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(Re) Construindo Conceitos das Operações com Números Inteiros Relativos
Mestrandos:
Agnaldo de Oliveira
Daiane Corrêa
Juliana Alves
Agosto/2012
Questões Iniciais
Como justificar para o aluno porquê de “-” com “-” resultar em “+” ?
Será que podemos provar as regras de sinais?
De que forma pode-se trabalhar, do ponto de vista didático, as operações em Z?
De que forma podemos justificar as regras de sinais referentes a operações de adição/subtração e multiplicação/divisão no conjunto dos inteiros?
Os Modelos Básicos de Pommer (2010)
Modelo Aritmético
Adição/Subtração
Modelo Algébrico
Modelo Conjuntista
Modelo Geométrico
Multiplicação/Divisão
Modelo Aritmético
Modelo Conjuntista
Modelo Físico Geométrico
Modelo Funcional
O Ábaco dos Inteiros
1) Represente no ábaco o número 6, depois acrescente três argolas vermelhas.
a) Que número você obteve?______ b) Escreva essa operação utilizando a linguagem
matemática._____________.
2) Represente no ábaco o número 3, depois acrescente
cinco argolas pretas. a) Que número você obteve?______ b) Escreva essa operação utilizando a linguagem
matemática._____________.
Primeiro Momento – Adição
3) Represente no ábaco o número -3, depois acrescente sete argolas vermelhas.
a) Que número você obteve?______ b) Escreva essa operação utilizando a linguagem
matemática._____________.
4) Represente no ábaco o número -6, depois acrescente
quatro argolas pretas. a) Que número você obteve?______ b) Escreva essa operação utilizando a linguagem
matemática._____________.
Adição
Adição
5) Efetue as operações abaixo com a ajuda do ábaco.
a) (+4) + (+2) = +6 e) (-6) + (-1) = -7 i) (+5) + (-8) = -3
b) (+2) + (+5) = +7 f) (-4) + (-7) = -11 j) (+9) + (-4) = +5
c) (+6) + (+3) = +9 g) (-1) + (-8) = -9 k) (-8) + (+6) = -2
d) (+5) + (+8) = +13 h) (-9) + (-3) = -12 l) (-7) + (+1) = -6
a) (+4) + (+2) = +6 e) (-6) + (-1) = -7 i) (+5) + (-8) = -3
b) (+2) + (+5) = +7 f) (-4) + (-7) = -11 j) (+9) + (-4) = +5
c) (+6) + (+3) = +9 g) (-1) + (-8) = -9 k) (-8) + (+6) = -2
d) (+5) + (+8) = +13 h) (-9) + (-3) = -12 l) (-7) + (+1) = -6
Adição
Resultado das operações...
6) Analisando os itens de a a d o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?
A soma de dois números inteiros relativos positivos equivale à soma de seus valores absolutos e o resultado terá “sinal” positivo.
Adição
7) Analisando os itens de e a h o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?
A soma de dois números inteiros relativos negativos equivale à soma de seus valores absolutos e o resultado terá “sinal” negativo.
Adição
8) Analisando os itens de i a l o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?
Quando representamos valores absolutos sinais diferentes, subtraímos os valores absolutos das parcelas e o resultado terá o sinal da parcela que possui maior valor absoluto.
Adição
9) A partir das respostas anteriores, é possível chegar a um padrão de resolução da operação de adição de números inteiros? Qual?
A soma de dois números inteiros relativos de mesmo sinal equivale à soma de seus valores absolutos e “seu sinal” é igual ao dos números das parcelas; e a soma de dois números inteiros relativos de “sinais diferentes” equivale a diferença entre os valores absolutos dos números e o seu sinal é o “sinal da parcela” que possui maior valor absoluto.
Adição
1) Represente no ábaco o número 6, depois retire três argolas vermelhas.
a) Que número você obteve?______ b) Escreva essa operação utilizando a linguagem
matemática._____________.
2) Represente no ábaco o número 3, depois retire cinco argolas pretas.
a) Que número você obteve?______ b) Escreva essa operação utilizando a linguagem
matemática._____________.
Segundo Momento – Subtração
3) Represente no ábaco o número -3, depois retire sete argolas vermelhas.
a) Que número você obteve?______ b) Escreva essa operação utilizando a linguagem
matemática._____________.
4) Represente no ábaco o número -6, depois retire quatro argolas pretas.
a) Que número você obteve?______ b) Escreva essa operação utilizando a linguagem
matemática._____________.
Subtração
5) Efetue as operações abaixo com a ajuda do ábaco.
Subtração
a) (+4) - (+2) = +2 e) (-6) - (-1) = -5 i) (-8) - (+5) = -13
b) (+5) - (+3) = +2 f) (-7) - (-4) = -3 j) (-9) - (+4) = -13
c) (+4) - (+6) = -2 g) (-1) - (-8) = +7 k) (+6) - (-8) = +14
d) (+5) - (+8) = -3 h) (-3) - (-9) = +6 l) (+2) - (-7) = +9
a) (+4) - (+2) = +2 e) (-6) - (-1) = -5 i) (-8) - (+5) = -13
b) (+5) - (+3) = +2 f) (-7) - (-4) = -3 j) (-9) - (+4) = -13
c) (+4) - (+6) = -2 g) (-1) - (-8) = +7 k) (+6) - (-8) = +14
d) (+5) - (+8) = -3 h) (-3) - (-9) = +6 l) (+2) - (-7) = +9
Resultado das operações...
Subtração
6) Analisando os itens de a, b, e e f o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?
Subtraímos os valores absolutos dos números e o sinal do resto será igual ao “sinal” do minuendo, quando este possuir maior valor absoluto que o subtraendo.
