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RI~CEPTION DES MESSAGES BIPHASE DANS LES SYSTF, MES DE T~LI~COMMUNICATIONS PAR FIBRES OPTIQUES

par

Michel ROUSSEAU Ing6aieur E.N.S.T., Doeteur-Ing~nieur *

ANALYSE. - - L'auteur examine le probI~me de la ddtection des messages biphase unipolaires dans les tdldcom- munications numdriques par fibres opliques. En ulilisanl certaines hypotheses simplificatrices sur la rdponse en frdquence de la fibre el la densild spectrale de bruit, la probabilitd d'erreur esl calculde thdoriquement et pratiquement pour les diffdrents syst~mes de rdceplion. La ddgradation du taux d'erreur par rapport au

rdcepteur optimal esl analysde en fonction de la bande passante des circuits de rdception.

ABSTRACT. - - The author considers the problems relevanl to the detection of unipolar split-phase signals in digital optical fiber communication systems. By use of simplifications concerning the fiber frequency response and the noise power spectrum, the error rate is computed in different kinds of signal processing. Compared to the theoretical optimum detection, the results are presented as a funclion of the practical receiver bandwidth.

SOMMAI~E. - - �9 I. Introduction. �9 II. Ddtection optimale. � 9 Syst~mes pratiques de rdceplion. �9 IV. Rdsul- tats. �9 V. Conclusion. �9 Annexes. �9 (12 rdf.).

I. I N T R O D U C T I O N

Le d6veloppement des fibres et cfibles - - faible a t tdnuat ion , large bande passante - - associ6 h celui des composants opto-61ectroniques, permet la r6ali- sation de liaisons num6riques complbtes par fibres optiques. Un domaine impor tan t d 'appl icat ions est celui des liaisons ayan t des d~bits inf6rieurs fi 10 Mbit/s : t ransmission MIC h 2 et 8 Mbit/s, t rans- mission de donn6es, liaisons embarqu~es h bord d 'avion ou de navire. Darts ce cas, les composants retenus le plus souvent sont : la diode 61ectro- luminescente (DEL), la fibre mul t imodale h 6chelon d' indice et la photodiode PIN. De plus, afin d'effectuer les op6rations essentielles h la r~ception (rest i tut ion du ry thme, contrSle du t aux d'erreur.. .), le code biphase unipolaire (biphase-level ou Manchester) a 6t~ choisi en t a u t que code de t ransmission [1, 2].

Pour calculer les grandeurs caract6ristiques du r6cepteur (puissance minimale d6tectable, probabil i t6 d 'erreur, rappor t signal/bruit) , le concepteur dispose

de modules trbs 61abor6s propos6s par Personick,

mats 6tablis avec des messages binaires non cod6s [3, 4]. Dans le cas re tenu des s ignaux biphase, les modules existants [2] sont trop 6loignds des r6alisations pra-

tiques pour permet t re une prdvision pr6cise des caraet6ristiques de comportement . I1 s 'avbre difficile de comparer les diff6rentes structures de rdcepteurs

et plus par t icul i~rement de quant i f ier l ' influence des fr6quences de coupure basse et haute. L'adaptatior~ des t r avaux publi~s avec des s ignaux bipolaires (ou double courant) [5, 6] s 'av6rant ddlicate, il est ndces- saire d 'ent reprendre une dtude originale et de d6ve-

lopper des r6sultats ddjh pr6sentds [7]. L 'ob je t de ce document est, u t i l i sant certaines

hypotheses simplificatrices, de faire l ' inventa i re des types de rdcepteurs rdalisables qui soat adapt6s au message biphase unipolaire : filtre et r6cepteur opti- mal, filtre et dchant i l lonneur simple ou diff6rentiel, 6galiseur et 6chant i l lonneur simple ou diff6rentiel, puts de comparer leurs possibilit6s avec celles du r6cepteur id6al.

Apr~s avoir rappel6 la s t ructure et les caract6ris-

t iques du r~cepteur id6al au paragraphe II, nous explicitons (w I I I ) les techniques possibles de ddci- sion et indiquons l 'expression formelle de la proba- bilitd d 'erreur en fonction du rappor t s ignal/bruit . Le paragraphe IV est consacrd h la pr6senta t ion et h la discussion des rdsultats num~riques.

II . D ] ~ T E C T I O N O P T I M A L E

La recherche du r6cepteur qui pour un signal inci- dent doun6 minimalise la probabil i td d 'erreur cons- t i tue un des dldments de la conception du syst~me.

* Laboratoires de Marcoussis, Centre de Recherches de Marcoussis.

la Compagnie G6n~rale d'Electricit6, route de Nozay, F 91460

ANN. T~LI~COMMUNIC., 32, n ~ 7-8, 1977 1/15

M. ROUSSEAU. -- MESSAGES BIPHASE DANS LES SYSTEMES DE TEL]~COMMUNICATIONS 269

Lorsque la repr&enta t ion du message h t r ansmet t r e est du type non-re tour h z6ro (NRZ) ou retour h z6ro (az), l 'opt imal isa t ion th6orique du rappor t s ignal /brui t conduit d i rectement au filtre adaptS. Dans le cas oh les symboles ,~ 0 )~ et ~ 1 )) sent chacun repr&ent& par une impulsion, le concept de filtre adapt~ est plus difficile ~ introduire et on pr6f6re lui subst i tuer celui de rdcepteur (ou d&ecteur) optimal. Sa d6termi- na t ion fait appel '~ la not ion de s ignaux orthogonaux,

de base et ainsi suppose impl ic i tement que les impul- sions incidentes sent rectangulaires. Cette derni6re hypoth6se est bien jus t i f i& darts les systemes de trans- mission par fibres optiques pour des dSbits infSrieurs

10 Mbit/s. En effet, les bandes passantes de la diode 61ectroluminescente (sup6rieure fi 60 MHz) et de la fibre h 6chelon d' indice (de l 'ordre de 50 MHz .km) sent suffisamment largcs pour ne pas dSformer nota- b lement les impulsions.

Dans ce paragraphe, nous rappelons la m6thode de calcul [8] un iquemen t pour des s ignaux biphase

(biphase ordinaire Manchester BIO-L), mais son extensior~ h d 'autres signaux or thogonaux est imm6- diate. D 'aut re part , nous examinerons an para- graphe I I I .2 comment la rdception optimale peut fitre p ra t iquement raise en oeuvre.

I I . 1 . B a s e o r t h o n o r m 6 e .

Soient So(/) et s~(t) les s ignaux repr6sent6s figure 1 et r ep r&en tan t respect ivement les symboles (~ 0 ), et (( 1 )) h l 'entr6e du r6cepteur.

I So(t)

o ~ T 2

_t

s~ (t)

~ t T T 2

Fro. 1. - - Reprdsentation des symboles 0 et 1.

Introduisons le produi t scalaire de deux impulsions quelcortques :

(1) < s (01sj(O > : s (t)sj(o , i t =

8/j Stant le symbole de Kronecker. Nous cn dSduisons que les s ignaux So(/) et sl(t) sent or thogonaux et que l '&mrgie E est ind6pendante du signal.

Dans l 'hypoth6se d@rite figure 2, of] le signal

repr6sente le photocourant , E est reliS aux puissances

optiques cr~te Pc et moyenne Pm par :

(2) E = ~ ~- : 2 ~) Pm T, /

oh "~q]h'r repr&ente le hombre d'61ectrons produits par un photon. Compte tenu de la relat ion (1), les

s ignaux dStect& peuven t ~tre consid6rds comme des vecteurs d ' un espace vectoriel V de dimension 2 engendrS par la base orthonorm6e :

(3) %(0 = So(t)/,JE-,

el(t ) = st(t)/~/K. Dans le cas prat ique off le photod6tecteur est du

type PIN et est suivi d ' n n pr6amplificateur haute

imp6dance h transistors bipolaires, nous admet t rous en premiere approximat ion que le canal de t rans- mission est per turbs par un bru i t addit if n(/) gaussien, centrS de densitd spectrale symdtr iqne No[2 [9].

Puisque sl(t) reprSsente le photocourant , il v ien t :

N O = 2 kTe[RB~ ,

off RBE dSsigne la r6sistance 6quivalente de brui t ramen6e h l 'entr6e.

