Pág 1021

OBSERVACIÓN IMPORTANTE : Como cada término de una sucesión está íntimamente relacionado con el orden que ocupa, entonces, en muchas situaciones, se encontrará la ley de formación en base al número ordinal. EJEMPLO 01

2 ; 7 ; 12 ; ………………

:

Indicar la ley de formación para la siguiente sucesión:

MÉTODO PRÁCTICO

−3 −3 −3 −3

2 ; 7 ; 12 5n − 3

:

Se multiplica a cada ordinal por la razón y se debe forzar a que resulte su respectivo término en la sucesión, ya sea sumando o restándole una cantidad a deducir:

Ordinal: 1º 2º 3º …… nº

OJO :

Al multiplicar al 1 (primer ordinal) por 5, debemos forzarlo a que resulte 2, por eso es que le restamos 3.

EJEMPLO:

Indicar la ley de formación en:

6 ; 9 ; 14 ; 21 ; ………

6 ; 9 ; 14 ; 21 ; ………

Resolución :

MÉTODO PRÁCTICO

+5 +5 +5 +5

6 ; 9 ; 14 ; …… ; n2 + 5

:

Se eleva al cuadrado cada ordinal y se debe forzar a que resulta su respectivo término en la sucesión : Ordinal : 1º 2º 3º …… nº

Aplicación de una experiencia general que se ha verificado que es verdadera, A una situación en particular.

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO :

Ejemplo

n (n 1)21 2 3 n ++ + + + =

:

Si se sabe que:

Calcular: 1 + 2 + 3 + …… + 2002 RESOLUCIÓN

2002 200321 2 3 2002 2005003×+ + + + = =

:

*Aplicaremos la fórmula para n = 2002 :

PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA1

¿Cuántos cuadraditos pequeños se puede contar en? A) 1225 B) 3500 C) 1750 D) 1725 E) 355 RESOLUCIÓN:

*Aplicaremos situaciones particulares, conservando una forma análoga a la original , tendremos: CASOS PARTICULARES

→ 1 = 12

# DE CUADRADITOS

→ 4 = 22 → 9 = 32

♦ Luego para lo pedido, se tendrá que: # de cuadraditos pequeños: 352 = 1225 RPTA. : A

PROBLEMA 02

Hallar la suma de cifras del resultado de la siguiente expresión:

( 666 …… 666)2

Se deduce

Término :

Ley de formación ó enésimo

×5 ×5 ×5 ×5

+3 +5 +7

+2 +2

( )2 ( )2 ( )2 ( )2

Se deduce

Términos :

Ley de Formación

“2005 cifras”

+5 +5

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Pág 1022

# de Cifras

A) 4004 B) 18018 C) 12012 D) 808 E) 2003 RESOLUCIÓN:

*Observamos que la característica a variar es la cantidad de “6”, luego: CASOS PARTICULARES

♦ 62 = 36 → 9 = 9 × 1 ♦ 662 = 4356 → 18 = 9 × 2

SUMA DE CIFRAS

♦ 6662 = 443556 → 27 = 9 × 3 ⇒ La suma de cifras para la expresión pedida será:

9 × 2005 = 18045 RPTA.: B

PROBLEMA 03

¿Cuántos triángulos totalmente sombreados hay en total? A) 200

B) 8000

C) 400

D) 380

E) 210 Resolución :

CASOS PARTICULARES → 2 = 2 × 1

∆S. SOMBREADOS

→ 6 = 3 × 2 → 12 = 4 × 3

*Luego para el problema , lo pedido será: 20 × 19 = 380 RPTA.: D PROBLEMA 4

¿De cuántas formas distintas se puede leer “MOSHERA” en el siguiente arreglo?

A) 128

B) 256

C) 255

D) 127

E) 64 RESOLUCIÓN:

CASOS PARTICULARES

1 → 1 = 20

# DE FORMAS DE LEER

1 2 → 2 = 21 1 2 3 → 4 = 22 ♦ Luego para el problema pedido :

# de Formas de leer MOSHERA: 27 − 1 = 26 = 64 RPTA.: E

PROBLEMA 6

Calcular el número total de rombos sombreados que hay en: A) 625 B) 10000 C) 2500 D) 5000 E) 5050 RESOLUCIÓN:

CASOS PARTICULARES

1 = 12

# DE ROMBOS SOMBREADOS

1 Cifra

2 Cifra

3 Cifra

M O O

S S S H H H H E E E E E

R R R R R R A A A A A A A

M

-1

M

O O

-1

S S S

O O

M

-1

Mitad

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Pág 1023

El trip

le de

los n

úmero

s Tria

ngula

res

4 = 22 9 = 32 ♦ Luego para lo pedido: 502 = 2500

RPTA.: C

PROBLEMA 7

Calcular la suma de cifras del resultado de:

