Reflections from the pre-service teachers’ geometric

International Journal of Educational Studies in Mathematics, 2020, 7(4), 250-270

© 2020 International Journal of Educational Studies in Mathematics (IJESIM) is a publication of EDUGARDEN

Reflections from the pre-service teachers’ geometric modeling design

process: Is it half the base or the height?

Sevda Göktepe Yıldız

Biruni University, Faculty of Education, Istanbul, Turkey.

A B STR A C T A R T ICL E IN F O

Within the scope of the research, three different geometric modeling

problem activities were carried out during a three-week period in a

geometry-teaching course at a state university. As part of this

comprehensive study, the modeling competencies of pre-service

mathematics teachers in the "Is the base or half the height?" geometry

problem were examined. The participants of the study were thirty-seven

fourth grade students of middle school mathematics education and they

were selected according to the purposeful sampling method. The data of

the study were collected through worksheets and concrete geometric

models designed by pre-service mathematics teachers. The participants

were given a geometry problem case that included the proof of the

triangle’s area formula, and the pre-service teachers were asked to make

the mathematical solution and then design and present it in the form of

geometric concrete models. The data were analyzed through the rubric

developed in terms of the mathematical understanding, the processes of

transforming geometric shapes and the geometric model they designed.

Findings showed that most of the pre-service teachers solved the

geometric modeling problem correctly and created functional models. In

addition, while creating concrete geometrical models, the pre-service

teachers took into account their previous mathematical knowledge and

put their spatial skills to work.

Article History:

Received:17.10.2020

Received in revised form:05.12.2020

Accepted:08.12.2020

Available online:23.12.2020

Article Type: Standard paper

Keywords: models, mathematical

modeling, geometric modeling, spatial

ability, the area of triangle

© 2020 IJESIM. All rights reserved1

1. Introduction

Model and modeling have come up in recent years in meeting our basic needs, technology, education,

and in different fields (Kaiser, 2010). Through mathematical modeling, students can develop a thinking

system that finds solutions to real-life problems (MEB, 2005). Modeling activities show that the subjects

taught in schools can also be used in real life outside of school (Kaiser, Schwarz and Tiedemann, 2010).

In studies conducted with pre-service teachers, it has been observed that applications for mathematical

modeling contribute to the professional development of them (Lesh and Doerr, 2003). In the literature,

there are studies conducted with pre-service teachers on mathematical modeling (e.g. Kertil, 2008;

Korkmaz, 2010; Bukova Güzel, 2011; Eraslan, 2011; Duran, Doruk and Kaplan, 2016; Dede, Akçakın and

Kaya, 2018; Şahin and Eraslan, 2019). In this study, modeling competencies of pre-service mathematics

teachers were evaluated through a problem situation in geometry. It is thought that the modeling

approaches of the participants in the solution of the "Is the base or half the height?" problem will be

affected by their spatial abilities. In this respect, it was observed how the participants used their spatial

abilities regarding the modeling problem.

1 Corresponding author’s address: Biruni University, Faculty of Education, Istanbul, Turkey.

e-mail: [email protected]

DOI:

https://orcid.org/0000-0002-0573-7904


251

2. Method

This study, which examines the mathematical understanding/solutions and the geometrical models of

middle school mathematics pre-service teachers was carried out as a case study. The research was

carried out with 37 pre-service teachers who were attending the fourth grade of elementary

mathematics teaching in the 2018-2019 academic year and were trained in the teaching of various

geometric subjects within the scope of the Geometry Teaching course. One of the data collection tools

of the research was the worksheet with the geometry problem and the other was the concrete geometric

models designed by pre-service teachers. A rubric was developed to evaluate both students’

mathematical understanding of the problem and the concrete geometric models they created.

3. Findings

In the first stage of the evaluation rubric, an examination was conducted on how much pre-service

mathematics teachers understood the geometry problem presented to them. It was revealed that most

of the pre-service teachers (24 participants) were at a sufficient level. 10 pre-service teachers showed a

somewhat adequate approach. Three of the pre-service teachers could not fully understand the

modeling problem.

In the second stage of the evaluation rubric, an examination was made for the mathematical

interpretations of the middle school mathematics pre-service teachers for the presented geometry

problem. Most of the pre-service teachers (n = 22) made sufficient mathematical interpretations and

operations for the problem. 10 of them exhibited mathematical interpretations and operations that could

be considered sufficient to some extent. The mathematical interpretations made by five pre-service

teachers for the solution of the problem were insufficient.

In the third stage of the evaluation rubric, an examination was conducted for the elementary

mathematics pre-service teachers to transform geometric shapes for the presented geometry problem.

It was seen that most of the pre-service teachers (19 participants) in the step of transforming geometric

shapes were at a sufficient level. 11 pre-service teachers were somewhat sufficient in transforming

geometric shapes to solve the problem. Seven participants were not at a sufficient level to transform

geometric shapes in solving the modeling problem.

In the fourth stage of the evaluation rubric, an examination was made for the participants to design and

create a geometric model for the presented geometry problem. It was seen that most of the pre-service

teachers (17 participants) were at a sufficient level in the step of creating geometric models. Geometric

models created by 11 pre-service teachers were sufficient to some extent. Nine pre-service teachers were

not at a sufficient level in forming geometric models.

Examples for proficiency levels at all stages of the evaluation rubric were presented in the findings

section of the article.

4. Conclusion and Suggestions

The majority of the pre-service teachers designed concrete geometric models that were adequately

evaluated for the given problem situation. In this process, it was determined that the modeling

competencies were at a sufficient level in the other stages of the modeling processes taken into

consideration.

"Is it half the base or the height?" problem enables pre-service teachers to actively transition between

two planar shapes. By creating similar contexts, it is thought that both the modeling competencies and

spatial skills of teacher candidates and teachers can be improved. Changes or additions can be made

using other modeling steps in the literature to examine the modeling competencies of pre-service

mathematics teachers.

© 2020 International Journal of Educational Studies in Mathematics (IJESIM) bir EDUGARDEN yayınıdır.

Öğretmen adaylarının geometrik modelleme tasarımı sürecinden

yansımalar: Tabanın mı yoksa yüksekliğin mi yarısı?


Biruni Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, İstanbul, Türkiye.

ÖZ MA KA LE B İL G İ

Araştırma kapsamında bir devlet üniversitesinde geometri öğretimi

dersinde üç haftalık sürede üç farklı geometrik modelleme problemi

etkinliği gerçekleştirilmiştir. Bu kapsamlı çalışmanın parçası olarak

araştırmada ilköğretim matematik öğretmen adaylarının “Tabanın mı

yoksa yüksekliğin mi yarısı?” geometri probleminin çözüm sürecindeki

modelleme yeterlilikleri incelenmiştir. Araştırmanın katılımcıları amaçlı

örnekleme yöntemine göre seçilmiş olup otuz yedi ilköğretim matematik

öğretmenliği dördüncü sınıf öğrencisidir. Çalışmanın verileri çalışma

yaprakları ve öğretmen adaylarının hazırladıkları somut geometrik

modeller aracılığıyla toplanmıştır. Katılımcılara üçgenin alan

formülünün ispatını içeren bir geometri problemi durumu verilmiş ve

öğretmen adaylarından matematiksel çözümü yapmaları ardından

geometrik somut modeller şeklinde tasarlayarak sunmaları istenmiştir.

Veriler öğretmen adaylarının matematiksel anlama, geometrik şekilleri

dönüştürme süreçleri ve tasarladıkları geometrik model açısından

geliştirilen rubrik aracılığıyla analiz edilmiştir. Bulgular, öğretmen

adaylarının çoğunun geometrik modelleme problemini doğru bir şekilde

çözdüklerini ve işlevsel modeller oluşturduklarını göstermiştir. Ayrıca

öğretmen adayları somut geometrik matematiksel modelleri

oluştururken önceki matematiksel bilgilerini göz önünde

bulundurmuşlar ve uzamsal yeteneklerini işe koşmuşlardır.

Makale Tarihçesi:

Alındı:17.10.2020

Düzeltilmiş hali alındı:05.12.2020

Kabul edildi:08.12.2020

Çevrimiçi yayınlandı:23.12.2020

Makale Türü: Standart Makale

Anahtar Kelimeler: model, matematiksel

modelleme, geometrik modelleme,

uzamsal yetenek, üçgenin alanı

© 2020 IJESIM. Tüm hakları saklıdır

1. Giriş

Akademik başarının yanında günlük hayatta da başarılı öğrencilerin yetiştirilmesinin önemli bir amaç

olduğu günümüz şartlarında, öğrencilerin okuldaki matematik derslerinde öğrendikleri bilgileri gerçek

hayat durumlarına aktarmaları önem taşımaktadır (Tekin Dede ve Yılmaz, 2013). Öğrencilerin ve genel

anlamda bireylerin yaşadıkları hayat ile matematik arasında bağlantı kurmada yaşadıkları zorluklar

dikkate alındığında, matematiksel kavramların günlük yaşam ile ilişkilendirilerek aktarılmasında

modellemenin önemli bir rolü olduğu söylenebilir (Deniz, 2014). Model ve modelleme son yıllarda

temel ihtiyaçlarımızın karşılanmasında, teknolojide, eğitimde ve farklı alanlarda karşımıza çıkmaktadır

(Kaiser, 2010). Matematiksel modelleme aracılığıyla öğrenciler gerçek hayat problemlerine çözüm bulan

bir düşünme sistemi geliştirebilmektedirler (MEB, 2005). Modelleme etkinlikleri okullarda öğretilen

konuların okul dışında gerçek hayatta da kullanılabilir olduğunu göstermektedir (Kaiser, Schwarz ve

Tiedemann, 2010). Ulusal Matematik Öğretmenleri Konseyi (NCTM) (2000), okul matematiğinde

modelleme etkinliklerinin daha fazla yer alması gerektiğini belirtmektedir. Ülkemizde matematik

öğretim programlarında modelleme etkinliklerine yer verilmektedir (MEB, 2013).

