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Rechenbuch Metall
Lehr- und Übungsbuch
Bearbeitet vonJürgen Burmester, Josef Dillinger, Walter Escherich, Roland Gomeringer, Bernhard Schellmann, Claudius
Scholer
1. Auflage 2016. Buch. ca. 320 S.ISBN 978 3 8085 1856 4
Format (B x L): 17 x 24 cmGewicht: 573 g
schnell und portofrei erhältlich bei
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EUROPA-FACHBUCHREIHE
für Metallberufe
J. Burmester W. Escherich B. SchellmannJ. Dillinger R. Gomeringer C. Scholer
Rechenbuch MetallLehr- und Übungsbuch
32. Auflage
VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG
Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten
Europa-Nr.: 10307
Autoren:
Burmester, Jürgen Dipl.-Ing., Studienrat Soest
Dillinger, Josef Studiendirektor München
Escherich, Walter Studiendirektor München
Gomeringer, Roland Dipl.-Gwl., Studiendirektor Balingen
Schellmann, Bernhard Oberstudienrat Wangen i. A.
Scholer, Claudius Dipl.-Ing., Dipl.-Gwl., Studiendirektor Pliezhausen
Lektorat und Leitung des Arbeitskreises:
Claudius Scholer, Pliezhausen
Bildentwürfe: Die Autoren
Bildbearbeitung:
Zeichenbüro des Verlags Europa-Lehrmittel, Ostfildern
32. Auflage 2016Druck 5 4 3 2 1Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinander unverändert sind.
ISBN 978-3-8085-1856-4
Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.
© 2016 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruitenhttp://www.europa-lehrmittel.deSatz: Satz+Layout Werkstatt Kluth GmbH, 50374 ErftstadtUmschlag: Grafische Produktionen Jürgen Neumann, 97222 RimparUmschlagfoto: Sauter Feinmechanik GmbH, 72555 MetzingenDruck: Konrad Triltsch Print und digitale Medien GmbH, 97199 Ochsenfurt-Hohestadt
3Vorwort
Vorwort
Das Rechenbuch Metall ist ein Lehr- und Übungsbuch für die Aus- und Wei-terbildung in Fertigungs- und Werkzeugberufen. Es vermittelt rechne rische Grund- und Fachkenntnisse, fördert und vertieft das Verständnis für techni-sche Abläufe und technologische Zusammenhänge. Das Buch eignet sich sowohl für den unterrichtsbegleitenden Einsatz als auch zum Selbststudium.
Zielgruppen:
• Industriemechaniker • Fertigungsmechaniker• Feinwerkmechaniker • Technischer Produktdesigner• Zerspanungsmechaniker • Verfahrensmechaniker• Werkzeugmechaniker • Meister und Techniker
Der Inhalt des Rechenbuchs wurde dem Stand der Technik angepasst. Die Lernbereiche wurden neu gegliedert und erweitert, sodass sich die Lernfeld-konzeption im Unterricht umsetzen lässt.
Eine klare Gliederung in Teil A Fachrechnen, Teil B Vertiefungsaufgaben und Teil C Projektaufgaben unterstützt die Arbeit des Anwenders.
Im Teil A Fachrechnen bildet jeder Lernbereich eine in sich geschlossene Einheit mit identischem methodischem Aufbau. Nach der Einführung in das Fachgebiet werden die notwendigen Formeln hergeleitet und erläutert. Nachfolgende Musterbeispiele zeigen die technische Anwendung. Daran schließen sich Übungaufgaben an, die nach steigendem Schwierigkeitsgrad geordnet sind. Aufgaben mit höherem Schwierigkeitsgrad sind durch einen roten Punkt ( ) gekennzeichnet. Auf weitere Vertiefungsaufgaben im Teil B wird jeweils durch einen grünen Pfeil ( ) verwiesen.
Der Teil B Vertiefungsaufgaben stellt einen Querschnitt durch alle Stoffge-biete dar und kann zur Leistungskontrolle und zur Prüfungsvorbereitung verwendet werden.
Im Teil C Projektaufgaben wird die Unterrichtskonzeption nach Lernfeldern in besonderer Weise unterstützt. Die Projektaufgaben umfassen neben den fachmathematischen Aufgaben auch Fragen der Technologie, Werkstoff-technik, Steuerungstechnik und Arbeitsplanung.
Der Inhalt des Rechenbuches wurde in der 32. Auflage dem Stand der Tech-nik angepasst und um 8 Seiten erweitert. Die folgenden Lernbereiche wur-den ergänzt bzw. neu aufgenommen:• Beanspruchung auf Torsion • Projektaufgabe Drehteil
• Wahrscheinlichkeitsnetz • Wärmelehre
• Pneumatik/Hydraulik mit neuer Schaltplanbezeichnung
Die zahlreichen Bilder zu den Beispielen und Aufgaben sind in Form eines „Klebeanhanges“ erhältlich. Die „Lösungen“ zum Rechenbuch Metall er-möglichen nicht nur das Überprüfen der Ergebnisse, sondern enthalten außerdem den ausführlichen Lösungsweg der Aufgaben.
Kritische Hinweise und Verbesserungsvorschläge nehmen wir gerne ent-gegen über lektorat@europa-lehrmittel de.
Dank
Herzlich bedanken wir uns bei Herrn Roland Kilgus, der sich über viele Jahre als Lektor und Autor mit großem Engagement und mit hoher fachlicher Kom-petenz für die Weiterentwicklung des Rechenbuchs Metall eingesetzt hat.
Im Sommer 2016 Autoren und Verlag
Technische Mathematik
9 … 64
Technische Physik
65 … 150
Prüftechnik und
Qualitätsmanagement
151 … 170
Maschinenelemente
171 … 183
Fertigungsplanung
184 … 200
Fertigungstechnik
201 … 256
Vertiefungsaufgaben
257 … 280
Projektaufgaben
281 … 316
4
InhaltsverzeichnisLernfeldkompass für Industrie- und Werkzeugmechaniker . . . . . . . . . . . 6Lernfeldkompass für Zerspanungs- und Feinwerkmechaniker . . . . . . . . 7Mathematische und technische Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Teil A – Fachrechnen
Technische Mathematik
Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Grundrechnungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Klammerausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Strich- und Punktrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Bruchrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Potenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Radizieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Allgemeine Berechnungen
Schlussrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Zeitberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Winkelberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Technische Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Formeln und Zahlenwertgleichungen . . . . . . . . . . . 24Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Darstellung großer und kleiner Zahlenwerte . . . . . 25
Rechnen mit physikalischen Größen . . . . . . . . . . . . 26Umrechnen von Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Umstellen von Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Technische Berechnungen mit dem Taschenrechner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Berechnungen im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Lehrsatz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Längen, Flächen, Volumen, Gewichtskraft. . . . . . . 44Längen und Teilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Flächen und Verschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Masse und Gewichtskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Gleichdicke Körper, Masseberechnung mithilfe von Tabellenwerten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Volumenänderung beim Umformen . . . . . . . . . . . . 60Diagramme und Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Technische Physik
Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Konstante Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Beschleunigte und verzögerte Bewegungen . . . . . 70
Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Darstellen von Kräften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Grafische Ermittlung von Kräften . . . . . . . . . . . . . . 72Rechnerische Ermittlung von Kräften . . . . . . . . . . . 74Drehmoment, Hebelgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Lagerkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Umfangskraft und Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . 80Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . . 84Mechanische Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Mechanische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Mechanische Leistung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Einfache Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Fluidmechanik und Automation . . . . . . . . . . . . . . . 94Druck – Einheiten und Druckarten . . . . . . . . . . . . . . 94Kolbenkraft in Pneumatik und Hydraulik . . . . . . . . 95Luftverbrauch in der Pneumatik . . . . . . . . . . . . . . . . 98Hydrostatik – Prinzip der hydraulischen Presse . . 100Hydrodynamik – Volumenstrom . . . . . . . . . . . . . . 102Leistungsberechnung in der Hydraulik . . . . . . . . . 104Logische Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Werkstoffprüfung und Festigkeitslehre . . . . . . . . 113Zugversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Elastizitätsmodul und Hookesches Gesetz . . . . . . 116Beanspruchung auf Zug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Beanspruchung auf Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Beanspruchung auf Flächenpressung . . . . . . . . . . 122Beanspruchung auf Abscherung, Schneiden von Werkstoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Beanspruchung auf Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Beanspruchung auf Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Wärmelehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Längen- und Volumenänderung . . . . . . . . . . . . . . 129Schwindung beim Gießen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Wärmemenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Elektrotechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Leiterwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Temperaturabhängige Widerstände . . . . . . . . . . . 137Schaltung von Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Elektrische Leistung bei Gleichspannung . . . . . . . 142Wechselspannung und Wechselstrom . . . . . . . . . 144Elektrische Leistung bei Wechselstrom und bei Drehstrom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Elektrische Arbeit und Energiekosten . . . . . . . . . . 149Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Prüftechnik und Qualitätsmanagement
Maßtoleranzen und Passungen . . . . . . . . . . . . . . . 151Maßtoleranzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153ISO-Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Qualitätsmanagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Prozesskennwerte aus Stichprobenprüfung . . . . 157Statistische Berechnungen mit dem Taschenrechner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Maschinen- und Prozessfähigkeit . . . . . . . . . . . . . 163Statistische Prozesslenkung mit Qualitätsregelkarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Inhaltsverzeichnis 5
Maschinenelemente
Zahnradmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Stirnräder mit Geradverzahnung . . . . . . . . . . . . . . 171Stirnräder mit Schrägverzahnung . . . . . . . . . . . . . 172Achsabstand bei Zahnrädern . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Übersetzungen bei Antrieben . . . . . . . . . . . . . . . . 175Einfache Übersetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Mehrfache Übersetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Schraubenverbindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Schraubenverbindung mit axialer Betriebskraft. . 180Schraubenverbindung ohne Betriebskraft . . . . . . 182
