REGLA ESPECIAL DE LA ADICINLos eventos deben ser mutuamente excluyentes: Es cuando un evento ocurre, ninguno de los dems eventos puede ocurrir al mismo tiempo. Ejemplo: Un producto no puede estar defectuoso y en buen estado al mismo tiempo.

Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes la regla especial de la adicin establece que la probabilidad de que ocurra uno u otro es igual a la suma de probabilidades:

Se expresa mediante: P (A o B) = P (A) + P (B) En caso de tres eventos: P (A o B o C)= P (A) + P (B) + P (C)

El lgico Ingles J. Venn (1834-1923) cre un diagrama para observar una presentacin grafica del resultado de un experimento. Primero se encierra un espacio, el cual representa el total de posibles resultados. Este espacio se representa por un rectngulo. As un evento se representa por medio de un rea circular, que se dibuja dentro del rectngulo, la cual corresponde a la probabilidad del evento.

El total de posibles resultados evento

El cual corresponde a la probabilidad del evento.

EJEMPLOUna maquina automtica Shaw llena bolsas de plsticos con una combinacin de frijoles, brcoli y otras verduras. La mayora de las bolsas contienen el peros correcto, aunque, como consecuencia de la variacin del tamao del frijol y de otras verduras, un paquete podra pesar menos o mas. Una revisin de 4000 paquetes que se llenaron el mes pasado arrojo los siguientes datos:

PESO

EVENTO

NUMERO DE PAQUETES

PROBABILID AD DE QUE OCURRA EL EVENTO .025 .900 .075 1.000

MENOS PESO PESO SATISFACTORIO

A B C TOTAL:

100 3600 300 4000

MAS PESO

cul es la probabilidad de que un paquete en particular pese menos o pese mas?

El resultado menos peso es el evento A, el resultado mas peso es el evento C.

P (A o B o C)= P (A) + P (B) + P (C)= .025 + .075 = 0.10

NOTE QUE LOS EVENTOS SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES, LO CUAL SIGNIFICA QUE UN PAQUETE DE VERDURAS MIXTAS NO PUEDE PESAR MENOS. TENER EL PESO SATISFACTORIO Y PESAR MAS AL MISMO.

P(A)=1-P(~A)

Se emplea para determinar la probabilidad de que un evento ocurra restando de 1 la probabilidad de un evento que no ha ocurridoEjemplo: La probabilidad de que una bolsa de verduras seleccionadas pese menos p(A) mas la probabilidad de que no sea una bolsa con menos peso p(~A). P(A)+p(~A)=1 DIAGRAMA DE VENN:Evento A ~A

Son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.

EJEMPLO:La probabilidad de que una bolsa de verduras pese menos es de 0.025 y la probabilidad de que una bolsa pese mas es 0.075. aplique la regla de complemento para demostrar que la probabilidad de una bolsa con un peso satisfactorio es de 0.900. muestre la solucin en un diagrama de venn.PESO Menos peso Peso satisfactorio Mas peso total EVENTO A B C NUMERO DE PAQUETES 100 3600 300 4000 PROBABILIDAD DE QUE UN EVENTO OCURRA .025 .900 .075 1.000

P(A o C)= P(A)+P(C) = .1000 .025+.075 0 = Peso satisfactorio de la bolsa

P(B)= 1-[P(A)+P(C)] = 1-(.025+.075) = 1-0.1 =0.900 Probabilidad del peso satisfactorio

DIAGRAMA DE VENN A 0.025 No A o C 0.900 C 0.075

Ejercicio Una muestra de empleados de Alpura se van a encuestar en cuento a un nuevo plan de cuidado de la salud. Los empleados se clasifican de la siguiente manera.CLASIFICACIN Supervisores Mantenimiento Produccin Administracin Secretaras Total EVENTO A B C D E NUMERO DE EMPLEADOS 120 50 1460 302 68 2000 CLCULO DE LA PROBABILIDAD 0.06 0.025 0.73 0.151 0.034

1-Cual es la probabilidad de que la primera persona elegida sea: a) Mantenimiento o Secretara? b) Que no sea de Mantenimiento? 2- dibuje el diagrama de venn que ilustre la respuestas del inciso a). 3- los eventos del inciso A, son complementarios, mutuamente excluyentes o ambos?