444 44 888 888−

A) 12000 B) 6000 C) 4000 D) 3300 E) 6666 RESOLUCIÓN:

CASOS PARTICULARES

6844 =−

SUMA DE CIFRAS

→ 6 = 6(1)

66884444 =− → 12 = 6(2)

666888444444 =− → 18 = 6(3) *Luego para la expresión pedida, la suma de cifras será: 6(1000) = 6000

RPTA.: B

PROBLEMA 7

¿Cuántos apretones de manos se producirán al saludarse, 100 personas asistentes a una reunión? A) 10000 B) 1000 C) 5005 D) 505 E) 4950 RESOLUCIÓN:

CASOS PARTICULARES

Para 2 personas : →

# DE APRETONES

1 221 ×=

Para 3 personas : → 2 323 ×=

Para 4 personas : → 3 426 ×=

* Luego para 100 personas el número de apretones de mano será:

99 1002 4950× =

RPTA.: E PROBLEMA 8

Hallar el total de puntos de contacto en: A) 290 B) 870 C) 420 D) 1305 E) 2875 RESOLUCIÓN:

CASOS PARTICULARES

# PUNTOS DE CONTACTO

: → 3 = 3 × 1 : → 9 = 3 × 3

: →18 = 3 × 6

*Para: ( )29 302n 30 3 1305×= ⇒ =

RPTA.: D PROBLEMA 9

Calcular el número total de bolitas sombreadas en: A) 900

B) 2500

C) 1275

D) 420

E) 950 RESOLUCIÓN

:

Total de bolitas

2 323 ×= 4 5

210 ×= 6 7221 ×=

# de bolitas sin sombrear

1 221 ×= 2 3

23 ×= 3 426 ×=

Mitad

Mitad

“2000 Cifras” “1000 Cifras”

2 Cifras 1 Cifra

2 Cifras 4 Cifras

6 Cifras 3 Cifras

NÚME

ROS

TRIAN

GULA

RES

PARA n = 2

PARA n = 3

PARA n = 4

CASOS PARTICULARES

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Pág 1024

# de bolitas sombreadas

2 3 1 22 2× ×− 4 5 2 3

2 2× ×− 6 7 3 4

2 2× ×−

Luego para lo pedido será:

50 51 25 262 2 950× ×− =

RPTA.: E

PROBLEMA 11

¿Cuántas bolitas se contará en la figura 20?

A) 1200 B) 960 C) 800 D) 1160 E) 820 Resolución:

CASOS PARTICULARES F(1) → 1 = 1 × 1 F(2) → 8 = 2 × 4 F(3) → 21 = 3 × 7

# DE BOLITAS

⇒ Para F(20) → 20 × 58 = 1160 RPTA.: D

OJO:

La regla hay que deducirla (no es una adivinanza)

. 01 Si: 1 = 1

2 = 2 − 2

3 = 3 − 3 + 3

4 = 4 − 4 + 4 − 4

Hallar: 10

A) 10 B) 100 C) 0 D) 20 E) 50

02 En el problema anterior, hallar: 237 + 400 − 37

A) 200 B) 4000 C) 600 D) 637 E) 0

03 Hallar “A + B” en la figura 20.

A) 20

B) 210

C) 36

D) 26

E) 21 04 De acuerdo al problema anterior, ¿qué figura

corresponde?

1 2 3 ················ 35 36

A) fig 12 B) fig 18 C) fig 36 D) fig 40 E) fig 15

05 ¿Cuántos palitos de fósforo son necesarios para

formular la figura 20?

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

06 El problema anterior, ¿cuántos palitos de fósforo

se necesitan para la figura 30?

A) 33 B) 30 C) 28 D) 27 E) 32

07 Los puntajes obtenidos por un alumno son los

siguientes.

Nº Examen Puntaje 1 2 2 5 3 10 4 17

¿Qué nota obtuvo en el décimo segundo examen?

×3 −2

×3 −2

×3 −2

+ 3

+ 3

×3 −2

Mitad

× 3 − 2

PRIMERA PRÁCTICA

RAZONAMIENTO INDUCTIVO

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Pág 1025

A) 194 B) 145 C) 226 D) 137 E) 205

08 Hallar P(10) .

( )( )( )( )( )( )( )( )( )

1(1) 2

1 1(2) 2 3

1 1 1(3) 2 3 4

1 1 1 1(4) 2 3 4 5

P 1

P 1 1

P 1 1 1

P 1 1 1 1

= −

= − −

= − − −

= − − − −

A) 110 B) 1

9 C) 111

D) 112 E) 1

8

09 En el problema anterior, hallar P(32)

A) 130 B) 1

31 C) 133

D) 134 E) 1

29

10 Si: 1 × 2 × 3 × 4 + 1 = 52 …… fila 1

2 × 3 × 4 × 5 + 1 = 112 …… fila 2

3 × 4 × 5 × 6 + 1 = 192 …… fila 3 …… Hallar el resultado de la fila 20.

