Embed Size (px)
Citation preview
C A PITOLUL 6
Rețele de sisteme cu șiruri de așteptare
6.1 Introducere
Modelele rețelelor cu șiruri de așteptare (queueing networks models), pe scurt rețelele cu așteptare, sunt deosebit de folositoare pentru a reprezenta și analiza sistemele cu resurse partajate de servire, cum sunt, de exemplu, rețele de comunicații, și s-au dovedit a fi un instrument puternic și flexibil în ceea ce privește atât evaluarea performanțelor cât și planificarea acestora. Asemenea modele sunt mai avantajoase pentru reprezentarea structurilor reale ale sistemelor cu un număr mare de resurse decât modelele constând dintr-un singur sistem de servire. În cazul rețelelor, fiecare sistem de servire (șir, stație) cu așteptare din rețea, reprezintă o resursă reală, ce este specializată pentru o anumită activitate de servire (job, operație) a unui ansamblu de clienți care modelează adevărații utilizatori. Competiția clienților în obținerea accesului la resursa de servire corespunde poziționării lor în locațiile de așteptare din șirurile rețelei. Analiza modelelor de rețea cu șiruri constă în evaluarea unui set de indicatori de performanta, cum sunt utilizarea resurselor, timpul de răspuns, traficul servit (throughput) etc. Analiza se poate face prin intermediul metodelor analitice, a simulărilor sau a măsurătorilor, atunci când obiectul studiului există în realitate. În capitolul de față, se urmărește doar prezentarea metodelor analitice de analiză, specifice principalelor categorii de modele de rețea cu șiruri, care satisfac o paletă largă de cerințele și restricțiile impuse de realitate. Modelul de rețea, așa cum s-a precizat deja, este un ansamblu de sisteme de servire interconectate prin legături (link-uri), care asigură deservirea unui ansamblu de clienți și, în consecință, este definit prin șiruri, clienți și topologie. Pentru toate acest componente sunt specificate o serie de însușiri, bună parte din ele deja exp3use o dată cu introducerea clasificării Kendall (paragraful 2.3) ce urmează a fi reamintite în continuare, alături de altele specifice subiectului în discuție.
Caracteristicile fiecărei stații sunt: o numărul de unități de servire (servere), considerate, în mod uzual, identice și
independente, o rata de servire, măsurată în unități de servire raportate la unitatea de timp; fiecare
server servește un client cu o viteză care poate fi constantă sau dependentă de starea stației,
o lungimea cozii, in general, se consideră infinită, dar se poate avea în vedere și cazul finit,
o disciplina de servire, conform căreia clienții intrați în șir urmează să fie serviți.
Caracteristicile topologice sunt: o numărul de stații, o matrice probabilităților de rutare, permite modelarea comportamentului pe care
fiecare client îl urmează o dată cu tranzitarea, de către acesta, a rețelei; când servire unui client se încheie, acesta părăsește stația în cauză și, cu o anumită probabilitate, trece imediat în alt șir al rețelei, sau, eventual, o părăsește, parcurgând legătura corespunzătoare.
Caracteristicile clienților sunt:
INGINERIA TRAFICULUI
42
o cererea de servire adresată fiecărui șir, exprimată în unități de servire; prin raportarea cererii de servire (în general, variabilă aleatorie) la rata de servire (constantă) se obține o nouă variabilă aleatorie: timpul de servire, a cărei medie se notează, ca până în
prezent, cu 1 ,
o clasele de apartenență, care separă clienții după cererea și comportamentul lor diferit, vis-a-vis de aceeași stație, deosebirile vizând, desigur, timpii de servire și probabilitățile de rutare; în general, clasificare clienților este temporară în sensul că, de la un șir la altul, un client poate schimba clasa, conform informației din matricea probabilităților de rutare.
o numărul total de clienți în rețea, dacă aceasta nu prezintă intrări și ieșiri, sau o procesul de sosire în fiecare șir, în caz contrar.
Pe lângă clase, clienții se pot diferenția și prin lanțuri. Un lanț (chain) reprezintă o categorie în care un client se va găsi pe toată durată ființării sale în rețea. Un lanț poate incorpora un anumit număr de clase. Prin urmare, dacă se specifica mai multe lanțuri, însemnă că acestea realizează o partiție a claselor întrucât, conform definiție, clienți nu pot trece de la un lanț la altul. Drept exemplificare, figura 6.1(c) prezintă o rețea cu patru clase (a, b, c, d) și două lanțuri, primul incluzând clasele a și b, iar al doilea, clasele c și d. Funcție de numărul de clase incorporate, un lanț poate fi cu o clasă sau cu mai multe clase. Drept urmare, ținând cont de numărul si tipul lanțurilor asociate, o rețea cu șiruri de așteptare poate fi:
cu un lanț cu o singură clasă (single-class single-chain), pe scurt: monoclasă
cu un lanț cu mai multe clase (multiple-class single-chain), pe scurt: multiclasă
cu lanțuri cu mai multe clase (multiple-class multiple-chain)
cu lanțuri monoclasă (single-class multiple-chain) Un lanț este deschis dacă permite intrări și ieșiri din rețea și este închis în caz contrar. Din punct de vedere al avansării clienților prin rețea, acestea se împart în:
I. Rețele fără revenire – în situația în care clienții trec cel mult o dată printr-un șir;
II. Rețele cu revenire – dacă toți clienții sau doar unii dintre ei revin în șirurile "vizitate" anterior.
Mai mult, luând în considerare noțiune de lanț, putem avea:
A. Rețele deschise – în cazul în care toate lanțurile sale sunt deschise,
B. Rețele închise – dacă toate lanțurile sale sunt închise,
C. Rețele mixte – atunci când există atât lanțuri deschise cât și închise. În figura 6.1 sunt exemplificate trei topologii posibile de rețea cu șiruri de așteptare. Structură deschisă, cu revenire, din imaginea 6.1(a) poate reprezenta un simplu sistem de calcul, iar imaginea 6.1(b) o topologie clasică de rețea închisă, în care clienții sunt îndrumați ciclic în mod permanent. În exemplul structurii mixte, figura 6.1(c), se poate observa că lanțul 1 este deschis și descrie îndrumarea clienților care vizitează de două ori același șir, prima dată aparținând clasei a și apoi clasei b. În schimb, lanțul 2 este închis, pe aici circulând prin cele două șiruri un număr constant de clienți ce trec din clasa c în clasa d și
(c)
Flux de clienţi noi
Flux de clienţi serviţi
CPU Disc
Imprimantă
Imprimare magnetică
1
2
3
(a)
1 2
N
(b)
Clasa b Clasa a
Clasa d
Lanţ 1
Lanţ 2 Clasa c
Figura 6.1: Exemple de topologii de rețea: (a) deschisă ; (b) închisă; (c) mixtă
6. Rețele de sisteme cu șiruri de așteptare
43
invers, funcție de sistemul tranzitat. Desigur, acolo unde nu se specifică, precum în cazul exemplelor din figurile 6.1 (a) și (b), clienții aparțin unei singure clase și, implicit unui singur lanț. În cele ce urmează se vor analiza doar rețelele deschise în care sunt vehiculați și prelucrați clienți aparținând unei clase unice. O rețea cu șiruri de așteptare este corect construită (well-formed) dacă de la orice stație se poate ajunge, probabilistic, la orice altă stație, inclusiv dinspre și înspre exterior.
6.2 Definiții și notații
Mărimile utilizate în analiza rețelelor cu sisteme (șiruri) de așteptare sunt însoțite de o serie de notații specifice, după cum urmează:
K numărul sistemelor (stații de lucru)
iN numărul clienților din sistemul i
N numărul total al clienților din rețea,
K
i iNN1
N vectorul de stare a rețelei, KN,,N,N 21N
i rata individuală de servire în sistemul i
is număr de servere în sistemul i
j,ip probabilitatea de rutare, adică probabilitatea ca un client din sistemul i să fie
transferat în sistemul j
j,p0 probabilitatea, pentru o rețea deschisă, ca de la o sursă externă, modelată ca
un "sistem virtual" cu numărul de ordine 0, să intre un client în sistemul j
1K,ip probabilitatea ca un client să părăsească o rețea deschisă după ce și-a
finalizat serviciul în sistemul i , considerând ca destinație externă un "sistem virtual"
și numerotat cu 1K
j,ipp matricea probabilităților de rutare între sisteme
nN nNn ppnotat
Pr probabilitatea staționară de stare a rețelei
rata totală (globală) de sosire din exterior (pentru o rețea deschisă)
i rata de sosire a clienților într-un sistem i , intrare prin legătura ce străbate
"exteriorul" acestuia.
i productivitatea unui șir care reprezintă rata cu care clienții sunt serviți și
părăsesc șirul i . În cazul șirurilor infinite este evidentă egalitatea ii
productivitatea globală a rețelei, egală valoric cu rata totală de sosire în cazul
rețelelor construite numai cu sisteme fără pierderi.
6.3 Teorema lui Burke
Printre metodele de analiză a rețelelor cu șiruri, o importanță deosebită îi revine soluției (sub formă de) produs care este posibilă în anumite ipoteze speciale, precum cvasi-reversibilitatea. În principiu, se consideră că un șir este cvasi-reversibil dacă starea curentă, plecările trecute și intrările viitoare ale clienților sunt mutual independente. Această proprietate se referă la relația dintre procesul de sosire a clienților și cel de plecare a acestora din sistemul de servire și conduce la o nouă însușire.
Este vorba de proprietatea M M (se citește: Markov implică Markov) care a
fost demonstrată prima dată în 1956 de către P.J. Burke, de unde și numele de teorema lui Burke, și care precizează că: "într-un sistem M/M/s, un proces Poisson de intrare produce
INGINERIA TRAFICULUI
44
un proces Poisson de plecare identic din punct de vedere probabilistic și independent de starea șirului".
Pe baza acestei teoreme se pot stabili ratele de sosire a clienților în stațiile de prelucrare cunoscând: rutele de îndrumare de-a lungul rețelei și ratele de tranzit între stații. De exemplu, pentru cazul rețelei din figura 6.3, relațiile de evaluarea a sosirilor în stații sunt:
12123
3231212
1
1
,
,,
p
pp (6.3.1)
După rezolvarea acestui sistem de ecuații se obține că:
233
2323212
1
1
1
,
,,,
p
ppp
(6.3.2)
și în final se poate verifica recuperarea ratei globale a sosirilor, ca productivitate globală
adică: 3231 ,p .
6.4. Rețele deschise fără revenire și fără pierderi
Se consideră rețeaua lanț, monoclasă, din figura 6.4.1, compusă doar din două sisteme M/M/1 conectate în tandem (de reținut că noțiunea de lanț, folosită în contextul prezent, nu are înțelesul precizat anterior, cu ocazia prezentării modului de caracterizare a clienților, ea referindu-se, în cazul de față, la maniera în care sunt interconectate șirurile cu așteptare ale rețelei. Concret: o rețea lanț este una și o rețea mono lanț sau cu mai multe lanțuri este alta!). Clienții, ce sunt oferiți rețelei de o sursă externă, parcurg în mod obligatoriu ambele sisteme pentru a-și încheia serviciul și pentru a fi eliberați spre o destinație externă. Deși este un exemplu simplu de rețea lanț, concluziile ce se vor preciza pentru el rămân valabile pentru orice alte situații de rețele lanț, indiferent de numărul sistemelor conectate în serie.
Starea rețelei într-un moment oarecare t este specificată prin intermediul unui vector tN ,
care precizează numărul de clienți din fiecare sistem, adică. tN,tNt 21N
Considerând că sosirile în primul sistem urmează o lege Poisson, de
rată , asigurată de sursa externă, și că timpii de servire din cele două sisteme sunt
distribuiți exponențial, cu media 11 / , respectiv 21 / , putem determina probabilitatea de
stare a rețelei folosind, pentru fiecare sistem elementar, rezultatul oferit de teorema lui Burke. Conform acesteia, în cazul unui sistem M/M/1 ajuns la echilibru statistic:
procesul de plecare, tNd , este de tip Poisson de rată ;
secvența timpilor de plecare până la momentul t este independentă de numărul
clienților în sistem la momentul t , tN .