P(M o S)= P(M) +p(S) = .025+.034 = ..059

P(M)=1-[P(M)+P(S)] =1(0.06+0.73+0.151+0.034) =1-975 .025 = Inciso B) Probabilidad de que no sea de Mantenimiento GRAFICA DE VENN .025

Inciso A) Probabilidad de que sea de Mantenimiento o Secretaria

.059

.034

REGLA GENERAL DE LA ADICIN.

Los resultados de un proceso no pueden ser mutuamente excluyentes.

EJEMPLO.Supongamos que Hidalgo tours selecciono una muestra de 200 turistas que visitaron el estado durante el ao.

La encuesta revelo que 120 turistas fueron a Pachuca y 100 a Ixmiquilpan.

Cul es la probabilidad de que unapersona seleccionada haya visitado Pachuca o Ixmiquilpan?

Si empleamos la regla especial de la adicin nos dar como resultado:

120/200 +100/200 ;0.60 + 0.50 ;1.10 La probabilidad no puede ser mayor que 1

Una revisin de la encuesta revelo que 60 de los 200 encuestados visitaron ambos destinos.

SOLUCIN.

1)Sume la probabilidad de que un turista halla visitado Pachuca y la probabilidad de que halla visitado Actopan.

2)Reste la probabilidad de visitar ambos destinos.

P(AoB)=P(A)+P(B)-P(AB)

=0.60+0.50-0.30=0.80

PROBABILIDAD CONJUNTA.Probabilidad que mide la posibilidad de que dos o mas eventos sucedan simultneamente.

Ejemplo; la probabilidad de que un turista visite ambos destinos es de 0.30.

DIAGRAMA DE VENNP(Pachuca)=0.60P(Actopan)=0.50

P(Pachuca y Actopan)=0.30

REGLA GENERAL DE LA ADICIN.

P(A o B) = P(A) + P(B)- P(A y B)

EJERCICIO .

CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE UNA CARTA ESCOGIDA AL AZAR DE UNA BARAJA CONVENCIONAL SEA REY O CORAZON?

DATOS.52 CARTAS; 4 REYES. 13 CORAZONES. 1 REY DE CORAZONES

Para determinar la probabilidad de dos eventos que se presentan simultneamente.Regla

especial multiplicacin.Regla

de

la

general multiplicacin.

de

la

MONEDARequiere

que dos eventos sean independientes, es decir si un evento ocurre, no tiene ningn efecto sobre la probabilidad de que otro evento acontezca.

REGLA: En el caso de dos eventos independientes A y B, la probabilidad de que A y B ocurran se determina multiplicando las dos probabilidades.

P(A y B)=P(A)P(B) P(A y B y C) = P(A)P(B)P(C)

Una encuesta llevada a cabo por la American Automobile Association (AAA), revelo que el ao pasado 60% de sus miembros hicieron reservaciones en lneas areas. Dos de ellos fueron seleccionados al azar. Cul es la probabilidad de que ambos hicieran reservaciones el ao pasado?

0.60 P(R1)=.60 0.60 P(R2)=.60 R1

y R2 son independientes La probabilidad es de 0.36

P(R1

y R2)=P(R1)P(R2)=(.60)(.60)=36

Donde: P=Probabilidad R1=Reservacion uno R2= Reservacin dos NOTA: El nombre de las variables cambiara dependiendo de lo que se hable en el problema que se este planteando.

Determina la probabilidad conjunta de dos eventos cuando estos no son independientes.

REGLA: En caso de dos eventos, A y B, la probabilidad conjunta de que ambos eventos ocurran se determina multiplicando la probabilidad de que ocurra el evento A por la probabilidad condicional de que ocurra el evento B, dado que A ha ocurrido.