Fertigungsplanung
Standgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Durchlaufzeit, Belegungszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Auftragszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Kostenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Maschinenstundensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Deckungsbeitrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Lohnberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Fertigungstechnik
Drehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Schnittdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Drehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Schnittkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Schnitt- und Antriebsleistung. . . . . . . . . . . . . . . . . 204Rautiefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Hauptnutzungszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207Kegelmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Fräsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Schnittdaten und Drehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Schnittkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Schnitt- und Antriebsleistung. . . . . . . . . . . . . . . . . 213Hauptnutzungszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Bohren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Schnittdaten und Drehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Schnittkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Schnitt- und Antriebsleistung. . . . . . . . . . . . . . . . . 219Hauptnutzungszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Schleifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Hauptnutzungszeit beim Längs-Rundschleifen . . 222Hauptnutzungszeit beim Umfangs-Planschleifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224Indirektes Teilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Koordinaten in NC-Programmen . . . . . . . . . . . . . . 228Geometrische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228Koordinatenmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230Abtragen und Schneiden, Hauptnutzungszeit . . . 234Trennen durch Schneiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236Schneidspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236Streifenmaße und Streifenausnutzung . . . . . . . . . 238Biegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Zuschnittermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Rückfederung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242Tiefziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244Zuschnittdurchmesser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244Ziehstufen und Ziehverhältnisse . . . . . . . . . . . . . . 245Exzenter- und Kurbelpressen . . . . . . . . . . . . . . . . . 247Pressenauswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247Schneidarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247Spritzgießen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Schwindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Kühlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250Dosierung der Formmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252Schmelzschweißen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Lernfeldkompass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Berechnungen im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258Längen, Flächen, Volumen, Masse und Gewichtskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259Bewegungen, Übersetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . 260Kräfte, Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . . . 261Kräfte, Flächenpressung, Kennwerte. . . . . . . . . . . 262Kräfte an Bauteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263Maßtoleranzen, Passungen und Teilen . . . . . . . . . 264Statistische Auswertungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265Maschinen- und Prozessfähigkeit . . . . . . . . . . . . . 267
Bohren, Senken, Reiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268Drehen, Fräsen, Schleifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269Koordinaten in NC-Programmen . . . . . . . . . . . . . . 271Schneiden und Umformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272Schraub-, Stift-, Passfeder- und Lötverbindung . . 273Wärmeausdehnung und Wärmemenge . . . . . . . . 274Hydraulik und Pneumatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275Grundlagen der Elektrotechnik . . . . . . . . . . . . . . . 277Elektrische Leistung und Wirkungsgrad . . . . . . . . 278Elektrische Antriebe und Steuerungen . . . . . . . . . 279Kalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Teil B – Vertiefungsaufgaben
Teil C – Projektaufgaben
Vorschubantrieb einer CNC-Fräsmaschine . . . . . . 281Hubeinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284Zahnradpumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287Hydraulische Spannklaue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290Folgeschneidwerkzeug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293Tiefziehwerkzeug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Spritzgießwerkzeug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299Qualitätsmanagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302Pneumatische Steuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305Elektropneumatik – Sortieren von Materialien . . . 308Frästeil Spannplatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311Drehteil Ritzelwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
Anhang: Referenznorm DIN EN 81546-2 . . . . . . . . 317Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
6 Lernfelder für Industrie- und Werkzeugmechaniker und die hierzu passenden Abschnitte im Rechenbuch Metall
Lernfelder für Industrie- und Werkzeugmechaniker und die hierzu passenden Abschnitte im Rechenbuch MetallLern-feld
Industrie -mechaniker
Kapitel im Rechenbuch Werkzeug-mechaniker
Kapitel im Rechenbuch
1 Fertigen von Bauele-menten mit handgeführ-ten Werkzeugen
Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 44Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 48Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 54Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 55Gewichtskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 55Maßtoleranzen . . . . . . . . . . . . . . . . S. 151Umformen, Biegen . . . . . . . . . . . . . S. 240
Fertigen von Bauele-menten mit handgeführ-ten Werkzeugen
Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 44Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 48Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 54Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 55Gewichtskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 55Maßtoleranzen . . . . . . . . . . . . . . . . S. 151Umformen, Biegen . . . . . . . . . . . . . S. 240
2 Fertigen von Bauele-menten mit Maschinen
Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 153Konstante Bewegungen . . . . . . . . S. 65Drehen (vc; n; f) . . . . . . . . . . . . . . . . S. 201Bohren (vc; n; f) . . . . . . . . . . . . . . . . S. 217Fräsen (vc; n; f). . . . . . . . . . . . . . . . . S. 211Kostenrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . S. 190
Fertigen von Bauele-menten mit Maschinen
Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 153Konstante Bewegungen . . . . . . . . S. 65Drehen (vc; n; f) . . . . . . . . . . . . . . . . S. 201Bohren (vc; n; f) . . . . . . . . . . . . . . . . S. 217Fräsen (vc; n; f). . . . . . . . . . . . . . . . . S. 211Kostenrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . S. 190
3 Herstellen von ein-fachen Baugruppen
Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 72 Hebel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 76Einfache Maschinen . . . . . . . . . . . S. 91
Herstellen von ein-fachen Baugruppen
Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 72 Hebel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 76Einfache Maschinen . . . . . . . . . . . S. 91
4 Warten technischer Systeme
Diagramme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 61Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . S. 135Schaltung v. Widerständen. . . . . . S. 138
Warten technischer Systeme
Diagramme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 61Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . S. 135Schaltung v. Widerständen. . . . . . S. 138
5 Fertigen von Einzelteilen mit Werkzeugmaschi-nen
Prozesskennwerte Stichproben. . S. 157Drehen (Fc; Pc; th) . . . . . . . . . . . . . . S. 201Bohren (Fc; Pc; th) . . . . . . . . . . . . . . S. 217Fräsen (Fc; Pc; th). . . . . . . . . . . . . . . S. 211
Formgeben von Bauele-menten durch spanende Fertigung
Drehen (Fc; Pc; th) . . . . . . . . . . . . . . S. 201Bohren (Fc; Pc; th) . . . . . . . . . . . . . . S. 217Fräsen (Fc; Pc; th). . . . . . . . . . . . . . . S. 211Indirektes Teilen . . . . . . . . . . . . . . . S. 226
6 Installieren und Inbetriebnehmen steuerungstechnischer Systeme
Druck und Kolbenkräfte . . . . . . . . . S. 94Logische Verknüpfungen . . . . . . . S. 106Projekt: Pneumatische Steuerung . . . . . . . S. 305Hydraulische Presse . . . . . . . . . . . S. 98
Herstellen technischer Teilsys teme des Werk-zeugbaus
Biegen, Rückfedern . . . . . . . . . . . . S. 240Tiefziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 244Exzenter- und Kurbelpressen . . . . S. 247
7 Montieren von techni-schen Teilsystemen
Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . S. 119Lagerkräfte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 78Zugversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 113
Fertigen mit numerisch gesteuerten Werkzeug-maschinen
Berechnungen im Dreieck. . . . . . . S. 35Koordinaten in NC-Programmen . S. 228
8 Fertigen auf numerisch gesteuerten Werkzeug-maschinen
Berechnungen im Dreieck . . . . . . S. 35Koordinaten in NC-Programmen . S. 228
Planen und Inbetrieb-nehmen steuerungs-technischer Systeme
Druck und Kolbenkräfte . . . . . . . . . S. 94Logische Verknüpfungen. . . . . . . . S. 106Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . S. 135Leiterwiderstand. . . . . . . . . . . . . . . S. 136
9 Instandsetzen von tech-nischen Sys temen
Reibung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 82Wärmelehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 129Kostenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . S. 190
Herstellen von form-gebenden Werkzeug-oberfl ächen