Comme il a 6t6 ddmontr6 [10], seule la projection

nv(/) de n(/) sur l 'espace d&erministe V in te rv ien t dans l '6tude s tat is t ique de la d&ection. La d6compo- sition de nv(/) sur la base, ou d6veloppement de Loeve-Karhunen, s'6crit :

(4) nv(/) = n o %(1) + n 1 e~(t) ,

avec :

(5) ni = < nv(t)l e~(t) > = < n(/)Ie~(/) > .

Les coefficients n~ sent des variables alSatoires

gaussiennes, car elles sent obtenues par une simple op6ration lin6aire sur n(t). I1 est facile d 'en calculer :

- - la moyenne :

- - foo T ~(t) (6) ni = ei(t) dl = O,

- - la variance :

(7) n~ = n(0 n(~) edt) e~(-r) dt d~,

T T N o No = ~ f o ~ ( t - - v ) e ~ ( t ) e ~ ( ' ~ ) d t d , = ~ ,

- - la corr61ation :

(8) non 1 = n(t) n( '0 %(0 el(v) dt dx = 0.

Ceei implique que les deux composantes sont s ta t i s t iquement ind6pendantes et que la densitS de probabili t6 assoeide h ni est :

(9) phi(X) -- ~ / ~ o exp . \

I I . 2 . Cri t6res de d6c i s ion .

Soit s(t) le signal issu du photod6tecteur et z(t)

sa valeur apr6s superposition au bru i t nv(t) (Fig. 2) :

(10) z(t) = s(t)-4- nv( t ) .

Lorsque z(t) se t rouve dans un sous-espace de d6ci- sion -h pr6ciser ul t6r ieurement , V~(i = 0, 1) de V,

2/15 ANN. T~'LIkCO.~MUNIC., 32, n ~ 7-8, 1977

270 M. R O U S S E A U . -- M E S S A G E S B I P H A S E D A N S L E S S Y S T I ~ M E S D E T I ~ L E C O M M U N I C A T I O N

Fibre optique ~-~ I

n(t )

Photo- ~ R~cepteur I ~ D~cision detecteur

F I G . 2 . - - P e r t u r b a t i o n d u c a n a l d e t r a n s m i s s i o n .

nous d6cidons que s(t) = s~(t) a 6t6 6mis. La p robab i l i t6 d ' e r r eu r ou de fausse d6cision s '6cri t :

(11) Pz= p ,s Po f P(Z[So) dz , -~v o 1

off Pl d6signe la p robab i l i t6 d '6miss ion du symbo le (, 1 ~

e t p(z[ sa) dz la p robab i l i t6 cond i t ionne l l e d ' o b t e n i r z(/)

dans le eas off s,(/) a 6t6 6mis.

En p ra t i que , les symboles ,~ 0 ,, et ,, 1 ,~ son t 6qui-

p robab les :

P l = Po = 112. Avec :

V = V o U V , ,

il v i en t :

P~ = 5 P(zl so) dz + ~ [p(zl $1) - - p(zl So)] dz ,

soit :

' ' fo (12) P z = ~ + ~ [p(z[sl) - p(zlso)] dz ,

P~ d~pend du choix de V o , c 'es t -h-di re de la v a l e u r Zs prise pa r z h la surface de sdpa ra t ion des deux domaines V o et V~. Choisissons zs pou r que P~ soit

m i n i m a l e :

d P z zs 1 (13) - ~ = ~ [p(zs [sl) - - p(zs ] So)] = O,

a v e c l a cond i t i on :

d2P~ Zs 1 dz 2 = ~ [p'(zs Is1) - - p'(zs I so)] > 0.

Les domaines V o e t V i son t done d6finis pa r [8] :

(14) z(t) E V o <:::> p(z[ So) > p(z[ si) ,

z ( t ) E V 1 r p(zl So) < p ( Z [ S l ) �9

Le crit~re choisi est celui qu i r end m a x i m a l e la

p robab i l i t~ cond i t ionne l l e ; c 'es t le crit~re de m a x i m u m de v r a i s e m b l a n c e ou cri t~re de Bayes. Le rdcep teur

qui ut i l ise ce cr i tbre est d i t rdcep teur op t imal .

P o u r ~valuer les p robabi l i t~s cond i t ionne l les , nous

~crivons :

p ( z l s , ) = p ( z = s , + n v [ s O = p(n v = z - - s O ,

soit avec la d~compos i t ion (4) de n v :

p(z Is,) = p(n o = < z - - s,[ e o > ) p (n 1 = < z - - s,I e I > ) .

Compte t e n u de l ' express ion (9) de la densi t~ de p robab i l i t d de n o et n 1, nous t r o u v o n s :

1 ( <z--s, leo>2§ lel> z) p(z I s,) = ~ exp - - No ,

et en i n t r o d u i s a n t la n o r m e du vec t eu r z - - s , :

1 ( It-s,l (15) p(z IsO = ~ o exp No j .

Les cond i t ions (14) se r6du i sen t alors h :

(14) z(t) e V o. I z - s o l < [ Z - - S l l ,

z(,) l -sol > 1 -s,I. Nous en d6duisons le f o n c t i o n n e m e n t du r6cepteur .

Apr~s d6tec t ion du s ignal z(/), le r f c e p t e u r calcule les

d i s tances [ z - So[ et [ z - s i [ , puis d6cide que le s ignal regu est so(t ) si z(t) est dans la rdgion vois ine de So(t ) :

I z - s o l < [z--s , l , ou que le s ignal est si(t ) dans le cas cont ra i re .

II.3. R6cepteur optimal.

Une s impl i f ica t ion du f o n c t i o n n e m e n t du r f c e p t e u r p e u t fitre appor t6e en d 6 v e l o p p a n t l ' express ion de la d i s tance :

I z - s , ?= lzl + < zls, > .

S u b s t i t u o n s ce r6su l t a t dans (16) :

I > 0 ~ s ( / ) = So(t), (17) < z ] 8 0 > - - < z ] s 1 > < 0 z=~ 8 ( t ) s 1 ( / ) .

Ceci i nd ique que la s @ a r a t i o n en t re les domaines V o e t V x est la bissectr ice de l ' ang le form6 pa r les

2 vee teurs de bases %(0 et e f t ) .

A v e c l a forme des impu l s ions et l ' express ion (1) du p r o d u i t scalaire, les cond i t ions (17) s ' 6c r iven t :

t (18) dt - - z(t) dt > 0 =~ s ( t )= si(t ) .

I n t r o d u i s o n s t h 6 o r i q u e m e n t u n filtre adap t6 de

r @ o n s e pcrcuss ionne l le g(t) tel le que :

- - 1 si 0 ~ l < T[2, (19) g(/) = 1 T/2 ~ t < T,

0 ail leurs.

Le sys t~me (18) p r end la formc :

(20)

/ + ~ I < ~ s(t) = so(t), g(T)* z ( T ) = g ( T - - =) z(v) dv oo > 0 ~ s(t) = sl(t) .

Nous en d~duisons le schdma du r6cep teur op t ima l

repr6sentd figure 3.

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M. R O U S S E A U . -- M E S S A G E S B I P H A S E D A N S L E S SYST/~MES D E T I ~ L I ~ C O M M U N I C A T I O N 271

I ntL, grateur Amp lificateur p6riodique diff~rentiel Echant iltonnage

- - ~ retard T/2 A

horloge

D6cision

<O~so(t) >O~sl ( t )

z(t) _I -1

g(t) . i ~

horloge I

Echantillonnage

b

FIG. 3. a) repr6sentation physique, b) reprdsentation simplifide. Sch6mas synoptiques du r@epteur optimal avec d6cision.

D~i$ion

< 0 ~ %(t)

II .4 . Probab i l i t6 d 'erreur .

A part i r de la d6finition du r~cepteur opt imal et de la relation (11), nous pouvons donner urte expres- sion simple de la probabil i td d 'erreur :

1 1 (21) P ~ - - ~ p(z E Vo[ Sl) + ~ p(z ~ Vlt So).

Le premier terme de (21) est la probabil i td que la composante de z(/) sur %(1) (ou sur so(t)) soit sup6- rieure h celle sur %(0 (ou sur sl(t)). I1 vient avec (4) et (10) :

p(z e WoI Sl) = p(n 0 ~ - 4 E < nl) = p(n o - - n 1 > ~/E').

