recursao

7/17/2019 recursao

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Funcoes Recursivas

Instituto de Computacao - UNICAMP

Disciplina MC102

7/17/2019 recursao


Funcoes Recursivas: Exemplos

Fatorial, SomaMaximo divisor comum

Sequencia de Fibonacci

Exponenciacao

Maximo de um vetor

Media de um vetor

Maior e menor de um vetor

Comprimento de uma string

Busca Binaria

Divisao de inteiros

Disciplina MC102

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Fatorial

n! = 1 × 2 × 3 · · · × n, 0! = 1

Disciplina MC102

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Fatorial

n! = 1 × 2 × 3 · · · × n, 0! = 1

fatorial (n − 1) −−−−−− > fatorial (n)?

Disciplina MC102

7/17/2019 recursao


Fatorial

n! = 1 × 2 × 3 · · · × n, 0! = 1


fatorial (n) = n ∗ fatorial (n − 1);fatorial (0) = 1.

Disciplina MC102

7/17/2019 recursao


Fatorial

n! = 1 × 2 × 3 · · · × n, 0! = 1


fatorial (n) = n ∗ fatorial (n − 1);fatorial (0) = 1.

fatorial (6) = 6 ∗ fatorial (5)= 6 ∗ (5 ∗ fatorial (4))= 6 ∗ (5 ∗ (4 ∗ fatorial (3)))

= 6 ∗ (5 ∗ (4 ∗ (3 ∗ fatorial (2))))= 6 ∗ (5 ∗ (4 ∗ (3 ∗ (2 ∗ fatorial (1)))))= 6 ∗ (5 ∗ (4 ∗ (3 ∗ (2 ∗ (1 ∗ fatorial (0))))))= 6 ∗ (5 ∗ (4 ∗ (3 ∗ (2 ∗ (1 ∗ 1)))))= 720.

Disciplina MC102

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Fatorial em C

fatorial (0) = 1;fatorial (n) = n ∗ fatorial (n − 1).

int fatorial(int n){

if (n == 0) return 1;

return n * fatorial(n-1);

}

Disciplina MC102

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Soma

Problema: calcular a soma 1 + 2 + 3 + · · · + n − 1 + n

Disciplina MC102

S

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Soma


soma(n) = n + soma(n − 1);soma(1) = 1.

Disciplina MC102

S

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Soma


soma(n) = n + soma(n − 1);soma(1) = 1.

soma(6) = 6 + soma(5)= 6 + (5 + soma(4))= 6 + (5 + (4 + soma(3)))= 6 + (5 + (4 + (3 + soma(2))))

= 6 + (5 + (4 + (3 + (2 + soma(1)))))= 6 + (5 + (4 + (3 + (2 + (1 + 1))))) = 21

Disciplina MC102

S C

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Soma em C

soma(1) = 1;

soma(n) = n + soma(n − 1).

/*version 1:-->chamar: a = soma(n);*/

int soma(int n){


return n + soma(n-1);}

/*version 2:--> chamar: a = somaR(n,0);*/

int somaR(int n, int s){

if (n == 0) return s;return somaR(n-1,n+s);

}

Disciplina MC102

S d l t d t

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Soma dos elementos de um vetor

Problema: calcular a soma dos elementos de um vetor v [0...n − 1](n elementos)

Disciplina MC102

S d l t d t

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/* algoritmo iterativo*/

int soma(int v[], int n){

int s = 0, i;

for (i=0; i< n; i++)

s + = v[i];return s;

}

Disciplina MC102

S d s l t s d t

7/17/2019 recursao





int soma(int v[], int n){

int s = 0, i;

for (i=0; i< n; i++)

s + = v[i];return s;

}

/* algoritmo recursivo*/

int soma_r(int v[], int n){

if ( n == 1) return v[0];

return v[n-1] + soma_r(v,n-1);

}

Disciplina MC102

Maximo Divisor Comum

7/17/2019 recursao



mdc (a, b ) = mdc (b , a mod b );mdc (a, 0) = a.

