RecuperoIncontro8 [modalità compatibilità]minnaja/DIDATTICA/SSIS/... · 2010. 2. 21. · 21/02/2010 1 SSIS Corso di recupero" Fondamenti storico-epistemologici della matematica

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SSISCorso di recupero

• Fondamenti storico-epistemologici della matematica 1

• e• Didattica della matematica

• 8° incontro

EuleroEulero

EuleroEulero•• LeonhardLeonhard EulerEuler, o

EuleroEulero (1707– 1783), ilpiù grande matematico efisico svizzero di tutti itempi. Allievo diGiovanni Bernoulli, si èoccupato di analisiinfinitesimale, geometria,meccanica razionale,meccanica celeste, teoriadei numeri, teoria deigrafi e molte altre cose.

EuleroEulero• Il padre lo avviò agli studi preparatori per la

carriera ecclesiastica, ma, poi, convinto daGiovanni Bernoulli che era stato suocompagno, lasciò che il figlio si indirizzassealla matematica.

• Eulero si laureò in filosofia, scrisse i primilavori e arrivò secondo in un concorsodell’Accademia di Parigi su come disporremeglio gli alberi di una nave

EuleroEulero

• Nel 1727, dopo aver invano concorso allacattedra di matematica di Basilea, fuindirizzato all’Accademia di S. Pietroburgocome fisiologo, dove lo volle Caterina,moglie di Pietro il Grande. Scrisse allora unlavoro di acustica. A Pietroburgo entrò nellacerchia di Daniele Bernoulli e JakobHermann (che aveva insegnato a Padova)

EuleroEulero

• Nel 1741, dopo un cambio di regime inRussia, accettò di passare all’Accademia diBerlino, ricevendo una parte del suo salariodall’Accademia di Pietroburgo per la qualescriveva libri e lavori scientifici.

http://www.pdfcomplete.com/cms/hppl/tabid/108/Default.aspx?r=q8b3uige22

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EuleroEulero

• A Berlino fu impegnato in molti lavori didirezione del personale, di idraulica, dimatematica. Vi restò 25 anni e scrisse circa380 articoli.

• Non più in buoni rapporti con l’imperatoreFederico il Grande di Prussia, che avevaofferto la presidenza dell’Accademia aD’Alembert, tornò in Russia nel 1766.

EuleroEulero

• Peraltro D’Alembert rifiutò la presidenzadell’Accademia di Berlino e il trasferimentoda Parigi ritenendo non opportuno per sé unposto di livello superiore a quello di Eulero

EuleroEulero

• Poco dopo divenne cieco, prima da unocchio e poi anche dall’altro, ma continuò ascrivere decine di articoli, aiutato da due deinumerosissimi figli (uno era professore difisica, l’altro era nella carriera militare). Lacecità gli stimolò enormemente la capacitàdi calcolo mentale

EuleroEulero

• In un pomeriggio del settembre 1793, dopoaver dato lezione di matematica ai nipoti edaver discusso della scoperta di Urano fattada Herschel nel 1781, si accasciò, disse“Muoio”, e morì di un’emorragia cerebrale.

EuleroEulero

• Di Urano sono stati scoperti due zone di anelli e una trentina di satelliti. Nel 2007 l’asse di rotazione di Urano ha raggiunto la direzione parallela all’eclittica

EuleroEulero

• Moltissime formule, teoremi, elementi digeometria sono collegati al suo nome: rettadi Eulero (è la retta passante perl'ortocentro, il baricentro e il circocentro diun triangolo), diagramma di Eulero-Venn,metodi di Eulero (risoluzione delleequazioni di 4° grado, e di equazionidifferenziali), formule di Eulero, …


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Circocentro (assi)Circocentro (assi)Ortocentro (altezze)Ortocentro (altezze)Baricentro (mediane)Baricentro (mediane)

Retta di EuleroRetta di Eulero EuleroEulero• Eulero si occupò del “problema di Basilea”

che consisteva nel trovare la somma dellaserie

ζ(2) = ∑1 (1/n2)• A questo problema si erano dedicati i vari

Bernoulli, Leibniz, De Moivre senzasuccesso. Eulero trova che la somma vale

π2/6 (somma già trovata da GiovanniBernoulli)

EuleroEulero

• Scoprì anche altre somme di serienumeriche tramite sviluppi in serie difunzioni calcolate in uno specifico punto.

