'

&

$

%

Razvoj matematikein ra cunalnistvaAnaliza 3

Vladimir Batagelj

Univerza v Ljubljani

FMF, matematika

Zapiski, Ljubljana, 14. maj 2005

razlicica: 23. maj 2005 / 11 : 17

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 1'

&

$

%

Kazalo1 Bernoulli-ji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

5 Abraham de Moivre, 1667-1754. . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6 Anglezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

7 Celina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

8 Italija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

9 Leonhard Euler, 1707-1783. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

13 Jean-Baptiste Le Rond d’Alembert, 1717-1783. . . . . . . . . 13

15 Ostali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

17 Matematiki francoske revolucije. . . . . . . . . . . . . . . . . 17

19 Carl Friedrich Gauss. 1777-1855. . . . . . . . . . . . . . . . . 19

20 Francozi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

21 Bernhard Bolzano, 1781-1848. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 2'

&

$

%

22 Neevklidske geometrije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

23 Zacetki abstraktne algebre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

24 Viri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 1'

&

$

%

Bernoulli-ji

Jakob Johann

Nicolaus II Daniel

Johann III

• Leibniz je nasel vneta pristasa pri bratih

Jacquesu (James, Jakob; 1654-1705) in Jeanu

(John, Johann; 1667-1748) Bernoulli-ju.

Bernoulliji so se leta 1583 umaknili iz tedaj

spanske Nizozemske v Bazel vSvici.

• Jacques je znan po neenakosti(1 + x)n >

1 + nx objavljeni v njegovem prvemclanku –

poznal jo jeze Barrow. Leibnizu je predlagal,

da naj za obratno od diferenciranja uporablja

integralnamesto suma.

• skupaj z bratom Jeanom in Leibnizem je

razresil Bernoullijevo enacbo y′ + P (x)y =

Q(x)yn.

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 2'

&

$

%

. . . Bernoulli-ji

• Jacques je napisal knjigoArs conjectandi, izsla 1713, v kateri so prvic

resneje obdelane osnove verjetnostnega racuna. Razdeljena je na 4

poglavja.

• Prvo poglavje je v bistvu HuygensovDe ludo aleaez Bernoullijevimi

komentarji. Drugo poglavje razdela teorijo permutacij in kombinacij,

pri cemer uporablja binomski in multinomski izrek. V tem delu so

vpeljana tudi Bernoullijevastevila – koeficienti v polinomu za vsoto

k-tih potenc.

• Tretje in cetrto poglavje sestavlja zbirka resitev problemov iz verjet-

nosti. Med drugim je vcetrtem poglavju tudiBernoullijev zakon ve-

likih stevil: Naj bop verjetnost dogodka,m stevilo pojavitev dogodka

v n poskusih inε > 0. Potem za verjetnostP tega, da je|mn − p| < ε,

velja limn→∞ P = 1.

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 3'

&

$

%

. . . Bernoulli-ji

• mlajsi brat Jean je v Parizu instruiral

mladega markiza G.F.A. de L’Hospital

(1661-1704). Z njim se je pogodil,

da mu bo za mesecno placo preda-

jal svoja matematicna odkritja. Tako

sedaj poznamo pravilo, da:ce je

f(a) = g(a) = 0, je limx→af(x)g(x)

=

limx→af ′(x)g′(x)

, ce le druga limita ob-

staja.

• L’Hospital je bil tudi sam dober

matematik, predvsem pa izvrsten

pisec. Napisal je dva vplivna ucbenika

Analyse des infiniment petitsin Traitee

analytique des sections coniques.

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 4'

&

$

%

. . . Bernoulli-ji

• Jean je bil profesor v Groningenu. Veliko je prispeval k utrditvi Leib-

nizovega pristopa k analizi – Leibnizov buldog. Velja za zacetnika

variacijskega racuna.

• Daniel (1700.1782) je bil profesor v Petersburgu. Uveljavil se je v

hidrodinamiki – Bernoullijevo nacelo. Skupaj z bratom Nicolausom

sta prisla do vprasanja znanega kotPetersburski paradoks.

