Redefinice soustavy jednotek SI - cvut.czweb.cvut.cz/ces/mt/SI_jednotky_2019.pdf–Babylonskýsystém(příklad–jednotky délky) zdroj: Wikipedia 50. pravidelné setkání zájemců

Redefinice soustavy jednotek SI

50. pravidelné setkání zájemců o mikrovlnnou techniku, Praha, 15. 5. 2019

Martin Hudlička

Český metrologický institut

Odd. primární metrologie vf elektrických veličin

[email protected]

1

mailto:[email protected]

• Historie soustavy SI

• Potřeba změny SI jednotek

• Přípravy na změnu– mol

– kilogram

– ampér

– kelvin

• Důsledky pro uživatele

• Měření vf elektrických veličin

Obsah

50. pravidelné setkání zájemců o mikrovlnnou techniku, Praha, 15. 5. 2019 2

Historie soustavy SI

• různé měřicí systémy používané už tisíce let, některé z nich v čase přetrvaly a navázaly na ně další systémy

• většinou odvozeny z rozměrů lidského těla (často rozměry aktuálního vládce)

– Babylonský systém (příklad – jednotky délky)

zdroj: Wikipedia



– Egyptský systém

měření délky, objemu, hmotnosti, času

bronzový standard objemu

standard hmotnosti

zdroj: Wikipedia



• mnoho jiných oficiálních měřicích systémů velkých civilizací (starověké Řecko, Řím, ...), některé systémy převzaty

• Anglický systém – používaný v Anglii do roku 1826, velké množství jednotek pro různé obory měření

– objem (drachma, čajová lžička, pinta, galon, ...)

– délka (palec, stopa, yard, míle, dlaň, ...)

– hmotnost (zrno, libra, kámen, unce, ...)

• imperiální systém (po 1824) používaný v Britském impériua zemích v britské sféřevlivu

zdroj: D. Pisano, Flickr



• angloamerický měrný systém (customary units) – po nezávislosti USA, založen na Anglickém systému, ale existují významné rozdíly

– příklad: objemové jednotky



• hlavní problém – mnoho jednotek, konverze mezi jednotkami často jiná než desítková

loket

stopa

dlaň

zdroj: METAS



• metrický systém vyvíjen od 1791 komisí francouzské Akademie věd (použití desítkového systému a systémupředpon pro vyjádření násobků), přidalo se mnoho zemí, prototypy metru a kilogramu vlastněny francouzskou vládou

• 1875 – Metrická konvence, 17 zemí (pouze metr a kilogram), byla vyrobena sada 30 prototypů metru a 40 prototypůkilogramu zhotovených z 90% Pt a 10% Ir

zdroj: Wikipedia



• kilogram = hmotnost 1 litru vody (atmosférický tlak, teplota3,98 °C)

• metr = vzdálenost mezi dvěma značkami na Pt-Ir tyči(původně ~1670 založen na kyvadle, od ~1790 definován jako1/10 000 000 vzdálenosti mezi severním pólem a rovníkem procházející Paříží)

• definice metru nedokonalá (nepravidelný tvar země)

zdroj: PTB muzeum



• Generální konference pro míry a váhy (ve francouzštiněConférence générale des poids et mesures – CGPM), založená1875, sjednotila mnoho mezinárodních organizací s cílem zřídit definice a standardy pro nový systém

• 1921 – snahy začlenit i další fyzikální veličiny (zvláště elektrické) do Metrické konvence

• ~1945 – ve světě používáno mnoho různých měřicích systémů (modifikace metrického systému, angloamerický systém, imperiální systém, ...) – nutnost změny



• 1960 – 11. zasedání CGPM; přijato 16 usnesení, systém pojmenován Mezinárodní soustava jednotek(Le Système International d'Unités, SI)

• metr, kilogram, sekunda, ampér, stupeň Kelvina, kandela

• základní jednotky odvozeny z neměnných konstant přírody (např. rychlost světla ve vakuu), trojného bodu vody a jednohofyzického artefaktu (kilogram)

• odvozené jednotky - vyjádřeny pomocízákladních nebo jiných odvozených jednotek (1 Pa = kg·m-1·s-2, 1 Ω = kg⋅m2⋅s−3⋅A−2 atd.)

