Regresión y correlación (F. Álvarez) - 1

REGRESIÓN Y CORRELACIÓN Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales

Francisco Álvarez González

francisco.alvarez@uca.es

DISTRIBUCIONES BIVARIANTES

El estudio de la relación existente entre dos variables X e Y conduce a la consideración simultánea de ambas variables estadísticas. Tal distribución de las dos variables se denomina bivariante. La presentación de los datos experimentalmente observados puede hacerse :

a) Mediante los pares (Xi , Yi) : (X1 , Y1) , (X2 , Y2) , (X3 , Y3) , ...

b) Tabla simple de frecuencias : c) Tabla de frecuencias de doble entrada :

X Y n Y X1 Y1 n1 Y1 Y2 .... Ym X2 Y2 n2 X1 n11 n12 .... n1m .... .... .... X X2 n21 n22 .... n2m Xn Yn nn .... .... .... .... .... Xn nn1 nn2 .... nnm

Distribuciones marginales : Son las obtenidas de la distribución bivariante, al considerar de forma independiente cada una de las dos variables. De ellas obtendremos los parámetros de centralización y dispersión característicos : media y desviación típica.

X s s Y s sX X Y Y, , , , ,2 2

Covarianza : Este índice de variación conjunta de X e Y se define como :

( )( )YX

N

YXn

N

YYXXns i

iiii

iii

XY .....

−=−−

=∑∑

para tablas simples de frecuencias

( )( )YX

N

YXn

N

YYXXns i j

jiiji j

jiij

XY .....

−=−−

=∑∑∑∑

para tablas de frecuencias de doble

entrada.

Si sXY = 0 expresará que las variables X e Y son independientes.

RECTAS DE REGRESIÓN

Representando los pares de observaciones (X,Y) como puntos en un plano cartesiano, obtenemos el denominado diagrama de dispersión o nube de puntos. Por recta de regresión o de ajuste entendemos la recta que más se aproxima a los puntos representativos de las observaciones (X,Y). El método de los mínimos cuadrados proporciona un sistema de obtención de tales rectas, estableciendo que sea mínima la suma de los cuadrados de las separaciones existentes entre cada punto y la recta.

Según se consideren estas separaciones en vertical (lo representado en la figura) o en horizontal, se obtienen, respectivamente, las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y.

2 - Regresión y correlación (F. Álvarez)

RECTA DE REGRESIÓN DE Y SOBRE X

Y' = a + b.X a = ordenada en el origen b = coeficiente de regresión de Y sobre X = pendiente de la recta de regresión = tangente del ángulo que forma con el eje horizontal. Y' = predicciones de Y para el valor X observado.

Los coeficientes a y b de la recta de regresión de Y sobre X se obtienen resolviendo el sistema :

⎭⎬⎫

=+=+

∑∑∑∑∑

YXnXnbXfaYnXnbNa......

....2

el cuál tiene como solución : bss

a Y b XXY

X

= = −2 .

RECTA DE REGRESIÓN DE X SOBRE Y

X' = a' + b'.Y a' = ordenada en el origen b' = coeficiente de regresión de X sobre Y = pendiente de la recta de regresión. X' = predicciones de X para el valor Y observado.

Los coeficientes a' y b' de la recta de regresión de X sobre Y se obtienen igualmente al resolver :

⎭⎬⎫

=+=+

∑∑∑∑∑

YXnYnbYfaXnYnbNa...'..'.

..'.'.2

o directamente : bss

a X b YXY

Y

' ' ' .= = −2

Otro procedimiento de cálculo simplificado permite obtener los coeficientes de regresión del siguiente modo : ( )( )( )22.

...

∑∑∑∑∑

−

−=

XXN

YXYXNb

( )( )( )22.

...'

∑∑∑∑∑

−

−=

YYN

YXYXNb

Si utilizamos puntuaciones diferenciales : x X X= − y Y Y= − , las rectas de regresión pierden el término independiente (ordenadas en el origen a y a' ) al ser las medias nulas, siendo su expresión : y' = b.x x' = b'.y

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON

La recta de regresión es la que pasa más cerca de las observaciones, pero no nos indica si pasa muy cerca o no de ellas. Hemos de definir una medida del grado de asociación o relación entre ambas variables, lo cuál, en términos de recta de ajuste, indicará la bondad de la misma. Tal coeficiente se denomina coeficiente de correlación, definido por Pearson del siguiente modo :

r b bs

s sXY

X Y

= =. '.

ya que : r b bss

ss

ss s

ss s

XY

X

XY

Y

XY

X Y

XY

X Y

= = = =. ' .. .2 2

2

2 2

Según las expresiones finales obtenidas para b y b', podemos también calcularlo como : ( )( )

( )[ ] ( )[ ]2222 ...

...

∑∑∑∑∑∑∑

−−

−=

YYNXXN

YXYXNr

La expresión conduce a las siguientes relaciones (sin más que multiplicar y dividir por sX o por sY ) :

r bss

r bss

X

Y

Y

X

= =. ' .

De aquí resulta que, si se trabaja con puntuaciones tipificadas (las desviaciones típicas son iguales a 1) :

r = b = b' y las rectas de regresión son : z'Y = r.z'X ; z'X = r.z'Y

El coeficiente de correlación toma siempre valores comprendidos entre -1 y 1 : -1 ≤ r ≤ 1

Regresión y correlación (F. Álvarez) - 3

Interpretación :

r Asociación de las variables Bondad del ajuste próximo a 0 Variables independientes o no relacionadas

linealmente Mala recta de ajuste. No pasa cerca de las observaciones.

próximo a 1 Variables relacionadas directamente (cuando una aumenta la otra también)

Buena recta de ajuste. Creciente (pendientes b y b' positivas)

próximo a -1 Variables relacionadas inversamente (cuando una aumenta la otra disminuye)

Buena recta de ajuste. Decreciente (pendientes b y b' negativas)

CURVA DE REGRESIÓN DE LA MEDIA

Este método es aplicable cuando una de las dos variables (o las dos) contiene un bajo número de valores distintos.

Curva de regresión de la media de Y condicionada a X :

El procedimiento consiste en sustituir todos los pares de observaciones que tienen el mismo valor de X por un único par que tiene por componentes dicho valor de X y la media de los valores de Y.

De igual modo puede establecerse la curva de regresión de la media de X condicionada a Y.

Así, por ejemplo, la figura muestra los pares siguientes: X=1 : (1,1) , (1,3) sustituidos por el par (1,2) , al ser 2 la media de 1 y 3. X=2 : (2,1) , (2,4) , (2,5) sustituidos por el par (2,3'33) , al ser 3'33 la media de 1, 4 y 5. ... etc ... Con los pares (1,2) , (2,3'33), ... obtenemos la recta de regresión por el procedimiento ya descrito.

Razón de correlación :

∑−= 2

22 .

.11Y

yi

ssn

Niη

Toma valores comprendidos entre 0 y 1 y siempre verifica que η2 ≥ r2 (r=coef. de correlación lineal). La relación entre las variables X , Y será de tipo lineal, cuanto más próximo sea η2 a r2.

OTROS PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN r

Coeficiente de correlación ϕ (phi) :

El siguiente procedimiento se puede utilizar cuando las dos variables X e Y son dicotómicas.

Y 1 0 Asignemos los valores 0 y 1 a ambas variables y realicemos el recuento

X 1 a b representado en la tabla de la izquierda. 0 c d El coeficiente de correlación ϕ toma el valor :

( )( )( )( )dbcadcbabcad

++++−

=...

ϕ

Coeficiente de correlación biserial puntual rbp :

El siguiente procedimiento se puede utilizar cuando una variable es continua y la otra dicotómica. Supuesta X continua :

rX X

sp qbp

X=

−1 0 . . Siendo : X1 la media de los valores de X que se corresponden con un 1 en Y.

X0 la media de los valores de X que se corresponden con un 0 en Y. sX la desviación típica de X (considerados sus valores globalmente). p la proporción de unos en Y. q=1-p la proporción de ceros en Y.

Coeficiente de correlación por rangos de Spearman ρ :

El siguiente procedimiento se puede utilizar cuando las dos variables son ordinales (reordenaciones de una serie de elementos).

( )1..6

1 2

2

−−= ∑

NNd

ρ Siendo d las diferencias entre los valores de X e Y.

4 - Regresión y correlación (F. Álvarez)

Los coeficientes de correlación anteriores no son más que una adaptación del coeficiente de correlación de Pearson para tipos especiales de variables. En consecuencia, su valor coincide con el que habríamos obtenido siguiendo el procedimiento de Pearson (r); por ello, su interpretación es la establecida para r .

OTROS COEFICIENTES DE CORRELACIÓN NO BASADOS EN EL PEARSON

Coeficiente de correlación tetracórica:

Puede utilizarse cuando ambas variables son continuas , pero ambas pueden dicotomizarse artificialmente.

Y 1 0 Asignemos los valores 0 y 1 a ambas variables y realicemos el recuento que se

X 1 a b representa en la tabla de la izquierda. 0 c d

A) Método abreviado (aproximado) :

1º Calculamos los productos : a.d y b.c. 2º Si a.d > b.c , calculamos el cociente : C = a.d / b.c (el coeficiente de correlación será

positivo) 3º Si a.d < b.c , calculamos el cociente : C = b.c / a.d (el coeficiente de correlación será

negativo) 4º Consultando la tabla de cálculo del coeficiente de correlación tetracórico, localizamos el cociente C en el

intervalo que lo contiene (con extremos A y B). A su derecha encontramos el coeficiente de correlación tetracórico (rt), como un valor numérico (n) más R. De aquí :

( )r n R con RC A

B At = + =−−

:.100

B) Método exacto :

El coeficiente de correlación tetracórico rt será el resultado de resolver la siguiente ecuación :

( ) ( ) ( ) ( )r z zr

z zr

z z z zr a d b c

n f z f ztt t t+ + − − + − − + =

−. ' .

!. ' .

!. ' ' .

!...

. .. ( ). ( ' )

22 2

33 3

4

221 1

33 3

4

Como es lógico, la mayor exactitud en el cálculo rt , se obtiene al considerar un mayor número de sumandos del desarrollo en serie anterior. Esta dificultad aconseja seguir el método abreviado descrito anteriormente.

En la ecuación que permite calcular rt : • z valor de la curva normal tipificada N(0,1), que deja a su derecha un área m, igual a la menor de las

cantidades (a+c)/n o (b+d)/n. • z' valor de la curva normal tipificada N(0,1), que deja a su derecha un área m, igual a la menor de las

cantidades (a+b)/n o (c+d)/n. • f(z) y f(z') ordenadas de la curva normal, correspondientes a los valores z y z' anteriores. Tabuladas

para cada m. Coeficiente de correlación biserial rb :

Puede utilizarse cuando ambas variables son continuas , pero una de ellas puede dicotomizarse artificialmente.

Supuesta X continua y Y dicotomizada (valores 1 y 0) , el coeficiente de correlación biserial se calcula del modo siguiente :

rX X

sp qf zb

X=

−1 0 ..( )

Siendo : X1 la media de los valores de X que se corresponden con un 1 en Y.

X0 la media de los valores de X que se corresponden con un 0 en Y.

La ordenada f(z) :

sX la desviación típica de X (considerados sus valores globalmente).

p la proporción de unos en Y. q=1-p la proporción de ceros en Y. z el valor normal tipificado (N(0,1)) que deja a su derecha (o a su izquierda) el área p. f(z) la ordenada correspondiente a z en la curva normal.

NOTA : Los cálculos de z y f(z) no es preciso realizarlos ya que, para cada valor de la probabilidad p (o q indistintamente), se encuentran tabulados los valores de p.q/f(z).

Regresión y correlación (F. Álvarez) - 5

Coeficiente de correlación τ (tau) de Kendall :

Como el de rangos de Spearman, este coeficiente es aplicable cuando las dos variables son ordinales (reordenaciones de una serie de elementos).

Procedimiento de cálculo :

a) Reordenamos los pares de observaciones de modo que la variable X (primer elemento del par) quede en orden ascendente.

b) Comparamos cada valor de Y con los Yi siguientes, contando una permanencia si Y < Yi y una inversión si Y > Yi.

τ =−−

N Nn n

p i

.( )12

Siendo : • n el número de pares de valores (X , Y) • Np el número total de "permanencias" • Ni el número total de "inversiones"

Utilización e interpretación de los coeficientes estudiados en este epígrafe:

Los coeficientes tetracórico y biserial parten de variables continuas que pueden dicotomizarse (ambas o sólo una). Para su aplicación rigurosa es necesario que :

1. la distribución de la variable o variables consideradas continuas debe ser "normal". 2. la relación que suponemos existe entre ambas variables es de tipo "lineal".