Disciplina MC102


7/17/2019 recursao



mdc (a, b ) = mdc (b , a mod b );mdc (a, 0) = a.

mdc (642, 36) = mdc (36, 30)= mdc (30, 6)= mdc (6, 0)= 6.

Disciplina MC102

Maximo Divisor Comum em C

7/17/2019 recursao


Maximo Divisor Comum em C

mdc (a, 0) = a;mdc (a, b ) = mdc (b , a mod b ).

/* Func~ao para calular o mdc de a e b: a>=b >=0 */

int mdc(int a, int b){

if (b == 0) return a;

return mdc(b,a % b);

}

Disciplina MC102

Fibonacci recursivo em C:

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0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...

Disciplina MC102


7/17/2019 recursao



0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...

Fibonacci (0) = 0;Fibonacci (1) = 1;Fibonacci (n) = Fibonacci (n − 1) + Fibonacci (n − 2).

Disciplina MC102


7/17/2019 recursao



0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...

Fibonacci (0) = 0;Fibonacci (1) = 1;Fibonacci (n) = Fibonacci (n − 1) + Fibonacci (n − 2).

int fibonacci(int n) {

if (n <= 1) return n; /* n>=0*/;

return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);

}

Disciplina MC102

Fibonacci iterativo em C:

7/17/2019 recursao


Fibonacci iterativo em C:

int fibonacci_iterativo(int n) {

int f0 = 0, f1 = 1,f2, i;

if (n <= 1) return n;

for(i=0; i<= n-2; i++){

f2 = f1 + f0;

f0 = f1;

f1 = f2;

}return f2;

}

Disciplina MC102

Exponenciacao

7/17/2019 recursao


Exponenciacao

Problema: calcular an = a · a · a · · · a

n vezes

Disciplina MC102

Exponenciacao

7/17/2019 recursao


Exponenciacao

Problema: calcular an = a · a · a · · · a

n vezes


int exp_it(int a, int n){

int p = 1, i;


for (i=1; i<= n; i++)

p = p * a;

return p;

}

Disciplina MC102

Exponenciacao-Recursiva I

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p ¸

an = 1 se n = 0;

a · an−1 se n > 0.

Disciplina MC102

Exponenciacao-Recursiva I

7/17/2019 recursao


p ¸

an = 1 se n = 0;

a · an−1 se n > 0.

/* algoritmo recursivo 1:*/

int exp_r(int a, int n){

if ( n==0) return 1;

return a * exp_r(a,n-1);}

Disciplina MC102

Exponenciacao-Recursiva II

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p ¸

an =

a · (an/2)2 se n ımpar;

(an/2)2 se n par.

Exemplo: a24

a24 = a12 2

= · · · = a · a 2

2 2

2

4 quadrados + 1 multiplicacao (melhor que 23 multiplicacoes!)

Disciplina MC102

Exponenciacao-Recursiva II

7/17/2019 recursao


p ¸

an = a · (an/2)2 se n ımpar;

(an/2)2 se n par.

/* algoritmo recursivo: 2*/

int exp_r2(int a, int n){

int b;

if ( n==0) return 1;

b = exp_r2(a,n/2);

if (n % 2 == 1) return a*b*b;

else return b*b;

}

Disciplina MC102

Maximo de um vetor:

7/17/2019 recursao


Problema: encontrar o valor do maior elemento do vetorv [0...n − 1] (n elementos)

Disciplina MC102

Maximo de um vetor:

7/17/2019 recursao



int maior(int v[], int n){ /* algoritmo iterativo: */int x = v[0], i;

for (i=1; i< n; i++)

if (x < v[i]) x = v[i];

return x;

}

Disciplina MC102

Maximo de um vetor:

7/17/2019 recursao



int maior(int v[], int n){ /* algoritmo iterativo: */int x = v[0], i;

for (i=1; i< n; i++)

if (x < v[i]) x = v[i];

return x;

}

int maior_r(int v[], int n){ /* algoritmo recursivo: */

int x;

if ( n==1) return v[0];

x = maior_r(v,n-1);

if (x > v[n-1]) return x;

else return v[n-1];

}

Disciplina MC102

Media de um vetor:

7/17/2019 recursao


Problema: escreva uma funcao recursiva para calcular a media deum vetor de n elementos.