• 1971 – k šesti základním jednotkám přidána jednotka mol



• definice jednotek SI (před 2019):

kilogram (hmotnost)

Kilogram je jednotkou hmotnosti; je ekvivalentní hmotnostimezinárodního prototypu kilogramu.

• 1 mezinárodní prototyp (Paříž)

• 6 sesterských kopií (Paříž)

• 10 pracovních kopií (Saint-Cloud, Francie)

• národní prototypy (cca 69 ks v různých zemích)

• porovnání s mezinár. prototypem cca každých 40 let




metr (délka)

Metr je dráha, kterou světlo ve vakuu urazí za časový interval 1/299 792 458 sekundy.

• realizace třemi způsoby– měřením času, který světlo potřebuje na překonání určité vzdálenosti

– použití vlnové délky záření, jehož kmitočet je změřen

– použitím vlnové délky primárního standardu – laseru stabilizovaného k jednomu z přechodů vybraných prvků




metr (délka)

• Česká republika – kvantový standard délky založený na He-Ne laseru ( = 633 nm, = 612 nm a = 543.5 nm) stabilizovaného k hyperjemnému přechodu atomu jódu

zdroj: ČMI




sekunda (čas)

Sekunda je doba trvání 9 192 631 770 period záření odpovídajícípřechodu mezi dvěma hyperjemnými hladinami atomu césia133Cs v základním stavu při teplotě 0 K.

• ČR – Ústav fotoniky a elektroniky, AV ČR

• soustava dvou komerčních cesiových hodin HP 5071A (rel. stabilita ~5·10-13 vůči ideální realizaci)

zdroj: AV ČR, ÚFE




sekunda (čas)

zdroj: PTB

- atomy vyzařují a absorbují elektromagnet. vlnění

- přechody mezi dvěma energet. stavy -> foton je vyzářen nebo pohlcen s kmitočtem f0 = (E2–E1)/h

- atomy jsou vybuzeny do jednoho z energet. stavů, zaznamenává se vybuzení druhého stavu

- f0 ~ 9.2 GHz pro césium- definice zavedena již v

roce 1960, dosud platná




ampér (elektrický proud)

Ampér je stálý elektrický proud, který při průchodu dvěmapřímými rovnoběžnými nekonečně dlouhými vodičizanedbatelného kruhového průřezu umístěnýmive vakuu ve vzájemné vzdálenosti 1 metrvyvolá mezi nimi stálou síluo velikosti 2×10−7 newtonuna 1 metr délky vodiče.

zdroj: PTB





• přímá realizace – proudové váhy (Ampère, ~1900)

• Lorentzova síla působí mezi pohyblivou (modrá) a pevnou(červená) cívkou, kompenzována gravitační silou

• rel. nejistota ~5 ppm, závislé na přesnosti kg• nerovnoměrné rozložení elektrického proudu ve vodičích a

magnetického pole v prostoru kolem cívek

NIST, 1912





• nepřímá realizace – Ohmův zákon I = U/R, Josephsonův jev a kvantový Hallův jev umožňují velmi přesnou a stabilní realizaci jednotek [volt] a [Ω]

• není součástí SI, není považováno za realizaci -> viz později“kvantová SI”




kelvin (termodynamická teplota)

Kelvin je definován jako 1/273,16 termodynamické teplotytrojného bodu vody.

2005:

Definice je platná pro vodu s isotopickým složením definovaným přesně následujícím poměrem: 0,00015576 molu 2H na jeden mol 1H, 0,0003799 molu 17O na jeden mol 16O a 0,0020052 molu18O na jeden mol 16O.




kelvin (termodynamická teplota)

• přímá realizace (t [°C] = T – 273,15) – trojný bod vody

• ČR – teplotní stupnice – 196 °C až +1048.6 °C (trojné body a body tání H20, N, Hg, Cu, ...)

zdroj: ČMI




mol (látkové množství)

Jeden mol libovolné látky obsahuje tolik elementárních částicjako 0,012 kg atomu uhlíku 12C. Těmito částicemi můžou býtatomy, molekuly, ionty a další částice, nebo skupiny takovýchčástic.

• předmětem kritiky již od zavedení v roce 1971, jde spíše o parametrickou veličinu

• úzce spjatá s Avogadrovou konstantou NA

https://www.bipm.org/utils/en/pdf/SIApp2_mol_en.pdf


https://www.bipm.org/utils/en/pdf/SIApp2_mol_en.pdf



kandela (svítivost)

Kandela je svítivost světelného zdroje, který v daném směruemituje (vyzařuje) monochromatické záření o kmitočtu 540×1012

hertzů a jehož zářivost (zářivá intenzita) v tomto směru činí1/683 wattů na jeden steradián.