• Scoprì anche alcuni sviluppi in serietrigonometriche, che appartengono ad unafamiglia di serie che poi si diranno “serie diFourier”

EuleroEulero

• Alcuni sviluppi in serie di Taylor diparticolari funzioni trigonometriche hannoper coefficienti dei numeri che prendono ilnome di matematici famosi; ad esempionello sviluppo della secante:

sec x = Σ (-1)n E2n x2n / (2n)! |x| < π/2gli E2n sono detti numerinumeri (interi) di Eulerodi Eulero


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Approssimazione di Approssimazione di eexx

• Approssimazione di ex

tramite la serie di Taylor

ex = 1 + x + x2 /2! + x3/3! + …

EuleroEulero

Eulero istituì anche la relazioneeiθ = cos θ + i sen θ

dalla quale si ricavano le formule di Eulero:sen θ = (eiθ - e-iθ)/2i cos θ = (eiθ + e-iθ)/2

Per θ = π si ha:eiπ= -1

EuleroEulero

Dalla formulaeiθ = cos θ + i sen θ

segueex+iy = ex(cos y + i sen y)

EuleroEulero

• Dalla definizione di funzionefunzione esponenzialeesponenzialenel campo complesso segue che talefunzione è periodica di periodo 2πi.

• Eulero definì anche il logaritmologaritmo comefunzione a più valori:

lg z = ln |z| + i(arg z + 2Kπ) K∈Z

EuleroEulero

Sono così definiti i logaritmi dei numerireali negativi; ad esempio

lg (-1) = i(π +2Kπ)Risultano con la stessa parte reale ilogaritmi dei numeri complessi con lostesso modulo

EuleroEulero

z lg z

-1 +1


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EuleroEulero

• La questione del logaritmo dei numerinegativi è così definitivamente risolta:le due funzioni

lg x2 e 2 lg xnon sono uguali perché sono definite su dueinsiemi diversi; i loro valori coincidono sulsemiasse dei reali positivi, dove esistonoentrambe

EuleroEulero

• Per una funzione di variabile complessaf: C C → CC (w = f(z))

non ha senso il concetto di crescenza; per lafunzione esponenziale nel corpo complessola proprietà corrispondente alla positività trai reali è la diversità da 0 (e quindi illogaritmo di 0 non esiste nemmeno in CC)

EuleroEulero

• Con Eulero si ha la sistemazione quasidefinitiva delle funzioni elementari divariabile complessa.

• Con Eulero nasce anche una nuova brancadella matematica: la topologia

La famiglia La famiglia BernoulliBernoulli

La dinastia dei La dinastia dei BernoulliBernoulli I I BernoulliBernoulli

• La famiglia Bernoulli era una famiglia dimercanti che si era trasferita a Basilea, cittàlibera, dopo che Anversa era stataconquistata dagli spagnoli. Basilea era unacittà ricca, basata sul commercio. NicolaBernoulli, capostipite della famiglia, era uncommerciante di spezie


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Giacomo Giacomo BernoulliBernoulli

GiacomoGiacomo BernoulliBernoulli(1654–1705), nato emorto a Basilea, iniziò glistudi di teologia, ma,dopo un incontro conBoyle durante un viaggioin Inghilterra, decise didedicarsi alla matematica


• Nella Ars conjectandi (postumo, 1713)Giacomo Bernoulli fornisce un trattato sullaprobabilità, ripubblicando un’opera intera diHuygens.

• Inoltre è stato ritrovato un vasto carteggiotra Giacomo Bernoulli e Leibniz, nel qualesono trattate questioni di probabilità


• Formula per primo la leggelegge deidei grandigrandinumerinumeri, detta pure leggelegge empiricaempirica deldel casocasooppure teoremateorema didi BernoulliBernoulli che riguardail comportamento della media di unasequenza di n variabili casuali indipendentied identicamente distribuite (n misure dellastessa grandezza, n lanci della stessa monetaecc.) al tendere all’infinito di n


• Un caso particolare della legge dei grandinumeri si ha quando si afferma che laproporzione di successi in n realizzazioniindipendenti di un evento E converge, per nche tende all’infinito, alla probabilità di E.