1
1
p1,2
2 3
2 3
p3,2
3
1
2
Figura 6.3: Rețea deschisă cu 3 stații
1
2
Sistem 1 Sistem 2
Figura 6.4.1: Rețea "lanț deschis" cu 2 sisteme M/M/1
6. Rețele de sisteme cu șiruri de așteptare
45
Prin urmare, soluția pentru rețeaua aleasă se determină aplicând următorul raționament:
i) cum primul sistem este M/M/1, rezultă că plecările din el urmează tot un proces Poisson. Aceste plecări sosesc în următorul sistem, deci și pentru sistemul 2 sosirea clienților urmează tot un proces Poisson;
ii) procesul tN2 este determinat de secvența de sosire în sistemul 2 până la
momentul t și de secvența de variabile aleatorii independente și identic distribuite care
reprezintă timpii de servire în sistemul 2. Cum secvența de sosire în sistemul 2 este
independentă de tN1 , înseamnă că tN2 este independent de tN1 . În această situație,
rezultă că:
22112211 PrPrPr ntNntNntN,ntN (6.4.1)
ceea ce exprimă faptul că: probabilitatea ca rețeaua să se afle în starea 21 n,n este egală
cu produsul probabilităților individuale (parțiale) ca sistemele să se afle în stările
corespunzătoare 1n și, respectiv, 2n .
Relația (6.4.1) reprezintă verificarea matematică a independenței stărilor din cele două sisteme înlănțuite și justifică, prin modul de exprimare al probabilității de stare a rețelei, conceptul de soluție produs. Aceeași independență se poate demonstra, în mod similar, și în care sistemele incluse sunt de tip M/M/s sau M/M/ , dar și pentru alte structuri de rețea, nu neapărat sub formă de lanț, conform celor ce urmează a fi prezentate pe parcursul acestui capitol. Prin extrapolare, cazul general al unei rețele deschisă fără revenire și de tip monoclasă are următoarea soluție produs:
iN
K
inpp
i
1
nN (6.4.2)
unde: Kn,,n,nn 21 este vectorul de stare a rețelei
nNp este probabilitatea ca rețeaua să fie în starea n
iN npi
este probabilitatea ca sistemul i să fie în starea in , pentru Ki 1 .
Aplicația 6.4.1
Determinați expresia probabilității vectorului de stare pentru rețeaua a cărei structură este
dată în figura 6.4.2 și precizați condițiile echilibrului statistic. Caz particular: 0,4p și
250 331 , clienți/sec.
Indicație: Separarea procesului Poisson de rată 1 de la ieșirea primului sistem
generează la intrarea în sistemul 2, respectiv 3, procese Poisson independente de rata
p , respectiv (1 )p , iar suma mai multor procese Poisson independente este tot un
proces Poisson de rată egală cu suma ratelor individuale. Se calculează deci că:
2 p și 3 2 (1 )p . În
aceste condiții, pentru cazul particular
propus: 1 1 , 2 0,4 și 3 2,6 ,
adică regimul de stabilitate este asigurat
dacă 1,53 clienți/sec.
* * * Performanța rețelelor fără revenire depinde în mod evident de structura fiecărui sistem component, dar și de modul de îndrumare a clienților prin rețea. În acest sens, se prezintă în cele ce urmează două modele larg folosite în activitățile de proiectare și analiză de performanță a rețelelor de telecomunicații.
1 2
3
2
p
Figura 6.4.2: Rețea fără revenire cu sisteme M/M/1
INGINERIA TRAFICULUI
46
6.4.1. Rutare deterministă
Fie o rețea compusă din K sisteme de transmisiuni, alimentată cu clienți ce sunt
colectați de la S noduri-sursă, prin rețeaua de acces, și pentru care există D noduri-
destinație. Presupunem că: - sosirile clienților sunt de tip Poisson;
- timpii de servire urmează distribuții exponențiale de medie 11 / , unde 1,i K
reprezintă identitatea sistemului; - rutarea (îndrumarea) clienților prin rețea este descrisă prin intermediul unor matrice
de tranzit, d,sii D , anexate fiecărui sistem i , 1,i K și în care un element d,si
are valoarea 1 dacă ruta de la sursa s , 1,s S , către destinația d , 1,d D traversează
sistemul i și este 0 în caz contrar;
- ratele de sosire în rețea sunt conținute în matricea: d,sΛ , unde d,s este rata
de sosire a clienților generați de sursa s și având d ca destinație.
Cu aceste notații și presupuneri, ratele de sosire a clienților în fiecare sistem al rețelei pot fi calculate cu expresia:
d,siS
s
D
d d,si 1 1, pentru 1,i K (6.4.3)
iar pe baza acestor rate pot fi evaluați următorii indicatori de performanță la nivel de sistem și de rețea, folosind următoarele formule:
timpul mediu petrecut în rețea de un client generat de sursa s cu destinația d:
iK
i id,s Td,sT 1 (6.4.4)
unde iT este timpul mediu de tranzit prin sistemul i .
numărul mediu de clienți în rețea:
K
i iNN1
(6.4.5)
unde este numărul mediu de clienți din sistemul i . Dacă fiecare sistem al rețelei este de tip
M/M/1, atunci relația anterioară se dezvoltă în forma:
K
ii
iK
iii
iN11 1
(6.4.6)
timpul mediu petrecut de un client în rețea :
NTLittle
(6.4.7)
în care rata totală de intrare în rețea, , este dată de relația:
S
s
D
d d,s1 1 (6.4.8)
Relația (6.4.7) poate fi folosită pentru a minimiza timpul mediu de tranzit al întregii
rețele, T , în condițiile unui cost maxim acceptabil și pentru o matrice de trafic dată [ILNG11]. Cum, din punct de vedere practic, serverii din rețea sunt fiecare conectați la liniile de legătură dintre nodurile rețelei, ceea ce se urmărește de fapt este optimizarea capacității acestor sisteme de transmisiuni (emițătoare/receptoare, memorii tampon, medii de comunicare, regeneratoare etc.). De asemenea, trebuie remarcat și faptul că formula anterioară a mediei timpului total petrecut de un client în rețea nu ține seama de întârzierile datorate propagărilor efective pe respectivele liniile de legătură.