- historicky – zářová intenzita Iporovnávána s definovaným zdrojem záření (svíčka, později speciální lampy) pomocí detektoru (lidské oko)

- předpoklad vyzařování do jednoho směru a úzkého svazku záření

zdroj: PTB




kandela (svítivost)

• dnešní přímá realizace: uzavřená dutina v tepelné rovnováze(černé těleso) a absolutní kryogenní radiometr pro různévlnové délky v oboru viditelného/UV/IR spektra.

zdroj: ČMI



• Metrická konvence ve světě

60 členských států42 přidružených zemí4 mezinárodní organizace

metrický systém oficiálně přijat prakticky v celém světě (ačkoliv ze zvyku jsou stále používány paralelně i starší jednotky)

výjimky: USA, Myanmar, Libérie

(pozn.: USA jedním z prvních signatářůMetrické konvence v roce 1875, ale stále SI jednotky oficiálně nepoužívají !!!)

zdroj: Wikipedia





– kilogram

– ampér

– kelvin



Obsah


Potřeba změny SI jednotek

• hlavní motivace pro změnu definice SI jednotek

– prototypy kilogramu během času měnísvou hmotnost (~desítky μg relativně k hodnotě z roku 1889; kontaminace (+) a čištění (-) prototypů)

– ampér je definován pomocí idealizova-ného a nereálného měřicího uspořádání

– kelvin, trojný bod vody ovlivněn nečistotami a isotopickým složením; teplota není aditivní veličinou a pro rozšíření stupnice jsou potřeba další definice

zdroj: Wikipedia



• současná SI: hodnoty základních konstant specifikovány; naše nejlepší měřicí schopnosti se odrážejí v těchto hodnotách

• nová SI: sedm základních jednotek definováno pomocí určení sedmi „definujících konstant“, které tyto jednotky obsahují



• veličiny zvolené pro „definující konstanty“ byly měřitelné s vysokou přesností už ve „staré“ SI soustavě (rel. nejistota měření ideálně menší než 10–8)

• definice sekundy pomocí cesiového normálu byla zachována (současné césiové normály dosahují rel. nejistoty ~10–16, optické atomové hodiny až 10–18, nicméně žádný ze současných principů se neukázal jako výrazně lepší, než ostatní)

zdroj: NPL



• revize SI si neklade za cíl být pro každodenní použití

• milník v historii lidstva – od starověku až po 18. a 19. století byly měřicí jednotky používány regionálně

• číselné hodnoty sedmi konstant spjatých se základními jednotkami – „definující konstanty“ – budou specifikovány na pevný počet desetinných míst

• sedm základních jednotek (s, m, kg, A, K, cd, mol) bude nově definováno nepřímo

• číselné hodnoty konstant se mohou stále měnit, pokud se v budoucnu zpřesní experimenty

• i Marťan by měl rozumět definici kilogramu,pokud rozumí kvantové fyzice



• nová „kvantová“ SI

https://www.bipm.org/utils/common/pdf/CGPM-2018/26th-CGPM-Resolutions.pdf




• nová „kvantová“ SI







– kilogram

– ampér

– kelvin



Obsah


Přípravy na změnu

• jak realizovat „nové“ SI jednotky?

• pro sekundu a metr (a odvozené jednotky ohm a volt) –extrémně přesné měřicí procedury již existují (césiovéatomové hodiny, šíření světla a kvantový Hallůvjev/Josephsonův jev), návaznost přímo na ΔνCs, c, h a e

• pro kilogram, mole, ampér a kelvin bylo nutné vyvinout měřicí postupy srovnatelné přesnosti

• CODATA – pokytuje soubor mezinárodně doporučených hodnot fyzikálních konstant; požadované relativní nejistoty měření pomocí různých experimentů musí být konzistentní a srovnatelné

• 20. květen 2019 – implementace „nové“ soustavy jednotek SI (světový den metrologie)