• La legge dei grandi numeri garantisce che lamedia campionaria fornisca una stimavalida della media di una popolazione; valea dire che grazie alla legge dei grandinumeri possiamo fidarci che la media checalcoliamo a partire da un numerosufficiente di campioni sia sufficientementevicina alla media vera.


• Un’altra attività di Giacomo Bernoulli funello studio della catenaria e delle funisopportanti un carico: ancora adesso i suoicalcoli sono quelli usuali per i ponti sospesio per le linee di trasporto delle alte tensioni


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Giacomo Giacomo BernoulliBernoulliGiacomo Bernoulli si occupò di serie e disuccessioni convergenti, applicando ilteorema del confronto per le serie a terminidello stesso segno.Fu il primo a notare la “disuguaglianza diBernoulli”, cioè

(1+x)n > 1+ nxcon x reale > -1, diverso da 0, ed n >1.


• Si occupò anche della spirale logaritmica(che egli chiamò spira mirabilis), che volleincisa sulla propria tomba con il mottoeadem mutata resurgo (pur con mutamentirinasco sempre uguale)


• Negli Acta eruditorum del 1691 propone discrivere le equazioni di certe curve usandocome coordinate il raggio vettore el’anomalia, introducendo così le coordinatecoordinatepolaripolari (già usate, ma solo occasionalmente,da Newton e comunque pubblicate dopo)


Viene detta “equazione di Bernoulli”un’equazione differenziale del primoordine, non lineare, del tipo

y’= f(x)y + g(x)yn

che Giacomo Bernoulli risolse con unasostituzione riportandola ad una equazionelineare

La nascita della La nascita della topologiatopologia

Topologia: i ponti di Topologia: i ponti di KönigsbergKönigsberg


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I ponti di KönigsbergI ponti di Königsberg I ponti di KönigsbergI ponti di KönigsbergSiamo a Königsberg, nel 1759.Il fiume che attraversa la città si divide indue rami formando un'isola incorrispondenza della biforcazione.Il territorio è diviso in 4 aree come si vedenella figura qui sotto: l'isola A, le duesponde B, C e la parte interna allabiforcazione D

I ponti di KönigsbergI ponti di Königsberg I ponti di KönigsbergI ponti di KönigsbergLe 4 aree sono collegate da 7 ponti:A-C sono collegate dai ponti c, d;A-B sono collegate dai ponti a, b;D-A sono collegate dal ponte e;D-C sono collegate dal ponte g;D-F sono collegate dal ponte f

I ponti di KönigsbergI ponti di Königsberg

• E' possibile fare una passeggiataattraversando esattamente una sola voltatutti i ponti?

• Il problema dei ponti di Konisberg si puòricondurre alla seguente figura.


E' possibile tracciarlacon un solo tratto dipenna senza maistaccare la penna dalfoglio e percorrendotutte le linee una solavolta?

NonNon èè possibile!possibile!


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I ponti di KönigsbergI ponti di KönigsbergUna figura di questo tipo, formata da punti

nodali (A, B, C, D) e da linee che licongiungono (a, b, c, d, e, f, g), si chiama

grafografo..I punti A, B, C, D si chiamano nodinodi.Le linee a, c, d, e, f, g si chiamano archiarchi ( olati o segmenti). Le superficie chiuselimitate da una serie di archi si chiamano

regioniregioni..


Il numero di archi che escono da un nodo si chiama ordine del nodo. Ad esempio l'ordine del nodo A è 5 mentre l'ordine del nodo D è 3.


• Quando si dice "nodo pari" o "nodo dispari" si intende rispettivamente "nodo di ordine pari" o "nodo di ordine dispari"

I ponti di KönigsbergI ponti di Königsberg• La possibilità di tracciare grafi con un solo

tratto di penna è soggetta alle seguenti leggi:

• 1) Le figure che non hanno nodi dispari si possono tracciare con un tratto continuo partendo da un nodo qualunque.

• 2) Una figura che ha esattamente 2 nodi dispari può essere tracciata con un tratto continuo partendo da uno di essi.


• 3) Le figure che hanno più di 2 nodi dispari non possono essere tracciate con un tratto continuo.