Yıldız ve Yenilmez (2019) matematiksel modelleme ile ilgili gerçekleştirdiği tematik içerik analizi

araştırması sonucunda matematiksel modellemenin öğretim sürecine dahil edilmesinin önemi ve

etkililiği konusunda özellikle 2015 yılından sonra çeşitli araştırmalar gerçekleştirildiğini belirtmektedir.

Ancak matematiksel modellemenin sınıflarda öğrenme ortamlarında oldukça az yer bulduğu

görülmektedir (Şahin ve Eraslan, 2019; Siller ve Kuntze, 2011). Bu durumun en önemli sebeplerinden

biri olarak öğretmenlerin matematiksel modellemeye yabancı olmaları gösterilmektedir (Yu ve Chang,

2011). Öğrencilerin modele uygun çizim yapmaları; grafikleri, sembolleri ve bunlar arasındaki ilişkiyi

anlamaları için öğretmenlere büyük görev düşmektedir (Işık ve Mercan, 2015). Araştırma sonuçları

öğretmenlerin matematiksel modelleme etkinlikleri konusunda yeterince tecrübeye sahip olmadığını;

matematik derslerinde modellemeye pek yer vermediklerini göstermektedir (Tekin, 2012; Tekin Dede

ve Bukova Güzel, 2013; Urhan ve Dost, 2016; Deniz ve Akgün, 2017). Profesyonel öğretmenlik

https://orcid.org/0000-0002-0573-7904


253

yaşantılarına başlamadan önce matematiksel modellemenin öğretim faaliyetlerinde yeterli seviyede

uygulanabilmesi ve amacına ulaşabilmesi için öğretmen adaylarının modelleme etkinliklerini

hazırlama ve gerçekleştirme konusunda yeterli bilgi ve donanıma sahip olması gereklidir (Bukova

Güzel ve Uğurel, 2010). Öğretmen adaylarıyla yapılan araştırmalarda da matematiksel modellemeye

dönük uygulamaların öğretmen adaylarının mesleki gelişimlerine katkı sağladığı görülmüştür (Lesh ve

Doerr, 2003). Literatürde matematiksel modellemeye ilişkin öğretmen adayları ile gerçekleştirilen

araştırmalar bulunmaktadır (ör. Kertil, 2008; Korkmaz, 2010; Bukova Güzel, 2011; Eraslan, 2011; Duran,

Doruk ve Kaplan, 2016; Dede, Akçakın ve Kaya, 2018; Şahin ve Eraslan, 2019). Bu çalışmada özel olarak

ilköğretim matematik öğretmen adaylarının geometri alanındaki bir problem durumu üzerinden

modelleme yeterlilikleri değerlendirilmiştir. Öğretmen adaylarının uzamsal yeteneklerini işe koşarak

modelleme ve model oluşturma süreçlerini kullanacakları çok az sayıda araştırma olduğu

görülmektedir (ör. Tekin Dede, 2018). Dolayısıyla bu araştırmanın ilgili matematik eğitimi literatürüne

katkı sağlayacağı düşünülmektedir. Ayrıca özellikle geometrik model oluşturma etkinliklerinin

uygulanmasına yönelik ortaokul matematik öğretmen adayları ile gerçekleştirilen bir araştırmaya

rastlanılmamıştır. Etkinlik geometri öğrenme alanında gerçekleştirildiğinden matematiksel

model/modelleme kavramlarının yanında geometrik model/modelleme kavramları da kullanılmıştır.

Araştırmada gerçekleştirilen “Tabanın mı yoksa yüksekliğin mi yarısı?” probleminin çözümünde

katılımcıların modelleme yeterliliklerinin uzamsal yeteneklerinden etkileneceği düşünülmektedir. Bu

açıdan araştırmada katılımcıların modelleme problemine ilişkin uzamsal yeteneklerini ve özel olarak

uzamsal görselleştirme ve uzamsal ilişkiler becerilerini nasıl işe koştukları da gözlemlenmiştir. Buna

bağlı olarak bu bölüm altında sonraki başlıklarda model ve modelleme, matematiksel model ve

matematiksel modelleme ve uzamsal yetenek kavramlarına yer verilmiştir.

1.1. Model ve modelleme

Genel anlamda model bir olayı, bir nesneyi ya da bir fikri temsil eden sistemlerin tümüne verilen addır

(Gilbert, Boulter ve Elmer, 2000) ve bireylerin modelleme bilgisini kullanarak belirli bir süreç boyunca

gerçekleştirdiği işlemler sonucunda oluşmaktadır (Gilbert, 2004). Başka bir tanımlamada model,

karmaşık sistemleri anlamak ve yorumlamak için bireylerin zihninde bulunan kavramsal yapılar ve bu

yapıların dış temsillerinin tamamıdır. Modelleme ise olayları ya da problemleri tanımlama, oluşturma

ve yorumlama aşamalarının tamamında problem durumlarını zihinsel olarak düzenleme, organize

etme, örüntü bulma, çeşitli modeller oluşturma ve kullanma sürecidir (Doerr, 2007). Araştırmacıların

da tanımlamalarından hareketle model belirli bir süreç sonucunda oluşturulmuş ürünü belirtirken,

modelleme bir durumun modelini oluşturma sürecini anlatmaktadır (Özturan Sağırlı, 2010).

Öğretim faaliyetlerinde kullanılan modeller öğrencilere öğrenmeye çalıştıkları bilgileri edinmelerinde

yardımcı olmak amacıyla oluşturulmaktadır (Taber, 2001). Modelleme etkinlikleri ile öğrencilere

modeller aracılığıyla soyut bir kavram kavratılmaya çalışılmaktadır çünkü model ve modelleme

kullanılarak bilimsel olaylar somut örneklerle, şekillerle ve resimlerle açıklanmaktadır (Işık ve Mercan,

2015). Öğretmenler modellerin gerçeklerinin şematik ve basit halleri olduğunu (Van Driel ve Verloop,

1999) ve modelleri derslerinde bilimsel olayları açıklarken bir araç olarak kullandıklarını

belirtmektedirler (Ergin, Özcan ve Sarı, 2011).

Matematiksel modeller, kavramlar arasındaki ilişki ağını açıklamak amacıyla matematiksel nesnelerle

gösterilmiş fiziksel özelliklerdir (Lesh ve Doerr, 2003). Matematiksel modeller ararcılığıyla gerçek

dünyadaki olgular matematik dünyasındaki nesnelere ya da işlemlere dönüştürülmektedir (Blum ve

Niss, 1991). Bir sonraki başlıkta matematiksel model ve matematiksel modelleme kavramları

açıklanmıştır.

1.2. Matematiksel model ve matematiksel modelleme

Matematiksel model herhangi bir problemi matematiksel olarak açıklamak için bireyin zihninde mevcut

olan ya da sonradan oluşturulan grafik, fonksiyon, denklem gibi matematiksel düşünme yapılarıdır

(Kertil, 2008). Matematiksel model ile gerçek dünyaya ait özellikler sayılar, semboller ve denklemler

cinsinden açıklanır ve özetlenir dolayısıyla matematiksel model matematiksel dilin kullanımıdır

International Journal of Educational Studies in Mathematics, 2020, 7 (4), 250-270

254

(Örnek, 2008). Matematiksel modelleme ise gerçek hayat problemlerinin açıklandığı,

matematikselleştirildiği, çözüldüğü ve değerlendirildiği düzenli ve dinamik bir döngü olarak

tanımlanmaktadır (MEB, 2005; Ortiz ve Dos Santos, 2011).

Matematiksel model ve modelleme ilköğretim seviyesinde çoğunlukla somut materyal kullanımı olarak

anlaşılmaktadır (Lesh ve diğerleri, 2003). Matematik öğretmenleri de matematiksel modelleri somut

materyaller ve görseller olarak düşünmektedirler (Akgün ve diğerleri, 2013). Matematik eğitimi

araştırmalarında matematiksel modelleme çok daha geniş anlamda kullanılmakla birlikte öğretim aracı

olarak kullanılan somut materyallerin kullanımı, model terimi ile modelleme alan yazınında yer

almaktadır (Erbaş ve diğerleri, 2014).

Matematiksel modelleme ile ilgili literatür incelendiğinde matematiksel modellemenin kullanımı ile

ilgili araç ve amaç olmak üzere iki farklı bakış açısının olduğu görülmektedir (Julie ve Mudaly, 2007;

Stillman, 2012). Matematiksel modelleme, belirli matematiksel bağlamlar arasındaki ilişkileri göstermek

ve öğrencileri motive etmek için bir araç olarak (Chinnappan, 2010) ve matematiksel öğrenmelerin

gerçekleştirilmesi için eğitim amaçlarına ulaşmada bir amaç olarak (Blomhoj ve Jensen, 2007)

kullanılabilmektedir. Modellemeye matematik öğretiminin amacı olarak bakan yaklaşımda matematik

öğretiminde hedef öğrencilerin modelleri kullanarak matematiksel modelleme yeterliliklerinin

geliştirilmesidir. Bu yaklaşımda matematikten gerçek hayata doğru geçiş vardır ve matematiksel

modeller verildikten sonra gerçek yaşam durumlarına uyarlama yapılır. Modellemeye matematiği

öğretmek için kullanılan bir araç olarak bakan yaklaşımda ise matematiksel modelleme matematiksel

kavramların öğretilmesinde bir bağlam ve araç olarak kullanılmaktadır. Bu yaklaşımda gerçek

yaşamdan matematiğe geçiş vardır (Erbaş ve diğerleri, 2014).

