regresion lineal simple

Depto. Estadística, Universidad Carlos III 1Ignacio Cascos

Regresión lineal simpleTema 1


Descripción breve del tema1. Introducción2. El modelo de regresión simple3. Hipótesis del modelo

Linealidad, homogeneidad, homocedasticidad, independencia y normalidad

4. Estimación de los parámetros Mínimos cuadrados, Máxima Verosimilitud

5. Propiedades de los estimadores Coeficientes de regresión, varianza residual

6. Inferencia y predicción7. Diagnosis


Objetivos Construcción de modelos de regresión Métodos de estimación para dichos modelos Inferencia acerca de los parámetros Aprendizaje de utilización de gráficos para

detectar el tipo de relación entre dos variables Cuantificación del grado de relación lineal








Introducción Estudio conjunto de dos variables Relación entre las variables Regresión lineal Historia del concepto de regresión lineal

uxy 10








Ejemplo: Pureza del oxígeno en un proceso de destilación


Ejemplo: Pureza del oxígeno en un proceso de destilación


El modelo de regresión simple n pares de la forma (xi,yi) Objetivo: valores aproximados de Y a partir de X X: variable independiente o explicativa Y: variable dependiente o respuesta (a explicar)

pendiente

intercepto

regresión de escoeficient y

1

0

10

10

iii uxy


El modelo de regresión simple








Linealidad: datos con aspecto recto

Plot of Y1 vs X1

0 40 80 120 160 200

X1

0

200

400

600

800

Y1

Plot of Y2 vs X2

0 40 80 120 160 200 240

X2

0

100

200

300

400

500

600

Y2


Homogeneidad El valor promedio del error es cero,

0][ iuE


Homocedasticidad:Var[ui]=s2 Varianza de errores constante


Independencia: Observaciones independientes, en particular E[uiuj]= 0


Normalidad: ui~N(0, s2)






6. Inferencia y predicción7. Tansformaciones


Método de Mínimos Cuadrados

Valor observado Dato (y)

Recta de regresiónestimada

Valor observado Dato (y)

Recta de regresiónestimada


Mínimos Cuadrados (Gauss, 1809) Objetivo: Buscar los valores de b0 y b1 que

mejor se ajustan a nuestros datos. Ecuación:

Residuo:

Minimizar:

iiiii xyyye 10ˆˆˆ

n

iie

1

2

ii xy 10ˆˆˆ


Mínimos Cuadrados (Gauss, 1809) Resultado:

xS

Sy

X

YX2,

0ˆ

xxyy ii 1ˆˆ

2,

1ˆ

X

YX

S

S


Ajuste regresión simple:Datos pureza oxígeno



xy

xyS

S

SS

yxn

x

xy

xyx

95142874

287419619514169295146810

17710

177106810

20

1021

2

..ˆ

..).(.ˆˆ ..

.ˆ

. .

92.16 1.196



xy 95142874 ..ˆ



0



1


Método de Máxima Verosimilitud Mismo resultado. Estimación de la varianza:

INSESGADO 2

ˆ Residual Varianza

insesgado no EMV ˆ

22

22

n

eS

n

e

iR

i



2RS








Props. de los coeficientes de regresiónNormalidad

iiix

i ywynS

xx21

)( Combinación lineal de normales

),(~ 20 iii xNy

Estimador centrado

121

ix

i yEnS

xxE

)(ˆ

Varianza del estimador

2

22

21

xi

x

i

nSyVar

nS

xxVar

)(ˆ

2

2

11

xnSN

,~ˆ


Props. de los coeficientes de regresiónNormalidad

ii ywxn

xy1

10 ˆˆ Combinación lineal de normales

),(~ 20 iii xNy

Estimador centrado

00

1

ii yEwxn

E ˆ

Varianza del estimador

2

222

0 11

xii

S

x

nyVarwx

nVar

2

22

00 1xS

x

nN

,~ˆ








Inferencia respecto a los parámetros IC

2

ˆ ˆEn general, si ~ , ( ) un I.C. para :

ˆ ˆ ( )

N Var

z Var

2 20

1

ˆˆ ( / 2, 2) 1 /

ˆˆ ( / 2, 2)