– kilogram

– ampér

– kelvin



Obsah


Přípravy na změnu - mol

• snahy určit Avogadrovu konstantu pomocí křemíku (3 isotopy) cca od roku 2003

• ve vysoce obohaceném křemíku 28Si se vyskytují isotopy 29Si a 30Si jako nečistoty, jejichž podíl lze určit hmotnostní spektroskopií; pro experimenty použit cca 5 kg krystal Si

• 2011 – rel. nejistota ~210-8 dosažena po překonání velmi náročných experimentálních problémů

• určení počtu atomů v Si kouli o hmotnosti 1 kg

• Avogadrova a Planckova konstantyurčeny v jednom experimentu

• do roku 2018 byly požadovány alespoň 3 nezávislé experimenty

zdroj: PTB



• Avogadrova konstanta NA a Planckova konstanta h vztaženy přes molární Planckovu konstantu NAh = 3,9903127110(18)10−10 Js/mol (rel. nejistota měření 4,510-10)

• Rydbergova konstanta, rychlost světla a konstanta jemné struktury jsou měřitelné s mnohem větší přesností, než Planckova konstanta

Mu = molární hmotnostní konstanta = konstanta jemné strukturyR = Rydbergova konstantaAr

e = relativní atomová hmotnost elektronu



• počet atomů v křemíkové kouli

zdroj: PTB

1). počet atomů určen z objemu koule a rozměrů elementární krystalové mřížky 2). koule je zvážena a je určena hmotnost atomu křemíku

Problémy:• rušivý „plášť“ z SiO2

• teplota krystalu musí být známá ±0.001 K (expanze mřížky)

• atomové hmotnosti 28Si, 29Si a 30Si nutno svázat s 12C, tedy referenční hodnotou pro atomové hmotnosti(Penningova past)



• mezinárodní projekt Avogadro (2004 – 2011)

zdroj: PTB

- nečistoty: rentgenová interferometrie

- oxidace povrchu: rentgenová fluorescenční analýza a mnoho jiných technik

- objem koule: optická interferometrie používající kulové vlny (např. PTB Německo) nebo rovinné vlny(např. NMIJ Japonsko)

- hmotnost koule: vážení ve vzduchu a ve vakuu s pomocí speciálních artefaktů odvozených od 1 kg prototypu

- cena každé koule ~1 mil. €





– kilogram

– ampér

– kelvin



Obsah


Přípravy na změnu - kilogram

• dvě odlišné metody pro realizaci kilogramu

– křemíková koule (první experimenty v PTB, Německo) – viz realizace „nového“ molu

– wattové váhy (první experimenty v NPL,Velká Británie, a NIST, USA), experimentální metoda spojuje elektrické veličiny, kilogram, metr a sekundu

– obě realizace dosahují rel. nejistotyměření v řádu ~210-8

zdroj: PTB, NIST



• wattové váhy – Brian Kibble (~1970) přišel s myšlenkouvylepšených proudových vah

– 1. fáze: síla působící na vodič protékaný proudem v magnetickém poli je porovnána se silou působící na závaží o známé hmotnosti

– 2. fáze: stejné uspořádání, vodičem v magnet. poli se pohybuje a na jeho svorkách se indukuje napětí

– porovnáním rovnic z obou fází (eliminována magn. indukce) je vytvořen vztah mezi elektrickým proudem, napětím, gravitačním zrychlením a rychlostí – tyto veličiny lze měřit s mnohem větší přesností, než magnetickou indukci

– první experimenty NPL (UK), NIST (USA), později METAS (Švýcarsko) a další; stejný princip realizován různými experimentálními sestavami

– obrovské experimentální úsilí vedlo k dosažení rel. nejistoty ~210-8

– odkaz B. Kibbleho (1938-2016) – Kibbleovy váhy



zdroj: BIPM


1. fáze: statický experiment(vážicí režim)

Ampérův zákon

v radiálním magnet. polilze zjednodušit

proud

délka vodiče

magnetický tok

43


obě strany rovnice jednotka [watt]

zdroj: BIPM


2. fáze: dynamický experiment(režim pohybu)