• Eulero stabilì che un grafo compostosoltanto da nodi pari, cioè ciascunocollegato a un numero pari di archi, èsempre percorribile e che si può ritornare alpunto di partenza senza sovrapposizioni dipercorso.


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• Se un grafo contiene nodi pari e soltanto due nodi dispari èancora percorribile, ma non si può più ritornare al punto di partenza.


• Se contiene invece più di due nodidispari, non è percorribile senzasovrapposizioni di percorso.

• La passeggiata sui ponti di Könisberg èdi quest'ultimo tipo, porta a un grafocomposto da quattro nodi dispari, equindi il problema di partenza ha rispostanegativa


• Quello che sembrava un piccolo rompicaposenza importanza, nelle mani di Eulerodiventò un grande problema matematico,punto di partenza della teoria dei grafi e diuna nuova scienza: la topologia, destinata agrandi sviluppi, un secolo più tardi.

I ponti di I ponti di KönigsbergKönigsberg

• E' possibile fare una passeggiataattraversando esattamente una sola voltatutti i ponti?

• Eulero ricondusse il problema ad unproblema di teoria dei grafi e trovò lasoluzione. Nel caso dei ponti di Königsbergla risposta alla domanda è negativa

Senza staccare la pennaSenza staccare la penna Topologia: indice topologicoTopologia: indice topologico

• Trasformazione di unatazza da caffè in untoro (stesso indicetopologico)


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Topologia: indice topologicoTopologia: indice topologico I ponti di KönigsbergI ponti di Königsberg

Il salto del cavalloIl salto del cavallo Il salto del cavalloIl salto del cavallo

• Poiché esistono molte mosse diverse checonsentono al cavallo di saltare da unacasella all'altra, si può disegnare uncammino chiuso in cui tutte le possibiliMOSSE siano tracciate una ed una solavolta? (grafo euleriano)

Il salto del cavalloIl salto del cavallo

• È possibile, per il cavallo, occupare tutte le CASELLE di una scacchiera n×n ciascuna esattamente una volta prima di ritornare sulla stessa casella da cui è partito? (grafo hamiltoniano)

Il salto del cavalloIl salto del cavallo

• TEOREMA: Il cavallo, saltando su una scacchiera n×n, può occupare tutte le caselle ciascuna esattamente una volta descrivendo un cammino hamiltoniano ⇔ n ≥ 5 (G. Zammillo, 2000).


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Il salto del cavalloIl salto del cavallo Il salto del cavalloIl salto del cavallo

Gli insegnanti di Fourier: Gli insegnanti di Fourier: LagrangeLagrange

Luigi Lagrange (1736-1813)Monumento a Lagrange a Torino, in via Lagrange

Gli insegnanti di Fourier: LaplaceGli insegnanti di Fourier: Laplace

Pierre Simone Laplace(1749-1827) Medaglia di Laplace incisa da Cauchy

Gli insegnanti di Fourier:Gli insegnanti di Fourier:MongeMonge e e BertholletBerthollet

Claude Louis Berthollet (1748-1822)

Gaspard Monge (1746-1818)

Fourier Fourier –– orti botaniciorti botanici

Jardin des PlantesParigi

Orto botanicoPadova


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Gli insegnanti di Fourier: Gli insegnanti di Fourier: MongeMonge

•• GaspardGaspard MongeMonge (1746-1818) figlio di unarrotino, alunno bravissimo (puer aureus) inun collegio di preti; al termine degli studigli viene offerto un posto a condizione cheprenda almeno i primi voti. Entra invece inun collegio per allievi ufficiali, ma nonviene nominato ufficiale, perché di umilinatali


Monge è contento di disegnarefortificazioni. Il problema di allora eracostruire mura che rendessero minimo ildanno delle cannonate. La trasformazioneda torri quadrate a torri poligonali e poitonde si ha con il progressivo uso dellapolvere da sparo

Gli insegnanti di Fourier: Gli insegnanti di Fourier: MongeMonge Gli insegnanti di Fourier: Gli insegnanti di Fourier: MongeMonge

• Una volta Monge risolse il problema moltorapidamente, senza calcoli, ma con solidisegni geometrici; l’ufficiale che dovevacontrollare i calcoli non ci credeva. Nascevala geometriageometria descrittivadescrittiva

