencias en escalón inferior al 5%.

b) Diseñar un regulador de tipo PID lo más sencillo posible para que la respuesta en buclecerrado tenga una duración del transitorio inferior a 1 segundo , una sobreoscilacióninferior al 10% y un error en el seguimiento de referencias en escalón inferior al 5%.

c) Suponiendo que después de diseñar el regulador para el apartado b) el servosistemapresenta un mapa de polos y ceros como el que se indica en la figura que se incluye acontinuación justifica, de manera razonada, en que medida se van a cumplir lasespecificaciones dinámicas de dicho apartado. En caso de que no se vayan a cumplir con

exactitud, indica qué se podría hacer para mejorar el cumplimiento de dichasespecificaciones.

3º) Sobre el sistema de los problemas anteriores diseñar un regulador PID por el método decancelación que consiga un tiempo de establecimiento inferior a 0.5 segundos , consobreoscilación nula y error de posición nulo.


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1º) La función de transferencia de un determinado proceso de naturaleza desconocida y delsensor que se va a emplear en la realimentación son las siguientes:

( )( )( )( )

( )( )

2 6 5 5( ) ; ( )

1 2 3 4

s sG s H s

s s s s

⋅ + ⋅ +

= =

+ + + +

Se va utilizar como elemento de control una ganancia variable K. El lugar de las raíces se incluyeen la figura adjunta.

a) Determinar el rango de valores de K que hacen que el servosistema sea estable.

b) Determinar el rango de valores de K que hacen que el servosistema tenga una respuestasobreamortiguada.

c) Determinar el rango de valores de K que hacen que el servosistema tenga unasobreoscilación inferior al 10%.

d) Determinar el rango de valores de K que hacen que el servosistema tenga un tiempo deestablecimiento inferior a 4 segundos.


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a) En el lugar de las raíces se observa como la rama dominante cruza al semiplano positivo porun punto cuyas coordenadas se pueden medir (de manera aproximada) sobre la figura.

El punto s=±7.54j supone una transición de respuesta estable a inestable en bucle cerrado. Elvalor de la ganancia correspondiente a este punto se puede obtener por aplicación del criterio delmódulo:

7.61 7.80 8.11 8.5447.14 10 4.714

9.05 9.64 L G H K K K K K K

⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ ⋅ = → =

⋅

El rango de valores de la ganancia que dan lugar a una respuesta estable en bucle cerrado será,por lo tanto:

] [0 ... 4.714K ∈

b) En el lugar de las raíces se observan tres puntos de transición entre polos de reales ycomplejos conjugados). Las coordenadas de estos puntos se pueden medir (de maneraaproximada) sobre la figura. El primero y segundo de estos puntos (s=.1.43 y s=-3.72) suponen

una transición de respuesta sobreamortiguada a subamortiguada. El segundo punto (s=-5.31) esuna transición de subamortiguada a sobreamortiguada. Conocidas las coordenadas las gananciascorrespondientes se pueden obtener por aplicación del criterio del módulo:

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

0.0606 10 0.00606

0.323 10 0.0323

201.81 10 20.181

L G H

L G H

L G H

K K K K K K

K K K K K K

K K K K K K

= = ⋅ ⋅ = → =

= = ⋅ ⋅ = → =

= = ⋅ ⋅ = → =

Dado K3 es mayor que el que determina el final de la respuesta estable y K2 es mayor que K1, el

rango de valores de la ganancia que dan lugar a una respuesta sobreamortiguada será:

] [0 ... 0.00606K ∈

S=±7.54j


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c) Para determinar la zona de puntos del plano complejo que dan lugar a una sobreoscilacióninferior al 10% hay que calcular el ángulo que se corresponde con dicha sobreoscilación.

10% 0.1 53.8ºtgeπ

φ δ φ −

= < = → <

Para trazar este ángulo sobre el lugar de las raíces se calcula un la parte imaginaria que lecorresponde a un valor cualquiera de parte real.