P(A y B)=P(A)P(B/A) P(A y B y C) = P(A)P(B/A)P(C/A y B)

Un golfista tiene 12 camisas en su clset. Suponga que 9 son blancas y las dems azules. Como se viste de noche, simplemente toma una camisa y se la pone. Juega golf dos veces seguidas y no las lava. Cul es la probabilidad de que las dos camisas elegidas sean blancas?

P(W1)=9/12 P(W2/W1)=8/11 P(W1 y W2)=P(W1)P(W2/W1)=(9/12)(8/11)=.55 Probabilidad =0.55

Diagrama de rbol

Regla de multiplicacin P(A Y B) = P(A) P(BIA)Tiempo de servicioLealtad Menos de 1 ao 25 1a5 aos 30 15 6 a 10 aos 5 10 Mas de 10 aos 75 30 Total 120 80 200

Se quedara 10 No se quedara

Esta tabla muestra: Lealtad de los ejecutivos y tiempo de servicio en la empresa.

Lealtad

Probabilidades condicionales

Tiempo de servicio 10/120 30/120

Probabilidades conjuntas Menos de 1 (120/200)(10/120) = ao 0.05 1 5 aos (120/200)(30/120) = 0.150 6 10 aos (120/200)( 5 /120) = 0.025 Mas de 10 aos (120/200)(75/120) = 0.375

Se quedarn 5/120 120/20 0 75/120

80/200 No se quedarn El diagrama de rbol indica la lealtad y los tiempos de servicio de ejecutivos de una empresa.

25/120 15/120 10/120 30/120

Menos de 1 ao 1 5 aos 6 10 aos Mas de 10 aos

Debe totalizar 1.00

(80/200)(25/80) = 0.125 (80/200)(15/80) = 0.075 (800/200)(10/80) = 0.050 (80/200)(30/80) = 0.150 1.00

La probabilidad de que el evento A ocurra, dado que o a condicin de que el evento B ya haya ocurrido. Probabilidad condicional de A dado B P(A/B)=P(A P(B) B)=P(A)P(B/A) P(B)

TEOREMA DE BAYESCalcula la probabilidad en base a informacin previa recopilada. Dunham Manufacturing usa dos mquinas para producir su producto.

Teorema de BayesMquina A P(A) = 0.60 Unidad no defectuosa P(D|A) = 0.98 Unidad defectuosa P(D|A) = 0.02 Unidad no defectuosa P(D|B) = 0.96 Unidad defectuosa P(D|B) = 0.04

Regla de la multiplicacin: P(A y B) = P(A) * P(B|A)P(AyD) = P(A)*P(D|A)=(0.60)(0.98) =0.588 P(AyD) = P(A)*P(D|A)=(0.60)(0.02) =0.012 P(ByD) = P(B)*P(D|B)=(0.40)(0.96) =0.384 P(ByD) = P(B)*P(D|B)=(0.40)(0.04) =0.016

Produccin total

Mquina B P(B) = 0.40

P(A)? ? P(A|D)?=

P(AyD) = P(A) * P(D|A) = P(A) * P(D|A) P(D) P(D) P(AyD) + P(ByD)

P(D)? = P(AyD) + P(ByD) P(D)? = P(A)*P(D|A) + P(B)*P(D|B)

P(A) * P(D|A) P(A|D) P(A)*P(D|A) + P(B)*P(D|B) =

Teorema de BayesMquina A P(A) = 0.60 Unidad no defectuosa P(D|A) = 0.98 Unidad defectuosa P(D|A) = 0.02 Unidad no defectuosa P(D|B) = 0.96 Unidad defectuosa P(D|B) = 0.04

Frmula del Teorema: P(A|B) = P(A)*P(B|A) P(B)P(AyD) = P(A)*P(D|A)=(0.60)(0.98) =0.588 P(AyD) = P(A)*P(D|A)=(0.60)(0.02) =0.012 P(ByD) = P(B)*P(D|B)=(0.40)(0.96) =0.384 P(ByD) = P(B)*P(D|B)=(0.40)(0.04) =0.016

Produccin total

Mquina B P(B) = 0.40

P(A|D) =

P(A) * P(D|A)P(A)*P(D|A) + P(B)*P(D|B)

Despus de obtener una unidad defectuosa, es 0.429 probable que haya sido fabricada por la mquina A.