Kaiser ve Sriraman (2006) ve Kaiser (2006) tarafından belirlenen 6 tür modelleme yaklaşımından bir

tanesi de eğitimsel modellemedir. Bu yaklaşımda amaç modelleme ile uygun öğrenme ortamları

oluşturularak öğrencilere matematiksel kavramların öğretilmesidir. Eğitimsel modellemede

kavramların öğretiminde modelleme bir araç olarak görülmekle birlikte modellemenin kendisini

öğretmek de bir amaçtır (Blomhoj, 2008). Ayrıca bu yaklaşımda matematiksel modellemenin öğretim

sürecinde kullanılması eleştirel, biçimlendirici, pragmatik, kültürel, araçsal ve psikolojik olmak üzere

altı gerekçeye dayandırılmaktadır (Blum, 1991; Blum ve Niss, 1991). Araştırmada kullanılan “Tabanın

mı yoksa yüksekliğin mi yarısı?” probleminin matematiksel modellemenin eğitimsel yaklaşımı

çerçevesinde eleştirel, araçsal ve psikolojik gerekçelere hizmet ettiği görülmektedir.

Eleştirel gerekçede öğrencilere matematiksel olarak verilen ve sosyal yönü de olan bir problemin

çözümü için anlama, analiz etme, değerlendirme ve yargılama vardır (Blum, 1991; Blum ve Niss, 1991).

Araştırmada kullanılan etkinlikte öğretmen adayları somut olarak tasarlayacakları matematiksel

modeller için kullanacakları kağıt türünü, rengini, boyutunu, maliyetini kendileri belirleyeceklerdir. Bu

açıdan eleştirel bir şekilde birbirlerinden bağımsız olarak karar vererek verilen modelleme problemine

çözüm bulacaklar ve arkasından derslerinde de kullanabilecekleri dayanıklı, kullanışlı bir materyal

hazırlayacaklardır.

Araçsal gerekçede matematiksel modelleme öğretim programındaki matematiksel kavramların

öğretilmesinde ve somutlaştırılmasında önemli bir araç olarak kullanılmaktadır (Blum, 1991; Blum ve

Niss, 1991). Bu araştırmada gerçekleştirilen etkinlikte öğrencilerin aynı alan sahip iki farklı geometrik

şekil arasında dönüşüm yapması gerekmektedir. Öğrenciler dikdörtgen ve üçgen şekillerinin

kavramsal olarak özelliklerini göz önüne alarak değerlendirme yapacaklardır. Matematiksel çözüm

yapabilmeleri için uzamsal ilişkiler ve uzamsal görselleştirme becerilerini kullanarak bu aşamada karar

vermeleri gerekmektedir. Bu sırada öğretmen adayları matematiksel modellemeyi bir araç olarak

kullanmaktadırlar.

Psikolojik gerekçede matematik konularının ya da kavramlarının uygun modelleme örnekleri

aracılığıyla aktarılması ve matematiğin derinlemesine anlaşılması ile öğrencilerin matematiğe yönelik

inançlarının gelişimine olumlu katkı sağlamak amaçlanmaktadır (Blum, 1991; Blum ve Niss, 1991). Bu

araştırmadaki problemi çözerken öğretmen adayları geometrik olarak yapılan bir ispatta elde edilen


255

matematiksel eşitliklerin gerçek modeller üzerinde de uygulanabilir ve kullanılabilir olduğunu bizzat

kendileri tecrübe etmekte ve böylelikle matematiğin hatta daha da soyut olan geometrinin

somutlaştırılabilir ve gerçekçi bir yönünün olduğunu fark ederek matematiğe karşı olumlu tutum

geliştirmektedirler.

1.3. Uzamsal yetenek

Uzamsal yetenek nesneleri zihinsel olarak hareket ettirmek, zihnindeki nesneleri bütünleştirmek ve

parçalamak veya nesneleri farklı bir bakış açısıyla görselleştirmek gibi becerilerin birleşimi olarak

tanımlanmaktadır (Turgut, 2015). Bu araştırmada gerçekleştirilen modelleme etkinliğinde öğrencilerin

uzamsal yeteneklerinden uzamsal ilişkiler ve uzamsal görselleştirme becerilerinin işe koşulduğundan

hareketle aşağıda bu iki uzamsal yetenek bileşeni ile ilgili bilgiler verilmiştir. Uzamsal ilişkiler, iki

boyutlu uzayda nesneleri zihinde döndürebilme yeteneği; uzamsal görselleştirme, nesnelerin farklı

uzamsal hallerini zihinde canlandırabilme yeteneği olarak tanımlanmıştır (Contero ve diğerleri, 2005).

Linn ve Petersen’e (1985) göre, uzamsal görselleştirme uzamsal olarak verilen bir bilgi ile ilgili karmaşık

ve çok adımlı dönüşümler yaptırmayı gerektirmektedir. Lohman’a (1988) göre uzamsal görselleştirme

en genel faktördür ve karmaşık eylemleri gerektirir. Uzamsal görselleştirme faaliyetleri sonunda

karmaşık olarak verilen bir uyarıcıya karşı bir dizi görsel gösterimler elde edilir. Clements ve Battista

(1992) tarafından iki ve üç boyutlu uzayda cisimlerin hareketlerini zihinde canlandırabilme ve bu

hareketleri anlayıp kavrama becerisi uzamsal görselleştirme olarak adlandırılmıştır. Sorby’e (1999) göre

uzamsal görselleştirme bir nesneyi zihinde hareket ettirebilme becerisidir. Daha yakın zamanda yapılan

tanımlamalarda uzamsal görselleştirme için Smith ve diğerleri (2003) “uzamsal yapıları içeren çok

aşamalı problemleri çözme yeteneği”; Olkun ve Altun (2003) “bir ya da birden çok parçadan oluşan iki

ve üç boyutlu nesnelerin ve parçalarının hareket ettirilmesi ile oluşan yeni şekilleri zihinde

canlandırabilme becerisi”, Casey (2013) “uzamsal bilginin çok adımlı işlenmesi” açıklamalarını

yapmıştır.

Uzamsal ilişkiler ise kişinin iki ve üç boyutlu geometrik nesneleri bir bütün olarak zihninde evirip

çevirebilmesi ve farklı konumlarında onları tanıyabilmesidir (Olkun ve Altun, 2003). Başka bir

tanımlamada uzamsal ilişkiler 2 boyutlu ve 3 boyutlu nesneleri zihinsel olarak hızlı ve doğru bir şekilde

döndürme yeteneği olarak ifade edilmektedir (Colom ve diğerleri, 2002). Christou ve diğerleri (2006)

uzamsal ilişkileri uzamsal bir nesneyi zihinsel olarak hızlı ve doğru bir şekilde döndürme yeteneği

olarak tanımlamıştır.

1.4. Araştırmanın amacı

İlköğretim matematik öğretmen adayları “Tabanın mı yoksa yüksekliğin mi yarısı?” problemi ile

modelleme süreci sonunda modellemenin doğasına uygun bir şekilde oluşturdukları geometrik

modeller aracılığıyla matematiksel olarak ispatlanmış bir gerçekliği somut olarak görme imkanı

bulacaklardır. Çalışma özellikle öğretmen adaylarının problem için tasarladıkları geometrik modeller

üzerine odaklanmakla birlikte, modelin modelleme süreci sonunda elde edilen ürün olarak görüldüğü

bilgisinden hareketle katılımcıların bu süreç içerisindeki yeterlilikleri de değerlendirilmiştir. Bu bilgiler

doğrultusunda aşağıdaki problemlere cevap aranmıştır:

1. İlköğretim matematik öğretmen adaylarının bir modelleme probleminin çözümünde

matematiksel anlama süreçleri nasıldır?

2. İlköğretim matematik öğretmen adayları bir modelleme probleminin çözümü için hangi

modelleri geliştirmişlerdir?

2. Yöntem

Bu bölümde araştırmanın modeli, çalışma grubu, veri toplama araçları ve verilerin analizi alt

başlıklarına yer verilmiştir.


256

2.1. Araştırmanın modeli

İlköğretim matematik öğretmen adaylarının üçgenin alanının ispatına yönelik verilen geometri

problemi durumunu matematiksel olarak anlamalarını/çözümlerini ve bu ispatlara yönelik

oluşturdukları modelleri inceleyen bu araştırma durum çalışması olarak gerçekleştirilmiştir. Durum

çalışmaları bir ya da daha fazla durumla ilgili faktörleri bütüncül olarak inceleyip derinlemesine

araştırma yapılmasına (Yıldırım ve Şimşek, 2008) imkân verdiğinden bu araştırma için uygun olan

yöntem olduğuna karar verilmiştir.