Gli insegnanti di Fourier: Gli insegnanti di Fourier: MongeMonge Gli insegnanti di Fourier: Gli insegnanti di Fourier: MongeMonge

Monge: tavole di geometria descrittiva


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A Monge fu subito proposto un posto diinsegnante nel collegio militare, e il suoinsegnamento era coperto da segreto: solonel 1794 gli fu permesso di insegnare talemateria all’École Normale. Tre anni dopo fuprofessore anche di fisica, e poi direttoredell’Istituto di idraulica


Monge fu per anni presidente dellacommissione degli esami di ammissioneall’Accademia militare, dove bocciava chinon era all’altezza, anche se figlio diaristocratici; si rifiutava di fare e riceverefavori


Allo scoppio della Rivoluzione Monge èdalla parte dei rivoluzionari, viene nominatoministro della Marina e delle Colonie; perònon avendo parametri diversi dal meritoviene sospettato di essere reazionario e sidimette


Monge e Berthollet si adoperano nelladifesa della patria: ci sono da armare900.000 uomini, bisogna estrarre il salnitrodalla terra, bisogna fondere i metalli degliorologi e delle campane per fare cannoni.Monge viene denunciato come contro-rivoluzionario e lascia segretamente Parigi

SophieSophie GermainGermain

•• SophieSophie GermainGermain(1776-1831)

• All’età di 13 annilegge della morte diArchimede causata daun soldato romano edecide di dedicarsi allamatematica


• Studia di notte, impara da sola il latino e ilgreco, legge le opere di Newton e di Eulero.Scrive un lavoro che invia a Lagrange sottolo pseudonimo di M. Leblanc e solo dopodovrà rivelarsi per una donna.


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• Ha una vasta corrispondenza con Gausssempre sotto pseudonimo; è costretta arivelarlo quando la casa di Gauss è occupatadall’esercito francese nel 1806. Sophieinterviene presso un ufficiale francese suoamico e così Gauss viene a sapere della veraidentità.


• Sophie Germain scrive alcuni lavori sullateoria dei numeri e porta contributi allasoluzione dell’ultimo teorema di Fermat

FourierFourier

• Fourier, dopo una vita di soddisfazionipolitiche e sociali e anche di periodidifficili, vive gli ultimi mesi tormentato daireumatismi e da una malaria forse contrattain Egitto; è in una fasciatura di gesso che glilascia libere solo le mani e la testa. Ha unattacco di angina pectoris mentre scende lescale, e muore qualche giorno dopo (1830)

La serie di FourierLa serie di Fourier

La serie di FourierLa serie di Fourier La serie di FourierLa serie di Fourier


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Spettro di una serie di FourierSpettro di una serie di Fourier

Lo spettro di una nota dell’armonica a bocca

La serie di FourierLa serie di Fourier


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La serie di FourierLa serie di Fourier Trasformata di FourierTrasformata di Fourier

I successori di FourierI successori di Fourier

I successori di FourierI successori di Fourier

• I maestri di Fourier erano morti, sia Mongeche Lagrange; Laplace muore nel 1827.Fourier morirà nel 1830. Cauchy, Fourier ePoisson dovranno fronteggiare unaagguerrita concorrenza di giovani

CauchyCauchy

• Augustin LouisCauchy (1789-1857)era stato un ingegneredelle fortificazionisotto Napoleone

CauchyCauchy

• Cauchy si rifiutò di giurare al nuovo re Luigi Filippo e nel 1830 abbandonò la Cattedra alla Sorbona; andò in esilio e venne anche a Torino, dove presentò un lavoro all’Accademia


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CauchyCauchy

• Dopo i nuovi rivolgimenti in FranciaCauchy tornò a Parigi dove fu reintegratonella cattedra nonostante non avesse giuratofedeltà al nuovo re.