Rx

R

x

St n x S

n

St n

S n

2

1 1 2

2 2

0 0 2

ˆ ~ ,

ˆ ~ , 1

x

x

NnS

xN

n S

2ˆDesconocida RS


Inferencia respecto a los parámetrosContraste de Hipótesis

0 0 1 0

0 2 2

0 1 1 1

1

: 0 : 0

ˆ ˆ 1 /

: 0 : 0

ˆ

ˆ

R x

x

R

H H

nt

S x S

H H

S nt

S

( / 2, 2)t n


Ajuste regresión simple: pureza

oxígeno

0 1ˆ ˆ y

significativos


Descomposición de la variabilidad La variabilidad del modelo satisface: VT =VE+VNE

Contraste de regresión

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

eyy

yy

yy

1

2

1

2

1

2

1

2

)ˆ(Explicada No adVariabilidVNE

)ˆ(Explicada adVariabilidVE

)(Total adVariabilidVT

2,11 ~2VNE

VE entonces 0, Si

nFn



oxígeno

VE



oxígeno

VNE


Coeficiente de determinación

22

2,

21

2

1

2

1

2

2

)ˆ(

)(

)ˆ(

VT

VE

YX

YX

Y

n

ii

n

ii

n

ii

SS

S

nS

yy

yy

yyR


Predicción Dos tipos de predicción: Predecir un valor promedio de y para cierto

valor de x. Predecir futuros valores de la variable

respuesta.La predicción es la misma (a partir de la recta de regresión) pero la precisión de los estimadores es diferente.


Predicción (promedio)

2

202

12

00

010

)(1

)ˆ()()()ˆ(

)(ˆˆ

XnS

xx

n

VarxxyVaryVar

xxyy

2

20

2/,20

)(1ˆˆX

Rn nS

xx

nSty

Intervalo de confianza para la media estimada

Estimación de la media de la distribución condicionada de y para x=x0:



oxígeno

,x y

La anchura del intervaloaumenta cuando aumenta

hx x


Predicción para futuros valores

2

20

2/,20

)(11ˆˆ

XRn nS

xx

nSty

Intervalo de predicción



oxígeno








DiagnosisUna vez ajustado el modelo, hay que comprobar

si se cumplen las hipótesis iniciales. Gráficos de residuos frente a valores

previstos. Si las hipótesis iniciales se satisfacen, este

gráfico no debe tener estructura alguna.




Relaciones no lineales

Gráficos de residuos


LinealidadSoluciones a la falta de linealidad: Transformar las variables para intentar

conseguir linealidad. Introducir variable adicionales. Detectar la presencia de datos atípicos o

ausencia de otras variables importantes para explicar la variable respuesta.


Homocedasticidad

.

y

Cuando la varianza de las perturbaciones es muy diferente para unos valores de la variable explicativa que para otros tenemos heterocedasticidad

e


HomocedasticidadSoluciones a la heterocedasticidad: Si la variabilidad de la respuesta aumenta con x según la ecuación Var(y|x) = g(x), dividimos la ecuación de regresión (y) entre g(x).

Transformar la variable respuesta y puede que también x.

Si lo anterior no funciona, cambiar el método de estimación.


NormalidadLa falta de normalidad invalida resultados inferenciales.

Comprobación mediante histogramas o gráficos probabilísticos.

En un gráfico probabilístico comparamos los residuos ordenados con los cuantiles de la distribución Normal estándar.

Si la distribución de los residuos es normal, el gráfico ha de mostrar aproximadamente una recta.


Normalidad


Independencia y Datos influyentesIndependencia Conviene hacer una gráfica de residuos frente

a tiempo (residuos incorrelados).

Datos influyentes Analizar la presencia de datos influyentes.

Los atípicos son datos muy grandes o muy pequeños. Estudiar su posible eliminación.


Transformaciones

Forma funcional que relaciona y con x

Transformación apropiada

Exponencial: y = aexp{bx}Potencia: y = axb

Recíproca: y = a+b/xHiperbólica: y = x/(a+bx)

y’ = lnyy’ = lny , x’ = lnxx’ = 1/xy’ = 1/y , x’ = 1/x

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