Hauptnutzungszeit beim Schneiden . . . . . . . . . . . . . . . S. 234Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 84Wechselspannung und Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . S. 144
10 Herstellen und Inbetriebnehmen von technischen Systemen
Zahnradmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 171Übersetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . S. 175Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 84Wechselspannung und Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . S. 144El. Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 147El. Energiekosten . . . . . . . . . . . . . . S. 149
Fertigen von Bauele-menten in der rechner-gestützten Fertigung
Berechnungen im Dreieck . . . . . . S. 35Koordinaten in NC-Programmen . S. 228
11 Überwachen der Produkt- und Prozess-qualität
Qualitätsmanagement . . . . . . . . . . S. 157Projekt: Qualitätsmanagement am Bsp. eines Stirnradgetriebes . . . . S. 302
Herstellen der tech-nischen Sys teme des Werkzeugbaus
Trennen durch Schneiden. . . . . . . S. 236Werkstoffprüfung . . . . . . . . . . . . . . S. 113Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . S. 119
12 Instandhalten von tech-nischen Sys temen
Werkstoffprüfung . . . . . . . . . . . . . . S. 113Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . S. 119
Inbetriebnehmen und Instandhalten von tech-nischen Systemen des Werkzeugbaus
Qualitätsmanagement . . . . . . . . . . S. 157El. Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 147El. Energiekosten. . . . . . . . . . . . . . . S. 149Projekt: Folgeschneidwerkzeug . . S. 293
13 Sicherstellen der Be-triebsfähigkeit automa-tisierter Systeme
Logische Verknüpfungen . . . . . . . S. 106Projekt: Pneumatische Steuerung . . . . . . . S. 305Projekt: Elektropneumatik . . . . . . . S. 308
Planen und Fertigen technischer Systeme des Werkzeugbaus
Spritzgießen . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 249Projekt: Spritzgießwerkzeug. . . . . S. 299Projekt: Tiefziehwerkzeug . . . . . . . S. 296
14 Planen und Realisieren technischer Systeme
Projekt: Vorschubantrieb einer CNC-Fräsmaschine . . . . . . . S. 281Projekt: Hubeinheit . . . . . . . . . . . . . S. 284
Ändern und Anpassen technischer Systeme des Werkzeugbaus
Qualitätsmanagement . . . . . . . . . . S. 157Projekt: Qualitätsmanagement am Bsp. eines Stirnradgetriebes . . . . S. 302
15 Optimieren von techni-schen Systemen
Projekt: Zahnradpumpe . . . . . . . . . S. 287Projekt: Hydraulische Spannklaue . . . . . . . S. 290
– –
7Lernfelder für Zerspanungs- und Feinwerkmechaniker und die hierzu passenden Abschnitte im Rechenbuch Metall
Lernfelder für Zerspanungs- und Feinwerkmechaniker und die hierzu passenden Abschnitte im Rechenbuch MetallLern-feld
Zerspanungs-mechaniker
Kapitel im Rechenbuch Feinwerk-mechaniker
Kapitel im Rechenbuch
1 Fertigen von Bauele-menten mit handgeführ-ten Werkzeugen
Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 44Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 48Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 54Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 55Gewichtskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 55Maßtoleranzen . . . . . . . . . . . . . . . . S. 151Umformen, Biegen . . . . . . . . . . . . . S. 240
Fertigen von Bauele-menten mit handgeführ-ten Werkzeugen
Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 44Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 48Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 54Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 55Gewichtskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 55Maßtoleranzen . . . . . . . . . . . . . . . . S. 151Umformen, Biegen . . . . . . . . . . . . . S. 240
2 Fertigen von Bauele-menten mit Maschinen
Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 153Konstante Bewegungen . . . . . . . . S. 65Drehen (vc; n; f) . . . . . . . . . . . . . . . . S. 201Bohren (vc; n; f) . . . . . . . . . . . . . . . . S. 217Fräsen (vc; n; f). . . . . . . . . . . . . . . . . S. 211Kostenrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . S. 190
Fertigen von Bauele-menten mit Maschinen
Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 153Konstante Bewegungen . . . . . . . . S. 65Drehen (vc; n; f) . . . . . . . . . . . . . . . . S. 201Bohren (vc; n; f) . . . . . . . . . . . . . . . . S. 217Fräsen (vc; n; f). . . . . . . . . . . . . . . . . S. 211Kostenrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . S. 190
3 Herstellen von ein-fachen Baugruppen
Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 72Hebel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 76Einfache Maschinen . . . . . . . . . . . S. 91
Herstellen von ein-fachen Baugruppen
Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 72Hebel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 76Einfache Maschinen . . . . . . . . . . . S. 91
4 Warten technischer Systeme
Diagramme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 61Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . S. 135Schaltung v. Widerständen. . . . . . S. 138
Warten technischer Systeme
Diagramme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 61Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . S. 135Schaltung v. Widerständen. . . . . . S. 138
5 Herstellen von Bauele-menten durch spanende Fertigungsverfahren
Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 153Drehen (Fc; Pc; th) . . . . . . . . . . . . . . S. 201Bohren (Fc; Pc; th) . . . . . . . . . . . . . . S. 217Fräsen (Fc; Pc; th). . . . . . . . . . . . . . . S. 211
Herstellen von Dreh- und Frästeilen
Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 153Drehen (Fc; Pc; th) . . . . . . . . . . . . . . S. 201Bohren (Fc; Pc; th) . . . . . . . . . . . . . . S. 217Fräsen (Fc; Pc; th). . . . . . . . . . . . . . . S. 211
6 Warten und Inspizieren von Werkzeugma-schinen
Standgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 184Durchlauf-, Belegungszeit. . . . . . . S. 185Flächenpressung. . . . . . . . . . . . . . . S. 122Lagerkräfte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 78 Reibung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 82
Programmieren und Fertigen auf numerisch gesteuerten Werkzeug-maschinen
Berechnungen im Dreieck. . . . . . . S. 35Koordinaten in NC-Programmen . S. 228Maschinenstundensatz . . . . . . . . . S. 194Deckungsbeitrag. . . . . . . . . . . . . . . S. 196
7 Inbetriebnehmen steuerungstechnischer Systeme
Druck und Kolbenkräfte . . . . . . . . . S. 94Logische Verknüpfungen. . . . . . . . S. 106Projekt: Zahnradpumpe . . . . . . . . . S. 287Hydraulische Presse . . . . . . . . . . . S. 98
Herstellen technischer Teilsysteme
Zugversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 113Elastizitätsmodul und Hookesches Gesetz . . . . . . . . . . . . S. 116Längen- und Volumenänderung. . S. 129Flächenpressung. . . . . . . . . . . . . . . S. 122Lagerkräfte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 78Reibung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 82
8 Programmieren und Fertigen mit numerisch gesteuerten Werkzeug-maschinen
Koordinaten in NC-Programmen . S. 228Qualitätsmanagement . . . . . . . . . . S. 157
Planen und Inbetrieb-nehmen steuerungs-technischer Systeme
Druck und Kolbenkräfte . . . . . . . . . S. 94Logische Verknüpfungen. . . . . . . . S. 106Projekt: Pneumatische Steuerung . . . . . . . S. 305Projekt: Elektropneumatik . . . . . . . S. 308
9 Herstellen von Bauele-menten durch Feinbe-arbeitungsverfahren
Schleifen (th) . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 222 Abtragen und Schneiden (th) . . . . S. 234ISO-Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . S. 154
Instandhalten von Funk-tionseinheiten
Lagerkräfte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 78Standgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 184Durchlauf-, Belegungszeit. . . . . . . S. 185Flächenpressung. . . . . . . . . . . . . . . S. 122
10 Optimieren des Ferti-gungsprozesses
Mechanische Leistung. . . . . . . . . . S. 87Maschinen- und Prozessfähigkeit . . . . . . . . . . . S. 163Fertigungstechnik (Schnittleis tung, Hauptnutzungszeit) . . . . . . . . . . . . . S. 201Fertigungsplanung . . . . . . . . . . . . . S. 184
Feinbearbeiten von Flächen
Schleifen (th) . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 222 Abtragen und Schneiden. . . . . . . . S. 234Auftragszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 188Kostenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . S. 190
11 Planen und Organisie-ren rechnergestützter Fertigung
Prozesskennwerte aus Stich-probenprüfung. . . . . . . . . . . . . . . . . S. 157Statistische Prozesslenkung. . . . . S. 167
Herstellen von Bau-teilen und Baugruppen aus Kunststoff
Spritzgießen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 249Projekt: Spritzgießwerkzeug. . . . . S. 299Projekt: Folgeschneidwerkzeug . . S. 293
12 Vorbereiten und Durch-führen eines Einzelferti-gungsauftrages
Fertigungstechnik: Schnittdaten, Schnittkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 201Projekt: Hydraulische Spannklaue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 290Maschinenstundensatz . . . . . . . . . S. 194Deckungsbeitrag. . . . . . . . . . . . . . . S. 196
Planen und Organisie-ren rechnergestützter Fertigung
Prozesskennwert aus Stichproben-prüfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 157Statistische Prozesslenkung. . . . . S. 167
13 Organisieren und Überwachen von Ferti-gungsprozessen in der Serienfertigung
Projekt: Frästeil Spannplatte. . . . . S. 311Projekt: Drehteil Ritzelwelle . . . . . S. 314Projekt: Qualitätsmanagement am Bsp. eines Stirnradgetriebes . . . . S. 302
Instandhalten techni-scher Systeme
Maschinen- und Prozess-fähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 163Fertigungstechnik (Schnittleis tung, Hauptnutzungszeit) . . . . . . . . . . . . . S. 201Fertigungsplanung . . . . . . . . . . . . . S. 184
14 – – Fertigen von Schweiß-konstruktionen1)
Schmelzschweißen . . . . . . . . . . . . S. 254
15 – – Montieren, Demontieren und Inbetriebnehmen technischer Systeme1)
Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad . . S. 84Qualitätsmanagement . . . . . . . . . . S. 157Elektrotechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 135
16 – – Programmieren auto-matisierter Systeme und Anlagen1)
Projekt: Elektropneumatik . . . . . . . S. 308
1) Schwerpunkt Maschinenbau
8 Mathematische und physikalische Begriffe
Mathematische und physikalische Begriffe
Begriffe Erklärung Beispiele
Größen und Einheiten
Physikalische
Größen
Physikalische Größen sind objektiv messbare Eigen schaften von Zuständen und Vorgängen. Eine physi kalische Größe ist das Produkt eines Zahlenwertes mit einer Einheit.
Bei der Länge Œ = 30 mm ist 30 der Zahlenwert und mm (Millimeter) die Einheit.