2.2. Çalışma grubu

Araştırma 2018-2019 eğitim-öğretim yılında ilköğretim matematik öğretmenliği dördüncü sınıfa devam

eden ve Geometri Öğretimi dersi kapsamında çeşitli geometrik konuların öğretimi hakkında eğitim alan

37 öğretmen adayı ile yürütülmüştür. Araştırma kapsamında bir devlet üniversitesinde geometri

öğretimi dersinde üç haftalık sürede üç farklı geometrik modelleme problemi etkinliği

gerçekleştirilmiştir. Bu kapsamlı çalışmanın parçası olarak araştırmada ilköğretim matematik öğretmen

adaylarının “Tabanın mı yoksa yüksekliğin mi yarısı?” geometri probleminin çözüm sürecindeki

modelleme yeterlilikleri incelenmiştir. Araştırmanın katılımcıları amaçlı örnekleme yöntemine göre

seçilmiştir. Amaçlı örneklemede katılımcılar araştırılan konunun amaçlarına uygun olarak belirlenir.

Yin (2011) bu örnekleme yönteminin araştırılacak durum ile ilgili derinlemesine bilgi elde edilmesi

amacıyla kullanıldığını belirtmektedir. Bu araştırmada da katılımcılar lisans son sınıf öğrencileri

olduklarından matematik ve matematik eğitimi alanındaki derslerin büyük çoğunluğunu vermiştir ve

ortaokul matematik öğretim müfredatında yer alan öğrencilere aktaracakları kazanımları elde etmiş

oldukları düşünülmüştür. Ayrıca geometrik modelleme etkinliği bir tür problem çözme etkinliği

olduğundan bu konuya yabancı olmadıkları durumu da göz önünde bulundurulmuştur. Öğretmen

adayları gönüllülük ilkesi ile çalışmaya katılmayı kabul etmişlerdir. Katılımcılardan otuz üçü kız, dördü

erkektir ve öğretmen adayları daha önceden modelleme tecrübeleri bulunmadığını belirtmektedirler.

Öğretmen adayları etkinlikleri bireysel olarak gerçekleştirmiştir. Böylelikle öğrenciler somut olarak

kendi geometrik modellerini oluşturma, kendi bireysel tercihlerini kullanma (kağıt rengi, türü,

materyalin malzemesi, büyüklüğü vs. belirleme), uzamsal yeteneklerini kullanarak problem çözme ve

akıl yürütme imkanı bulmuşlardır.

2.3. Veri toplama araçları

Araştırmanın veri toplama araçlarından birisi “Tabanın mı yoksa yüksekliğin mi yarısı?” başlıklı

geometri probleminin yer aldığı çalışma yaprağı diğeri ise öğretmen adaylarının tasarladıkları somut

geometrik modellerdir. Çalışma yaprağında yer alan problem durumu için öğretmen adaylarının

gerçekleştirdikleri matematiksel yorumlamalar, geometrik şekilleri dönüştürme süreçleri incelenmiştir.

Üçgenin alanının ispatı ile ilgili geometrik gösterimler oluşturulurken Runnalls ve Hong (2020)

tarafından sunulan etkinliklerden yararlanılmıştır. Araştırmacılar kendi çalışmalarında bu etkinlikleri

kullanırken daha çok alan ölçme ile ilgili boyutu incelerken bu araştırmada geometrik model oluşturma

süreci işin içerisine katılmış ve gösterimler daha somut olarak oluşturulma imkânı bulmuştur. Üçgenin

alanı konusu geometrinin en temel konularından biri olmasından dolayı bu konuda öğretmen

adaylarına kazandırılacak yeni bir ispat türünün ve dolayısıyla farklı bakış açısının faydalı olacağından

hareketle bu problemlere karar verilmiştir. Geometrik modelleme etkinliği matematik eğitimi ve

modelleme alanında doktora yapmış olan bir akademisyene gösterilerek öğretmen adayları için

gerçekleştirilecek bir araştırma için uygun olduğu şeklinde görüş alınmıştır. Bu aşamadan sonra

problemlere görsel ve sözel olarak son hali verilmiştir. Uygulamanın gerçekleştirileceği öğretmen

adayları daha önce bu tarz bir etkinlik yapmadığından uygulamanın başında öğrencilere ayrıntılı

açıklamalarda bulunulmuştur. Bunun yanında öğrenciler ders dışında da uygulama için farklı işlevsel

materyaller oluşturma konusunda teşvik edilmişlerdir.

Matematiksel açıdan bakıldığında, problemi içeren etkinlik geometri ve ölçme öğrenme alanlarındaki

uzunluk alan ölçme, üçgenin alanını hesaplama, dikdörtgenin alanını hesaplama kazanımlarını


257

içermektedir. Ayrıca öğrencilerin uzamsal yeteneklerini ve özel olarak uzamsal görselleştirme ve

uzamsal ilişkiler becerilerini kullanarak farklı şekiller oluşturmaları ve şekillerin alanları arasında

ilişki kurmaları istenmektedir. Bu etkinlik ile öğretmen adaylarının söz konusu yeteneklere sahip olup

olmadıkları da dolaylı olarak gözlemlenmiştir. Aşağıda bu araştırma için kullanılan geometri

problemi verilmiştir.

Değerli öğrenciler,

Yukarıdaki şekilde dikdörtgenin alanından yararlanarak üçgenin alanının ispatı için bir yol

gösterilmiştir. Matematiksel olarak hesaplamalarınızı aşağıda verilen boşluğa adım adım yapınız ve

ispatı gösteriniz. (Çalışma yaprağında öğrencilerin hesaplamaları için yeterli boşluk bırakılmıştır.)

Matematiksel hesaplamalarınızı yaptıktan sonra dikdörtgenin alanından yararlanarak üçgenin

alanını ispatlayabileceğiniz somut geometrik modeller oluşturunuz. Somut geometrik materyaller

için ne tür malzemeler (renk, şekil, kalınlık-incelik, dayanıklılık vs. bakımından) kullanmanız

gerektiğine karar vermelisiniz.

Sizden aynı alana sahip bir dikdörtgen ve bir üçgen karton elde etmeniz istenmektedir. Bunun için

her iki geometrik şeklin de en, boy, yüksekliklerini ölçerek alanlarını hesaplamanız gerekmektedir.

Bu hesaplamaları yaparken aşağıdaki çizimleri ipucu olarak kullanabilirsiniz. Her bir şekil üzerinde

uzunluk değerlerini gösteriniz.

2.4. Veri toplama süreci ve verilerin analizi

Öğretmen adayları “Tabanın mı yoksa yüksekliğin mi yarısı?” probleminde yer alan problem üzerinde

45 dakika çalışmış ve matematiksel olarak çözümleme yapmışlardır. Bu aşamada, katılımcılardan

çalışma yapraklarına dikdörtgenin alanından yola çıkarak üçgenin alanını nasıl hesapladıklarını

matematiksel olarak açıklamaları, bu ispatın matematiksel olarak doğru olup olmadığını ve buldukları

çözümleri ayrıntılı bir şekilde yazmaları istenmiştir. Problemlerin çözüm sürecinde araştırmacı

öğretmen adaylarının arasında dolaşmış onların düşüncelerini almış, gerektiğinde anlaşılmayan

noktalar konusunda açıklamalarda bulunmuştur. Bu aşamada öğrencilerin cevapları yazılı olarak

alınmıştır. Öğrencilerden gönüllü olanlar ayrıca her bir problemin sonunda tahtaya çıkarak çözüm

yolunu arkadaşları ile paylaşmıştır. Daha sonra öğretmen adaylarından verilen problem durumunu

geometrik model olarak sunmaları istenmiştir.

Çalışma yapraklarında yer alan 37 öğrenci cevabı içerik analizine tabi tutulmuştur. Bulguların

sunumunda öğretmen adayları Ö1, Ö2, Ö3, … şeklinde kodlanmıştır.

Hem öğrencilerin problemi matematiksel anlamalarını hem de oluşturdukları somut geometrik

modelleri değerlendirmek için bir rubrik geliştirilmiştir. Rubrik Tablo 1’de verilmiştir.


258

Tablo 1. “Tabanın mı yoksa yüksekliğin mi yarısı?” problemi için geliştirilen değerlendirme rubriği

Yeterlilik Yetersiz Bir ölçüde yeterli Yeterli

Problemi anlama Problemi yanlış olarak

anlama

Problemi eksik olarak

anlama

Problemi doğru olarak

anlama

Matematiksel olarak

yorumlama

Üçgenin ve dikdörtgenin

uzunluklarına dayalı

olarak üçgenin alan

formülünün ispatını elde

ederken matematiksel

yorumlamada eksiklik



olarak üçgenin alan

formülünün ispatını

yaparken bazı hatalar

yapma, alanları eksik

hesaplama vs.



olarak verilen ispatı

matematiksel olarak

doğru çözümleme

Geometrik şekilleri

dönüştürme

Üçgenden dikdörtgene

iki düzlemsel şekil

arasında geometrik geçişi

yapamama

Üçgen ve dikdörtgen

şekilleri arasında aynı

alana sahip olacak

şekilde geçiş yaparken

matematiksel ya da

yorumsal hatalar yapma

Tüm çizimlere ve

hesaplamalara bağlı

olarak doğru geometrik

geçişler yapma

Geometrik model

oluşturma

Üçgen ve dikdörtgenin

aynı alan değerine sahip

olacak şekilde

modellerini somut olarak

oluşturamama veya

yanlış oluşturma



olacak şekilde somut

modellerini eksik olarak

oluşturma



olacak şekilde görsel ve

kullanışlı modeller

oluşturma

3. Bulgular

İlköğretim matematik öğretmen adaylarının probleme yönelik matematiksel anlamaları ve

oluşturdukları somut materyaller incelenerek “Tabanın mı yoksa yüksekliğin mi yarısı?” modelleme

problemi ile değerlendirme rubriğindeki aşamalar doğrultusunda aşağıdaki bulgulara ulaşılmıştır.