Aplicația 6.4.2
Un număr de 6 noduri A/F sunt constituite într-o rețea al cărui graf orientat este prezentat în figura 6.4.6. Pachetele generate în noduri sunt transmise spre destinații de-a lungul rețelei prin intermediul a 7 linii ce sunt utilizate doar în sensurile marcate în figură prin săgeți. Se precizează că:
matricea ratelor de generare tip Poisson a pachetelor este Λ ;
fiecare sistem de transmisiuni funcționează ca un sistem M/M/1;
6. Rețele de sisteme cu șiruri de așteptare
47
lungimea pachetelor urmează o distribuție exponențială, de medie 800L biți;
capacitatea fiecărui sistem de transmisiuni este 20C kbiți/sec;
identitatea fiecărui sistem este indicată pe arcul corespunzător. Să se determine: a) numărul total mediu de clienți în rețea; b) timpului mediu petrecut de un client prin rețea; c) limita lungimii medii a pachetelor pentru care rețeaua iese din starea de echilibru; d) care sistem este cel mai solicitat din punct de vedere al numărului mediu de clienți; e) ce relație sursă-destinație este cea mai defavorizată în privința întârzierii medii a pachetelor prin rețea.
Indicații: Pentru a facilita completarea matricelor de tranzit caracteristice celor 7 sisteme de transmisiuni s-au detaliat, în figura 6.4.3, rutele folosite de fiecare nod sursă pentru îndrumarea pachetelor emise ele spre toate destinațiile din rețea. Componența matricelor de tranzit este precizată în tabelul 6.4.1.
Ratele i de sosire a pachetelor în fiecare sistem se calculează conform relației
6.4.3, și anume prin înmulțirea, linie cu linie, a matricei Λ cu matricele de tranzit iD
corespunzătoare. Se obțin rezultatele: 141 ; 192 ; 2243 ; 1565 ;
217 pachete/sec
Se verifică apoi dacă traficul oferit fiecărui sistem are o valoare subunitară
( 1 iii ), știind că 25 L/Ci pachete/sec. Cum, pentru cazul ales condiția este
verificată pentru toate sistemele, se poate trece la evaluarea indicatorilor de performanță ceruți, folosind expresiile (6.4.4) - (6.4.7). Se obțin rezultatele:
a) 36277
1,N
iii
i
pachete ;
b) 547050
36271 7
1,
,T
iii
i
sec;
c)
90902220mini
,//CL i kbiți;
d) sistemele #3 și #4 sunt încărcate cu cel mai mare număr de clienți, și anume:
33743 ,NN pachete
e) cele mai mari întârzieri corespund relațiilor realizate pe cele mai lungi trasee, și
anume: sec și 1AET sec. De observat că relațiile complementare nu suferă
aceleași mari întârzieri, având în vedere că rutele respective sunt mult mai scurte,
comportând doar câte un tranzit intermediar, și anume: 240,T FC sec și sec. Cea
mai rapidă relație este A B , cu 090,T BA sec.
0 2 1 3 1 1
2 0 2 1 2 2
1 1 0 2 3 1
1 3 1 0 1 2
3 1 2 1 0 2
2 1 3 1 1 0
Λ
D c FB
F A
E72
6
5
3
A
B C
D
E
1
2
3
45
76
F
A B F
E D C
1 6
7
4 3
B F A
E D C
6 5
74 3
C B F
E D
A56
7
4
2
5F A D CE
71 4 3B
4E D F AB
23 6 5C
Figura 6.4.3: Rețea cu rutare deterministă
INGINERIA TRAFICULUI
48
Tabelul 6.4.1: Matricele de tranzit ale sistemelor de servire a pachetelor
No
du
ri
su
rse Noduri destinații
A B C D E F A B C D E F A B C D E F
A 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
C 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
D 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
E 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1
F 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1D 2D 3D
A 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
B 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
C 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
D 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
E 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
F 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
4D 5D 6D
A 0 0 1 1 1 0 B 0 0 1 1 1 0
C 0 0 0 1 1 0
D 0 0 0 0 1 0
E 0 0 0 0 0 0
F 0 0 1 1 1 0
7D
6.4.2. Rutare probabilistică
Acest model este adecvat situațiilor în care rețeaua are o complexitate sporită atât din punct de vedere al topologiei, cât și al algoritmilor de rutare, ceea ce permite a se considera că pachetele sunt îndrumate spre ieșirile din noduri în mod aleatoriu, fără a mai ține cont de o anumită adresă de destinație. În această ipoteză, relațiile de calcul al performanței rețelei sunt asemănătoare cu cele deduse în cazul rutării deterministe, maniera de calcul al ratelor de intrare în fiecare sistem de transmisiuni fiind însă diferită (vezi aplicația ce urmează).
Aplicația 6.4.3
Fie rețeaua din figura 6.4.4(a) în care nodurile 1 și 5 sunt "surse" (de accesa al pachetelor în rețea), iar nodurile 3 și 4 sunt noduri "destinație" (de ieșire din rețea). Se precizează că:
- lungimea pachetelor urmează o distribuție exponențială de medie 0,8 kbiți; - capacitatea fiecărui sistem de transmisiuni, ce funcționează după modelul M/M/1, este
de 8 kbiți/sec,
- matricea P a probabilităților de rutare prin rețea, și, respectiv, matricea Λ a ratelor de sosire în rețea (în pachete/sec) Indicație: Conform valorilor precizate în matricea P se stabilesc mai întâi drumurile acceptate pentru îndrumarea fluxurilor de pachete între surse și destinații pentru cele 4 comunicații posibile. Planurile de îndrumare sunt ilustrate în imaginile (b) și (c) din figura 6.4.4). Se determină apoi rata totală de tranzit a pachetelor prin fiecare din cele 7 sisteme, în raport cu participarea fiecăruia la îndrumarea fluxurilor de clienți corespunzătoare unei anumite relații sursă-destinație. Din consultarea celor 4 planuri de rutare se poate observa că legătura dintre nodurile 3 și 4 se folosește bidirecțional, ceea ce implică folosirea unui sistem separat pe fiecare sens.