Les variables al~atoires ind6pendantes n o e t n 1 sont gaussiennes et centr6es ; il e n e s t done de m~me pour la diffdrence n o - n z. Sa variance vau t :

G2 = N O , d'ofl :

p(z E Vo[ sl) = ~/2 7: N o

oxp( ) X

du = = erfc

De la m~me fa~on nous obtenons :

, p(z e V, I so) = p(z e V olsl) = ~ erfc f ~ o "

Subst i tuons ces r~sultats dans (21) :

(22) P ~ = ~ erfc ~ .

La probabili t~ d 'erreur est done reli6e de fagon

directe au rapport s ignal /brui t h l 'entr6e du r~cepteur :

E / N o .

III . S Y S T ~ M E S P B A T I Q U E S DE F U ~ C E P T I O N

I I I A . Fi l tre de r6cept ion .

Nous conservons les hypotheses de bandes pas-

santes tr~s larges pour l '6met teur et la fibre, c'est-h- dire des impulsions rectarLgulaires h l 'entr~e du rdcepteur (Fig. 1), et d 'un brui t additif gaussien de densit6 spectrale No/2 (Fig. 2). En prat ique, il est difficile de satisfaire aux condit ions rigoureuses de r6ceptiou optimale et il faut s ' a t tendre h des r6duc- tions des caract6ristiques de compor tement par rapport h celles 6valu6es en (22).

Une des principales causes de d6gradation est li6e h la l imi ta t ion de la bande passante du rdcepteur. Eu effet, dans chaque r~cepteur, les fr6quences de coupure hautes ne sont pas exag6rdment grandes devant le d~bit binaire I[T . De plus, dans les r6cep-

teurs optiques, afin d 'une par t d '6liminer le brui t dfl

aux courants d 'obscuri t6 et de fuite du photo-

d6tecteur et, d 'au t re part , d'isoler les diff6rents 6tages d 'amplif icat ion, on filtre s6v~rement les composantes basse-fr6quence. I1 en r6sulte un t rainage des impul-

sions et au niveau de la d6cision une in te rmodula t ion entre les symboles. Pour calculer la probabil i t6 d 'erreur correspondante, nous pouvons assimiler les

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circuits de r~ception ( imp6dance d 'entr~e, amplif i - cateur , rdseau correc teur de bande. . . ) ~ un filtre passe-bande de fonct ion de t rans fe r t H(f) et de r@onse percussionnel le h(t). Nous choisissons :

I' (I - - cos =f/2/'i)I 2 0 ~< f < 2 / ' i ,

1 2 I"i <~ f < f212, (23) H(f ) = t (1 + sin =fl&)/2 &12 ~ f < 3&12,

0 3 f=12 <~ f .

f i l t rage et d 'en d6duire le r a p p o r t s igna l /bru i t (S/B) jus te a v a n t la ddcision.

Dans eet te ~tude, nous examinons les diff~rents types de rdcepteur repr~sentds sch~mat iquement figure 5. En par t icul ier , nous nous proposons de calculer la pdnali td apport~e par uue d~teetion directe vis-h-vis de la rdcept ion opt imale .

H(f)

Comme indiqud figure 4, H(f) est const i tud de fonct ions cosinus surdlevd (raised-cosine) juxtapos6es .

Cette d~composi t ion a l ' a v a n t a g e de n ' in t rodu i re

que deux pa rambt re s �9 les frdquences de coupure basse et hau te (/'1 et f2) et ainsi de l imi ter la tai l le

du calcul ana ly t ique .

Compte t enu de la ddfinit ion (23) de H(f) , il est possible de dd te rminer a n a l y t i q u e m e n t la forme de l ' impuls ion et la densit~ spectra le de b ru i t apr~s

1 ;, 2'f, -f;- f, 3 r

2 2

f

FIG. 4. - - Fonction de transfert du filtre de rdception.

z (t) I Pecepteur optimal

Echantillonnage

/- D~cision

< 0 ((0))

> 0 {{1 ~> b R O

z(t) Filtre H (f)

u(t) I R~cepteur optimal I w(t) / ) " <0 ~0~>

> 0 <~1>> - - F C

z(t) Filtre H (f)

u(t) 2" < Vs ~(0>~ 1 >vs (<l>>/ FS

z(t) Filtre H (f)

retard T/2 ~ v(t) , /~ < 0 ((0~) > 0 ((1 ~)

FD

z(t) Egaliseur

x(t) 9 <Vs ~0~

>Vs ~1~ ES

z(t) Egaliseur retard Tt2

FIe. 5. - - Syst~mes de r6ception.

<0 ((0))

>0 ~I~ ED

ANN. T~L~COMMUN[C.,. 32, n ~ 7-8, 1977 5 / 1 5

M. R O U S S E A U . -- M E S S A G E S B I P H A S E D A N S L E S S Y S T I ~ M E S D E T I ~ L I ~ C O M M U N I C A T I O N 273

III.2. Filtre et r6eepteur opt imal : Fo.

Dans cette coufiguration, les circuits habituels de r6ceptiou (repr6sentds par le filtre) sor~t suivis du rdcepteur optimal d6crit au paragraphe II.3.

Nous ddsignons respect ivement par ~i(t) et ~i(t) (i ~ 0, 1) les s ignaux observds h la sortie du filtre et du rdcepteur optimal pour une impulsion s~(t)

isolde h l 'entr~e (*). Ce sent des variables al6atoires 2 et ~ centr6es sur : gaussiennes de variances ~u

(24) ui(t) ~ h(t) r si(t),

(25) w~(t) ~ g(t) ~ ul( t) .

Les expressions altalytiques assez compliqudes de

u~(t) et wl(t ) sent report6es annexes 1 et 2, une repr6- sentat ion sch6matique e n e s t donn~e figure 6. Les

variables uo(t ) et Wo(t ) s'en d6duisent s implement par :

( U 0 ( t ) U i ( t - Ti2), (26)

! wo(/)= Wl(/-- T[2).

Le premier terme repr6sente le signal utile corres-

ponda n t h l ' impuls ion revue si(t) et le second Fin- fluence des impulsions qui l ' en tourent .

Compte t enu de la r~gle de ddcision (20), nous d6cidons que sl(t ) a 6t6 6mis si la tension v~,t(v) est

positive et so(t ) si clle est n6gative.

La probabili t6 d 'erreur est donc 6gale h la proba- bilit6 que ~ , t ( z ) soit n6gative lorsque le symbole (~ 1 )~

a dtd dmis ou que V~o,t(z ) soit positive lorsque c'est un (( 0 )~. En t enan t compte de l 'dquiprobabil i t6 d'dmission des (( 0 )) et ,( 1 )~, ceci implique :

(28) P x = ~ erfc\a--~2~2; + 4 e r f c \ ~w~/2 / "

III.3. Filtre et 6ehant i l lonneur s imple : Fs .

Ce type de r6cepteur est le plus simple h met t re

en oeuvre. La tension aprbs filtrage est d i rectement

uj (t)

t

o T 4 2 -,i--

w, (t)

Fie,. 6. --- Reprdsentation sch6matique des signaux h la sortie du filtre eL du r6cepteur optimal.

La ddterminat ion de la fonction d 'autocorrdlat ion du brui t apr~s filtrage 1Ru(t) est effectu6e annexe 3 ;

2 elle conduit h celle de la puissance de brui t ~w la sortie du rdcepteur opt imal (annexe 4).

A l ' i n s t an t d '6chant i l lonnage 7, la tension de sortie effectivement observde v~,t('0 est une variable a16a-

2 centrde sur : toire gaussienne de variance a w or

(27) w i , t (~ )= w ~ ( T ) + ~ w j ( ~ + nT)+ w k ( T - - n T ) .

~ f , t ~tant la tension de sortie totale.

(*) Le symbole ~ utilis~ dans ee paragraphe indique qu'il s'agit d'une variable al~atoire.

compar6e h u n seuil us 6gal h la moiti6 de l ' ampl i tude du signal incident. Avec les nota t ions de la figure 1, il vicar :

(29) u s = ~/e12 T.

Si la d6cision s'effectue duns la premiere moiti6 de la p6riode, on ddcide que le symbole re~u est (( 1 ), si la tension est sup6rieure au seuil et (( 0 )) dans le cas contraire.

