REGLAS PARA CÁLCULOS APROXIMADOS Y REDONDEO DE NÚMEROS

REGLAS PARA CÁLCULOS APROXIMADOS Y REDONDEO DE NÚMEROS

file:///F|/REGLAS PARA CÁLCULOS APROXIMADOS Y REDONDEO DE NÚMEROS.htm[06/01/2013 11:18:44 a.m.]

REGLAS PARA CÁLCULOS APROXIMADOSY REDONDEO DE NÚMEROS

Los valores numéricos obtenidos como resultado de mediciones de magnitudes físicas y loscálculos realizados en las ejecuciones de los trabajos de laboratorio son aproximados. Sinembargo comúnmente, cuando los estudiantes usan calculadoras electrónicas para loscálculos tienden a presentar el resultado final con un gran número de decimales, es decircon una precisión que no está garantizada por los datos iniciales. La regla general es que aunque la solución aritmética sea muy precisa, no puede ser másprecisa que los supuestos sobre la que se funda. Es por esto que en la ejecución de cálculoses necesario respetar unas reglas de redondeo y de cálculos aproximados. La Teoría de los cálculos aproximados permite:

1) Conociendo la precisión de los datos iniciales valorar la precisión del resultado delos cálculos realizados.

2) Tomar los datos iniciales con una precisión tal, que se garantice la precisiónesperada de los resultados.

3) Liberar el proceso de cálculo de operaciones innecesarias, las cuales no tienen efectoen la precisión del resultado.

La norma técnica colombiana NTC 3711 (JIS Z 8401) enuncia las siguientes reglas para elredondeo de valores numéricos. Cuando se redondea un valor numérico a n cifras significativas(1) o a n lugares decimales,las cifras que están más allá del dígito n-ésimo se considerarán así: Nota (1) El número de cifras significativas se contará desde el lugar de la primera cifradiferente a cero.

(1) Si el valor numérico más allá del dígito n-ésimo es menor que media unidad deldígito n-ésimo, se deberá bajar.

(2) Si el valor numérico más allá del dígito n-ésimo es mayor que media unidad del

dígito n-ésimo, éste se incrementará en la unidad.

(3) Si se conoce que el valor numérico más allá del dígito n-ésimo es exactamente lamitad de la unidad del dígito n-ésimo, o no se sabe si se ha redondeado hacia arribao hacia abajo, se deberá seguir lo establecido en a) ó b).



a) Si el dígito n-ésimo es 0,2,4,6 u 8, se redondeará hacia abajo.b) El dígito n-ésimo se aumentará en una unidad si el dígito n-ésimo es 1,3,5,7 ó

9

(4) Si se conoce que el valor numérico más allá del dígito n-ésimo ha sido redondeadohacia arriba o hacia abajo se deberá seguir el método (1) ó (2).

Observación: este procedimiento de redondeo se deberá hacer en un paso. Por ejemplo, si5,346 se redondea por este método a 2 cifras significativas, se convierte en 5,3. No se debehacer en dos pasos, como se muestra enseguida:

(primer paso) (segundo)5,346 5,35 5,4

Hasta aquí las reglas que ordena el estándar NTC 3711 (JIS Z 8401), si a usted le parecenun poco confusas, pueden usarse las siguientes reglas usadas en la literatura científicatradicional común. Para el redondeo de números se deben seguir las siguientes reglas [1]:

1) Si la primera cifra que se omite (arroja) es 0, 1, 2, 3 ó 4, entonces la última cifra quese conserva en el número aproximado se conserva sin ningún cambio (redondeo condefecto).

2) Si después de la última cifra conservada sigue un 9, 8, 7, 6 ó 5, luego de la cualsigue una o varias cifras significativas, entonces en necesario sumar una unidad a lacifra que se conserva, si la última cifra que se conserva es 9, ésta debe cambiarse a 0y se aumenta en una unidad el valor de la penúltima cifra (redondeo con exceso).

3) Si luego de la última cifra conservada se tiene sólo la cifra 5 ó la cifra 5 seguida deceros, se toma como última cifra el número par más próximo; es decir, si la cifraretenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior

Ejemplos.

· Redondear el número 28,872 hasta tres cifras significativas. Debido a que la primera cifra que se arroja 7, es mayor que 5, entonces la cifra 8 seaumenta en una unidad, obteniéndose el número redondeado 28,9.

· Redondear el número 28,252 hasta tres cifras significativas. Debido a que la primera cifra que se arroja es 5 y después de ella sigue la cifrasignificativa 2, entonces la cifra que se conserva, 2 se aumenta en una unidad. El númeroredondeado será 28,3.