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 5'

&

$

%

Abraham de Moivre, 1667-1754

• bil je francoski hugenot, ki se je zgodaj

umaknil v Anglijo. Tam je spoznal Newtona

in Halleya.

• Najbolj znano njegovo delo jeDoctrine of

Chances(1718), kjer je zbral resitve cele vrste

verjetnostih problemov.

• izracunal je ∫ ∞

0

e−x2=

√π

2

• znan je po de Moivreom obrazcu

(cos φ + i sin φn = cos nφ + i sin nφ

ki pa ga je poznal v nekoliko drugacni obliki

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 6'

&

$

%

Anglezi

Brook Taylor

• Roger Cotes (1682-1716)

• James Stirling (1692-1770)

• Colin Maclaurin (1698-1746)

• Brook Taylor (1685-1731)

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 7'

&

$

%

Celina

• Ehrenfried Walter von Tschirhaus

(1651-1708)

• Gabriel Cramer (1704-1752)

• Michel Rolle (1652-1719)

• Pierre Varignon (1654-1722)

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 8'

&

$

%

Italija

• Jacopo Ricatti (1676-1754)

• Girolamo Sacchieri (1667-1733)

• Guido Grandi (1671-1742)

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 9'

&

$

%

Leonhard Euler, 1707-1783

• rojen je bil v Bazlu vSvici. Studiral je pri Jeanu

Bernoulliju in bil prijatelj njegovega sina Nico-

lausa. Poleg matematike je dobro obvladalse

teologijo, medicino, astronomijo, fiziko in ori-

entalske jezike.

• Leta 1727 se je prijavil na mesto za medicino

na St. Petersburski Akademiji. Tam sta bila dva

Bernoullija profesorja matematike. Mesto je do-

bil, a je ravno takrat carica Katarina,zena poko-

jnega Petra Velikega, umrla. Novi vladrji niso

imeli veliko posluha za znanost – no, Akademiji

je uspelo preziveti in Euler je zasedel stolico za

filozofijo narave ter tako postal glavni matem-

atik na Akademiji (Nicolaus je utonil, Daniel pa

se je vrnil v Bazel).

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 10'

&

$

%

. . . Leonhard Euler

• Euler se je porocil in imel 13 otrok. Bil pa je tudi najplodnejsi

matematik – vec kot 500 knjig in clankov – zbrana dela naj bi

sestavljalo okrog 75 knjig. Vecino del je objavil v raziskovalnem

casopisu AkademijeComentarii Academiae Scientiarum Imperalis

Petropolitanae. Izhajala sose 50 let po njegovi smrti.

• leta 1735 je oslepel na desnem ocesu. Leta 1741 je sprejel povabilo

Fredericka Velikega v Berlinsko Akademijo in naslednjih 25 let

prezivel na njegovem dvoru.Se vedno pa je dobival tudi placo iz Rusije

in sodeloval s St. Petersbursko Akademijo.

• na vztrajanje Katarine Velike se je 1766 vrnil v St. Petersburg. Zacel

mu je pesati vid tudi na levem ocesu. Scasoma je popolnoma oslepel, a

to, ob pomoci otrok, ni prekinilo njegove ustvarjalnosti.

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 11'

&

$

%

. . . Leonhard Euler

• Euler je ustvaril/uvedel velik del oznak, ki jih uporabljamose danes:

e, π, i, γ = limn→∞(Hn − lnn); v trikotniku a, b, c, A, B, C, r, R,

s = 12 (a + b + c);

∑za vsoto,f(x) za funkcijo;sin, cos, . . . ,sec, . . .

• v Introductio in analysisn infinitorum, 1748 je nadgradil dosezke

Leibniza, Newtona in Bernoullijev in ustvarilanalizo, v kateri je

postavil v ospredje pojem funkcije.

