Reconstrucción Iterativa

Margarita Núñez, PhD Escuela Universitaria de Tecnología Médica

Montevideo, Uruguay

Reconstructores

Algoritmo expectation-maximization (EM)

Se usa en estadística para encontrar estimaciones de máxima

verosimilitud de parámetros en modelos probabilísticos,

donde el modelo depende de variables latentes no

observables.

El algoritmo EM alterna entre la realización de un paso de

expectativa (E), que calcula una expectativa de la

probabilidad mediante la inclusión de variables latentes como

si hubieran sido observadas, y un paso de maximización (M),

que calcula las estimaciones de máxima probabilidad de los

parámetros mediante la maximización de la probabilidad

esperada encontrada en el paso E.

Los parámetros encontrados en el paso M son entonces

utilizados para comenzar el paso E siguiente, y así el proceso

se repite.

Problemas con la retroproyección filtrada

asume un modelo de proyección muy simple

no está incluida la atenuación

artefactos en raya (streak)

amplificación del ruido

Métodos de reconstrucción alternativos

Reconstrucción de Fourier

Inversión de la matriz

Método iterativo máxima probabilidad

Image courtesy of Bettinardi et al, Milan

¿Que significa iterativo?

• escoja un número del 1 al 20

número

estimado

comparado

con el número

actual

actualizar

estimación

persona

1

persona

2

<, >, =? COINCIDE

Re-proyección (forward) = proyección hacia adelante

detector

(proyección)

objeto reconstrucción

retroproyección

Estima las proyecciones de una reconstrucción (simula la adquisición)

re-proyección

a

b

c

detector

(proyección)

objeto

(reconstrucción)

Re-proyección

Comprendiendo la reconstrucción iterativa

Objetivo

Encontrar la distribución de actividad cuyas

proyecciones estimadas coincidan con las

medidas.

Modelando el sistema (matrix sistema)

¿Cuál es la probabilidad que un fotón emitido

desde una localización X sea detectado en

una localización del detector Y (PET: Y1, Y2).

- geometría y sensibilidad del detector

- atenuación

- scatter, randoms

- resolución, time-of-flight

detector

(medida)

objeto

m proyección

estimada

m

X

Y

X

Y1

Y2

Reconstrucción ML-EM

paciente proyecciones originales

proyecciones estimadas

estimación actual

original estimate

actualizar (x relación)

FP

BP SIN CAMBIO

Algoritmos ML-EM / OSEM

estimatecurrentFP

sprojectionmeasuredBPestimatecurrentestimatenew

_

___

ML-EM: cada actualización involucra BP y FP para todos los ángulos de proyección

OSEM: cada actualización sólo utiliza un subset de ángulos de proyección

iteraciones EM = iteraciones OS-EM x no de subsets

ML-EM

4 iterations

OS-EM

1 iteration

Update 1 Update 2 Update 3 Update 4

conventional EM reconstruction conventional EM reconstruction conventional EM reconstruction

Fin de la 1ra iteración

Fin de la 2da iteración

conventional EM reconstruction

-

-

-

Fin de n iteraciones

FINAL DE UNA

ÚNICA ITERACIÓN

MLEM versus OSEM (ordered subsets)

Ordered subsets (OS) EM reconstruction

El factor de aceleración es la relación (Nº total de proyecciones) / (Nº de

proyecciones en el subset); típicamente 64 / 4 = 16. En este caso 1 iteración

OSEM equevale a 16 iteraciones MLEM.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 50 100 150

ch

i-sq

uare

d

iterations

em

os2

os4

0

50

100

150

200

250

0 50 100 150

mean

sq

uare

err

or

iterations

em

os2

os4

i

i

i

ij

iij

jnewj

y

ya

a ˆ

1

reproyección

retroproyección

estimatecurrentFP

sprojectionmeasuredBPestimatecurrentestimatenew

_

___

nueva estimación

estimación actual

matriz del sistema

Algoritmo ML-EM

estimatecurrentFP

sprojectionmeasuredBPestimatecurrentestimatenew

_

___

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

Modelo simple del sistema

distancia

sinograma

ángulo

Atenuación & Scatter

• interacción primaria en tejidos, para fotones de energía relevantes en PET & SPECT,

es el scatter Compton

• atenuación resulta en pérdida de cuentas debido a la deflexión por scatter Compton

en el ‘trayecto detectable’