Tablo 1’de verilen değerlendirme rubriğinde yer alan ilk 2 alt boyut araştırmanın birinci araştırma

problemi ile ilgili iken, son 2 alt boyut ise ikinci araştırma problemine cevap aramaktadır.

3.1. Birinci araştırma problemi ile ilgili bulgular

Değerlendirme rubriğinin ilk aşamasında ilköğretim matematik öğretmen adaylarının kendilerine

sunulan geometri problemini ne kadar anladıklarına yönelik bir inceleme yapılmıştır. Yapılan inceleme

sonucunda elde edilen bilgilere Tablo 2’de yer verilmiştir.

Tablo 2. İlköğretim Matematik Öğretmen Adaylarının Problemi Anlama Yeterlilikleri


Problemi anlama Ö13, Ö22, Ö36 Ö3, Ö5, Ö8, Ö14, Ö16,

Ö19, Ö21, Ö27, Ö30, Ö33

Ö1, Ö2, Ö4, Ö6, Ö7, Ö9,

Ö10, Ö11, Ö12, Ö15, Ö17,

Ö18, Ö20, Ö23, Ö24, Ö25,

Ö26, Ö28, Ö29, Ö31, Ö32,

Ö34, Ö35, Ö37

Tablo 2’ye göre, problemi anlama basamağında öğretmen adaylarının çoğunun (24 katılımcı) yeterli

düzeyde olduğu ortaya çıkmıştır. 10 öğretmen adayı bir ölçüde yeterli yaklaşım sergilemişlerdir. 3

öğretmen adayı ise modelleme problemini tam olarak anlayamamıştır. Modelleme problemini

anlayamayan öğretmen adayları çözüm için yeterli bilgiye sahip değildir. Bir ölçüde yeterli

sayılabilecek şekilde problemi anlayan öğretmen adaylarının çoğunlukla kısmen problemi anladıkları

ancak model oluşturma için gerekli işlem adımlarına geçemedikleri tespit edilmiştir. Yeterli yaklaşım

sergileyen öğretmen adaylarının çoğunluğu ise problemde verilenleri ve istenenleri belirlemiş sonraki

adımlar için geçiş yapma aşamasına gelmiştir. Örnek olarak, Ö13, Ö21 ve Ö32 kodlu öğretmen

adaylarının problemi anlama basamağına yönelik açıklamaları aşağıda verilmiştir.


259

Şekil 1. Problemi anlama basamağı için Ö13’ün cevabı

Şekil 1’de Ö13’ün problemi anlamada yetersiz olduğu görülmektedir. Öğretmen adayı üçgenin alanının

taban ve yüksekliğin çarpımının yarısı olduğunu belirtse de bu bilgiyi problemin çözümünde genel bir

bilgi olarak sunmuştur. Geometrik dönüşümleri ise düzgün çokgenler ya da onların kesişimi üzerinden

yapacağı şeklinde yetersiz bir yorum üretmiştir.

Şekil 2. Problemi anlama basamağı için Ö21’in cevabı

Şekil 2’de Ö21’in problemi bir ölçüde yeterli düzeyde anladığı görülmüştür. Öğretmen adayı pratik bir

şekilde üçgenin alan formülünden yararlanarak problem için çözüm sunmuştur. Dolayısıyla problemi

bir ölçüde anladığı görülmektedir. Ancak taban ve yüksekliklerin belirlenmesi ve gösterilmesi

noktalarında eksiklikler bulunmaktadır.

Şekil 3. Problemi anlama basamağı için Ö32’nin cevabı


260

Şekil 3’te Ö32’nin problemi yeterli düzeyde anladığı görülmüştür. Öğretmen adayı eş üçgenler

yardımıyla problemin çözümünde üçgenden dikdörtgene dönüşüm olacağını belirtmektedir. Eşlik

durumunu da şekil üzerinden açı benzerliklerini kullanarak göstermiştir. Bu durum da katılımcının

problem durumunu tam olarak anladığını göstermektedir.

Değerlendirme rubriğinin ikinci aşamasında ilköğretim matematik öğretmen adaylarının sunulan

geometri problemi için yaptıkları matematiksel yorumlamalara yönelik bir inceleme yapılmıştır.

Yapılan inceleme sonucunda elde edilen bilgilere Tablo 3’te yer verilmiştir.

Tablo 3. İlköğretim Matematik Öğretmen Adaylarının Problemi Matematiksel Olarak Yorumlama

Yeterlilikleri


Matematiksel olarak

yorumlama

Ö5, Ö13, Ö21, Ö22, Ö27 Ö3, Ö8, Ö10, Ö14, Ö16, Ö19,

Ö24, Ö36, Ö30, Ö33

Ö1, Ö2, Ö4, Ö6, Ö7, Ö9, Ö11,

Ö12, Ö15, Ö17, Ö18, Ö20,

Ö23, Ö25, Ö26, Ö28, Ö29,

Ö31, Ö32, Ö34, Ö35, Ö37

Tablo 3’te sunulan bulgular ışığında matematiksel olarak yorumlama değerlendirme kriterine göre,

öğretmen adaylarının çoğu (n=22) problem için yeterli düzeyde matematiksel yorumlamalar ve işlemler

yapmışlardır. 10 öğretmen adayı bir ölçüde yeterli sayılabilecek türden matematiksel yorumlamalar ve

işlemler sergilemişlerdir. Bu kapsamda değerlendirilen öğretmen adaylarının cevaplarından bazıları

eksiktir, bazılarında işlem hatası vs. görülmüştür. 5 öğretmen adayının ise problemin çözümü için

yaptıkları matematiksel yorumlamalar yetersizdir. Örnek olarak, Ö5, Ö14 ve Ö34 kodlu öğretmen

adaylarının matematiksel işlemler yapma basamağına yönelik açıklamaları aşağıda verilmiştir.

Şekil 4. Matematiksel olarak yorumlama basamağı için Ö5’in cevabı

Şekil 4’te Ö5’in problemin çözümünde kullandığı matematiksel yorumlamalar yetersizdir. Çünkü

öğretmen adayı problem durumunu rakamlar üzerinden yapılacak bir matematikselleştirme süreci

olarak yorumlamıştır ve bu ilişkilendirmenin zor olacağını ifade etmiştir.

Şekil 5. Matematiksel olarak yorumlama basamağı için Ö14’ün cevabı


261

Şekil 5’te Ö14’ün problemin çözümü için kullandığı matematiksel işlemler bir ölçüde yeterli

düzeydedir. Ancak üçgen ile aynı alana sahip dikdörtgenin kenar uzunluklarının ve bunlara bağlı alan

hesaplamalarının yapılmasında çok fazla değişken kullanmasına bağlı olarak açıklamalarında bir

karmaşıklık olduğu görülmektedir. Öğretmen adayı orta taban ya da dikdörtgenin bir kenarının

yüksekliğin yarısı olma durumunu kullanmadığından değerlendirmelerinde eksiklik vardır.

Şekil 6. Matematiksel olarak yorumlama basamağı için Ö34’ün cevabı

Şekil 6’da Ö34’ün problemin çözümü için yaptığı matematiksel işlemler doğru ve yeterlidir. Öğretmen

adayı 4 adım şeklinde bir matematiksel akış oluşturmuştur. Son aşamada yüksekliğin yarısını

kullanarak üçgenin alan formülü için doğru ispata ulaşmıştır.

3.2. İkinci araştırma problemi ile ilgili bulgular

Değerlendirme rubriğinin üçüncü aşamasında ilköğretim matematik öğretmen adaylarının sunulan

geometri problemi için geometrik şekilleri dönüştürmelerine yönelik bir inceleme yapılmıştır. Yapılan

inceleme sonucunda elde edilen bilgilere Tablo 4’te yer verilmiştir.

Tablo 4. İlköğretim Matematik Öğretmen Adaylarının Geometrik Şekilleri Dönüştürme Yeterlilikleri


Geometrik Şekilleri

Dönüştürme

Ö5, Ö8, Ö13, Ö21,

Ö22, Ö24, Ö30

Ö3, Ö10, Ö11, Ö14, Ö16,

Ö18, Ö19, Ö27, Ö31, Ö33,

Ö36

Ö1, Ö2, Ö4, Ö6, Ö7, Ö9, Ö12,

Ö15, Ö17, Ö20, Ö23, Ö25, Ö26,

Ö28, Ö29, Ö32, Ö34, Ö35, Ö37

Tablo 4’e göre, geometrik şekilleri dönüştürme basamağında öğretmen adaylarının çoğunun (19

katılımcı) yeterli düzeyde olduğu görülmektedir. 11 öğretmen adayı problemin çözümünde geometrik

şekilleri dönüştürmede bir ölçüde yeterlidir. 7 öğretmen adayı ise modelleme probleminin çözümünde

geometrik şekilleri dönüştürmede yeterli düzeyde değildir. Modelleme problemini anlayamayan

öğretmen adayları çözüm için yeterli bilgiye sahip değildir. Örnek olarak, Ö8, Ö27 ve Ö35 kodlu

öğretmen adaylarının geometrik şekilleri dönüştürme basamağına yönelik cevapları aşağıda

verilmiştir.