Sus valores no tienen porqué coincidir con el del coeficiente de correlación de Pearson, si bien verifican las mismas propiedades que éste. Es decir : • Los coeficientes tetracórico y τ toman valores comprendidos entre -1 y 1 : -1 ≤ coeficiente ≤ 1. • El coeficiente biserial puede ser mayor que 1 y menor que -1. En valor absoluto, será mayor que el biserial

puntual. • Valores próximos a cero implican falta de relación entre las variables (independencia).

FUENTES DE VARIANZA EN LA CORRELACIÓN

Expresemos la desviación de Y respecto de su media como : ( ) ( ) ( )YYYYYY −+−=− ''

( )'YY − es el error cometido en la predicción. Representa la porción de información no asociada a X.

( )YY −' representa, en consecuencia, la información asociada a X.

En términos de varianzas : ( ) ( ) ( )∑∑∑ −+−=− 222 '' YYYYYY

( )∑ − 2YY

= ( )∑ − 2'YY

+ ( )∑ − 2' YY

Varianza total Varianza no explicada por X (varianza de los errores o residual)

Varianza explicada por X

Dividiendo los sumandos anteriores por la varianza de Y obtendremos la proporción de varianza de Y no explicada y explicada por la variable X. La manipulación de esta operación conduce a las expresiones y definiciones siguientes :

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

22

2

2

2

2

2

2

2 '''1 r

YY

YY

YY

YY

YY

YY

YY

YY+

−

−=

−

−+

−

−==

−

−

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

Varianza de las predicciones Y' = ( )

NYY

sY∑ −

=2

2'

'

Proporción de varianza de las predicciones Y' = ss

rY

Y

'2

22=

Proporción de varianza explicada por X = r2 = Coeficiente de determinación ( R2 ) Proporción de varianza no explicada por X = 1 - r2

Varianza de los errores o residual = ( ) ( ) ( )

( )( )22

2

2222

.2 1.

'.

'rs

YY

YYN

YYN

YYss YXYe −=

−

−−=

−==

∑∑∑∑

La raíz cuadrada de la varianza residual se denomina error típico de la predicción : s s rY X Y. .= −1 2 IMPORTANTE : Observe los diferentes significados e interpretaciones de r2.

6 - Regresión y correlación (F. Álvarez)

FORMULARIO - RESUMEN DEL TEMA

Nxn

x ∑= . 2

22 .

xN

xnsx −= ∑

Nyn

y ∑= . 22

2 .y

Nyn

sy −= ∑ yxN

yxnsxy .

..−= ∑

Recta de regresión de y sobre x

(puntuaciones directas) y a b x' .= +

Predicciones : y y'=

⎭⎬⎫

=+=+

∑∑∑∑∑

yxnxnbxnaynxnbNa......

....2

bss

a y b x

xy

x=

= −

2

.

Recta de regresión de x sobre y

(puntuaciones directas) x a b y' ' '.= +

Predicciones : x x'=

⎭⎬⎫

=+=+

∑∑∑∑∑

yxnynbynaxnynbNa...'..'.

..'.'.2

bss

a x b y

xy

y'

' ' .

=

= −

2

Coeficiente de correlación (de Pearson y equivalentes) :

Pearson Phí Biserial puntual Rangos de Spearman

r b bs

s sxy

x y= =. '

.

r bss

bss

x

y

y

x= =. ' .

ϕ =−

+ + + +ad bc

a b c d a c b d( ).( ).( ).( )

rx x

sp qbp

x=

−1 0 . .

ρ= −−

∑16

1

2

2.( )

dN. N

Coeficiente de correlación no basados en el de Pearson :

Tetracórico Biserial Tau de Kendall

(Tabulado)

( )r n R con RC A

B At = + =−−

:.100

rX X

sp qf zb

X=

−1 0 ..( )

τ =−−

N Nn n

p i

.( )12

Puntuaciones directas

(x,y)

Puntuaciones diferenciales

(d x x d y yx y= − = −, )

Puntuaciones tipificadas

zx x

sz

y ysx

xy

y=

−=

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟,

y a b x' .= +

d d s s s s s sx y dx x dy y dxdy xy= = = = =0 0, , , ,

(a = 0 ; b se mantiene)

z z

s s ss

s sr

x y

zx zy zxzyxy

x y

= =

= = = =

0 0

1 1

,

, ,.

(a = 0 ; b = r)

rs

s sxy

x y=

.

d b dy x' .=

z r zy x' .=

Relación fundamental : Varianza de y =

= Varianza residual (de errores) + Varianza de las predicciones.

s s sy e y2 2 2= + '

Varianza de las predicciones : ( )s

y yNy''2

2

=−∑

Proporción de varianza explicada o asociada a la regresión, o proporción de varianza de las predicciones, o coeficiente de determinación :

s

sry

y

'2

22=

Regresión y correlación (F. Álvarez) - 7

Varianza de los errores (o residual) : ( ) ( )s sy yN

s re y x y2 2

22 21= =

−= −

∑.

'.

Error típico de la predicción (raíz de la varianza de los errores):

sy.x = −s ry . 1 2

Proporción de varianza no explicada o no asociada a la regresión, o proporción de varianza de los errores :

ss

re

y

2

221= −

Signo de b = signo de b’ = signo de r = signo de la covarianza

r = 0 ⇔ absoluta independencia -1 ≤ r ≤ 1 r = 1 o r = -1 ⇔ absoluta dependencia (directa o

inversa) 0 ≤ r2 ≤ 1

8 - Regresión y correlación (F. Álvarez)

EJERCICIOS RESUELTOS

1 La tabla siguiente contiene los resultados de las calificaciones en Matemáticas (X) y Lengua (Y) de un grupo de 40 alumnos de Secundaria.

X Y n 3 4 3 a) Obtenga la recta de regresión de Y sobre X. 3 5 5 b) Obtenga la recta de regresión de X sobre Y. 5 5 12 c) Calcule e interprete el coeficiente de correlación lineal. 6 6 4 d) Obtenga el error típico de la predicción. 6 7 5 e) ¿ Qué proporción de varianza de Y no queda explicada por X ?. 6 8 3 7 7 6 8 8 2 Tabla de cálculos :

X Y n n.X n.Y n.X2 n.Y2 n.X.Y 3 4 3 9 12 27 48 36 3 5 5 15 25 45 125 75 5 5 12 60 60 300 300 300 6 6 4 24 24 144 144 144 6 7 5 30 35 180 245 210 6 8 3 18 24 108 192 144 7 7 6 42 42 294 294 294 8 8 2 16 16 128 128 128 40 214 238 1226 1476 1331

a) Recta de regresión de Y sobre X.

X Y= = = =21440

5 35 23840

5 95' '

( )( )( )

71'032442308

2141226.40238.2141331.40

.

...222

==−

−=

−

−=

∑∑∑∑∑

XXN

YXYXNb

a Y b X= − = − =. ' ' . ' '5 95 0 7115 5 35 2 1436

Recta de regresión de Y sobre X :

Y' = 2'1436 + 0'7115.X

b) Recta de regresión de X sobre Y.

( )( )( )

96'023962308

2381476.40238.2141331.40

.

...' 222

==−

−=

−

−=

∑∑∑∑∑

YYN

YXYXNb

a X b Y' ' . ' ' . ' '= − = − = −5 35 0 9633 5 95 0 3815

Recta de regresión de X sobre Y :

X' = -0'3815 + 0'9633.Y

c) Coeficiente de correlación de Pearson.

Conocidos los coeficientes de regresión puede calcularse como : r b b= = =. ' ' . ' '0 7115 0 9633 0 8279

Existe una elevada relación entre las calificaciones en Matemáticas y Lengua. Dicha relación es positiva (directa); es decir, alumnos con altas calificaciones en Matemáticas se corresponden con altas calificaciones en Lengua, y a la inversa.

Podemos afirmar que las rectas de regresión obtenidas son buenas rectas de ajuste. Es decir, expresan con una elevada aproximación la relación matemática (lineal) existente entre las calificaciones en Matemáticas y Lengua.

d) Error típico de la predicción.

Calculada la varianza de Y : 4975'195'540

1476.

22

2

2 =−=−=∑

YN

Yns i

ii

Y

s s rY X Y. . ' . ' '= − = − =1 1 4975 1 0 8279 0 68642 2

Regresión y correlación (F. Álvarez) - 9

e) Proporción de varianza no explicada por X.

La proporciona : 1 - r2 = 1 - 0'82792 = 0'3146. Es decir el 31'46%.

2 De la distribución bivariante siguiente :

Y 0 1 2 X 2 0 1 5 4 0 9 0 6 8 0 0

a) Obtenga la recta de regresión de Y sobre X. b) Obtenga la recta de regresión de X sobre Y. c) Calcule e interprete el coeficiente de correlación lineal. d) Calcule su varianza residual. e) Calcule e interprete el coeficiente de determinación.

Obtenemos las distribuciones marginales de X y de Y totalizando las frecuencias en filas y columnas :

Y 0 1 2 Σ X 2 0 1 5 6 4 0 9 0 9 6 8 0 0 8 Σ 8 10 5 23

X n n.X n.X2 Y n n.Y n.Y2 2 6 12 24 0 8 0 0 4 9 36 144 1 10 10 10 6 8 48 288 2 5 10 20 23 96 456 23 20 30

La suma de los productos de X por Y hemos de obtenerla directamente de la tabla proporcionada :

==∑∑∑i j

jiij YXnYX ... 0.2.0 + 1.2.1 + 5.2.2 + 0.4.0 + 9.4.1 + 0.4.2 + 8.6.0 + 0.6.1 + 0.6.2 = 58

Como puede observarse, sólo realizamos los productos correspondientes a frecuencias y valores de variables no nulos. X Y.∑ = 1.2.1 + 5.2.2 + 9.4.1 = 58

Utilicemos las medias y varianzas de X e Y, así como la covarianza, en los cálculos solicitados.

X Y s sX Y= = = = = − = = − =9623

4 1739 2023

0 8696 45623

4 1739 2 4045 3023

0 8696 0 54822 2 2 2' ' ' ' ' '

Covarianza = 1078'18696'0.1739'42358.

..

..−=−=−=−= ∑∑∑

YXN

YXYX

N

YXns i j

jiij

XY

a) Recta de regresión de Y sobre X :

bss

a Y b XXY

X

= =−

= − = − = − − =2

1 10782 4045

0 4607 0 8696 0 4607 4 1739 2 7925''

' . ' ( ' ). ' '

Y' = 2'7925 - 0'4607 . X

b) Recta de regresión de X sobre Y : b

ss

a X b YXY

Y

' ''

' ' ' . ' ( ' ). ' '= =−

= − = − = − − =2

1 10780 5482

2 0207 4 1739 2 0207 0 8696 5 9310

X' = 5'9310 - 2'0207 . Y

c) Coeficiente de correlación : Utilizando la expresión ( )( ) 9648'00207'2.4607'0'. ±=−−== bbr podemos tener duda en cuanto al signo del coeficiente de correlación. Este signo es el de b y b', ya que es el que proporciona la covarianza.

Calculado como rs

s sXY

X Y

= =−

= −.

'' . '

'1 10782 4045 0 5486

0 9648 no se planteará tal dificultad.

10 - Regresión y correlación (F. Álvarez)

d) Varianza residual : ( ) ( )( ) 0379'09648'01.5482'01. 2222

.2 =−−=−== rsss YXYe

e) Coeficiente de determinación :

Es el cuadrado del coeficiente de correlación, representando la proporción de varianza explicada por la variable X (en el ajuste de Y sobre X).

( ) 9309'09648'0 222 =−== rR La variable X explica el 93'09% de la varianza de Y. Sólo el 6'91% no es atribuible a X.

3 De la siguiente distribución bivariante :

Y [0,1) [1,2) [2,3] X 2 1 2 1 3 3 6 3 4 1 2 1

a) Calcule e interprete el valor de la covarianza. b) Obtenga la recta de regresión de Y sobre X. c) Obtenga la recta de regresión de X sobre Y. d) Calcule el coeficiente de correlación lineal y el de determinación. e) De la varianza total de Y , determine la proporción atribuible a la variable X.

Totalizando filas y columnas obtendremos las distribuciones marginales de X e Y :

Y 0'5 1'5 2'5 X 2 1 2 1 4 3 3 6 3 12 4 1 2 1 4 5 10 5 20

X n n.X n.X2 Y n n.Y n.Y2 2 4 8 16 0'5 5 2'5 1'25 3 12 36 108 1'5 10 15 22'5 4 4 16 64 2'5 5 12'5 31'25 20 60 188 20 30 55

==∑∑∑i j

jiij YXnYX ... 1.2.0'5 + 2.2.1'5 + 1.2.2'5 + 3.3.0'5 + 6.3.1'5 + 3.3.2'5 + 1.4.0'5 + 2.4.1'5 + 1.4.2'5 = 90

a) Covarianza : X Y= = = =

6020

3 3020

1 5'

Covarianza = 05'45'45'1.32090.

..