· Redondear el número 0,8735 hasta tres cifras significativas. Debido a que la última cifra que se conserva 3 es impar, entonces se aumenta en unaunidad y el número redondeado será 0,874. Cuando se redondean números mayores de diez, los ceros que no son cifras confiables nose escriben y se denota por separado el multiplicador 10x. Por ejemplo el número 158965,7 redondeado hasta tres cifras significativas, debe serrepresentado como 159 × 103 ó 15,9 × 104 ó 1,59 × 105. Esta última notación es lapreferida. Si, por ejemplo, el número 5230 tiene sólo las dos primeras cifras confiables, se debeescribir 5,2 × 103. En el número 3500 hay cuatro cifras confiables, en el número 3,5 × 103 hay sólo dos cifrasconfiables. Cuando se realiza un redondeo el valor aproximado puede ser mayor o menor que elnúmero exacto. En la práctica en la mayoría de los casos no se conoce el valor exacto del númeroaproximado y el error de su redondeo. Sin embargo siempre es posible indicar la magnituddel error límite absoluto Da, el cual representa un número positivo, para el cual se cumplela desigualdad

ó donde z es el valor exacto del número a es el valor aproximado del número z. El error límite absoluto para los números aproximados, independientemente del método desu obtención, se toma siempre igual a media unidad del orden de la última cifraconservada:

Da = 0,5 × 10 – r,

donde r – es el número de posiciones después de la coma. Ejemplo. El número a = 2,103 tiene un error límite absoluto

Da = 0,5 × 10 – 3 = 0,0005,

ó z = 2,103 ± 0,0005



La relación entre el error límite absoluto del número aproximado y el número mismo sellama error límite relativo y comúnmente se indica en porcentaje. Ejemplo. El error límite relativo del número a = 2,103 es igual a

, ó 0,024%

Si el error de un número no se indica, entonces se considera que es igual a media unidaddel orden de la última cifra. Los números aproximados por lo común se caracterizan por la cantidad de posicionesdespués de la coma conservadas, o por la cantidad de cifras significativas. Se llaman cifrassignificativas a todos los números, excepto los ceros a la izquierda. El cero se consideracifra significativa sólo cuando está entre otras cifras significativas o cuando está al final deun número y no se sabe si se tienen unidades del orden correspondiente en el número dado. Ejemplo. Los números 453; 80,2; 0,0823; 0,250; 470 tienen tres cifras significativas. Las cifras en un número aproximado son llamadas confiables si la diferencia entre elnúmero exacto z y su valor aproximado a no es mayor que la mitad de la unidad del ordende la última cifra del número aproximado, que en este caso es el error límite absoluto Da. De manera que, de acuerdo a esta regla todas las cifras significativas de un númeroaproximado son confiables. El error del resultado de cualquier operación aritmética realizada con números aproximadosse expresa a través del error de los datos iniciales sobre la base de la Teoría del cálculo deerrores de funciones. Cuando se realiza una gran cantidad de cálculos y no se tienen en cuenta los errores decada resultado por separado, es necesario regirse por las siguientes reglas, las cualesgarantizan la obtención de resultados con todas las cifras confiables. 1. Cuando se suman y restan números aproximados es necesario redondear el resultadofinal hasta el número más pequeño de cifras decimales que tenían los datos iniciales. Losnúmeros que tienen más cifras decimales es necesario redondearlos previamenteconservando una cifra decimal más que las que posee el número con menos cantidad decifras decimales. Ejemplo. Encontrar la suma 28,4+32,844+0,452+2,786 Ya que el primer sumando tiene sólo décimas, redondeamos el resto de sumandos hasta lascentésimas. Luego de la suma, redondeamos el resultado hasta las décimas.



28,4 + 32,84 + 0,45 + 2,79 = 64,48 » 64,5. 2. Cuando se multiplican y dividen números es necesario previamente redondearlos,conservando una cifra significativa de más con respecto a la cantidad de cifrassignificativas del número que tiene el menor número de ellas. En el resultado definitivo seconservan tantas cifras significativas como tenga el que menos cifras significativas tenía. Ejemplo. Encontrar el producto de 1,4 × 2,614 × 7,1956 Previamente redondeamos todos los números hasta las centésimas. Luego de lamultiplicación redondeamos hasta las décimas:

1,4 × 2,614 × 7,1956 = 26,309 » 26,3

3. Cuando se eleva al cuadrado o al cubo en el resultado final se deben conservar tantascifras decimales, cuantas tiene el número aproximado a elevarse a la potencia dada. Ejemplo. Elevar al cuadrado el numero 4,43. Obtenemos 4,432 = 19,6249 » 19,62. 4. Cuando se extrae raíz cuadrada o cúbica en el resultado final se debe tomar tantas cifrasdecimales cuantas tenía el número bajo el signo de radical. Ejemplo. Extraer la raíz cuadrada de 4,33 × 10 – 6 . Obtenemos . 5. Cuando se realiza el cálculo de expresiones complejas es necesario cumplir las reglas1...4, en correspondencia con el tipo de operaciones realizadas. En este caso en todas losresultados intermedios se debe conservar una cifra significativa más, la cual en el resultadofinal se arroja de acuerdo a las reglas de redondeo. Ejemplo. Encontrar el valor numérico de la expresión En la expresión el número 2,4 es el que tiene menos cifras significativas, por esto todo losresultados intermedios deben ser redondeados hasta tres cifras significativas. El resultadofinal se redondea hasta dos cifras significativas. Obtenemos Referencia[1] Resistencia de Materiales: Manual de Laboratorio. M.D. Podskrebko, Minsk,Amalfeya, 2001, 272 pag.



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http://www.utp.edu.co/~gcalle/index.htm

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