6. Rețele de sisteme cu șiruri de așteptare
49
Expresiile de calcul al ratelor totale care încarcă fiecare sistem, din care s-au eliminat probabilitățile de rutare cu valori unitare, precum și sumele celor complementare, sunt prezentate în continuare:
51413121 ,P ,,,a pachete/sec;
7245353225413125512132 ,PPPPPP ,,,,,,,,,,b pachete/sec
933542254531422551422145511 ,PPPPPPPPPP ,,,,,,,,,,,,c pachete/sec
614532254132255132212 ,PPPPPPP ,,,,,,,,,c pachete/sec
25545354541314551 ,PPP ,,,,,,,d pachete/sec
54413151 ,P ,,,e pachete/sec
25545352541312551 ,PPP ,,,,,,,f pachete/sec
95445354225413125514221 ,PPPPPP ,,,,,,,,,,g pachete/sec
Pentru a ne asigura că aceste expresii sunt corecte, se verifică pentru fiecare relație în parte dacă fluxul intrat în nodul de destinație este egal cu cel generat de nodul sursă. De
exemplu, în cazul fluxului 1,4 trebuie să fie îndeplinită relația ce urmează, care este scrisă
la modul general, prin intermediul probabilităților de rutare:
1433221433225514225514551 ,,,,,,,,,,,, PPPPPPPPPPPP
Următorul pas este, ca și în cazul rutării fixe, verificarea condiției de echilibru
statistic, 1i ș.a.m.d.
6.5. Rețele fără revenire, cu pierderi distribuite
Studiul rețelelor fără revenire, ce prezintă pierderi distribuite, se poate face luând în considerare cazul particular al rețelei monoclasă din figura 6.5.1, alcătuită din două sisteme de servire cu așteptare și cozi finite. Pierderile apar datorită completării capacităților de memorare în cele două sisteme și se manifestă fie prin neacceptarea în rețea a unor clienți
c1
1
5 4
3
2
d
e
a b
g f
c2
1
5 4
3
2
d
e
a b
g f
(b)
(c)
c1
1
4
3
2
d
b
g f
5
c2
1
5 4
3
2
d
b
g f
2
1 3
4 5
a b
c
d
e f
g
(a)
0 0,25 0 0 0,75
0 0 0,4 0,6 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0,5 0 0,5 0
P
0 0 2 4 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 3 3 0
Λ
Figura 6.4.4: Exemplu de rețea cu rutare probabilistică: a) structura rețelei; căile
de rutare pentru comunicațiile de la: b) sursa 1 și c) sursa 5
INGINERIA TRAFICULUI
50
noi, cu rata 1L , fie prin respingerea lor după primul serviciu, cu rata 2L . Timpii de servire
din cele 2 sisteme urmează o distribuție exponențială de medie 11 / , respectiv 21 / , iar
sosirile în rețea sunt descrise de un proces Poisson de rată medie.
Considerând tN1 numărul de clienți în sistemul 1 la momentul t și tN2 numărul
de clienți în sistemul 2 la momentul t , atunci perechea tN,tN 21 reprezintă un proces
Markov continuu în timp, deoarece duratele de staționare în fiecare stare urmează o distribuție exponențială: ieșirea dintr-o stare se face după ce expiră fie un timp de servire (un client părăsește unul dintre sisteme la sfârșitul serviciului în acesta), fie un interval de timp între două sosiri succesive (un nou client este acceptat în rețea), ambii timpi urmând distribuții exponențiale. Prin urmare, diagrama de tranziții și stări a procesului se prezintă ca în figura 6.5.2.
Aplicația 6.5.1
Scrieți ecuațiile de echilibru global corespunzătoare diagramei din figura 6.5.2.
Indicație: se iau în considerare frontierele 91 ,, . Descompunerea ecuațiilor
globale de echilibru în ecuații de echilibru local (în vederea identificări unei relații de recurență) nu se poate aplica deoarece, de exemplu ecuația numărul 9 nu permite acest lucru. În acest caz, soluția se determină rezolvând sistemul de ecuații de echilibru global (în general, prin metode numerice).
* * * Aplicația 6.5.2
Fie o rețea tandem alcătuită din două sisteme de servire fără așteptare. Fiecare sistem deține doar o singură resursă. Să se determine performanța acestei rețele știind că
sosirea clienților urmează un proces Poisson de rată medie 10 pachete/sec, iar timpii de
servire în sisteme urmează o distribuție exponențială de medie 1011 21 ,// sec.
1
2
Sistem 1 Sistem 2
1q
1L
2L
2q
Figura 6.5.1: Lanț deschis cu două sisteme uni-server cu pierderi
1
3 4
9
1
2
0, 1
k1-1,0
1
2
0, 0
1, 1
1,0
k1 -1, 1 k1,1
2
k1, 0
1
2
2 1
1
5 6 7
8
1
2
0, k2
k1-1,k2 -1
1
2
0,k2 -1
1, k2
1,k2 -1
k1 -1, k2 k1, k2
2
k1, k2 -1
1
2
2 2
1
k1=1+q1 ; k2=1+q2
Figura 6.5.2: Diagrama de stări și tranziții pentru lanțul de 2 sisteme cu șiruri finite
0,1
1 2
1,1
1,0 0,0
2
1
Figura 6.5.3: Diagrama de stări și tranziții pentru lanțul cu 2 sisteme uni server
6. Rețele de sisteme cu șiruri de așteptare
51
Indicație: Conform datelor din enunț, diagrama de tranziții se prezintă ca în figura
6.5.3. Se fac notațiile: 11 / , 22 / și se determină probabilitățile de stare, pe
baza ecuațiilor de echilibru global. Rezultă astfel următoarele expresii de calcul:
1212100 1
,p ; 00210 ,, pp ;
0021
221
11 ,, pp
; 00
21
21101 1 ,, pp
cu valorile numerice: 2501000 ,pp ,, ; 125011 ,p , ; 375001 ,p , .