..=−=−=−=−= ∑∑∑

YXN

YXYX

N

YXns i j

jiij

XY

Interpretación : Las variables son independientes. Siendo nula la covarianza, también los serán los coeficientes de regresión, el coeficiente de correlación y el de determinación, dado que en sus cálculos interviene la covarianza en el numerador.

Al ser nulos los coeficientes de regresión, a coincidirá con la media de Y y a' con la de X.

b) Recta de regresión de Y sobre X : b

ss s

a Y b XXY

X X

= = = = − = − =2 2

0 0 1 5 0 3 1 5. ' . ' ⇒ Y' = 1'5

c) Recta de regresión de X sobre Y : b

ss s

a X b YXY

Y Y

' ' ' . . '= = = = − = − =2 2

0 0 3 0 1 5 3 ⇒ X' = 3

Regresión y correlación (F. Álvarez) - 11

d) Coeficiente de correlación y de determinación :

Como se indicó en el apartado a), al ser nula la covarianza, ambos coeficientes también lo son :

r b b= = =. ' .0 0 0 rs

s s s sXY

X Y X Y

= = =. .

0 0 R r2 2 0= =

e) Proporción de varianza explicada por X :

Proporción de varianza explicada por X = r2 = Coeficiente de determinación = 0

4 Se desea estudiar la relación entre las calificaciones obtenidas en un test (puntuado de 0 a 5) y el sexo del alumno que lo realiza. Los resultados observados fueron :

Test Sexo Nº de alumnos 1 Varón 3 1 Hembra 1 2 Varón 2 2 Hembra 4 3 Varón 3 4 Hembra 5 4 Varón 1 5 Hembra 1 5 Varón 2

a) Mida el grado de asociación existente entre las dos variables mediante el coeficiente más adecuado. b) Calcule el coeficiente de correlación de Pearson y compare su valor con el calculado en el apartado anterior.

a) Siendo dicotómica la segunda variable, calcularemos el coeficiente de correlación biserial puntual :

Denominando Y a la variable sexo (asignamos : 1=Hombre ; 0=Mujer) y X a la variable puntuación en el test, procederemos a los cálculos necesarios para su obtención. Ello nos conduce a calcular las medias de los valores de X que se corresponden con un 1 y con un 0 en Y (X1 y X0) de forma separada, así como la desviación típica de X. Las siguientes tablas facilitan nuestras operaciones :

X Y n n.X n.X2 X1 n n.X1 X0 n n.X0 1 1 3 3 3 1 3 3 1 1 1 1 0 1 1 1 2 2 4 2 4 8 2 1 2 4 8 3 3 9 4 5 20 2 0 4 8 16 4 1 4 5 1 5 3 1 3 9 27 5 2 10 11 34 4 0 5 20 80 11 30 q 4 1 1 4 16 p 5 0 1 5 25 5 1 2 10 50 N= 22 64 226

X13011

2 7273= = ' X03411

3 0909= = ' p = =1122

0 5' q p= = = −1122

0 5 1'

X = =6422

2 9091' s sX X2 2226

222 9091 1 8099 1 8099 1 3453= − = ⇒ = =' ' ' '

Con esto : rX X

sp qbp

X

=−

=−

= −1 0 2 7273 3 09091 3453

0 5 0 5 0 1351. . ' ''

. ' . ' '

b) Coeficiente de correlación de Pearson :

El propósito de este apartado no es otro que comprobar que efectivamente coinciden los coeficientes de correlación de Pearson y biserial puntual. Calculemos la media y desviación típica de Y, así como la covarianza:

12 - Regresión y correlación (F. Álvarez)

X Y n f.Y n.Y2 n.X.Y 1 1 3 3 3 3 1 0 1 0 0 0 2 1 2 2 2 4 2 0 4 0 0 0 3 1 3 3 3 9 4 0 5 0 0 0 4 1 1 1 1 4 5 0 1 0 0 0 5 1 2 2 2 10 22 11 11 30

Y = =1122

0 5' s sY Y2 211

220 5 0 25 0 25 0 5= − = ⇒ = =' ' ' '

s rXY = − = − ⇒ =−

= −3022

2 9091 0 5 0 0909 0 09091 3453 0 5

0 1351' . ' ' '' . '

'

5 La siguiente tabla nos muestra la distribución por sexo de un grupo de 167 personas, indicando si fuman o no.

Fuma No fuma Hombre 85 12 Mujer 10 60

a) Calcule el coeficiente de más adecuado para medir el grado de asociación existente entre el sexo y el ser o no fumador.

b) Calcule el coeficiente de correlación de Pearson y compare su valor con el calculado en el apartado anterior.

a) Las dos variables son dicotómicas. El coeficiente específico para esta situación es el coeficiente de correlación ϕ (phi) . Dispuesta la tabla como sigue (totalizando filas y columnas) obtenemos :

Y 1 (Fuma) 0 (No fuma) X 1 (Hombre) a = 85 b = 12 97 0 (Mujer) c = 10 d = 60 70 95 72

( )( )( )( )7307'0

72.95.70.9710.1260.85

...=

−=

++++−

=dbcadcba

bcadϕ

b) Coeficiente de correlación de Pearson :

X Y n n.X n.Y n.X2 n.Y2 n.X.Y 1 1 85 85 85 85 85 85 1 0 12 12 0 12 0 0 0 1 10 0 10 0 10 0 0 0 60 0 0 0 0 0 167 97 95 97 95 85

X = =97

1670 5808' s sX X

2 297167

0 5808 0 2435 0 2435 0 4934= − = ⇒ = =' ' ' '

Y = =95

1670 5689' s sY Y

2 295167

0 5689 0 2453 0 2453 0 4952= − = ⇒ = =' ' ' '

s rXY = − = ⇒ = =85

1670 5808 0 5689 0 1786 0 1786

0 4934 0 49520 7307' . ' ' '

' . ''

Coincidente con el calculado en el apartado anterior, como era de esperar.

Regresión y correlación (F. Álvarez) - 13

6 Doce atletas (A, B, C, ..., L) participan en una carrera de 100 metros y en otra de lanzamiento de peso. Las clasificaciones en dichas pruebas fueron :

100 metros : A , B , C , D , E , F , G , H , I , J , K , L Peso : K , I , J , L , G , H , F , D , E , B , C , A

a) Determine la relación existente entre las dos clasificaciones en las pruebas descritas, mediante el coeficiente más adecuado. b) Calcule el coeficiente de correlación de Pearson y compare su valor con el calculado en el apartado anterior.

Nos encontramos ante dos reordenaciones distintas de los 12 individuos. Calcularemos pues el coeficiente de correlación por el método de los rangos de Spearman.

a) Coeficiente de correlación ρ :

( ) ( ) 9301'0112.12

552.611.

.61 22

2

−=−

−=−

−= ∑NN

dρ (Ver tabla siguiente)

A continuación se ofrecen las tablas auxiliares de cálculos de ρ y r , calculados para comprobar que coinciden.

Para el cálculo de ρ Para el cálculo de r X Y d d2 X Y X2 Y2 X.Y 1 11 -10 100 1 11 1 121 11 2 9 -7 49 2 9 4 81 18 3 10 -7 49 3 10 9 100 30 4 12 -8 64 4 12 16 144 48 5 7 -2 4 5 7 25 49 35 6 8 -2 4 6 8 36 64 48 7 6 1 1 7 6 49 36 42 8 4 4 16 8 4 64 16 32 9 5 4 16 9 5 81 25 45 10 2 8 64 10 2 100 4 20 11 3 8 64 11 3 121 9 33 12 1 11 121 12 1 144 1 12 78 78 0 552 78 78 650 650 374

b) Coeficiente de correlación de Pearson :

X = =7812

6 5' s sX X2 2650

126 5 11 9167 11 9167 3 4521= − = ⇒ = =' ' ' '

Y = =7812

6 5' s sY Y2 2650

126 5 11 9167 11 9167 3 4521= − = ⇒ = =' ' ' '

s rXY = − = − ⇒ =−

= −37412

6 5 6 5 11 0833 11 08333 4521 3 4521

0 9301' . ' ' '' . '

'

En efecto coinciden los coeficientes de correlación obtenidos por los dos métodos.

Su alto valor negativo (próximo a -1) nos indica que existe una fuerte relación entre las dos clasificaciones en las pruebas atléticas, quedando mejor clasificados en una los peor clasificados en la otra.

7 De los archivos de la Dirección provincial de Tráfico se han seleccionado los expedientes de 64 conductores, realizando el siguiente recuento en función del sexo (M = mujer ; H = hombre) y el número de multas impuestas durante el último año.

Sexo M H Nº de multas 1 9 0 en el último año 2 7 0 3 6 2 4 1 9 5 1 11 6 0 18

¿ Qué conclusión puede deducirse acerca de la relación existente entre sexo y número de denuncias ?. Utilice para ello el índice de asociación más apropiado.

Al ser dicotómica la variable sexo, obtendremos el coeficiente de correlación biserial puntual :

14 - Regresión y correlación (F. Álvarez)

Y Y=1 Y=0 M = 1 H = 0 n n.X n.X2 n.X1 n.X0

X 1 9 0 9 9 9 9 0 2 7 0 7 14 28 14 0 3 6 2 8 24 72 18 6 4 1 9 10 40 160 4 36 5 1 11 12 60 300 5 55 6 0 18 18 108 648 0 108 24 40 N=64 255 1217 50 205

X15024

2 0833= = ' X020540

5 125= = ' p = =2464

0 375' q p= = = −4064

0 625 1'

X = =25564

3 9844' s sX X2 21217

643 9844 3 1404 3 1404 1 7721= − = ⇒ = =' ' ' '

Con esto : rX X

sp qbp

X

=−

=−

= −1 0 2 0833 5 1251 7721

0 375 0 625 0 831. . ' ''

. ' . ' '

Es decir existe una fuerte relación, de sentido inverso, entre ambas variables. Algo que podía advertirse al analizar el recuento de las observaciones.

8 Para analizar si existe o no relación entre las calificaciones en materias científicas y las del área literaria, seleccionamos ocho alumnos a los que sometemos a dos pruebas (una de cada área). Clasificados por orden de puntuación resultó :

Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 P. Científica 3º 6º 7º 1º 2º 8º 5º 4º P. Literaria 3º 5º 7º 4º 1º 8º 2º 6º

Utilizando el índice adecuado establezca el grado de relación que existe entre las calificaciones de dichas áreas de conocimiento.

Calcularemos el coeficiente de correlación ρ (rangos de Spearman) al presentarse dos variables ordinales (dos reordenaciones de los 8 alumnos). Denominamos X e Y a las variables que proporcionan, respectivamente, las clasificaciones en la prueba científica y en la literaria . Ordenadas las primeras, calculemos sus diferencias :

X Y d d2 1 4 -3 9 2 1 1 1 3 3 0 0 4 6 -2 4 5 2 3 9 6 5 1 1 7 7 0 0 8 8 0 0 24

Con ello : ( ) ( ) 7143'018.8

24.611.

.61 22

2

=−

−=−

−= ∑NN

dρ

Es decir, existe una alta relación entre las calificaciones. Generalmente un alumno con altas calificaciones en el área científica tendrá altas calificaciones en el área de conocimientos literarios.

Regresión y correlación (F. Álvarez) - 15

9 Un grupo de COU integran 17 alumnos de Ciencias y 14 de Letras. De ellos repiten curso 16 de Ciencias y sólo 2 de Letras. Calcule el coeficiente de correlación más adecuado para medir el grado de asociación existente entre las variables descritas.

Se trata de analizar la relación que puede existir entre la especialidad (Ciencias o Letras) y el ser repetidor o no serlo. Siendo las dos variables dicotómicas, calculamos el coeficiente de correlación ϕ (phi) .

Dispuesta la tabla como sigue (totalizando filas y columnas) obtenemos :

Y 1 (Repite) 0 (No repite) X 1 (Ciencias) a = 16 b = 1 17 0 (Letras) c = 2 d = 12 14 18 13

( )( )( )( )⇒=

−=

++++−

= 8051'013.18.14.172.112.16

... dbcadcbabcadϕ alta relación entre las variables.

10 Se somete a 10 alumnos a dos test diferentes encaminados a medir su percepción visual. Los resultados fueron los siguientes :

Test A 3 4 5 5 6 7 8 9 10 12 Test B 4 5 5 6 7 8 8 10 11 14

a) Obtenga las ecuaciones de las rectas de regresión del test A sobre el B, en puntuaciones directas, diferenciales y típicas.

b) Determine la proporción de varianza residual que se presenta en dicho ajuste. Denominando Y a las puntuaciones en el test A (variable dependiente en el ajuste) y X a las correspondientes al text B, procedemos a realizar los cálculos necesarios :

X Y X2 Y2 X.Y 3 4 9 16 12 4 5 16 25 20 5 5 25 25 25 5 6 25 36 30 6 7 36 49 42 7 8 49 64 56 8 8 64 64 64 9 10 81 100 90 10 11 100 121 110 12 14 144 196 168 69 78 549 696 617

( )( )( )

0809'169549.10

78.69617.10.