4(53.8º ) 5.46

p

ptg

σ ω

ω σ

== → =

Utilizando el punto s=-4±5.46j se sitúa el límite de la zona de especificaciones sobre el lugar delas raíces para determinar los puntos de transición para la sobreoscilación deseada. Viendo comointersecta el lugar de las raíces con la zona de especificaciones queda claro que el servosistemadeja de cumplir la especificación de sobreoscilación cuando la rama dominante sale de la zona(dado que el resto del lugar de las raíces está completamente dentro de dicha zona). Lascoordenadas del punto por donde la rama sale del lugar de las raíces se pueden determinar (demanera aproximada) en la figura.

Aplicando el criterio del módulo sobre el punto s=-1.1±1.49j se determina el valor de la gananciaque provoca el final del cumplimiento de la especificación de sobreoscilación:

0.961 10 0.0961 L G H K K K K K K = = ⋅ ⋅ = → =

El rango de valores de la ganancia para una respuesta con un sobreoscilación inferior al 10%será, por lo tanto:

] [0 ... 0.0961K ∈

S=-1.43

S=-3.72

S=-5.31


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d) La zona de puntos del plano complejo que dan lugar a un tiempo de establecimiento inferior a 4segundos vendrá determinada por la parte real que corresponde a dicho tiempo deestablecimiento.

44 1et σ

σ = < → >

Situando dicho límite sobre el lugar de las raíces se pueden determinar los puntos de entrada ysalida de la rama dominante en la zona de puntos correspondiente al tiempo de establecimientodeseado.

S=-4±5.46

S=-1.1±1.49j

S=-1±1.8


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El valor de la ganancia que le corresponde al punto de salida de la zona correspondiente a laespecificación (s=-1±1.8j) se puede calcular por aplicación del criterio del módulo:

1.504 10 0.1504 L G H K K K K K K = = ⋅ ⋅ = → =

Como el punto de entrada a la zona de especificaciones coincide con un punto inicial el rango devalores que dan lugar a un tiempo de establecimiento inferior a 4 segundos será:

] [0 ... 0.1504K ∈


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2º) En el sistema del problema anterior, se sustituye la ganancia variable por un regulador de tipoPID. Se pretende diseñar el regulador para el cumplimiento de ciertas especificaciones defuncionamiento.

a) Diseñar un regulador de tipo PID lo más sencillo posible para que la respuesta en buclecerrado tenga una duración del transitorio inferior a 4 segundos y error en elseguimiento de referencias en escalón inferior al 5%.

b) Diseñar un regulador de tipo PID lo más sencillo posible para que la respuesta en buclecerrado tenga una duración del transitorio inferior a 1 segundo , una sobreoscilacióninferior al 10% y un error en el seguimiento de referencias en escalón inferior al 5%.

c) Suponiendo que después de diseñar el regulador para el apartado b) el servosistemapresenta un mapa de polos y ceros como el que se indica en la figura que se incluye acontinuación justifica, de manera razonada, en que medida se van a cumplir lasespecificaciones dinámicas de dicho apartado. En caso de que no se vayan a cumplir con

exactitud, indica qué se podría hacer para mejorar el cumplimiento de dichasespecificaciones.


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a) La especificación dinámica de este apartado coincide con la del apartado d) del problema 1 y,puesto que el lugar de las raíces es el mismo, se puede resolver este apartado sin necesidad deacción derivada. Así pues, el apartado se resolverá con un regulador P o un PI.

Cualquier valor de K dentro del rango de valores determinado en 1d) serviría como gananciaproporcional para el cumplimiento de las especificaciones dinámicas pero el mayor de estosvalores (Kr=0.1504) es el que dará lugar al error más pequeño y, por lo tanto, es el que más tienemás posibilidades de no necesitar la acción integral. Además con este valor el tiempo deestablecimiento será de 4 segundos por lo que no se exige al sistema más de lo que esestrictamente necesario.