Pour l imiter l'ilLfluence du bruit , il faut filtrer s~v~rement ce qui conduit h une ddformation du signal. Comme pr~c6demment, le signal mesur~ ~/,t(~) est la somme du signal utile u~(z), lui-m~me modifid

par rapport au signal incident, d 'un signal f luc tuant

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274 M. R O U S S E A U . -- M E S S A G E S B I P H A S E D A N S L E S S Y S T E M E S D E T I ~ L I ~ C O l V I M U N I C A T I O N

dfi au brui t et du terme expr imant l ' i n te rmodula t ion entre les symboles. Sa valeur moyenne s'~erit :

co

(30) uLt(z ) = u ~ ( ~ ) + ~ u i ( v + n T ) + u k ( - ~ - - n T ) .

La probabili t~ d 'erreur s 'en d~duit ais~ment :

(31) P~ = 41 erfe(Ul ' t (v!- - \ ~u ~/2- u s ) + l ~ erfc\(/us--u~ 42- / "

La puissance de brui t calculSe annexe 3 est :

(32) ~u = Ru(0) = No(7 f~ - - 10 fl)18.

III.4. Filtre et 6chantillonneur diff6rentiel : FD.

Cette s t ructure est issue de la prdc6dente en lui

ad jo ignant un dispositif de retard T]2 et un compa-

rateur. A chaque ins t an t d 'Schanti l lonnage v situs dans la deuxi6me moiti~ de l ' intervalle , on compare

le signal re~u ~, t (v) au signal re tards ~,t(T - - T [ 2 ) . Si la diff6rence :

(33) ~, t (v) = u~- , t (x- T I 2 ) - u~,t(v),

est positive, on dScide que le symbole re~u est (, 1 ),

et c( 0 )) si elle est nSgative.

En faisant abs t ract ion des indices, les s ignaux la sortie et h l 'entrSe de l 'Schant i l lonneur diff6rentiel sor~t reliSs par :

"v ( v ) = "u ('r - T [ 2 ) - - "u ( "r ) .

En passant aux valeurs moyennes on t rouve :

(34) ~(v) = v ( z ) = u ( v - "1"]2)- u(z ) ,

et

~(v) ~(t + v) = 2 Ru(t) - - Ru(t + T[2) - - Ru(t - - T[2).

La puissance de bru i t se d~duit doric de la fonction

d 'autocorrdlat ion apr~s filtrage par :

(35) a v ~ = 2[Ru(0) - - Ru(T[2)] = 2[a~u - - Ru (T[2 ) ] .

L'expression de la probabil i t~ d 'erreur est alors :

1 . Fv~, t (v)7 1 e r f c [ = Vo,t(v)~.

Remarquons que par rappor t h l 'Schanti l lonnage simple, l ' ampl i tude cr~te h cr~te du signal a doublS, mais que la valeur efficace du brui t a seulement dtS

multipliSe par le facteur :

/ Ru (T /2 )

Lorsque la bande passante du filtre est impor tante , la correlation du bruit , en dehors de l 'origine, reste

faible et ce facteur est voisin de ~/2-. I1 en rdsulte un gain de ~/2 (ou de 3 dB) sur le rappor t signal- brui t , c'est-h-dire, pour une probabili t~ d 'erreur fixde, une r6duction de 1,5 dB sur la puissance optique

ndcessaire.

III.5. Egalisateur et 6chantillonneur simple : Es.

Dans les descriptions pr~c6dentes, nous nous sommes pr inc ipa lement attach6s h r~duire l ' influence du brui t et nous avons mis en dvidence l'effet du filtrage sur

la forme des impulsions et la probabili tS d'erreur. Si on souhaite en prioritd rSduire l'effet de l ' in ter-

modula t ion entre symboles, on peut s ' imposer une forme de la tension de sortie du rScepteur favorable h la prise de dScision. Les Studes rSalisSes sur les t ransmissions en bande de base [11] m o n t r e n t que la fonction dont le spectre est un cosinus surdlevd a une forme bien adaptSe h la d6tection binaire. Compte t enu de l ' ampl i tude des s ignaux si(t), son expression centrde sur T[2 est :

~ / ' 2 E sin 4 x t l T (37) x l ( / - - T]2) = ( 4 x t / T ) ( 1 - - ( 4 t / T ) ~) '

avec

(38) i ~ /2~T[Te r:jfT T ( l + c o s x f T I 2 ) 1 4 si If[ < 2 I T ,

Xl(f) = 0 [f[~2lT.

Cette fonetion repr~sent6e fgure 7 satisfait au crit~re de Nyquis t :

(39) xl(kT/2) = ~ / ~ l T b,k,

ce qui implique que la tension en T]2 ne ddpend que du type d ' impuls ion d~tectde h cet i n s t an t et non des sSquences antSrieure et postSrieure. En Schant i l lonnant exactement aux ins tants T]2, 3 T]2, 5 T]2... , on annule ainsi l ' interfSrence entre les SIS- merits du signal.

La r~gle de dScision est ident ique h celle du sys- tame FS : si la tension est supSrieure h xs = ~/E-]2 T, le symbole re~u est (~ 1 ~), sinon c'est (( 0 )) .Dans ces conditions, la probabili tS d 'erreur est ident ique pour

les deux symboles et la probabili tS totale s'Scrit :

1 e r f c ( X~( kT]2 ! ~ x, 1 e r f c ( - - - ~ = ~ P~ = 2 \ ~x ~/2 = 2 \ r ~ /2 / "

Avec l 'expression de xs et de la puissance de bru i t calculde annexe 5 :

No = y 1 , 1 2 7 7 ,

il v ient :

(40) Px = ~ erfc No 0,47084 .

Nous remarquons une d iminut ion de 3,5 dB sur le rapport s ignal/brui t par rappor t au r6cepteur optimal,

ce qui correspond, pour une probabili tS d 'erreur fixSe

h une augmenta t ion de 1,75 dB de la puissance optique

requise.

I I I . 6 . Egaliseur et 6chantillonneur d i f f6 ren- t ie l : ED.

Le t r a i t ement du signal est semblable h celui exposS dans le cas du syst~me FD. A chaque ins tan t d 'Schan-

ANN. TELI~COMMUNIC., 32, n ~ 7-8, 1977 7/15

M. R O U S S E A U . -- M E S S A G E S B I P H A S E D A N S L E S SYSTI~,MES D E T I ~ L I ~ C O M M U N I C A T I O N 2 7 5

, ix, (t)

T 0 3 T

i ,X , (f) i

F~6. 7. - - Reprdsentation du signal fi la sortie de l'6galiseur. a) xx(/) , b) transform~e de Fourier ]X~(f) I .

L t

f

t i l lonnage z(z = T, 2 T, 3 T, . . .) , le signal re?u apr~s 6galisation ~ (z ) est compar6 au signal retardd. Si la diff6rence :

(41) ~(~) = ~ '~ (~- TI2 ) - -~(-~)

est positive, on ddcide que le symbole re?u est ,( 1 )), et , 0 ) )dans le eas contraire.

Avec la d6finition (37) de x~(t), le signal y i ( T ) e s t ind~pendant des s~quenees en touran t le symbole ddteet6. I1 vient :

(42) Yl(T) = - - Yo(T) = v ' 2 E ] T .

La puissance de brui t se d6duit de (35) :

(43) ~ = 2 [Rx(0) - - 1Rx(T/2)],

off Rx(t) repr~sente la fonction d'autocorr61ation du brui t apr~s l'6galiseur. Le calcul num6rique effectud annexe 5 donne :

N 0 2,3697.

Compte tenu de (42), la probabil i t6 d 'erreur est ident ique pour les deux symboles ; son expression globale est :

soit :

(44) P.~ = ~ erfc ~ .

La comparaisou de (44) avec (40) et (22) montre une augmenta t ion de 2,8 dB sur le rapport signal/ bru i t par rappor t h l '~galisation simple et seulement une d iminut ion de 0,7 dB par rapport au rdcepteur optimal. Pour une probabil i td d 'erreur fixde, ceci correspond respect ivement h une rdduction de 1,4 dB

et une augmenta t ion de 0,35 dB de la puissance optique ndcessaire.

IV. R ~ S U L T A T S

IV.1. R6cepteur optimal et 6galiseur.