Basisgröße Man unterscheidet Basisgrößen und Basiseinheiten. Sie sind im internationalen Einheitensystem (Sl = Système Internatio-nal) festgelegt.
Basisgröße Formelzeichen
LängeMasse
Œm
Basiseinheit Basiseinheit Zeichen
MeterKilogramm
mkg
Abgeleitete
Größen und
abgeleitete
Einheiten
Die abgeleiteten Größen und deren Einheiten setzen sich aus den Basisgrößen und deren Einheiten zu sammen.
Kraft = Masse · Beschleunigung
Umrechnung
von Einheiten
Einheiten können in größere oder kleinere Einheiten oder an-dere Maßsysteme umgerechnet werden.
1 11 000
11 000
1 1 103
·kg kgg
kgg
dm d
= =
= =— —— = 0 001 3, m
Gleichungen und Formeln
Gleichungen Gleichungen beschreiben die Abhängigkeit mathe matischer oder physikalischer Größen voneinander.
16 + 9 = 100 – 75x + 15 = 25
Formeln Technische oder physikalische Gleichungen mit Formelzei-chen bezeichnet man als Formeln.
s = v · t(Weg = Geschwindigkeit • Zeit)
Formel zeichen Formelzeichen bestehen aus kursiv gedruckten Buchstaben und kennzeichnen Größen. Sie ersetzen Wörter und dienen zum Rechnen mit Formeln.
m für MasseA für Fläche
Größen-
gleichungen
Größengleichungen stellen Beziehungen zwischen physikali-schen Größen dar. Sie sind unabhängig von der Wahl der Ein-heit und können Zahlenwerte, z. B. p, mathematische Zeichen, z. B. 022, enthalten.Kennzeichnung in diesem Buch: rote Umrandung.
dA
=4 ·p
Zahlenwert-
gleichungen
Die Zahlenwerte aller Formelzeichen sind an vorge gebene Ein-heiten gebunden. Der Zahlenwert des Ergebnisses erhält die gewünschte Einheit nur dann, wenn alle Zahlenwerte der Glei-chung in den jeweils vorgeschriebenen Einheiten eingesetzt werden. Kennzeichnung in diesem Buch: rote Umrandung.
PQ p
=·
600
P in kWQ in —/minp in bar
Zahlenwerte
Konstanten Konstanten sind gleichbleibende Zahlenwerte oder Größen bei Berechnungen in der Mathematik und Physik.
p = 3,141 592 654... (Kreiszahl)c fi 300 000 km/s (Lichtge-
schwindigkeit im Vakuum)
Koeffi zienten Koeffi zienten sind Größen, die den Einfl uss einer Stoffeigen-schaft auf einen physikalischen Vorgang kennzeichnen.
a = 0,000 012 1/K (a = Längenausdehnungs -
koeffi zient für Stahl)
Runden Es gilt DIN 1333: Ist die über die angegebene Stel lenzahl hinausgehende Ziffer = 5 oder > 5, wird auf gerundet. Ist die Ziffer < 5, wird abgerundet.
25,5 N fi 26 N18,79 kg fi 18,8 kg164,4 cm3 fi 164 cm3
1 1 12 2
··
N kgms
kg ms
= =
AAA11A2
AAAA3333 øøøøø88888 9
Technische Mathematik
ZahlensystemeBeim Rechnen wird allgemein das dezimale Zah-lensystem verwendet. Die elektronische Datenver-arbeitung (EDV) und die Automatisierungstechnik bauen jedoch auf dem dualen und hexadezimalen Zahlemsystem auf, weil die elektronischen Bau-elemente nur binäre1) Informationen, d. h. die Zu-stände 0 und 1, verarbeiten können.Zahlensysteme setzen sich aus der Basis und den Zeichen zusammen (Tabelle 1).
Bezeichnungen:
z10 Kurzzeichen für eine Dezimalzahl2)
z2 Kurzzeichen für eine Dualzahl3)
z16 Kurzzeichen für eine Hexadezimalzahl2)
Dezimales Zahlensystem
Beim dezimalen Zahlensystem werden die Ziffern 0 bis 9 verwendet. Alle Zahlen können als Zehner-potenzen geschrieben werden.
Die Zehnerpotenzen werden nicht geschrieben, sondern nur die Faktoren (Tabelle 2).
Duales (binäres) Zahlensystem
Beim dualen Zahlensystem werden lediglich die Ziffern „0“ und „1“ verwendet. Alle Zahlen werden als Potenzen der Basis 2 dargestellt (Tabelle 2).
Umwandlung von Dezimal- in Dualzahlen
Umwandlung von Dual- in Dezimalzahlen
Beispiel:
Dezimalzahl z10 = 857 z10 = 8 · 102 + 5 · 101 + 7 · 100
= 800 + 50 + 7 = 857
Beispiel:
Die Dezimalzahl z10 = 14 ist in eine Dualzahl umzu-wandeln.Lösung: Es wird das Resteverfahren verwendet. Da zu
teilt man die Dezimalzahl jeweils durch die Basiszahl 2 (Tabelle 3). Als Rest ergibt sich jeweils die „0“ oder die „1“. Die Zweier-potenzen werden nicht geschrieben, sondern nur die Faktoren, so erhält man: z2 = 1 110.
Beispiel:
Die Dualzahl z2 = 10 110 ist in eine Dezimalzahl z10 um-zuwandeln.Lösung: Der Dualzahl z2 werden ihre Zweierpotenzen
von 20 bis 24 von rechts nach links steigend zugeordnet (Tabelle 4).
Alle Stellenwerte, z. B. 16 der Zweierpotenz 24, werden mit der zugehörenden Dualzahl, hier „1“, multipliziert. Alle Produkte zusam-men addiert ergeben die Dezimalzahl z10 = 22.
1) binär (lat.) = aus zwei Einheiten bestehend2) hexa (griech.) = sechs, dezimal (lat.) = 103) dual (lat.) = aus zwei Einheiten bestehend
Tabelle 1: Zahlensysteme
Zahlensystem Basis Zeichen
Dual 2 0, 1Dezimal 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Hexadezimal 160, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Tabelle 2: Dezimal-, Dual- und Hexadezimal-
zahlen
Zahlen im
Dezimal-
system
Zahlen im Dualsystem
Zahlen im
Hexadezimal-
system
Zehner-potenzen
ZweierpotenzenSechzehner-
potenzen101 100 24 23 22 21 20 162 161 160
0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 12 0 0 0 1 0 23 0 0 0 1 1 34 0 0 1 0 0 45 0 0 1 0 1 56 0 0 1 1 0 67 0 0 1 1 1 78 0 1 0 0 0 89 0 1 0 0 1 9
1 0 0 1 0 1 0 A1 1 0 1 0 1 1 B1 2 0 1 1 0 0 C1 3 0 1 1 0 1 D1 4 0 1 1 1 0 E1 5 0 1 1 1 1 F1 6 1 0 0 0 0 1 0
Tabelle 3: Umwandlung der Dezimalzahl z10 in
eine Dualzahl z2
14 : 2 = 7 Rest 0 7 : 2 = 3 Rest 1 3 : 2 = 1 Rest 1 1 : 2 = 0 Rest 1
Ergebnis: z2 = 1 1 1 0
Tabelle 4: Umwandlung einer Dualzahl z2 in
eine Dezimalzahl z10
Dualzahl z2 1 0 1 1 0
Zweierpotenz 24 23 22 21 20
Stellenwert 16 8 4 2 1Addition: z10 = 16 · 1 + 8 · 0 + 4 · 1 + 2 · 1 + 1 · 0 = 22
AAAA111A2
AAAA3333øøøøøø8888810 Teil A – Fachrechnen
Hexadezimales Zahlensystem
Bei Mikroprozessoren verwendet man häufi g auch das hexadezimale Zahlensystem. Bei diesem werden neben den Ziffern 0 bis 9 auch die Buchstaben A bis F benützt. Es hat den Vorteil, dass we niger Zeichen benötigt werden, als dies beim dezimalen und dualen Zahlensystem der Fall ist.Die Zahlen werden in Potenzen der Basis 16 angegeben: 160, 161, 162 usw. (Tabelle 2, vorherige Seite).
Die Hexadezimalzahl z16 = A ergibt eine Dezimalzahl z10 = 10 oder z16 = F ergibt z10 = 16.
Aufgaben | Zahlensysteme
1. Umwandlung von Dezimalzahlen (Tabelle 3). Die Dezimalzahlen sind in Dualzahlen sowie in Hexa-dezimalzahlen umzuwandeln.
2. Umwandlung von Dualzahlen (Tabelle 4). Wandeln sie die folgenden Dualzahlen in Dezimalzah len um.
3. Umwandlung von Hexadezimalzahlen (Tabelle 5). Die Hexadezimalzahlen sind in Dezimalzah len und in Dualzahlen umzuwandeln.