P(A|D)= 0.60*0.02 (0.60*0.02) + (0.40*0.04)

P(A|D)= (0.016)

0.012 (0.012) +

= 0.012 = 0.028

0.429

EN EL CONTEO SE EXAMINARAN TRES FORMULAS:

FORMULA DE LA MULTIPLICACIN

FORMULA DE PERMUTACIN

FORMULA DE LA COMBINACIN

Si el resultado de un experimento es pequeo, resulta ms fcil enlistar y contar todos los eventos factibles. EJEMPLO: Hay seis posibles eventos resultantes de una tirada de un dado, especficamente:

Si hay m modos de hacer una cosa, y n formas de hacer otra, existen m x n formas de hacer ambas. Frmula de la multiplicacin Nmero total de arreglos = (m)(n)

Ejemplo:

Un vendedor de automviles desea anunciar que por $19 000 (dlares) usted puede comprar un convertible, un sedan de dos puertas, o un modelo de cuatro, con eleccin de cubre rines o (cubrerruedas) deportivos o comunes. Cuntos arreglos diferentes de modelos y cubrerruedas puede ofrecer el comerciante?

Solucin:Convertible con cubre rines deportivos

Convertible con cubre rines comunes

Dos puertas con cubre rines deportivos

Dos puertas con cubre rines comunes

Cuatro puertas con cubre rines deportivos

Cuatro puertas con cubre rines comunes

Total de arreglos posibles= (m)(n) = (3)(6)= 6

La formula de permutacin n r sirve para determinar el nmero posible de arreglos cuando slo hay un grupo DONDE: de objetos.

n! P ! (n r )

P = es el nmero de permutaciones o modos que pueden ordenarse los objetos. n = es el nmero total de objetos. r = es el nmero de objetos que se van a disponer cada vez.

Las permutaciones notacin y combinaciones factorial n

utilizan una denominada

n! n(n-1)(n-1)(n-1)1

0!=1

EJEMPLO:Se van a ensamblar tres partes electrnicas en una unidad de enchufe para un televisor. Las piezas pueden ensamblarse en cualquier orden. La pregunta relacionada con conteo es: De cuntos modos diferentes pueden ensamblarse las tres partes?

=

n! = 3! (n-r)! (3-3)!

= 3! 0!

= 3! = 6 1

FORMULA DE LA COMBINACINEn una permutacin es diferente el orden de los objetos para cada resultado posible, si no importa el orden de los objetos, el nmero total de ordenaciones se le considera combinacin. Combinacin Es el nmero de modos para elegir r objetos de un grupo n de ellos sin considerar el orden. FrmulanCr= ______ r(n-r) n

EjemploA un departamento de mercadeo se le ha solicitado que disee cdigos de color para las 42 lneas de CDs vendidos por Godoy Records, se han de utilizar 3 colores en cada lnea, pero, una combinacin de tres colores empleados para una de ellas no puede reordenarse y ser utiliza para identificar otra lnea de CDs, esto significa que si se usaran anaranjado, azuly verde para sealar una lnea entonces verde, amarillo y azul no pueden ser empleados para utilizar otra. Sern adecuados 7 colores tomados 3 a la vez para codificar por color las 42 lneas?

Solucin

nCr=

n r(n-r)

7 ________= 3(7-3)

7.6.5.4.3.2.1 7.6.5.4.3.2.1 _________= ___________ 34 (3.2.1)(4.3.2.1)