• bil je mojster v delu z neskoncnimi vrstami. Med drugim je nasel, bileso prehud oreh tudi za Bernoullije, vrste

π2

6=

1

12+

1

22+

1

32+

1

42+

1

52+ · · · in

π2

8=

1

12+

1

32+

1

52+

1

72+

1

92+ · · ·

pokazal je

Sn =1

p1+

1

p2+

1

p3+

1

p4+

1

p5+ · · · ≈ ln ln n

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 12'

&

$

%

. . . Leonhard Euler

• razvil je osnovne postopke za resevanje diferencialnih enacb. Uporaba delnih

resitev pri iskanju splosne. Linearne diferencialne enacbe.

• vpeljal je elipticne integrale in funkcije gama in beta.

• ukvarjal se je tudi z verjetnostnim racunom

• v teoriji stevil je spodbil Fermatovo domnevo z razcepom225+ 1 =

4294967297 = 6700417 × 641. Vpeljal je Eulerjevo funkcijo (n =

pα11 pα2

2 pα33 · · · pαk

k ) ϕ(n) = n(1 − 1p1

)(1 − 1p2

)(1 − 1p3

) · · · (1 − 1pk

), ki

zan > 1 stejestevilo stevil manjsih odn tujih z n; ϕ(1) = 1. Pokazal je

posplositev malega Fermatovega izreka:ce jea tuj z n, je aϕ(n) − 1 deljiv

z n. n2 − n + 41 ima prastevilske vrednosti zan = 1, . . . , 40. Pokazal je

neresljivostxn + yn = zn zan = 3.

• velja za zacetnika topologije (Eulerjev obrazec) in teorije grafov (problem

kenigsberskih mostov).

• bil je tudi pomemben pisec ucbenikov.

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 13'

&

$

%

Jean-Baptiste Le Rond d’Alembert, 1717-1783

• bil je puscen kot dojencek na stopniscu

cerkve St. Jean Baptiste Le Rond v Parizu.

Kasneje se je izkazalo, da je plemiskega

porekla.

• Sodeloval je z Diderotom pri pripravl-

janju enciklopedije – napisal je uvod in

vecino matematicnih in znanstvenih ses-

tavkov. Bil je Voltairov prijatelj.

• pri 24 letih je bil izvoljen v Academie des

Sciences in leta 1754 postal njen tajnik ter

tako najvplivnejsi znanstvenik v Franciji.

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 14'

&

$

%

. . . Jean-Baptiste Le Rond d’Alembert

• pomemben je pri razjasnjevanju vloge kompleksnihstevil. Skupaj z

Eulerjem sta zacetnika kompleksne analize.

• zagovarjal je utemeljitev difrencialnega racuna na pojmu limite

• najbolj je znan po d’Alambertovem nacelu: notranje sile v sestavu

togih teles v gibanju so v ravnotezju (Traite de dynamique, 1743)

• je eden zacetnikov teorije parcialnih diferencialnih enacb

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 15'

&

$

%

Ostali

Lambert

• Comte de Buffon (1707-1788) je prevedel

Newtonovo Method of fluxions v francoscino.

Najbolj je znan po dolocanju ocenestevila π z

metanjem igle – osnova metode Monte Carlo (1944)

• Etienne Bezout (1730-1783) je napisal zelo vpliven

ucbenik v 6 knjigahCourse de mathematique(1764-

69)

• Johann Heinrich Lambert (1728-1777) je opozoril,

da je v krogelnem trikotniku vsota notranjih kotov

vecja od dveh pravih kotov. Za razliko od Sacchier-

ija je svoja razmisljanja oprl nacetverokotnik s 3

pravimi koti (Lambertovcetverokotnik). Vpeljal je

hiperbolicne funkcije.

• Alexis Claude Clairaut (1713-1765) jeze z 18 leti

postal clan Akademije. Je zacetnik analiticne ge-

ometrije teles.