4. Umwandlung von Dualzahlen (Tabelle 6). Die Dualzahlen sind in Hexadezimalzahlen umzuwan-deln.
Tabelle 3 a b c d e f g h i
Dezimalzahl 24 30 48 64 100 144 150 255 2 000
Tabelle 4 a b c d e f
Dualzahl 100 10 10 1 11 11 11 00 11 11 11 00 00 11 11 11 11
Tabelle 5 a b c d e f
Hexadezimalzahl 68 A0 96 8F ED FF
Tabelle 6 a b c d e f
Dualzahlen 10 10 10 11 10 00 11 00 11 00 11 10 00 11 10 01 00 10 10 00 01 11
Tabelle 1: Umwandlung einer Dezimalzahl z10 in
eine Hexadezimalzahl z16
2 016 : 16 = 126 Rest 0 126 : 16 = 7 Rest 14 7 : 16 = 0 Rest 7
Ergebnis: z16 = 7 E 0
(aus dem Rest 14 wird die Ziffer 0, siehe Tabelle 2,
vorherige Seite)
Tabelle 2: Umwandlung der Hexadezimalzahl
z16 in eine Dezimalzahl z10
Hexadezimalzahl z16 A 2 FZiffernwert 10 2 1516er Potenz 162 161 160
Stellenwert 256 16 1Addition: z10 = 10 · 256 + 2 · 16 + 15 · 1
= 2 560 + 32 + 15 = 2 607
Umwandlung von Dezimalzahlen in
Hexa dezimalzahlen
Umwandlung von Hexadezimalzahlen in
Dezimalzahlen
Beispiel:
Die Hexadezimalzahl z16 = A2F ist in eine Dezimalzahl z10 umzuwandeln.Lösung: Der Hexadezimalzahl z16 werden ihre 16er-
Potenzen von 160 bis 162 von rechts nach links steigend zugeordnet (Tabelle 2).
Von den Buchstabenwerten A und F werden ihre Ziffernwerte gebildet. Diese Ziffernwer-te werden jeweils mit ihren Stellenwerten multipliziert und alle Produkte addiert.
So ergibt sich die Dezimalzahl z10 = 2607.
Beispiel:
Die Dezimalzahl z10 = 2016 ist in eine Hexadezimalzahl z16 umzuwandeln.Lösung: Auch hier wird das Resteverfahren verwen-
det. Dazu teilt man die Dezimalzahl jeweils durch die Basiszahl 16 (Tabelle 1). Als Rest ergibt sich jeweils Zahlen von 0 bis 15. Die Zahlen von 10 bis 15 müssen in Buchstaben umgewandelt werden. Die 16er-Potenzen werden nicht geschrieben, sondern nur die Faktoren.
So erhält man das Ergebnis z16 = 7 E 0.
AAA11A2
AAAA3333 øøøøø88888 11Technische Mathematik: Grundrechnungsarten
Grundrechnungsarten
Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zählen zu den Grundrechnungsarten. In diesem Ab-schnitt werden außerdem das Potenzieren, Radizieren (Wurzelziehen) und das Bruchrechnen behan delt. Die Einführung der Rechenregeln wird mit Zahlenbeispielen erläutert. Die daraus abgeleiteten Beispie-le aus der Algebra führen in das technische Rechnen mit Formeln ein.
Variable
In der Algebra werden Variable (Platzhalter) ein-gesetzt, die beliebige Zahlenwerte darstellen kön-nen (Tabelle 1). Als Variable werden meist Klein-buchstaben verwendet.
Tabelle 1: Schreibweisen von Variablen
Zeichen Beispiele
Das Multiplikationszeichen zwischen Zahl und Variable kann weggelassen werden.
3 · a = 3aa · b = ab
Der Faktor 1 wird meist nicht geschrieben. 1 · b = b
Klammerausdrücke (Klammerterm)
Mathematische Ausdrücke können mit Klammern zusammengefasst werden. Die in Klammern stehen-den Werte müssen zuerst berechnet werden. Die Rechenregeln sind in Tabelle 2 beschrieben.
Tabelle 2: Klammerausdrücke
Rechenregel Zahlenbeispiel Algebraisches Beispiel
Pluszeichen vor der Klammer
Klammern, vor denen ein Pluszeichen steht, können weggelas sen werden. Die Vorzeichen der Glieder bleiben unverändert.
16 + (9 – 5)= 16 + 9 – 5= 20
a + (b – c)= a + b – c
Minuszeichen vor der Klammer
Klammern, vor denen ein Minuszeichen steht, können nur auf gelöst (weggelassen) werden, wenn alle Glieder in der Klammer entgegen-gesetzte Vorzeichen erhalten.
16 – (9 – 5) = 16 – 9 + 5 = 12
a – (b – c)= a – b + c
Strich- und Punktrechnungen
Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division können aufgrund ihrer Rechenzeichen in Strich- (–, +) und Punktrechnungen (·, :) unterteilt werden.
Strichrechnungen
Zu den Strichrechnungen zählen die Addition und die Subtraktion. Die Rechenregeln für Strichrech-nungen können Tabelle 3 entnommen werden.
Tabelle 3: Rechenregeln für die Strichrechnungen
Rechenregel Zahlenbeispiel Algebraisches Beispiel
Vertauschungsgesetz
Zahlen und Buchstaben können ver tauscht wer-den.
3 – 9 + 7= 7 + 3 – 9= –9 + 3 + 7= 1
a – b + c= a + c – b= –b + a + c
Zusammenfassung
Einzelne Glieder können zu Teilsum men zusam-mengefasst werden.
3 + 7 – 9 = (3 + 7) – 9
a + b – c = (a + b) – c
Summieren von Variablen
Nur gleiche Variable können addiert oder subtra-hiert werden.
– 18a – 3a + 2b – 5b = 15a – 3b
AAAA111A2
AAAA3333øøøøøø8888812 Teil A – Fachrechnen
Punktrechnungen
Multiplikationen und Divisionen bezeichnet man als Punktrechnungen. Die Rechenregeln für die Multi-plikation sind in der Tabelle 1 zusammengestellt.
Tabelle 1: Rechenregeln für die Multiplikation
Rechenregel Zahlenbeispiel Algebraisches Beispiel
Vertauschungsgesetz
Faktoren dürfen vertauscht werden. 3 · 4 · 5 = 4 · 3 · 5= 5 · 3 · 4 = 5 · 4 · 3
a · b · c = b · a · c= c · a · b = c · b · a
Vorzeichenregeln
Gleiche Vorzeichen
Haben zwei Faktoren gleiche Vorzeichen, so wird das Produkt positiv; + mal + = +; – mal – = +
2 · 5 = 10(–2) · (–5) = +10 = 10
a · x = ax(–a) · (–x) = +ax = ax
Ungleiche Vorzeichen
Haben zwei Faktoren verschiedene Vorzeichen, so wird das Produkt negativ; – mal + = –; + mal – = –
3 · (–8) = –24(–3) · 8 = –24
a · (–x) = –ax(–a) · x = –ax
Produkte mit Klammern
Faktor mit Klammer
Ein Klammerausdruck wird mit einem Faktor multi-pliziert, in dem man jedes Glied der Klammer mit dem Faktor multipliziert. Wenn möglich, sollte man zuerst den Inhalt der Klammer zusammenfassen und dann den Wert der Klammer mit dem Faktor multiplizieren.
7 · (4 + 5)= 7 · 4 + 7 · 5= 63
oder: 7 · (4 + 5)= 7 · 9 = 63
a · (b + 2b)= ab + 2ab= 3ab
oder: a · (b + 2b)= a · 3b= 3ab
Klammer mit Klammer
Zwei Klammerausdrücke werden miteinander multi-pliziert, indem man jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer multipliziert. Bei Zahlen können auch zuerst die Klammeraus-drücke berechnet und danach kann das Produkt gebildet werden.
(3 + 5) · (10 – 7)= 3 · 10 + 3 · (–7) + 5 · 10 + 5 · (–7)= 30 – 21 + 50 – 35= 24
oder: (3 + 5) · (10 – 7)= 8 · 3 = 24
(a + b) · (c – d)= ac – ad + bc – bd
Tabelle 2: Rechenregeln für die Division
Rechenregel Zahlenbeispiel Algebraisches Beispiel
Bruchstrich entspricht Klammer
Der Bruchstrich fasst Ausdrücke in gleicher Weise zusam men wie eine Klammer und ersetzt das Divisionszeichen.
3 42
3 4 2+
= + =( ) : 3,5a b+
= +2
a b
2 2
Vertauschungsgesetz gilt nicht!Zähler und Nenner dürfen nicht vertauscht werden.
3 4 4 334
43
: :≠
≠
a b b aab
ba
: :≠
≠
Vorzeichenregel
Gleiche Vorzeichen
Haben Zähler und Nenner gleiche Vorzeichen, so ist das Ergebnis positiv.+ geteilt durch + = +– geteilt durch – = +
153
15 3
153
15 3
= =
−−
= − − =
:
( ) : ( )
5
+5
ab
–a–b
=
=
a
b
a
b
Ungleiche Vorzeichen
Haben Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen, so ist das Ergebnis negativ.+ geteilt durch – = –– geteilt durch + = –
153
15 3
153
15 3
–: ( )
( ) :
= − =
−= − =
–5
–5
a–b
–ab
=
=
–
–
a
b
a
b
Klammerausdrücke
Klammer geteilt durch Wert
Ein Klammerausdruck wird durch einen Wert (Zahl, Buch stabe, Klammerausdruck) dividiert, indem man jedes ein zelne Glied in der Klammer durch diesen Wert dividiert. Man kann auch den Klammerausdruck erst berechnen und danach dividieren.
(16 – 4) : 4= 16 : 4 – 4 : 4= 4 – 1 = 3oder (16 – 4) : 4 = 12 : 4 = 3
a bb
ab
bb
––= =
a
b– 1
Die Rechenregeln für die Division sind in Tabelle 2 dargestellt. Das Rechenzeichen für die Division ist der Doppelpunkt (:) oder der Bruchstrich.