Performanța rețelei se apreciază prin intermediul următorilor indicatori:
a. probabilitatea de pierdere – definită ca raport pe termen lung dintre numărul
tNL al clienților respinși de rețea în intervalul t și numărul tNa al clienților sosiți la
intrarea rețelei în același interval de timp, adică:
tN
tNp
a
L
tL
lim
Pentru a determina această probabilitate, se folosește schema din figura 6.5.4 care precizează bilanțul ratelor de pierdere și de servire ce caracterizează rețeaua analizată. Pe baza acestei scheme, se stabilește că numărul mediu de clienți respinși de rețea, într-un interval t , este:
11
1101
100011011111101 ,
,,
,,,,,,,L p
pp
ppppttppptN
Întrucât numărul mediu de clienți sosiți în respectivul interval este ttNa ,
înseamnă că, în urma calculelor, se obține: 6250,pL .
b. probabilitatea de blocare a rețelei - folosind noțiunea de probabilitate de
disponibilitate, A , pentru un sistem de a accepta clienți în momentul t , expresia
probabilității de blocare la nivelul rețelei se poate scrie în forma: 211 AApB , dacă
disponibilitățile celor două sisteme sunt: 10001 ,, ppA și 01002 ,, ppA . Cum era
de așteptat, dat fiind natura poissoniană a procesului "sosirea clienților la intrarea în rețea",
relațiile de calcul al celor două probabilități, Lp și Bp , sunt identice.
c. rata medie de servire a rețelei: 37501 ,pLd clienți/sec
d. numărul mediu de clienți în rețea: 8750,pjiN j,ii j clienți
e. timpul mediu petrecut de un client în rețea – calculat prin aplicarea relației lui Little pentru fiecare sistem în parte, adică:
10
1
1000
1101
1
11 ,
pp
ppNT
,,
,,
sec și
10
1
11102
1110
2
22 ,
pp
ppNT
,,
,,
sec
Cum un client servit de rețea trebuie să parcurgă cele două sisteme înlănțuite, timpul
total de tranzit este: 2021 ,TTT sec.
f. gradul de utilizare a resurselor:
1 (1,0) (1,1)( )L p p
1 1 (1,0) (1,1)
(0,0) (0,1)
( )
( )
p p
p p 2
2 2 (0,1) (1,1)
1 (0,0) (1,0)
( )
( )
p p
p p
2 1 (0,1) (1,1) 1 (1,1)( )L p p p
1
Figura 6.5.4: Bilanțul ratelor de servire și de pierdere
INGINERIA TRAFICULUI
52
5011011 ,ppg ,, și 375011102 ,ppg ,,
6.6. Rețele cu formă produs
Rezultatele obținute în capitolul 6.5 urmează a fi generalizate pe parcursul acestui capitol, luând în considerare rețele de complexitate sporită a căror probabilități staționare de stare au, în continuare, forma produs. Generic, aceste rețele poartă denumirea de "rețele cu formă produs" (product-form queueing networks), sau "rețele separabile". Termenul a fost introdus în 1963 de către J.R. Jackson, care a analizat rețelele deschise cu distribuții exponențiale, atât pentru timpii de servire, cât și pentru inter-sosiri (timpii dintre două sosiri succesive), și disciplina FIFO de preluare din cozi. Mai târziu, 1967, analiza a fost extinsă de către W.J. Gordon și G.F. Newell pentru rețelele închise. În cazul acestor rețele, atât deschise, cât și închise, se poate obține o soluție pentru probabilitățile de stare, într-o manieră simplă și eficientă, exprimată ca un produs de factori care reprezintă probabilitățile de stare a fiecărui șir. Contribuții ulterioare au condus la considerarea rețelelor de tip BCMP, 1975, și Kelly, 1978, care extind aplicabilitatea formei produs și la alte distribuții pentru timpii de servire și inter-sosiri, precum și discipline de servire, adaptate rețelelor actuale de comunicații, cu o diversitate largă de clase de clienți. Existența soluțiilor sub forma produs PF (Product Form) este garantată de una din proprietățile ce urmează:
Proprietatea de echilibru local LB (Local Balance) – precizează faptul că rata cu care procesului CTMC (Continuous Time Markov Chains) asociat rețelei părăsește o stare,
, datorită finalizării serviciului oferit de stația i unui client aparținând lanțului r este egală
cu rata cu care procesul intră în aceeași stare cu ocazia sosirii în același șir a unui client similar. De reținut că dacă probabilitățile staționare de stare, p , verifică ecuațiile de echilibru
local, atunci ele satisfac și ecuațiile de echilibru global, dar nu și reciproc.
Proprietatea M M , ce se traduce prin "Markov implică Markov" – un șir are
această proprietate, dacă și numai dacă șirul transformă un proces Poisson de intrare într-un proces Poisson de ieșire. Matematic se poate demonstra că o rețea de șiruri are soluția sub formă de produs dacă și numai dacă toate șirurile sale au proprietatea M M .
Proprietatea de echilibru al șirului (stației) SB (Station - Balance) – se spune că disciplina de servire a șirului are proprietatea SB dacă rata de servire a clienților dintr-o anumită locație din șir este proporțională cu probabilitatea ca, la sosire, un client să ocupe respectiva poziție. Cu alte cuvinte, în cazul șirurilor cu poziții diferențiate, rata cu care clienții intră într-o locație este egală cu rata cu care acești ies din aceasta. Matematic, se poate demonstra că rețelele în care toate stațiile dețin proprietatea SB au o soluție în forma-produs. Reciproca, în schimb, nu este adevărată.