A part i r des expressions (22), (40) et (44), nous avons repr6sentd, figure 8, les variat ions de la proba- bilitd d 'erreur en fonction du rappor t s ignal /brui t E / N o pour les trois syst~mes de r6ception ne faisant pas in terveni r le t rainage des impulsions : rdeepteur

optimal, dgaliseur avec dchanti l lonaage simple et diffdrentiel. Comme rtous l ' avons remarqu6, les courbes se d6duisent les unes des autres par une simple t rans la t ion paral l~lement h l 'axe E ] N o . Pour une probabil i t6 d 'erreur fix6e, la pdnalit6 par rappor t au r6eepteur opt imal est de 0,7 dB pour l '6galiseur diff6rentiel et 3,5 dB pour l 'dgaliseur simple.

Un autre 61dment de comparaison indiqu6 au tableau I e s t la probabili t~ d 'erreur obtenue avec un rappor t E [ N o donn& Le compor tement de la fone- t ion erfc pour les grandes valeurs de l ' a rgumen t explique le fait que l '~cart entre les trois syst~mes

est d ' a u t a n t plus dlev6 que E]N o est grand.

IV.2. Influence de la fr6quence de coupure haute /2-

Dans le cas des syst~mes prat iques d6jh ddcrits : filtre et rdcepteur optimal, filtre et 6chanti l lonnage

8/15 i ~ . TtI:Lli:COMMUNIE., 32, n o~ 7-8, 1977

276 M . R O U S S E A U . - - M E S S A G E S B I P H A S E D A N S L E S S Y S T t ~ M E S D E T ] ~ L ] ~ C O M M U N I C A T I O N

[ PX

'~ \ \

.o\

lo -s.

lo-6.

lo ~

1if= i

Fro. 8. - - Probabilit~

\ \ \ \

d'erreur en signal/bruit pour les syst~mes Ro, ]~D et Es.

, / , 18 20 22

fonction du rapport

8 10 12 14 16 1G 20 22

FIG. 9. - - Probabilit6 d'erreur en fonction du rapport signal/ bruit pour le syst~me FO.

T A B L E A U I

Comparaison de Pz pour EIN o fixd

E I N o en dB ~ ~ 0 6 9,5 12 14 15,6 16,9

syst6mes

Ro 1,6 10 -1 2,3 10 -2 1,3 10 -a 3,2 10 -5 2,9 10 -7 9,9 10 -1~ 1,3 10 -12

no 1,8 10 -1 3,3 10 -3 2,9 10 -3 1,2 10 -4 2,2 10 -6 1,8 10 -s 6,3 10 - i t

E~ 2,5 10 -1 9,1 10 -3 2,3 10 -3 3,9 10 -a 4,4 10 -4 3,2 10 -5 1,6 10 -B

s imple , fil tre e t 6chan t i l l onnage diffdrentiel , la p r o b a -

bi l i td d ' e r r e u r ne s ' e x p r i m e pas d i r e c t e m e n t en fonc-

t ion de E ] N o . L ' i n t r o d u c t i o n du fi l tre c o n d u i t h u n

t r a inage des impuls ions e t h une i n t e r m o d u l a t i o n

en t re les symboles qui c o m p l i q u e l ' exp res s ion de la

p robab i l i t6 d ' e r r eu r .

P o u r q u a n t i f i e r l ' i m p o r t a n c e du t r a inage , nous

avons mis au p o i n t un p r o g r a m m e de calcul sur ordi-

na teu r . Nous cons id6rons l ' inf luertce de 5 impuls ions

de p a r t et d ' a u t r e du s y m b o l e 6tudi6. Le cho ix du

h o m b r e 5 rdsul te d ' u n c o m p r o m i s ; il assure une b o n n e

pr6cis ion a v e c un t e m p s de calcul pas t rop 61ev6.

P o u r c h a c u n e des 1 024 con f igu ra t ions 6qu ip robab les

rencont rdes , nous ca lculons , en diffdrents i n s t an t s

d ' 6 c h a n t i l l o n n a g e la p robab i l i t 6 d ' e r r e u r co r respon-

d a n t e a v e c (28), (31) e t (36). P a r s imple m o y e n n e ,

nous en d~duisons la p robab i l i t 6 d ' e r r e u r f i n a l e ;

l ' i u s t a n t d ' ~ c h a n t i l l o n n a g e r e t e n u 6 tan t celui qu i

p e r m e t la plus fa ib le va leur .

Les va r i a t i ons de la p robab i l i t 6 d ' e r r e u r en f o n c t i o n

du r a p p o r t s ig l l a l /b ru i t et de la f rdquence de c o u p u r e

h a u t e son t t rac6es r e s p e c t i v e m e n t figures 9, 10 e t 11.

Dans le cas du sys t6me f i l t rage e t r dcep t eu r o p t i m a l

(Fig. 9), nous r e m a r q u o n s que P z est 6 v i d e m m e n t une

fonc t ion ddcroissart te de E / N o , mais aussi de f2.

Lo r sque f2 a u g m e n t e , la d6pendance de P~. avec E [ N o

se r a p p r o c h e de l ' express ion :

1 P z = ~ erfc ( 0 ~ / E ] ~ 0)

e t on t e n d a s y m p t o t i q u e m e n t ve rs le r d c e p t e u r op t i -

mal . Ceci i nd ique que si f2 croi t , l ' a d a p t a t i o n du

s ignal est p r d p o n d 6 r a n t e d e v a n t l ' a u g m e u t a t i o n de

la pu i ssance de bru i t . Les v a r i a t i o n s de P z a v e c f2

son t d ' a u t a n t plus r ap ides que f2 est fa ib le (par

e x e m p l e f2 < 1 , 3 / T ) . P o u r les va leu r s plus 61ev6es,

le ga in o b t e n u ne jus t i f ie pas t o u j o u r s la diff icult6

de rda l i sa t ion du rdcepteur .

A,~. TELI~COMMUN[C., 32 , n ~ 7 -8 , 1 9 7 7 9/15

M. R O U S S E A U . - M E S S A G E S B I P H A S E D A N S L E S S Y S T I ~ M E S D E T I ~ L I ~ C O M M U N I C A T I O N 277

10 2q \ \ \

\ \

10'_

10 ~_

I 1 0 6

I

1 0 ~ _

8 10 12 t4 16 18 20 22

P,

FIG. 10. - - Probabilit~ d'erreur en fonction du rapport signal/ bruit pour le syst5me FS.

Avec le syst~me filtre et dchantillonrmur simple

(Fig. 10), P~ est une fonction monotorm ddcroissante

de f2, puis croissante au-delh de 1,4 T. Ceci indique

que pour 1"2 > 1 ,4[T, l ' augmen ta t ion de la puissance

de bruit l ' empor te sur l 'amdlioratiort du signal ~chart-

tillonnd. De plus, pour P~ < 10 a, les var iat ions de

P~ avec E ] N o suivent d'assez pros la loi :

Pc ~ erfc ~ / .

Au minimum, f2 = 1 , 4 / T ; pour obtenir la m~me

probabili t~ d 'er reur qu ' avee le r~eepteur opt imal , il

faut augmenter E ] N o de 3,2 dB ou la puissance

opt ique de 1,6 dB. Ce rdsultat est comparable h eelui

obtenu avee le syst~me ~galisation et ~chantil lormage

simple (w III.5).

Les observations avec le syst~me filtre et dehantil-

lonneur diffdrentiel d6duit du precedent sont quali-

t a t i vem en t semblables. P~ est une fonction rap idement

ddcroissante de f2 jusqu 'h 1"2 ~ 1,25]T, puis crois-

sante au-delfi. Au minimum, il faut augmenter E ] N o de 0,8 dB, ou la puissance opt ique de 0,4 dB, pour

obtenir les caractdrist iques de compor temen t du

rdcepteur optimal. Ce rdsultat est voisin de celui

t rouv~ avec l '~galiseur et l '~chant i l lonneur diff~ren-

tiel (w III.6).

Pour dtablir la comparaison entre les diffdrents

types de rdcepteur et rassembler les pr ine ipaux rdsul-

tats, nous avons tracd figure 12 pour E [ N o = 14 dB

les var iat ions de Pr~ avec f2 et figure 13 pour P~- - 10 8

les var iat ions de E [ N o avec f2. Pour f2 > 1,5]T, nous re t rouvons figure 13 l 'dcart de 3 dB pr6vu

1 8 10 12 14 16 ~8 20 22

Fro. 11. - - Probabilitd d'erreur en fonction du rapport signal/ bruit pour le syst~me FD.

ol

I ED

0I O,7

FIG. 1 2 . - Probabiiit6 d'erreur eu fonction de f2 pour E I N o = 14 dB.