AAA11A2
AAAA3333 øøøøø88888 13Technische Mathematik: Grundrechnungsarten
Gemischte Punkt- und Strichrechnungen
Kommen in einer Rechnung sowohl Strich- als auch Punktrechnungen oder Klammern vor, so ist die Reihenfolge der Lösungsschritte zu beachten. Die Rechenregeln sind in Tabelle 1 zusammengestellt.
Tabelle 1: Rechenregeln für gemischte Punkt- und Strichrechnungen
Reihenfolge der Lösungsschritte Zahlenbeispiele Algebraische Beispiele
1. Punktrechnungen2. Strichrechnungen
8 · 4 – 18 · 3= 32 – 54= –22
3a · 2b – 4a · 6b= 6ab – 24ab= –18ab
164
205
183
4 4 6+ − = + − = 216
43 6
24 3 3
a bb
cc
a+ − = + − = 4a
Klammerausdrücke sowie gemischte
Punkt- und Strichrechnungen:
1. Klammern2. Punktrechnungen3. Strichrechnungen
8 · (3 – 2) + 4 (16 – 5)= 8 · 1 + 4 · 11= 8 + 44 = 52
a · (3x + 5x) – b · (12y – 2y)= a · 8x – b · 10y= 8ax – 10by
Aufgaben | Gemischte Punkt- und Strichrechnung
Die Ergebnisse der Aufgaben 1 bis 5 sind zu berechnen und auf 2 Dezimalstellen nach dem Komma zu runden.
1. a) 217,583 – 27,14 · 0,043 + 12 c) 7,1 + 16,27 + 14,13 · 17,0203 e) 857 – 3,52 · 97,25 – 16,386 + 1,1
b) 16,25 + 14,12 · 6,21 d) 74,24 – 1,258 · 12,8f) 119,2 + 327,351 – 7,04 · 7,36
2. a) 17,13 + 13,25 + 15,35 : 2 b) 34,89 + 241,17 : 21,35 – 12,46 : 2,2
3. a) 243 : 0,04 – 92,17 – 13,325 + 124,3 : 3,5 b) 507 : 0,05 – 261,17 – 114,325 + 142,3 : 18,4
4. a) 18 · (–5) + (–3) · (–7)
c)
b) 120 : (–6) – (–15) : 5
d)
5. a)
c)
b)
d)
− +−
9616
6515
14837
8517
− −
24 75 1512 6
38 7 2 080 36
44 2 13 120 05
,,
, ,,
, · ,,
+ + − −−−1 7,
( , , ) ·, ,
,23 7 2 8
15 1 3 716 9
− −
34 223 4 8 6
2 413 8 22 7
27 3 520 6, ·
, ,,
, ,,
· ,− − +
−25 20 1 16 5834 85 2 97 4 6
· ( , , )( , , ) · ,
−−
6. a) 3a · 4b – 10a · 2b c) –8m · 2n + 7,5m · (–2n)
b) 25x · (–10y) + 13x · (–5y)d) (–16a) · (–5c) – (–5a) · (–2c)
7. a)
c)
b)
d)
8. a) –3a · (8x – 5x) – 2a · (20x – 12x) b) –3x · (8x – 5x) + 3x · (–12x – 33x)
3010
152
xy
xy
+
7 52 5
3322
,,
xy
xy
+
1215
301 5
mn
mn
−,
−−
− −−
28
1560
xy
xy
Die Ergebnisse der Aufgaben 6 bis 8 sind zu berechnen.
AAAA111A2
AAAA3333øøøøøø8888814 Teil A – Fachrechnen
Bruchrechnen
Der Bruchterm ist ein Zahlenverhältnis und besteht aus dem Zähler und dem Nenner. Der Nenner ist die Bezugsgröße und gibt die Ge-samtheit der Teile an. Der Zähler bezeichnet die Anzahl der Teile.Das Bruchrechnen wird in der technischen Mathematik z. B. bei Teilkopf-, Kegel- oder Wechselräder-berechnungen angewandt. Es wird hier nur so weit behandelt, als es für die genannten Anwendungen notwendig ist. In Tabelle 1 sind verschiedene Arten von Brüchen aufgeführt.
BruchtermZähler
Nenner= = =3
40 75,
Tabelle 1: Brucharten
Art Beispiel Kennzeichen Wert Bild
Echter Bruch13
Zähler < Nenner <11
Unechter Bruch54
Zähler > Nenner >12
5
4
1 3
Gemischte Zahl 114
Ganze Zahl und ein echter Bruch
>11
Dezimalbruch 0,75 Dezimalkomma <1
Erweitern, Kürzen und Umwandlung von Bruchtermen
Brüche können erweitert, gekürzt oder umgewandelt werden. Dabei bleibt ihr Wert unverändert (Tabel-
le 2).
Tabelle 2: Rechenregeln für Bruchterme
Rechenregel Zahlenbeispiel Algebraisches Beispiel
Erweitern
Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit demsel-ben Faktor multipliziert.
14
1 64 6
624
= =··
ab
a · cb · c
=
Kürzen
Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl (bzw. denselben Buchstaben) dividiert.
624
6 624 6
14
= =::
a · cb · c
a c cb c c
ab
= =( · ) :( · ) :
Summen oder Differenzen
Summen oder Differenzen sind vor dem Kürzen oder Er-weitern zu berechnen.
18 24260 20
6280
3140
3140
−+
=−
=−
= −c bc b
−+
kann nicht gekürzt wer den.
Umwandlung eines Bruches in einen Dezimalbruch
Ein Bruch wird in einen Dezimalbruch umgewandelt, in-dem man den Zähler durch den Nenner dividiert.
38
3 8 0 375= =: , –
Umwandlung eines Dezimalbruches in einen Bruch
Ein endlicher Dezimalbruch wird in einen Bruch verwan-delt, indem man in den Zähler alle Ziffern nach dem Komma schreibt. Der Nenner erhält eine 1 mit so vielen Nullen, wie der Zähler Stellen hat.
0 4848
1001225
, = = –
Aufgaben | Bruchrechnen
1. Die folgenden Brüche sind so zu erweitern, dass sich der Nenner 24 ergibt. a) 3/4 b) 1/2 c) 5/4 d) 5/12 e) 6/82. Die folgenden Brüche sind so weit wie möglich zu kürzen. a) 3/21 b) 4/48 c) 33/66 d) 36/45 e) 40/1323. Die folgenden Brüche sind in Dezimalbrüche umzuwandeln. a) 3/21 b) 4/48 c) 33/66 d) 36/45 e) 40/1324. Die folgenden Dezimalbrüche sind in Brüche zu verwandeln. a) 0,937 5 b) 0,375 c) 0,85 d) 0,2 e) 0,333
AAA11A2
AAAA3333 øøøøø88888 15Technische Mathematik: Grundrechnungsarten
Potenzieren
Ein Produkt aus mehreren gleichen Faktoren kann abgekürzt ge-schrieben werden. Die abgekürzte Schreibweise nennt man Potenz; der Rechenvorgang wird als Potenzieren bezeichnet. Eine Potenz (Bild 1) besteht aus der Basis (Grundzahl) und dem Exponenten (Hochzahl). Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert werden muss.Man unterscheidet Potenzen mit positiven und Potenzen mit nega-
tiven Exponenten.
Potenzen mit positiven Exponenten
Beispiele:
Fläche des Quadrats A = Œ · Œ = Œ2(Bild 2) = 5 mm · 5 mm = (5 mm)2 = 25 mm2
Volumen des Würfels V = Œ · Œ · Œ = Œ3(Bild 3) = 5 mm · 5 mm · 5 mm = (5 mm)3
= 125 mm3
Beispiele:
Produkt: (5a)2 = 5a · 5a = 25a2
oder (5a)2 = 52 · a2 = 5 · 5 · a · a = 25a2
Bruch:
Klammer: (a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + 2ab + b2
3 3 3 3 273
3 3b b b b b= =· ·
· ·
Auch Produkte, Brüche oder Klammerausdrücke können die Basis von Potenzen sein.
Beispiele:
14
4 151
1515
22 3
3= =− − ; km ·· h
kmh
− =1 15
1 1 1a
an
n g= =− −;min
min ; · kkW hg
kW h·
·( ) =−1
Potenzen mit negativen Exponenten
Eine Potenz, die im Nenner steht, kann auch mit einem negativen Exponenten im Zähler geschrieben werden. Umgekehrt kann eine Potenz mit negativem Exponenten im Zähler als Potenz mit positi-vem Exponenten im Nenner geschrieben werden.
Beispiele:
4 200 000 = 4,2 · 1 000 000 = 4,2 · 106
0,000 0042 = 4,2 · 0,000 001 = 4,2 · 10–6
Die Schreibweise 4,2 · 106 ist übersichtlicher als 0,42 · 107 oder 42 · 105.
Potenzen mit der Basis 10 (Zehnerpotenzen)
Potenzen mit der Basis 10 werden häufi g als verkürzte Schreibwei-se für sehr kleine oder sehr große Zahlen verwendet. Werte größer 1 können als Vielfaches von Zehnerpotenzen mit positivem Ex-ponenten, Werte kleiner 1 als Vielfaches von Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten dargestellt werden (Bild 4 und Tabelle 1).
Die Zahl vor der Zehnerpotenz wird meist im Bereich zwischen 1 und 10 angegeben.