Faradayův zákon

v radiálním magnet. polilze zjednodušit

ind. napětí

magnetický tok délka vodiče

rychlost

44


𝑓

𝑈=

2𝑒

𝑛1ℎ

• elektrické kvantové jevy: U ~ h/e, R ~ h/e2

𝑅 =ℎ

𝑛2𝑒2

n1, n2 = přirozená kvantová číslaf = kmitočet Josephsonova zařízení

ℎ =4𝑚𝑔𝑓

𝑓𝑔𝑓𝑚

nastavení n1 = n2 = 1fg = mikrovlnný kmitočet napětí měřeného ve vážicím režimufm = dtto v pohyblivém režimu

wattové váhy umožňují měření Planckovy konstanty h

M. Gläser, M. Borys, Rep. Prog. Phys. 72 (2009) 126101



• příklad: wattové váhy v NIST (USA)

- supravodivý magnet vytváří magnetické pole

- Michelsonův interferometr určuje rychlost

https://www.nist.gov/publications/details-1998-watt-balance-experiment-determining-planck-constant


https://www.nist.gov/publications/details-1998-watt-balance-experiment-determining-planck-constant




– kilogram

– ampér

– kelvin



Obsah


Přípravy na změnu – ampér

• ampér realizován dvěma způsoby

– Ohmův zákon I = U / R, proud I určen měřením R pomocí kvantového Hallova jevu a U pomocí Josephsonova jevu (vhodnější pro „velké“ proudy pA – μA)

– elektronický obvod, který měří elektrický proud počítáním elektronů, které projdou obvodem za určitý časový interval; návazné na elementární náboj e a kmitočet cesiového přechodu ΔνCs (vhodnější pro „nízké“ proudy fA – pA)



• ampér realizovaný pomocí Ohmova zákona

kvantový Hallův jev

zdroj: PTB

zdroj: ČMI

T = 0.35 K (helium)RH = 25812.807 Ω(a jeho celočíselnépodíly)B ~18 T (n=1)B ~10 T (n=2) atd.



• ampér realizovaný pomocí Ohmova zákona

Josephsonův jev –slabě vázané supravodiče, tunelový přechod

zdroj: PTB

T = 3.6 K (helium)

vnější magn. pole (střídavý proud) je přivedeno na strukturu, která vytváří přesné napěťové úrovně (převod U -> f )

zdroj: ČMI



• reprodukovatelnost diskrétních úrovní napětí a odporu byla lepší než přesnost, s jakou bylo možné realizovat jednotku ampér -> v roce 1988 byly zavedeny konstanty KJ-90 = 483 597,9 GHz/V a RK-90 = 25 812,807 Ω

• od 1990 – ampér realizovaný pomocí QHE a JE nebyl považován za realizaci jednotky, ale pouze za reprodukci (bez návaznosti na SI)

• „nová“ SI – elegantní ošetření tohoto problému:



• druhá realizace ampéru: nová definice založená na toku elektrického náboje -> potřeba elektronického obvodu, který je schopen měřit tok jednotlivých elektronů, I = n·e·f

• single-electron transport vyvíjen cca od 1980

- přidání elektronu do vodiče -> nutnost přivést energii

- čím menší „nábojový ostrůvek“, tím víc energie je potřeba

- nízké teploty (0,1 K pro 1 μm strukturu) -> Coulombova blokáda, tepelným působením již nelze přidat víc energie

zdroj: PTB



zdroj: PTB

elektrony „polapeny“ (lokalizovány) pomocí potenciálových bariér z polovodičů s nanometrovými rozměry; potenciál. bariéry lze generovat kolmo ke směru toku proudu

1). tunelové přechody (tenká vrstva izolantu mezi dvěma vodiči)

2). kvantové tečky, potenciálové bariéry proměnné výšky v polovodičích


• k přenosu jednotlivých elektronů kontrolovatelným způsobem jsou použity elektronové pumpy (single-electron pumps)


zdroj: PTB

- všechna tři napětí nulová -> nemohou procházet žádné elektrony- periodické střídání napětí na elektrodách -> elektrony se pohybují mezi „ostrůvky“ - statistická fyzika – některé tunelové přechody nejsou započítány pro f > 100 MHz ->

existují sofistikovanější SET s kontrolovatelnými potenciálovými bariérami

proudy typicky < 100 pA





– kilogram

– ampér

– kelvin



Obsah


Přípravy na změnu – kelvin

• Maxwell-Boltzmannovo rozdělení rychlostí

pravděpodobnostní rozdělení rychlostí částic v idealizovaných plynech

nitrogen molecules

veličinou charakteristickou pro toto rozdělení je mikroskopická termální energie kT

stanovením Boltzmannovykonstanty k je kelvin svázán s jednotkou energie, joule

mikroskopická termální energie kT není přímo měřitelná -> je nutné měřit některou z makroskopických veličin, které jsou s kT korelovány