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 16'

&

$

%

. . . Ostali

Vega

• Edward Waring (1734-1793) je bil profe-

sor na Cambridgeu. Razvil je kvocientni

konvergencni test (danes poimenovan po

Cauchyu). Pokazal je, da je(p − 1)! + 1deljivo s p (danes znano kot Wilsonov

izrek). Domneval je da je vsako naravno

stevilo mogoce zapisati kot vsoto najvec 9

kubov (dokazano); in kot vsoto najvec 19

cetrtih potenc.

• Jurij Vega (1754-1802)

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 17'

&

$

%

Matematiki francoske revolucije• padec Bastille 1789; uvedba desetiskih mer

• Gaspard Monge (1746-1818) je zacetnik projektivne geometrije

• Condorcet (1743-1794) uporaba matematike v druzboslovju; zagovarjal

splosno izobrazbo, cepljenje, . . .

• Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) vpeljal je determinante; pomem-

bno prispeval k razvoje variacijskega racuna; prouceval je vpliv

permutacij korenov – Lagrangeov izrek: moc podgrupe deli moc

grupe; Lagrangeova funkcija v optimizaciji

• Laplace (1749-1827) pomembna knjiga o uporabi analize v verjet-

nostnem racunu; Laplaceova transformacijaf(x) =∫∞0

e−xtg(t)dt;

nebesna mehanika; Laplaceov operator∇2u = uxx + uyy + uzz.

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 18'

&

$

%

. . . Matematiki francoske revolucije

• Legendre (1752-1833) prevedba elipticnih integralov na tri standardne

oblike; resevanje kvadratnih kongruencnih enacb

• Lazare Carnot (1753-1823) veliko prispeval pri sistematizaciji ge-

ometrije

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 19'

&

$

%

Carl Friedrich Gauss. 1777-1855

• nadarjenost za matematiko je kazalze kot otrok. Pri

19 letih je nasel konstrukcijo pravilnega 17-kotnika.

Kot student je razvil metodo najmanjsih kvadratov

• Osnovni izrek algebre (4 dokazi)

• kongruencne enacbe in razredi ostankov; Gaussova

celastevila; porazdelitev prastevil;

• zacetnik diferencialne geometrije

• velik prispevek astronomiji – dobil mesto vodje

Gottingenskega observatorija

• ukvarjal se je tudi z zemljemerstvom – teorija napak

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 20'

&

$

%

Francozi• Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) razvil teorijo determinant;v

matematicno razmisljanje vpeljal vecjo strogost; postavil je trdne

temelje analize izhajajoc iz d’Alambertovega pojma limite in pojma

funkcije.

• J.B. Fourier (1768-1830) razvoj periodicnih funkcij v Fourierovo vrsto.

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 21'

&

$

%

Bernhard Bolzano, 1781-1848

• ceh, ki je v deluParadoxien des Un-

endliches, 1850 nacel vprasanja o last-

nostih in vrstah neskoncnosti. Svoja

razmisljanja je oprl na Galileove povratno

enolicne preslikave. Opazil je, da je

neskocnost naravnihstevil drugacna kot

neskoncnost realnih stevil. Gauss in

Cauchy sta zagovarjala stalisce, da de-

janske neskoncnosti ni.

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 22'

&

$

%

Neevklidske geometrije• Poskusi Sacchierija in Lamberta dokazati peti postulat so koncno

privedli trojico Nikolaj Ivanovic Lobacevski (1793-1856), Janos

Bolyai (1802-1860) in Gauss neodvisno do sklepa, da so mozne tudi

druge, neevklidske geometrije – skozi tocko, ki ni na premici, je

mogoce potegniti vec vzporednic.

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 23'

&

$

%

Zacetki abstraktne algebre

• Niels Henrik Abel (1802-1829)

• Evariste Galois (1812-1832)

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 24'

&

$

%

Viri1. Bernoulliji: The complete works

2. Portraits of statisticians

3. Pardue University LibrariesVoices that changed the world

4. Physicists on the Money

5. Matematika in umetnost

6. Henrietta Midonick: The treasury of mathematics. Pelican Book.

Penguin Books, Harmondsworth, 1968.

Ljubljana, 24. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