5 · 5 · 5 = 53 = 125
Exponent
Basis Potenzwert
Bild 1: Potenz
52 5
5
ö2
ö
ö
Bild 2: Quadrat
5 5
5
53ö3
ö
ö
ö
Bild 3: Würfel
<1Werte
>1
11000
10 –3
1100
110 1000100101
10 –2 10 –1 103102101100
Bild 4: Zehnerpotenzen
Tabelle 1: Zehnerpotenzen
Schreibweise alsausgeschrie-bene Zahl
Zehner-potenz
Vorsatz-name
1 000 000100 00010 0001 000
1001010,10,010,0010,000 10,000 010,000 001
106
105
104
103
102
101
100
10–1
10–2
10–3
10–4
10–5
10–6
Mega (M)––Kilo (k)Hekto (h)Deka (da)–Dezi (d)Zenti (c)Milli (m)––Mikro (µ)
AAAA111A2
AAAA3333øøøøøø8888816 Teil A – Fachrechnen
Beim Rechnen mit Potenzen gelten besondere Regeln (Tabelle 1):
Tabelle 1: Potenzieren
Rechenregel Zahlenbeispiel Algebraisches Beispiel Formel
1. Addition und Subtraktion von
Potenzen
Potenzen dürfen nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie sowohl denselben Exponenten als auch dieselbe Basis haben.
2 · 52 + 4 · 52 = 52 · (2 + 4)= 52 · 6
a3 + a3 = 2a3
axn + bxn
= (a + b) · xn
2. Multiplikation von Potenzen mit
gleicher Basis
Potenzen mit gleicher Basis wer-den multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.
32 · 33 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3= 35
oder:
32 · 33
= 3(2 + 3) = 35
x 4 · x 2
= x · x · x · x · x · x= x 6
oder:
x 4 · x 2
= x (4 + 2) = x 6
x m · x n = x m + n
3. Multiplikation von Potenzen mit
gleichem Exponenten
Potenzen mit gleichem Exponen-ten werden multipliziert, indem man ihre Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
42 · 62
= (4 · 6)2
= 242
= 576
6x 2 · 3y 2
= 18x 2y 2
= 18(x · y)2
x n · y n = (xy)n
4. Division von Potenzen mit
gleicher Basis
Potenzen mit gleicher Basis wer-den dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
oder:
43 : 42 = 43 – 2 = 41 = 4
mm
m m mm m
m
m mmm
m m
3
2
3 23
23
= =
= =
· ··
:
: ·
oder
−−
−= = =
2
3 2 1m m m
xx
x x
x
m
nm n
m n
=
=
−
−
·
5. Division von Potenzen mit
gleichen Exponenten
Potenzen mit gleichen Exponen-ten werden dividiert, indem man ihre Basen dividiert und den Ex-ponenten beibehält.
153
153
5
25
2
2
22=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
=
ab
ab
3
3
3
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
ab
ab
n
n
n
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
6. Multiplikation von Potenzen mit
einem Faktor
Werden Potenzen mit einem Fak-tor multipliziert, so muss zuerst der Wert der Potenz berechnet werden.
6 · 103 = 6 · 1 000= 6 000 – –
7. Potenzwert mit dem Exponenten
Null
Jede Potenz mit dem Exponenten Null hat den Wert 1.
1010
10 10 14
44 4 0= = =− (m + n)0 = 1
a0 = 1
a Ï0
23
13
13
32 2 2
2− = = −
7 4 33
d d dd
n n nn− = = −·
ax
bx
a bx
a b x
n n n
n
+ =+
= + −( ) ·
44
4 4 44 4
43
2= =
· ··
7 107
1000 072· ,− = =
AAA11A2
AAAA3333 øøøøø88888 17Technische Mathematik: Grundrechnungsarten
Das Radizieren1) oder Wurzelziehen ist die Umkehrung des Poten-zierens. Eine Wurzel besteht aus dem Wurzelzeichen, dem Radikan-den und dem Wurzelexponenten (Bild 1). Der Radikand steht unter dem Wurzelzeichen; aus dieser Zahl wird die Wurzel gezogen. Der Wurzelexponent steht über dem Wurzelzeichen und gibt an, in wie viel gleiche Faktoren der Radikand aufgeteilt werden soll.Eine Wurzelrechnung kann auch in Potenzschreibweise dargestellt werden. Der Radikand erhält im Exponenten einen Bruch. Der Zäh-ler entspricht dem Exponenten des Radikanden, der Nenner ent-spricht dem Wurzelexponenten.Beispiel:
Quadratwurzel
16 (sprich Quadrat-Wurzel aus 16 oder Wurzel aus 16) bedeutet, man sucht eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert den Wert 16 ergibt.Beispiel: 16 = 4, denn 4 · 4 = 16
Der Wurzelexponent 2 bei der Quadratwurzel wird meist weggelas-sen.Beispiel:
Kubikwurzel
273 (sprich 3. Wurzel aus 27 oder Kubikwurzel aus 27) bedeutet, dass man eine Zahl sucht, die dreimal mit sich selbst multipliziert den Wert 27 ergibt.Beispiel: 273 = 3, denn 3 · 3 · 3 = 27
9 9 91212= =
16 16 4 4 4 4 16 42 22= = = = =·
Wurzelexponent
Wert der Wurzel
Radikand
2
16 = 4
Bild 1: Darstellung einer Wurzel
Radizieren (Wurzelziehen)
a a an n 11n
Schreibweisen einer Wurzel
a a a a2222 1= = =
Quadratwurzel
a a a a3333 1= = =
Kubikwurzel
1) radix (lateinisch) Wurzel
Tabelle 1: Radizieren
Rechenregel Zahlenbeispiel Algebraisches Beispiel Formel
1. Addition und Subtraktion von
Wurzeln
Wurzeln dürfen nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie gleiche Exponenten und Radikanden haben. Man addiert (subtrahiert) die Faktoren und behält die Wurzel bei.
2 6 3 6
2 3 6
5 6
+
= +
=
( )
8 3
8 3
5
m m
m
m
−
= −
=
( )a m b m
a b m
+
= +( )
2. Radizieren eines Produktes
Ist der Radikand ein Produkt, so kann die Wurzel entweder aus dem Produkt oder aus jedem einzelnen Faktor ge-zogen werden.
9 16 144 12
9 16 9 163 4 12
·
· ··
= =
== =
odera b a b· ·3 3 3= ab a bn n n= ·
3. Radizieren einer Summe oder
Differenz
Ist der Radikand eine Summe oder eine Differenz, so kann nur aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen werden.
9 16 25 5
5 4 25 16
9 3
2 2
+ = =
− = −
= =
odera b (a b)− = −3 3 a b (a b)n n− = −
4. Radizieren eines Quotienten
Ist der Radikand ein Quotient (Bruch), so kann die Wurzel aus dem Quotien-ten oder aus Zähler und Nenner ge-trennt gezogen werden.
925
0 36 0 6
925
9
25
35
0 6
= =
= = =
, ,
,
oder ab
a
b4
4
4=
ab
a
bn
n
n=
AAAA111A2
AAAA3333øøøøøø8888818 Teil A – Fachrechnen
Aufgaben | Potenzieren und Radizieren (Wurzelziehen)
1. Potenzschreibweise. Die Ausdrücke der Aufgaben a bis f sind in Potenzform zu schreiben.
a) 4a · 2a · a b) 16 dm · 2 dm · 4 dm c) 2,5 m · 6 m · 1,3 m
d)
e)
f) 16 m2 : 8 m
2. Zehnerpotenzen. Die Zahlen sind in Zehnerpotenzen zu verwandeln.
a) 100; 1 000; 0,01; 0,001; 1 000 000; 1/1 000 000 b) 55 420; 1 647 978; 356 763; 33 200 c) 0,033; 0,756; 0,0021; 0,000 02; 0,000 000 1 d) 1/10; 5/100; 7/1 000; 33/100; 321/1 000
3. Potenzschreibweise. Die folgenden Zahlen sind in Zehnerpotenzen umzuformen.
a) Lichtgeschwindigkeit c = 299 790 000 m/s b) Umfang des Äquators U = 40 076 594 m c) Mittlerer Abstand der Erde von der Sonne R = 149,5 Millionen km d) Oberfl ächen der Erde O = 510 100 933 km2
4. Addition und Subtraktion. Die Potenzen sind zu addieren bzw. zu subtrahieren.
a) 5b3 + 7b3 + 3b3 b) 9m3 – 9n3 + 12n3 – 5m3 – n3
c) 15x4y – 3x2y 3 – 5x4y d) 2,6a2 + 5,9a3 – 3,1a3 + 19,7a2 – a3
5. Multiplikation und Division. Die Potenzen sind zu multiplizieren bzw. zu dividieren.
a) 42 · 43 b) a5 · a4 c) 2x2 · 4x · 5x3 d) 0,5b3 · 1,3b2 e) 441x6 : 21x2
f) 51a4b3 : 17a2b3 g)
h)
i)
k)
6. Berechnung von Wurzeln. Folgende Wurzeln sind zu berechnen bzw. vereinfacht zu schreiben.
a) 49 121 1000 1 21 0 363; ; ; , ; , b) 0 008 92549
3 2 42
2, ; ; ; ; ;a a
ab
94
2
2
cb
7. Berechnung von Wurzeln. Die Ergebnisse sind auf die zweite Stelle zu runden.
a) 2 6 4754
1219
; ; ; ; b) 46 · 9 161
1213
5
3; ; ;
8. Wurzeln mit Variablen. Wie groß ist für die folgenden Werte?
a) x = 8; y = 6 b) x = 10 m; y = 7,5 m c) x = 0,48 cm; y = 0,36 cm
Wie groß ist für die folgenden Werte? a) c = 15; b = 12 b) c = 2,5 m; b = 1,5 m c) c = 0,2 dm; b = 0,16 dm
9. Addition und Subtraktion. Die Wurzeln sind zu addieren bzw. zu subtrahieren.
10. Multiplikation und Division. Die Ausdrücke sind zu multiplizieren bzw. zu dividieren.
62
53
15
a ba
b· · 0 51
1034
, · ·cm cm cm
497
3
3
5719
2
2
6 80 17
2
2
,,
aa
( )4aa
x
x
x y2 2+
c b2 2−
a b c) ; ) ; )a a m m m b n b+ + +2 7 2 3 dd e) ; )5 9 3 9 2− −c c c
a b c d
e
) · ) · ) · ) ·
) ·
4 9 42 7 5 20 16 49
4 2
a a
x y 22 4 281 32 8 7 7f g h) · ) : ) :m n ax a
AAA11A2
AAAA3333 øøøøø88888 19Technische Mathematik: Allgemeine Berechnungen
Aufgaben | Schlussrechnung
1. Werkstoffpreis. Eine Gießerei berechnet für Stahlguss einen Preis von 1,08 €/kg. Wie viel kosten 185 Deckel mit einer Masse von je 1,35 kg?