Disciplina MC102

Media de um vetor:

7/17/2019 recursao


Problema: escreva uma funcao recursiva para calcular a media deum vetor de n elementos.

double Media (double v[], int n){

double m;

if (n == 1) return (v[0]);

m = Media (v,n-1);

return ( (m * (n-1) + v[n-1])/(double) n);

}

Disciplina MC102

Maximo e Mınimo de um vetor:

7/17/2019 recursao


Problema: escreva uma funcao recursiva para calcular a diferenca

entre o maior elemento e o menor elemento de um vetor de nnumeros inteiros.

Disciplina MC102

Maximo e Mınimo de um vetor:

7/17/2019 recursao


Problema: escreva uma funcao recursiva para calcular a diferenca

entre o maior elemento e o menor elemento de um vetor de nnumeros inteiros.

int MaxMin(int v[], int i, int f, int *min, int *max){

int s0,s1,t0,t1,j;

if ( i==f) {*min = *max= v[i]; return 0;}j = i + (f-i)/2;

MaxMin(v,i ,j,&s0,&s1);

MaxMin(v,j+1,f,&t0,&t1);

if (s0 < t0) *min = s0; else *min = t0;

if (s1 < t1) *max = t1; else *max = s1;return (*max -*min);

}

Disciplina MC102

Maximo e Mınimo de um vetor....:

7/17/2019 recursao


int main(){

int d,i, menor, maior, n, v[100];

scanf("%d",&n);

for(i=0;i<n;i++) scanf("%d", &v[i]);

......d = MaxMin(v,0,n-1,&menor,&maior);

printf("Diferenca igual =%d",d);

return 0;

}

Disciplina MC102

Comprimento de uma string:

7/17/2019 recursao


Problema: escreva uma funcao recursiva para calcular ocomprimento de uma cadeia de caracteres.

Disciplina MC102


7/17/2019 recursao



int comprimento(char s[]){

if (s[0] ==’\0’) return 0;

else return (1 + comprimento(&s[1]));

}

Disciplina MC102


7/17/2019 recursao



int comprimento(char s[]){

if (s[0] ==’\0’) return 0;

else return (1 + comprimento(&s[1]));

}

Versao 2:

int comprimento(char *s){

if (*s ==’\0’) return 0;else return (1 + comprimento(s+1));

}

Disciplina MC102

Numero de Dıgitos Pares

7/17/2019 recursao


Problema: escreva uma funcao recursiva para calcular o numero dedıgitos pares de um numero inteiro n ∈ [0, 2.147.483.647]

Disciplina MC102


7/17/2019 recursao



int QPares(int n){ /* caso base n = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9*/

if (n<10) return 1-n%2;

else return (QPares(n/10) + 1-n%2);

}

Disciplina MC102


7/17/2019 recursao




if (n<10) return 1-n%2;

else return (QPares(n/10) + 1-n%2);

}

Versao 2:


int d = 1 -n%2;if (n<10) return d;

else return (QPares(n/10) + d);

}

Disciplina MC102

Busca Binaria

7/17/2019 recursao


Problema: escreva uma funcao recursiva para fazer uma busca dex no vetor v [ini ..fim] (ordenado)

int buscaBR( int x, int ini, int fim, int v[]) {

if (ini > fim) return -1; /* base da recurs~ao*/

else {

int m = ini + (fim-ini)/2;

if (x == v[m]) return m;

if ( x < v[m]) return buscaBR( x, ini, m-1, v);

else return buscaBR( x, m+1, fim, v);

}}

Disciplina MC102

Divisao de inteiros

7/17/2019 recursao


Problema: escreva uma funcao recursiva para calcular o quocientede dois numeros inteiros a ≥ 0, b > 0; q = DIV (a, b ) = a/b

ab

= 1 + a − b b

int divR( int a, int b) {

int q;

if (a < b){ q = 0;}

else{

a = a - b ;q = 1 + divR(a,b);

}

return q;

}

Disciplina MC102

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