Şekil 7. Geometrik şekilleri dönüştürme basamağı için Ö8’in cevabı


262

Şekil 8. Geometrik şekilleri dönüştürme basamağı için Ö27’nin cevabı

Şekil 8’de Ö27’nin geometrik şekilleri dönüştürmede bir ölçüde yeterli düzeyde olduğu görülmüştür.

Öğretmen adayı açıklamasını şekillerin dönüşümü sırasında alan kaybı olmayacağı üzerinden

gerçekleştirmiştir. Ancak geometrik olarak dönüşümün nasıl olduğu ile ilgili bilgi sunmamıştır.

Şekil 9. Geometrik şekilleri dönüştürme basamağı için Ö35’in cevabı

Şekil 9’da Ö35’in geometrik şekilleri dönüştürmede yeterli düzeyde olduğu görülmüştür. Öğretmen

adayı geometrik olarak aynı alana sahip üçgenden dikdörtgene nasıl dönüşüm yapılacağını göstermiş

ve o işlem adımlarının matematiksel hesaplamalarını kullanarak bu boyut için yeterli değerlendirme

yapmıştır.

Değerlendirme rubriğinin dördüncü aşamasında ilköğretim matematik öğretmen adaylarının sunulan

geometri problemi için geometrik model oluşturmalarına yönelik bir inceleme yapılmıştır. Yapılan

inceleme sonucunda elde edilen bilgilere Tablo 5’te yer verilmiştir.


263

Tablo 5. İlköğretim Matematik Öğretmen Adaylarının Geometrik Model Oluşturma Yeterlilikleri


Geometrik Model

Oluşturma

Ö5, Ö8, Ö13, Ö21, Ö22,

Ö24, Ö30, Ö33, Ö36

Ö3, Ö10, Ö11, Ö14, Ö16, Ö18,

Ö19, Ö25, Ö27, Ö31, Ö35

Ö1, Ö2, Ö4, Ö6, Ö7, Ö9, Ö12,

Ö15, Ö17, Ö20, Ö23, Ö26,

Ö28, Ö29, Ö32, Ö34, Ö37

Tablo 5’e göre, geometrik model oluşturma basamağında öğretmen adaylarının çoğunun (17 katılımcı)

yeterli düzeyde olduğu görülmektedir. 11 öğretmen adayının oluşturdukları geometrik modeller bir

ölçüde yeterlidir. 9 öğretmen adayı ise geometrik model oluşturmada yeterli düzeyde değildir. Örnek

olarak, Ö30, Ö31 ve Ö37 kodlu öğretmen adaylarının geometrik model oluşturma basamağına yönelik

olarak oluşturdukları model örnekleri aşağıda verilmiştir.

Şekil 10. Geometrik model oluşturma basamağı için Ö30’un cevabı

Şekil 10’da Ö30’un oluşturduğu geometrik model yeterli değildir. Her ne kadar geometrik şekillerin

alanlarının eşitliğini matematiksel olarak göstermeye çalışsa da geometrik model oluşturma açısından

değerlendirildiğinde iki şeklin kenar uzunluklarının ölçülerinin tutarlılığı açısından yetersiz olduğu

görülmektedir. Ayrıca oluşturulan model görsel açıdan ve kullanışlılık bakımından yetersizdir.

Şekil 11. Geometrik model oluşturma basamağı için Ö31’in cevabı


264

Şekil 11’de Ö31’in oluşturduğu geometrik model sunulan problem durumu için bir ölçüde yeterlidir.

Öğretmen adayı farklı renkler kullanarak üçgenden dikdörtgen oluşumunda eş olan yerleri

belirginleştirmiştir. Ancak hazırlanan modelde ölçümler konusunda eksiklik olduğu görülmektedir.

Örneğin dikdörtgenin kısa kenar uzunluğunun üçgenin yüksekliğinin yarısı olduğu durumuna dikkat

edilmemiştir.

Şekil 12. Geometrik model oluşturma basamağı için Ö37’nin cevabı

Şekil 12’de Ö37’nin oluşturduğu geometrik model sunulan problem durumu için yeterlidir. Öğretmen

adayının sunduğu geometrik model, problem durumu için yeterli model olmasının yanında kullanışlı,

kolay ulaşılabilir materyallerden oluşturuluyor olması bakımından güzel bir örnektir.

4. Sonuç ve Tartışma

İlköğretim matematik öğretmen adaylarının “Tabanın mı yoksa yüksekliğin mi yarısı?” problemi ile

ilgili çözümlerinin incelendiği bu araştırmada, problemi matematiksel olarak anlama süreçleri ve

hazırlanan somut materyaller göz önünde bulundurularak katılımcıların modelleme yeterlilikleri

değerlendirilmiştir. Bu amaç doğrultusunda modelleme yeterlilikleri dört alt boyutta incelenmiştir.

Araştırma için belirlenen ilk araştırma problemi modelleme etkinliğini anlama ve matematiksel olarak

yorumlama ile ilgilidir. Problemi anlama aşamasında oluşturulması düşünülen matematiksel modele


265

yönelik hazırlık yapılmaktadır. Öğretmen adaylarının büyük çoğunluğunun sunulan problemi

anlamakta yeterli olduğu tespit edilmiştir. Problemi anlamakta yetersiz olan 3 öğrencinin durumu ise

daha önce bu tarz bir modelleme etkinliği ile karşılaşmadıklarından dolayı olabilir. Tekin (2012), Tekin

Dede ve Bukova Güzel (2013), Urhan ve Dost (2016) ve Deniz ve Akgün’e (2017) göre öğretmenler

matematik derslerinde modellemeye pek yer vermemektedir. Bu araştırmaya katılan öğretmen adayları

da modelleme etkinlikleriyle hem üniversitede derslerinde hem de dersleri dışında fazla karşılaşmış

iseler problem durumları üzerinde düşünmeden ve problemi anlamadan model oluşturma adımına

geçmiş olabilirler. Ayrıca problemin katılımcıların uzamsal yeteneklerini de işe koşmalarını

gerektirmesi problemi anlamada tamamen ya da kısmen sorun yaşamalarına sebep olmuş olabilir.

Araştırmanın ilk araştırma probleminin değerlendirildiği diğer alt boyut olan matematiksel yorumlama

aşamasında öğretmen adaylarının büyük çoğunluğunun problemin çözümü için doğru matematiksel

yorumlamalar yaptıkları görülmektedir. Bu süreçte öğretmen adaylarının bir kısmında kullandıkları

matematiksel dilde hatalar olmakla katılımcıların çoğunluğunun yaptıkları yorumlamalar,

hesaplamalar ve ölçümler konusunda yeterli olduğu görülmektedir.

Araştırmanın ikinci problemi için öğretmen adaylarının geometrik modelleri dönüştürmeleri ve

oluşturdukları somut geometrik modeller değerlendirilmiştir. İlköğretim matematik öğretmen adayları

tarafından oluşturulan somut geometrik modellerin aslında bir üçgenden dikdörtgene dönüşmesi

gerekmektedir. Başarılı bir şekilde gerçek modeller üreten katılımcılar üçgenden dikdörtgene

geometrik şekillerin kenar uzunluklarının birbirleriyle uyumlu olmasına dikkat etmişlerdir. Bunu

gerçekleştiren öğretmen adayları iki düzlemsel şekil arasındaki geçişte zorlanmamıştır. Dolayısıyla

öğretmen adaylarının iki boyutlu uzayda nesneleri zihinde döndürebilme yeteneği olan (Colom ve

diğerleri, 2002; Contero ve diğerleri, 2005) uzamsal ilişkiler ve nesnelerin farklı uzamsal hallerini

zihinde canlandırabilme yeteneği (Olkun ve Altun 2003; Contero ve diğerleri, 2005) olan uzamsal

görselleştirme becerilerinin gerçek model oluşturma yeterliklerini doğrudan etkilediği söylenebilir. Bu

çalışmada kullanılan problemin düzlemsel iki şekil arasında geçişleri gerektirmesi ve bir modelleme

süreci içermesi bakımından öğrencilerin uzamsal yeteneklerini kullanmalarını sağlamıştır. Modelleme

süreci gerçek modellerin oluşturulmasını içerdiği için öğretmen adaylarının uzamsal yeteneklerinin bu

süreçte kullanılıyor olması, modelleme sürecinin diğer aşamalarında da uzamsal yeteneklerin önemli

ve etkili olabileceği hakkında da fikir vermektedir.