Gauss e l’Accademia di TorinoGauss e l’Accademia di Torino

• Contemporaneamente alla presenza di Cauchy a Torino viene nominato socio dell’Accademia Gauss, che non viene a Torino, ma ringrazia

Prima comparsa di Prima comparsa di termini e simboli termini e simboli

matematicimatematici

Prima comparsa di termini e Prima comparsa di termini e simboli matematicisimboli matematici

• I romani usavano parole singole perindicare frazioni:

• 1/12 uncia• 11/12 deunx (1/12: un’oncia tirata via)• 10/12 dextans (1/6 tirato via)• 6/12 semis• 5/12 quincunx (quinque unciae)


• Al-Kwarizmi chiamò i numeri razionali eirrazionali rispettivamente udibili e nonudibili.

• I traduttori arabi del IX secolo tradussero itermini greci ρήτος (razionale) e άλογος(irrazionale) con muntaq (fatto per parlare,dicibile) e asamm (sordo, muto); i traduttorilatini dei codici arabi hanno tradottoquest’ultimo termine con surdus


• La separazione dei decimali è avvenuta conil punto, la virgola, una barra verticale, unsegno di parentesi; non si può dire chi siastato il primo ad usare questi simboli, il loroinizio fu comunque nel XVI secolo.


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• L’uso più antico documentato per separarela parte intera dai decimali, che prima eranoscritti come frazione aggiunta alla parteintera, è dovuto a NeperoNepero, che usavaindifferentemente il punto e la virgola.

• La virgola ebbe maggior uso nell’Europacontinentale, il punto invece in Inghilterra enel suo impero.


• L’uso sistematico di separare i decimali con unsegno (punto, virgola o anche barra oparentesi) si ebbe oltre 150 anni dopo laproposta di Nepero.

• In Italia fu a lungo usato il punto, soppiantatoin seguito dalla virgola. L’uso del calcolatoreha di nuovo proposto il punto, mentre lavirgola nel mondo anglosassone separa lemigliaia


• L’uso di Log (logaritmo in base 10) appareper la prima volta in una traduzione inglesedelle opere di Nepero (1616)


• Lettere per esprimere quantità generichefurono usate già dai greci e si trovano sia inAristotele che in Diofanto, solitamentemaiuscole. Lettere minuscole compaiononel Liber abaci di LeonardoLeonardo FibonacciFibonacci(1202)

•• CardanoCardano (1501-1576) e il matematicotedesco MichaelMichael StifelStifel (1486-1567) usano qper l’incognita (quantità)


• Il primo ad usare sistematicamente lettere(maiuscole) per esprimere variabili ecostanti fu FrançoisFrançois VièteViète (1540-1603)

•• CartesioCartesio usò le prime lettere dell’alfabetoper quantità note, e le ultime (x, y, z) per leincognite (La géométrie, 1637)


• Cartesio e Fermat, separatamente, furono iprimi a scrivere l’equazione della retta

ax+by=c

• Numero reale, numero immaginario sonostati introdotti da Cartesio


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• Cartesio usava le lettere soltanto peresprimere quantità positive; che le letterepotessero esprimere anche quantità negativesi deve a John Hudde (1657).


• Johan Hudde (1628 –1704), matematicoolandese. Fu sindacodi Amsterdam per 30anni. Trovò un metodoper identificare leradici multiple di unpolinomio (dove siannullano anche lederivate)


• Hudde calcolò lo sviluppo in serie diMacLaurin della funzione

lg(1+x)

MacLaurin pubblicherà il teorema che portail suo nome nel 1742


• Induzione, interpolazione, mantissa, serieipergeometrica sono stati introdotti da JohnWallis (1616-1703).

• Wallis era un sacerdote della chiesaanglicana, fortemente parlamentaristacontro la monarchia (tempi di Cromwell). Siinteressò di calcolo degli integrali e nellasua Arithmetica infinitorum pubblicò larelazione


π/2 = (2.2.4.4.6.6.8.8.10..)/(1.3.3.5.5.7.7.9.9...)Introdusse anche ilsimbolo ∞ per indicarel’infinito, forseproveniente da unantico simbolo romanoindicante 1000


• Il termine funzione compare per la primavolta in un manoscritto latino, Methodustangentium inversa, seu de functionibus, diGottfriedGottfried WilhelmWilhelm LeibnizLeibniz (1646-1716)nel 1673.


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• Leibniz usava il termine non nel senso di espressione analitica, ma di una grandezza che eseguiva un compito specifico: il “lavoratore” era una curva.


