Reell: rational – irrational 13 D213-01 · Als Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus AG/Klett und Balmer Verlag AG, 1290 1 | 5 sungen Reell: rational – irrational 13 D213-01

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Lösungen

Reell : rational – irrational D213-0113

1A Mögliche Lösungen:

■■ Reelle Zahlen sind alle Zahlen innerhalb des dunkelblauen Ovals.

Dazu gehören also auch alle rationalen Zahlen.■■ Rationale Zahlen sind alle Zahlen innerhalb des hellblauen Ovals.

Dazu gehören alle ganzen Zahlen sowie alle Zahlen, die sich als gewöhnliche

Brüche schreiben lassen.■■ Irrationale Zahlen sind alle Zahlen innerhalb des dunkelblauen äusseren Rings.

Es sind diejenigen reellen Zahlen, die sich nicht als gewöhnliche Brüche schreiben

lassen.■■ Abbrechende Dezimalbrüche gehören (neben weiteren Zahlen) ins Innere

des hellblauen Ovals. Auch die ganzen Zahlen können dazugezählt werden

(Beispiel: 4,0 ist ein abbrechender Dezimalbruch). Alle abbrechenden Dezimalbrüche

können als Brüche mit einem der Nenner 1, 10, 100, 1 000, … geschrieben werden■■ Periodische Dezimalbrüche lassen sich in einen gewöhnlichen Bruch verwandeln,

und jeder gewöhnliche Bruch, der sich durch Erweitern oder Kürzen nicht in einen

Bruch mit dem Nenner 1, 10, 100, … umformen lässt, kann in einen periodischen

Dezimalbruch verwandelt werden.■■ Wenn man die Periode 0 zulässt, können auch die abbrechenden Dezimalbrüche

und damit alle rationalen Zahlen als periodische Dezimalbrüche geschrieben werden

(Beispiel: 4,2 = 4,2000000 …).■■ Die irrationalen Zahlen befinden sich im dunkelblauen Ring ausserhalb

des hellblauen Ovals. Irrationale Zahlen lassen sich als Dezimalbrüche nur mit

einer nicht abbrechenden und nicht periodischen Folge von Ziffern nach

dem Komma schreiben, und sie lassen sich dementsprechend auch nicht in

gewöhnliche Brüche verwandeln.

B Mögliche weitere Beispiele:

8.5 pt

1 8 50 709 210 = 1 024 1,7 Millionen …

7.5 pt

8.5 pt

0 –1 – 3 5 7 √ ____

121 = 11 – √ ____

144 = – 12 – (1040) …8.5 pt

+ 1 __ 7 9 0,034 814 814 81… = 0,03

____ 481 = 47

____ 1 350

…8.5 pt

– – 2 __ 3 – 34 = –81 – √

___ 4

___ 169

= – 2 __ 13

– 0,0 _______

285714 = – 1 __ 35

…8.5 pt

+ √ __

3 ≈ 1,713 205 … 3 √ ___

10 ≈ 2,154 4 … π2 ≈ 9,869 6 …8.5 pt

– –10 – √ ___

1 __ 10

≈ – 0,316 2 … – 3

√ ____

202 ≈ – 7,368 06 …

C nein

D ■ 2 ist eine natürliche Zahl und damit auch ganz, rational und auch reell.■■ 0,5 ist eine rationale Zahl und damit auch reell.■■ 0 wird meistens nicht zu den natürlichen Zahlen gezählt, ist aber sicher

eine ganze Zahl, damit auch rational und reell.■■ √

__ 3 ist keine rationale Zahl, weil es keinen Bruch gibt, der, mit sich selber

multipliziert, 3 ergäbe. √ __

3 ist also eine irrationale Zahl und gehört

zu den reellen Zahlen.

E 0,212 212 221… (nach dem Komma jedes Mal eine Zwei mehr zwischen

den einzelnen Einsen) ist offensichtlich nicht periodisch, damit sicher nicht rational,

sondern reell.

F Individuelle Lösungen

z. B.: 0,123 456 789 101 112 131 415 16 …

1,248 163 264 128 256 …


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2A

B Ein richtiges Ergebnis zur Division a : 0 lässt sich nicht ermitteln, lässt sich aber auch

nicht definieren, weil jede mögliche Definition Widersprüche zu gültigen Rechenregeln

erzeugen würde.

Das lässt sich durch folgende Fragestellung veranschaulichen:

Wie viele Pack mit 0 Beuteln Eistee muss man einkaufen, damit man schliesslich

30 Beutel Eistee eingekauft hat?

Die Division 30 : 0 müsste auf ein gültiges Ergebnis führen. Ein richtiges Ergebnis

lässt sich aber nicht finden, weil für ein beliebiges x die Multiplikation x · 0 niemals

das Produkt 30 erzeugt.

3A Die Behauptung ist (in dieser allgemeinen Formulierung) falsch.

Zwar hat die Subtraktion 12 – 5 = 7 eine natürliche Zahl als Ergebnis,

die Subtraktion 5 – 12 = – 7 hat aber keine natürliche Zahl als Ergebnis.

B Wahr. √ __

8 : √ __

2 = 2

C Wahr. Ein solcher Quotient lässt sich als Bruch darstellen.

Dieser lässt sich immer so erweitern, dass Zähler und Nenner ganzzahlig sind.

Beispiel: 3,75 : 7 __ 6 = 3,75

____ 1,1

__ 6 = 3,75 ∙ 12

______ 1,1

__ 6 ∙ 2

= 45 __

14

D Falsch. √ ____

144 = 12

E Falsch. Ganzzahlige Vielfache von irrationalen Zahlen sind immer auch irrational.