...222

=−−

=−

−=

∑∑∑∑∑

XXN

YXYXNb

a Y b XY

Nb

XN

= − = − = − =∑ ∑. . ' . '7810

1 0809 6910

0 3416

( )( )( )[ ] ( )[ ] ( )( ) 9861'0

78696.10.69549.1078.69617.10

...

...222222=

−−

−=

−−

−=

∑∑∑∑∑∑∑

YYNXXN

YXYXNr

a) Rectas de regresión :

1º.- En puntuaciones directas : Y' = a + b . X Y' = 0'3416 + 1'0809 . X

2º.- En puntuaciones diferenciales : y' = b . x y' = 1'0809 . x

3º.- En puntuaciones tipificadas: zy' = r .zx zy' = 0'9861 .zx

b) Proporción de varianza residual :

Cuando se habla de proporción siempre se refiere al cociente entre la varianza total de Y; es decir, a la proporción de varianza de Y que representa la varianza solicitada.

16 - Regresión y correlación (F. Álvarez)

Siendo la varianza de los errores (residual) : ( )222.

2 1. rsss YXYe −==

( ) 0277'09861'0111. 222

22

2

2. =−=−=

−= r

srs

ss

Y

Y

Y

XY

Sólo representa un 2'77% de la varianza del test A (Y), siendo la proporción de varianza no explicada por el test B (X).

11 A partir de los seis pares de valores, correspondientes a una variable bidimensional (X,Y) ,

(1 , 4) , (2 , 5) , (3 , 5) , (4 , 6) , (5 , 7)

a) Calcule la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X. b) Represente gráficamente el diagrama de dispersión y la recta de regresión. c) Calcule e interprete el coeficiente de correlación.

Cálculos necesarios (realizados en este ejemplo a partir de las medias y varianzas de X e Y y de la covarianza) :

X Y X2 Y2 X.Y 1 4 1 16 4 2 5 4 25 10 3 5 9 25 15 4 6 16 36 24 5 7 25 49 35 15 27 55 151 88

X s Y s sX Y XY= = = − = = = = − = = − =155

3 555

3 2 275

5 4 1515

5 4 1 04 885

3 5 4 1 42 2 2 2' ' ' . ' '

a) b a= = = − =1 42

0 7 5 4 0 7 3 3 3' ' ' ' . ' Y = 3'3 + 0'7 . X

b) Para X = 0 Y = 3'3 (0 , 3'3) Para X = 5 Y = 6'8 (5 , 6'8)

Enlazando los dos puntos anteriores obtenemos la gráfica de la recta. Observe que el punto que tiene por coordenadas las medias de X e Y (3 , 5'4) , es un punto contenido en la recta de regresión. Apreciamos la proximidad de los puntos a la recta de ajuste, así como que dicha recta es creciente (r > 0).

c) r = =1 4

2 1 040 9707'

. ''

Elevada relación entre las variables y de signo positivo. La recta de regresión es una buena función de ajuste, siendo creciente (r > 0).

Para representar gráficamente la recta de regresión, localizamos dos puntos cualesquiera de ella : Y = 3'3 + 0'7 . X

Regresión y correlación (F. Álvarez) - 17

12 La recta de regresión de Y sobre X, calculada en el estudio de la relación existente entre dos variables, tiene por ecuación Y' = 5'4 - 0'9 . X , siendo la varianza de la variable dependiente Y igual a 1'84. Si la distribución de las predicciones de Y tiene como media 3'6 y varianza 1'619936, a) calcule la media y varianza de X b) determine la ecuación de la recta de regresión de X sobre Y c) obtenga el valor del coeficiente de correlación.

Iniciamos aquí una serie de ejemplos que requieren para su resolución el empleo de las diferentes relaciones funcionales (fórmulas para entendernos) tratadas en el tema.

Resulta de utilidad escribir las expresiones en las que intervienen los datos suministrados, sustituyendo sus valores conocidos. Tal vez así podamos obtener los que nos pida el problema.

1º.- ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==+=−=−= 9'0.9'04'5..9'04'5' 2

X

XY

ssbXYXbYaXY

2º.- s sY Y2 1 84 1 84 1 3565= = =' ' '

3º.- Y' = Y = 3'6 s = 1'619936Y'2

Siendo 3'6 la media de Y, la expresión de a nos permite obtener la media de X :

5 4 0 9 5 4 3 6 0 9 5 4 3 60 9

2' ' . ' ' ' . ' ''

= + = + ⇒ =−

=Y X X X

La varianza de X no puede obtenerse de momento (para extraerla del valor del coeficiente de regresión b necesitamos conocer antes la covarianza o el coeficiente de correlación).

Partiendo, por ejemplo, de la proporción de varianza explicada (hace referencia a la varianza de las predicciones) :

rss

rY

Y

22

2

1 6199361 84

0 8804 0 8804 0 9383= = = ⇒ = = ±' ''

' ' '

El coeficiente de correlación será negativo, ya que lo es el coeficiente de regresión b (b = -0'9), luego : r = 0'9383 .

La expresión r bss

X

Y

= . nos permitirá calcular la desviación típica de X :

r bss

ss sX

Y

XX X= ⇒ − = − ⇒ =

−−

= ⇒ = =. ' ' .'

' . ''

' '0 9383 0 91 3565

0 9383 1 35650 9

1 4142 1 4142 22 2

Finalmente, calculemos la recta de ajuste de X sobre Y :

bss

rss

a X b YXY

Y

X

Y

' . ' . ''

' ' ' . ( ' ). ' '= = = − = − = − = − − =2 0 9383 1 41421 3565

0 9783 2 0 9783 3 6 5 5217

Su ecuación es : X' = 5'5217 - 0'9783 . Y

13 La recta de regresión de Y sobre X corta a los ejes coordenados en los puntos (0'5,0) y (0,-0'4), siendo la proporción de varianza no explicada por X del 25'58%. a) Calcule los coeficientes de correlación y de determinación. b) Siendo X = 5, ¿ qué pronóstico diferencial corresponde a una puntuación directa X = 4 ?.

a) Los coeficientes de correlación y de determinación se obtienen directamente de la proporción de varianza no explicada :

1 - r2 = 0'2558 ⇒ r2 = 1 - 0'2558 = 0'7442

Luego : Coeficiente de determinación : R2 = r2 = 0'7442 Coeficiente de correlación : r = = ±0 7442 0 8627' '

Para determinar si el coeficiente de correlación es positivo o negativo se pueden seguir distintos procedimientos. Uno podría consistir en dibujar la recta de regresión (enlazando los dos puntos conocidos) observando si es creciente (b > 0 y r > 0) o decreciente (b < 0 y r < 0). Así resulta que es creciente y, por tanto, r = 0'8627.

b) Determinemos la recta de regresión en puntuaciones directas y diferenciales :

Si la recta de regresión Y' = a + b.X pasa por (0'5,0) y (0,-0'4) , significa que : - para X = 0'5 Y' = 0 : 0 = a + b.0'5 - para X = 0 Y' = -0'4 : -0'4 = a + b.0 ⇒ -0'4 = a ⇒ 0 = -0'4 + b.0'5 ⇒ b = 0'4 / 0'5 = 0'8

18 - Regresión y correlación (F. Álvarez)

La recta de regresión es : en puntuaciones directas : Y' = -0'4 + 0'8 . X en puntuaciones diferenciales : y' = 0'8 . x

A la puntuación directa X = 4 , le corresponde una puntuación diferencial : x X X= − = − = −4 5 1 luego el pronóstico diferencial correspondiente es :

y' = 0'8 . x = 0'8 . (-1) ⇒ y' = -0'8 NOTA :

Calculado b = 0'8 > 0, concluiremos que el coeficiente de correlación es también positivo (r = 0'8627), tal como se dedujo en el apartado a).

14 A las puntuaciones directas 2 y 6 de la variable X le corresponden predicciones 3'2 y 7'2 respectivamente. Si la proporción de varianza asociada a X es del 70'42% y los valores de la variable dependiente Y son: 1 , 3 , 5 , 6 y 11 a) obtenga las ecuaciones de las dos rectas de regresión b) calcule el coeficiente de correlación c) un pronóstico tipificado 1'1868 , ¿ a qué puntuación directa de X corresponde ?.

a)

En la recta de regresión de Y sobre X : Y' = a + b.X - Para X = 2 , Y' = 3'2 : 3'2 = a + 2.b - Para X = 6 , Y' = 7'2 : 7'2 = a + 6.b

Resolviendo el sistema obtenemos : a = 1'2 b = 1 Y' = 1'2 + X

Para el cálculo de la recta de regresión de X sobre Y no disponemos de elementos suficientes de momento.

b) Con los valores conocidos de Y calculamos su media, varianza y desviación típica :

Y s sY Y=+ + + +

= =+ + + +

− = = =1 3 5 6 11

55 2 1 3 5 6 11

55 2 11 36 11 36 3 37052

2 2 2 2 22' ' ' ' '

Si la proporción de varianza asociada es del 70'42%, deducimos que : r2 = 0'7042 y, siendo b = 1 > 0 , el coeficiente de correlación r también será positivo. Es decir :

r = + =0 7042 0 8392' '

De la recta de regresión de Y sobre X deducimos (para las medias) : Y Y X X Y' ' ' ' '= = + ⇒ = − = − =1 2 1 2 5 2 1 2 4

La desviación típica de X la podemos obtener ahora de la relación :

r bss

sr s

bsX

YX

YX= ⇒ = = = ⇒ = =.

. ' . ' ' '0 8392 3 37051

2 8284 2 8284 82 2

a bis) Estamos en condiciones de calcular la recta de regresión de X sobre Y :

r bss

br ss

a X YY

X

X

Y

= ⇒ = = = ⇒ = − = − =' . '. ' . '

'' ' . ' . ' '0 8392 2 8284

3 37050 7042 0 7042 4 0 7042 5 2 0 3380

La recta de regresión de X sobre Y tiene por ecuación : X' = 0'3380 + 0'7042 . Y

c) La recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones típicas es : z r z z zY X Y X' '. ' .= = 0 8392 Para el pronóstico tipificado 1'1868 deduciremos el valor tipificado de X. Teniendo en cuenta el proceso de tipificación, deduciremos la puntuación directa de X

z z X Xs

X XY XX

' ' ''

''

' . '= = = =−

=−

⇒ = + =1 1868 1 18680 8392

1 4142 42 8284

1 4142 2 8284 4 8

15 En un grupo de 10 sujetos se han aplicado dos pruebas (X,Y). Las puntuaciones obtenidas en X fueron dicotomizadas por la Mediana formándose dos categorías: altos (A) y bajos (B). Los resultados son los siguientes :

Sujeto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X B A B A A B B A A B Y 5 3 3 0 1 3 2 0 1 2

Elija y calcule el índice de correlación adecuado para medir la relación existente entre X e Y.

Regresión y correlación (F. Álvarez) - 19

X nA nA.X nB nB.X X n n.X n.X2 0 2 0 0 0 0 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 2 2 0 0 2 4 2 2 4 8 3 1 3 2 6 3 3 9 27 4 0 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 1 5 5 1 5 25 5 5 5 15 10 20 62

X X X SA B X= = = = = = = − =55

1155

32010

26210

2 14832; ; ; '

rX X

Sp qbp

A B

X=

−=

−= −. .

'. . '

1 31483

510

510

0 674

Cierta relación entre las variables, de signo inverso. A mayor puntuación en la prueba Y menor nivel en X.

16 La puntuación estimada de la variable Y para un valor 0 de la variable X es 0’5454, siendo la varianza de esta variable 16’5. Sabiendo que el porcentaje de varianza de la variable Y no asociada a la variación de X es 4’545% y que la varianza del error es 0’318297, hallar :

a) la correlación de Pearson entre X e Y. b) la ecuación de regresión para pronosticar Y a partir de X. c) la varianza de las puntuaciones pronosticadas.

Datos :

Y a b X a b a SSS

r SXe

ye' . ' . ' ; ' ; ' ; '= + → = + → = = = − = =05454 0 05454 165 1 0 04545 0 3182972

2

22 2

a) 1 - r2 = 0’04545 ⇒ r2 = 1 - 0’04545 = 0’95455 ⇒ r = 0’977

b) a = 0’5454

0 318297

0 04545 7 003 2 64622'

' ' 'S

S SY

Y Y= ⇒ = ⇒ =

r bSS

br SS

Y XX

Y

Y

X= ⇒ = = = ⇒ = +.