10/15 a x e , . TELI;:COMMU.XlC., 32, n ~ 7-8 , 1977

278 M. R O U S S E A U . -- M E S S A G E S B I P H A S E D A N S L E S S Y S T E M E S D E T I ~ L I ~ C O M M U N I C A T I O N

f E 30 ~ (dB}

FIG, 1 3 , - R a p p o r t Slg l~al lb~ol tseu fonc t ion d e /'2 pour

t h d o r i q u e m e n t au p a r a g r a p h e I I I . 4 en t r e les 6chant i l -

lonnages s imple e t diffdrent iel p o u r les f r~quences

dlev6es. Nous c o n s t a t o n s que , comparGe au f i l t rage

passe-bas , l '~ga l i sa t ion ne se jus t i f ie que dans cer-

t a ines bandes de f rdquence e t que la rGception opt i -

m a l e est m e i l l e u r e que l ' d chan t i l l onnage diffGrentiel

u n i q u e m e n t si on ut i l ise des fi l tres de rdcep t ion avee

f2 l a r g e m e n t supGrieure h 1,5IT. R e m a r q u o n s que

ce t t e cond i t i on est d ' a u t a r t t p lus difficile h sa t is fa i re que

le ddbi t est 6levd, p a r e x e m p l e p o u r l I T = 8 Mbi t / s

elle impose f2 ~ 12 MHz.

le r a p p o r t en t re les d e u x va leu r s n ' exc~de pas 5.

A fin de s impl i f ie r la p r6sen t a t i on des rdsu l ta t s e t

m e t t r e en 6vidence les ca r ac t6 r i s t i ques des diffdrents

sys t~mes , nous nous s o m m e s fix6 d e u x va l eu r s t y p i q u e s

de E / N o : 14 et 18 dB. Les v a r i a t i o n s de P~ en fonc-

t ion de fl son t t racdes r e s p e c t i v e m e n t figures 14 e t

15 p o u r les va leu r s de ]'2 : 1 ,25 /T , 1,4]T et 2,5/T, les d e u x p remie res va leu r s co~ncidant avec les min i -

m u m s observ6s p r @ d d e m m e n t .

Pv

10"2 f

2,5 2 - - - ~

- - - - - 1,25

10 ~ 1 4

1,25 T

10-4

2,5

res ._._._7_~. ~ . ~ 2 ~

f,T

10" 0 0'Ol o,b5 o!1

Fro. 1 4 . - Probabilit~ d'erreur en fonction de [1 pour E / N o -- 14 dB. - - - - F O ; - - - F S ; - - - - - FD.

IV.3. Influence de la fr6quence de coupure basse f l .

L ' i n t r o d u c t i o n d ' u n e coupu re basse dans le f i l t re

de rdcep t ion ren fo rce sGrieusement le t r a inage de

l ' impuI s ion e t en consGquence modi f i e la p robab i l i t d

d ' e r reur . La m e s u r e de ce t effet nGcessite la pr ise en

c o m p t e d ' u n n_ombre d ' i m p u l s i o n s a u t o u r du s y m -

bole dtudid d ' a u t a n t p lus g r and que la frGquence de

coupure basse est 61evde. Dans ces condi t ions , le

calcul de c h a q u e p robab i l i t 6 d ' e r r e u r e t de la m o y e n n e

c o n d u i t h u n t e m p s d ' un i t 6 cen t ra l e i m p o r t a n t et &

une prec is ion mGdiocle . P o u r pa l l ie r ces difficultds,

nous avons dO l im i t e r n o t r e ca lcul h la r echerche du

d i a g r a m m e de l 'ceil [11] et h la dGte rmina t i cn de la

p robab i l i t 6 d ' e r r e u r associde. L ' e x p r e s s i o n s imple de

l ' o u v e r t u r e de l 'ceil [(4) dans 12] p e r m e t de consi-

ddrer, de fa~on d i rcc te et r ap ide , l ' in f lucnce d ' u n

n o m b r e 61ev6 d ' impu l s ions . La v a l e u r o b t e n u e p o u r

la p robab i l i t d d ' e r r e u r ?st p e s s i m i s t e ; tou te fo i s les

essais que nous avons effectuds m o n t r e n t qu ' e l l e

s 'Gcarte peu de la v a l e u r vra ie . Pal" e x e m p l e avec :

0 ~< l~ ~ 0,05IT,

1,25 T

o ' ' o.o, o!o, o'., -

FIG. 1 5 . - Probabilit6 d'erreur en fonction de fl pour E / N o = 18 dB. - - - - F O ; - - - F S ; - - - - - FD.

ANN. T~L~COMMtrNIC., 32, n ~ 7-8, 1977 11/15

M. ROUSSEAU, MESSAGES BIPHASE DANS LES SYSTEMES DE TI~LI~COMMUNICATION 279

Nous remarquons darts le cas du syst6me filtre et

r6cepteur opt imal une forte d6pendance de P~ avec fl �9

Pour fl > 0,01/T, P~ croit tr6s rap idement avec une

pente p ra t iquemen t ind@endan te de f2- Ces varia-

tions brutales v iennent de ce que le r6cepteur opt imal

int~gre les signaux et donnent ainsi de l ' impor tance

aux composantes basses frdquences qui sont prdci-

s6ment 61imin6es par le filtrage.

Dans la gamme de fr6quences retenue :

0 ~ f , ~ O,1/T

les var iat ions de P~ , pour les autres syst~mes FD

et h u n degr6 moindre ~s, sont faibles.

Le rapprochement des figures 12 et 14 montre que

l 'ut i l isat ion du syst6me FO condui t aux meilleures

caractdrist iques de eompor t emen t h condit ion que fl

soit faible et fe 61ev6e ; en pra t ique :

fl < 0 ,01/T,

f~ > 2 I T .

Ceci impose un contr61e s6v6re de la coupure basse

et des ampl i fca t ions avec une bande passante 61ev@.

Dans le cas contraire, le syst6me FD qui poss6de

une grande ind@endance vis-h-vis de la coupure basse

est pr6f6rable.

V. C O N C L U S I O N

Les dtudes thdoriques et les rdsultats numdriques

s 'y r appor tan t pe rme t t en t de situer les urns par rap-

port aux autres les diff6rents types de r6cepteurs

adapt6s aux tdldcommunicat ions num6riques par

fibres optiques ut i l isant le code de transmission

biphase unipolaire. Pour faciliter le ehoix du concep-

teur de syst6mes, la eomparaison 6tablie n 'es t pas

limitde aux mod61es iddaux : r6ception optimale,

6galisation totale, mais est dgalement consacrde aux

modules p ra t iquement r6alisables.

Les rdsultats numdriques prdsentds sont d i rec tement

exploitables. Ils indiquent au concepteur de syst~mes,

eu fonction de la bande passante du rdcepteur qu' i l

salt rdaliser, la meil leure technique de ddtection. Par

exemple, si rtous examinons le cas d 'une transmission

MIC h 8 Mbit/s, deux solutions peuven t a priori fitre

envisag6es apr~s le filtrage : l '6chant i l lonnage diffd-

rentiel, qui requier t une bande passante voisine de

10 MHz et le r6cepteur opt imal , qui ndcessite des

frdquences de coupure haute supdrieure h 20 MHz

et basse frdquence infdrieure h 50 kHz. Apr6s une

rapide comparaison, il appara i t que seule la premi6re

technique mdrite d'fitre retenue. En effet, pour des

caract6rist iques de eompor temen t sensiblement iden-

tiqUes, le t r a i t emen t du signal avan t d@ision est plus

simple et sur tout la bande passante n6eessaire de

10 MHz peut ~tre obtenue avec des circuits int6gr~s

peu cofiteux. I1 est clair que ce dernier a rgument a

d ' au t an t plus d ' impor tance que le d6bit binaire est

61ev6.

Enfin, bien que ce t ravai l soit essent iel lement ax6

sur les tdldcommunicatiorLs par fibres optiques, son

extension ~ d 'aut res syst~mes ut i l isant le mfime code

de transmission est imm6diate.

R E M E R C I E M E N T S .