• Leibniz concepiva una curva come se“facesse qualcosa” in una data figura.[“linearum in figura data functionesfacientium"].

• Nel 1692 in uno scritto attribuito a luifunctiones è usato in un senso che denota un“compito” che una retta può compiererispetto ad una curva (la tangente, lanormale, ecc.)


• Nel 1698, GiovanniGiovanni BernoulliBernoulli, in unalettera a Leibniz, per la prima volta assegnadeliberatamente al termine functio unsignificato analitico. Dopo pochi giorniLeibniz risponde, approvando l’uso deltermine.

• Leibniz userà la locuzione funzione di x


• A Leibniz si devono anche i terminicostante, variabile, ascissa, parametro,coordinate e, forse, derivata


• La notazione a+bi per i complessi fuintrodotta da EuleroEulero

• Ad Eulero si deve anche il simbolo difunzione f(x), usato nel 1734 neiCommentarii Academiae ScientiarumPetropolitanae

• La scrittura x → f(x) è introdotta dal gruppoBourbaki (1939)


•• LeonhardLeonhard EulerEuler• (1707-1783)


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• I simboli dx dy dx/dy

per indicare le derivate sono stati introdotti da Leibniz in un manoscritto del 1675.

• La notazione f’(x) f’’(x)

è di Lagrange (1736-1813)


• Vettore, scalare,tensore, associativo,quaternione sono statiintrodotti dall’ingleseSirSir WilliamWilliam RowanRowanHamiltonHamilton (1788-1856)


• I simboli δ e ε sonodi Cauchy (1789-1857) ed appaiononel suo Coursd’analyse (1921)

• δ è l’iniziale didifférence,

• ε è l’iniziale dierreur


• Il simbolo di segno[a] che rappresenta+1 o -1 per a ≠ 0 fuintrodotto nel 1878da

•• Leopold Leopold KroneckerKronecker(1823-1891)


•• KarlKarl WeierstrassWeierstrass• (1815-1897) introduce

il simbolo di valoreassoluto nel 1841, e lousa anche comemodulo dei numericomplessi


• Matrice, minore, discriminante, invariante, Jacobiano

• sono stati introdotti da James SylvesterJames Sylvester(1814-1897)


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Prima comparsa di termini e Prima comparsa di termini e simboli matematici simboli matematici (seguito)(seguito)

• Il simbolo ∂ viene usato da Condorcet(1773), ma ancora non c’è grandedistinzione da “d”. Il primo che usa ilsimbolo ∂u/∂x è Legendre (1786), ma poi loabbandona, e il simbolo viene nuovamenteintrodotto ed usato sistematicamente daJacobi a partire dal 1841. È detto anche“delta di Jacobi” ed è il “d” corsivodell’alfabeto cirillico.

Prima comparsa di termini e Prima comparsa di termini e simboli matematici simboli matematici

Marie Jean de Caritat barone di Condorcet (1743-1794)


Adrien-Marie Legendre (1752-1833)


Carl Gustav Jacobi (1804-1851)


• Il simbolo ∫ di integrale è introdotto daLeibniz nel 1675 in un manoscritto nonpubblicato; qualche settimana dopo usa ilsimbolo “dx” dopo l’integrale. Primascriveva omnia, e scriveva omn. l


• In una lettera a Oldenburg, segretario della Royal Society, scrive:

• Utile erit scribi ∫ pro omnia, ut ∫l = omn. l id est summa ipsorum l.

• Invece Newton, per indicare l’integrale di x scrive due sbarrette sopra x, ma poi le abbandona.


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• Gli estremiestremi dell’integraledell’integrale definitodefinito sonosuccessivi; Eulero (1707-1783) li mette traparentesi ed usa le preposizioni latine ab perquello inferiore e ad per quello superiore; ilprimo che li scrive come adesso è Fourier.

• L’integraleintegrale circuitatocircuitato con il cerchietto sulsegno di integrale è di Arnold Sommerfeld(1917).


• Il simbolo lim. (con il punto) è usato già allafine del ‘700; senza il punto lo userà KarlWeierstrass.

• L’uso della nablanabla e del rispettivo segno ∇ èdella metà dell’Ottocento (Hamilton); delpari l’uso dei segni ∆ e ∆2 .


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