• scatter resulta en adición de cuentas no deseadas debido a la deflexión por scatter

Compton en el ‘trayecto detectable’

Scatter

Fracción de Scatter:

SPECT ~35%

PET 2D ~15%; 3D ~40%

PET versus SPECT

Atenuación

Factores de atenuación:

SPECT ~ x5 - x20

PET ~ x15 – x60

Modelo del sistema incorporando atenuación

0 0 0 0 0 0 0 0.3 0 0

0 0 0 0 0 0.2 0 0 0 0

0

0

0

0

0.1

0

0

0

0

0

• Probabilidad de detección reducida por la

atenuación en tejidos.

• medida:

- e.g. triple ventana de energía (TEW)

- incluye actividad fuera del FOV

- práctico pero ruidoso

Estimación de scatter (SPECT)

0

50

100

150

200

250

300

350

50 75 100 125 150 175

energy (keV)

rela

tive c

ou

nts

1de

2de

,p

• scatter modelado

- modelos analíticos

- modelos aproximación (ESSE, TDCS)

- modelos Monte Carlo

Estimación rápida Monte Carlo

• detección forzada (FD) es usada comúnmente en simulaciones MC

• usando la detección forzada por convolución (CFD) se acelera por ~100

• respuesta de función angular (ARF) para los colimadores usa un principio similar

FD CFD

Beekman et al IEEE Trans Med Imag 2002; 21: 867-77

105 fotones

por subset

Problemas con la pre-corrección

• ML-EM espera que los datos adquiridos sean Poisson

• el procesamiento de las proyecciones destruye la presunción Poisson

• también posiblemente introduce valores negativos

• en vez de eso, incorporar correcciones ‘dentro’ del modelo

Instead: add measured / estimated scatter in forward model

scatterestimateoldFP

sprojectionmeasuredBPestimateoldestimatenew

_

___

Historico: sustracción del scatter medido; aumenta el ruido

estimateoldFP

scattersprojectionmeasuredBPestimateoldestimatenew

_

___

Reconstrucción con estimación MC rápida del scatter

sin corrección corrección de atenuación corr de aten + scatter MC

Opciones comerciales

• MC option for Hermes (Nuclear Diagnostics)

• ESSE scatter model (Philips)

• TEW in projector (Siemens)

• TEW subtraction (GE)

FWHMtotal2 = FWHMdet

2 + FWHMrange2 + FWHM 180

2

positron range colinearity

detector

PET resolution SPECT resolution

FWHMsys2 = FWHMdet

2 + FWHMcoll2

0 0 0 0 0 0 0.1 0.3 0.1 0

Modelo del sistema incorporando atenuación y resolución

0 0 0 0 0.1 0.2 0.1 0 0 0

0

0

0

0.05

0.1

0.05

0

0

0

0

Modelado de la resolución

noise

con

tras

t/re

cover

y

Modelo simple: • asume que no hay pérdida de resolución

Teniendo en cuenta la resolución: • asume exactamente que pasa con la resolución

• involucra cierta incertidumbre

Contraste v ruido:

• el ruido aumenta con el nº de iteraciones

• el contraste alcanza su mayor valor

Con el modelo de resolución: • se necesitan más iteraciones para alcanzar el

máx

• menos ruido para igual contraste

• mejor modelo; mejor calidad

Townsend, Phys Med Biol 2008; 53: R1-R39

Estudios Clínicos:

14subsets

2 iterations

3D-OP-OSEM 3D-OSEM with PSF

35-cm diameter phantom; 5 minute scan time

10, 13, 17, 22-mm hot spheres (6:1 contrast); 28, 37-mm cold spheres

noTOF

TOF

#iter = 1 2 5 10 20

TOF converge más rápidamente y logra mejor

contraste para un ruido determinado

Usos potenciales de la reconstrucción iterativa con CT

MLTR

• beneficios similares a los

estudios de emisión

• reducción del ruido

• reducción de artefactos

• geometria flexible

FBP

MLTR

MAP

Courtesy J Nuyts, KUL, Leuven

i

icC

i

ib CC )/ln(

PET/SPECT

CT

Reconstrucción Iterativa CT

Modelo del sistema más exacto • reducción de artefactos: beam hardening, scatter

‘Veo’ iterative recon

Geometría flexible

• truncado, pérdida de datos (photon starvation)

FBP

Iterative

MAP

Reconstrucción Iterativa CT

Resumen

Es estándar en la práctica clinical

Se necesita estar consciente de las limitaciones

- need to preserve Poisson statistics

Modelos de resolución mejoran el contraste y el ruido

- se requieren más iteraciones

Información de time-of-flight mejora la relación señal / ruido

- requiere menos iteraciones!

Aumentando el uso para CT

- menos dosis, menos artefactos

Muchas gracias

SPECT: filtros

Comprendiendo filtros

Filtros de Fourier (no-SPECT)

Suavizado y restauración

Filtros SPECT

Elección de los parámetros del filtro

Filtrado 3D

Comparación de filtros

Comprendiendo filtros

Filtros de Fourier (no-SPECT)

Suavizado y restauración

Filtros SPECT

Elección de los parámetros del filtro

Filtrado 3D

Comparación de filtros

Transformada de Fourier

Amplitud (A)

Frecuencia (f)

Amplitud (A)

Distancia (d) o tiempo (t)

Frecuencia espacial = nº de ciclos / distancia

x

Transformada de Fourier

-2

-1

0

1

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

am

plitu

d

Distancia (o tiempo)

Curva original

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0.2 0.4

am

pli

tud

distancia (o tiempo)

Suma de las ondas seno individuales

0.6 0.8 1

+

+

FT

¿Qué es la transformada de Fourier?

Amplitud (A)

Frecuencia (f)

x

x

x

alta amplitud,

baja frecuencia

baja amplitud,

alta frecuencia

FT

FT-1

cuentas

distancia frecuencia

A

Transformada de Fourier: continuación

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

-1 -0.5

am

pli

tud

0 0.5 1 distancia

Fuente puntual perfecta (función delta)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2

am

pli

tud

0.4 0.6 0.8 1 Frecuencia (fracción de Nyquist)

Dominio de Fourier

FT

0

0.24

0.48

0.72

0.96

1.2

-1 -0.5 0 0.5 1

.......... LEAP

HR

am

pli

tud

distancia

Función de dispersión puntual

FT a

mp

litu

d

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 frecuencia (fracción de Nyquist)

Dominio de Fourier

FT

A

frecuencia distancia

cuentas

Transformada de Fourier de una imagen

Comprendiendo filtros

Filtros de Fourier (no-SPECT)

Suavizado y restauración

Filtros SPECT

Elección de los parámetros del filtro

Filtrado 3D

Comparación de filtros

1 2 1

2 4 2

1 2 1

FT A

frecuencia

43 51 42 46 38

48 57 40 44 46

40 42 47 35 47

47 44 41 44 39

0 0 0 0 0

0 47.6 44.6 42.7 0

0 45.0 43.3 41.9 0

0 0 0 0 0

Valor nuevo = [(4*57)+2*(48+51+40+42)+(43+42+40+47)]/16 = 47.6

filtro kernel

valores originales valores “filtrados”

Suavizado Espacial

1 2 1

2 4 2

1 2 1

FT A

frecuencia

43 51 42 46 38

48 57 40 44 46

40 42 47 35 47

47 44 41 44 39

0 0 0 0 0

0 47.6 44.6 42.7 0

0 45.0 43.3 41.9 0

0 0 0 0 0

Valor nuevo = [(4*57)+2*(48+51+40+42)+(43+42+40+47)]/16 = 47.6

filtro kernel

valores originales valores “filtrados”

Suavizado Espacial

FT FT-1 filtro

A

frecuencia

FT

Filtrado de Fourier imagen

filtro

Filtro 2d

1

0

Filtros de restauración (Metz or Weiner)