L 'au teur remercie Mons i eur R. Boirat pour les dis- cussions fructueuses concernant la moddlisation du rdcepteur optique, ses coll~gues de la section Electronique- Photonique pour les nombreuses facilitds d'acc~s d l 'ordi- nateur qu'ils lui ont accorddes tout au long de l'dtude el M a d a m e G. Z i m m e r pour son aide prdcieuse dans la raise en forme de ce document.

ANNEXE 1

Signal ~ la sortie du filtre

A part i r de la d6finition (23) de la fonction de t rans-

fert H(f) du filtre, il est facile d 'en d6duire sa rdponse

percussionnelle :

h(t) = / : H ( f ) e 2~'ft d f .

Il v ient [11, p. 50] :

sin 37: f2t + sirL 7: f2t sin 47: fl t (A-I.1) h( t ) - -

2 r : t (1 - - 4 f ~ t ~) 4 7 : t ( 1 - - 1 6 f ~ t 2 ) "

La r6ponse du filtre h une impulsion sl(t ) de durde

T[2 et d ' ampl i tude 47:(*) s 'gcrit :

(A-1.2)

u l ( t )= h(t)* sl( t)= 4n . h( '0 d-~ = a(t) - - a ( t - - r / 2 ) . t -T/2

oh a(t) est une fonction d6finie par :

(A-1.3) a(t) = 4 7: h(l:) d 'r .

Apr~s subst i tu t ion de (A-I.1) dans (A-1.3) et

changement de variable d ' int~gration, nous t rouvons :

(A-1.4) a ( t )= 2 Si(37:f2t)+ 2 Si (7: f2t) - - 2 Si(47: f i t )+

ci [27:(1 - - 2f2t)[2 ] - - Ci [37:(1 + 2f2t)]2 ] - -

Ci [7:(1 - - 2 f2t)[2] + Ci [7:(1 + 2 f2t)/2] - -

Si [7:(1 - - 4 flt)] + Si [7:(1 + 4 f~t)].

Si(z) et Ci(v) repr6sentent respec t ivement les fonc-

tions sinus et cosinus intdgral.

(*) Eu toute rigueur l'amplitude de sl(t ) indiqu6e figure 1 est : x/2 E I T ; nous effectuons le caleul avec 4 r: uniquement pour simplifier l'6criture des r6sultats. Pour obtenir la valeur exacte, il suffira de multiplier les expressions finales par : ~/2 EI T/4 r:.

12/15 A~N. TI~LI~COMMUNIC., 32, n ~ 7-8, 1977

2 8 0 M. ROUSSEAU. -- MESSAGES BIPHASE DANS LES SYSTI~MES DE TI~LI~COMMUNICATION

ANNEXE 2 A N N E X E 3

S i g n a l ~ l a sortie de l'ensemble filtre-r6cepteur o p t i m a l

Nous nous proposons de d6terminer la rdponse de l ' ensemble f i l t re-r6cepteur op t ima l h l ' impuls ion s~(t) de durde T[2 et d ' a m p l i t u d e 4 7:. Si ul(t ) est la tension corresportdante apr~s fil trage, h la sortie du r6cepteur op t imal nous t rouvons (20) :

Wl(t ) = g(t)* Ul(t ) = / g(t - - v) u(~) d r ,

suit avec la d6finit ion (19) de g(l) :

(A-2.1) w i ( t ) = / t - T ] 2 UI('~) dT _ _ / l Ul(T ) d r . . / t -T ../ t-t-T[2

Compte t enu de la d@omposi t ion (A-1.2) de u~(t), il v ien t :

(A-2.2) w~(t)=b(t--3T]2)--3b(t--T)+ 3b(t--T[2)--b(t),

a v e c :

(A-2.3) b(t) = a(v) dT.

Pour ealeuler b(t), il fau t d~terminer la con t r ibu t ion

des diff~rents termes eomposan t a(t). L ' examen de

(A-1.4) mont re que a(t) est la somme de termes de la forme :

Si (7:~l) , Ci [7:~(1 -- 0r Si 17:(1 _+ 4ffl)].

Apr6s in tegra t ions pa r par t ies , nous t rouvons :

f o o t Si dv = t Si (7:oil) § (cosT:~xt 1)/7:~ (7:~z)

t d r = E

~ 2 ~ 7::r '

et

/o' (4 f f l - - 1 S i [ 7 : ( 1 - - 4 f l - 0 ] d v = \ 4 5 / S i [ 7 : ( 1 - - 4 f l t ) ] +

Si(7:) -- cos47:f l t - - 1

4 f l 4 ~ f l

Subs t i tuons ees rdsul ta ts dans (A-1.4) et (A-2.3) ; nous obtenons :

(A-2.4) b(t) = 2 t [Si(37:/2t) § Si(7:f~t)-- Si(47:ffl)] §

[(1--2 f2/)12 f2] [Ci [7:(1--2 f2t)[2]--Ci [37:(1--2 f2t)[2]] +

[ (1§ 2 f2t)]2 f2] [Ci [7: (1§ 2 f2t)]2 ]--Ci [37:(1 § 2 f2t]2)]] §

[(1 - - 4 f~t)/4fD] Si [7:(1 - - 4 flt)] +

[(1 § 4 fit)[4 fi] Si [7:(1 § 4 flt)] § Ci (3x12)lf2 --

Ci (7:]2)1f~ -- Si (x)]2 fl + 1 - - cos 4~ flt]X ]'1.

Fonetion d'autocorr61ation du bruit la sortie du filtre

D~sigrtons pa r :

No/2 la densit6 spectrale , double bande, du bru i t h t 'entr6e,

H(f) la fonction de t rans fe r t du filtre,

nu(t) la tension al6atoire de b ru i t h la sortie,

la fonction d 'autocorr61at ion du processus nu(t) est :

(A-3.1)

Ru(t) = nu(z) nu(t + z) = NO ~] =lH(f)[ 2 e -2r:jft df. 2 / _ =

suit, compte tenu de la par i t6 de Il l(f)[ 2 :

Ru(t) = N o H(f)] 2 cos 27:fl dr.

Les ealeuls n 'off rent pas de diffieult6s part ieuli~res ; il v ient :

Ru(/) 3 sin 37: f2t+ 5 sinT: f2t--5 sin 47: fit (A-3.2) No 167:/

f~tsin47:fit 4f21tsin47:flt f]t(sinT:fet--sin37:f#) + 4 7 : 0 - 4 ~ t ~ ) ~H-~6-F ,I~) + 167:(1 - f~t2)

ff l(sin 3 = f # + sin=fe/) 7:(1 - - 4 ~ t 2)

Remarquons que pour t = 0, nous obtertons la var iance du proeessus, e 'es t -h-dire la puissance de b ru i t :

(A-3.3) ~2u = Ru(0) = No(7 ]'2 - - 10 fl)/8.

Ceci pe rme t de d6finir la bande 6quivalente de b ru i t du filtre :

h f = ( 7 s lO5)/8.

Pour simplif ier l '6cr i ture de (A-3.2), il est ut i le d ' i a t r odu i r e les functions in term6diai res :

sirLT:~t (A-3.4) e(t, cr -- 167:t '

~2t sinT: ~ ~ l[2 (A-3.5) d(t, ~, ~) -- 167:(1 - - ~2t2) '

Ru(t) s '6cri t alors :

(A-3.6) Ru(t)[N o = 3c(t, a f2 ) + 5c(t, f~)--5c(l, 4]'1 ) - -

d(t, 2 f l , 4) - - 4 d(t, 4 f l , 2) + d(t, fu, 2) - - d(t, f~, 6) +

4d(t, 2 f 2 , 3 ) + 4 d(t, 2 f 2 , 1 ) .

A N N E X E 4

Puissance de bruit la sortie de l'ensemble filtre-r6cepteur optimal

La tension al6atoire de bru i t h la sort ie du r6cepteur

~NN. TI~LI~COMMUNIE., 32, n ~ 7-8, 1977 13/15

M. R O U S S E A U . -- M E S S A G E S B I P H A S E D A N S L E S S Y S T E M E S D E T I ~ L I ~ C O M M U N I C A T I O N 281

op t ima l se d6dui t de nu(t) pa r :

# nw(/) = g(t) ~ nu(t) = g(v) nu(l -- "~) dr,

off g(t) est la r~ponse pereuss ionne l le d~flnie en (19). La va r i anee c o r r e s p o n d a n t e est :

= g('~) g('~') nu(v) nu(v) ' dv d r ' ,

soit en i n t r o d u i s a n t la fonc t ion d ' a u t o co r r~ l a t i on de

nu(t) :

/oo /oo g(v) g(v') Ru(~ -- v') d'v d='. (A-4.1) (~w =

A-4.1. Calculs interm~diaires .