. ' . ''

' ' ' ' .0 977 2 646

1650 6364 0 5454 0 6364

c) S S S S S SY e Y Y Y e2 2 2 2 2 2 7 003 0 318297 6 684703= + → = − = − =' ' ' ' '

17 Las puntuaciones estimadas de la variable Y para los valores 3 y 5 de la variable X son 2’4545 y 3’7272 respectivamente. El coeficiente de correlación entre X e Y es 0’977, y la varianza de la variable X es 16’5. Con estos datos calcular :

a) la ecuación de la recta de regresión. b) la varianza de las puntuaciones pronosticadas. c) la proporción de varianza de la variable Y no asociada a la variación de X.

Datos :

Y a b Xa ba b

r SX' .' .' .

' '= + →= += +

⎧⎨⎩

= =2 4545 337272 5

0 977 1652

a) Resolviendo el sistema anterior : a = 0’54545 b = 0’63635 Y’ = 0’54545 + 0’63635.X

b) rss

s r sy

yy y

22

22 2 2= ⇒ =

'' .

r bSS S

S SX

Y YY Y= ⇒ = = ⇒ = ⇒ = =. ' ' .

'' ' ' . ' ''0 977 0 63635

1650 6364 2 656594 0 977 2 656594 6 73662 2 2

c) 1 - r2 = 1 - 0’9772 = 0’045471 (4’5471%)

20 - Regresión y correlación (F. Álvarez)

18 Las puntuaciones directas obtenidas por 5 sujetos en la escala LKS (Escala de Lucas) y las obtenidas por esos mismos sujetos en el factor C (Control Social) del PSI son las que figura en la tabla final.

a) Encuentre la puntuación pronosticada en LKS de un sujeto cuya puntuación directa en C es 15. b) Encuentre la parte de la varianza de LKS asociada a la variación de C. c) Interprete el resultado obtenido al calcular el estadístico que expresa la relación entre LKS y C.

Sujetos A B C D E LKS 49 40 43 31 37 C 8 16 14 20 12

Y = LKS X = C

X Y X2 Y2 X.Y 8 49 64 2401 392 16 40 256 1600 640 14 43 196 1849 602 20 31 400 961 620 12 37 144 1369 444 70 200 1060 8180 2698

X Y S S

S S S

X X

Y Y XY

= = = = = − = =

= − = = = − = −

705

142005

401060

514 16 4

81805

40 36 62698

514 40 20 4

2 2

2 2

; ; ;

; ; . '

b = -20’4 / 16 = -1’275 a = 40 - (.1’275).14 = 57’85 a)

Y’ = 57’85 - 1’275.X = 57’85 - 1’275 . 15 = 38’725

b) r = -20’4 / 4 . 6 = -0’85 ⇒ r2 = 0’7225 (72’25%)

c) Alta relación entre las dos pruebas (r=-0’85) y de signo inverso. Es decir, un sujeto con alta puntuación en LKS tendrá baja puntuación en C

19

La empresa de publicidad “VENDEBIEN” quiere saber si la aceptación o rechazo dependen del sexo. Para ello se encuesta a 200 personas de las cuáles el 50% son mujeres; 40 hombres rechazan el producto mientras que 30 mujeres lo aceptan. Elija y calcule el índice de correlación adecuado para interpretar estos datos.

ϕ =−

+ + + +=

−=

ad bca b c d a c b d( ).( ).( ).( )

. .

. . .'

60 70 30 4090110100100

0 3015

Escasa relación entre la aceptación y el sexo. De aceptarla, el mayor rechazo se produce en mujeres.

20 La ecuación de la recta de regresión que permite pronosticar las calificaciones en Psicología Matemática II (Y) a partir de las calificaciones en Psicología Matemática I (X) es la siguiente : Y’ = 0’8.X - 0’25 Sabiendo que Sx = (4/5).Sy ; Sy = 3 y que X Y− = 174' , calcule :

a) r X Yxy , , . b) la varianza de las puntuaciones pronosticadas. c) la proporción de varianza error cometida al pronosticar, utilizando la recta de regresión anterior.

H M Aceptan a=60 b=30 Rechazan c=40 d=70

Regresión y correlación (F. Álvarez) - 21

Datos :

Y X S S S X YX Y Y' ' . ' ; . ; ; '= − = = − =0 8 0 2545

3 174

a)

b

S r bSS

a Y b X Y XX Y

XY

X

X

Y

=

= =

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ = = =

= − − = −− =

⎫⎬⎭⇒

==

⎧⎨⎩

0845

3 2 4 082 43

0 64

0 25 08174

7 45571

'

. ' . ' .'

'

. ' ' .'

''

b) rss

s r sy

yy y

22

22 2 2 2 20 64 3 3 6864= ⇒ = = =

'' . ' . '

c) 1 - r2 = 1 - 0'642 = 0'5904 (59'04%)

21 La recta de regresión de Y sobre X, que permite el pronóstico en el rendimiento en un trabajo manual a partir de las puntuaciones en un test de destreza manual, corta al eje de ordenadas en Y’ = 8 y al de abscisas en X = -4, en puntuaciones directas.

a) Calcule la ecuación de la recta de regresión anterior en puntuaciones directas. b) Represente gráficamente la recta de regresión anterior. c) Calcule el coeficiente de correlación entre X e Y sabiendo que la varianza de los errores es la cuarta parte de la varianza de Y.

a) Para X = 0 , Y’ = 8 y, para X = -4, Y’ = 0

Y a b Xa

a bab Y X' . . ' .= + →

== −

⇒==

→ = +⎧⎨⎩

⎧⎨⎩

80 4

82 8 2

b)

c) ( )S S S S r rSS

S

Sre Y e Y

e

Y

Y

Y

2 2 2 2 2 22

2

2

214

1 1 1

14 3

40866= ⇒ = − ⇒ = − = − = ⇒ =. .

.'

22 Estudiando la relación entre las variables X e Y se obtuvieron los siguientes datos :

X Y S S r nx Y xy= = = = = =119 130 10 0 55 0 70 10, ' , , ' , ' , a) Elena C. obtuvo una puntuación de 130 en X. Estime su puntuación en Y. b) Se estimó la puntuación 1’28 en la variable Y para Gonzalo S.. ¿ Cuál fue su puntuación en la

variable X ?. c) Determinar el valor de Sy.x y la desviación típica de las puntuaciones pronosticadas (Sy’).

a) b rss

a x Y X

Y

y

x= = = = − = − ⇒ = − + ⇒

⇒ = − + =

. ' .'

' ; ' ' ' ' ' ' .

' ' ' . '

0 70 5510

0 0385 130 0 0385 119 32815 32815 0 0385

32815 0 0385130 1 7235

b) 1’28 = -3’2815+0’0385.X ⇒ X = 118’48

c) S S r

S S S SY X Y

Y Y Y X Y

.

' . '

. ' . ' '

' ' ' '

= − = − =

= − = − = ⇒ =

1 055 1 0 7 0 3928

0 3025 01543 01482 0 385

2 2

2 2 2

22 - Regresión y correlación (F. Álvarez)

23 La siguiente gráfica muestra las calificaciones obtenidas

por dos grupos de alumnos que han estudiado con dos métodos de enseñanza distintos (A y B). Elija, calcule e interprete el coeficiente de correlación más adecuado para estudiar la relación entre el método de enseñanza y las calificaciones.

XA XB 2 2 4 4 6 5 8 6 9 10

20 36

X 2 4 6 8 2 4 5 6 9 10 56

X2 4 16 36 64 4 16 25 36 81 100 382

Biserial puntual (rbp). Una cuantitativa (calificación) y la otra dicotómica (método).

X X X SA B X= = = = = = = − =204

5366

65610

5638210

56 2 612; ; ' ; ' '

rX X

Sp qbp

A B

X=

−=

−= −. .

'. . '

5 62 61

410

610

0187

r2 = 0’035 (3’5%)

Existe una relación muy baja (del 3’5%) entre el método seguido y las calificaciones. De aceptarse la relación diríamos que los alumnos que siguen el método B obtienen mejores resultados (signo negativo de r).

24 Sabemos que las puntuaciones diferenciales pronosticadas (y’) son cinco veces las puntuaciones diferenciales de la variable X, y que la proporción de varianza asociada entre X e Y es igual a 0’25. Calcular : a) La pendiente de la recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas y diferenciales. b) La pendiente de la recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones típicas. c) La pendiente de la recta de regresión de X sobre Y en puntuaciones directas.

Datos : y’ = 5x rs

sy

y

22

2 0 25= =' '

a) b = 5

b) r2 = 0’25 ⇒ r = 0’5

c) b.b’ = r2 ⇒ 5.b’ = 0’25 ⇒ b’ = 0’25 / 5 = 0’05

25 Para un grupo de 100 sujetos y en dos variables X e Y, disponemos de los siguientes datos :

Σxy=480 ; Σx2=400 ; Σy2=ΣY=900. Sabiendo además que X e Y son dos variables cuantitativas que mantienen una relación lineal y que, lógicamente,

Σx = Σy = 0 a) ¿Cuánto valdrá el coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y ?. b) ¿Cuánto valdrá la desviación típica de los errores cometidos al pronosticar Y a partir de X ?. c) ¿ Qué puntuación directa pronosticaremos en Y a un sujeto que ha obtenido una puntuación x=-2 ?.

Se sigue en el enunciado la notación usual de representación de puntuaciones directas (mayúscula) y diferenciales (minúscula).

Recordemos que :

Regresión y correlación (F. Álvarez) - 23

En puntuaciones directas En puntuaciones diferenciales ( )( )

YXN

YXn

N

YYXXnS i

iiii

iii

XY .....

−=−−

=∑∑

N

yxnS i

iii

XY

∑=

..

( )2

22

2..

XN

Xn

N

XXnS i

iii

ii

X −=−

=∑∑

N

xnS i

ii

X

∑=

2

2.

a) Para puntuaciones diferenciales :

sxy

ns

xn

sy

nxy x y= = = = = = = = =∑ ∑ ∑480

1004 8

400100

2900100

32 2

'

r = 4’8 / 2'3 = 0’8

b) s s s re y y= = − = − =.x . . ' '1 3 1 08 182 2

c) En puntuaciones diferenciales : y’ = b.x , con b rss

y

x= = =. ' . '0 8

32

12

Para x = -2 : y’ = 1’2 . (-2) = -2’4

Como : y Y Y Y y Y yY

N' ' ' ' ' ' ' '= − ⇒ = + = + = − + = − + =

∑2 4

900100

2 4 9 6 6

26 La empresa de publicidad “VENDEBIEN” quiere

saber si existe relación entre la duración de un anuncio en T.V. y la aceptación o rechazo del mismo. Los resultados de la encuesta se incluyen en la siguiente tabla. Elija y calcule el índice de correlación adecuado para interpretar estos datos.

Duración Aceptación Rechazo 5 - 9 3 0 10 - 14 4 1 15 - 19 4 2 20 - 24 1 3 25 - 29 0 2

X nA nA.X nR nR.X X n n.X n.X2 5-9 7 3 21 0 0 7 3 21 147

10-14 12 4 48 1 12 12 5 60 720 15-19 17 4 68 2 34 17 6 102 1734 20-24 22 1 22 3 66 22 4 88 1936 25-29 27 0 0 2 54 27 2 54 1458

12 159 8 166 20 325 5995

X X X SA R X= = = = = = = − =15912

1325166

820 75

32520

16 25599520

16 25 5 9742' ; ' ; ' ; ' '

rX X

Sp qbp

A R

X=

−=

−= −. .

' ''

. . '13 25 20 75

5 9741220

820

0 615

Cierta relación entre las variables, de signo inverso. A mayor duración mayor rechazo.

27 El gabinete de estudios sobre “Malestar Social” desea conocer si existe relación entre la consumición de drogas y la comisión de delitos sobre la propiedad. Para ello se selecciona una muestra y se comprueba que 50 individuos han consumido algún tipo de droga y a la vez han estado implicados en delitos contra la propiedad. Teniendo en cuenta que un 20% de la muestra ha cometido delitos contra la propiedad, que 250 no consumen drogas ni han estado implicados en delitos contra la propiedad y que la muestra constaba de 500 individuos, ¿ qué conclusión obtendrá el gabinete de estudios ?. (Elija, calcule e interprete el coeficiente de correlación adecuado).

24 - Regresión y correlación (F. Álvarez)

ϕ=−

+ + + +=

−=

ad bca b c d a c b d( ).( ).( ).( )

. .. . .

'50 250 50150100 400 200 300

0144

Escasa relación entre consumo de drogas y comisión de delitos. De aceptarla, la mayor comisión de delitos se produce en consumidores de drogas.

28 Un grupo de hombres y mujeres responde a una

prueba (X). Los datos obtenidos aparecen en la siguiente tabla. Elija razonadamente, calcule e interprete el coeficiente de correlación adecuado, para estudiar la relación entre las puntuaciones de la prueba y la variable sexo.