2. Schutzgasverbrauch. Die Schweißnaht an einem Schiff ist 78 m lang. Nach 23 m geschweißter Naht wurde ein Schutzgasverbrauch von 640 — festgestellt. Wie viel — Schutzgas sind für die ge-samte Fertigstellung der Naht erforderlich?
3. Notstromaggregat. Im 3-stündigen Betrieb verbrauchen 2 Notstromaggregate 120 — Kraftstoff. Wie lange können 3 Aggregate mit einem Treibstoffvorrat von 240 — betrieben werden?
4. CuZn-Blech. 4 m2 eines 4 mm dicken Blechs aus CuZn37 haben eine Masse m = 136 kg. Welche Masse haben 10 m2 Blech mit einer Blechdicke von 6 mm?
5. Qualitätskontrolle. In der Qualitätskontrolle benötigen 3 Prüfer 14 Stunden für einen Prüfvorgang. Wie viele Prüfer müssten eingesetzt werden, um die Kontrollarbeiten in etwa 8 Stunden zu schaffen?
6. Rundstahl. In einer Walzenstraße wird Rundstahl mit einer Querschnittsfl äche von 200 mm2 und einer Länge von 4 500 mm hergestellt. Wie viel Meter Rundstahl erhält man, wenn bei gleicher Masse die Querschnittsfl äche auf 100 mm2 verkleinert wird?
Allgemeine Berechnungen
Schlussrechnung (Dreisatzrechnung)
Mit der Schlussrechnung wird, ausgehend von einer bekannten Größe (z. B. Stückzahl, Masse u. a.), ein Vielfaches oder ein Teil be-rechnet.
Bezeichnungen:
Am Ausgangsmenge, z. B. St Aw Ausgangswert, z. B. kgEm Endmenge, z. B. St Ew Endwert, z. B. kg
Schlussrechnung für direkt proportionale Verhältnisse
Zwei voneinander abhängige Größen verhalten sich im gleichen Verhältnis, d. h. sie sind direkt proportional.Beispiel: 25 Distanzplatten haben eine Masse m = 2 800 g. Welche Masse haben 6 Distanzplatten (Bild 1)?Grundaussage: Die Menge Am = 25 Distanzplatten hat die Masse
Aw = 2 800 g.Berechnung des Wertes für die Menge A = 1 Stück (St):
1 Distanzplatte hat die Masse
Berechnung des Endwertes Ew für die Endmenge Em:
Em = 6 Distanzplatten haben die Masse
Schlussrechnung für indirekt proportionale Verhältnisse
Zwei voneinander abhängige Größen verhalten sich in umgekehr-tem Verhältnis, d. h., sie sind indirekt proportional.Beispiel: Für die Montage von 12 Kettensägen benötigen 4 Mitarbei-
ter 3 Stunden. Wie viel Stunden benötigen 6 Mitarbeiter für die gleiche Anzahl Sägen (Bild 2)?
Grundaussage: Die Menge Am = 4 Mitarbeiter benötigen die Zeit Aw = 3 Stunden.
Berechnung des Wertes für die Menge A = 1 Mitarbeiter:
1 Mitarbeiter benötigt Am · Aw = 4 · 3 Stunden = 12 Stunden
Berechnung des Endwertes Ew für die Endmenge Em:
Em = 6 Mitarbeiter benötigen die Zeit
A
Aw
m
gSt
= =2 80025
112g
St
EA
AEw
w
mm
gSt
St= = =· ·2 80025
6 672 g
EA A
Ewm w
m
Mitarbeiter hMitarbeit
= =· ·4 3
6 eer= 2 h
Menge
Mas
se
2800g
800
1200
1500
1800
2100
400
672
1120
1. Schritt
3. Schritt
2. Schritt
1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 St. 24 260
Bild 1: Direkt proportionales Verhältnis
3. Schritt
1. Schritt
2. Schritt
Anzahl der Mitarbeiter
Stu
nd
en
Aw= 3
Ew= 2
Am
=4
Em
=6
12
8
10
6
2
43
1 2 3 4 5 6
Bild 2: Indirekt proportionales Verhältnis
EAA
Eww
mm= ·
Endwert bei direkt proportionalem Verhältnis
Endwert bei indirekt proportionalem Verhältnis
EA A
Ewm w
m=
·
AAAA111A2
AAAA3333øøøøøø8888820 Teil A – Fachrechnen
Prozentrechnung
Damit man sich Größen und Werte vorstellen und sie untereinan-der vergleichen kann, bezieht man sie auf die Zahl 100. Den be-trachteten Wert drückt man als Prozentsatz aus.
Bezeichnungen:
Ps Prozentsatz % Pw Prozentwert z. B. €Gw Grundwert z. B. €
Gru
nd
wer
t 50
0
(100
%)
Pro
zen
twer
t 20
0
Pro
zen
t-sa
tz 4
0%
50 Euro
Bild 1: Direkt proportionales Verhältnis
PG
Pww
s=100 %
·
Prozentwert
Aufgaben | Prozentrechnung
1. Festplatte. Eine Bilddatei benötigt 15 MByte Speicherplatz auf einer Festplatte. Wie viel Prozent Festplattenspeicher werden für das Bild auf einer 10-GByte-Festplatte beansprucht?
2. Scanzeit. Ein Flachbettscanner benötigt für den Scanvorgang einer Fotografi e 4 min. Das Nach-folgemodell des Scanners soll bei dem gleichen Arbeitsauftrag 24 % schneller sein.
Berechnen Sie die Scanzeit des neuen Scannermodells.
3. Rauchgasentschwefelung. In den Rauchgasen eines Kraftwerkes lag der Anteil des Schwefeldi-oxids 62 % unter dem zulässigen Grenzwert. Durch den Einbau einer zusätzlichen Rauchgasent-schwefelungsanlage konnte der Wert auf 20 % des Grenzwertes gesenkt werden. Um wie viel Prozent verringerte die Rauchgasentschwefelungsanlage den Ausstoß an Schwefeldioxid des Kraftwerkes?
4. Gehäusegewicht. Um wie viel Prozent vermindert sich das Gewicht eines Gehäuses, das bisher aus 1 mm dickem Stahlblech (Dichte r = 7,85 kg/dm3) bestand und nun aus 2 mm dickem Alumi-niumblech (Dichte r = 2,7 kg/dm3) hergestellt werden soll?
5. Zugfestigkeit. Durch Vergüten wurde die Zugfestigkeit eines Stahles um 42 % auf 1 250 N/mm2 erhöht. Wie groß war die Zugfestigkeit des Werkstoffes vor der Wärmebehandlung?
6. Lotherstellung. In einer Schmelze sollen 150 kg des Weichlotes L-Sn63Pb37 hergestellt werden. Berechnen Sie die Einzelmassen an Zinn und Blei in der Schmelze.
7. Aktienfonds. Vor mehr als einem Jahr wurden 15 Anteile eines Technologiefonds zu einem Preis von 135 € mit einem Ausgabeaufschlag von 5,25 % gekauft. Der Fonds hat vom Kauftag bis heute eine Wertsteigerung von 45 %.
a) Welcher Gesamtbetrag musste für die 15 Anteile bezahlt werden? b) Welcher Gewinn wäre bei einem Verkauf zu erwarten?
1. Beispiel:
Wie groß ist der Prozentwert Pw in € für einen Grundwert Gw = 500 € bei einem Prozentsatz Ps = 40 % (Bild 1)?
Lösung: PG
Pww
s= = =100
500100
40%
·%
· %€
200 €
2. Beispiel:
Von 600 gefertigten Zahnriemen sind 17 Ausschuss. Der Prozentsatz Ps für den Ausschuss ist zu berechnen.
Lösung: PG
P PG
Pww
s sw
w= = =100
100 100600%
· ;%
·%
· 117 = 2,83 %
3. Beispiel:
Ein schadhafter Behälter verlor 38,84 Liter Flüssigkeit, das sind 16 % der Flüssigkeit. Wie viel Liter Flüssigkeit enthielt der Behälter?
Lösung: GP
Pws
w= =100 10016
%·
%%
· ,38 84 — “= 242,75PG
Pww
s=100 %
· ;