F Falsch. √ _____

1,44 = 1,2

G Falsch. ( √ __

2 )2 = 2

H Richtig. √ __

2 ist irrational.

8 pt

8.5 pt

natürliche Zahlen

8 pt

8.5 pt

rationale Zahlen

8 pt

8.5 pt

ganze Zahlen

7.5 pt

reelle Zahlen1. Addieren immer immer immer immer

2. Subtrahieren manchmal immer immer immer

3. Multiplizieren immer immer immer immer

4. Dividieren (Divisor ≠ 0)

manchmal immer manchmal immer

5. Wurzelziehen (positive Zahlen)

manchmal manchmal manchmal immer

6. Wurzelziehen (negative Zahlen)

Es gibt keine negativen natür-lichen Zahlen

nie nie nie


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4A

B Siehe Spalte «Zahlenmengen» in der Tabelle.

C Start mit 4 oder 16 liefert lauter natürliche Zahlen als Zwischenergebnisse.

D Die Begründung ist in der letzten Spalte zu finden.

5A

B Mit einer geraden Quadratzahl (4, 16, 36, 64, …) gehören alle Zwischenergebnisse

ausser einem ( √ __

2 ∙ x) zur Menge der natürlichen Zahlen.

C Individuelle Lösungen

6 Es sind je Spielrunde maximal zwei Operationen erlaubt, höchstens eine Strich-

operation.

Notiert jeweils zuerst die durchzuführende Operation und kontrolliert dann

mit dem Rechner.

Beginnt mit einem neuen Spiel, wenn das Ziel nicht erreicht werden kann.

Das Spiel kann man erschweren, wenn 1, 0 und – 1 als Zwischenergebnisse nicht

verwendet werden dürfen.

Vorschrift Zahl Zahlenmengen Term

Denk dir eine natürliche Zahl 7

8.5 pt

,

7.5 pt

8.5 pt

,

8.5 pt

,

8.5 pt

(natürliche Zahl)

x

Dividiere durch 4 1,75

8.5 pt

,

8.5 pt

x __ 4

Ziehe die Wurzel 1,32…

8.5 pt

√ ____

( x __ 4 )2 = √

__ x __

2

Addiere 1 2,32…

8.5 pt

√ __

x __

2 + 1

Quadriere 5,39…

8.5 pt

x __ 4 + √

__ x + 1

Subtrahiere die Wurzel deiner Anfangszahl 2,75

8.5 pt

,

8.5 pt

x __ 4 + 1

Verdopple 5,5

8.5 pt

,

8.5 pt

x __ 2 + 2

Subtrahiere die Hälfte der Anfangszahl 2

8.5 pt

,

7.5 pt

8.5 pt

,

8.5 pt

,

8.5 pt

2

Ziehe die Wurzel. Du erhältst 1,4142… 1,4142 …

8.5 pt

√ __

2

Vorschrift Zahl Zahlenmengen Term

Denk dir eine Zahl 3

8.5 pt

,

7.5 pt

8.5 pt

,

8.5 pt

,

8.5 pt

(natürliche Zahl)

x

Dividiere durch 2 1,5

8.5 pt

,

8.5 pt

0,5x

Quadriere 2,25

8.5 pt

,

8.5 pt

0,25x2

Verachtfache 18

8.5 pt

,

7.5 pt

8.5 pt

,

8.5 pt

,

8.5 pt

2x2


8.5 pt

√ __

2 ∙ x

Dividiere durch die Wurzel aus 2 3

8.5 pt

,

7.5 pt

8.5 pt

,

8.5 pt

,

8.5 pt

x


8.5 pt

√ __

x

Dividiere durch die Wurzel der Anfangszahl 1

8.5 pt

,

7.5 pt

8.5 pt

,

8.5 pt

,

8.5 pt

1


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7A D1 72 + 242 = 625 c = 25

D2 22 + 32 = 13 c = √ ___

13

D3 22 + ( √ __

3 )2 = 4 + 3 = 7 c = √ __

7

D4 ( √ __

2 )2 + ( √ __

7 )2 = 9 c = 3

Mögliche Lösungen:

c = 25

D1

b = 7C A

B

a = 24

D2

C A

B

b = 3

a = 2

C

A

B

1

1

1

D4

D3

C A

B

1

a = 2

b = √ __

3

c = √ ___

13

c = √ __

7

c = √ __

5

b = √ __

3

√ __

3

a = √ __

2


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7B Individuelle Lösungen

C Individuelle Lösungen

8A Für alle Zahlenbeispiele gültig ist:

Aussage 1 √ __

a ∙ √ __

b = √ ___

ab

Aussage 2 √ __

a : √ __

b = √ __

a __ b

Aussage 3 √ ___

a2 ∙ √ __

b = a √ __

b

Aussage 4 √ ___

a3 = a √ __

a

Aussage 5 √ ___

a2x = √ ___

ax

Aussage 10 a ∙ √ __

b = √ ____

a2b

B Nur für einige Zahlenbeispiele gültig ist:

Aussage 6 √ __

a + √ __

b = √ _____

a + b Wahr z. B. mit a = 4 und b = 0.

Falsch z. B. mit a = 2 und b = 3.

Die Aussage ist nur dann wahr, wenn die Bedingung a = 0 oder b = 0 ist.

Aussage 7 √ __

a + √ __

a = √ ___

2a Wahr für a = 0. Falsch für a ≠ 0.

Aussage 8 √ __

a = √ __

a = a Wahr für a = 1. Falsch für a ≠ 1.

Aussage 9 ( √ __

a – √ __

b )2 = a – b

Die Aussage ist nur wahr, wenn a = 0 und/oder b = 0.

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