Relațiile de implicare, atât între aceste proprietăți, cât și între ele și proprietatea de existență a soluției sub formă produs, sunt reprezentate grafic în figura 6.6.1.
6.6.1. Rețele Jackson
Rețelele deschise cu revenire sunt o categorie folosită mai ales în modelarea rețelelor de calculatoare, în care îndeplinirea unei activități (de exemplu, calcul cooperant) presupune deseori reveniri prin rețea. Literatura de specialitate, consacrată acestei categorii de rețele, prezintă mai multe modele matematice de rețele deschise cu revenire, care se
PF MM
pentru toate şirurile
SB pentru toate şirurile
LB
Figura 6.6.1: Relațiile între proprietăți
6. Rețele de sisteme cu șiruri de așteptare
53
diferențiază funcție de ipotezele luate în considerare. Dintre aceste modele, cel mai familiar este modelul rețelelor Jackson, care impune următoarele ipoteze:
rețeaua este parcursă de o singură categorie de clienți,
numărul total de clienți admiși în rețea este nelimitat,
fiecare din cele K stații (sisteme de servire cu șiruri de așteptare) au sosiri de tip Poisson, iar clienții pot părăsi rețeaua prin orice sistem,
timpii de servire sunt distribuiți exponențial în orice sistem,
toate șirurile de așteptare din stații folosesc disciplina FIFO,
o stație i dispune de is servere identice, cu rată de servire i ( K,i 1 ),
ratele de sosire într-o stație și cele de servire caracteristice stației, depind de
numărul in de clienți prezenți, adică se acceptă o sosire și servire dependentă de
stare.
În figura 6.6.2 este prezentă structura generală a unei rețele Jackson. Sursa externă,
considerată a fi "stația externă" de identitate 0 , generează clienți conform unui proces
Poisson de rată . Acești clienți sunt preluați de rețea, care îi distribuie probabilistic celor
K stații, iar acestea, după definitivarea prelucrărilor ce le revin, îndrumă clienții fie spre
celelalte stații, fie spre exteriorul rețelei, "stația externă" 1K . În acest fel, clienții suferă prelucrări repetate în cadrul rețelei, putând reveni inclusiv prin sisteme tranzitate anterior. Dirijarea clienților în rețea se face probabilistic, semnificațiile probabilităților marcate în figura 6.6.2 fiind:
i,p0 probabilitatea ca un client ce vine din exteriorul rețelei (stația virtuală 0) să se
îndrepte către stația i , , astfel încât
K
i i,p1 0 1.
j,ip probabilitatea ca un client servit de stația i să fie dirijat către o altă stație j ,
astfel încât
1
11
K
ij,j j,ip (destinația externă fiind și ea inclusă ca stație 1K ).
Vectorul de stare Kn,,n,n 21n , caracteristic rețelei, precizează numărul de
clienți în fiecare sistem și este caracterizat de o anumită probabilitate,
nN nNn ppnotat
Pr , ce poate fi determinat pe baza cunoașterii tuturor probabilităților
de tranziție și rezolvând sistemul ecuațiilor de echilibru global; aceste ecuații se scriu, de exemplu, folosind o diagramă de tranziții ca cea reprezentată în figura 6.6.3.
Destinația externă a clienților ”sistem
virtual #(K+1)”
0,kp
Sursa externă de clienți ”sistem
virtual #0”
1,0p
,0kp
1,0p
1,kp
,1kp
1 1( )n
Sistem #1
Sistem #K
( )k k
n
Figura 6.6.2: Structura generală a rețelei Jackson
INGINERIA TRAFICULUI
54
Diagrama aparține de fapt unui proces de naștere și moarte cu număr infinit de stări,
pentru i și j oarecare, Kj,i 1 . De precizat că notația 0100 ,,,,,i 1 reprezintă
"vectorul unitate pe poziţia "i în care valoarea 1 apare doar pentru elementul de rang i ,
toate celelalte elemente ale sale fiind 0 . Ecuațiile de echilibru global, corespunzătoare
fluxurilor probabilistice de intrare și ieșire care străbat frontiera de referință, , numite ecuațiile Champman - Kolmogorov, sunt de forma următoare:
, 0,
1 1
,0
probabilitatea de rata de intrare a părăsi sistemul în starea ( )
rata totală de părăsire a stării ( )
( ) (1 )
( 1)
i
k k
i i i i i
i i
i i i
i
n p p p p
n p
n n 1
n
n a
14 2 43 1 2 3
1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 43
11
,
1 1
( 1)
i
i j
k
i
k k
j j j i
i j
p
n p p
n 1
n 1 1
4 4 2 4 43
1 4 4 2 4 43
(6.6.1)
Ținând seama că toate stațiile au șiruri infinite de așteptare, rezolvarea sistemului format din ecuațiile de balans reprezintă o problemă dificilă, de aceea vom preciza doar concluziile ce le implică. Aceste concluzii reprezintă de fapt teorema lui Jackson, care se enunță astfel: Considerând că ratele de servire au expresia:
iiii
iiiii sns
snnn
pentru
pentru1 (6.6.2)
și că se respectă condițiile de staționaritate: iii sn , atunci, pentru oricare stare posibilă
Kn,,n,n 21n a rețelei, probabilitatea de stare se exprimă sub formă produs, și
anume:
KK nNnNpp PrPrPr 11 nNnNn (6.6.3)
unde ii nN Pr este probabilitatea de stare a sistemului i de tip M/M/s la care rata
sosirilor este i , iar rata servirilor este 1ni .
Ținând cont de legăturile din rețea, ratele de sosire i , se determină scriind și
rezolvând următorul sistem de ecuații de trafic:
K
ij,j ji,ji,i pp10 , pentru 1,i N Ki 1 (6.6.4)
0,ip
,( )
i i i in p
,( )
i i i jn p
,0( 1)
i i in p
,( 1)
j j j in p
n
in 1
ip ,0 ,0( )
i i in p
in 1
i j n 1 1
Figura 6.6.3: Diagramă de tranziții și stări pentru rețele Jackson deschise
6. Rețele de sisteme cu șiruri de așteptare
55
sau, în formă matricială: PΛqΛ (6.6.5)
în care:
K,,, p,,p,p 02010 q este vectorul probabilităților de îndrumare la intrarea în rețea,
j,ipP este matricea probabilităților de îndrumare în rețea,
K,,, 21Λ este vectorul ratelor de intrare în fiecare sistem.