La fonc t ion Ru(t) calcul~e a n n e x e 3 est une som m e de te rmes de la forme c(/, ~) et d(t, ~, ~) . P o u r con- na i t r e a~w, il suffit de faire la s o mme des con t r i bu - t ions des diffdrents termes.

Calculons :

(A-4.2) It(e) = g(v') c ( v - - v' , ~) dvdv ' .

avec (A-3.4) et (19), il v i en t :

~o T ] ~ T C(~'-- ~") d~" -- Ic(~) = g(v) / 2

o ~TI2 c ( = - = ' ) d ~ ' ~ ,

Apr6s i n t e g r a t i o n pa r par t ies , nous t r o u v o n s :

1 - - [4 cos (7: ~ T[2 ) -- cos = ~ 7' - - (A-4.3) Ic (~)= 87:2

3 + 27:~ T Si (7:~ T]2) --7::r T Si ( ~ T)] .

De la m~me fagon nous posons :

(A-4.4)

/o /oo Ia(e, ~) = g(z) g(v') d(v - - v', ~, ~) dv dr' ,

et apr~s u n cer ta in n o m b r e d ' i n t~g ra t i ons pa r par t ies et de c h a n g e m e n t s de var iab les , nous t r o u v o n s :

3 + c o s ( ~ T/2) - - 4 cos (7:~r T/4) (A-4.5) Ia(~, ~ ) = 4 ~ : ~ - -

~7:~/e (~ , D + \ 167:~ /e(-~. , D-

La fonc t ion in te rm~dia i re e(~, ~) ~ t an t d~finie pa r :

(A-4.6)

~ = 2,6

~ = 4 ,

~ = 3 , ~ = 1 ,

e(~r ~) = Si (~ ~12) - - Si [7:~ (1 § cr T)[2I ,

c(~, 4) = Si [27:(1 + ~ T)] - - Si (27:) ,

e(~, 3) = Ci [37:(1 + :r - - Ci [37: /2] ,

e(~, 1) = Ci [7:]2] - - Ci [7:(1 + ~ T ) [ 2 ] .

A-4.2. Rdsultats .

Compte t e n u de la d~compos i t ion de Ru(t) en (A-3.6) et des d~fini t ions de Ic et Id en (A-4.2) et

(A-4.4), nou8 ddduisons de (A-4.1) :

(A-4.6) ~2w/N o = 3 Ic(3 f2) + 5 Ic(f2 ) - - 5 Ic(4 f l ) - -

Id(2/ '1, 4) - - 4 In(4 f l , 2) + In(f2, 2) - - In(f2 , 6) +

4 Id(2f2 , 3) + 4 In(2 f2, 1 ) .

ANNEXE 5

Fonc t ion d'autocorr~lat ion du bruit la sortie de l '6galiseur

Avec la ddf in i t ion de la t ens ion de sort ie donnde el1 (37) et (38) e t la forme des s i gnaux inc iden t s (Fig. 1), la fonc t ion de t r an s f e r t de l 'dga l i seur est :

) e37:lfV127:fT l§ 2 X l ( f ) _ 4 sin (7 : fT /2 ) [fl < T '

2 E f t ) = S,(f) 0 If] > 7 "

Nous en d~duisons l ' express ion de la dens i td speet ra le de b r u i t en sort ie : No/2[E(f)[2 et de la fonc t ion

A 4

d ' au toco r rd l a t i on :

D e u x va leurs s eu l em en t nous son t n~cessaires :

Rx(0) et Rx(T/2). I1 v i en t :

R x ( 0 ) = N o ~ 2 1 T 7 : 2 ~ T 2 ( 1 + cos(7:fT]2) ~2 ~;~ ~ l ~ / df ,

soit u n i q u e m e n t :

No (A-5.1) Rx(0) = ~ - ( 4 loge 2 - -7 :2 /6) = 1,1277 No/T.

De la m~me fagon :

v f 21TT:2f~T2 Rx(T[2)="~ o 16 X

(1 + co8(7:rr2/ ) \ s in(-~T[~ / cosT:fT df,

et

(A-5.2) Rx(T]2 ) = 2~T (87: loge2-r 15 7:]2 -- 4 7:313)

-- 5,7148 10 -2 No]T.

Manuscrit refu le 26 novembre 1976,

rdvisd le 4 juillet 1977.

B I B L I O G R A P H I E

[1] BLACKMORE (R. W.), FELL (P. H.). 8.448 Mb/s optical fibre system (Syst~me par fibre optique 8,~,48 Mbit/s). 1.E.E. Con/. Publ. 132, G.B. (1975), pp. 182-184.

[2] ROUSSEAU (M.). Transmission code and receiver selection for optical fibres PCM communicat ions (Choix du code de transmission et du rdcepteur pour les t6ldcommunications MIC par fibres optiques). I.E.E. Con]. Publ., G.B. (1975), pp. 174-176.

14/15 A,~,~. TELECOMMUNIC., 32, n ~ 7-8, 1977

282 M. ROUSSEAU. -- MESSAGES BIPHASE DANS LES SYSTi~MES DE Ti~Li~COMMUNICATION

[3] PERSONICK (S. D.). Receiver design for digital fiber optic communication systems (Conception du rdcep- teur pour les syst6mes de tdldcommunications numd- riques par fibres optiques). Bell Syst. tech. J., U. S. A. (juil.-aofit 1973), 52, n ~ 6, pp. 843-886.

I/t] PERSONICK (S. D.). Comparison of equalizing and nonequalizing repeaters for optical fiber systems (Comparaison des rdcepteurs avec et sans dgalisation pour les syst6mes par fibres optiques). Bell Syst. tech. J., U. S. A. (sep. 1976), 55, n ~ 7, pp. 957-971.

[5] KWEI (T.), SHEHADEK (N. M.). Effects of band- limiting on the detection of PCM/split-phase signals (Effet de la rdduction de bande sur la ddtection des signaux MIC biphase). Proc. I.E.E.E., U . S . A . (jan. 1971), 59, n ~ 1, pp. 91-93.

[6] KORN (I.). Probabili ty of error in binary communi- cation systems with causal band-limiting filters. Part. II : Split-phase signal (Probabilitd d'erreur dans les syst6mes de tdldcommunications binaires avec des filtres causals h bande limitde. 2 e partie : signaux biphase). I.E.E.E. Trans. COM, U . S . A . (aofit 1973), 21, n ~ 8, pp. 891-898.

[7] DE CORLIEU (G.), HAWKES (T. A.). Transmission de

donndes par fibres optiques ~ bord des avions. Rev. Tech. Thomson-CSF, Fr. (ddc. t974), 6, n ~ 4, pp. I 205-1 224.

[8] CLAVIER (J.), NIQUIL (M.), COr'HNET (G.), BEHR (F.). Th6orie et technique de la transmission des donndes. Tome I. Masson, Paris (1972), 314 p.

[9] HEINLEIN (W. E.), TRIMMEL (H. R.). Repeater spacings of digital communication systems using optical waveguides (Espacements des rdpdteurs dans les syst6mes de tdldcommunications numdriques par guides d'ondes optiques). Proc. I.E.E.E., G. B. (juin 1976), 123, n ~ 6, pp. 653-656.

[10] SCHWARTZ (~V[.), BENNETT (W. R.), STEIN (S.). Communication systems and techniques (Syst~mes et techniques de communications). McGraw-Hill, New York (1966), 618 p.

[11] LucKY (R. W.), SALZ (J.), WELDON (E. J.). Principles of data communication (Principes de la transmission de donndes). McGraw-Hill, New York (1968), 433 p.

[12] MACCHI (O.), GUIDOUX (L.). UH nouvel 6galiseur : l 'dgaliseur /~ double dchantillonnage. Ann. Tdld- communic., Fr. (sep.-oct. t975), 30, n ~ 9-10, pp. 331- 338.

ANN. T~L~:COMMUNIC., 32, n ~ 7-8, 1977 15 /15