Problemin çözümü için oluşturulan gerçek modeller öğretmen adaylarının problem durumunda

istenen özelliklere sahip olarak ürettikleri somut modellerden oluşmaktadır. Nitekim öğretim aracı

olarak kullanılan somut materyallerin kullanımı, model terimi ile modelleme alan yazınında yer

almaktadır (Erbaş ve diğerleri, 2014). Bu somut modeller aynı zamanda öğretmen adaylarının

gelecekteki öğretmenlik yaşantılarında kullanabilecekleri türden materyal örnekleridir. Bu çalışmada

problem durumu için öğretmen adaylarının çoğunluğu farklı türde malzemeleri içeren etkili ve gerçek

modeller oluşturabilmişlerdir. Örneğin Ö37’nin oluşturduğu model katlanabilir özellikte oldukça

ergonomik ve kullanışlı bir yapıya sahiptir. Bu durum Taber’in (2001) belirttiği gibi modellerin öğretim

faaliyetlerinde öğrencilere öğrenmeye çalıştıkları bilgileri edinmelerinde yardımcı olmak amacıyla ve

soyut bir kavramın somut örneklerle, şekillerle ve resimlerle açıklanmasıyla (Işık ve Mercan, 2015)

örtüşmektedir. Öğretmen adayları modelleri oluşturma aşamasında genel olarak renkli A4 kağıtlarını

kullanmayı tercih etmiştir. Bazı öğrenciler ise beyaz renkli kağıt üzerinde farklı renkli kalemler ile

boyamalar yapmıştır. Öğretmen adayları ne kadar gerçek ölçüm yaparlarsa oluşturdukları geometrik

modeller de o kadar düzgün ve kullanışlı olmuştur. Üçgenin ya da dikdörtgenin kenar uzunlukları

dikkate alınmadan oluşturulan materyallerde görüntüde ve kullanımda problem durumları ortaya

çıkmıştır. Öğrencilerden yetersiz model oluşturduğu şeklinde değerlendirilenler ise genel olarak

çalışma yaprağı üzerinde düz çizim yapmayı tercih edenlerdir. Bu durum öğrencilerin model oluşturma

ile ilgili yeterli bilgi ve beceriye sahip olmamalarından kaynaklanabilir. Ancak profesyonel öğretmenlik

yaşantılarına başlamadan önce matematiksel modellemenin öğretim faaliyetlerinde yeterli seviyede

uygulanabilmesi ve amacına ulaşabilmesi için öğretmen adaylarının modelleme etkinliklerini

hazırlama ve gerçekleştirme konusunda yeterli bilgi ve donanıma sahip olması gereklidir (Bukova


266

Güzel ve Uğurel, 2010). Nitekim öğretmen adaylarıyla yapılan araştırmalarda da matematiksel

modellemeye dönük uygulamaların öğretmen adaylarının mesleki gelişimlerine katkı sağladığı

görülmüştür (Lesh ve Doerr, 2003). Ayrıca bu araştırmada kullanılan problem öğretmen adaylarına

üçgenin alanı ile ilgili farklı bir ispat yöntemi bilgisi kazandırmıştır.

5. Öneriler

“Tabanın mı yoksa yüksekliğin mi yarısı?” etkinliği öğretmen adaylarının düzlemsel iki şekil arasında

aktif olarak geçiş yapmasını sağlamaktadır. Öğretmen adaylarına iki boyut ve üç boyut arasında geçiş

yapmayı gerektiren gerçekçi bağlamların sunulduğu farklı etkinlikler sunulmalıdır. Benzer bağlamlar

oluşturularak öğretmen adaylarının ve öğretmenlerin hem modelleme yeterliliklerinin hem de uzamsal

yeteneklerinin geliştirilebileceği düşünülmektedir. Dolayısıyla geometri öğrenme alanında özel olarak

geometrik modelleme etkinliği olarak da adlandırabileceğimiz bu türden etkinliklerin sayısı

arttırılmalıdır.

Bu araştırmada modelleme problemi öğretmen adaylarına üniversitedeki dersi dışında araştırma

yapma ve somut bir materyal şeklinde model oluşturma imkânı sağladığından önemli olduğu

düşünülmektedir. Benzer şekilde ilköğretim matematik öğretmenliği lisans programlarındaki derslerde

katılımcılara dersleri dışında da araştırma yapma fırsatı veren modelleme etkinliklerinin sayısı

arttırılmalıdır.

İlköğretim matematik öğretmenliği lisans müfredatındaki derslerin öğretiminde modelleme

etkinliklerine daha çok yer verilerek öğretmen adaylarının matematiksel model oluşturabilecekleri ve

elde ettikleri sonuç ve modelleri yorumlayıp tartışabilecekleri sınıf ortamları oluşturulmalıdır.

Böylelikle öğretmen adaylarının modelleme sürecindeki ilgili becerileri kazanmaları sağlanabilir ve

öğretimi gerçekleştirilen kavramlara yönelik anlayışları geliştirilebilir. Özellikle ortaokul matematik

öğretmen adaylarının nitelikli matematiksel model oluşturma becerileri önemsenmeli ve geliştirilmesi

için gerekli araştırmalar yapılmalıdır.

İlköğretim matematik öğretmen adaylarının modelleme yeterliliklerinin incelenmesi için literatürde

bulunan diğer modelleme basamakları kullanılarak değişiklikler ya da eklemeler yapılabilir. Ayrıca

araştırmada kullanılan geometri probleminin farklı görsel araçlar kullanılarak matematiksel modelleme

yöntemiyle gerçekleştirilmesi önerilebilir.

Bu araştırma amaçlı örneklemeye uygun olarak seçilen öğretmen adaylarıyla gerçekleştirilmiştir. Bu

durum bir sınırlılık olarak görülebilir. Dolayısıyla daha geniş örneklemlerle benzer bir araştırma

yapılması matematik eğitimi literatürüne katkı sağlayabilir. Araştırmaya katılan öğretmen adaylarıyla

yarı-yapılandırılmış görüşmeler gerçekleştirilerek modelleme süreçleri ile ilgili daha detaylı bilgiler

elde edilebilir.

Kaynakça

Akgün, L., Çiltaş, A., Deniz, D., Çiftçi, Z. ve Işık, A. (2013). İlköğretim matematik öğretmenlerinin

matematiksel modelleme ile ilgili farkındalıkları. Adıyaman Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü

Dergisi, 12, 1-34.

Blomhoj, M. (2008). Different perspectives on mathematical modelling in educational research –

Categorising the TSG21 papers. Electronic Proceedings of the Eleventh International Congress on

Mathematical Education ICME 11(pp. 1-13). Mexico.

Blomhoj, M. ve Jensen, T.H. (2007). What’s all the fuss about competencies? Experiencs with using a

competence perspective on mathematics education to develop the teaching of mathematical

modelling. In W. Blum, P.L. Galbraith, H.W. Henn & M. Niss (Eds.), Modelling and Applications

in Mathematics Education (pp. 45-56). New York: Springer.

Blum, W. (1991). Applications and modelling in mathematics teaching – A review of arguments and

instructional aspects. In M. Niss, W. Blum, & I. Huntley (Eds.), Teaching of Mathematical

Modelling and Applications (pp. 10-29). Chichester: Ellis Horwood.


267

Blum, W. ve Niss, M. (1991). Applied mathematical problem solving, modelling, application, and links

to other subjects-state, trends, and issues in mathematics instruction. Educational Studies in

Mathematics, 22(1), 37-68.

Bukova Güzel, E. (2011). An examination of pre-service mathematics teachers’ approaches to construct

and solve mathematical modeling problems. Teaching Mathematics and Its Applications, 30(1), 19-

36.

Bukova Güzel, E. ve Uğurel, I. (2010). Matematik öğretmen adaylarının analiz dersi akademik başarıları

ile matematiksel modelleme yaklaşımları arasındaki ilişki. Ondokuz Mayıs Üniversitesi Eğitim

Fakültesi Dergisi, 29(1), 69-90.

Casey, B. M. (2013). Spatial abilities and individual differences. In D.A.Waller, & L. Nadel (Eds.),

Handbook of spatial cognition (pp. 117–134) Washington, DC: American Psychological

Association.

Chinnappan, M. (2010). Cognitive load and modelling of an algebra problem. Mathematics Education

Research Journal, 22(2), 8-23.

Christou, C., Jones, K., Mousoulides, N. ve Pittalis, M. (2006). Developing the 3DMath dynamic

geometry software: Theoretical perspectives on design. International Journal for Technology in

Mathematics Education, 13(4), 168-174.

Clements, D. H. ve Battista, M. T. (1992). Geometry and spatial reasoning. Handbook of research on

mathematics teaching and learning, 420-464.

Colom, R., Contreras, M. J., Botella, J. ve Santacreu, J. (2002). Vehicles of spatial ability. Personality and

Individual Differences, 32(5), 903-912.

Contero, M., Naya, F., Company, P., Saorin, J. K. ve Conesa, J. (2005). Improving visualization skills in

engineering education. Computer Graphics in Education, 5, 24-31.

Dede, Y., Akçakın, V. ve Kaya, G. (2018). Ortaokul matematik öğretmen adaylarının matematiksel

modelleme yeterliklerinin cinsiyete göre incelenmesi: Çok boyutlu madde tepki

kuramı. Adıyaman Üniversitesi Eğitim Bilimleri Dergisi, 8(2), 150-169.

Deniz, D. (2014). Ortaöğretim matematik öğretmenlerinin matematiksel modelleme yöntemine uygun etkinlik

oluşturabilme ve uygulayabilme yeterlikleri. Yayınlanmamış doktora tezi, Atatürk Üniversitesi,

Erzurum, Türkiye.

Deniz, D. ve Akgün, L. (2017). Ortaöğretim matematik öğretmenlerinin matematiksel modelleme

yöntemi ve uygulamalarına yönelik görüşleri. Anemon Muş Alparslan Üniversitesi Sosyal Bilimler

Dergisi, 5(1), 95-117.

Doerr, H. M. (2007). What knowledge do teachers need for teaching mathematics through applications

and modelling?. In Modelling and applications in mathematics education (pp. 69-78). Springer,

Boston, MA.

Duran, M., Doruk, M., & Kaplan, A. (2016). Matematik öğretmeni adaylarının matematiksel modelleme

süreçleri: Kaplumbağa paradoksu örneği. Cumhuriyet International Journal of Education, 5(4), 55-

71.