X Mujeres Hombres 11 - 13 8 3 8 - 10 6 5 5 - 7 5 6 2 - 4 1 6

X nM nM.X nH nH.X X n n.X n.X2 2-4 3 1 3 6 18 3 7 21 63 5-7 6 5 30 6 36 6 11 66 396 8-10 9 6 54 5 45 9 11 99 891

11-13 12 8 96 3 36 12 11 132 1584 20 183 20 135 40 318 2934

X X X SM H X= = = = = = = − =18320

91513520

6 7531840

7 952934

407 95 31862' ; ' ; ' ; ' '

rX X

Sp qbp

M H

X=

−=

−=. .

' ''

. . '915 6 75

31862040

2040

0 377

Muy débil relación entre las variables, de signo directo. De aceptarse, la mayor calificación se produce en mujeres.

29 Elija el coeficiente de correlación más apropiado

entre las variables “puntuaciones en un test de inteligencia” (X), y “prejuicio antiprotestante” (Y), teniendo en cuenta el cuadro adjunto. En este cuadro, fA significa frecuencia con alto prejuicio y fB frecuencia con bajo. Calcule el coeficiente de correlación elegido y comente brevemente el resultado obtenido.

Y fA fB 9 - 11 40 0 X 6 - 8 40 0 3 - 5 0 10 0 - 2 0 10

X nA nA.X nB nB.X X n n.X n.X2 0-2 1 0 0 10 10 1 10 10 10 3-5 4 0 0 10 40 4 10 40 160 6-8 7 40 280 0 0 7 40 280 1960 9-11 10 40 400 0 0 10 40 400 4000

80 680 20 50 100 730 6130

X X X SA B X= = = = = = = − =68080

8 55020

2 5730100

7 36130100

7 3 2 832' ; ' ; ' ; ' '

rX X

Sp qbp

A B

X=

−=

−=. .

' ''

. . '8 5 2 5

2 8380

10020

1000 848

Elevada relación entre las variables, de signo directo. A mayor puntuación en el test mayor prejuicio antiprotestante.

Droga SI Droga NO Delito SI a=50 b=50 Delito NO c=150 d=250

Regresión y correlación (F. Álvarez) - 25

30 Estudiando la relación entre las variables X e Y se obtuvieron los siguientes datos :

X Y S S r nx Y xy= = = = = =50 6 6 2 0 8 5, , , , ' , a) ¿ Qué puntuación directa en Y pronosticaremos a un sujeto que obtuvo una puntuación directa en X

de 52 ?.) b) ¿ Cuánto valen Sy'

2 y Sy x. ?.

a) b rss

a x

Y X Y x

y

x= = = = − = − ⇒

⇒ = − + ⇒ = − + =

. ' . ' ; ' '

' ' ' . ' ' ' '

0 826

0 267 6 0 267 50 7 35

7 35 0 267 7 35 0 267 52 6534

b) S S r S S SY Y Y Y Y.X ' .X. . ' ' ' '= − = − = = − = − =1 2 1 08 12 4 144 2 562 2 2 2 2

31 Estudiando una muestra de 50 alumnos de BUP se observó que una proporción de 0’10 estaba compuesta por alumnos hijos únicos. De los 50 alumnos, una proporción de 0’6 comían en el Colegio. Si sabemos que una proporción de 0’04, con respecto al total, son hijos únicos que no comen en el Colegio. ¿ Existe una relación entre ser hijo único o no y comer o no en el Colegio ?. Halle el coeficiente de correlación que corresponda e interprete el resultado.

ϕ=−

+ + + +=

−=

ad bca b c d a c b d( ).( ).( ).( )

. .. . .

318 27 230 20 5 45

0

Las variables son independientes. No existe ningún tipo de relación entre ser hijo único y comer en el colegio.

32 La desviación típica de un determinado grupo de personas en la variable ansiedad (X) es igual a 2. También conocemos para esta variable la media de los varones (10) y la de las mujeres (5). Sabiendo que el índice de asociación entre las variables ansiedad y sexo es igual a +1, y que el número de varones es superior al de mujeres : a) ¿ Qué coeficiente de correlación habrá sido utilizado ?. b) Interprete el valor del coeficiente de correlación. c) Calcule la proporción de varones que componen nuestra muestra.

a) Biserial puntual (rbp). Una cuantitativa y la otra dicotómica.

b) Relación perfecta. Los varones presentan altas puntuaciones en ansiedad y las mujeres bajas.

c) r

x xs

p q p q p q p q

p p p p p p ppp

bpv m

x=

−= =

−⇒ = = ⇒ =

− = ⇒ − = ⇒ − + = ⇒ =± −

=±

===

⎧⎨⎩

. . . . . ' . '

.( ) ' ' '' ' '

'

110 5

225

0 4 016

1 016 016 016 01 1 0 64

21 0 6

2080 2

2 2

La solución es 0’8 al indicar que hay más varones que mujeres.

33 Y Con la presente distribución bivariante obtenga : [0,10) [10,20) [20,30) [30,40] a) recta de regresión de la media de Y condicionada a X 0 0 1 0 16 b) coeficiente de correlación de la media de Y condicionada a X X 1 0 5 20 3 c) recta de regresión de Y sobre X 2 5 18 6 0 d) coeficiente de correlación lineal (de Y sobre X) 3 3 2 1 0 e) razón de correlación.

Compare los resultados obtenidos en los apartados a), b) con los de los apartados c), d). Interprete el significado de la razón de correlación calculada.

Único SI Único NO Comen SI a=3 b=27 Comen NO c=2 d=18

26 - Regresión y correlación (F. Álvarez)

a) b) Para cada valor de la variable X, determinamos la media de los correspondientes valores de Y. Obtendremos también las varianzas de cada valor Y para calcular posteriormente la razón de correlación (apartado e).

[0,10) [10,20) [20,30) [30,40]

y 5 15 25 35 X = 0 f 0 1 0 16 Σ = 17

f.y 0 15 0 560 Σ = 575 f.y2 0 225 0 1960 Σ = 2185

[0,10) [10,20) [20,30) [30,40]

y 5 15 25 35 X = 1 f 0 5 20 3 Σ = 28

f.y 0 75 500 105 Σ = 680 f.y2 0 1125 12500 3675 Σ = 17300

[0,10) [10,20) [20,30) [30,40]

y 5 15 25 35 X = 2 f 5 18 6 0 Σ = 29

f.y 25 270 150 0 Σ = 445 f.y2 125 4050 3750 0 Σ = 7925

[0,10) [10,20) [20,30) [30,40]

y 5 15 25 35 X = 3 f 3 2 1 0 Σ = 6

f.y 15 30 25 0 Σ = 70 f.y2 75 450 625 0 Σ = 1150

Con las tablas de cálculos anteriores obtenemos : X Y (*) n X = 0 y1 338= ' sy1

2 22 1453= ' 0 33'8 17

X = 1 y2 24 3= ' sy2

2 28 0612= ' 1 24'3 28

X = 2 y3 15 3= ' sy3

2 37 8121= ' 2 15'3 29

X = 3 y4 117= ' sy4

2 555556= ' 3 11'7 6 (*) Medias de cada Y condicionado a X

Con esta distribución procedemos a calcular la recta de regresión y el coeficiente de correlación (omitimos la tabla de cálculos) :

Σ n.X = 104 Media de X = 1'3 Recta de regresión de la media de Y condicionada a X Σ n.X2 = 198 Varianza de X = 0'785 Y' = 32'8998 - 8'2989.X Σ n.Y = 1768'9 Media de Y = 22'11 Coeficiente de correlación de la media de Y condicionada a X Σ n.Y2 = 43565'15 Varianza de Y = 55'657 r = -0'9856 (r2 = 0'9714) Σ n.X.Y = 1778'4 Covarianza = -6'5146

c) d) X Y n n.X n.X² n.Y n.Y² n.X.Y0 5 0 0 0 0 0 00 15 1 0 0 15 225 00 25 0 0 0 0 0 00 35 16 0 0 560 19600 01 5 0 0 0 0 0 01 15 5 5 5 75 1125 751 25 20 20 20 500 12500 5001 35 3 3 3 105 3675 1052 5 5 10 20 25 125 502 15 18 36 72 270 4050 5402 25 6 12 24 150 3750 3002 35 0 0 0 0 0 03 5 3 9 27 15 75 453 15 2 6 18 30 450 903 25 1 3 9 25 625 753 35 0 0 0 0 0 0

80 104 198 1770 46200 1780

Regresión y correlación (F. Álvarez) - 27

Media de X = 1'3 Recta de regresión de Y sobre X Varianza de X = 0'785 Y' = 32'91 - 8'2962.X Media de Y = 22'125 Coeficiente de correlación lineal Varianza de Y = 87'9844 r = -0'7836 (r2 = 0'6141) Covarianza = -6'5125

e) Razón de correlación :

6317'09844'87

5556'55.68121'37.290612'28.281453'22.17.8011

..11 2

22 =

+++−=−= ∑

Y

yi

ssn

Niη

Conclusiones :

• Comprobamos que η2 toma un valor comprendido entre 0 y 1 y verifica que η2 ≥ r2 (0'6317 ≥ 0'6141). • Al ser muy próximo η2 a r2, concluimos que la relación entre las variables X , Y es de tipo lineal.

• Esta última conclusión habríamos deducido al comprobar que las rectas de ajuste de Y sobre X y la de la media de Y condicionada a X prácticamente coinciden :

Y' = 32'91 - 8'2962.X Y' = 32'8998 - 8'2989.X

• La sustitución de las observaciones Yi por su promedio, ha permitido aumentar el valor del coeficiente de correlación :

r = -0'7836 r = -0'9856

incrementando así la proporción de varianza explicada por el ajuste : r2 = 0'6141 (61'41%) r2 = 0'9714 (97'14%)

34 De un grupo de COU, integrado `por 40 alumnos, conocemos sus calificaciones finales en Matemáticas y en Filosofía. El número de aprobados en ambas ascendió a 15, suspendiendo 12 las dos materias, mientras que sólo aprobó Matemáticas el 10% de los alumnos. a) Calcule el coeficiente de correlación más adecuado para medir el grado de asociación existente

entre las variables descritas. b) Asumiendo que las calificaciones en Matemáticas y en Filosofía se distribuyen normalmente,

determine otro coeficiente que estudie el nivel de asociación y no esté basado en el concepto de correlación de Pearson

Se trata de analizar la relación que puede existir entre las calificaciones en las dos materias.

a) Siendo las dos variables dicotómicas, calculamos el coeficiente de correlación ϕ (phi) .

Dispuesta la tabla como sigue (totalizando filas y columnas) obtenemos :

Y - Filosofía 1 (Aprueban) 0 (Suspenden) X 1 (Aprueban) a = 15 b = 4 19 Matemáticas 0 (Suspenden) c = 9 d = 12 21 24 16

( )( )( )( )⇒=

−=

++++−

= 3679'016.24.21.199.412.15

... dbcadcbabcadϕ baja relación entre las variables.

El aprobar o suspender una materia no condiciona el resultado final en la otra. b)

Siendo las dos variables dicotómicas (normalmente distribuidas inicialmente), calculamos el coeficiente de correlación tetracórica (rt).

1º Calculamos los productos : a.d = 15 . 12 = 180 y b.c = 4 . 9 = 36. 2º Como a.d > b.c , calculamos el cociente : C = a.d / b.c = 180 / 36 = 5 (rt será positivo) 3º Consultamos la tabla XXV, para el cálculo del coeficiente de correlación tetracórico, localizando el cociente

C=5 en el intervalo (A,B) = (4'8305 , 5'0075), al cuál corresponde un coeficiente 0'56 + R.

De aquí :

( ) ( ) 56958'000958'056'056'000958'08305'40075'5.100

8305'45.100

=+=+=⇒=−

−=

−−

= RrAB

ACR t

NOTA : Generalmente se verifica que el coeficiente de correlación tetracórica y el coeficiente ϕ verifican la relación :

28 - Regresión y correlación (F. Álvarez)

rt ≈ 1'5 . ϕ (con mayor rigor para valores del coeficiente tetracórico, menores o iguales a 0'5).

En nuestro caso : 1'5 . ϕ = 1'5 . 0'3679 = 0'55185 ≈ rt

Esto permite tener una referencia sobre el intervalo (-1 , 1), a la hora de interpretar el valor obtenido con el coeficiente de correlación tetracórica. Calculando el valor aproximado de ϕ , podremos medir el grado de asociación :

ϕ ≈ = =rt

15056958

150 37972

''

'' ⇒ baja relación entre las variables

35 Con el fin de estudiar si existe o no relación entre las calificaciones en Matemáticas y en Filosofía de COU, seleccionamos seis alumnos. Clasificados por orden de puntuación final en cada materia resultó :

Alumno 1 2 3 4 5 6 Matemáticas 3º 6º 4º 1º 2º 5º Filosofía 3º 5º 6º 4º 1º 2º

a) Utilizando el índice adecuado, basado en el concepto de correlación de Pearson, establezca el grado de relación que existe entre las calificaciones de las dos asignaturas.

b) Resuelva lo solicitado en el apartado anterior mediante un índice que no esté basado en el concepto de correlación de Pearson

a)

Calcularemos el coeficiente de correlación ρ (rangos de Spearman) al presentarse dos variables ordinales (dos reordenaciones de los 8 alumnos).