A

frecuencia

A

frecuencia

A

frecuencia

X

restauración

suavizado

Filtro combinado

restauración x suavizado

Restauración con

ruido reducido

Comprendiendo filtros

Filtros de Fourier (no-SPECT)

Suavizado y restauración

Filtros SPECT

Elección de los parámetros del filtro

Filtrado 3D

Comparación de filtros

* =

Reconstrucción Tomográfica

A

frecuencia

Cuentas distribuidas como 1/r

Retroproyección

FT

Retroproyección Filtrada

A

frecuencia

A

frecuencia

A = 1/f

1/f x f = 1

Rampa

(A = f)

filtro A = 1/f

Reconstrucción Tomográfica

* =

A

frecuencia

A

frecuencia

A

frecuencia

x =

FT FT-1 FT

original FBP: no filter

ramp: 16 angles ramp:128 angles

A

frecuencia

A

frecuencia

Filtro Rampa

A

frecuencia

A

frecuencia

A

frecuencia

x =

A

frecuencia

A

frecuencia

A

frecuencia

x =

Filtro Butterworth (SPECT)

Filtro rampa modificado A

frecuencia

A

frecuencia

A

frecuencia

x

rampa

Butterworth

rampa-Butterworth

Comprendiendo filtros

Filtros de Fourier (no-SPECT)

Suavizado y restauración

Filtros SPECT

Elección de los parámetros del filtro

Filtrado 3D

Comparación de filtros

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

am

pli

tud

0.2 0.4 0.6 0.8 1 frecuencia/fn

BW fc = 0.3 n = 2

BW fc = 0.3 n = 10

BW fc = 0.6 n = 10

Filtro Butterworth

Cambia la frecuencia de corte

(fracción de Nyquist)

Orden: 5

Cambia el orden

Fc: 0.56

0.46

0.66

0.86

2.5

5.0

10.0

Filtro Butterworth

Comprendiendo filtros

Filtros de Fourier (no-SPECT)

Suavizado y restauración

Filtros SPECT

Elección de los parámetros del filtro

Filtrado 3D

Comparación de filtros

A

frecuencia

+

Rampa Pre-reconstrucción (2d)

Filtrado 3D

A

frecuencia

+

Rampa modificado Post-reconstrucción (1d)

Filtrado 3D

A

frecuencia

+

Rampa Post-reconstrucción (3d)

Filtrado 3D

Comprendiendo filtros

Filtros de Fourier (no-SPECT)

Suavizado y restauración

Filtros SPECT

Elección de los parámetros del filtro

Filtrado 3D

Comparación de filtros

Unidades de frecuencia

-4 40 cm

32 pixel

FOV

Frequency =

0.5 cycles/pixel 0.4 cycles/cm

16 cycles/FOV

1 * Nyquist f

Frequency =

0.25 cycles/pixel 0.2 cycles/cm 8 cycles/FOV

0.5 * Nyquist f

1 Pixel 1 cm

1 Pixel 1 cm

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

32x32 Matrix 40 cm FOV

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

= frecuencia máxima medida utilizando un

tamaño de matriz específico

= 1 / (2 * tamaño del pixel)

frecuencia

A

Nf (32) Nf (64) Nf (128)

Tamaño de la matriz 32 64 128

Frecuencia máxima de la imagen determinada

por la resolución de la cámara

Frecuencia de Nyquist

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

am

plit

ud

0.2 0.4 0.6 0.8 1

frecuencia /fn

Filtro Butterworth (64*64)

B/W fc=0.4 n=10

Espectro imagen

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

am

plitu

d

0.2 0.4 0.6 0.8 1

frecuencia /fn

Filtro Butterworth (128*128)

Espectro imagen

B/W fc=0.2 n=10

B/W fc=0.4 n=10

Problemas con el uso de la frecuencia de Nyquist

64x64 128x128

Fc = 0.3

Fc = 0.5

Fc = 0.7

Fc = 0.5

Fc = 0.25

Fc = 0.25

(orden = 10)