A) 3612 B) 4002 C) 4212 D) 4612 E) 4192

11 Si: 11 − 2 = 32 …… fila 1 1111 − 22 = 332 …… fila 2 111111 − 222 = 3332 …… fila 3

Hallar el resultado de la fila 20. A) 333 … 32 B) 333 … 32 C) 333 … 32

D) 333 … 32 E) 333 … 32 12 ¿Cuántos números forman una distribución de

100 filas?

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

A) 5050 B) 2030 C) 2050 D) 5000 E) 5600

13 En el problema anterior, ¿cuántos números forman una distribución de 40 filas?

A) 810 B) 900 C) 820 D) 1600 E) 800

14 Si: Fila 1: 313 Fila 2: 3213 Fila 3: 33213 Fila 4: 343213

Hallar la suma de los números en la fila 15. A) 130 B) 128 C) 130 D) 132 E) 126

15 En el problema anterior, hallar la suma de los

números de la fila 24.

A) 306 B) 303 C) 312 D) 333 E) 313

♦ Si: 1 = 2

2 = 9

3 = 28 16 Hallar: 7

A) 681 B) 342 C) 350 D) 344 E) 50

17 10

A) 101 B) 1010 C) 1111 D) 1001 E) 111

18 “x” si: x = 1332

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 01 Calcular la suma de los elementos de la fila 2003. Fila 1 → 1 3 3 6 ← Fila 2 Fila 3 → 6 10 10 15 ← Fila 4 Fila 5 → 15 21

e indicar la suma de cifras del resultado. A) 12 B) 10 C) 8

19 cifras 18 cifras 21 cifras

20 cifras 30 cifras

SEGUNDA PRÁCTICA

RAZONAMIENTO INDUCTIVO

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Pág 1026

D) 18 E) 23 02 Calcular:

2 + 4 + 6 + 8 + …… A) 300 B) 930 C) 420 D) 425 E) 931 03 Si: 1 + 2 + 3 + …… + 2003 = K

Calcular: 13 + 23 + 33 +…… + 20033 A) K B) K3 C) 2K2

D) K2 E) ( ) 2K(K 1)2

+

04 Calcular la suma de todos los términos cuando

este arreglo tenga 25 filas:

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

A) 212 − 1 B) 223 − 1 C) 214 − 1 D) 225 − 1 E) 252 − 1 05 Calcular la suma de cifras del resultado de la

siguiente expresión:

E = (333 …… 335)2 A) 265 B) 266 C) 267 D) 268 E) 269 06 Calcular el doble de la raíz cuadrada de la suma de

todos los elementos del siguiente arreglo

3125191371

2621161161

211713951

161310741

1197531

A) 400 B) 800 C) 420 D) 840 E) 200 07 Hallar la suma de todos los elementos de la

siguiente matriz:

191813121110

18171211109

13127654

12116543

11105432

1094321

A) 1000 B) 400 C) 420 D) 200 E) 8000 08 Calcule el número de hojitas sombreadas. A) 2630 B) 2480 C) 3125 D) 2500 E) 2550 09 ¿Cuál es la suma de todos los términos del

siguiente arreglo triangular de 10 filas?

1 1 1

1 2 1 1 3 3 1

1 1 A) 2120 B) 2047 C) 2000 D) 1993 E) 2048 10 En la siguiente figura. ¿cuántas bolitas

sombreadas hay? A) 360 B) 900 C) 461 D) 625 E) 720 11 ¿Cuántos triángulos pequeños hay en total?

30 términos

87 cifras

400

11 términos

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Pág 1027

A) 806 B) 992 C) 900 D) 720 E) 560 12 ¿Cuántos puntos de contacto se contará en la

figura 25? A) 600 B) 625 C) 1080 D) 810 E) 975 13 Calcular la suma de las cifras del resultado de la

siguiente expresión: S = (111 … 11 + 222 … 22 + 333 …33)2

A) 100 B) 870 C) 900 D) 810 E) 800 14 Se muestran las siguientes figuras ¿cuántos

triángulos habrán en total, en la figura # 20?

A) 210 B) 420 C) 630 D) 150 E) 240 15 ¿Cuántos palitos hay en total? A) 920 B) 840 C) 625 D) 660 E) 780 16 ¿Cuántos rombos del tamaño indicado se pueden

contar en la siguiente figura?

A) 625 B) 600 C) 1350 D) 300 E) 900 17 ¿Calcule el número total de palitos en : A) 450 B) 720 C) 625 D) 420 E) 610 18 ¿Calcule el número total de palitos en: A) 620 B) 420 C) 310 D) 300 E) 210

100 cifras 100 cifras 100 cifras

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