Subtração
7) Analisando os itens de c, d, g e h o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?
Subtraímos os valores absolutos dos números e o “sinal” do resto será oposto ao “sinal” do minuendo, quando este possuir menor valor absoluto que o subtraendo.
Subtração
8) Analisando os itens de i a l o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?
Somamos os valores absolutos dos números e o “sinal” do resto será o mesmo do minuendo.
Subtração
9) A partir das respostas anteriores, é possível chegar a uma regra para todas as operações realizadas? Qual?
Quando os “sinais” são iguais, subtraímos os valores absolutos dos números e o sinal do resto será igual ao “sinal” do minuendo, quando este possuir maior valor absoluto e, “sinal” oposto ao do minuendo quando este possuir menor valor absoluto que o subtraendo. E quando os “sinais” são diferentes somamos os valores absolutos e o “sinal” será o mesmo do minuendo.
Subtração
Terceiro Momento – Multiplicação
1) Efetue as operações abaixo com a ajuda do ábaco.
a) (+4).(+2) = +8 f) (-6).(-2) = +12 k) (-3).(+4) = -12
b) (+5).(+3) = +15 g) (-7).(-1) = +7 l) (-5).(+2) = -10
c) (+2).(+6) = +12 h) (-4).(-2) = +6 m) (-1).(+9) = -9
d) (+1).(+8) = +9 i) (-3).(-4) = +12 n) (+2).(-7) = -14
e) (+2).(+3) = +5 j) (-2).(-6) = +12 o) (+3).(-2) = -6
Terceiro Momento – Multiplicação
Resultado das operações...
a) (+4).(+2) = +8 f) (-6).(-2) = +12 k) (-3).(+4) = -12
b) (+5).(+3) = +15 g) (-7).(-1) = +7 l) (-5).(+2) = -10
c) (+2).(+6) = +12 h) (-4).(-2) = +8 m) (-1).(+9) = -9
d) (+1).(+8) = +8 i) (-3).(-4) = +12 n) (+2).(-7) = -14
e) (+2).(+3) = +6 j) (-2).(-6) = +12 o) (+3).(-2) = -6
2) Analisando os itens de a a e o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?
Quando os sinais dos fatores são positivos, o produto é igual ao produto entre os valores absolutos dos fatores e o seu “sinal” será sempre positivo.
Multiplicação
3) Analisando os itens de f a j o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?
Quando os sinais dos fatores são negativos, o produto é igual ao produto entre os valores absolutos dos fatores e o seu “sinal” será sempre positivo.
Multiplicação
4) Analisando os itens de k a o, o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?
Quando os “sinais” dos fatores são diferentes, o produto é igual ao produto dos valores absolutos dos fatores, e o “sinal” será sempre negativo.
Multiplicação
5) A partir das respostas anteriores, é possível chegar a um padrão de resolução para todas as operações realizadas? Qual?
Quando os sinais dos fatores são iguais, o produto é igual ao produto entre os valores absolutos dos fatores, e seu “sinal” será sempre positivo. Quando os “sinais” dos fatores são diferentes, seu produto é igual ao produto dos valores absolutos dos fatores, e seu “sinal” será sempre negativo.
Multiplicação
Quarto Momento – Divisão
a) (+9):(+3) = +3 f) (-12):(-4) = +3 k) (-9):(+3) = -3
b) (+10):(+5) = +2 g) (-8):(-4) = +2 l) (-8):(+2) = -4
c) (+6):(+3) = +2 h) (-4):(-2) = +2 m) (-8):(+4) = -2
d) (+12):(+4) = +3 i) (-5):(-1) = +5 n) (+12):(-4) = -3
e) (+14):(+2) = +7 j) (-10):(-5) = +2 0) (+6):(-3) = -2
1) Efetue as operações abaixo com a ajuda do ábaco.
Divisão
a) (+9):(+3) = +3 f) (-12):(-4) = +3 k) (-9):(+3) = -3
b) (+10):(+5) = +2 g) (-8):(-4) = +2 l) (-8):(+2) = -4
c) (+6):(+3) = +2 h) (-4):(-2) = +2 m) (-8):(+4) = -2
d) (+12):(+4) = +3 i) (-5):(-1) = +5 n) (+12):(-4) = -3
e) (+14):(+2) = +7 j) (-10):(-5) = +2 0) (+6):(-3) = -2
Resultado das operações...
2) Analisando os itens de a a e o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?
Quando os “sinais” são positivos dividimos os valores absolutos dos números e o quociente terá “sinal” positivo.
Divisão
Divisão
3) Analisando os itens de f a j o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?
Quando os “sinais” são negativos dividimos os valores absolutos dos números e o quociente terá “sinal” positivo.
Divisão
4) Analisando os itens de k a o, o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?
Quando os “sinais” são diferentes, dividimos os valores absolutos dos números e o quociente terá “sinal” negativo.
Divisão
5) A partir das respostas anteriores, é possível chegar a um padrão de resolução para todas as operações realizadas? Qual?Quando os “sinais” são iguais dividimos os valores absolutos dos números e o quociente sempre terá “sinal” positivo. Quando os “sinais” são diferentes dividimos os valores absolutos dos números e o quociente sempre terá “sinal” negativo.
POMMER, W. M. Diversas abordagens das regras de sinais nas operações elementares em Z. FEUSP: 2010. Disponível em: <http://www.nilsonjosemachado.net/sema20100316.pdf>. Acesso em 27 jan. 2012.
RODRIGUES, L. R; OLIVEIRA, T. O. Operando números inteiros com o ábaco. Disponível em: <http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/minicursos/operandonumeros>. Acesso em 27 de jan. de 2012.
Referências