Dacă matricea P are liniile independente, condiție îndeplinită în cazul rețelelor deschie, soluția sistemului este:
qΛ
I P ( I fiind matricea unitate) (6.6.6)
Ținând cont de conservarea afluenței de clienți la bornele rețelei, ceea ce înseamnă că, dat fiind lipsa pierderilor, pentru intrarea și ieșirea din rețea este caracteristică aceeași rată, este permisă scrierea relației:
iK
i K,ip 1 1 (6.6.7)
Cu acestea, folosind iterativ ecuațiile de balans local, scrise pe baza unei diagrame complete de stări, se ajunge la expresia detaliată a probabilității de stare a rețelei în forma:
K
i
n
mi
ii
mpp
1 10n (6.6.8)
unde 0 este un vector cu K elemente, de forma 0,0, ,00 L . În consecință, relația de
normare, 1n np , ne conduce la expresiile pe baza cărora se pot calcula 0p și np .
Un caz particular, frecvent utilizat în analiza rețelelor de telecomunicații, consideră că toate sistemele din rețea sunt de tipul M/M/1. În această situație și presupunând că se
respectă condiția de stabilitate pentru toate sistemele rețelei, i,iii 1 , atunci:
K
i ip1
10 (6.6.9)
de unde rezultă că:
ini
K
i ip 11n (6.6.10)
Algoritmul bazat pe teorema lui Jackson pentru calcularea probabilității de stare a rețelei trebuie derulat în următorii pași:
Pasul 1: calcularea ratei de sosire a clienților în fiecare șir prin rezolvarea sistemului ecuațiilor de trafic (6.6.4) sau (6.6.5)
Pasul 2: considerând că fiecare stație este un sistem M/M/s se verifică staționaritatea și, în caz afirmativ, se calculează probabilitățile de stare și indicatorii de performanță doriți, cu ajutorul expresiilor cunoscute.
Pasul 3: folosind (6.6.10) se calculează probabilitatea de stare a rețelei.
Aplicația 6.6.1
Fie rețeaua din figura 6.6.4, formată din 3 șiruri de tip monoserver FIFO, alimentată
cu rata externă 5 clienți/sec. Să se calculeze indicatorii de performanță și probabilitatea
ca rețeaua să se găsească în starea 2,0,1 , dacă
1 1
0,5 2 3
2 3
0,5
Figura 6.6.4: Rețea Jackson cu 3 stații
INGINERIA TRAFICULUI
56
timpii de servire a clienților sunt exponențial distribuiți, ratele de servire fiind specifice pentru
două regimuri de lucru: a) 751321 , clienți/sec, sau b) clienți/sec și
43 3 4 clienți/sec.
Rezolvare: Ratele de intrare în fiecare sistem se determină prin rezolvarea sistemului ecuațiilor de trafic:
101 ,p ;
313231212 5050 ,,pp ,,
212321313 50 ,pp ,,
obținându-se în final că: 51 , 572 , și 103 clienți/sec.
Pentru a se verifica, pentru cele două situații propuse, condiția de stabilitate se calculează valorile intesității de trafic oferit fiecărui sistem:
a) 501 , , 7502 , și 783 / , deci, în această situație, continuarea calculelor nu
mai are sens, datorită instabilității ultimului sistem.
b) 501 , , 7502 , și 7503 , . În acest caz se poate continua cu calcularea
valorilor solicitate, toate șirurile respectând condiția de stabilitate.
- probabilitatea stării 1, 2, 1 a rețelei este:
3133
022
211102102 1081257111
321
,pppp NNN,,
- numărul mediu de clienți prezenți în rețea:
513113
1
3
1 i i iiiNN clienți,
- timpul mediu de tranzit prin rețea: Little
5/5 1secT N .
6.6.2. Rețele Gordon-Newell
Gordon și Newell consideră rețelele închise cu așteptare, supuse acelorași ipoteze ca și rețelele Jackson, singura diferență, majoră de altfel, fiind aceea că nici un client nu
intră în rețea sau nu iese din rețea, adică 010 K,ii, (din această cauză, în unele
lucrări, pentru aceste rețele se folosește chiar denumirea de Jackson închise). Această diferență are, însă, un impact semnificativ, ce generează următoarele caracteristici specifice:
în rețea circulă permanent aceiași clienți, în număr constant,
K
i iNN1
,
rețeaua prezintă un număr finit de stări posibile, egal cu 1
1
KKNCM ,
corespunzătoare modului în care clienții sunt distribuiți sistemelor,
ratele de intrare în fiecare sistem depind de valoarea lui N , motiv pentru care
este necesară substituția Nii . Totuși, pentru simplitatea scrierii, vom
considera în continuare echivalente cele două notații.
ratele de intrare în sisteme, Ni , nu sunt legate de o rată externă de sosire. În
acest caz, sistemul de ecuații de trafic (6.6.4) devine:
NpN jK
j i,ji 1 pentru K,i 1 (6.6.11)
sau, scris în formă matriceală:
Λ Λ P , unde i,jpP (6.6.12)
Notațiile Λ și P au aceleași semnificații ca și în cazul rețelelor Jackson deschise, dar, de data aceasta, matricea P nu mai are toate liniile independente fiind, deci, neinversabilă. În consecință, soluțiile sistemului nu mai sunt unice, motiv pentru care, una
din ratele de intrare se consideră rată globală, N . Această atribuire este echivalentă cu a
6. Rețele de sisteme cu șiruri de așteptare
57
considera rata relativă de vizitare prin respectivul sistem egală cu 1 și permite ca sistemul (6.6.12) să aibă soluție unică.