• několik „primárních“ principů teploměru (nevyžadují kalibraci)



• akustický plynový teploměr– měří se teplotně závislá rychlost šíření zvuku v plynech; rychlost je úměrná

(kBT)1/2

– měření rychlosti zvuku vzácných plynů v kulovém rezonátoru

– problémy: čistota měřicího plynu, extrapolace tlaku do nuly, umístění akustických vysílačů a přijímačů uvnitř rezonátoru

M. Moldover, et al., Acoustic gas thermometry, Metrologia 51 (2014) R1–R19.

zdroj: PTB



• plynový teploměr založený na měření permitivity– při konstantní teplotě se určuje tlakově závislá hustota hélia, která je vztažena s

jeho permitivitou (dielektrickou konstantou)

– polarizovatelnost hélia byla v posledních letech určena s rel. nejistotou <10-6; permitivita je měřena z relativní změny kapacity kondenzátoru, ze kterého je nejprve vyčerpán vzduch (vakuum) a poté je naplněn héliem (p = 7 MPa)

– problémy: deformace stěn kondenzátoru vlivem velkých změn tlaku

zdroj: PTB

C. Gaiser, et al., Dielectric-constant gas thermometry, Metrologia 52 (2015) 217–226.





– kilogram

– ampér

– kelvin



Obsah


Důsledky pro uživatele

• hlavní důsledky– poslední artefakt (1 kilogram) bude nahrazen

– elektrická měření budou plně pokryta SI (přesný vztah mezi soustavamiSI a CGS bude pro elektrické veličiny porušen; magnetické veličiny z CGS nebudou používány)

– trojný bod vody bude nově určován experimentálně

– mol nebude do budoucna svázán s hmotností (role 12C končí)

• nová SI by měla platit alespoň dalších 100 let, pokud...– nebudou vyvinuty výrazně přesnější atomové hodiny

– nebudou objeveny další nové kvantové jevy

– nebudou objeveny nové fyzikální teorie, které budou redukovat počet vzájemně nezávislých fyzikálních konstant



• důsledky pro „běžné“ uživatele – žádné, nejistoty hluboko pod možnostmi komerčních měřicích systémů

• důsledky pro studenty – přepis částí učebnic

• důsledky pro vysoce přesná měření– KJ se změní o ~0.1 ppm – změna napěťových referencí,

KJ = 2e/h

– RK se změní o ~0.02 ppm – ovlivnění realizací QHR, RK = h/e2

– μ0 a 0 budou určovány experimentálně 𝑍0 =𝜇0

𝜀0

μ0 = 4[1+2.0(2.3)10-10] 10-7 H·m-1

nejistota ur(μ0) = ur() protože 𝜇0 = 𝛼2ℎ

𝑐𝑒2( = konst. jemné struktury)

– nejistoty napětí a odporu <0.1 ppm budou návazné na SI jednotky



• změna SI elektrických veličin oproti definici z roku 1990

N. Zimmermann et al., The Redefinition of the SI: Impact on Calibration Services at NIST, NCSLI Measure J. Meas. Sci., vol. 10, no. 2, 2015



• elektrické veličiny v CGS – μ0 a 0 zde neexistují

Ampérův zákon





– kilogram

– ampér

– kelvin



Obsah


Měření vf elektrických veličin

• intenzita elektrického pole

• optická excitace par atomů v uzavřené skleněné komoře(Rydbergův plyn)

• ~MHz až stovky GHz, citlivost ~0,01 mV/m, intenzity až kV/m


Měření vf elektrických veličin

• vf elektrický výkon, návaznost na kilogram a Planckovu konst.

• jedna ze slibných realizací návaznosti na SI je měření tlaku laserového záření (radiation pressure)

• 1 W až 23 W -> tlak záření cca 6.3 nN až 145.6 nN @15 GHz,teoreticky možné MHz až stovky GHz


Děkuji za pozornost


Documents

Redefinice soustavy jednotek SI - cvut.czweb.cvut.cz/ces/mt/SI_jednotky_2019.pdf–Babylonskýsystém(příklad–jednotky délky) zdroj: Wikipedia 50. pravidelné setkání zájemců