Para saber si hace falta o no la acción integral se calcula el error de posición para el valor de Krcorrespondiente al punto de diseño elegido:

0

1 10.347 34.7% 5%

2 6 5 51 ( ) ( )1 0.1504

1 2 3 4

p

s

e Lim Kr G s H s

→

= = = = >⋅ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ ⋅

No es posible, por lo tanto, cumplir la especificación estática con un regulador proporcional. Seincluirá acción integral en el regulador. El tiempo de integración se determina a partir de la partereal del punto elegido como punto de diseño, s=-1±1.8j:

10.1 10

10

diseño TiTi

σ

= = → =

La acción integral hace que el error de posición se anule. El regulador PI diseñado para elcumplimiento de las especificaciones dinámicas y estáticas será:

1( ) 0.1504 1

10 RG s

s = +

⋅

Nota: Aunque no es necesario, una solución más correcta implica recalcular el valor de laganancia proporcional en el punto de diseño teniendo en cuanta el integrador y el cero añadidoscon la acción integral. La aplicación de criterio del módulo sobre el punto de diseño con losnuevos puntos inicial y final proporciona el nuevo valor de Kr;

1.335 10 0.1335 L G H K K K K K K = = ⋅ ⋅ = → =

La diferencia no es muy grande pero hace que los polos en bucle cerrado se sitúen en el punto dediseño de manera más precisa, teniendo en cuenta la ligera modificación del trazado del lugar delas raíces causada por la acción integral.

b) El cambio en las especificaciones dinámicas exigidas en este apartado obligan a una nuevaelección del punto de diseño. La zona de puntos correspondiente a las especificacionesdinámicas estará delimitada por el ángulo correspondiente a la sobreoscilación (ya calculado en elapartado c) del problema 1) y por la parte real correspondiente al nuevo tiempo deestablecimiento:

41 4et σ

σ = < → >


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A pesar de que hay una parte del lugar de las raíces dentro de la zona de especificacionesdinámicas la rama por la que se mueve el polo dominante está totalmente fuera de la misma. Porlo tanto, será necesario modificar el trazado del lugar de las raíces incluyendo la acción derivadaen el regulador. A falta de un motivo mejor el punto de diseño elegido será s=-4±5.46j. Como enel apartado anterior, este punto cumple las especificaciones en el límite sin exigir al sistema másde lo que es necesario. Las coordenadas de este punto se pueden obtener sobre la figura en laintersección de los límites de las zonas correspondientes a la sobreoscilación y al tiempo deestablecimiento (aunque en este caso, casualmente, ya habían sido calculadas en 1c).

Aplicando el criterio del argumento sobre el punto de diseño elegido se puede determinar elángulo que debe formar con el mismo el cero del derivador:

1 2 3 4 5 6 118.8º 110.1º 100.4º 90º 79.6º 69.9º 180º 89.8ºα α α α α α β β β + + + − − − = + + + − − − = → =

Conocido el ángulo se determina la posición del cero del derivador sobre el eje real y, con ella, eltiempo de derivación del regulador:

5.46 1

( ) 4.04 0.2494

p

d

d d tg z Td z z Td

ω

β σ = = → = = → =− −

Con esto se consigue que el lugar de las raíces pase por el punto de diseño elegido. La acciónproporcional llevará los polos en bucle cerrado a dicho punto. Aplicando el criterio del módulo sedetermina la ganancia del regulador:

6.23 5.81 5.55 5.466.23 2.49 2.505

5.55 5.81 5.46 L G H K K K Kr Td Kr Kr

⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ ⋅ ⋅ = → =

⋅ ⋅

Obtenidos los parámetros del regulador PD hay que determinar si es necesaria o no la acciónintegral. Para ello se calcula el error de posición con el regulador diseñado:

S=-4±5.46


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( )0

1 10.0309 3.09% 5%

2 6 5 51 1 ( ) ( )1 2.505

1 2 3 4

p

s

e Lim Kr Td s G s H s

→

= = = = <⋅ ⋅ ⋅+ + ⋅ ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ ⋅

La especificación estática se cumple sin necesidad de incluir acción integral en el regulador. Con

esto está terminado el diseño del regulador para el cumplimiento de las especificaciones

propuesta en este apartado:

( )( ) 2.505 1 0.249 RG s s= + ⋅

c) El enunciado de este apartado proporciona el mapa de polos y ceros con un cierto regulador. Aunque no tendría por qué ser así, el hecho de que haya dos polos en bucle cerradoprácticamente en el punto de diseño elegido en el apartado anterior hace pensar que el reguladorde este apartado coincide (casualmente) con el diseñado en el anterior. Si solamente estuvieranestos dos polos, las especificaciones dinámicas se cumplirían con total exactitud. Sin embargo,

aparecen en el mapa dos polos y tres ceros adicionales.