Denominamos X e Y a las variables que proporcionan, respectivamente, las clasificaciones en Matemáticas y en Filosofía. Ordenando las primeras (X), calculamos sus diferencias con las segundas :

X Y d d2 1 4 -3 9 2 1 1 1 3 3 0 0 4 6 -2 4 5 2 3 9 6 5 1 1 24

Con ello : ( ) ( )ρ = −−

= −−

=∑

16

11

6 246 6 1

0 31432

2 2

..

..

'd

N N

Es decir, apenas existe relación entre las calificaciones.

b) Procede ahora el cálculo del coeficiente de correlación τ (tau) de Kendall :

Reordenamos los pares de observaciones de modo que la variable X (primer elemento del par) quede en orden ascendente y comparamos cada valor de Y con los Yi siguientes, contando una permanencia (P) si Y < Yi y una inversión (I) si Y > Yi. :

X Y 1 4 2 1 (4,1) I 3 3 (4,3) I (1,3) P 4 6 (4,6) P (1,6) P (3,6) P 5 2 (4,2) I (1,2) P (3,2) I 6 5 (4,5) P (1,5) P (3,5) P (2,5) P

En total hemos encontrado 8 permanencias (P) y 4 inversiones (I). Con ello :

τ =−− =

−− = =

N Nn n

p i

.( ) .( ) '12

8 46 6 1

2

415

0 2667

Es decir, como ocurrió con el coeficiente ρ, existe una escasa relación entre las calificaciones en Matemáticas y Filosofía.

Regresión y correlación (F. Álvarez) - 29

36 Con el fin de estudiar si existe o no relación entre las calificaciones en Matemáticas y en Filosofía de COU, seleccionamos 30 alumnos analizando la puntuación final en cada materia . Teniendo en cuenta que se nos proporcionó en Filosofía solamente si el alumno aprobó (A) o suspendió, establezca el grado de relación que existe entre las calificaciones en dichas materias.

Y Filosofía

A S 2 2 1 X 3 5 0 Matemáticas 4 10 2 5 4 0 6 3 1 8 1 1

a) utilizando el índice adecuado, basado en el concepto de correlación de Pearson. b) mediante un índice que no esté basado en el concepto de correlación de Pearson.

a)

Al ser dicotómica la 2ª variable, obtendremos el coeficiente de correlación biserial puntual :

Y Y=1 Y=0 A = 1 S = 0 n n.X n.X2 n.X1 n.X0 X 2 2 1 3 6 12 4 2 3 5 0 5 15 45 15 0 4 10 2 12 48 192 40 8 5 4 0 4 20 100 20 0 6 3 1 4 24 144 18 6 8 1 1 2 16 128 8 8 25 5 N=30 129 621 105 24

X110525

4 2= = ' X0245

4 8= = ' p = =2530

0 833' q = =530

0167'

X = =12930

4 3' s sX X2 2621

304 3 2 21 2 21 1487= − = ⇒ = =' ' ' '

Con esto : rX X

sp qbp

X=

−=

−= −1 0 4 2 4 8

148708330167 01505. .

' ''

. ' . ' '

Es decir apenas existe relación entre ambas variables.

b) Calculemos ahora el coeficiente de correlación biserial rb :

Tomando el menor de los valores de p y q : min (p,q) = min (0'833 , 0'167) = 0'167

obtenemos el valor tabulado del cociente p qf z

.( )

(Tabla XXIII), que resulta ser igual a 0'55609 .

Con esto : rX X

sp qf zb

X=

−=

−= −1 0 4 2 4 8

14870 55609 0 2244.

.( )

' ''

. ' '

Aunque no coincide su valor con el coeficiente de correlación biserial puntual, también podemos concluir que apenas existe relación entre ambas variables.

37 Hemos encontrado, utilizando el criterio de mínimos cuadrados, que las rectas de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas y típicas son, respectivamente :

Y' = 1'2 . X + 4 zy' = 0'8 . zx Sabiendo que : X = 5 , Y = 10 , S = 2 , S = 3X Y , calcular : a) La varianza de las puntuaciones pronosticadas en Y. b) La recta de regresión de Y sobre X, en puntuaciones directas, si sumamos 5 a todos los valores de

X. c) La recta de regresión de Y sobre X, en puntuaciones directas, si sumamos 3 a todos los valores de Y

y multiplicamos por 2 todos los valores de X.

30 - Regresión y correlación (F. Álvarez)

La recta de ajuste en puntuaciones típicas nos proporciona el coeficiente de correlación : r = 0'8 En consecuencia, sobra del enunciado el conocer una de las dos desviaciones típicas. Conocido r = 0'8 ; b = 1'2 y una de las desviaciones típicas (de X o de Y), la otra la habríamos calculado a partir de la relación :

r bSS

X

Y= .

Su conocimiento permite obtener la covarianza (cuyo cálculo tampoco resulta imprescindible) :

rS

S SS r S SXY

X YXY X Y= ⇒ = = =

.. . ' . . '0 8 2 3 4 8

a) Varianza de los pronósticos : SY'2

Obtenida de la relación que proporciona la proporción de varianza explicada por el ajuste :

SS

r S S rY

YY Y

'' . . ' '

2

22 2 2 2 2 23 0 8 5 76= → = = =

b) Si a los valores de X les sumamos 5, la nueva media se incrementa en 5, pero las medidas de dispersión se mantienen inalterables. Resulta así : X = 5 +5 = 10 , Y = 10 , S = 2 , S = 3, S = 4' 8X Y XY

Luego : bSS

a Y b X Y XXY

X= = = − = − = − → = − +2 12 10 12 10 2 2 12' . ' . ' ' .

c) Si a los valores de Y les sumamos 3, la nueva media se incrementa en 3, pero las medidas de dispersión se mantienen inalterables. Si los valores de X los multiplicamos por 2, la nueva media se multiplica por 2, y las medidas de dispersión también (la varianza por el cuadrado). Resulta así : X = 5 . 2 = 10 , Y = 10 + 3 = 13 , S = 2 . , S = 3, S = 4' 8.X Y XY2 4 2 9 6= = ' Luego :

bSS

SS

b a Y b X Y XXY

X

XY

X= → = = = − = − = → = +2 2 2

22

24

0 6 13 0 6 10 7 7 0 6..

. ' . ' . ' ' .

38 Se desea estudiar si existe relación entre `padecer diabetes y ceguera en la tercera edad. Para ello se analiza una muestra de 1000 personas del INSERSO encontrándose que de todas ellas un 50% presentan simultáneamente diabetes y ceguera, el 40% no presentan ninguna de ambas deficiencias y el resto presentan en la misma medida sólo una u otra deficiencia. Con estos datos elija, calcule e interprete el coeficiente de correlación adecuado a dicho estudio.

Se trata de analizar la relación que puede existir entre las dos enfermedades.

Siendo las dos variables dicotómicas, calculamos el coeficiente de correlación ϕ (phi) . • Padecen ambas 50% de 1000 500 • No padecen ninguna 40% de 1000 400 • Padecen sólo diabetes La mitad de los 100 restantes 50 • Padecen sólo ceguera La mitad de los 100 restantes 50

Dispuesta la tabla como sigue (totalizando filas y columnas) obtenemos :

Y - Ceguera 1 (Padece) 0 (No padece) X 1 (Padece) a = 500 b = 50 550 Diabetes 0 (No padece) c = 50 d = 400 450 550 450

( ) ( ) ( ) ( )ϕ =

−

+ + + +=

−= ⇒

ad bca b c d a c b d. . .

. .. . .

'500 400 5050550 450550 450

0 798 alta relación entre las variables.

El padecer o no una dolencia condiciona el padecer la otra.

Regresión y correlación (F. Álvarez) - 31

EJERCICIOS PROPUESTOS

1 X Y n De la presente distribución conjunta de las dos variables (X,Y) : 4 0 3 4 1 5 b) Obtener la recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones diferenciales. 5 2 6 b) Obtener la recta de regresión de X sobre Y en puntuaciones típicas.. 6 2 2 c) Calcular e interpretar la proporción de varianza residual. 6 3 8 6 4 1

2 Y De la presente distribución conjunta de las variables (X,Y) : 2 4 6 8 a) Obtener la recta de regresión de Y sobre X. 0 3 1 0 0 b) Calcular e interpretar el coeficiente de determinación. X 1 0 6 4 0 c) Calcular su varianza residual. 2 0 2 4 5

3

De los 10 pares de valores que se representan en el diagrama de dispersión de la izquierda, a) Calcular la recta de regresión de Y sobre X. b) Calcular e interpretar el coeficiente de correlación

lineal c) Determinar la proporción de varianza asociada a X.d) Calcular la media y varianza de las predicciones Y'..

4 Y De la presente distribución conjunta de las variables (X,Y) : 0 1 2 3 a) Calcular la frecuencia que falta sabiendo que la me- 3 0 1 5 12 dia de X es igual a 4. X 4 3 7 15 2 b) Obtener la recta de regresión de Y sobre X en 5 5 1 0 puntuaciones diferenciales. c) Calcular la proporción de varianza residual.

5 Edad Hermanos n De la distribución de edades y número de hermanos de 40 jóvenes : [10,15) 0 3 [10,15) 1 5 a) Obtener las rectas de regresión en puntuaciones directas, [10,15) 2 9 diferenciales y tipificadas. [15,20) 1 5 c) Calcular e interpretar el coeficiente de correlación lineal. [15,20) 2 10 [20,25] 1 3 [20,25] 2 5

6 Las siguientes distribuciones bivariantes pretenden estudiar el grado de relación existente entre las variables : a) Puntuación en un test de agresividad y sexo. b) Clasificación (de mayor a menor) según la nota media obtenida en las asignaturas del curso y en una

prueba tendente a determinar su coeficiente intelectual. c) Ser bebedor y ser fumador.

Determine y calcule en cada caso el índice adecuado que permite medir el grado de relación entre las variables descritas.

32 - Regresión y correlación (F. Álvarez)

(I) Puntos Sexo (II) test Hombre Mujer Alumno 1 2 3 4 5 6 [ 0,10) 0 2 Nota media 2º 4º 5º 1º 6º 3º [10,20) 5 3 C.I. 3º 4º 6º 1º 5º 2º [20,30) 11 9 [30,40) 20 22 (III) Fuman [40,50) 14 9 Sí No [50,60) 6 6 Beben Sí 4 31 No 41 14

7 La proporción de varianza residual, en un ajuste de Y sobre X, es del 22'12%. a) Determine dicha recta de ajuste sabiendo que a una puntuación directa X=2 corresponde una predicción 2'1 y que dicha recta corta al eje de ordenadas en el punto (0,0'3). b) Calcule el coeficiente de correlación. c) ¿ Qué pronóstico diferencial corresponde a una puntuación directa X=5, si X = 0 ?.

8 En el estudio de la relación lineal existente entre dos variables X e Y se observó que eran independientes. Sabiendo que sus respectivas medias son iguales a 2 y 1, y que tienen por varianzas 0'1538 y 0'6154, a) calcule las ecuaciones de las dos rectas de regresión b) determine el error típico de la predicción.

9 De los cálculos realizados para estudiar la relación existente entre las variables X e Y, se conoce que : - la recta de ajuste de Y sobre X pasa por el punto (2,2) - las media de X es igual a 1 y la de Y vale 4 - la varianza de la variable dependiente es igual a 2'2857, y la de las predicciones es 1'9047. A la vista de estos datos, calcule : a) Ecuaciones de las dos rectas de regresión en puntuaciones directas, diferenciales y típicas. b) Proporción de varianza no asociada a X.

10 Determinar las ecuaciones en puntuaciones diferenciales de las rectas de regresión correspondientes a la distribución bivariante (X,Y), sabiendo que las varianzas de ambas variables son 4 y 9 respectivamente y que existe una relación lineal perfecta y directa entre ellas.

11 En el estudio de la relación lineal existente entre dos variables X e Y, sabemos que a las puntuaciones directas 0 y 2 de X le corresponden unos pronósticos respectivos 3’3243 y 7’7567. Sabiendo que la proporción de varianza asociada al ajuste es del 94’65% y que la variable dependiente tiene por media 8’2 y varianza 15’36, calcular : a) Ecuación de la recta de ajuste. b) Coeficiente de correlación. c) Media y varianza de la variable X. d) Varianza residual y de las predicciones.