Eraslan, A. (2011). İlköğretim matematik öğretmen adaylarının model oluşturma etkinlikleri ve bunların

matematik öğrenimine etkisi hakkındaki görüşleri. İlköğretim Online, 10(1), 364-377.

Erbaş, A. K., Kertil, M., Çetinkaya, B., Çakıroğlu, E., Alacacı, C. ve Baş, S. (2014). Matematik eğitiminde

matematiksel modelleme: Temel kavramlar ve farklı yaklaşımlar. Kuram ve Uygulamada Eğitim

Bilimleri, 14(4), 1-21.


268

Ergin, İ., Özcan, İ. ve Sarı, M. (2011). Ortaöğretim fen öğretmenlerinin bilimsel model ve modellemeler

hakkındaki görüşleri. E-Journal of New World Sciences Academy, 6(3), 1C-0441.

Ferri, R. B. ve Blum, W. (2013). Barriers and motivations of primary teachers for implementing

modelling in mathematics lessons, Proceedings of CERME 8, February 6- 10.

Gilbert, J. K. (2004). Models and modelling: Routes to more authentic science education. International

Journal of Science and Mathematics Education, 2(2), 115-130.

Gilbert, J. K., Boulter, C. J. ve Elmer, R. (2000). Positioning models in science education and in design

and technology education. In Developing models in science education (pp. 3-17). Springer,

Dordrecht.

Işık, A. ve Mercan, E. (2015). Ortaokul matematik öğretmenlerinin model ve modelleme hakkındaki

görüşlerinin incelenmesi. Kastamonu Eğitim Dergisi, 23(4), 1835-1850.

Julie, C. ve Mudaly, V. (2007). Mathematical modelling of social issues in school mathematics in South

Africa. In Modelling and applications in mathematics education (pp. 503-510). Springer, Boston, MA.

Kaiser, G. (2006). Introduction to the working group “Applications and Modelling”. In M. Bosch (Ed.),

Proceedings of the Fourth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education

(CERME 4) (pp. 1613-1622). Sant Feliu de Guíxols, Spain: FUNDEMI IQS, Universitat Ramon

Llull.

Kaiser, G. (2010). Introduction: ICTMA and the teaching of modeling and applications. In Lesh, R., P. L.

Galbraith C. R. Haines and A. Hurford (Eds.), Modeling students’ mathematical modeling

competencies. ICTMA 13, Springer New York Dordrecht Heidelberg London.

Kaiser, G. ve Sriraman, B. (2006). A global survey of international perspectives on modelling in

mathematics education. ZDM – The International Journal on Mathematics Education, 38(3), 302-310.

Kaiser, G., Schwarz, B. ve Tiedemann, S. (2010). Future teachers’ professional knowledge on modeling.

In R. Lesh, P. L. Galbraith, C. R. Haines, & A. Hurford (Eds.), Modeling Students’ Mathematical

Modeling Competencies (pp. 433-444). New York: Springer.

Kertil, M. (2008). Matematik öğretmen adaylarının problem çözme becerilerinin modelleme sürecinde

incelenmesi. Yayınlanmamış yüksek lisans tezi, Marmara Üniversitesi, Eğitim Bilimleri

Enstitüsü, İstanbul.

Korkmaz, E. (2010). İlköğretim matematik ve sınıf öğretmeni adaylarının matematiksel modellemeye yönelik

görüşleri ve matematiksel modelleme yeterlikleri. Yayımlanmamış doktora tezi, Balıkesir

Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Balıkesir.

Lesh, R. ve Doerr, H. M. (2003). Foundations of models and modeling perspective on mathematics

teaching, learning, and problem solving. In R. Lesh & H. M. Doerr (Eds.,), Beyond constructivism:

Models and modelling perspectives on mathematics problem solving, learning and teaching(pp. 3-33).

NJ. Mahwah, Lawrence Erlbaum Associates.

Lesh, R., Cramer, K., Doerr, H. M., Post, T. ve Zawojewski, J. S. (2003). Model development sequences.

In R. Lesh, & H. M. Doerr (Eds.), Beyond constructivism: Models and modeling perspectives on

mathematics problem solving, learning, and teaching (pp. 3-33). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.

Linn, M. ve Petersen, A. C. (1985). Emergence and characterization of sex differences in spatial ability:

A meta-analysis. Child Development, 56, 1479-1498.

Lohman, D. F. (1988). Spatial abilities as traits, processes, and knowledge. In R. J. Stenverg (Ed.).

Advances in the psychology of human intelligence (pp. 181-248). Hillside, NJ: Erlbaum.

MEB (2013). Ortaöğretim matematik dersi öğretim programı. Ankara: Milli Eğitim Basımevi.


269

Milli Eğitim Bakanlığı (MEB) (2005). T.C. Milli eğitim bakanlığı talim terbiye kurulu başkanlığı,

ortaöğretim matematik (9,10,11 ve 12. sınıflar) dersi öğretim programı. Ankara: Milli Eğitim

Bakanlığı Yayınları.

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (2000). Curriculum and Evaluation Standards for

School Mathematics. Reston, VA: NCTM Publications.

Olkun, S. ve Altun, A. (2003). İlköğretim öğrencilerinin bilgisayar deneyimleri ile uzamsal düşünme ve

geometri başarıları arasındaki ilişki. Turkish Journal of Educational Technology, 2(4), 86-91.

Ortiz, J. ve Dos Santos, A. (2011). Mathematical modelling in secondary education: A case study.

In Trends in Teaching and Learning of Mathematical Modelling (pp. 127-135). Springer, Dordrecht.

Örnek, F. (2008). Models in science education: Applications of models in learning and teaching science.

International Journal of Environmental & Science Education, 3(2), 35-45.

Özturan Sağırlı, M. (2010). Türev konusunda matematiksel modelleme yönteminin ortaöğretim öğrencilerinin

akademik başarıları ve öz-düzenleme becerilerine etkisi. Yayınlanmamış doktora tezi, Atatürk

Üniversitesi, Erzurum, Türkiye.

Runnalls, C. ve Hong, D. S. (2020). Half the base or half the height?: Exploring a student’s justification

of ½× base× height. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 51(4),

604-613.

Siller, H. S. ve Kuntze, S. (2011). Modelling as a big idea in mathematics: Knowledge and views of pre-

service and in-service teachers. Journal of Mathematical Modelling and Application, 1(6), 33-39.

Smith, G. G., Olkun, S. ve Middleton, J. A. (2003). Interactive versus observational learning of spatial

visualization of geometric transformations. Australian Educational Computing, 18(1), 3-10.

Sorby, S. A. (1999). Developing 3D spatial visualization skills. Engineering Design Graphics Journal, 63(2),

21–32

Stillman, G. (2012). Applications and modelling research in secondary classrooms: what have we learnt? Paper

Presented at the 12th International Congress on Mathematics Education. Seoul, South Korea.

Şahin, N. ve Eraslan, A. (2019). Ortaokul matematik öğretmeni adaylarının matematik uygulamaları

dersinde modelleme etkinliklerinin kullanılmasına yönelik görüşleri. Turkish Journal of

Computer & Mathematics Education, 10(2), 373-393.

Taber, K. S. (2001). When the analog break down: Modelling the atom on solar system. Physics education,

36(3), 222-226.

Tekin Dede, A. ve Yılmaz, S. (2013). İlkoğretim matematik öğretmeni adaylarının modelleme

yeterliliklerinin incelenmesi. Turkish Journal of Computer and Mathematics Education, 4(3), 185-

206.

Tekin Dede, A., ve Bukova Güzel, E. (2013). Matematik öğretmenlerinin model oluşturma etkinliği

tasarım süreçleri ve etkinliklere yönelik görüşleri. Bartın Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi,

2(1), 288-299.

Tekin, A. (2012). Matematik öğretmenlerinin model oluşturma etkinliği tasarım süreçleri ve etkinliklere yönelik

görüşleri. Yayımlanmamış yüksek lisans tezi, Dokuz Eylül Üniversitesi Eğitim Bilimleri

Enstitüsü, İzmir.

Turgut, M. (2015). Development of the spatial ability self-report scale (SASRS): Reliability and validity

studies. Quality & Quantity, 49(5), 1997-2014.

Urhan, S., & Dost, Ş. (2016). Matematiksel modelleme etkinliklerinin derslerde kullanımı: öğretmen

görüşleri. Electronic Journal of Social Sciences, 15(59), 1279-1295.


270

Van Driel, J. H. ve Verloop, N. (1999). Teachers' knowledge of models and modelling in

science. International Journal of Science Education, 21(11), 1141-1153.

Yıldırım, A. ve Şimşek, H. (2008). Sosyal bilimlerde nitel araştırma yöntemleri (6.Basım). Ankara: Seçkin

Yayıncılık.

Yıldız, Ş. ve Yenilmez, K. (2019). Matematiksel modelleme ile ilgili lisansüstü tezlerin tematik içerik

analizi. Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Sosyal Bilimler Dergisi, 20, 1-22.

Yin, R. K. (2011). Qualitative Research from Start to Finish. New York: A Division of Guilford Publications.

Yu, S. Y. ve Chang, C. K. (2011). What Did Taiwan Mathematics Teachers Think of Model- Eliciting

Activities and Modelling Teaching?. In G. Kaiser, W. Blum, R. B. Ferri and G. Stillman (Eds.),

Trends in teaching and learning of mathematical modelling: ICTMA 14 (pp. 147-156). Netherlands:

Springer.

Documents

Reflections from the pre-service teachers’ geometric