Los dos polos adicionales están muy próximos de dos de los ceros (la distancia que los separa esinferior a la decima parte de la parte real de loa polos) lo que significa que su influencia serádespreciable en las características de la respuesta temporal.

El tercer cero adicional hará que la sobreoscilación sea mayor de la esperada y su influencia serásignificativa puesto que está relativamente próximo al punto de diseño. Dado que el cero adicionalno tiene una influencia significativa en el tiempo de establecimiento es de esperar que se cumplala duración del transitorio propuesta en el enunciado.

Para mejorar el cumplimiento de la especificación de sobreoscilación se puede aumentarligeramente la acción derivada (con un valor mayor del tiempo de derivación). Con esto se aportaun mayor amortiguamiento que reducirá la sobreoscilación hasta hacer que se cumpla elcomportamiento deseado. Una alternativa más correcta consistiría en elegir un punto de diseñocon la misma parte real y una parte imaginaría menor (esto es, con un ángulo menor) y repetir eldiseño del regulador PD.


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3º) Sobre el sistema de los problemas anteriores diseñar un regulador PID por el método decancelación que consiga un tiempo de establecimiento inferior a 0.5 segundos , consobreoscilación nula y error de posición nulo.

Diseñar por el método de cancelación supone que se emplearán los ceros del derivador y delintegrador para cancelar la parte lenta de la dinámica en bucle abierto. Para ello el cero delintegrador se situará en s=-1 (el polo en bucle abierto más lento) y el cero del derivador en s=-2(el segundo polo en bucle abierto más lento). Con esto los tiempos de integración y derivaciónserán:

11 1

12 0.5

TiTi

Td Td

= → =

= → =

Con esto el lugar de las raíces se modifica eliminando las ramas que salen de los puntos iniciales

cancelados. En nuevo trazado será el que se muestra en la siguiente figura.

La especificación dinámica exige un tiempo de establecimiento inferior a 0.5 segundos lo que

supone que la parte real del punto de diseño deberá ser:

4 0.5 8et σ σ = < → >


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Puesto que la sobreoscilación debe ser nula se puede escoger el punto s=-8 como punto de

diseño. Aplicando el criterio del módulo sobre este punto sin considerar los polos cancelados y

teniendo en cuenta la presencia del integrador, la ganancia del regulador es:

8 5 426.67 5 5.33

3 2 L G H K K K Kr Td Kr Kr

⋅ ⋅= = = ⋅ ⋅ ⋅ = → =

⋅

Ya que se ha añadido un integrador el error de posición será nulo al haber convertido elservosistema en uno de tipo 1. Con los parámetros calculados el regulador PID diseñado por elmétodo de cancelación y para el punto de diseño elegido resulta ser:

( ) 1

( ) 5.33 1 0.5 1 RG s ss

= + ⋅ +

Este regulador no está en el formato industrial clásico del regulador PID. Aplicando las conocidasfórmulas los parámetros industriales serán:

1 8 ; 1 0.333 ; 1 1.5Td Td Td Kr Kr Td Td Ti Kr Kr TiTi Ti

′ ′ ′ ′= + = = + = = = + =

Una vez en el formato industrial la función de transferencia del regulador PID es:

1( ) 8 1 0.333

1.5 RG s s

s

= + ⋅ +

⋅

Nota: Con el regulador diseñado hay, efectivamente un polo en el punto de diseño. Un análisis

más detallado informa de que, además, hay dos polos adicionales (s=-4.79 y s=-20.74) y dosceros adicionales (s=-4 y s=-6). El polo en s=-4.79 podría hacer que el tiempo de establecimientofuera mayor de lo esperado pero el hecho de que tenga un cero bastante próximo hace que suinfluencia sobre la duración del transitorio se reduzca, por lo que se puede afirmar que el tiempode establecimiento será aproximadamente igual al esperado.

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