12 Analizamos las edades de 8 personas que acuden a un examen para la obtención del carnet de conducir. Sabiendo que aprueban 5 con edades : 28, 24, 32, 45 y 30 y que los que suspenden tienen 23, 21 y 27 años, determine el coeficiente más adecuado para medir el grado de relación de la edad con la superación o no del examen.

13 Para los siguientes pares de valores de las variables X e Y :

(12 , 4) , (10 , 7) , (12 , 5) , ( 11 , 6’5) , (14 , 2) , (11, 8’5) , (12, 3) , (14 , 1’5) , (10, 9) , ( 11, 7) calcular la proporción de varianza que explica el ajuste de Y sobre X.

14 Determine la varianza de los errores y de las predicciones, correspondientes al ajuste de Y sobre X en la distribución anterior.

X 0 1 1 1 2 3 3 5 Y -6 -2 -1 1 3 8 9 12 f 3 6 11 16 3 1 4 2

Regresión y correlación (F. Álvarez) - 33

15 En un grupo de 10 alumnos se han obtenido las calificaciones en Anatomía, separando el ejercicio teórico del práctico. El profesor encargado ordenó tales calificaciones de mayor a menor puntuación, encontrando los resultados siguientes :

Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Clasificación teoría 6 2 7 10 4 1 8 5 9 3 Clasificación práctica 6 10 4 3 9 7 2 5 1 8

Elija y calcule el índice de correlación adecuado para medir si existe relación o no entre las calificaciones en las dos partes del examen.

16 Para los valores 0 y 2 de la variable X se obtuvieron unos pronósticos de la variable dependiente iguales a 6’8617 y 14’0531 respectivamente. Sabiendo que la proporción de varianza de la variable Y no asociada a la variación de X es del 17’32%, y la varianza de la variable independiente es 2’9375, calcular :

a) la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X. b) la varianza de las puntuaciones pronosticadas y la varianza residual. c) el coeficiente de correlación entre X e Y

17 Y Con la presente distribución bivariante obtenga : 1 2 3 4 5 a) recta de regresión de la media de Y condicionada a X 0 6 8 3 0 1 b) coeficiente de correlación de la media de Y condicionada a X X 1 0 7 10 1 0 c) recta de regresión de Y sobre X 2 2 0 5 8 6 d) coeficiente de correlación lineal (de Y sobre X)

e) razón de correlación. f) Compare los resultados obtenidos en los apartados a), b) con los de los apartados c), d). Interprete el

significado de la razón de correlación calculada.

18 Determine y calcule en cada uno de los siguioentes supuestos, el índice adecuado (no basado en el concepto de correlación de Pearson) que permita medir el grado de asociación entre las variables X e Y.

(I) Y (II) (ordinales) X 0 1 X A B C D E F -2 6 1 Y C F D E A B -1 4 4 0 2 6 1 0 5 (III) Y 2 1 8 1 0 X 1 2 40 0 50 8

34 - Regresión y correlación (F. Álvarez)

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1

X =5'12 sX

2 = 0'7456

Y =1'96 sY

2 = 1'1584 sXY = 0'8448 a) b = 1'133 y' = 1'133 . x b) r = 0'909 zy' = 0'909 . zx c) 1 - r2 = 0'1737 La proporción de varianza no explicada por X supone el 17'37% de la de Y.

2

X =1'28 sX

2 = 0'5216

Y =5'2 sY

2 = 3'52 sXY = 1'024 a) a = 2'6871 b = 1'9632 Y' = 2'6871 + 1'9632 . X b) R2 = r2 = 0'5711 Representa la proporción de varianza de Y explicada por X (el 57'11%) c) sY X.

2 = 1'5097

3

X =5'5 sX

2 = 8'25

Y =4'05 sY

2 = 1'8225 sXY = 3'175 a) a = 1'9333 b = 0'3848 Y' = 1'9333 + 0'3848 . X b) r = 0'8188 Elevada relación entre las variables (de tipo directo) c) R2 = r2 = 0'6704 d)

Y Y'= = 4’05 sY'2 =1'2218

4

X =4 sX

2 = 0'5714

Y =1'6508 sY

2 = 0'9257 sXY = -0'5238 a) n = 12 b) b = -0'9167 y' = -0'9167 . x c) 1 - r2 = 0'4813

5

X =16'375 sX

2 = 14'3594

Y =1'525 sY

2 = 0'3994 sXY = 0'4656 a = 0'994 b = 0'0324 a' = 14'597 b' = 1'1659 r = 0'1944

a) Y' = 0'994 + 0'0324 . X y' = 0'0324 . x zy' = 0'1944 . zx X' = 14'597 + 1'1659 . Y x' = 1'1659 .y zx' = 0'1944 . zy

b) r = 0'1944 Las variables no están relacionadas linealmente (son independientes)

6 (I) Coeficiente biserial puntual rbp = 0'0389 (II) Coeficiente ρ de los rangos de Spearman ρ = 0'8857 (III) Coeficiente ϕ ϕ = - 0'6154

7 a) Y = 0'3 + 0'9 . X b) r = 0'8825 c) y' = 4'5

8 a) Y' = 1 X' = 2 b) sY.X = sY = 0'7845

9 a) Y' = 6 - 2 . X y' = -2 . x zy' = -0'9129 . zx

X' = 2'6667 - 0'4167 . Y x' = -0'4167 .y zx' = -0'9129 . zy b) 1 - r2 = 0'1667

10 y' = 1'5 . x x' = 0'6667 . y

Regresión y correlación (F. Álvarez) - 35

11 a) Y’ = 3’3243 + 2’2162.X b) 0’9729 c) 2’2, 2’96 d) 0’8216, 14’5384

12 rbp = 0’56

13 0’8331 (o bien el 83’31%)

14 1’9543 ; 15’5069

15 ρ = -0’8667

16 a) Y’ = 6’8617 + 3’5957 . X b) 39’98 y 7’96 c) 0’9093

17 a) YM’ = 1'9317 + 0'9049 . X b) rM = 0'9924 c) Y’ = 1'9268 + 0'8862 . X d) r = 0'6067 e) η2 = 0’3749 (próximo a r2 = 0'3681)

18 (I) Coeficiente biserial rb = - 0'7250 (II) Coeficiente τ de Kendall τ = - 0'3333 (III) Coeficiente tetracórico rt = - 0'7744

36 - Regresión y correlación (F. Álvarez)

Cálculo del coeficiente de correlación biserial

La tabla proporciona, para el menor de los valores p y q, la cantidad : p qf z

.( )

min(p,q) 0'000 0'001 0'002 0'003 0'004 0'005 0'006 0'007 0'008 0'009

0'00 0'29788 0'31576 0'32772 0'33699 0'34469 0'35133 0'35722 0'36253 0'367380'01 0'37186 0'37603 0'37994 0'38363 0'38712 0'39044 0'39360 0'39663 0'39954 0'402330'02 0'40502 0'40762 0'41014 0'41257 0'41493 0'41722 0'41945 0'42162 0'42373 0'425790'03 0'42781 0'42977 0'43169 0'43357 0'43540 0'43720 0'43897 0'44069 0'44239 0'444060'04 0'44569 0'44729 0'44887 0'45042 0'45195 0'45345 0'45492 0'45638 0'45781 0'459220'05 0'46061 0'46198 0'46333 0'46466 0'46597 0'46726 0'46854 0'46980 0'47105 0'472280'06 0'47349 0'47469 0'47587 0'47704 0'47820 0'47934 0'48047 0'48159 0'48270 0'483790'07 0'48487 0'48594 0'48700 0'48804 0'48908 0'49011 0'49112 0'49213 0'49312 0'494110'08 0'49508 0'49605 0'49701 0'49795 0'49889 0'49982 0'50074 0'50166 0'50256 0'503460'09 0'50435 0'50523 0'50611 0'50697 0'50783 0'50868 0'50953 0'51036 0'51120 0'512020'10 0'51284 0'51365 0'51445 0'51525 0'51604 0'51682 0'51760 0'51838 0'51914 0'519900'11 0'52066 0'52141 0'52215 0'52289 0'52362 0'52435 0'52507 0'52579 0'52650 0'527210'12 0'52791 0'52860 0'52929 0'52998 0'53066 0'53134 0'53201 0'53268 0'53334 0'534000'13 0'53465 0'53530 0'53595 0'53659 0'53723 0'53786 0'53849 0'53911 0'53973 0'540340'14 0'54096 0'54156 0'54217 0'54277 0'54336 0'54396 0'54454 0'54513 0'54571 0'546290'15 0'54686 0'54743 0'54800 0'54856 0'54912 0'54967 0'55023 0'55078 0'55132 0'551860'16 0'55240 0'55294 0'55347 0'55400 0'55453 0'55505 0'55557 0'55609 0'55660 0'557110'17 0'55762 0'55812 0'55862 0'55912 0'55962 0'56011 0'56060 0'56109 0'56157 0'562050'18 0'56253 0'56301 0'56348 0'56395 0'56442 0'56488 0'56534 0'56580 0'56626 0'566710'19 0'56716 0'56761 0'56806 0'56850 0'56895 0'56938 0'56982 0'57025 0'57069 0'571110'20 0'57154 0'57196 0'57239 0'57281 0'57322 0'57364 0'57405 0'57446 0'57487 0'575270'21 0'57568 0'57608 0'57647 0'57687 0'57726 0'57766 0'57805 0'57843 0'57882 0'579200'22 0'57958 0'57996 0'58034 0'58071 0'58109 0'58146 0'58182 0'58219 0'58256 0'582920'23 0'58328 0'58364 0'58399 0'58435 0'58470 0'58505 0'58540 0'58574 0'58609 0'586430'24 0'58677 0'58711 0'58745 0'58778 0'58811 0'58845 0'58878 0'58910 0'58943 0'589750'25 0'59007 0'59039 0'59071 0'59103 0'59134 0'59166 0'59197 0'59228 0'59258 0'592890'26 0'59319 0'59350 0'59380 0'59410 0'59439 0'59469 0'59498 0'59528 0'59557 0'595850'27 0'59614 0'59643 0'59671 0'59699 0'59727 0'59755 0'59783 0'59811 0'59838 0'598650'28 0'59892 0'59919 0'59946 0'59973 0'59999 0'60025 0'60051 0'60077 0'60103 0'601290'29 0'60154 0'60180 0'60205 0'60230 0'60255 0'60280 0'60304 0'60329 0'60353 0'603770'30 0'60401 0'60425 0'60449 0'60472 0'60496 0'60519 0'60542 0'60565 0'60588 0'606110'31 0'60633 0'60656 0'60678 0'60700 0'60722 0'60744 0'60765 0'60787 0'60808 0'608300'32 0'60851 0'60872 0'60893 0'60913 0'60934 0'60954 0'60975 0'60995 0'61015 0'610350'33 0'61055 0'61074 0'61094 0'61113 0'61132 0'61151 0'61170 0'61189 0'61208 0'612260'34 0'61245 0'61263 0'61281 0'61299 0'61317 0'61335 0'61353 0'61370 0'61388 0'614050'35 0'61422 0'61439 0'61456 0'61473 0'61489 0'61506 0'61522 0'61538 0'61554 0'615700'36 0'61586 0'61602 0'61618 0'61633 0'61649 0'61664 0'61679 0'61694 0'61709 0'617240'37 0'61738 0'61753 0'61767 0'61781 0'61796 0'61810 0'61824 0'61837 0'61851 0'618650'38 0'61878 0'61891 0'61904 0'61917 0'61930 0'61943 0'61956 0'61969 0'61981 0'619930'39 0'62006 0'62018 0'62030 0'62042 0'62053 0'62065 0'62077 0'62088 0'62099 0'621110'40 0'62122 0'62133 0'62143 0'62154 0'62165 0'62175 0'62186 0'62196 0'62206 0'622160'41 0'62226 0'62236 0'62245 0'62255 0'62264 0'62274 0'62283 0'62292 0'62301 0'623100'42 0'62319 0'62328 0'62336 0'62345 0'62353 0'62361 0'62369 0'62377 0'62385 0'623930'43 0'62401 0'62408 0'62416 0'62423 0'62430 0'62437 0'62444 0'62451 0'62458 0'624650'44 0'62471 0'62478 0'62484 0'62490 0'62496 0'62502 0'62508 0'62514 0'62520 0'625250'45 0'62531 0'62536 0'62541 0'62547 0'62552 0'62556 0'62561 0'62566 0'62571 0'625750'46 0'62579 0'62584 0'62588 0'62592 0'62596 0'62600 0'62603 0'62607 0'62611 0'626140'47 0'62617 0'62620 0'62623 0'62626 0'62629 0'62632 0'62635 0'62637 0'62640 0'626420'48 0'62644 0'62646 0'62648 0'62650 0'62652 0'62654 0'62655 0'62657 0'62658 0'626590'49 0'62660 0'62661 0'62662 0'62663 0'62664 0'62664 0'62665 0'62665 0'62665 0'626660'50 0'62666